Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1.Предварительные сведения

§1.1. Обозначения и некоторые сведения из функционального анализа и топологии

§1.2. Некоторые сведения из теории многозначных отображений

§1.3. Свойства выпуклых по переключению (разложимых) множеств.

Глава 2. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами .*.

§2.1. Общая постановка задачи.

§2.2. Возмущенное включение с оператором V, ядром которого является некоторое множество, содержащее нуль

§2.3. Возмущенное включение с разложимым множеством решений и оператором V, ядро которого состоит только из нулевого элемента.

Рассмотрим произвольное дифференциальное включение где х(-) - искомая функция, •) - некоторое заданное многозначное отображение. Дифференциальное включение (1) является не только формальным обобщением дифференциального уравнения = /(*,*), (2) в случае когда каждой точке (£, х) ставится в соответствие множество состоящее из одной точки, но оно и естественно возникает в прикладных задачах. Пусть, например, правая часть дифференциального уравнения (2) известна лишь приближенно и пусть она может отличаться от известной функции /(.£,#) не более чем на е. Тогда каждое решение такого уравнения удовлетворяет неравенству

3)

Такое неравенство можно записать в виде дифференциального включения (1), где - замкнутая е-окрестность точки /(¿, х).

В виде дифференциальных включений (1) могут быть записаны также и дифференциальные неравенства ж, ¿) < 0, (4) если через х) обозначать множество тех г;, для которых ^ 0, и системы дифференциальных уравнений, и задачи оптимального управления, и задачи, возникающие в релейных системах и т.д. (см. [2], [4], [6]).

Для дифференциального включения (1) естественно рассматривать задачи аналогичные задачам из теории дифференциальных уравнений (теоремы существования решения, продолжаемость решений, непрерывная зависимость от начальных условий и параметров и т.д.). Но, ввиду многозначности отображения jF(-, •), для дифференциального включения (1) возникают специфические вопросы -такие как замкнутость, выпуклость семейства решений, выбор решений с заданными свойствами и т.д.

Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах нашего столетия в работах A.Marchaud (Маршо) [75], S.Zaremba (Заремба) [80] и продолжается до сегодняшнего дня. Отметим, что данными вопросами занимались многие математики (Н.В.Азбелев, Ю.И.Алимов, Б.И.Ананьев, Р.В.Ахмеров, Е.А.Барбашин, В.И.Благодатских, А.В.Богатырев, Ю.Г.Борисович, С.А.Брыкалов, А.И.Булгаков, Е.Е.Викторовский, Е.А.Ганго, Б.Д.Гельман, А.Е.Ирисов, А.Г.Иванов, Н.Н.Красовский, А.Б.Куржанский, А. А. Леваков, Л.Н.Ляпин, В.П.Максимов, А.Д.Мышкис, М.С.Никольский, В.Р.Носов, В.В.Обуховский, А.И.Поволоцкий, Е.С.Половинкин, Р.К.Рагимханов, Б.Н.Садовский, А.Б.Самаров, А.Н.Сесекин, А.И.Субботин, С.И.Суслов, А.А.Толстоногов, Е.Л.Тонков, В.С.Тонкова, С.Т.Завалищин, Л.Н.Фадеева, А.Ф.Филлипов, Т.Ф.Филиппова, И.А.Финогенко, А.Г.Ченцов, П.И.Чугунов, З.Б.Цалюк, H.A.Antosiewicz, A.Bressan, A.Cellina, G.Colombo, J.Davy, A.Fryskowski, H.Hermes, W.Kelley, N.Kikuchi, M.Kisielewicz, A.Lasota, S.J.Lojasiewicz, H.Murakami, S.Nakagiri, C.Olech, Z.Opial,

N.S.Papargeorgiou, G.Pianigiani, A.Plis, S.Szufla,

Т^агечувИ, Р^есса и др.)

В предлагаемой диссертации рассматривается краевая задача

Сх е Ф(ж), 1(х) е <р(х), (5) где Ф : Сп[а,Ь] П[Ьп[а,Ь]], <р : Сп[а,Ь] - многозначные отображения, I : Вп\а, 6] —> Яп, С : И™[а, Ъ] —» Ьп[а, Ь] - линейные непрерывные операторы. Такие краевые задачи естественно называть краевыми задачами, линейные краевые условия которых (т.е. линейный вектор-функционал /) "испытывают" возмущение, представи-мое в виде выпуклозначного многозначного вектор-функционала ср.

Заметим, что в случае Сх = х, 1х = х(а), (р(х) = Хо, хо £ Нп задача (5) является задачей Коши для дифференциального включения (1). Поэтому рассматриваемый тип задач является обобщением краевых задач для (1).

Заметим также, что в работе [74], по-видимому, впервые была поставлена задача о существовании решений краевых задач для дифференциальных включений с выпуклой правой частью, которая с помощью интегральных включений исследовалась на основе теоремы Какутани. Изучение аналогичной задачи для дифференциального включения с невыпуклой правой частью (что является одной из тем предлагаемой диссертации) наталкивается на значительные трудности, связанные, прежде всего, с тем, что в этом случае нельзя применять известные методы неподвижных точек (теорема Какутани, принцип сжимающих отображений). Как оказалось, вопросы о существовании решений и о структуре множества решений исследуемой задачи можно изучать с помощью методов, предложенных в работах [21], [22].

Применение этих методов ростоит в сведении рассматриваемых задач к эквивалентным функциональным включениям в пространстве Сп[а,Ъ] вида х£/(х) + УФ{х), (6) где / : Сп[а,Ь] —> С"[а, Ь] - вполне непрерывный оператор, Ф : Сп[а,Ь] —> П[Ьп[а, Ь]] - некоторое многозначное отображение, V : Ьп[а,Ь] —> Сп[а, Ь] - линейный непрерывный интегральный оператор. Затем, используя специфику выпуклых по переключению (разложимых) множеств, изучается задача (6).

В предлагаемой диссертации предлагается обобщение этого метода. Можно сказать, что задача (5) эквивалентна функциональному включению ж <Е Ф(я) + УФ(х), (7) где Ф : Сп[а,Ь] —> 0,(Сп[а,Ь]) - выпуклозначное многозначное отображение, Ф : Сп[а, Ъ] —>• П[Ьп[а, Ь]] - многозначное отображение с выпуклыми по переключению образами, V : Ьп[а, Ь] —> Сп[а, Ъ] - линейный непрерывный интегральный оператор (подробнее см. Глава 2, §2.1). Затем задача (7) изучается на основе теории многозначных отображений.

Используя вышеуказанный подход, в предлагаемой диссертации изучаются вопросы разрешимости задачи (5), устанавливаются оценки близости решения задачи (5) к наперед заданной функции, доказывается плотность в пространстве Сп[а, 6] множества решений задачи (5) во множестве решений соответствующей " овыпукленной" задачи, а также доказан "бэнг-бэнг" принцип для задачи (5).

Отметим, что полученные результаты о плотности множества решений задачи (5) в множестве решений соответствующей "овыпу-кленной" задачи и "бэнг-бэнг" принцип для задачи (5) не предполагают вольтерровость отображений £, Ф и дополняют соответствующие результаты о задаче Коши для дифференциальных включений (см. монографии и обзоры [2], [3], [4], [5], [46], [48], [63], а также работы [19], [49], [50], [70], [72], [73], [76]-, [77], [78]).

Особо рассматривается случай (см. Глава 4), когда Ф является однозначным вполне непрерывным оператором /. В этом случае, помимо основных результатов, вводится понятие 5 -решения для включения же f(x) + УФ(х) (8) и доказывается, что пересечение замыканий в пространстве Сп[а, Ь] множеств £-решений включения (8) совпадает с множеством решений соответствующего "овыпукленного" включения. Затем полученный результат используется для исследования свойств со-периодических решений дифференциального включения x{t)eFw{t,x(t)), (9) где Fu : (—оо,+оо) х Rn —»• comp[i?n] - а;-периодическое по первому аргументу отображение. А также для изучения краевой задачи x(t) eP(t,x(t)),t е [a,b], (ю) х(а) е А,х(Ь) е в, где отображение Р : [а,Ъ] х Rn comp[jRra], А,Ве comp[i?n] -заданные множества. Полученные результаты для задач (9), (10) уточняют результаты работы [72], а также дополняют результаты [35], [64], [65], [78] в случае когда многозначное отображение не удовлетворяет условию Липшица или, более общему условию, когда расстояние по Хаусдорфу между значениями многозначного отображения нельзя оценить функцией Камке.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280с.

2. Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений //Summer School on Ordinary Differential Equations. Czechoslovakia, Brno, 1974. Part II. P.29-67.

3. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Часть I. М.: Изд-во МГУ, 1979.

4. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление. // Тр. МИАН СССР, 1985. Т.169. С.194-252.

5. Борисович Б.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Многозначные отображения //Итоги науки и техники. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т.19. С.127-231.

6. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-йо ВГУ, 1986. 103с.

7. Булгаков А.И. К вопросу о свойствах множества решений дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 1976. Т.12. N6. С.971-977.

8. Булгаков А.И., Ляпин Л.Н. Некоторые свойства множества решений интегрального включения Вольтера-Гаммерштейна // Дифференц. уравнения. 1978. Т.14. N8. С.1465-1472.

9. Булгаков А.И. О существовании обобщенного решения функционально-интегрального включения // Дифференц.уравнения. 1979. Т.15. N3. С.514-520.

10. Булгаков А.И., Ляпин Л.Н. Об интегральном включении с функциональным оператором // Дифференц. уравнения. 1979. Т.15. N5. С.876-884.

11. Булгаков А.И.Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами // Дис. . канд. физ.-матем. наук. Горький. 1979.

12. Булгаков А.И. Теорема Кнезера для одного класса интегральных включений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. N5. С.894-900.

13. Булгаков А.И., Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами // Дифференц. уравнения. 1981. Т.17. N8. С.1362-1374.

14. Булгаков А.И., Ляпин Л.Н. О связности множеств решений функциональных включений // Матем. сб. 1982. Т.119. N2. С.295-300.

15. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений с невыпуклыми образами и функционально-дифференциальные включения //Дифференц» уравнения. 1986. Т.22. N10. С. 16591670.

16. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальное включение с оператором, имеющим невыпуклые образы //Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. N10. С.1659-1668.

17. Булгаков А.И. К вопросу существования непрерывных ветвей у многозначных отображений с невыпуклыми образами в пространствах суммируемых функций // Матем. сб. 1988. Т. 136. N2. С.292-300.

18. Булгаков А.И. Усреднение функционально-дифференциальных включений //Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. N10. С.1678-1690.

19. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью //Дифференц. уравнения. 1990. Т.26. N11. С.1872-1878.

20. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений с невыпуклыми образами и функционально-дифференциальные включения // Матем. сб. 1990. Т.181. N11. С.1427-1442.

21. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений //Матем. сб. 1992. Т.183. N 10. С.63-86.

22. Булгаков А.И., Владимирова Т.В., Ткач Л.И. Возмущение линейной краевой задачи функционально-дифференциального уравнения многозначным отображением и нелинейным вектор-функционалом // Вестн. Тамб.ГТУ. 1996. Т.2. N3. С.302-314.

23. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств 5 -решений включения типа Гаммерштейна // Вестн. Тамб. ГУ. Сер.естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т.2. Вып.З. С.294-298.

24. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. Сб. 1998. Т. 189. N6. С.3-32.

25. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Изв. вузов. Мат. 1999. N3. С.3-16.

26. Булгаков А.И., Ткач Л.И. О приводимости функционально-дифференциальных включений // Материалы научной конференции преподавателей "Державинские чтения". Тамбов, 1995. С.3-4.

27. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Разрешимость краевых задач для функциоиально-дифференцильных включений с многозначным вектор-функционалом // Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов "Державинские чтения II". Тамбов,1996. С.5-7.

28. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Включение типа Гаммерштейна с невыпуклыми значениями // Тезисы докладов. Воронежская весенняя математическая школа. Современные методы в теории краевых задач. "Понтрягинские чтения-VII". Воронеж, 1996. С.40.

29. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896с.

30. Забрейко П.П., Кошелев 'А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. (СМБ). М.: Наука, 1968. 448с.

31. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480с.

32. Ирисов А.Е., Тонков Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // В сб. "Дифференц. и интеграл, уравнения". Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С.32-38.

33. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752с.

34. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496с.

35. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975.

36. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 450с.

37. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104с.

38. Функциональный анализ. (СМБ). / Под общ. ред. Крейна С.Г. М.: Наука, 1972. 544с.i

39. Куратовский К. Топология. T.l. М.: Мир. 1966.

40. Куратовский К. Топология. Т.2. М.: Мир. 1969.

41. Люстерник Л.А., Соболев-В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520с.

42. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 512с.

43. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений. М.: МФТИ, 1982.

44. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

45. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

46. Суслов С.И. Нелинейный4бэнг-бэнг принцип I. Конечномерный случай //Препр. АН СССР СО Ин-т мат., N11. Новосибирск, 1989. С.14.

47. Суслов С.И. Нелинейный *бэнг-бэнг принцип И. Бесконечномерный случай //Препр. АН СССР СО Ин-т мат., N12. Новосибирск, 1989. С.18.

48. Ткач Л.И. Краевые задачи для дифференциальных включений с многозначным вектор-фуйкционалом // Тезисы докладов. Воронежская весенняя математическая школа. Современные методы в теории краевых задач. " Понтрягинские чтения VII". Воронеж, 1996. С.174

49. Ткач Л.И. Теорема Бэра о категориях и бэнг-бэнг принцип краевых задач для функционально-дифференциальных включений с выпуклозначным вектор-функционалом // Материалы конференции молодых ученых. Тамбов, 1997. С. 11-12.

50. Ткач Л.И. О фундаментальном свойстве квазирешений функциональных включений // Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов " Державинские чтения III". Тамбов, 1998. С.29-30

51. Ткач Л.И. Об асимптотическом свойстве множества и-периодических б-решений дифференциального включения // Материалы научной конференции молодых ученых "Державинские чтения-ПГ'. Тамбов, 1998. С.10-12.

52. Ткач Л.И. Об одной оценке решения интегрального включения // Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов "Державинские чтения IV". Тамбов, 1999; С. 14-17.

53. Ткач Л.И. Теорема существования для одного класса интегральных включений // Материалы научной конференции молодых ученых "Державинские чтения IV". Тамбов, 1999. С.6-7.

54. Ткач Л.И. Об одной теореме разрешимости возмущенного включения // Тезисы докладов. Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 1999. С.186.

55. Ткач Л.И. Квазирешения возмущенного включения // Тезисы докладов. "Понтрягинские чтения X" на Воронежской весеннейматематической школе. "Современные методы в теории краевых задач". Воронеж, 199,9, С.239.

56. Ткач Л.И. Свойства многозначных отображений и свойства решений функционально-дифференциальных включений // Краткие тезисы докладов. IV Научная конференция ТГТУ. Тамбов, 1999, С.39.

57. Толстоногов А.А., Чугунов П.И. О множестве решений дифференциального включения в банаховом пространстве / / Сиб. матем. журн. 1983. Т.24. N6. С. 144-159.

58. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296с.

59. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1967. N3. С. 16-26.

60. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224с.

61. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые системы //Прикл. математика и пакеты прикл. программ, Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980. С.155-179.

62. Шеф ер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360с.

63. Antosiewicz Н.А., Cellina A. Continuous selections and differential relations // J. Different. Equations. 1975. V.19. N2. P.386-398.

64. Antosiewicz HA., Cellina A. Continuous extensions of multifunctions // Ann. polon. math. 1977. V.34. N1. P.108-111.

65. Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems //Boll. Unione Math. Italiana, suppl.,1980. V.l. P.53-59.

66. Bressan A., Colombo G. Boundary value problems for lower semicontinuons differential inclusions // Réf. S.I.S.S.A, 85 M (lune 1990), 13 c.

67. Hermes H. The generalized differential equation x G R(t, x) // Advances Math., 1970, V.4, N2, P.149-169.

68. Hermes H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generalized differential equations //Proc. Amer. Math. Soc., 1971. V.29, N3. P.535-542.

69. Lasota A., Opial Z. An application of the Kakutani-Ky Fan theorem in the theory of ordinary differential equations // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. math., astron. et phys., 1965 V.13, N11-12 P.781-786.

70. Marchaud A. Sur les champs continus de demi-cônes convexes et leurs intégrales // Comp. Math., 1936, V.3, N1, P.89-127.

71. Olech C. Lexicographical oider, range of integrals and "Bang-bang" principle //Mathematical theory of coutrol. N.Y.: Acad press, 1967. P.35-45.

72. Papargeorgiou N.S. Functional-differential unclusions in Banach spaces with nonconvex right hand side //Funkcial. Ekvac., 1989. V.32. P.145-156.

73. Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations //J.Different. Equations, 1977. V.25, N1. P.30-38.

74. Plis A. On trajectories of orientor fields //Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. math., 1965. V.13., N8. P.571-573.

75. Zaremba S.C. Sur les equations au paratingent //Bull. Sci. Math., 2 ser., 1936. V.60, N5, P.139-160.