Дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Дифференциальные включения с внешними возмущениями.

§1.0. Основные определения и вспомогательные утверждения.

§1.1. Дифференциальное включение с измеримым радиусом внешних возмущений.

§ 1.2. Периодические и двухточечные краевые задачи дифференциальных включений с внешними возмущениями.

Глава 2. Устойчивость дифференциальных включений относительно внешних возмущений.

§ 2.1. Принцип плотности и устойчивость дифференциальных включений относительно внешних возмущений.

§ 2.2. Устойчивость периодических и двухточечных краевых задач относительно внешних возмущений.

Глава 3. Дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями.

§ 3.0. Основные определения и вспомогательные утверждения.

§ 3.1. Возмущенное включение с ограниченным радиусом внутренних возмущений.

§ 3.2. Периодические и двухточечные краевые задачи дифференциальных включений с внутренними и внешними возмущениями.

§ 3.3. Возмущенное включение с положительной оценкой

Ln[a, 6] - пространство суммируемых по Лебегу функций х : [а, Ь] —)■

Rn с нормой ||ж(-)||£, = / |a;(s)|(fs;

Dn[a,b] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [а,Ь]

Rn с нормой ||ж(>)||я = |я(а)| + / |i(s)|ds;

2У - множество всех непустых подмножеств множества Y ; i - мера Лебега; coF : [а, Ь] —сотр[Лп] - отображение, определенное равенством (соF)(t) = со(F(t)), где F : [а, Ъ] сотр[Яп]; extF : [a, b] —>■ сотр[Лп] - отображение, определенное равенством (extF)(t) = ext(F{t)), где F : [a, 6] comp[iT]; 5(F) - множество всех сечений (ветвей) отображения F : [а, 6] comp[En]; 5(F) = {у(-) Е L"[a,6] : y(t) Е F(t) при почти всех t €[а,Ц};

F(£, •) - £ фиксировано и F : [a, 6] х Л" —» сотр[Лп] рассматривается как отображение только второго аргумента;

F(-,x) - х фиксировано и F : [a,b]xRn —> comp[i?n] рассматривается как отображение только первого аргумента;

F(-,x(-)) - суперпозиция отображений F : [а, 6] хй"-) сотр[Лп] и ж : [а, Ь] -> Л" ; coF(-,x(-)) - суперпозиция отображений coF : [a, 6] xi?n сотр[Яп] ((coF)(*,s) = со(F(t,x))) и х : [a, b]Rn;

К ([а, 6] х [0, оо)) - множество всех функций rj : [a, b] х [0, оо) —> [0, сю), обладающих следующими свойствами: при каждом 5 Е [0, сю) функция 77(-,5) измерима; для каждого 5 Е [0,оо) существует такая суммируемая функция

§ : [а, 6] [0, оо), что при почти всех t Е [а, Ь] и всех т Е [0,5] выполняется неравенство r)(t,r) ^ m&{t)\ при почти всех t Е [a, Ь] справедливы равенства lim r}(t,6) = 0 и r/(t, 0) = 0; K([a,b] x [0, оо)) С K([a,b] х [0, оо)) - множество всех функций г? : [a, 6] х [0, оо) —> [0, оо), обладающих свойством: для любого 6^0 найдется число (3s что при почти всех t Е [о,Ь] и всех т Е [0,5] выполняется неравенство г)(Ь,т) ^

Ко([а,Ь] х [0,оо)) С K([a,b] х [0, сю)) - множество всех функций г] : [a, b] х [0, оо) —> [0, оо), обладающих свойством: при каждом 5 > О функция г](-,6) непрерывна;

P([a,b] х [0,оо)) С K([a,b] х [0,оо)) - множество всех функций г): [а, Ъ] х [0, оо) —> [0, оо), обладающих свойством: при каждом 5 > О существует такое число г(5) > 0, что при почти всех t Е выполняется неравенство r(<5) ^ rj(t,5)] Р([а, Ь] х [0, оо)) ее К ([а, 6] х [0, оо)) П Р{[а, Ъ] х [0, оо)); К{[0, а;] х [0, оо)) - множество всех функций ц : (—оо, оо) х [0, оо) —> [О,оо), а;-периодических по первому аргументу и на [0,w] обладающих свойствами из класса функций K([a,b] х [0,оо)); I(([0,lo] х [0,оо)) - множество всех функций ту : (-00,00) х [0,оо) —> [О,оо), а;-периодических по первому аргументу и на [0,би] обладающих свойствами из класса функций К([а}Ь] х [0, оо)); Ifo([0,o;] х [0, оо)) - множество всех функций rj : (—00,00) х [0, оо) [О, оо), со- периодических по первому аргументу и на [0,w] обладающих свойствами из класса функций Ko([a,b] х [0,оо)); P([0,u;] х [0, оо)) - множество всех функций 77 : (—00,00) х [0, оо) —> [О,оо), со- периодических по первому аргументу и на [0,с^] обладающих свойствами из класса функций Р([а,Ь] х [0, оо)); ■ - конец доказательства.

В последние годы дифференциальные включения привлекают к себе все больший интерес. Это обусловлено широким использованием дифференциальных включений в прикладных задачах, задачах оптимального управления, теории игр, математической экономике. Дифференциальное включение можно рассматривать как формальное обобщение дифференциального уравнения, когда правая часть заменена на многозначное отображение. Поэтому для дифференциальных включений возникают задачи, аналогичные задачам из теории дифференциальных уравнений (вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности решений и т.д.). В то же, время ввиду многозначности правой части, дифференциальное включение обладает рядом специфических свойств. Это вопросы замкнутости, выпуклости семейства решений, выбор решений с заданными свойствами, связь множеств решений дифференциального включения, не обладающего свойством выпуклости значений правой части, во множестве решений "овыпук-ленного" включения, представление множеств приближенных решений, устойчивость множеств решений к различного рода возмущениям и т.д. (см., например, [4], [22]-[27], [68], [69]). Это подтверждает, что дифференциальные включения не являются лишь формальным обобщением дифференциальных уравнений, а представляют собой самостоятельную теорию, имеющую свои особенности и требующую принципиально новых методов исследования.

Дифференциальные включения изучали и продолжают изучать многие математики. Основоположниками этой теории являются А. Marchaud (Маршо) [111] и S. Zaremba (Заремба) [120]. Важный вклад в развитие дифференциальных включений внесен работами Н.В. Аз-белева, Ю.И. Алимова, Е.А. Барбашина, В.И. Благодатских, В.Г. Болтянского, Ю.Г. Борисовича, А.И. Булгакова, Е.А. Ганго, Б.Д.Гельмана, С.Т. Завалищина, А.Е. Ирисова, А.Ф. Клейменова, Б.Г. Колмановского, Н.Н. Красовского, А.Б. Куржанского , JI.H. Ляпина, А.Д. Мыш-киса, М.С. Никольского, В.П. Носова, В.В. Обуховского, В.А. Плотникова, А.И. Поволоцкого, Е.С. Половинкина, JI.C. Понтрягина, С.Н. Слугина, В.И. Сумина, С.И. Суслова, Л.И. Ткача, А.А. Толстоного-ва, B.C. Тонковой, Е.Л. Тонкова, Т.Ф. Филипповой, А.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, В.З. Цалюка, А.Г. Ченцова, П.И. Чугунова, Н.А. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, F.S. De Blasi, H. Frankovska, A. Fryskowski, H. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi, A. Lasota, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papargeorgiou, G.Pianigiani, A.Plis, A.Turowicz, A.Wazewski, P.Zecca и др.

В предлагаемой диссертации рассматриваются дифференциальные включения x{t) eF(t,x(t)), te [а, Ь], (1) i(t)e соF(t,x(t)), t£[a,b], (2) где отображение F : [a, b] х Rn —> comp[i?"j удовлетворяет условиям Каратеодори, а также дифференциальное включение с внешними возмущениями (глава 1) i(t)e(F(t:x(t)))^>s\te[a,bl (3) где функция ??(•,•) € K([a,b] х [0, сю)) (см. Основные обозначения) определяет радиус внешних возмущений, и дифференциальное включение с внутренними и внешними возмущениями (глава 3) x(t) Е (F(t,B[x(t),m(t,5)}))rt>s\te [аЛ (4) где функция ?7о(', *) £ K([a,b] х [0, оо)) (см. Основные обозначения) определяет радиус внутренних возмущений, а функция ??(•,•) £ К([а,Ь] х [0, сю)) определяет радиус внешних возмущений. Под решением включения (1) или (2) понимается абсолютно непрерывная функция х : [а,Ь] —у Rn при почти всех t £ [а,Ь] удовлетворяющая включению (1) или (2). Каждое решение дифференциального включения (3) или (4) при фиксированном 5 > 0 называется 5-решением дифференциального включения (1) и определяется аналогично.

Задачи, связанные с "возмущенными" дифференциальными включениями (3) и (4) возникают в различных приложениях, например, когда значения многозначного отображения F : [а, 6] х Rn —> сотр[Дп] или значения решения х : [а,Ь] —» Rn дифференциального включения известны с некоторой степенью точности (погрешностью), которая определяется rj(t,8)- окрестностью значений отображения F(v) или Vo{t: -окрестностью значений решений я(-). Причем эти погрешности равномерны относительно фазовой переменной х £ Rn. В связи с этим изучение дифференциальных включений (3) и (4) приобретает особую актуальность и представляет не только теоретический, но и практический интерес.

В работах [4], [5], [80], [89], [90], [93], [115], [116] для задачи Коши показано, что если отображение F : [a, b] х Rn comp[.Rn] удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу или расстояние по Хаусдорфу между значениями многозначного отображения оцениваются функцией Камке, то замыкание в пространстве непрерывных функций множества решений включения (1) совпадает с множеством решений "овыпукленного" дифференциального включения (2). В общем случае такого равенства может и не быть. Подтверждением этому служит пример А. Плиса (A.Plis) [117], [90] (см. ниже). Данная работа посвящена исследованию структуры множества решений "овыпукленного" включения в общем случае. В ней доказывается, что, если функция ??(•,•) 6 K([a,b] х [0,оо)) в дифференциальных включениях (3) и (4) равномерно на заданном множестве V С Сп[а,Ь] оценивает сверху модуль непрерывности многозначного отображения F : [а, 6] х Rn —> comp[i?n] или отображения jFo : [a, b] x Rn x [0, oo) —> сотр[Лп], определенного равенством

F0(t,x,8) = F(tyB[x,m(t,5)]), (5) относительно некоторого радиуса непрерывности (определение см. ниже), то пересечение замыканий в пространстве непрерывных функций множеств приближенных решений (^-решений) совпадает с множеством решений "овыпукленного" дифференциального включения (2). В работе доказано, что если многозначное отображение F : [а, 6] х Rn —> comp[i?n] удовлетворяет условиям Каратеодори, то найдется хотя бы одна функция ??(•,•) 6 K([a,b] х [0,сю)), которая равномерно на заданном множестве V оценивает сверху модуль непрерывности отображения F(-,') или Fo(-,-,-) относительно некоторого радиуса непрерывности. Этим вопросам посвящены первая и третья главы диссертации. Отметим, что результаты первой и третьей главы существенно расширяют границы представления множества решений "овыпукленного" дифференциального включения и представляют собой усиление и уточнение результатов А.И. Булгакова, Л.И. Ткача [20], [21], [22], [23], [25], [26], Н. Hermes [107], [108] и продолжают исследования, опубликованные в работах [24], [27], [28].

На упомянутые выше утверждения опирается изучение проблемы устойчивости множеств решений дифференциального включения (не обладающего свойством выпуклости правой части) к различного рода возмущениям, изложенное в главах 2 и 4. При этом устойчивость множеств решений понимается в естественном смысле, т.е. "небольшие" изменения как самого заранее заданного множества V С Сп[а,Ь], которому принадлежат решения дифференциального включения, так и правой части включения должны "мало" изменять множество решений. Такие задачи представляют особый интерес, поскольку в отличии от дифференциальных уравнений для дифференциальных включений даже незначительные погрешности, вызванные вычислениями значений правой части включения (1), могут существенно изменить множество решений дифференциального включения, определенных даже на конечном отрезке. В работе найдено необходимое и достаточное условие устойчивости множеств решений дифференциальных включений относительно только внешних, а также относительно и внутренних и внешних возмущений. Этим условием является плотность множества решений дифференциального включения (1) с невыпуклой правой частью во множестве решений "овыпук-ленного" включения (2) (определение см. ниже).

Вышеописанные результаты далее применяются для исследования свойств периодических и двухточечных краевых задач. Полученные утверждения дополняют результаты работ А.Е. Ирисова, E.JI. Тонкова [42], A. Bressan, G. Colombo [98].

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая глава посвящена изучению дифференциальных включений с внешними возмущениями. В §1.0 приводятся некоторые общие сведения из теории многозначных отображений и теории дифференциальных включений, а также вводятся понятия модуля непрерывности отображения F : [а, Ь) х Rn —»• сотр[йп], радиуса непрерывности и формулируется основное определение равномерной оценки сверху модуля непрерывности многозначного отображения F : [а, Ь] х Rn —> сотр[Дп] относительно заданного радиуса непрерывности.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально- дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Барбашин Е.А. Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений // Изв. ВУЗов. Сер. матем., 1962, N1. С.3-13.

3. Благодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений // Summer School on Ordinary Differential Equations. Czechoslovakia, Brno, 1974. Part И. P.26-67.

4. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Часть I. М.: Изд-во МГУ, 1979.

5. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т.169. С.194-252.

6. Борисович Б.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Многозначные отображения // Итоги науки и техники. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т.19. С.127-231.

7. Борисович Б.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. 103 с.

8. Булгаков А.И. К вопросу о свойствах множеств решений дифференциальных включений // Дифференц. уравнения, 1976. Т.12, N6. С.971-977.

9. Булгаков А.И. О существовании обобщенного решения функционально-интегрального включения // Дифференц. уравнения, 1979. Т.15, N3. С.514-520.

10. Булгаков А.И. Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами // Дифференц. уравнения, 1981. Т.17, N8. С.1362-1374.

11. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений с невыпуклыми образами и функционально-дифференциальные включения // Дифференц. уравнения, 1986. Т.22, N10. С.1659-1670.

12. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальное включение с оператором, имеющим невыпуклые образы // Дифференц. уравнения, 1987. Т.23, N10. С.1659-1668.

13. Булгаков А.И. К вопросу существования непрерывных ветвей у многозначных отображений с невыпуклыми образами в пространствах суммируемых функций // Матем. сб., 1988. Т.136, N2. С.292-300.

14. Булгаков А.И. Усреднение функционально-дифференциальных включений // Дифференц. уравнения, 1990. Т.26, N10. С.1678-1690.

15. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью // Дифференц. уравнения, 1990. Т.26, N11. С.1872-1878.

16. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений с невыпуклыми образами и функционально-дифференциальные включения // Матем. сб., 1990. Т.181, N11. С.1427-1442.

17. Булгаков А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Матем. сб., 1992. Т.183, N10. С.63-86.

18. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств 5-решений включения типа Гаммерштейна // Вестн. Тамб.ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т.2. Вып.З. С.294-298.

19. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб., 1998. Т.189, N6. С.3-32.

20. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Асимптотическое представление множеств приближенных решений дифференциальных включений // Вестн. Тамб.ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1998. Т.З. Вып.4. С.394-400.

21. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Изв. ВУЗов. Мат., 1999. N3. С.3-16.

22. Булгаков А.И. Асимптотическое представление множеств скрещений дифференциального включения // Матем. заметки, 1999. Т.65, N5. С.775-778.

23. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений // Вестн. Тамб.ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1999. Т.4. Вып.4. С.461-469.

24. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36. N 12. С.1587-1598.

25. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. О необходимых и достаточных условиях устойчивости дифференциальных вклю154чений // Материалы симпозиума "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках". Воронеж, 2000. С.38.

26. Данфор Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 с.

27. Демидович Б.П. Лекции по теории математической устойчивости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. 480 с.

28. Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Дифференциальные включения с полунепрерывным снизу радиусом внутренних возмущений // Тезисы докладов. Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 1999. С.89.

29. Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Устойчивость пеиодических и двухточечных краевых задач относительно внешних возмущений // Вестн. Тамб.ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 2000. Т.5. Вып.4. С.445-446.

30. Завалищин С.Т. Об одном способе оптимального синтеза при неизвестных возмущениях // Труды ин-та матем. и механ. Уральск, науч. центр АН СССР, 1979. Вып. 32. С.45-70.

31. Завалищин С.Т. Устойчивость обобщенных процессов. I, II // Дифференц. уравнения, 1966. Т.2, N7. С.872-881; 1967. Т.З, N2. С.171-179.

32. Завалищин С.Т. Формула Коши для линейного уравнения общего вида в обобщенных функциях // Дифференц. уравнения, 1973. Т.9, N6. С.1138-1140.

33. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

34. Ирисов А.Е., Tohkob E.JI. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения //В сб. "Дифференц. и интеграл, уравнения". Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С.32-38.

35. Канторович JI.B., Акилов Г.Н. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

36. Клейменов А.Ф. Задачи конфликтного управления. ПММ, 1975, 39. N2.

37. Клейменов А.Ф. Равновесные коалиционные контрстратегии в дифференциальных играх многих лиц. ПММ, 1982, 46. N5.

38. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

39. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

40. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 520 с.

41. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104 с.

42. Куратовский К. Топология. T.l. М.: Мир, 1966.

43. Куратовский К. Топология. Т.2. М.: Мир, 1969.

44. Куржанский А.Б. О существовании решений уравнений с последействием // Дифференц. уравнения, 1970. Т.6, N10. С.1800-1809.

45. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

46. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. On the set-valued calculus in problems of viability and control for dynamic processes: The evolution equation // Ann. Ynst. H.Poincare, 1989. V.6. Suppl. P.339-363.

47. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

48. Натансон И.Т. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

49. Никольский М.С. Одно замечание к лемме Филиппова // Вестн. МГУ. Вычисл. мат. и кибернет., 1982, N2. С.76-78.

50. Никольский М.С. Дифференциальные включения в вариациях для дифференциального уравнения с негладкой правой частью // Докл. по мат. и ее прил. Изд-во МИАН СССР, ТулПИ, 1988. Т.2, N2. С.197-207.

51. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

52. Панасенко Е.А. О свойстве множеств решений дифференциального включения с внутренними возмущениями // Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов "Державинские чтения-Ш". Тамбов, 1998. С.26-27.

53. Панасенко Е.А. Асимптотическое представление множества периодических решений дифференциального включения // Материалы научной конференции молодых ученых "Державинские чтения-IV". Тамбов, 1999. С.3-5.

54. Панасенко Е.А. Асимптотическое представление множества решений двухточечной краевой задачи дифференциального включения // Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов "Державинские чтения-IV". Тамбов, 1999. С. 10-12.

55. Панасенко Е.А. Об устойчивости дифференциальных включений относительно внутренних и внешних возмущений // Материалы научной конференции преподавателей и аспирантов "Державинские чтения-V". Тамбов, 2000. С.7.

56. Плотников В.А. Метод усреднения для дифференциальных включений // Дифференц. уравнения, 1979. Т.15, N8. С.1427-1433.

57. Плотников В.А., Зверкова Т.С. Метод усреднения для систем стандартного вида с разрывными правыми частями // Дифференц. уравнения, 1982. Т.18, N6. С.1091-1093.

58. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. Периодические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Учен, записки. Ленингр. пед.ин-т им. Герцена, 1970. Т.464. С.235-242.

59. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. О периодических решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Учен, записки. Ленингр. пед. ин-т им. Герцена, 1972. Т.541. С.145-154.

60. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений. М.: МФТИ, 1982.

61. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамирелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимального управления. М.: Наука, 1961.

62. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

63. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999. 368 с.

64. Сумин В.И. Об устойчивости существования глобального решения первой краевой задачи для управляемого параболического уравнения // Дифференц. уравнения, 1986. Т.22, N9. С.1587-1595.

65. Сумин В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР, 1989. Т.305, N5. С.1056-1059.

66. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть I. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1992. 112 с.

67. Сумин В.И., Чернов А.В. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. N10. С.1402-1411.

68. Суслов С.И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип I. Конечномерный случай // Препр. АН СССР СО Ин-т мат., N11. Новосибирск, 1989. С.14.

69. Суслов С.И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип II. Бесконечномерный случай // Препр. АН СССР СО Ин-т мат., N12. Новосибирск, 1989. С.18.

70. Толстоногов А.А., Чугунов П.И. О множестве решений дифференциального включения банаховом пространстве // Сиб. матем. журн. 1983. Т.24. N6. С.144-159.

71. Толстоногов А.А., Финогенко И.А. О функционально- дифференциальных включениях в банаховом пространстве с невыпуклой правой частью // ДАН СССР, 1980. Т.254, N1. С.45-49.

72. Толстоногов А.А., Финогенко И.А. О решениях дифференциального включения с полунепрерывной снизу невыпуклой правой частью в банаховом пространстве // Матем. сб., 1984. Т.125, N2. С.199-230.

73. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296 с.

74. Тонкова B.C., Тонков E.JI. некоторые свойства усредненных решений системы регулирования с разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения, 1973. Т.9, N2. С.278-289.

75. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестн. МГУ. Сер. математика, механика. 1959. N2. С.25-32.

76. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Матем. сб. 1960. Т.51. N1. С.99-128.

77. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью // ДАН СССР. 1963. Т.151. N1. С.65-68.

78. Филиппов А.Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений // Матем. заметки. 1971. Т.10. N3. С.307-313.

79. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1967. N3. С.16-26.

80. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

81. Цалюк В.З. Об устойчивости по первому приближению дифференциальных включений // Дифференц. уравнения, 1980. Т.16, N2. С.258-263.

82. Цалюк В.З. Возмущения экспоненциально устойчивых дифференциальных включений обобщенными функциями // Матем. физика. Республ. межвед. сборн. Киев, 1980. Вып.28. С.34-40.

83. Чугунов П.И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые сиситемы // Прикл. математика и пакеты прикл. программ, Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980. С.155-179.

84. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360 с.

85. Antosiewicz Н.А., Cellina A. Continuous selections and differential relations //J. Different. Equations. 1975. V.19. N2. P.386-398.

86. Antosiewicz H.A., Cellina A. Continuous extensions of multifunctions // Ann. polon. math. 1977. V.34. N1. P. 108-111.

87. Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems // Boll. Unione Math. Italiana, suppl., 1980. V.l. P.53-59.

88. Bressan A., Colombo G. Boundary value problems for lower semicontinuous differential inclusions // Ref. S.I.S.S.A, 85 M (June 1990), 13 p.

89. Davy J.L. Properties of the solution set of a generalised differential equation // Bull. Austral. Math. Soc.; 1972. T.6, N3. C.379-398.

90. De Blasi F.S., Pianigiani G. A Baire category approach to the existence of solutions of multivalued differential inclusions in Banach Spaces // Funkcial. Ekvac. 1982. V.25. N2. P.153-162.

91. De Blasi F.S., Pianigiani G. Differential inclusions in Banach Spaces // J.Differential Equations. 1987. V.66. P.208-229.

92. De Blasi F.S., Pianigiani G. Non-convex valued differential in Banach Spaces // J. Math. Anal. Appl. 1991. V.157. P.469-494.

93. De Blasi F.S., Pianigiani G. On the density of extremal solutions of differential inclusions // Ann. Polon. Math. 1992. V.56. N2. P. 133142.

94. Frankowska H., Olech Cr. Boundary solutions of differential inclusion // J. Differ. Equat., 1982. V.44, N2. P.156-165.

95. Fryszkowski A. Existence of solutions of functional-differential inclusion in nonconvex case // Ann. pol. math., 1985. V.45, N2. P.121-124.

96. Fryszkowski A. Continuous selections for a class of nonconvex multivalued maps // Studia math., 1983. V.76, N2. P.163-174.

97. Hermes H. The generalized differential equation x E R(t,x) // Advances Math., 1970, V.4, N2, P.149-169.

98. Hermes H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generalized differential equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1971. V.29, N3. P.535-542.

99. Kikuchi N. Control problem of contingent equation // Publ. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., ser. A, 1967. V.3, N1. C.85-99.

100. Lasota A., Opial Z. An application of the Kakutani-Ky Fan theorem in the theory of ordinary differential equations // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. math., astron. et phys., 1965, V.13, N11-12, P.781-786.

101. Marchaud A. Sur les champs continus de demi-cones convexes et leurs integrates // Сотр. Math., 1936, V.3, N1, P.89-127.

102. Olech C. Lexicographical order, range of integrals and "Bang-bang" principle // Mathematical theory of control. N.Y.: Acad press, 1967. P.35-45.

103. Opial Z. Sur l'equation differentielle ordinaire du premier ordre dont le second membre satisfait aux conditions de Caratheodory // Annales polon. math., 1960. V.8, N1. C.23-28.

104. Papargeorgiou N.S. Functional-differential inclusions in Banach spaces with nonconvex right hand side // Funkcial. Ekvac., 1989. V.32. P.145-156.

105. Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations // J. Different. Equations, 1977. V.25, N1. P.30-38.

106. Plis A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys., 1963. V.ll, N6. P.369-370.

107. Plis A. On trajectories of orientor fields // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., 1965. V.13, N8. P.571-573.

108. Turowicz A. Remarque sur la definition des quasitrajectoires d'une system de commande nonlineaire // Bull. Acad. Polon. sci., ser. math., astr., phys., 1963, V.ll, N6. P.367-368.

109. Wazewski A. Sur une generalisation de la notion des solutions d'une equation au contingent // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys., 1962, V.10, N1. P.ll-15.

110. Zaremba S.C. Sur les equations au paratingent // Bull. Sci. Math., 2 ser., 1936. V.60, N5. P.139-160.