Эллипсоидальные методы для задач управления при неэллипсоидальных ограничениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Эллипсоидальные методы для задач управления при неэллипсоидальных ограничениях

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Кирилин Михаил Николаевич

Москва 2005 г.

с

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на кафедре системного анализа факультета Вычислительной математики и кибернетики.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, академик РАН А. Б. Куржанский.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, профессор М. И. Гусев; доктор физико-математических наук, профессор М. С. Никольский.

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится 28 октября 2005 года в 14^® на заседании диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, ГСП-2, Ленинские Горы, МГУ, 2-учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМиК Московского государственного универсвта им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан " сентября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент РР/#/ЧН?* В М- Говоров

1И№

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена разработке методов внутреннего и внешнего эллипсоидального оценивания, обеспечивающих получение тугих (касательных) аппроксимаций и допускающих предельное представление оцениваемого множества в виде замыкания объединения всех порождаемых внутренних оценок или пересечения всех порождаемых внешних оценок, для областей достижимости управляемых систем с неэллипсоидальными ограничениями на начальное состояние, управление и помеху в виде симметричных многогранников (зонотопов).

Проблему построение трубок траекторий, описывающих динамику множеств достижимости, можно назвать одной из фундаментальных задач теории управления К изучению трубок достижимости приводят многие задачи теории управления, оценивания и дифференциальных игр, в описании которых присутствует неопределенность. Классические задачи оценивания основаны на предположении, что известны статистические характеристики возмущений параметров системы. Однако во многих задачах такое описание неопределенности не является адекватным из-за отсутствия достаточного количество экспериментальных данных и их статистической неустойчивости. Поэтому начиная с 60-ых годов прошлого столетия, в рамках теории гарантированного оценивания развивается альтернативный подход, связанный с предположением об принадлежности неопределенных параметров модели некоторым известным множествам. Разработка основ теории связана с именами Н. Н. Красовского [1], А. Б. Куржанского [2], Ю. С. Осипова, Ф. Л. Черноусько [7], X. Витзенхаузена [23], Ф. Швеппе [21], Д. Бертесекаса [14]. В рамках данного подхода, используя теорию множеств, выпуклый и многозначный анализ, удается получить точное аналитическое описание множества состояния системы и его гарантированные внутренние и внешние аппроксимации в виде множеств канонической формы, таких как многогранники [22], параллелотопы [11] и эллипсоиды[7, 16].

Наиболее широкое распространение получили эллипсоидальпые оценки. Существенный вклад в изучение эллипсоидальных методов для задач динамики принадлежит С. Войду [15], А. Б. Куржанскому [16, 18], Б. Т. Поляку, Ф. Л. Черноусько [7], Ф. Швеппе и их ученикам. В данной диссертации использован подход, предложенный А Б. Кур-жанским. Принципиально новым моментом этого подхода является аппроксимация искомых множеств не одним, а целым семейством параметризованных эллипсоидов (16, 18]. Данный подход был развит Е. К. Костоусовой [12, 13] для полиэдрального оценивания множеств достижимости систем с параллелотопозначными ограничениями на начальное состояние, управление и неопределенность. Другим подходам к аппроксимации множеств достижимости многогранниками посвящены исследования А. В. Лотова [4].

В настоящей диссертации рассмотрена проблема эллипсоидального оценивания для систем с неэллипсоидальными ограничениями в виде симметричных многогранников (зонотопов). Прн доказательстве результатов главы 3 для систем с неопределенностью автор опирался на теорию альтернированного интеграла Л. С. Понтрягина [5], работы М. С. Никольского [6] и исследование [3].

Цель работы состоит в разработке, обоснования и доведения до программной реализации методов построения внутренних и внешних эллипсоидальных аппроксимаций для трубок достижимости линейных динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при неэллипсоидальных ограничениях на начальное состояние, управление и помеху в виде симметричных многогранников (зонотопов), представляющих собой сумму конечного числа отрезков.

Основные результаты работы.

1. Построена внешняя и внутренняя эллипсоидальная аппроксимация области достижимости для линейных управляемых ' с ограничениями

на управление и начальное состояние системы в виде симметричных многогранников (зонотопов).

2. Для линейных систем с неопределенностью и управлением без обратной связи с конечным числом точек коррекции траектории предложен алгоритм построения внешних эллипсоидальных аппроксимаций для множеств достижимости максиминного и минимаксного типа с ограничениями на управление, неопределенное возмущение и начальное состояние системы в виде симметричных многогранников (зонотопов)

3. Построена внешняя и внутренняя эллипсоидальная аппроксимация области достижимости для линейных управляемых систем с неопределенностью и управлением с обратной связью с ограничениями на управление и помеху в виде симметричных многогранников (зонотопов), а на начальное состояние системы в виде невырожденного эллипсоида.

Научная новизна работы. Полученные результаты являются новыми

В работе развиты элементы "эллипсоидального исчисления" для определенного класса симметричных многогранников (зонотопов), представленных в виде суммы вырожденных эллипсоидов. Изучены операции геометрической суммы и разности данных многогранников и получены их внешние и внутренние эллипсоидальные аппроксимации.

Разработаны алгоритмы построения внешних и внутренних эллипсоидальных аппроксимаций множеств достижимости линейных динамических систем, описанных обыкновенными дифференциальными уравнениями (без неопределенности; при неопределенности с конечным числом точек коррекции управления; при неопределенности и управлением с обратной связью), с неэллипсоидальными геометрическими ограничениями на управление на управление и неопределенность. Доказано, что введенные семейства обеспечивают точные или находящиеся в е-окрестности представления искомых множеств через операции пересечения и объединения оценок.

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в работе теоретические результаты служат основой создания и обоснования конструктивных алгоритмов решения рассматриваемых в ней задач. Разработанные методы оценивания могут быть использованы в задачах управления и наблюдения для линейных динамических систем в условиях неопределенности с неэллипсоидальными ограничениями на параметры При этом предпочтение отдается методам, позволяющим получать приближенное решение относительно простыми средствами по явным формулам. В качестве примера в работе приведены несколько частных задач построения множеств достижимости.

Методы исследования. В основе работы лежат методы теории управления и наблюдения при неопределенности. В процессе доказательств автор повсеместно опирался на методы выпуклого анализа, теорию эллипсоидального исчисления и теорию минимакса, изложенные в работах В.'Ф. Демьянова [8], А. Б. Куржанского [3,16], Б. Н. Пшеничного [9], Р. Т. Рокафеллара [10].

Апробация работы. Результаты работы были представлены в виде докладов на семинаре кафедры системного анализа факультета ВМиК МГУ (рук. академик РАН А. В. Кур-жанский), а также на следующих конференциях:

• российско-шведская конференция по управлению, Москва, май 2001;

• 5th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOS-Ol), Санкт-Петербург, июль 2001.

• IFAC Conference on Mathematic Modeling, Вена, февраль 2003.

* *

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и библиографии. Общий объём диссертации 103 страницы. Библиография включает 71 наименование.

Краткое содержание работы. Во введении раскрываются цели работы, со актуальность, а также кратко описаны основные результаты, полученные в диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается задача достижимости для линейной системы без неопределенности при ограничениях на начальное состояние системы и управление в форме симметричных многогранников (зонотопов).

В разделе 1.2 в общем виде описывается задача, которой посвящена первая глава.

Управляемая система задается дифференциальными уравнениями

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u, teT = [t0,ti}. (1)

Здесь x(t) 6 R" — положение системы, и £ W — управление. Матрицы A(t), B(t) являются известными параметрами и обладают достаточной гладкостью.

Предполагается, что управление стеснено "жесткими'' ограничениями, то есть принимает значение только из определенного множества:

и е V{t). (2)

При этом используются два класса управлений: программные управления Uol (измеримые функции ii(t)) и позиционные стратегии Ucl(многозначные отображения U{t,x) — полунепрерывные сверху по фазовым переменным).

Предпологается, что множество ~P(t) является симметричным многогранником следующего вида

т

T{t) = М(р, Р) = {х : z = р + £>'а„ а е [-1,1]}, (3)

i=i

где р е К" — центр многогранника, Р = {р1,... ,рт] — набор из m векторов ("направлений") р' 6 К". Частные случаи таких многогранников представлены на рис. 1.

Начальное состояние системы ограниченно включением x(tü) е М(х°,Х°).

В данной главе преследуются следующие цели: построить семейство внутренних эллипсоидальных аппроксимаций для области достижимости, объединение которых дает точное представление для множества достижимости; построить семейство внешних эллипсоидальных аппроксимаций для е-окрестности области достижимости, пересечение которых находится во внешней е-окрестности множества достижимости, выделить внутреннее подсемейство эллипсоидальных трубок, касающихся трубки достижимости вдоль семейства хороших1 кривых и удовлетворяющих рекуррентным уравнениям, независящим друг от друга; выделить внешнее подсемейство эллипсоидальных трубок, касающихся некоторой е-окрестности трубки достижимости вдоль семейства хороших кривых и удовлетворяющих рекуррентным уравнениям, независящим друг от друга.

В раздел 1.3 описывает основные конструкции и положения из теории эллипсоидального исчисления [16].

Раздел 1.4 посвящен построению внутренней эллипсоидальной аппроксимации области достижимости. Основной здесь является следующая задача:

Задача 1.1. В фиксированный момент времени t для области достижимости X\t\ системы (1), при ограничениях (2) построить семейство Е = {£_} внутренних эллипсоидальных аппроксимаций таких, что

conv [J = X[t}\ Е

'Под "хорошей кривой" понимается решение сопряженного уравнения l'it) = -A'(t)l"(t). ¡"(to) = 1*.

Рис. 1: Частные случаи симметричных многогранников в R2.

Данная проблема решена по аналогии со схемой, предложенной в работе [16]. Утверждение 1.1 вводит основные уравнения эллипсоидов для внутреннего аппроксимирующего семейства. Данное семейство зависит от произвольных параметров: набора ортогональных матриц So.ii1 = 1, • ■ •, тпо, и непрерывных матричных функций S3 (t), j = 1,..., тр.

Утверждение 1.2 позволяет для каждого направления выбрать параметры So,,, S3(t) таким образом, чтобы опорная функция соответствующего внутреннего эллипсоида совпадала с опорной функцией искомого множества достижимости. Поскольку множество достижимости является выпуклым компактом, то этого достаточно, чтобы найти все его точки.

Раздел 1.5 посвящен выделению уравнений для тугих рекурентных аппроксимаций. Рассматрена и решена следующая задача:

Задача 1.2. Выделить подсемейство тугих рекуррентных аппроксимаций S'"[t] С X[t), касающихся множества достижимости вдоль семейства хороших кривых-

p(l'(t)\£4[t})=p(l-(t)\X[t]), conv (J £i'[i] = *[i],2 teT.

¡•(to)eR»

Решение данной задачи позволило построить численный алгоритм таким образом, чтобы вычисление аппроксимации трубки достижимости происходило посредством некоторой рекуррентной процедуры. Под рекуррентностью понимается следующее свойство: если построена внешняя тугая аппроксимация множества достижимости в момент времени i, то для построения тугой аппроксимации в любой последующий момент времени И > t нет необходимости заново проделывать вычисления на отрезке времени [t0; i]

Теорема 1 4 позволяет выделить параметры аппроксимации S0,„ Sj[t) таким образом, что для любой хорошей кривой внутренняя аппроксимация касается в каждый момент времени трубки достижимости и точка касания лежит в опорном множестве области достижимости в направлении i*(i). При этом матрица эллипсоида удовлетворяет обыкновенным дифференциальным уравнениям и выполняется рекуррентное свойство.

Разделы 1.6-1.8 посвящены внешним эллипсоидальным аппроксимациям. В силу того что симметричные многогранники представимы в виде суммы вырожденных эллипсоидов, не удается перенести напрямую схему рассуждений, предложенную в работе [16].

З3десь = siip(/tz) есть опорная функция множества X в направлении I

z€X

Поэтому вначале вводится е-регуляризация исходной задачи: искомому множеству достижимости ставится в соответствие его внешняя е-окрестность, при этом новое множество является областью достижимости той же динамической системы с новыми невырожденными ограничениями на начальное состояние и управление.

Далее решены следующие задачи: Задача 1.3. В фиксированный момент времени t для области достижимости ХЩ системы (1) при ограничениях (2) для произвольного е > 0 построить семейство Е = {£+} внешних эллипсоидальных аппроксимаций таких, что

h(X[t},()£+)<e, *[i]çp|£+.3

Б Б

Задача 1.4. Выделить подсемейство е-тугих рекуррентных аппроксимаций X[t] С £+[t], касающихся окрестности множества достижимости вдоль семейства хороших кривых:

pC*WliTM)<p(i*(i)™ + er(t)||, h(X[t], f| <•[(])<£, ter.

1*(«о)6В"

Утверждение 1.3 описывает алгоритм построения внешней эллипсоидальной аппроксимации для ^-регуляризации исходной задачи. Вводятся основные уравнения на матрицы эллипсоидов, зависящие от произвольных параметров: набора чисел p0jl > О, i = 1,..., m0, и непрерывных скалярных функций ».,(t) > 0, j — 1,..., тр.

Утверждение 1.4 позволяет выбрать параметры ро,„ ir}(t) таким образом, чтобы опорная функция соответствующего внешнего эллипсоида совпадала с опорной функцией множества достижимости внешней е-регуляризации исходной задачи.

Теорема 1.5 позволяет выделить параметры аппроксимации ро,„ ir3{t) таким образом, что для любой хорошей внешняя аппроксимация касается в каждый момент времени е-регуляризирующей трубки достижимости и точка касания лежит в опорном множестве в направлении l*(t). При этом матрица эллипсоида удовлетворяет обыкновенным дифференциальным уравнением и выполнено рекуррентноое свойство.

Для примера, рис. 2 иллюстрирует построение аппроксимаций множества достижимости для коллебательной системы в двумерном пространстве. Слева представлены внутренняя аппроксимации для трубки достижимости (внизу) и семейство тугих внутренних аппроксимаций в множества достижимости в фиксированный момент времени (вверху) Справа представлены аннологичные внешние аппроксимации.

Вторая глава посвящена нахождению внешней аппроксимации для областей достижимости управляемых систем, в которых наряду с управлением присутствует неопределенность. Данную неопределенность можно интерпретировать как помеху или действие противника в игровой задаче.

Далее рассматривается линейная управляемая система

х = A(t)x + B{t)u + C{t)v, teT = [t0,ti], (4)

отличающаяся от системы (1) наличием заранее неизвестной помехи, стесненной геометрическим ограничением v(t) е M(q,Q). Управление, как и раньше, ограничено включением (2).

'Здесь h(X\£) — хаусдорфово расстояние между множествами X и £.

Рис. 2: Пример оценок множества достижимости, случай без неопределенности (п=2)

Предполагается, что заданы фиксированные моменты времени в которые происходит коррекция траектории (выбор нового управления). На каждом интервале времени между точками коррекции управление u(t) принадлежит классу программных управлений Hol-

Можно выделить два вида множеств достижимости:

• множество достижимости max min предполагает, что управление выбирается исходя из того, что в начальный момент времени поступает информация о значении неизвестного возмущения v(t);

• множество достижимости min max предполагает, что отсутствует какая-либо информация о неизвестном возмущении.

Подобная постановка, задачи рассматривалась в работе [20]. В отличие от которой нами строятся внешние эллипсоидальные аппроксимации для систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с конечным числом точек коррекции При этом предполагается, что управление, неопределенное воздействие и начальное состояние системы ограничены симметричными многогранниками или эллипсоидами.

В разделе 2.2 рассмотрены основные определения теории достижимости при неопределенности с управлением, принадлежащим классу программных управлений Uoh. Вводятся геометрические определения для областей достижимости типа max min и min max без точек коррекции. Само название областей берет начало из определения множеств достижимости через сечение функции цены (решения уравнения Гамильтона-Якоби-Белмана) Вводится определение достижимости при конечном числе точек коррекций

Далее ставятся основные задачи второй главы.

Задача 2.1. Для произвольного е > 0 построить семейства Е = {£"}, Е* = {£"} внешних эллипсоидальных аппроксимаций областей достижимости с неантисипатив-ным (minmax) программным управлением при отсутствии точек коррекции X~[t] и с конечным к числом точек коррекции X£\t]

h(X-[t},f]£-)<e, X'[t\ С

Б Е

в» в»

Задача 2.2. Для произвольного е > О построить семейства Е = {£+}, Е* = {£%} внешних эллипсоидальных аппроксимаций областей достижимости с антисипативным (max minJ программным управлением при отсутствии точек коррекции X~[t] и с конечным к числом точек коррекции Х^Щ

в в

h(x:\tl(\£t)<e, X+{t]c{)£+.

в» в»

В Разделе 2.3 разработан алгоритм построения внешней эллипсоидальной е-аппрок-симадии множества достижимости типа max min без точек коррекции. Множество достижимости с антисипативным программным управлением состоит из геометрической разности двух интегралов от многозначных отображений. Для интеграла, соответствующего управлению, строится внешняя эллипсоидальная е-аппроксимацю. Для интеграла от геометрических ограничений на помеху строится внутренняя эллипсоидальная аппроксимация. Тогда внешняя аппроксимация для геометрической разности полученных эллипсоидов будет содержать искомое множество достижимости, и пересечение по всем эллипсоидам даст решение задачи 2.1. Теорема 2.1 обобщает приведенные выше рассуждения и содержит формальные дифференциальные уравнения на матрицы аппроксимирующих эллипсоидов.

В разделе 2.4 рассмотрен вопрос построения внешней эллипсоидальной е-аппрок-симации для множества достижимости с неантисипативным программным управлением. У предложенного подхода есть существенный недостаток: граница геометрической разности двух множеств состоит из регулярных точек и узлов. При построении внешней аппроксимации геометрической разности аппроксимирующие эллипсоиды являются касательными к геометрической разности, в регулярных точках границы и не касаются в узлах. При этом их пересечение дает точное решение. Для того чтобы продолжить дальнейшие рекурентные вычисления после аппроксимации геометрической разности может понадобиться для узлов границы множества построить новые касательные эллипсоиды (алгоритм построение касательных эллипсоидов для произвольных выпуклых множеств приведен в раздел 2.9). Исходя из данного предположения сформулирована теорема 2.2, дающая явные выражения для аппроксимирующих эллипсоидов.

В разделе 2.6 описывается формальный алгоритм построения внешней эллипсоидальной аппроксимации множества достижимости типа max min с конечным числом точек коррекции. Аналогично в разделе 2.7 строится алгоритм для множества достижимости типа min max.

В разделе 2 9 детально рассмотрен вопрос нахождения эллипсоидальной аппроксимации в узлах границы области достижимости после вычисления геометрической разности множеств.

Рис. 3: Пример вешних апрроксимаций, случай с конечным числом точек коррекции

Рис. 3 иллюстрирует пример построения внешних аппроксимаций для трубки достижимости типа max min (слева) и min шах (справа) при различном числе точек коррекций траектории к — 1 (вверху) и к = 4 (внизу).

Третья глава посвящена вопросам достижимости управляемых систем при неопределенности и управлении с обратной связью Здесь рассматривается более сложная, чем во второй главе постановка задачи — управление выбирается из класса позиционных стратегий. Наличие обратной связи приводит к тому, что управление системы зависит не только от времени, но и от состояния, и это привносит нелинейность в исходную систему.

Рассмотрена управляемая система

xeA(i)x + B(t)U{t,x) + C(t)v(t), t€T = [to,ti\, (5)

где U(t, х) принадлежит классу позиционных стратегий Ucl> то есть U(t, х) — многозначное отображение U(-, •) : Т х R" —> convR?, гарантирующие существование и продолжаемость на весь отрезок времени решения дифференциального включения (5), стесненное геометрическим ограничением U{t,x) € V(t). На систему оказывает воздействие внешнее неизвестное возмущение, стесненное геометрическим ограничением v(t) 6 Q{t). Предполагается, что V(t), Q(t) — симметричные многогранники. Начальное состояние системы ограниченно включением x(to) € Х°, где Х° — невырожденный эллипсоид.

Под областью достижимости при неопределенности [19] в момент времени t понимают множество всех состояний х, для которых существуют позиционные стратегии U е Ucl такие, что какое бы ни было возмущение v(-) Ç. Vo существует решение X(t, t0, U, «(•)), x° 6 X°, системы (5), такое что x 6 X(t,t0,x°| U,v{-)).

I I

Преследуются следующие цели: построить семейство эллипсоидальных аппроксимаций, объединение которых находится во внутренней е-окрестности множества достижимости; построить семейство эллипсоидальных аппроксимаций, пересечение которых находится во внешней е-окрестности области достижимости; выделить подсемейства эллипсоидальных трубок, касающихся трубки достижимости вдоль семейства хороших кривых и удовлетворяющих рекуррентным уравнениям.

При выполненных условиях регулярности область достижимости при неопределенности и управлении с обратной связью может быть представлена как предел областей достижимости задач программного управления с конечным числом точек коррекции, рассмотренных во второй главе. Пользуясь свойством непрерывности области достижимости по начальным данным, управлению и помехе, можно построить численный алгоритм, аппроксимирующий е-окрестность множества достижимости, основанный на схеме, пред-f ложенной в предыдущей главе. Увеличивая количество точек коррекции, можно добиться

необходимой точности аппроксимации искомой области. Основным недостатком данного подхода является наличие трудоемких вычислений. Кроме того, предложенный в преды* дущей главе алгоритм не позволяет найти внутреннюю аппроксимацию множества достижимости.

В данной главе предложен другой подход к поиску внешних и внутренних аппроксимаций. Используя свойство непрерывности множества достижимости от ограничений на управление и погрешность, строятся внешние и внутренние е-аппроксимирующие задачи достижимости с ограничениями в виде суммы невырожденных эллипсоидов.

В разделе 3.2 ставятся следующие основные задачи. Задача 3.1. При фиксированном t 6 Т для области достижимости X[t], для произвольного е > 0 построить семейство Е = {£_} внутренних эллипсоидальных аппроксимаций:

convUf. С Щ, ft(conv(_Jf_,X{t]) ^ е\

Б Е

выделить подсемейство тугих рекуррентных аппроксимаций £1' [i] С X[t], касающихся окрестности множества достижимости вдоль семейства хороших кривых:

р(г№-[®>р(гшщ)-41'т, ft(conv и ter.

, i*(to)eR»

Задача 3.2. При фиксированном t&T для области достижимости X[t], для произвольного е > О построить семейство Е = {£+} внешних эллипсоидальных аппроксимаций:

А(*м,ГК)<е> *M£fK;

В Е

выделить подсемейство тугих рекуррентных аппроксимаций X[t] С касающихся окрестности множества достижимости вдоль семейства хороших кривых•

/■(to)6R»

В разделе 3 3 приводятся основные факты теории достижимости при неопределенности, необходимые для дальнейших рассуждений. Вводятся эволюционные уравнения, описывающие динамику области достижимости В дальнейшем предполагается, что выполнены условия регулярности, необходимые для сходимости альтельнированных интегральных сумм первого и второго рода к решению эволюционного уравнения.

Рис. 4: Проекция на оси 0%\Х-1 е-окрестности трубки достижимости и ее эллипсоидальные аппроксимации

В разделе 3 4 подробно рассмотрен вопрос о непрерывности области достижимости по начальным данным, управлению и помехе. В силу непрерывности области достижимости, можно от задачи с вырожденными ограничениями на начальные данные, управление и помеху перейти к /¿-регуляризации исходной задачи с невырожденными ограничениями.

В разделе 3.5 вводятся понятия внутренней и внешней ¿¿-окрестности для области достижимости исходной задачи. Под внешней /¿-окрестностью понимается максимальное по включению множество достижимости при ограничениях на управление, помеху и начальное состояние системы, находящихся в /¿-окрестности ограничений исходной задачи. Под внутренней /¿-окрестностью понимают минимальное по включению множество.

В разделе 3.6 строятся внешние и внутренние невырожденные эллипсоидальные аппроксимации для произвольного симметричного невырожденного многогранника.

Далее в разделе 3.7 для построения внутренней /¿-аппроксимации исходной задачи в качестве ограничения на управление берется внутренняя аппроксимация многогранника, стесняющего управление, и в качестве ограничения на помеху берется внешняя аппроксимация многогранника, стесняющего неопределенность. Аналогично для построение внешней /¿-аппроксимации исходной задачи в качестве ограничения на управление берется внршняя аппроксимация многогранника, стесняющего управление, и в качестве ограничения на помеху берется внутренняя аппроксимация многогранника, стесняющего неопределенность.

В разделах 3 8, 3 9 для внешней и внутренней /¿-аппроксимации в силу невырожденности эллипсоидальных ограничений, используя схему предложенную ранее в работе [16], производится построение эллипсоидальной аппроксимации. Утверждения 3.3-3.5 раздела 3 8 позволяют построить численный алгоритм решающий проблему 3.1. Утверждения 3.6-3.7 раздела 3.9 дают решение проблемы 3.2.

Рис. 4 иллюстрирует построение внутренних (слева) и внешних (справа) тугих аппроксимаций для е-окрестности трубки достижимости при неопределенности и управлении с обратной связью для динамической сислемы в К1.

Автор приносит искреннюю благодарность своему научному руководителю Александру Борисовичу Куржанскому за постановки задач, внимание к работе и ценные советы.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке программы «Университеты России — Фундаментальные исследования» (грант № УР.3.3.07), РФФИ (грант X' 03-01-00663) и гранта Президента России по поддержке ведущих научных школ (№ НШ-1889 2003.1)

Список цитируемой литературы

[1] Красовский Н. Н. Игровая задача о встрече движения. М.: Наука, 1970.

[2] Куржанский А. Б■ Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

[3] Куржанский А. Б. Альтернированный интеграл JT.C Понтрягина в теории синтеза управлений // Труды МИАН им В.А.Стеклова. Т. 224. 1999. с. 234-248.

[4] Лотов А. В Численный метод построения множеств достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями // Журн вычисл. математики и мат. физики. 1975. т.15. N 1.

[5] Понтрягин Л. С. Линейные дифференциальные игры преследования // Математический сборник. 1980. Т. 112 (154). N 3 (7). с. 307-330.

[6] Никольский М. С. Об альтернированном интеграле Л. С. Понтрягина // Математический сборник. 1981. Т. 126 (158). N 1 (9). с. 136-144.

[7] Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

[8] Демьянов В. Ф. Минимакс: дифференцируемость по направлениям. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1974.

[9] Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980

[10] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

[11] Костоусова Е К. Внешение и внутренние оценивание областей достижимости при помощи параллелотопов. // Вычисл. технологии. 1998. т.З. N 2. с.11-20.

[12] Kostousova Е. К. State estimation for dinamic system via parallelotopes: optimization and parallel computations. // Optimization Methods & Software, 1998, V. 9, p.269-306.

[13] Kostousova E К Control synthesis via parallelotopes: optimization and parallel computations // Optimization Methods & Software, 2001, V. 14, p 267-310

[14] Bertsekas D. P., Rhodes I. B. Recursive State Estimation for a Set-Membership Description of Uncertainty. // IEEE Trans. Aut. Control. 1971. Vol.16. N 2. p.117-128.

[15] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control. // Theory, SIAM, Studies in Applied Mathematics, 1994.

[16] Kurzhansh А. В., Vdlyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control SCFA. Boston: Birkhauser, 1997.

[17] KuTzhanski А. В., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis. Paxt I: External approximations. Part II: Internal approximations. Box-valued constraints.

// Optimization methods and software. 2002. V. 17. p. 177-237.

[18] Kurzhanski А. В., Varaiya P Ellipsoidal techniques for reachability analysis. Part I: External approximations. Part II: Internal approximations. Box-valued constraints.

// Optimization methods and software. 2002. V. 17. p. 177-237.

[19] Kurzhanski А. В., Varaiya P. On reachability under uncertainty // SIAM Journal on Control. V. 41. N. 1. p. 181-216. 2002

[20] Kurzhanskj А. В., Filippova T. F. On the Theory of Trajectory Tubes: a Mathematical Formalism for Uncertain Dynamics, Viability and Control. Ц Advances in Nonlinear Dynamics and Control, ser. PSCT 17, p.122-188, Birkhauser, Boston, 1993.

[21] Schweppe F. C. Uncertain Dynamic Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1973

[22] Walter E., Piet-Lahanier H. Exact recursive polyhedral description of feasible parameter set for bounded-error models. // IEEE Trans. Autom. Contr. 1989. Vol.34. N8, p.911-915.

[23] Witsenhausen H. S. Set of possible states of linear systems given perturbed observations. // IEEE TVans. Autom. Contr. 1968. Vol.13. N5, p.556-558.

Публикации по теме диссертации

[24] Кирилин M. Н. Эллипсоидальные аппроксимации в задачах достижимости с неэллипсоидальными ограничениями. Внешние эллипсоиды. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. ВМК. 2004. N 3. с. 43-50.

[25] Кирилин М. Н. Эллипсоидальные аппроксимации в задачах достижимости с неэллипсоидальными ограничениями. Внутренние эллипсоиды // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. N 6. с.17-21.

[26] Kvrdin U. N., Kurzhanskt А. В., Ellipsoidal techniques for reachability problems under nonellipsoidal constraints. // Proc. NOLCOS-Ol. V. 2. IFAC, Elsevier Science, St. Petersburg, 2001. p. 768-773

[27] Kirilin M. N., Kurzhanski А. В., Varaiya P. Reachability under uncertainty and measurment noise. // Proc. IFAC Conference on Mathematic Modeling, Viena, 2003.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 21.09.2005 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 559. Тел. 939-3890. Тел ./Факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

419809

РЯБ Русский фонд

2006-4 16363

\

Введение

1 Достижимость управляемых систем без неопределенности

1.1 Введение

1.2 Постановка задачи.

1.3 Внешние и внутренние эллипсоидные аппроксимации для суммы эллипсоидов

1.4 Внутренняя эллипсоидальная аппроксимация.

1.5 Тугая внутренняя аппроксимация и рекуррентные уравнения.

1.6 Внешняя е-окрестность множества достижимости.

1.7 Внешняя эллипсоидальная е-аппроксимация.

1.8 Тугая внешняя е-аппроксимация и рекуррентные уравнения.

2 Достижимость управляемых систем при неопределенности с управлением без обратной связи при конечном числе точек коррекций

2.1 Введение

2.2 Постановка задачи.

2.3 Эллипсоидальная внешняя е-аппроксимация множества достижимости тина max min.

2.4 Множество достижимости типа шах min.

2.5 Множество достижимости типа min max с А; точками коррекции

2.6 Множество достижимости типа max min с А; точками коррекции

2.7 Алгоритм построения внешней аппроксимация для множества достижимости с к точками коррекции

2.8 Примеры

2.9 Алгоритм построения е-касательных эллипсоидов для произвольного выпуклого множества.

3 Достижимость управляемых систем при неопределенности и управлении с обратной связью

3.1 Введение

3.2 Постановка задачи.

3.3 Эволюционное уравнение.

3.4 О непрерывности сверху и снизу решения эволюционного уравнения

3.5 /i-окрестность множества достижимости.

3.6 Внешние и внутренние эллипсоидальный аппроксимации для симметричного невырожденного многогранника.

3.7 Внешние и внутренние аппроксимации исходной задачи.

3.8 Внешние эллипсоидальные аппроксимации, находящиеся в /^-окрестности исходной задачи.

3.9 Внутренняя эллипсоидальные аппроксимации, находящиеся в //-окрестности исходной задачи.

3.10 Примеры .£

Вопросы, рассматриваемые в настоящей диссертации, относятся к математической теории процессов управления движением: задачам вычисления областей достижимости управляемых систем. Подобные проблемы возникают в задачах автоматизации процессов реального времени, оценивания состояния управляемых систем и верификации гибридных систем.

Изучаемые системы описываются линейными дифференциальными уравнениями, в которых наряду с управлением присутствуют также возмущение или неопределенное воздействие. Предполагается, что начальное состояние, управление и неопределенное воздействие стеснены "жесткими" геометрическими ограничениями. В рамках данных ограничений можно выделить три основные постановки задачи достижимости, рассмотренные в данной работе: достижимость без неопределенности; достижимость в условиях неопределенности с управлением без обратной связи и конечным числом точек коррекции траектории; достижимость с неопределенностью и управлением с обратной связью. Несмотря на линейность системы дифференциальных уравнений, задача построения области достижимости при неопределенности и управлении с обратной связью является нелинейной. Последнее объясняется тем, что управление принадлежит классу многозначных отображений, зависящих от траектории системы, после подстановки которой в исходные уравнения система принимает вид нелинейного дифференциального включения.

К настоящему времени разработан широкий спектр методов для решения задач достижимости, разрешимости и синтеза управления.

Альтернированный интеграл, введенный J1. С. Понтрягиным в работах [35, 36], рассмотренный в обратном времени, позволяет свести вычисление множества достижимости к интегрированию многозначных отображений [37]. Этот подход был продолжен в работах Е. Ф. Мищенко, М. С. Никольского, Е. С. Половинкина, Н. X. Розова.

Эффективным методом исследования управляемых систем послужил функциональный подход, разработанный Н.Н. Красовским и его сотрудниками [8], [11] - [19], [17, 57]. В монографии [12] предложена формализация дифференциальных игр и подробно исследована их структура. В частности, указано, каким образом можно построить синтезирующую стратегию управления, удерживающую траекторию внутри "стабильного моста", несмотря на действия второго игрока, и обеспечивающую выполнение фазовых ограничений и попадание на целевое множество в заданный момент времени.

Одним из самый общих подходов в теории управления является метод Динамического программирования, предложенный Р. Беллманом [2] и примененный к игровым задачам Р. Айзексом [1]. Данный метод заключается в погружении исходной задачи в параметризированный класс задач. Оптимальные значения функционала, вычисленные для каждого значения параметров, образуют функцию цены. При этом набор параметров, образующих позицию системы, должен быть достаточным для того, чтобы можно было сформулировать принцип оптимальности, выраженный в полугрупповом свойстве для функции цены. Тогда последняя является решением дифференциального уравнения в частных производных, называемого уравнением Гамильтона-Якоби-Белл-мана-Айзекса ( HJBA), а множество достижимости находится, как множество линий данной функции. Так как функция цены может быть не всюду гладкой, вводят различные понятия обобщенного решения уравнения Беллмана, например, вязкостные решения [52] или минимаксные решения [43, 44]. Если взять в качестве критерия оптимальности квадрат расстояния между начальным множеством и концом траектории в начальный момент времени и проминимизировать критерий оптимальности по управлению для всех траекторий, попадающих в точку х в момент времени t, мы определим соответствующую функцию цены V(t,x), и тогда искомое множество достижимости — есть множество уровня данной функции {х : V(t,x) <= 0}.

Одним из возможных методов построения внутренних и внешних аппроксимаций для множеств достижимости и разрешимости и нахождения и построения синтезирующей стратегии является метод эллипсоидальных аппроксимаций. Впервые эллипсоидальная техника рассматривалась в работах А.Б. Куржанского [20], §12, Ф. Швеппе

G9], Ф. Черноусько [47]. В работах А.Б. Куржанского [59, 22, 23, 62, 61, 65, 63] построена конструктивная теория, объединяющая метод динамического программирования, альтернированный интеграл и функциональный подход, предложенный Н.Н. Красовским, направленная на решение задач до конца, то есть до конечного численного алгоритма. Для этого используется аппарат эллипсоидальных аппроксимаций [59, 62, 63, 64], позволяющий строить тугие внутренние и внешние эллипсоидальные аппроксимации для множеств достижимости и разрешимости. Объединение тугих внутренних и пересечение внешних эллипсоидных аппроксимаций позволяют построить множество достижимости и его границу. Каждая тугая внутренняя аппроксимация для множества разрешимости является слабоинвариантной системой множеств, поэтому она может быть использована в качестве синтезируещей стратегии управления. При этом синтез может быть представлен в явном виде, через параметры аппроксимации и задача синтеза сводится фактически к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений для параметров эллипсоидальной аппроксимации.

Настоящая работа расширяет материал монографии [59]. В данной теории предполагается, что динамика системы описывается линейными дифференциальными уравнениями, а начальное состояние системы, управление и возмущения принадлежат геометрическим ( жестким или мгновенным ) ограничениям. Эти ограничения означают, что соответствующая величина в каждый момент времени должна находиться в заранее заданном непустом множестве. В качестве класса ограничивающих множеств взяты невырожденные эллипсоиды.

Однако на практике возникают ситуации, когда на управление и возмущение наложены вырожденные, негладкие, ограничения, например, в виде коробок или многогранников. Подобная постановка задачи была рассмотрена в работах Костоусовой Е.К. [54, 55] и для систем без неопределенности получении аппроксимации в виде параллелотопов.

Настоящая работа имеет целью развить эллипсоидальные методы аппроксимации областей достижимости на специфический круг объектов - линейные управляемые системы с "жесткими" неэллипсоидальными ограничениями на начальное состояние, управление и помеху, заданными в виде симметричных многогранников.

В первой главе диссертации рассматривается задача достижимости для линейной системы без неопределенности при ограничениях на начальное состояние системы и управление в форме симметричных многогранников.

В разделе 1.2 в общем виде описывается задача, которой посвящена первая глава.

Управляемая система задается дифференциальными уравнениями x(t) = A(t)x(t) + B(t)u, teT= [t0, ti]. (1)

Здесь x(t) £ P — положение системы, и € Rp — управление. Матрицы A(t), B(t) являются известными параметрами и обладают достаточной гладкостью.

Предполагается, что управление стеснено "жесткими" ограничениями, то есть принимает значение только из определенного множества: и € V{t). (2)

При этом используются два класса управлений: программные управления Uol (измеримые функции u(t)) и позиционные стратегии Ucl(многозначные отображения U(t, х) полунепрерывные сверху по фазовым переменным).

Предпологается, что множество V{t) является симметричным многогранником следующего вида т

7>(0 = М{р, Р) = {х:х = р + а е [-1,1]}. (3) i=l

Начальное состояние системы ограниченно включением x(to) € А4(х°,Х°).

В данной главе преследуются следующие цели: построить семейство внутренних эллипсоидальных аппроксимаций для области достижимости, объединение которых дает точное представление для множества достижимости; построить семейство внешних эллипсоидальных аппроксимаций для е-окрестности области достижимости, пересечение которых находится во внешней е-окрестности множества достижимости; выделить внутреннее подсемейство эллипсоидальных трубок, касающихся трубки достижимости вдоль семейства "хороших" кривых и удовлетворяющих рекуррентным уравнениям, независящим друг от друга; выделить внешнее подсемейство эллипсоидальных трубок, касающихся некоторой е-окрестности трубки достижимости вдоль семейства "хороших" кривых и удовлетворяющих рекуррентным уравнениям, независящим друг от друга.

В разделе 1.3 рассмотрены основные конструкции и положения из теории эллипсоидального исчисления (59].

Заключение

В заключение кратко сформулируем основные результаты работы:

1. Построена внешняя и внутренняя эллипсоидальная аппроксимация области достижимости для линейных управляемых систем без неопределенности с ограничениями на управление и начальное состояние системы в виде симметричных многогранников.

2. Для линейных систем с неопределенностью и управлением без обратной связи с конечным числом точек коррекции траектории предложен алгоритм построения внешних эллипсоидальных аппроксимаций для множеств достижимости типа maxmin и min max с ограничениями на управление, неопределенное возмущение и начальное состояние системы в виде симметричных многогранников.

3. Построена внешняя и внутренняя эллипсоидальная аппроксимация области достижимости для линейных управляемых систем с неопределенностью и управлением с обратной связью с ограничениями на управление и помеху в виде симметричных многогранников, а на начальное состояние системы в виде невырожденного эллипсоида.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

3. Варайя П., Курмсанский А. Б. Достижимость при постояннодействующих возмущениях. ДАН, т.372, N1-6, 2000.

4. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, Москва, "Наука", 1988.

5. Кирилин М. Н. Эллипсоидальные аппроксимации в задачах достижимости с неэл-линсоидальными ограничениями. Внешние эллипсоиды. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. ВМК. 2004. N 4

6. Кирилин М. Н. Эллипсоидальные аппроксимации в задачах достижимости с неэллипсоидальными ограничениями. Внутренние эллипсоиды. // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. N 6.

7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, Москва, 1981.

8. Красовский Н. Н. Об одной задаче преследования // ПММ. 1963. Т. 27. N 2. с. 244-254.

9. Красовский Н. Н. К задаче об успокоении линейной системы при минимальной интенсивности управления // ПММ. 1965. Т. 29. N 2. с. 218-225.

10. Красовский Н. Н. К задаче преследования в случае линейных однотипных объектов // ПММ. 1966. Т. 30. N 2. с. 209-225.

11. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

12. Красовский Н.Н., Игровая задача о встрече движения. Наука, Москва, 1970.

13. Красовский Н. Н. Минимаксное поглощение в игре сближения // ПММ. 1971. Т. 35. N 6. с. 945-951.

14. Красовский Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения I // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1973. N 2. с. 3-18.

15. Красовский Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения II // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1973. N 3. с. 22-41.

16. Красовский Н. Н. Дифференциальные игры. Аппроксимационные и формальные модели // Математический сборник. 1978. Т. 107 (149). N 4 (12). с. 541-571.

17. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985,

18. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

19. Красовский Н. Н., Субботин А. И., Ушаков В. Н. Минимаксная дифференциальная игра // Доклады АН СССР. 1972. Т. 206. N 2. с. 277-280.

20. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

21. Куржанский А. Б. Дифференциальные игры сближения при ограниченных фазовых координатах // Доклады АН СССР. 1970. Т. 192. N 3. с. 491-494.

22. Куржанский А. Б. Альтернированный интеграл Понтрягина в теории синтеза управлений // Труды МИАН. 1999. Т. 224. с. 234-248.

23. Куржанский А. Б., Мельников Н. Б. О задаче синтеза управлений: альтернированный интеграл Понтрягина и уравнение Гамильтона-Якоби // Математический сборник. 2000. Т. 191. N 6. с. 69-100.

24. Куржанский А. Б., Никонов О. И. К задаче синтеза стратегий управления. Эволюционные уравнения и многозначное интегрирование // Доклады АН СССР. 1990. Т. 311. N 4. с. 788-793.

25. Куржанский А. Б., Никонов О. И. Эволюционные уравнения для пучков траекторий синтезированных систем управления // Доклады РАН. 1993. Т. 333. N 4. с. 578-581.

26. Куржанский А. Б., Филиппова Т. Ф. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения // Доклады АН СССР. 1986. Т. 289. N 1. с. 38-41.

27. Никольский М. С. Об альтернированном интеграле JI. С. Понтрягина // Математический сборник. 1981. Т. 126 (158). N 1 (9). с. 136-144.

28. Никольский М. С. О нижнем альтернированном интеграле Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования // Математический сборник. 1985. Т. 128 (170). N 1 (9). с. 35-49.

29. Половинкин Е. С. Неавтономные дифференциальные игры // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. N 6. с. 1007-1017.

30. Половинкин Е. С., Иванов Г. Е., Балашов М. В., Константинов Р. В., Хорее А. В. Об одном алгоритме численного решения линейных дифференциальных игр // Математический сборник. 2001. Т. 192. N 10. с. 95-122.

31. Пономарев А. П. Оценка погрешности численного метода построения альтернированного интеграла Понтрягина // Вестник МГУ. Сер. вычисл. матем. и киберн. 1978. Т. 4. с. 37-43.

32. Пономарев А. П., Розов Н. X. Устойчивость и сходимость альтернированных сумм Понтрягина // Вестник МГУ. Сер. вычисл. матем. и киберн. 1978. Т. 1. с. 82-90.

33. Пономарев А. П., Розов Н. X. О дифференцируемое™ опорной функции альтернированного интеграла // Математические заметки. 1981. Т. 30. N 6. с. 865-870.

34. Понтрягин JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 5-е изд., 1982.

35. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх I // Доклады АН СССР. 1967. Т. 174. N 6. с. 1278-1280.

36. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх II // Доклады АН СССР. 1967. Т. 175. N 4. с. 910-912.

37. Понтрягин Л. С. Линейные дифференциальные игры преследования // Математический сборник. 1980. Т. 112 (154). N 3 (7). с. 307-330.

38. Понтрягин JI.C., Принцип максимума в оптимальном управлении, Москва, "Наука", 1989.

39. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

40. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

41. Субботин А. И. К задаче об игровой встрече движений // ПММ. 1967. Т. 31. N 5. с. 834-840.

42. Субботин А. И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью // Доклады АН СССР. 1972. Т. 206. N 3. с. 552-555.

43. Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991.

44. Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М., И.: Институт компьютерных исследований, 2003.

45. Тихонов А. Н., Васильева А. В., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

46. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

47. Черноусько Ф. Л., Оптимальные гарантированные оценки неопределенности с помощью эллипсоидов, /., II., III., Изв. Акад. Наук СССР, Тех. Кибернетика 3,4,5 1980.

48. Черноусько Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978.

49. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued Analysis. Boston: Birkhauser, 1990.

50. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V., Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Studies in Applied Mathematics, 1994.

51. Chernousko F.L., State Estimation for Dynamic Systems, CRC Press, 1994.

52. Crandall M. G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Transactions of American Mathematical Society. 1983. V. 277. p. 1-41.

53. Kirilin M. N., Kurzhanski А. В., Ellipsoidal techniques for reachability problems under nonellipsoidal constraints,// Proc. NOLCOS-Ol. V. 2. IFAC, Elsevier Science, St. Petersburg, 2001.

54. Kostousova E.K., State estimation for dinamic system via parallelotopes: optimization and parallel computations. Optimization Methods & Software, V.9, p.2G9-306.

55. Kostousova E.K. Control synthesis via parallelotopes: optimization and parallel computations. Optimization Methods & Software, V. 14, p.267-310.

56. Krasovski N. N., Subbotin A. I. Positional Differential Games. Springer Verlag, 1988.

57. Kurzhanski А. В., FilippovaT. F., On the Theory of Trajectory Tubes: a Mathematical Formalism for Uncertain Dynamics, Viability and Control, in: Advances in Nonlinear Dynamics and Control, ser. PSCT 17, pp.122 188, Birkhauser, Boston, 1993.

58. Kurzhanski А. В., Vdlyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. SCFA. Boston: Birkhauser, 1997.

59. Kurzhanski А. В., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis // Lecture Notes in Computer Sciences. 1999. V. 1790. p. 202-214.

60. Kurzhanski А. В., Varaiya P. Dynamic optimization for reachability problems // Journal of Optimization Theory and Applications. 2001. V. 108. N. 2. p. 227-251.

61. Kurzhanski А. В., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis. Internal approximation // Systems and Control Letters. 2000. V. 41. p. 201-211.

62. Kurzhanski А. В., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis. Part I: External approximations. Part II: Internal approximations. Box-valued constraints // Optimization methods and software. 2002. V. 17. p. 177-237.

63. Kurzhanski А. В., Varaiya P. Reachability analysis for uncertain systems the Ellipsoidal Technique. // Journal of nonlinear, impulse and discontinuous systems, N. 1., 2001

64. Kurzhanski А. В., Varaiya P. On reachability under uncertainty // SIAM Journal on Control. V. 41. N. 1. p. 181-216. 2002

65. Ky F. Minimax theorems // Proc. Nat. Acad, of Sci. USA. 1953. V. 39. N. 1. p. 42-47.

66. Lions P.-L., Souganidis P. E. Differential games, optimal control and directional derivatives of viscosity solutions of Bellman's and Isaac's equations // SIAM Journal on Control an Optimization. 1995. V. 23. p. 566-583.

67. Puri A., Borkar V. and Varaiya P., e Approximations of Differential Inclusions, in: R.Alur, T.A.Henzinger, and E.D.Sonntag eds., Hybrid Systems,pp. 109 - 123, LNCS 1201, Springer, 1996.

68. Schweppe F. C., Uncertain Dynamic Systems, Prentice Hall, Englewood ClifTs, NJ, 1973.

69. Valyi I., Ellipsoidal Methods in Time-Optimal Control, in: Modeling Techniques for Uncertain Systems, A.B.Kurzhanski, V.M.Veliov eds., ser. PCST 18, Birkhauser, Boston, 1994.

70. Varaiya P., Lin J. Existence of saddle points in differential games // SIAM Journal on Control an Optimization. 1969. V. 7. N. 1. p. 142-157.