Эволюция множеств и эллипсоидальные оценки состояния динамических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

На правах рукописи

РОКИТЯНСКИЙ Дмитрий Яковлевич

ЭВОЛЮЦИЯ МНОЖЕСТВ достижимости И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ СОСТОЯНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998

#

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научный руководитель:

академик РАН Ф.Л.Черноусько

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Карапетян, кандидат физико-математических паук Д. П. Баландин

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН

Защита диссертации состоится "18" июня 1998 г. в 15 часов на ■заседании диссертационного сонета Д002.87.01 при Институте проблем механики РАН по адресу: 1175*26, Москва, проспект Вернадского, 1011, ПГШ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан ''в" мая 1998 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д002.87.01

кандидат физико-математических наукЖ^ //^^/Р/^ Е.Я.Сысоева

Диссертация посвящена исследованию линейных динамических систем при неопределенных начальных условиях и ограниченных возмущениях матрицы системы.

Актуальность работы. Часто в прикладных задачах исследуемые математические модели включают влияние различных неопределенных факторов: внешних возмущающих сил, неконтролируемых вариаций параметров (например, коэффициентов жесткости или затухания в механических системах, сопротивления, емкости или индуктивности в электрических цепях, коэффициентов обратной связи в системах автоматического управления и т.д.). При этом необходимо определить, куда могут попасть траектории систем при наложенных на них ограничениях и различных реализациях возмущений. При описании построения закона управления, лежащего в границах известного множества, возникает сходная математическая модель. Эти проблемы могут быть сведены к оцениванию фазовых состояний динамических систем.

В работе рассматриваются и оцениваются множества достижимости динамических систем, то есть множества возможных значений фазового вектора. Исследуемые системы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Эти уравнения содержат неопределенности, входящие в их правые части аддитивно (например, возмущающие силы), и мультипликативно (например, ограниченные возмущения на матрицу системы или управления, изменяющие ее элементы).

В работе получено уравнение в частных производных, описывающее эволюцию границы множества достижимости. При решении этого уравнения объем необходимых вычислительных ресурсов быстро увеличивается с ростом размерности. Поэтому целесообразно применять оценки множества достижимости произвольной формы эволюционным семейством множеств канонического вида. Получить такие оценки позволяет метод эллипсоидов, развитый в работах Ф. Швеппе, А.Б. Кур-жанского, Ф.Л. Черноусько и других. Аппроксимация при помощи эл-

липсоидов имеет ряд преимуществ, среди которых простота и явный вид полученных аппроксимаций, гладкость границы, инвариантность класса эллипсоидов по отношению к аффинным преобразованиям, небольшое число параметров, которые описывают эллипсоид. В [1] для матрицы и центра оптимального эллипсоида внешней и внутренней аппроксимации были получены уравнения эволюции в случае, когда возмущения входят в систему только аддитивно. Задача построена оптимальных эллипсоидальных оценок множества достижимости при мультипликативной неопределенности была впервые поставлена и решена в работе [2] для случая покомпонентных ограничений на матриц} возмущений.

В диссертации (для систем, содержащих возмущения их матриц) строятся локально оптимальные внешние оценки множества достижимости.Оценки оптимальны в смысле критерия общего вида.

Во многих практических задачах с неопределенными параметрами возникает необходимость определения максимальных возможных отклонений фазового вектора при заданных ограничениях или возможностей з'правления всей совокупностью, то есть ансамблем траекторий Актуальность поставленных и решенных в диссертации задач обусловлена важностью исследования механических систем с неопределенными параметрами (систем с трением и затуханием, систем, содержащих электрические цепи и т.д.)

Цель работы. Постановка и решение задач исследования множеств достижимости линейных динамических систем с неопределенной матрицей. Получение уравнений эволюции опорной функции множества достижимости и его эллипсоидальных оценок, оптимальных пс различным критериям. Численное исследование построенных уравнений для некотрых задач динамики.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории оптимального управления, теории дифференциальных уравнений

и теории устойчивости, компьютерное моделирование.

Научная новизна. Решена алгебраическая задача построения образа при отображении произвольного ограниченного множества семейством матриц. Построено уравнение эволюции опорной функции множества достижимости линейной динамической системы с неопределенной матрицей. Построено уравнение эволюции оптимальных эллипсоидальных оценок этого множества для широкого класса критериев оптимальности и ограничений на матрицу возмущений. Получено точное решение уравнений эллипсоидальных оценок одного класса систем.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при постановке и решении задач оценки "наихудшей" реализации движения системы при заданных ограничениях на неопределенности в системе. Эти результаты могут быть использованы для оценки возможностей управления ансамблями динамических систем при произвольной реализации помехи.

Полученное точное решение уравнения эллипсоидальных оценок для одного класса систем позволяет отходить от особой точки при численном интегрировании уравнений внешних и внутренних оценок множества достижимости для одного класса линейных систем.

Достоверность полученных результатов. Полученные результаты основываются на корректности постановок исследуемых задач, строгом использовании математических методов.Результаты компьютерного моделирования подтверждают теоретические выводы.

Публикации. Имеется 5 публикаций [3-7].

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на IV Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" ( Москва, 4 - 7 июня 1996 г.), IV конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 17 - 19 сентября 1996 г.), Пятой Международной олимпиаде студентов и аспирантов по автоматике и управлению (Санкт-

Петербург, 2-4 октября 1996 г.), Юбилейной научной конференции МФТИ (Москва, 29 - 30 ноября 1996 г.), Международной конференции "Управление колебаниями и хаос" (СОС' 97, Санкт-Петербург, 27 - 2£ августа 1997 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и содержит 72 страницы машинописного текста.

Краткое содержание работы

Введение содержит обзор литературы, посвященной исследованию множества достижимости динамических систем и его оценкам Освещена значительная часть результатов развития метода эллипсоидов, в сжатом виде излагается содержание всех глав и параграфов.

Первая глава содержит постановку и решение задачи описания множества О - объединения образов произвольного ограниченного множества О в вещественном п-мерном пространстве Я" при отображенш: семейством матриц - ограниченным подмножеством М пространстве пхп матриц Мп. Результаты этих исследований используются в дальнейшем в главах 2 и 3 при получении уравнений эволюции.

Решается алгебраическая задача построения множества ¿):

Ь = {у : у = Ах,х € Д А е М С мп). (1;

Для множества Г) в случае задания покомпонентных ограничений не матрицы А 6 М в работе [2] были построены внешние эллипсоидальные аппроксимации.

Пусть множество М будет пропорционально единичному шару некоторой нормы в Мп.

М = {А: ||Л||<А}> (2!

Везде далее, когда говорится, что норма в М„ задает О, имеется I виду, что норма задает М согласно (2), а М задает О в соответстви!

с (1). Для важного частного случая нормы на Мп, индуцированной некоторой векторной нормой из Я™, множество D описано полностью.

Пусть на R" задана некоторая векторная норма | • |а, тогда на Мп определена индуцированная норма || • ||Q :

I4Х1

¡|Л||а = шах |Лг|а = max |.4г|а = max а. (3)

MQ=i kU<i F|o

Введем обозначения

Ва = {е G Я",где |e|q < 1}, Ra = sup |z|a.

Теорема 1. Пусть D задано соотношением (1) и || -|| в (2) - индуцированная норма || • ||q из (3). Тогда, если существует точка v £ D такая, что |t'|Q = Ra, то D = hRaBa в противном случае DD — hRaBa\dBa.

Помимо рассмотрения индуцированных норм, были получены результаты для случая, когда задается своей опорной функцией. Введем удобное в дальнейшем обозначение: если u, i' £ Я",то С = и v -матрица с компонентами c,j = иг tJ. Пусть Нм(С) - опорная функция произвольного М из Мп. Тогда для Я ¿(г) имеет место выражение:

Hß(z) = sup Hm(z множества, Оказывается, что инвариантность reo

относительно действия группы правых или левых сдвигов влечет такую же инвариантность опорной функции D.

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения. Пусть группы S, S' С GLn(R) и D задано соотношением (1) Справедливы следующие утверждения.

1) Если VG eS,(A6M О GA G М), то VG <Е 5, conv (£>) = conv (GD).

2) Если VG £ S', (Л G М <=> AG £ M), то VG £ S', conv (Я) = conv ((GD)).

В общем случае множество D невыпукло, пример невыпуклого D приведен в [2]. Тем не менее доказана следующая

Теорема 3. Для любых : 1 < < оо, 1/р+ 1/д = 1, если

( У/р

М задано соотношением (2), где || ■ || = ||Л|[|р = I I , тс

\1<;<п /

£) = кЯрВд (в частности, множество Г) выпукло).

В рассмотренных в главе примерах применения теорем 1-3 в качестве начального множества Во был взят эллипсоид общего положения с центром а и матрицей С}: До = Е(а, С}) — {х : (<2~1(х — а), х — а) = 1}. Получены формулы для вычисления радиуса сферы, £>о, в которую переходит £>о- Это позволило получить в главе 3 явные формулы для уравнений эллипсоидальных оценок.

Результаты теорем 1-3 или их следствий для всех наиболее естественных норм в Мп, определяющих Е) согласно (1), (2), приведены е первых двух столбцах Таблицы I.

Вторая глава рассматривает систему, описываемую линейными дифференциальными уравнениями и ограничениями:

г = [.40 (<)+Л(*)]г +(4)

Здесь г <Е /?" - п-мерный вектор фазовых координат системы, и; - п-мерный вектор возмущений. Матрицы Ло(<) и Л(<) лежат в пространстве пхп матриц Л/п, причем матрица .4о(*) - известная функция времени, а на матрицу Л наложено ограничение

А(1)еМ(^СМп. (5)

В начальный момент t = в фазовый вектор ;с(з) принадлежит выпуклому ограниченному множеству N С Я", заданы также ограничения на вектор ш:

ю € И'(<) С Я". (6)

Множества М{1) С Мп и И7(<) С Я" в (5), (6) считаются известными в каждый момент времени замкнутыми выпуклыми и ограниченными подмножествами Л/„ и Я" соответственно. Отсюда следует

что множества N, М{1) и IV{I) однозначно задаются своими опорными функциями Яд?(О, Ям(С) и где £ 6 Я",С £

Получено уравнение эволюции опорной функции И (£,<) минимальной выпуклой области, содержащей множество достижимости системы (4):

= Щ.О + Нм +Я„ (С0 (7)

с начальными условиями Я (£, в) = Я,\-(£).

Для наиболее распространенных норм, заданных на Мп и определяющих множество Д/ согласно (2), получен явный вид функции Ял/ ^ £ пР1ШеДеннЫ11 0 четвертом столбце Таблицы 1.

Пусть существует базис, в котором для системы (4) с ограничениями п начальными условиями (5) и (6) матрица До диагональна: Д0 = diag (сц,..., а„), а ограничения на начальные условия, аддитивные и матричные возмущения задаются прямоугольными параллеле-пипедамм размерности п и п* соответственное реораып, параллельными осям координат в пространствах Я" и Мп соответственно:

N = {х : |х,-| < р,-}, IV = {и,- : К| < /, }, « = 1.....п

М={А: |а,7(*)|<М*)} 1,1 = 1,-.-.п-

Тогда уравнение (7) допускает аналитическое построение точного решения. Из вида этого решения следует, что если матрица До устойчива (т.е. а, < 0), то необходимым и достаточным условием устойчивости системы (4) при 1Г = {0} для произвольных возмущений на матрицу До из множества М является устойчивость матрицы (До + В). Таким образом, получен новый способ доказательства этого условия устойчивости интервальных матриц.

Третья глава также рассматривает систему, описываемую уравнениями (4) и ограничениями (5). В начальный момент I = в фазовый вектор х(я) принадлежит эллипсоиду £\> = Я(а0,(2о), заданы также

эллипсоидальные ограничения на вектор аддитивных возмущений w: x(s) 6 Е0 = E(a0,Q0), w Е Ех = Е{с,В) = W(t) С Я". Функции h — h(t), с = c(i) и В = B(t) в (2), (6) считаются известными в каждый момент времени.

Для построения искомых уравнений эволюции оценок области достижимости (4) построим эллипсоид, содержащий множество Dо из главы 1 и оптимальный в смысле некоторого критерия оптимальности J = f(Q) где Q матрица эллипсоида, / - монотонная функция матрицы. Центр искомого эллипсоида совпадает с началом координат, а его матрица есть hPa(a,Q), где Pa(a,Q) приведено в Таблице 1 для норм, заданных на М„ и для случая, когда в качестве критерия оптимальности берется объем эллипсоида, т.е. f(Q) = det(Q). Для эволюции матрицы и центра локально оптимального эллипсоида получены уравнения:

a = A0(t)a + c(i); (8)

Q = AoQ + QA5 + qiQ + q:lB+ h[qaQ + f-'PoM)], (9) с начальными условиями:

Q{s) = Q о,

(10)

где обозначено

9i

df -">1/2

-1/2

92 = Л

1/2 df ■

-1/2

= hga,

(П) (12)

Для эллипсоидов, оптимальных в смысле объема имеем 9а = [п-1Я(а)Ъ(<Г1)]1/2.

Рассмотрен пример двумерной системы, для которой численно были получены траектории решения уравнения (9) с начальными условиями (10). Критерием оптимальности служит объем. Пусть для системы

А0 =

=

О 1

О О

1 О О О

в =

,а0 =

О О О 1

Система (8) в этом случае имеет нулевое решение. Пусть нормой, задающей М из (2), будет || -П^. Вычислим <71 и <72 согласно (11) и (12) и составим систему (9), учитывая, что 01=02 = 0:

<5ц = 2<э12 + (?1 +92)<2п +<72 д12 = 2<522 + (?1 +д2)Я12 + Я21^,

<?22 = (91 + <72)^22 + ?г' + ъ1{г> 91 = Я\[2В-\ 92 = [(<Эц + (ЭпЩЧ^О-1.

Решение этой системы при Л = 0.001 и начальных условиях <5п(0) = <522(0) = 1, <512(0) = 0 изображено на Рис. 1.

В четвертой главе рассматривается линейная управляемая система

х{п)+ = "> г(к)(0) € М с 1"1<1- (13)

Здесь х 6 Яп\ Лдг), и £ Я. Оцениваться при помощи эллипсоидов будет вектор у = {х,.^1),..., г^-1)} е Я".

Построим семейства локально оптимальных эллипсоидов (в смысле любого критерия для внутренних оценок и в смысле критерия /(<5) = С}пп для внешних оценок), аппроксимирующих множество достижимости системы (13). На основе общих уравнений [1] для этих эллипсоидов получим, что их центры лежат в начале координат, а матрицы внутреннего и внешнего аппроксимирующих эллипсоидов удовлетворяют системам уравнений

п

Ой = <?Гп =

Qnn —

Фн-1,.7 + Qi,j + Í'

п

к=1

а

Ь = 1

= -¿М№ + <г1+ 9 =

Гг1|в»

(15) -1/2

Удается точно решить уравнения (14) и (15) при /»&(/) = а^к~п~1. и при начальных условиях: = 0. Решение находится в виде степенных

функций :

(1б)

причем константы явно определяются. Так в случае а^ = 0, к = 1,.... п имеем:

ЬЪ =

,3 (п - ¿)!(п ~ ¿Ж2" + 2 - г - Я(2п + 1 - г - ]')п(п + 1): 4+ =_*_

(17)

(18)

Полученное точное решение (16) может быть использовано в качестве приближения для решения систем (15), (14) при более общем виде коэффициентов /1/с(<) в системе (13).

Литература

[1] Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем.-М.: Наука, 1988.

[2] Черноусько Ф.Л. Оценка множеств достижимости линейных систем с неопределенной матрицей // ДАН . 1996, том 349 №1.

[3] Рокитянский Д. Я. Точное решение уравнений эллипсоидов, аппроксимирующих область достижимости одного класса линейных систем // Изв. РАН Теория и системы управления. 1996. №1.

[4] Рокитянский Д. Я. Возмущенные линейные отображения множеств // Изв. РАН Теория и системы управления. 1997. №1.

[■5] Рокитянский Д. Я. Оптимальные эллипсоидальные оценки множества достижимости линейных систем с неопределенной матрицей // Изв. РАН Теория и системы управления. 1997. Л'!4.

[6] Рокитянский Д. Я. "Ограниченные возмущения матриц линейных динамических систем" // Тезнсы докладов IV Конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 17-19 сентября 1996 г.)

[7] Рокитянский Д. Я. Образы множеств при ограниченных возмущениях линейных операторов и эволюция множества достижимости возмущенной линейной системы. // Тезисы докладов Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва 4 - 7 июня 1996 г.)

Рис. 1

Таблица 1

1ИН D Pa{a> Q) #д/(£ ® Щ)

||Л||2 = шах|Ак|,/2,Ак- собственные значения матрицы А*А hR2B2 R2I

п IMIlt = max £ |a,j| 1<}<п<=1 kR\B\ Ril ¿if hletco

n h Яоо Boa Rooln1'7 All^looKIl

IMIk = Е Ы 1<1,j<n hRiBoo Riln1" Al^loolilco

IMIIu ='.J??ax |ау| 1 <1 j<n hRooBi Rooln^ h\y£\i\s Ь

( \l/p • £ ыр) \l<i J<n } i + i = I < p,q < со hRpBq Rpln'lp-1'2 ьЩШя