Аппроксимация дифференциальных включений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

СКОМОРОХОВ Виктор Викторович

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 2003

Работа выполнена на кафедрах высшей математики Тамбовского государственного технического университета, алгебры и геометрии Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор А.И. Булгаков кандидат технических наук, профессор Н.П. Пучков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. Я. Дерр доктор физико-математических наук, профессор Н.П. Осмоловский

Ведущая организация Институт математики и механики

УрО РАН

Защита состоится "_"_2003 г. в "_" часов на

заседании специализированного совета К 212.275.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Удмуртском государственном университете по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1, корпус 4, ауд._.

Отзывы в двух экземплярах, скрепленные гербовой печатью, просим направлять по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1, корпус 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Удмурского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_2003 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

Н.Н. Петров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ш}

Актуальность темы. Изучению дифференциальных включений посвящены работы многих известных российских и зарубежных математиков. Это связано с тем, что дифференциальные включения являются удобным аппаратом описания многих задач теории управления, теории игр и т. д. Они возникают в ряде задач электродинамики, математической экономики, биологии и т. д. Отметим, что переход от задачи управления к задаче для дифференциального включения связано с теми или иными погрешностями. Они возникают, прежде всего, в связи с тем, что сама математическая модель управления описывает процесс с некоторыми допущениями и предположениями. Кроме того, построение самого многозначного отображения Р: [а, Ь) х х К™ —» сошр[К"], порождающего дифференциальное включение

€= аф)), ¿е[а>6] (1)

и описывающего модель управления, связано с той или иной степенью точности. Поэтому аппроксимация дифференциального включения является актуальной задачей.

Для выпуклозначного отображения ■, •) А.Ф. Филипповым* введено понятие приближенного решения (8-решения) дифференциального включения. Это определение имеет важное значение для изучения дифференциальных включений с выпуклозначной и полунепрерывной сверху правой частью, поскольку пределы сходящихся последовательностей приближенных решений являются решениями.

В то же время для практических задач представляет интерес исследование аппроксимации дифференциального включения не обладающего свойством выпуклости правой части. Этому вопросу посвящена диссертация. Отметим, что в этом случае аппроксимация дифференциального включения с невыпуклой правой частью может быть неустойчивой операцией.

Для исследования аппроксимаций дифференциальных включений, не обладающих свойством выпуклости значений правой части, в настоящей работе рассматривается несколько другое определение понятия приближенного решения, чем решение, предложенное А.Ф. Фи* Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.Петербург -о,

оэ з«Е5

липповым. Отличие от сформулированного здесь и приближенного решения по А.Ф. Филиппову заключается в том, что значения многозначных отображении, определяющие "приближенные дифференциальные включения", не "овыпукляются". Как оказалось, такое определение приближенного решения полезно для исследования аппроксимаций дифференциальных включений с невыпуклой правой частью. Как показано в диссертации, свойства множеств таких приближенных решений дифференциального включения (1) тесно связаны со свойствами решений "овыпукленного" дифференциального включения:

±{t) € coF(t,x(t)), t £ [а,6]. (2)

В работах А.Ф. Филиппова, В.И. Благодатских, G. Pianigiani, П.И. Чугунова, A.A. Толстоногова показано, что если отображение F( ■, - ) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу или расстояния по Хаусдорфу между значениями многозначного отображения F( -, • ) оцениваются функцией Камке, то замыкание в пространстве непрерывных функций множества решений задачи Коши для дифференциального включения (1) совпадает со множеством решений этой задачи для включения (2). В общем случае такого равенства может и не быть. Подтверждением этому служит пример А. Плиса (A. Plis)*. Данная работа посвящена исследованию структуры множества решений "овыпукленного" включения в общем случае. В ней показана связь между множествами решений дифференциальных включений аппроксимирующих дифференциальное включение (1) с различного рода "возмущенниями" и "овыпукленного" дифференциального включения (2).

Этот результат является основой для изучения проблемы устойчивости аппроксимации дифференциального включения (не обладающего свойством выпуклости правой части) к различного рода возмущениям. При этом устойчивость множеств решений понимается в естественном смысле, т.е. "небольшие" изменения как самого заранее заданного множества, которому принадлежат решения дифференциального включения, так и правой части включения должны "мало" изменять множество решений. Такие задачи представля-

*Plis A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field // Bull. Acad. Polon. Sei. Ser. Math. Astr. Phys. 1963. V. 11. № 6. P. 369-370.

ют особый интерес, поскольку даже незначительные погрешности, вызванные вычислениями значений правой части включения (1), могут существенно изменить множество решений дифференциального включения, определенного даже на конечном отрезке. В предложенной работе найдены необходимое и достаточное условия того, что аппроксимация дифференциального включения является устойчивой относительно различного рода возмущений. Этим условием является плотность множества решений дифференциального включения (1) с невыпуклой правой частью во множестве решений "овыпукленно-го" включения (2) (это свойство в диссертации названо принципом плотности).

Полученные в диссертации результаты представляют собой продолжение результатов работ А.И. Булгакова, Л.И. Ткача, A.A. Ефремова, Е.А. Панасенко, Н. Hermes, а также дополняют результаты работ А.Е. Ирисова, E.JI. Тонкова, А.Ф. Филиппова, A. Bressan, G. Colombo, G. Pianigiani и др.

Цель работы. Целью работы является изучение свойств множеств решений "возмущенных" аппроксимирующих дифференциальных включений (множеств приближенных решений включения (1)), а также вопросов устойчивости аппроксимации дифференциального включения (1) относительно различного рода возмущений.

Общая методика исследования. Поставленные в диссертации вопросы исследуются с применением методов функционального анализа, теории функций вещественной переменной, дифференциальных уравнений и включений, теории многозначных отображений.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. В работе доказаны теоремы о представлении множеств решений "овыпукленного" дифференциального включения (2) и множеств решений дифференциальных включений аппроксимирующих дифференциальное включение (1) с внешними, внутренними и внешними возмущениями. Таким образом, расширяется представление множеств решений "овыпукленного" дифференциального включения. Получено необходимое и достаточное условие устойчивости аппроксимации дифференциального включения к различного рода возмущениям. Полученные результаты применены затем к изучению свойств периодических и многоточечных краевых задач.

Апробация диссертации. Работа выполнена при финансовой поддержке Минобразования РФ (грант № Е02-1.0-212) и Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 01-01-00140).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: научных конференциях "Державинские чтения - VII, VIII" (Тамбов, 2002, 2003), Воронежских весенних математических школах "Понт-рягинские чтения - XII, ХПГ' (Воронеж, 2001, 2002), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2001, 2003), 11-й Саратовской зимней ппсоле "Современные проблемы теории функций и их прило-женщ" (Саратов, 2002), Всероссийской конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения" (Рязань, 2001), Втором Международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (Москва, 2002), Тамбовском городском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям и включениям под руководством профессора А.И. Булгакова (1999-2002), научной конференции "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике" (Тамбов, 2000), Международной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики", посвященной 100-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова (Тамбов, 2003), Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора E.JI. Тонкова (2003).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в тринадцати публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 112 страниц состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка, состоящего из 111 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В автореферате используются следующие обозначения. Пусть К" - пространство n-мерных вектор-столбцов с нормой | ■ |; comp[R"] - множество всех непустых, ограниченных, замкнутых подмножеств пространства М"; В[и,г\ - замкнутый шар пространства К" с центром в точке и и радиусом г. Пусть Fcl". Обозначим

через V замыкание множества V, соУ выпуклую оболочку множества V; Vе = ииеУВ[и,е1 (е ^ 0).

Пусть /г[ •, • ] - хаусдорфово расстояние между множествами, содержащимися в пространстве М".

Обозначим Сп[а, Ь] - пространство непрерывных функций х: [а, 6] -»К" с нормой ||о:||с = тах{|я:(£)| : £ е [о, 6]}; Г>п[а, 6] - пространство абсолютно непрерывных функций х: [а, 6] —» К™ с нормой

Md = |®(а)| +

ri>

|i(s)jds; Ln[a,b] - пространство суммируемых по

гЬ

Лебегу функций х: [а, Ь] —» Еп с нормой |[xj!= \x(s)\ds.

Ja

Обозначим через К ([а, 6] х К" х [0, оо)) множество всех функций т): [а, 6] х R™ х [0, оо) —* [0, оо), обладающих следующими свойствами:

а) при каждых (х, Б) S Rn х [0, оо) функция т)( •, х, 8) измерима;

б) при почти всех t £ [а, 6] и всех 8 € [0, оо) функция т)(t, -, 8) непрерывна;

в) для каждых U 6 comp[Rn] и 8 € [0, оо) существует такая суммируемая функция ту,s: [о, Ь] —> [0, оо), что при почти всех t б [а, Ь] и всех х б U и т е [0,8] выполняется неравенство т)(*,х,т) ^ my,5(t);

г) при почти всех t € [а, Ь] и каждого х € R™ вьшолняются равенства lim5 Tj(t, z, 8) = T)(t, x, 0) =- 0.

Если для каждого U £ comp[Rn] н 8 £ [0, оо) найдется такая функция т[/,&(-), определяющая множество ÜT([a, 6] xR"x [0. оо)), что она представляет собой константу, то множество таких функций Т](-, •) € К ({а, Ь] хГ х [0, оо)) обозначим через K([a,b] xl" х х [0, оо)).

Обозначим через Р([а, Ь] х К" х [0, оо)) множество всех функций Т): [а,6] xl" х [0,со) —> [0,оо), обладающих свойствами из класса функций К([а, Ь] xRn х [0, оо)), а также удовлетворяющих следующим условиям: для каждых U 6 comp[Rn] и 8 € (0. оо) найдутся такие числа r(U, 8) > 0 и ¡3(1/, 8) ^ 0, что при почти всех t б [а, Ь\ и всех х £ U число r(U, 8) удовлетворяет неравенству r(Z7,8) ^ r)(i, х, 8), а для числа ß(U, 8) при почти всех t 6 (а, 6], всех х G U и х 6 [0,8] имеет место оценка i)(t, х, х) ^ ß(Z7,8).

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследования и дан краткий обзор основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена изучению аппроксимации дифференциального включения с внешними возмущениями.

В данной главе вводятся основные определения и вспомогательные утверждения, используемые в диссертации, а именно понятие аппроксимации и модуля непрерывности многозначного отображения.

Будем говорить, что многозначное отображение F: [а, Ъ] х К" х х [0, оо) —> comp[Kn] аппроксимирует отображение F: [a, b] х К" —» —► comp[Rn], если найдется такая функция ■, -, •) € К ({а, Ь] х R™ х х [0,оо)), что при почти всех t <Е ¡о, 6] и всех (х, S) € R" х [0,оо) выполняется оценка

h[F{t, х), Fit, х, 8)] < х, 8). (3)

Отображение F( ■, •, •) будем называть аппроксимирующим отображение F(-, ■) или просто аппроксимирующим. Функция <;( ■, •, •) б £ К(\а, Ь] х R" х [0, оо)) в неравенстве (3) определяет степень близости значения F(t, х, 8) в точке (t, х) € [a, b] х Rn к значению F(t, х) для каждого фиксированного 8 G [0, оо). Эту функцию •, •, •) будем называть степенью аппроксимации отображения F: [a, b] х К" —> —> comp[R"] отображением F: [я, ft] х К" х [0,оо) —» comp(IR'1] или просто степенью аппроксимации. Будем считать, что F{ ■, -, •) определяет способ или метод аппроксимации отображения F( ■, •). Пару (F( •, •,'•),(;(•, •, •)) будем называть аппроксимацией отображения F(-, •), а если при почти всех t G [й, 6] и всех (х, 8) € Mn х [0, оо) выполняется включение F(t,x) С F(t,x, 8), то аппроксимацией вложением.

Пусть ф(-, •, •) € К{[а,Ь] хРх [0,оо)). Определим функцию !

<р(ф): [а, 6] х К" х [0, оо) -» [0, оо) равенством

<p(<j>)(i,:c,8) = sup hiF&x^Ffry)}. (4)

г/бВ[х,Ф(м,8)|

Значения функции <р(ф)( •,•,•) в точке {£, х, 8) будем называть модулем непрерывности отображения F: [a,b] xl" -) comp[Rn] б точке (t,x) по переменной х в шаре В[х, ф(£, х, 8)], функцию ф( •, •, •) -

функцией радиуса модуля непрерывности или просто радиусом непрерывности, а саму функцию ср(ф)(-, •, •) - функцией модуля непрерывности или просто модулем непрерывности отображения -Р: \а,Ь] х К" —» сотр[Кп] относительно радиуса непрерывности

Лемма 1.0.3. * Пусть ф( •,-,-) € К {[а, Ь]хГ х [0, оо)). Тогда функция ф(ф)(-, - , •), определенная равенством (4), принадлежит множеству К([а,Ь] х Е" х [0,оо)).

В первом параграфе первой главы рассматривается для каждого 5 € [0, оо) дифференциальное включение, аппроксимирующее дифференциальное включение (1) с внешними возмущениями,

¿€М, (5)

где отображение <2,,: [а, 6] х К" х [0, оо) —» сотр[Кп] задано равенством

= (6)

а функция т)( •, -, •) € К([а, 6] х Мп х [0, оо)) задает соответственно радиус внешних возмущений аппроксимирующего отображения Р(- ,-,■). В данном параграфе изложены основные теоремы о представлении множеств решений дифференциального включения (5). Показана связь между множествами решений дифференциальных включений (2) и (5). Под решением включения (1), (2), (5) понимается абсолютно непрерывная функция .т: [а,Ь] —> К" при почти всех 4 6 [а, 6] удовлетворяющая включению (1), (2), (5), соответственно. Каждое решение дифференциального включения (5) будем называть (по аналогии с А.Ф. Филипповым) 8-решением дифференциального включения (1).

Пусть V С Сп[а,Ь]. Обозначим через Н(У), Нсо{У) множества решений дифференциальных включений (1) и (2), соответственно, принадлежащих множеству V, а через Н^^У) - множество всех 8-решений дифференциального включения (1), принадлежащих множеству V.

'Нумерация теорем и лемм в автореферате совпадает с нумерацией теорем и лемм в диссертации.

Следует отметить, что поскольку отображение F: [а,, 6] х Е" —» —» comp[R™] удовлетворяет условиям Каратеодори, то согласно работам А.Ф. Филиппова, H.A. Antosiewicz, А. Cellina, множество решении дифференциального включения (1) непусто.

Отметим также, что здесь исследование проводится на основе свойств квазирешений дифференциальных включений. Понятие квазирешения (квазитраектории) дифференциального включения впервые было введено Важевским (Т. Wazewski).

Определение. Абсолютно непрерывная функция х: [а, 6] —> R" является квазирешением включения (1), если найдется такая последовательность абсолютно непрерывных функций хг: [а,Ь] —> К™,г — = 1,2..., обладающая свойством: хг( ■) —> х( ■) в Сп[а, 6] при г — > оо; для любого i = 1,2... и при почти всех t £ [а, 6] выполняется включение

i,(t) € F{t,x{t)).

Для любого множества V с Сп[а,Ь] через U(V) С Кп обозначим множество

U(V) = {хёГ:3 y(-)€V,te[a,b)x = y(t)}.

Теорема 1.1.1. Пусть V С Сп[а,Ь] - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а, 6] и пусть ф( -,-,■) G Р([а, b\ х IRrl х х [0, оо)). Далее, пусть пара (F( •, •, •), <;( •, •, •)) аппроксимирует отображение F( ■, ■). Тогда для любой функции ?](•,•,•) £ К([а, b] х х R" х [0, со)), для которой существует такое число г > Ü, что при почти всех i £ [а, 6], всех х £ (U(V)Y и S £ [0,оо) имеет место неравенство

5(t, S) + <р(ф)(*, х, 8) ^ т](i, х, 8), (7)

где <р(ф)( -,-,•)- модуль непрерывности, а •, •, •) - степень аппроксимации отображения F( ■, •), выполняется соотношение

Hco(V) = П Я,(8)(F5), (8)

6>0

где Нф)(У6) - замыкание в пространстве Сп[а,Ь] множества УЬ - замкнутая в пространстве Сп[а,Ь] 8-окрестность множества V.

Если пара (F(-, - , • )•, - , ■)) аппроксимирует отображение F : [а, Ъ\ х Rn —* comp[Rn] вложением, теорему 1.1.1 можно уточнить.

Теорема 1.1.2. Пусть V — ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а, Ь] и пусть ф( -, - , • ) € Р{[а, Ь] x®.n х [0, оо)). Далее, пусть пара (F( •, - , -),<;(•, - , •)) аппроксимирует отображение F( ■, • ) вложением. Тогда для любой функции т|( ■, •, • ) € 6 К([а,Ь] х S" х [0, оо)), для которой существует такое число е > 0. что при почти всех t G [а, Ь], всех х € (U{V)Y u S G [0,оо) выполняется оценка

ср(ф)(г,х,8) ф,х,Ь), справедливо равенство (8).

Полученные результаты используются в параграфе 1.2 для исследования аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач.

Отметим, что не всегда множество решений дифференциального включения (1) плотно во множестве решений включения (2). Утверждение теоремы 1.1.1 вместе с примером Плиса (A. Plis) устанавливают, что, если правая часть дифференциального включения (1) не обладает свойством выпуклости, аппроксимация дифференциального включения (1), вообще говоря, может и не быть устойчивой, т. е. "небольшие" изменения правой части включения (1) могут существенно изменить множество решении включения (1). Кроме того, левую часть оценки (7) при заданном радиусе непрерывности ф(-, - , •) £ Р([а,Ь] х R" х [0,оо)) и произвольной степени аппроксимации ç( ■, - , • ) можно рассматривать как оценку "грубости измерений" аппроксимирующего отображения F( ■, - , • ), за границей которой нарушается устойчивость множества решений дифференциального включения (1), если замыкание множества решений включения (1) не совпадает с множеством решений включения (2).

Таким образом, сведения изложенные в главе 1, являются основой для изучения вопроса устойчивости аппроксимации дифференциальных включений к внешним возмущениям. Этому вопросу посвящена глава 2. В параграфе 2.1 вводятся понятия устойчивости аппроксимации дифференциального включения относительно внеш-

них возмущений и принципа плотности дифференциального включения, а также формулируются необходимые и достаточные условия устойчивости аппроксимации дифференциального включения относительно внешних возмущений из различных классов функций.

Для каждой функции т)( •, •, •) £ К ([а, 6] х К" х [0, оо)) многозначное отображение : [а, 6] х Rn х [0, оо) —> comp[Mn], определяющее включение (5), задано равенством (6) и при почти всех t £ [а, Ь\ и всех х £ Кп обладает свойством

lim ft[Q,(i,®,8)1F(t,x)]=0, (9)

о—+0+0

т. е., все отображения Q7)( -,-,•), определенные равенством (6) и зависящие от функции т)( •,-,-) £ К ([а, Ь] х R" х [0, со)) и параметра 8 £ [0, оо), "близки" (в смысле равенства (9)) к отображению F( •, •), порождающему включение (1). Поэтому естественно возникает вопрос: при каких условиях справедливо равенство

яМ^П'«175) (10)

8>0

для любой функции т)( -,-,•) € if([a, b] х Rn х [0, оо))?

Будем говорить, что аппроксимация дифференциального включения (1) устойчива на ограниченном замкнутом множестве V С С Сп [а, bj относительно внешних возмущений из класса К ({а, b] х Rn х х [0, оо)), если для любой функции к)( •, •, •) £ К{[а, 6] х R" х [0, оо)) выполняется равенство (10).

Будем говорить, что для дифференциального включения (1) на множестве V С Сп[а,Ь\ выполняется принцип плотности, если справедливо равенство

ЩУ) = Hco(V). (11)

Теорема 2.1.1. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,6]. Пусть пара (F( ■, •), •, •)) аппроксимирует отображение F( -, •). Тогда для того, чтобы для любой функции т)( •, •, •) £ К([а, Ь] х R" х [0, оо)) при почти всех t £ £ [а, 6] и всех (х, 8) £ U(V) х [0, оо), удовлетворяющей соотношению \(t,x,b) T)(i,x, 8), аппроксимация дифференциального включения (1) била устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы для включения (1) на множестве V выполнялся принцип плотности.

Если пара (F(•,•,•)>?(', )) аппроксимирует отображение F: [а, 6] xR"-t comp[R™] вложением, теорему 2.1.1 можно уточнить.

Теорема 2.1.2. Пусть V - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а, 6]. Далее, пусть пара (F( ■, - , - )Д( ■, - , • )) аппроксимирует отображение F{ ■, ■) вложением. Тогда для того, чтобы для любой функции т)( -, - , • ) S К([а. Ь] хKn х [0, оо)) аппроксимация дифференциального включения была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для включения (1) на множестве V выполнялся принцип плотности.

Таким образом, из теорем 2.1.1 и 2.1.2 следует, что аппроксимация дифференциального включения (1) устойчива на ограниченном замкнутом множестве из С" [а, 6] относительно внешних возмущений из класса К{[а, Ъ\ х Rn х [0, оо)) только в том случае, когда отображение F{ ■, - ) либо имеет выпуклые образы, либо, когда для включения (1) на этом множестве выполняется принцип плотности (равенство (11)). Последнее, как подтверждает пример Плиса (A. Plis), для дифференциальных включений выполняется далеко не всегда.

В параграфе 2.2 рассмотрены вопросы устойчивости аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач.

Глава 3 посвящена изучению аппроксимации дифференциального включения с внутренними и внешними возмущениями.

Рассмотрим для каждого 8 € [0, оо) дифференциальные включения

x{t)&Qw{t,x{t),8), te [а,6], (12)

где отображение Q,or): [а, Ь] хРх [0, оо) —» comp[Rn] определено равенствами

F0(i,x,8) = F(i, S[x,r)o(i,a;,8)],8),

Будем считать, что функции т)о(-,-,-) G K([a,b] х Rn х х [0, оо)), r)(-, - , •) S АГ([а, 6] х К" х [0,оо)) задают соответственно радиус внутренних и внешних возмущений аппроксимирующего отображения F( •, - , • ).

В параграфе 3.0 сформулированы основные свойства многозначного отображения Fq: [а, 6] х Rn х [0, оо) —» comp[Rn]. Пусть

7)о( -,-,•) е К([а,Ь] хГх [0, оо)). По функции £( •,•,•) € К{[а, Ь] х хГх [0, оо)), определим функцию 5(т)0): fa, 6] х К" х [0, оо) -> [0, оо) равенством

5(T|o)(i,®,$)= sup l(t,z, S). (13)

r6B[x,4o(t,®.S)]

В параграфе 3.1 изложены утверждения о представлении множеств решений аппроксимирующих дифференциальных включений с внутренними и внешними возмущениями.

Пусть V С Сп[а, 6]. Через -йГ71о(8)т|(8)0/') обозначим множество решений дифференциального включения (12), с заданными радиусами внутренних и внешних возмущений, принадлежащих множеству V.

Теорема 3.1.1. Пусть V С С" [a, Ь\ - ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а,Ь} и пусть ф(-, -, •) £ Р([а,6] х хГ х [0,оо)), к}о(•,•>•) £ К([а,Ь] xR"x [0,оо)). Далее, пусть (F( -,-,•), -)) аппроксимирует отображение F( ■, •). Тогда

для любой функции Т)(-, •, ■) € K({a,b] хГх [0,оо)), для которой существует такое число е > 0, что при почти всех t £ [а, Ь], всех х £ {U(V)Y и 8 £ [0, оо) имеет место неравенство

5(т)о)(t,х, 8) + cp(T]o)(i, х, 8) + <р(ф)(*, х, 8) ф,х, 8),

где функция ^(т]о)( •,•,•) определена равенством (13), <р( •)(•, •, •) -модуль непрерывности отображения F( •, •) относительно радиусов непрерывностит)о( -,-,-) и ф( •,•,•), выполняется соотношение

Hco(V) = П Я„о(5)1)(5)(^), &>0

где _ замыкание в пространстве Сп\а, Ь] множе-

ства -^т)0(5)т1(8- замкнутая в пространстве Сп[а,Ь] Ь-окрестность множества V.

В параграфе 3.2 рассматриваются вопросы аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач дифференциальных включений с внутренними и внешними возмущениями.

В параграфе 3.3 содержатся сведения о некоторых особенностях, свойственных аппроксимации дифференциальных включений с внут-

ренними и внешними возмущениями. А именно, изучается дифференциальное включение для каждого фиксированного 8 > О

i(i)e®w(i,s(i),8), teM], (14)

в котором отображение Фт,ц7): [а, Ь] х Жп х [0, оо) —> comp[Rn] определено равенствами

Ф(*, х, 8) - Set (со F(t, х, 8)), Ф^.аг.в) = (Ф(£, В\х,T)o(i,х, 8)],

где ext (•) - замыкание множества крайних точек соответствующего множества.

Пусть V С Сп[й, Ь]. Обозначим через -?Л)0(5)т)(5) ~ множество всех решений включения (14), принадлежащих множеству V при фиксированном 8 > 0.

Следует отметить, что имеют место включения H^^^^V) С с Що(ЪЫЪ){У)-

Скажем, что отображение F{ •, •, ■) удовлетворяет условиям Ка-ратеодори, если для любых (х, 8) € К™ х [0, со) F( ■, х, 8) измеримо и при почти всех t Е [а, 6], всех 8 € [0, оо) F(t, ■, 8) непрерывно.

Теорема 3.3.2. Пусть V - замкнутое множество пространства Сп[а, Ъ), т)о( •,■,•)€ Р([а, b\ х К" х [0, оо)). Далее, пусть пара (F( •, •, •),%(■, -, •)) аппроксимирует отображение F( ■, •) вложением и F(-, -, ■) удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда для любой функции т)( •,-,-) £ К ([а, 6] х R™ х [0, оо)) справедливы равенства _

Hco{V) = П Ж^^) - П 8>0 8>0

где ii4o(8)ij(5)(^'5) ~ замыкание в пространстве Сп[а,Ь] множества Щ0(ЬЫЬ)(У5).

Сведения, изложенные в параграфе 3.3 используются в параграфе 3.4 для изучения структуры множеств решений периодических и многоточечных краевых задач дифференциальных включений с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений.

Глава 4 посвящена проблеме устойчивости аппроксимации дифференциальных включений к внутренним и внешним возмущениям. В параграфе 4.1 изложены понятия устойчивости и устойчивости по начальным условиям аппроксимации дифференциальных включений относительно внутренних и внешних возмущений из разных классов функций, аналогичные соответствующим понятиям, приведенным в главе 2. Доказан необходимый и достаточный признак устойчивости аппроксимации дифференциальных включений с внутренними и внешними возмущениями. Этим признаком, как и в случае аппроксимации дифференциальных включений с внешними возмущениями, является принцип плотности для включения (1) на заданном множестве.

В параграфе 4.2 рассматривается устойчивость аппроксимации дифференциального включения по крайним точкам аппроксимирующего многозначного отображения, т. е. условия, при которых для любых функций т)о( -,-,-) 6 Р([а, 6] х К" х [0, оо)) и т)( ■, •, ■) € К ({а, Ь] х х К" х [0, оо)) справедливо равенство

= п Дчосвмв)^5)-

5>0

В последнем параграфе диссертации утверждения главы 3 и параграфов 4.1 и 4.2 применяются для изучения устойчивости аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач относительно внутренних и внешних возмущений.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям профессору А.И. Булгакову и профессору Н.П. Пучкову, а также всем членам кафедр алгебры и геометрии Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина и высшей математики Тамбовского государственного технического университета за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ

1 Булгаков А.И. Аппроксимация дифференциальных включений / А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов // Матем. сб. 2002. Т. 193. № 2. С. 35-52.

2 Булгаков А.И. Приближенные решения дифференциального включения с непрерывной правой частью / А.И. Булгаков, Н.П. Пучков, В.В. Скоморохов // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2002. Т. 7. Вып. 1. С. 104-105.

3 Булгаков А.И. К вопросу об аппроксимации дифференциальных включений / А.И. Булгаков, A.A. Ефремов, В.В. Скоморохов // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2001. Т. 6. Вып. 2. С. 131-139.

4 Булгаков А.И. Дифференциальные включения с внешними возмущениями, радиус которых зависит от фазовой переменной / А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2000. Т. 5. Вып. 4. С. 429-430.

5 Булгаков А.И. Методы аппроксимаций дифференциальных включений и принцип плотности / А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. / ВГУ. Воронеж, 2001. С. 60-61.

6 Булгаков А.И. Аппроксимация дифференциального включения по крайним точкам аппроксимирующего отображения / А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - Х1Г': Тез. докл. / ВГУ. Воронеж, 2001. С. 40-41.

7 Булгаков А.И. Аппроксимация дифференциального включения с внутренними и внешними возмущениями / А.И. Булгаков, Н.П. Пучков, В.В. Скоморохов // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - XIIF': Тез. докл. / ВГУ. Воронеж, 2002. С. 2S-29.

8 Булгаков А.И. К вопросу об аппроксимации дифференциальных включений с периодической правой частью / А.И. Булгаков, Н.П. Пучков, В.В. Скоморохов // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 11-й Сарат. зимней шк. Саратов, 2002. С.33-34.

9 Булгаков А.И. Дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями, зависящими от фазовой переменной / А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов // Известия РАЕН. Дифференц. уравнения / РГПУ. Рязань, 2001. № 5. С. 34-36.

10 Булгаков А.И. Некоторые вопросы теории возмущенных включений и принцип плотности в аппроксимации / А.И. Булгаков, Л.И. Ткач, В.В. Скоморохов // Второй международный конгресс "Нелинейный динамический анализ": Тез. докл. / МАИ. М., 2002. С 175-176.

11 Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциального включения с периодической правой частью по крайним точкам аппроксимирующего отображения /В.В. Скоморохов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конф. / ВГУ. Воронеж, 2003. С. 237-238.

12 Скоморохов В.В. Об устойчивости аппроксимации дифференциальных включений с периодической правой частью /В.В. Скоморохов // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 1. С. 166-167.

13 Скоморохов В.В. О сходимости множества решений двухточечной краевой задачи, построенной по крайним точкам аппроксимирующего отображения. / В.В. Скоморохов // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 3. С. 453-454.

г

Подписало к печати 20.06.2003. Формат 60 х 84/16. Гарнитура Times New Roman. Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем 0,93 усл. печ. л.: 1,0 уч.-изд. л. Тираж 100 экз. С 423.

Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета 392000, Тамбов, Советская 106, к. 14

(

Р13383

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. АППРОКСИМАЦИЯ С ВНЕШНИМИ

ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

§ 1.0. Основные определения и вспомогательные утверждения

§ 1.1. Аппроксимация дифференциального включения с внешними возмущениями

§ 1.2. Аппроксимация периодических и многоточечных краевых задач с внешними возмущениями.

Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ В АППРОКСИМАЦИИ

С ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

§2.1. Принцип плотности и устойчивость в аппроксимации дифференциальных включений с внешних возмущений

§ 2.2. Устойчивости в аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач с внешними возмущениями.

Глава 3. АППРОКСИМАЦИЯ С ВНУТРЕННИМИ

И ВНЕШНИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

§3.0. Основные определения и вспомогательные утверждения

§3.1. Аппроксимация дифференциального включения с внутренними и внешними возмущениями

§3.2. Аппроксимация периодических и многоточечных краевых задач с внутренними и внешними возмущениями.

§ 3.3. Аппроксимация вложением и с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений

§ 3.4. Аппроксимация вложением и с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений периодических и многоточечных краевых задач

Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ В АППРОКСИМАЦИИ С ВНУТРЕННИМИ И ВНЕШНИМИ

ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

§ 4.1. Принцип плотности и устойчивость в аппроксимации дифференциальных включений относительно внутренних и внешних возмущений.

§ 4.2. Устойчивость в аппроксимации дифференциального включения по крайним точкам аппроксимирующего отображения.

§4.3. Устойчивость в аппроксимации возмущенных периодических и многоточечных краевых задач . 96 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Rn - пространство n-мерных вектор-столбцов с евклидовой нормой | • | и порожденной ею метрикой р( •, •); р(х, у) = \х — у\. comp[Mn] - совокупность всех непустых компактных подмножеств из пространства Мп;

V - замыкание множества V; со V - выпуклая оболочка множества V, coV = coV^ ext V - множество всех крайних точек множества V, ext V = ext V

Множество называется замкнутым шаром пространства Мп с центром в точке и и радиусом г > 0; В [и, 0] = {и}.

Если V С М" и £ > 0, то множество

B[u,r] = {х е кп : р{и,х) < г} называется замкнутой г-окрестностью множества V; V0 = V.

Обозначим через sup IУ

- норму множества F в пространстве Жп.

- расстояние между точкой х и множеством F, p[x,F} = inf р(х,у) h+{FuF2} = sup{p[y,F2\:yeFl}

- полуотклонение по Хаусдорфу между множествами Fi и F2 в пространстве Мп, а

- расстояние по Хаусдорфу между множествами Fl и F2.

Сп[а, Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, Ь] —> Мп с нормой ж||с = тах{|х(^)| : £ е [а, &]};

Ьп[а,Ь] - пространство суммируемых по Лебегу функций х : [а, Ь] —» Мп с нормой х\\ь = / п[а, Ь] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [а, 6] —> М" с нормой ж||£> = \х(а)\ + / coF : [а, Ь] —■» сотр[Мп] - отображение, определенное равенством (со^Х*) = где ^ : [а, 6] сотр[Мп]; ext F : [а, 6] —> comp[IRn] - отображение, определенное равенством ext F)(t) = ext (F(i)), где F : [а, 6] comppfT];

Обозначим через S(F( ■)) - множество всех измеримых селекторов (ветвей) отображения F : [а, Ъ] comp[Kn]; 5(F( •)) = {i/( •) <Е Ln[a,b] : y(t) G F(t) при почти всех t e [а, 6]};

F(i, •) - t фиксировано и F : [а, 6] x Rn —» comp[Kn] рассматривается как отображение только второго аргумента;

F( •, х) - х фиксировано и F : [a, b] х 1R" —> comp[Rn] рассматривается как отображение только первого аргумента;

F(-,x(-)) - суперпозиция отображений F : [a,b} x Шп —» comp[Mn] и x : [а, 6] -»■ 3Rn; со F( •, x{ ■)) - суперпозиция отображений со F : [а, Ь] х IRn comp [К71] ((со F) (£, ж) = co(F(i, ж))) и х : [а, 6] ОТ;

Обозначим через K([a,b] xRnx [0, оо)) множество всех функций г/ : [а, Ь] х Шп х [0, сю) —> [0, оо), обладающих следующими свойствами: a) при каждых (х, 6) G IRn х [0, оо) функция г)( •, х, 6) измерима; b) при почти всех t G [а, Ь] и всех 6 Е [0, оо) функция rj(t, •, 6) непрерывна; c) для каждых U G сотр[М™] и 6 G [0, оо) существует такая суммируемая функция ти,б ■ [а,Ь] —> [0, оо), что при почти всех t G [a,b] и всех х G U и т G [0, <5] выполняется неравенство r)(t, х, т) ^ Tnu,ö(t)\ d) при почти всех £ G [а, 6] и каждого xgR" выполняются равенства lim5l~o+o ^ = Х: =

К ([а, Ь] хШп х [0, оо)) - множество всех функций г)( •, •, ■) е K([a,b] х xlnx [0,оо)), обладающих свойством: для каждого U G comp[Mn] и 6 Е [0, оо) найдется такая функция •), определяющая множество

К ([а, Ь] х Шп х [0, оо)), что она представляет собой константу.

Р([а,Ь] х Шп х [0, оо)) - множество всех функций г) : [a,b] х Mn х х [0, оо) —> [0,оо), обладающих всеми свойствами из множества функций К([а,Ь] х Мп х [0, оо)), а также удовлетворяющих следующим условиям: для каждых U G comp[]Rn] и 5 G (О, оо) найдутся такие числа r(U,S) > 0 и ß(U,ö) ^ 0, что при почти всех t G [а, Ь] всех х G U число r(U,6) удовлетворяет неравенству r(U,6) ^ r)(t,x,S), а для числа ß{U,6) при почти всех t € [а, Ь] всех х G U и г G [0,5] имеет место оценка r){t, х, т) ^ ß(U,S).

К ([О, и>] х!"х [0, оо)) - множество всех функций 77 : (—сю, сю) хГ х х [0, сю) —>■ [0, оо), о;-периодических по первому аргументу и на [0,^] обладающих свойствами из класса функций К ([а, Ь] х М.п х [0, сю)).

Р([0, о;] х Жп х [0, оо)) - множество всех функций 77 : (—оо, оо) хГх х [0, оо) —> [0, оо), ^-периодических по первому аргументу и на [0,о;] обладающих свойствами из класса функций Р([а,Ь] х К" х [0, оо)).

Теория дифференциальных включений в настоящее время сформировалась как самостоятельный раздел общей теории дифференциальных уравнений.

Исследование дифференциальных включений началось в тридцатых годах прошлого столетия в работах А. Marchaud (Маршо) [102], S. Zaremba (Заремба) [111]. Кроме того интенсивно развивающейся в шестидесятых годах теория оптимального управления и устанавленная А.Ф. Филипповым связь дифференциальных включений и управляемых систем (лемма о неявных функциях) послужило стимулом к всестороннему изучению дифференциальных включений.

В форме дифференциальных включений можно представить довольно широкий класс математических объектов: дифференциальные неравенства, неявные дифференциальные уравнения, задачи теории дифференциальных игр и математической экономики. Дифференциальные включения можно рассматривать и как непосредственное обобщение дифференциальных уравнений на случай, когда правая часть многозначна. Поэтому в теории дифференциальных включений возникают все задачи, присущие дифференциальным уравнениям (теоремы существования решений, вопросы разрешимости, продолжаемости, ограниченности и др.). В то же время многозначность правой части дифференциальных включений порождает целый ряд специфических вопросов, такие, как, например, устойчивость "возмущенных" дифференциальных включений, замкнутость, выпуклость семейства решений, выбор решений с заданными свойствами и многие другие.

Отметим, что данными вопросами занимались многие математики: Н.В. Азбелев, Ю.И. Алимов, Б.И. Ананьев, Р.В. Ахмеров, Е.А. Барбашин, В.И. Благодатских, A.B. Богатырев, Ю.Г. Борисович, С. А. Брыкалов, А.И. Булгаков, Е.Е. Викторовский, Е.А. Ганго,

Б.Д. Гельман, А.Е. Ирисов, А.Г. Иванов, H.H. Красовский, А.Б. Кур-жанский, A.A. Леваков, JI.H. Ляпин, В.П. Максимов, А.Д. Мышкис, М.С. Никольский, В.Р. Носов, В.В. Обуховский, А.И. Поволоцкий, Е.С. Половинкин, Р.К. Рагимханов, Б.Н. Садовский, А.Б. Самаров, А.Н. Сесекин, А.И. Субботин, С.И. Суслов, A.A. Толстоногов, Е.Л. Тонков, B.C. Тонкова, С.Т. Завалищин, Л.Н. Фадеева, А.Ф. Фил-липов, Т.Ф. Филиппова, И.А. Финогенко, А.Г. Ченцов, П.И. Чугунов, З.Б. Цалюк, H.A. Antosiewicz, A. Bressan, A. Cellina, G. Colombo, J. Davy, A. Fryskowski, H. Hermes, W. Kelley, N. Kikuchi, M. Kisielewicz, A. Lasota, S.J. Lojasiewicz, H. Murakami, S. Nakagiri, C. Olech, Z. Opial, N.S. Papar georgiou, G. Pianigiani, A. Plis, S. Szufla, T. Wazewski, P. Zecca и др.

В диссертации рассматриваются дифференциальные включения где отображение F : [а, b] —comp[IRn] удовлетворяет условиям Каратео-дори.

Будем говорить, что многозначное отображение F : [a,b} xl"x х [0, ос) —> comp[Kn] аппроксимирует отображение F : [а, 6] х IRn —> —» comp[En], если найдется такая функция £( •, •, •) G К(\а, b] х IRn х х [0, ос)), что при почти всех t G [а, 6] и всех (х, ö) Е Шп х [0, оо) выполняется оценка

Отображение F(■, •, •) будем называть аппроксимирующим отображение ■, •) или просто аппроксимирующим. Функция £(•,•,•) £ К([а,Ь\ хГх [0, сю)) в неравенстве (3) определяет степень близости значения F(t,x,5) в точке (£, х) 6 [а, Ь] х Кп к значению х) для каждого фиксированного 8 е [0, оо). Эту функцию •, •, •) x(t) G F(t, x(t)), t G [a, b} x(t) G со Fit, x(t)), te[a,b]

1) (2)

3) будем называть степенью аппроксимации отображения F : [а, 6] х хГ ^ сотр[Мп] отображением Р : [а,Ь] хГх [0, оо) сотр[Мп] или просто степенью аппроксимации. Будем считать, что •, •, •) определяет способ или метод аппроксимации отображения Р(-, •). Пару (.Р( •, •, •),£(•, •, •)) будем называть аппроксимацией отображения F(•, •), а если при почти всех £ 6 [а, Ь] и всех (х,6) <Е Мп х [0, оо) выполняется включение С Р^,х,5), то аппроксимацией вложением.

Рассмотрим также для каждого 5 6 [0, оо) дифференциальные включения

З^х^)^), *е[а,Ь], (4) е te[a,Ъ], (5) где отображение С^г! : [а, Ь] х М." х [0, оо) —сотр[Кп] задано равенством

ЭГ1(г,х,б) = Р(г,х,б)г'№\ (6) а отображение : [а,Ь] х!п х [0,оо) —> сотр[Мп] определено равенствами

Р0(Ьх,6) = Р^В^МЬ^б^б), (7) дТ)оГ}(г,х,б) = (Ро(^х,5))^'6К

Будем считать, что функции •, •, •), т)( •, •, •) е К ([а, Ь] х Мп х х [0, оо)) задают соответственно радиус внутренних и внешних возмущений аппроксимирующего отображения Р( •, •, •). Дифференциальное включение (4) будем называть аппроксимирующие дифференциальное включение (1) с внешними возмущениями, а дифференциальное включение (5) аппроксимирующие дифференциальное включение (1) с внутренними и внешними возмущениями.

В настоящей диссертации рассмотрены условия, при которых множества решений включений (4) и (5) сходятся к множеству решений задачи (1) для любых возмущений.

Под решением включения (1) или (2) понимается абсолютно непрерывная функция х : [а, b] —» Мп при почти всех t G [а, 6] удовлетворяющая включению (1) или (2). Каждое решение дифференциального включения (4) или (5) при фиксированном ö > 0 называется ^-решением дифференциального включения (1) и определяется аналогично.

Понятие приближенного решения (^-решения) дифференциального включения введено А.Ф. Филипповым (см. [81, с.60]). Это определение имеет важное значение для изучения дифференциальных включений с выпуклозначной и полунепрерывной сверху правой частью, поскольку пределы сходящихся последовательностей приближенных решений являются решениями (см. [81, с.60]). Отличие от сформулированного здесь и приближенного решения по А.Ф. Филиппову заключается в том, что значения многозначных отображений, определяющие "приближенные дифференциальные включения", не "овыпукляются". Как оказалось, такое определение приближенного решения полезно для исследования аппроксимаций дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.

Задачи, связанные с методами аппроксимации дифференциальных включений возникают в различных приложениях, например, когда значения многозначного отображения F : [а, b] х Шп —» comp[Mn] или значения аппроксимирующего отображения F : [а, 5] xlnx [0, оо) —> comp[Mn] известны с некоторой степенью точности (погрешностью), которая определяется функциями £( -,-,•) и ?](•,•,•) из множества К ([а, b] х Mn х х [0, оо)), соответственно. В то же время значения решения х : [а, Ь] —> Шп дифференциального включения могут быть известны с некоторой степенью точности, которая определяется r]o(t,x,S). Причем эти погрешности неравномерны относительно фазовой переменной х G Мп. В связи с этим изучение дифференциальных включений (4) и (5) приобретает особую актуальность и представляет не только теоретический, но и практический интерес.

В работах [4], [5], [72], [80], [81], [84], [106], [107] для задачи Коши показано, что если отображение F( ■, • ) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу или расстояние по Хаусдорфу между значениями многозначного отображения оцениваются функцией Камке, то замыкание в пространстве непрерывных функций множества решений включения (1) совпадает с множеством решений "овыпукленного" дифференциального включения (2). В общем случае такого равенства может и не быть. Подтверждением этому служит пример А. Плиса (A. Plis) [108], [80]. Данная работа посвящена исследованию структуры множества решений "овыпукленного" включения в общем случае. В ней доказывается, что, если внешние возмущения г)( -,-,•) G К ([a, b\ х Шп х [0, оо)) сравнимы со степенью аппроксимации £(-,-,■) G K(\a,b] х IRn х [0, оо)) отображения F( •, • ), то пересечение замыканий в пространстве непрерывных функций множеств приближенных решений (^-решений) совпадает с множеством решений "овыпукленного" дифференциального включения (2). Отметим, что результаты первой и третьей главы расширяют границы представления множества решений "овыпукленного" дифференциального включения и представляют собой усиление и уточнение результатов А.И. Булгакова, Л.И. Ткача [20], [21], [22], [23], [26], [27], Н. Hermes [98], [99] и продолжают исследования, опубликованные в работах [24], [28], [29].

На упомянутые выше утверждения опирается изучение проблемы устойчивости множеств решений дифференциального включения (не обладающего свойством выпуклости правой части) к различного рода возмущениям, изложенное в главах 2 и 4. При этом устойчивость множеств решений понимается в естественном смысле, т. е. "небольшие" изменения как самого заранее заданного множества V С Сп[а, Ь], которому принадлежат решения дифференциального включения, так и правой части включения должны "мало" изменять множество решений. Такие задачи представляют особый интерес, поскольку в отличии от дифференциальных уравнений для дифференциальных включений даже незначительные погрешности, вызванные вычислениями значений правой части включения (1), могут существенно изменить множество решений дифференциального включения, определенного даже на конечном отрезке.

В работе получены необходимые и достаточные условия, когда аппроксимация дифференциального включения является устойчивой относительно внутренних и внешних возмущений, т.е. когда "небольшие" изменения (в смысле расстояния по Хаусдорфу) правой части включения приводят к "небольшому" изменению множества решений.

Этим условием является плотность множества решений дифференциального включения (1) с невыпуклой правой частью во множестве решений "овыпукленного" включения (2) (см. ниже).

Вышеописанные результаты далее применяются для исследования аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач. Полученные утверждения дополняют результаты работ А.Е. Ирисова, Е.Л. Тонкова [38], G. Colombo [89].

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая глава посвящена изучению аппроксимации дифференциальных включений с внешними возмущениями. В параграфе 1.0 приводятся некоторые общие сведения из теории многозначных отображений и теории дифференциальных включений, а также вводятся понятия аппроксимирующего отображения, степени аппроксимации отображения F : [a, b} —comp[Rn] (см. выше) и модуля непрерывности отображения F : [а,Ь] —»• comp[Mn], радиуса непрерывности.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Барбашин Е.А. Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений // Изв. ВУЗов. Сер. матем., 1962, №1. С. 3-13.

3. Влагодатских В.И. Некоторые результаты по теории дифференциальных включений // Summer School on Ordinary Differential Equations. Czechoslovakia, Brno, 1974. Part II. P. 26-67.

4. Влагодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Часть I. М.: Изд-во МГУ, 1979.

5. Влагодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР, 1985. Т. 169. С. 194-252.

6. Борисович Б.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховскии В.В. Многозначные отображения // Итоги науки и техники. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 127-231.

7. Борисович Б.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховскии В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. 103 с.

8. Булгаков А.И. К вопросу о свойствах множеств решений дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, №6. С. 971-977.

9. Булгаков А.И. О существовании обобщенного решения функционально-интегрального включения // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №3. С. 514-520.

10. Булгаков А.И., Ляпин Л.Н. Об интегральном включении с функциональным оператором // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №5. С. 876-884.

11. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами : Дис. . канд. физ.-матем. наук. Горький, 1979.

12. Булгаков А.И. Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, №8. С.1362-1374.

13. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений с невыпуклыми образами и функционально-дифференциальные включения // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, №10. С. 16591670.

14. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальное включение с оператором, имеющим невыпуклые образы // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, №10. С. 1659-1668.

15. Булгаков А.И. К вопросу существования непрерывных ветвей у многозначных отображений с невыпуклыми образами в пространствах суммируемых функций // Матем. сб., 1988. Т. 136, №2. С. 292-300.

16. Булгаков А.И. Усреднение функционально-дифференциальных включений //Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №10. С.1678-1690.

17. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №11. С. 1872-1878.

18. Булгаков А.И. Непрерывные ветви многозначных отображений с невыпуклыми образами и функционально-дифференциальныевключения // Матем. сб., 1990. Т. 181, №11. С. 1427-1442.

19. Булгаков А. И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включений // Матем. сб., 1992. Т. 183, №10. С. 63-86.

20. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Асимптотическое представление множеств ¿-решений включения типа Гаммерштейна // Вестн. Тамб.ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т. 2. Вып.З. С. 294-298.

21. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение выпуклозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и краевые задачи для функционально-дифференциальных включений // Матем. сб., 1998. Т. 189, №6. С. 3-32.

22. Булгаков А.И., Ефремов А.А., Панасенко Е.А. Асимптотическое представление множеств приближенных решений дифференциальных включений // Вестн. Тамб.ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1998. Т. 3. Вып.4. С. 394-400.

23. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Изв. ВУЗов. Мат., 1999. №3. С. 3-16.

24. Булгаков А.И. Асимптотическое представление множеств 5-решений дифференциального включения // Матем. заметки, 1999. Т. 65, №5. С. 775-778.

25. Булгаков А.И., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. К вопросу устойчивости дифференциальных включений // Вестн. Тамб.ГУ. Сер. естеств. и технич. науки. Тамбов, 1999. Т. 4. Вып.4. С. 461-469.

26. Булгаков А.П., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. Обыкновенные дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, №12. С. 1587-1598.

27. Булгаков А.П., Ефремов A.A., Панасенко Е.А. О необходимых и достаточных условиях устойчивости дифференциальных включений // Материалы симпозиума "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках". Воронеж, 2000. С. 38.

28. Данфор Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 с.

29. Демидович Б. П. Лекции по теории математической устойчивости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. 480 с.

30. Завалищин С. Т. Об одном способе оптимального синтеза при неизвестных возмущениях // Труды ин-та матем. и механ. Уральск, науч. центр АН СССР, 1979. Вып.32. С. 45-70.

31. Завалищин С. Т. Устойчивость обобщенных процессов. I, II // Дифферент уравнения. 1966. Т. 2, №7. С.872-881; 1967. Т.З, №. С.171-179.

32. Завалищин С. Т. Формула Коши для линейного уравнения общего вида в обобщенных функциях // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, №6. С.1138-1140.

33. Иоффе АД., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

34. Ирисов А.Е., Тонкое Е.Л. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // В сб. "Дифференц. и интеграл, уравнения". Горький: Изд-во ГГУ, 1983. С. 32-38.

35. Канторович Л.В., Акилов Г.Н. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

36. Клейменов А.Ф. Задачи конфликтного управления. ПММ, 1975, 39. №2.

37. Клейменов А.Ф. Равновесные коалиционные контрстратегии в дифференциальных играх многих лиц. ПММ, 1982, 46. №5.

38. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

39. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

40. Красовский А.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 520 с.

41. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104 с.

42. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.

43. Куратовский К. Топология. Т. 2. М.: Мир, 1969.

44. Куржанский А.Б. О существовании решений уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, №10. С.1800-1809.

45. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

46. Куржанский А.Б., Филиппова Т. Ф. On the set-valued calculus in problems of viability and control for dynamic processes: The evolution equation // Ann. Ynst. H.Poincare, 1989. V.6. Suppl. P.339-363.

47. Люстерник JI.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

48. Натансон И.Т. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

49. Никольский М.С. Одно замечание к лемме Филиппова // Вестн. МГУ. Вычисл. мат. и кибернет., 1982, №2. С.76-78.

50. Никольский М. С. Дифференциальные включения в вариациях для дифференциального уравнения с негладкой правой частью // Докл. по мат. и ее прил. Изд-во МИАН СССР, ТулПИ, 1988. Т. 2, №2. С.197-207.

51. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

52. Плотников В.А. Метод усреднения для дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №8. С.1427-1433.

53. Плотников В.А., Зверкова Т. С. Метод усреднения для систем стандартного вида с разрывными правыми частями // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, №6. С.1091-1093.

54. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. Периодические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Учен, записки. Ленингр. пед.ин-т им. Герцена, 1970. Т. 464. С. 235-242.

55. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. О периодических решениях дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Учен, записки. Ленингр. пед. ин-т им. Герцена, 1972. Т. 541. С. 145-154.

56. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений. М.: МФТИ, 1982.

57. Понтрягин Л.С. , Болтнянский В.Г., Гамирелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимального управления. М.: Наука, 1961.

58. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973.

59. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999. 368 с.

60. Сумин В.И. Об устойчивости существования глобального решенияпервой краевой задачи для управляемого параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, №9. С. 1587-1595.

61. Сумин В. И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами // ДАН СССР, 1989. Т. 305, №5. С. 1056-1059.

62. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть I. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1992. 112 с.

63. Сумин В.И., Чернов A.B. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. №10. С. 1402-1411.

64. Суслов С. И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип I. Конечномерный случай // Препр. АН СССР СО Ин-т мат., №11. Новосибирск, 1989. С. 14.

65. Суслов С. И. Нелинейный бэнг-бэнг принцип II. Бесконечномерный случай // Препр. АН СССР СО Ин-т мат., №12. Новосибирск, 1989. С. 18.

66. Толстоногое A.A., Финогенко И.А. О функционально-дифференциальных включениях в банаховом пространстве с невыпуклой правой частью // ДАН СССР, 1980. Т. 254, №1. С. 45-49.

67. Толстоногое A.A., Чугунов П.И. О множестве решений дифференциального включения банаховом пространстве // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24. №6. С. 144-159.

68. Толстоногое A.A., Финогенко И.А. О решениях дифференциального включения с полунепрерывной снизу невыпуклой правой частью в банаховом пространстве // Матем. сб., 1984. Т. 125, №2. С. 199-230.

69. Толстоногое А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986. 296 с.

70. Тонкова B.C., Тонкое E.JI. Некоторые свойства усредненных решений системы регулирования с разрывной нелинейностью // Дифферент уравнения. 1973. Т. 9, №2. С. 278-289.

71. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 1959. №2. С. 25-32.

72. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Матем. сб. 1960. Т. 51. №1. С.99-128.

73. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью // ДАН СССР. 1963. Т. 151. №1. С.65-68.

74. Филиппов А.Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений // Матем. заметки. 1971. Т. 10. №3. С. 307313.

75. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1967. №3. С. 16-26.

76. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

77. Цалюк В.З. Об устойчивости по первому приближению дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №2. С.258-263.

78. Цалюк В.З. Возмущения экспоненциально устойчивых дифференциальных включений обобщенными функциями // Матем. физика. Республ. межвед. сборн. Киев, 1980. Вып.28. С. 34-40.

79. Чугунов П. И. Свойства решений дифференциальных включений и управляемые сиситемы // Прикл. математика и пакеты прикл. программ, Иркутск: Изд-во СЭИСО АН СССР, 1980. С. 155-179.

80. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360 с.

81. Antosiewicz H.A., Cellina A. Continuous selections and differential relations // J. Different. Equations. 1975. V.19. №2. P.386-398.

82. Antosiewicz H.A., Cellina A. Continuous extensions of multifunctions // Ann. polon. math. 1977. V.34. №. P.108-111.

83. Bressan A. On a bang-bang principle for nonlinear systems // Boll. Unione Math. Italiana, suppl., 1980. V.l. P.53-59.

84. Bressan A., Colombo G. Boundary value problems for lower semicontinuous differential inclusions // Ref. S.I.S.S.A, 85 M (June 1990), 13 p.

85. Davy J.L. Properties of the solution set of a generalised differential equation // Bull. Austral. Math. Soc., 1972. T.6, №. C.379-398.

86. De Blasi F.S., Piangiani G. A Baire category approach to the existence of solutions of multivalued differential inclusions in Banach Spaces // Funkcial. Ekvac. 1982. V.25. №2. P.153-162.

87. De Blasi F.S., Piangiani G. Differential inclusions in Banach Spaces // J.Differential Equations. 1987. V.66. P.208-229.

88. De Blasi F.S., Piangiani G. Non-convex valued differential in Banach Spaces // J. Math. Anal. Appl. 1991. V.157. P.469-494.

89. De Blasi P.S., Piangiani G. On the density of extremal solutions of differential inclusions // Ann. Polon. Math. 1992. V.56. №2. P.133-142.

90. Frankowska H., Olech Cr. Boundary solutions of differential inclusion // J. Differ. Equat., 1982. V.44, №2. P.156-165.

91. Fryszkowski A. Existence of solutions of functional-differential inclusion in nonconvex case // Ann. pol. math., 1985. V.45, №2. P.121-124.

92. Fryszkowski A. Continuous selections for a class of nonconvex multivalued maps // Studia math., 1983. V.76, №2. P.163-174.

93. Hermes H. The generalized differential equation x € R(t, x) // Advances Math., 1970, V.4, №2, P.149-169.

94. Hermes H. On continuous and measurable selections and the existence of solutions of generalized differential equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1971. V.29, №3. P.535-542.

95. Kikuchi N. Control problem of contingent equation // Publ. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., ser. A, 1967. V.3, №1. C.85-99.

96. Lasota A., Opial Z. An application of the Kakutani-Ky Fan theorem in the theory of ordinary differential equations // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. math., astron. et phys., 1965, V.13, №11-12, P.781-786.

97. Marchaud A. Sur les champs continus de demi-cones convexes et leurs intégrales // Comp. Math., 1936, V.3, №1, P.89-127.

98. Olech C. Lexicographical order, range of integrals and "Bang-bang" principle // Mathematical theory of control. N.Y.: Acad press, 1967. P.35-45.

99. Opial Z. Sur l'équation différentielle ordinaire du premier ordre dont le second membre satisfait aux conditions de Caratheodory // Annales polon. math., 1960. V.8, №1. C.23-28.

100. Papargeorgiou N.S. Functional-differential inclusions in Banach spaces with nonconvex right hand side // Funkcial. Ekvac., 1989. V.32. P.145-156.

101. Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations // J. Different. Equations, 1977. V.25, №. P.30-38.

102. Plis A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys., 1963. V.ll, №6. P.369-370.

103. Plis A. On trajectories of orientor fields // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., 1965. V.13, №8. P.571-573.

104. Turowicz A. Remarque sur la definition des quasitrajectoires d'une system de commande nonlineaire // Bull. Acad. Polon. sci., ser. math., astr., phys., 1963, V.ll, №6. P.367-368.

105. Wazewski A. Sur une generalisation de la notion des solutions d'une equation au contingent // Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys., 1962, V.10, №. P.ll-15.

106. Zaremba S.C. Sur les equations au paratingent // Bull. Sci. Math., 2 ser., 1936. V. 60. №. P. 139-160.