Метод расчета полей напряжений в окрестности тонких включений и трещин в упругих и упруго-пластических средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах рукописи

МЕТОД РАСЧЕТА ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ ТОНКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ И ТРЕШИН В УПРУГИХ И УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕДАХ

01.02.04 — "Механика деформируемого твердого тела''

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в лаборатории математических моделей механики Института проблем машиноведения РАН.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

— доктор физико-математических нау] С.К.Канаун

— доктор физико-математических нау] профессор Павел Андреевич Жилик

— кандидат физико-математических н; старший научный сотрудник Александр Борисович Фрейдин

— Государственный морской техничес: университет Санкт-Петербурга

Защита состоится ^а-л_ 1996 г. в ¿4 ~

часов на заседании диссертационного совета Д 200.17.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., Большой пр., 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ИПМаш РАН.

Автореферат разослан " п Опреу/д_ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

кандидат химических наук В.П.Глинин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние годы в качестве наполнителя в композитных материалах все чаще используются включения, один из характерных размеров которых много меньше двух других. Оказалось, что армирование композита жесткими чешуйками — наиболее эффективный путь увеличения его жесткости: при одинаковой объемной концентрации наполнителя жесткие чешуйки увеличивают модуль упругости материала в 1,5 - 2 раза больше, чем квазисферические включения или волокна. С другой стороны, среда, содержащая тонкие, но податливые включения, может быть рассмотрена как модельная для описания процессов накопления повреждений ( трещин и других дефектов) в реальных материалах. Таким образом, больший интерес для механики композитов представляют тонкие включения, модули упругости которых существенно отличаются от модулей упругости основной среды.

Один из классических подходов к исследованию сред с включениями опирается на использование математического описания в рамках теории упругости в виде интегральных или интегро-дифференциальных уравнений по срединной поверхности включения. При этом основной интерес для приложений представляют главные члены асимптотических разложений упругих полей в окрестности тонких включений по естественным параметрам задачи. Однако практическое применение подобных разложений связано как с математическими, так и с вычислительными сложностями.

В подавляющем числе случаев разрушение материала сопровождается образованием пластических областей. В связи с этим особое значение приобретают упруго-пластические задачи, в которых в ходе решения, помимо определения возникающих напряжений и деформаций, должна быть определена граница, отделяющая упругую и пластическую зоны. Аналитическое решение в замкнутом виде для такого класса задач получено только для случая антиплоской деформации.

Все вышеизложенное позволяет сделать вывод о научной

и практической значимости разработки методов и алгоритма расчета полей напряжений в окрестности тонких включений и трещин в упругих и упруго-пластических средах.

Цели и задачи исследования. В диссертации были поставлены следующие задачи:

1. Анализ задачи о равновесии однородной упругой среды, содержащей тонкое включение, модули упругости которого существенно отличаются от модулей упругости среды.

2. Построение метода решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в пространственных задачах теории упругости с включениями.

3. Изучение свойства класса экспоненциальных функций, при менительно к решению интегралных уравнений для среды с включением в плоском и пространственном случаях, исследование свойств предложенной аппроксимации на этом классе функций, получение оценки точности аппроксимации непрерывных и разрывных функций.

4. Решение с помощью введенной аппроксимации плоской и пространственной задачи теории упругости для сред с тонкими включениями, распространение метода на решение упруго-пластических задач.

Научная и практическая ценность работы заключается в разработке эффективного метода решения плоских и про-странстрвенных задач о тонких податливых и жестких включениях в упругих и упруго-пластических средах.

Новые результаты, выносимые на защиту

1. Предлагается достаточно универсальный метод решения задач о средах с тонкими включениями и трещинами, позволяющий рассматривать плоские и пространственные задачи. Метод распространяется на упруго-пластические среды и не зависит от конкретных особенностей задачи.

2. В результате применения аппроксимации решения функциями специального вида удается избежать численного вычисления интегралов. Класс этих функций характеризуется тем, что для них соответствующие интегралы могут быть вычислены аналитически. В результате исследование сред с разного рода включениями сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Публикации и Апробация работы. По теме диссертации опубликовано шесть научных работ. Результаты работы докладывались в НТО им.А.Н.Крылова, на V Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (Одесса), 12 Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластич-ности(Тверь), на международной конференции ЕШЮМЕСН-291 (СПб)

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 124 страницах и содержит 56 рисунков. Библиография включает 48 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели исследований и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе содержатся материалы, необходимые для последующего изложения, анализ публикаций, обсуждение основных особенностей решения задач о средах с включениями. Рассматривается бесконечная однородная среда с включением, которое занимает односвязную область V с гладкой границей. Проведенный анализ публикаций показывает, что проблема изучения влияния тонких неоднородностей может быть формализована на основе математических моделей в виде интегральных

(псевдодифференциальных) уравнений на срединной поверхности включения.

£aß(x) = £aß{x) 4-1 Kaß\ß(x - х^С^т^х') dÜ'

aaß{x) = alß(x) + J Saßx^x - 1>дДх') dÜ' (1)

KaßXft = cN\G ßii{x)](aß)(\ii)

Saß\n = C^ßl/pKL/pT6{x)C^SXfl — CaßXfl8(x)

Здесь £q(x) и ао(ж) — внешние поля деформации и напряжений, которые существовали бы в среде при заданных внешних нагрузках в отсутствии неоднородности, тп(х) — имеет смысл тензора плотности дислокационных моментов, индуцированных неоднородностью, G(x) — функция Грина для однородной среды с модулями Со, 6(х) — трехмерная дельта-функция.

В частности, для тонкого податливого включения, один из характерных размеров которого существенно меньше двух других, плотность дислокационных моментов maß(x) = na(x)bß(x). Здесь векторное поле Ь(х) удовлетворяет на £1 уравнению

Kß(x)bß(x)+ I Taß(x,x')bß(x')dÜ' = nß{x)a°Qß(x), х Ей (2) Jn

XQß(x) = h^ix^xix^xaß^n^x),

Taß(x,x') = -nx(x)S\aßfl(x - x^n^x')

где h(x) — поперечный размер включения вдоль нормали п(х) к О, в точке х Eil.

Следует отметить, что оператор Т может быть записан в форме интегрального оператора с ядром Т(х,х') лишь условно, так как соответствующий интеграл при х Е £1 формально расходится для сколь угодно гладкой Ь(х) (Т(х,х') ~ \х — x'\~z при х' —х).

Уравнения, соответствующие жестким включениям, аналогичны и приведы в диссертационной работе.

В этой главе приводятся также результаты исследования структуры решения в окрестности краев включения.

Аналитическое решение приведенных выше уравнений возможно лишь для тонких эллипсоидальных включений, находящихся в полиномиальном внешнем поле. Для остальных вариантов включений и внешних полей рядом авторов были предложены различные численные методы. Основным недостатком большинства этих методов является сложность вычисления интегралов от быстро меняющихся функций, а также необходимость использования специальных методов, например, регуляризации, для обеспечения сходимости соответствующих интегралов.

Во второй главе вводится класс аппроксимирующих функций, позволяющий свести решение уравнения (2) к системе линейных алгебраических уравнений, матрица которых вычисляется аналитически.

Пусть О, - плоская область в Л3 или отрезок прямой в Л2. При этом ядро Т(х,х') оператора Т зависит только от разности аргументов, а сам оператор можно рассматривать как оператор свертки, если функцию Ь(х) считать продолженной нулем вне П. Если Ъ — функция класса 5(й") (п = 1,2) (бесконечно дифференцируемые функции, стремящиеся к нулю при \х\ —> эо быстрее любой степени |я|-1). то действие на нее оператора Т определяется формулой

1

(ТЪ)(х) =

(2пУ

Т*(к)Ь*(к)е~1кх ¿к (3)

Здесь интеграл распространен на все пространство Ип (п = 1,2) и существует в обычном смысле, Т*(к) - преобразование Фурье ядра Т(х).

Рассмотрим случай п — 1 (плоская задача) когда область О, представляет собой отрезок |ж| < 1 на плоскости (х. у). Будем

искать решение уравнения (2), в виде ряда

• / х2 \

Ь(х) = У£Ь'Пх-ъ), /Ы = ехр -—П. (4)

¿=1 ^ '

где Х{ = — 1 + Л(г — 1/2) — узлы аппроксимации, /г = 1/7У — шаг аппроксимации, Б — положительный коэффициент, Ь,- — коэффициенты аппроксимации. Такой выбор решения связан с тем, что действие оператора Т вида (3) на функцию /(ж—Х{) (/ Е 5(Л1)) определяется достаточно простым соотношением

(Т/)(х) = А[1 - ^ехр(-^)ЕгА(6)], £ = (х - х^/^Б),

где А — коэффициент пропорциональности, Ег£(£,-) — интеграл вероятности мнимого аргумента.

Для определения точности аппроксимации (4), доказано следующее утверждение Если функция и{х) имеет ограниченные первую и вторую производные, то ее можно представить в виде ряда:

и(х) = щ(х) + 11(х) (5)

1 °°

= ( пи/2 и(т}1) ехр{-(ж - т/г)2/!)/12}

* ' т=—оо

|ВД| < (||п||+||«'||)ЛоР)+||п"||/12£>/4, ЩБ) = 0(ехр{-тг2Я}), где ||/|| — норма в пространстве непрерывных функций.

Результаты проведенных численных экспериментов позволили выявить влияние параметров аппроксимации и сформулировать рекомендации по выбору их оптимальных значений.

В третьей главе рассматривается плоская задача теории упругости. В случае плоской задачи при соответствующем выборе декартовой системы координат хуг существенными аргументами для искомых функций являются только координаты х и у. Характеристики состояния и движения в плоской задаче вообще не зависят от координаты 2 или зависят от нее известным простым образом.

Рассматривается тонкое податливое включение, находящееся в бесконечной упругой среде, с приложенной на бесконечности нагрузкой сг°(ж). Решение уравнения (2) проводится на основе аппроксимации (4). Для увеличения точности расчетов предлагается учесть вид асимптотики решения уравнения (2) в окрестности краев включения, для этого функция Ь(£) представляется в виде:

&(£) = та-е2)+ (б)

где

£ = х/1, и = Аппроксимация (4) для функций /?(£) и (1 — имеет вид

то = рр' ехР (-^щ^) ■ >ч = <2/'< т

р ■-«:= тт Х> ■~ Ф1 «р {-Ч^) ■ ^ = */*

где Ы, М — число узлов аппроксимации, — координата г-го узла.

Подставляя Ь(х) в (2) и требуя выполнения равенства во всех узлах приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов аппроксимациии (31 в (7)

Л'

5>*/&=Л™ к = (т = 1,2) (8)

1=1

А* = а(ЬГ*Ат ехр (1 - &)' - ^ Е

1 / ¿—.-у

Ацк = (1 " Ф; ехр (-щ^щ) [1 " 2%'*ехр(-4-,) ЕгА(т^)]

Г/• / > О \0. / < 0

л ^ л А + _

Л1 = 7-' Л2 = 7уГ-' 1к ~ -

я = 1

(/г2 + /г22)1/2 ^ я£>1/2

а- -

где а(х) — безразмерная функция формы включения (Ь(х) = Иоа(х), а(х) = 0(1)), Ао, А, р — коэффициенты Ламе среды и включения соответственно.

Из результатов второй главы следует, что аппроксимация (б), (7) имеет наибольшую погрешность на краях включения (£ = ±1). Поскольку &(£) представляется в виде произведения аппроксимаций, то точность вычисления этой функции вблизи краев трещины еще больше ухудшается. Исправить этот недостаток предлагается следующим образом. При аппроксимации функции (1 — £2)+ зададимся достаточно большим числом узлов, чтобы сделать погрешность ее вычислений пренебрежимо малой. Размерность системы алгебраических уравнений, к которой сводится решение задачи о тонком включении, при этом не увеличивается, так как указанная размерность определяется только числом узлов аппроксимации функции /?(£). Далее, поскольку функция (1 — равна нулю за пределами трещины, то функцию /?(£) в (6) можно с помощью любого гладкого продолжения определить и за пределами отрезка [—1,1] любым гладким образом. В результате область, где погрешность аппроксимации функции /3(£) наибольшая, сдвигается за пределы включения. Чтобы не увеличивать размерности системы, функцию /3(£) целесообразно продолжать в области £ € (—1 — 6, — 1) и £ е (1,1 + <5) четным образом относительно концов включения.

На основе вышеизложенного была разработана программа, позволяющая вычислять вектор-скачок перемещений и коэффициент интенсивности напряжений на краю трещины или включения. Было произведено исследование сходимости решения при увеличении числа узлов аппроксимации. Для проверки эффективности метода проводилось сравнение полученного численного значения вектора-скачка перемещений на срединной поверхности трещины с известным точным решением.

и

При этом погрешность вычислений не превышает одного процента по всей длине трещины (причем, как и следовало ожидать, основная погрешность сосредоточена вблизи вершин трещины). В диссертационной работе также приводятся результаты для эллипсоидальных включений, включений, имеющих точку возврата, и включения в виде остроконечного клина.

Кроме того, в третьей главе получены выражения для напряжений в среде с трещиной. При представлении Ь(х) в форме (4), интегралы в (1) вычисляются аналитически. Компонента сгц, таким образом, вычисляется по формуле:

<ти(х) = о»и(х) - ^Я£ В1 - (9)

г=1

х [8Яп(г2)(2Л1(^-, х2) - \х2\^\{£ц, х2)Щ +

( (Х{ — х-)2

Х2) - \х2\Л2о(^, ехР ущ^гщ

где

у/щтщ- 3 н+н

Выражения для других компонент аналогичны и приводятся в диссертационной работе вместе с точными и асимптотическими выражениями для J^nn. Сравнение значений компонент тензора напряжений вблизи вершины трещины с известными, вычисленными по аналитическим формулам величинам, демонстрирует высокую эффективность метода.

В четвертой главе предлагаемым методом строится решение задачи о находящейся в однородной упругой среде трещине-разрезе с плоской поверхностью 0. для трехмерного случая.

Аналогично плоской задаче решение уравнения (2) при Л(х) = О представлялось в виде (х1, х2 — декартовы координаты в плоскости трещины)

Ъ(х) = (3(х1, ж2)/+(жх, х2).

Здесь — известная функция, описывающая характер поведения решения при х —> Г, имеющая вид

Ъ(х) = ß{x,)r112 (Ю)

где г — расстояние от точки xq G до точки ж € Г по нормали к Г. ß(x) — гладкая на Г функция.

При такой записи решения интеграл в (1) может быть вычислен аналитически, и результат действия оператора Т на функцию Ь(х) вида (4) определяется соотношением

NM / I _ |2 \

= spfeEE^ib^-p (-^rj)

(п)

{2 [(1 - 2fcjKoifcj) + ^аШц)} (Saß + ае0nanß) +ae0 [(ii(6i) " ~Soß + 2 (J0(6i) ~ (1/26, + l)/i(&)) yijayijß]}

где

6 = eiei + e2e2, ytJ = Vij^i + Vij2^2,

с -M. hlhß

(,h\xn + h2ßxji) (h2bXi2 + h2ßxj2)

m =11--Щ+ЩГ1 m2 = 12 —ЩЩГ

|a;| = x2 + x\; яц, — координаты узлов аппроксимации функции ß(x); xji, xj2 — координаты узлов аппроксимации г1/2, hß, hb — шаги аппроксимации функций ß(x) и г1/2 соответственно.

Заметим, что количество слагаемых в аппроксимации функции г1!2 можно брать довольно большим, что позволяет свести погрешность ее вычисления к очень малой величине (порядка 1 /М2), не увеличивая размерности системы (11).

На основе данного подхода был создан программный пакет, позволяющий вычислять вектор-скачок перемещений и коэффициент интенсивности напряжений для плоских в плане трещин

произвольной формы. Величина вектора-скачка перемещений для круговой трещины сравнивалась с известным аналитическим решением. Основная погрешность сосредоточена вблизи границы трещины и не превышает 4%. Сравнение с результатами, полученными ранее Канауном и Касаткиным для квадратной в плане трещины, дает погрешность около 7%. Необходимо отметить, что в предложенном ими методе производилось численное вычисление интегралов от быстро меняющихся функций, что требовало повышенной точности вычислений и больших затрат машинного времени.

Пятая глава посвящена упруго-пластическим задачам. Рассматривалась задача о конечной области f1Р в упругой среде, испытывающей пластическую деформацию, которая характеризуется тензором пластических деформаций £paß{%)- Вследствие стеснения области ilp окружающей средой возникает дополнительная упругая деформация ееа^. Полная деформация среды eaß, равная сумме упругой £eaß и "неупругой" epQß составляющих, должна удовлетворять условию совместности. Рассматривалась теория упруго-пластических деформаций, основанная на условии Мизеса — условии постоянства интенсивности касательных напряжений:

T(s) — SijSij

где Sij = <Jij — l/3Sp ст — девиатор тензора напряжений. Можно показать, что напряжения и деформации в среде с такого рода неоднородностью определяются соотношениями (1) при т(х) = £Р{х).

Плоская деформация. Показывается, что при внешнем поле, удовлетворяющем уловиям

4 = 0, е?2 = е?3 = 0,

условие плоской деформации для среды с включением £1р выполняется автоматически. Причем преобразование Фурье плос-

ких компонент тензора напряжений имеет вид

а*{к) = а0*(к) - 4ае0/хо [^1 - 2Ёь(к) + Я6(*0]

—2/4о(эео — 1)(1 — тт)е^(к).

где I— плоский единичный тензор второго рода: та = Кроме того, тензор напряжений имеет также компоненту

+(2ае0 - 1)(Эр£*р(к) - тте*р(Щ ,

где

= -^п + 4>)

Плоское напряженное состояние. При внешнем поле, удовлетворяющем условию

„о _ _о _ „о _ п

для выполнения условия плоского напряженного состояния 033 = О на соответствующую компоненту тензора пластических деформаций накладывается ограничение, а именно

2ае

Кроме того, показывается, что преобразование Фурье плоских компонент тензора напряжений имеет в этом случае вид

а*{к) = о°*(к) - 4цо - (Ёг - 2Ёь(к) + Ё6(Щ ё*р(к)

Для определения тензора напряжений в среде с пластическим включением £1р тензор пластических деформаций представляется в виде ^

= ^ !>'(*) (13) ¿=1

ри \ р( \ ( (х1~хп)2\ ( (х2 ~ ха) е (х) = £ (а;,-) ехр --—^ ехр --

где N — число узлов аппроксимации (узлы задаются только в зоне пластичности). Предполагается, что узлы распределены равномерно вдоль координатных осей и х-2; к — расстояние между ближайшими узлами, лежащими на одной прямой (можно задавать сетку с разным шагом по разным координатам, при этом необходимо выполнение следующего условия В\к\ = £>2^2)' Ж«'Ь — координаты г-го узла; £р(х{) = £р(х{)а$еаев — пластическая деформация в г-м узле.

В результате получаются выражения для напряжений, возникающих в среде с источником внутренних напряжений, записанные через элементарные функции. В частности

ап(х) = а°и(х)~ (14)

N

1Ме(13)(х{) + ЫУгЫШъ) - ^01Мер12(хг)

7Г

1—1

где

е(кз)(х) = 2<ееркк(х) + (2ае - 1)е^(х). гц = {хг - хл, х2 - х¿2)

Imn(yi) —

к?Ц ( DK2

(Ц + klf

ехР--Т~(ki +к2)~ t(hyn + hyii) dÄi db2

Полностью аналитические выражения для этих интегралов, и остальных компонент тензора напряжений приведены в работе.

Данные алгоритмы были использованы для создания программного пакета, рассматривающего нагружение упругопла-стической среды с фиксированной трещиной.

Пусть в первоначально ненапряженном упругопластическом теле имеется трещина, которая при нагружении тела раскрывается, но не растет. Считается, что пластические деформации существуют в зоне, где достигается равенство

T(s) = <т3/у/3 (15)

Упругой областью считается область, в которой условие пластичности не выполняется в данный момент и не выполнялось ранее, согласно теории упруго-пластических деформаций, компоненты ер определяются из соотношения

£Ртт = К°Кк -£тп - 2к<7тп, тфп

где к — котангенс угла наклона.

Основные результаты расчетов, приведенные в диссертационной работе, относятся к случаю плоской деформации. Расчеты производились по следующей схеме

1. Определение начальной нагрузки, при которой в одном из узлов достигается равенство (15).

2. Вычисление соответствующего данной нагрузке вектора-скачка перемещений.

3. Вычисление "упругих" составляющих тензора напряжений, индуцируемых трещиной.

4. Вычисление "пластических" составляющих тензора напряжений, индуцируемых зоной пластических деформаций.

5. Проверка условия Мизеса и определение новой зоны пластичности.

6. Увеличение нагрузки с некоторым шагом.

7. Вычисление приращения вектора-скачка перемещений, вызванного приращением нагрузки.

8. Вычисление приращения "упругих" компонент тензора напряжений.

9. Вычисление "пластических" компонент тензора напряжений, индуцированных зоной пластичности, определенной на предыдущем этапе.

10. Проверка условия постоянства интенсивности касательных напряжений и определение новой зоны пластических деформаций.

11. Повторение пунктов 6 - 10 до достижения заданной нагрузки.

Было проведено исследование сходимости метода при уменьшении "шага"' аппроксимации и изменении величины приращения нагрузки в зависимости от величины к. Показывается, что шаг увеличения нагрузки должен быть таким, чтобы вызванное им приращение величины пластической деформации не превышало 20% от ер. В противном случае происходит так-называемая "раскачка процесса. При этом зона пластических деформаций на одном из шагов сильно увеличивается, что приводит к ослаблению напряженного состояния в вершине трещины и частичному разгружению материала.

Заключение содержит основные результаты выполненных в диссертационной работе теоретических и прикладных исследований, которые сводятся к построению и исследованию методов решения интегральных уравнений, описывающих равновесие однородной упругой среды, содержащей тонкое включение. При построении решения в работе сочетаются методы аналитического вычисления вектора-скачка перемещений на срединной поверхности включения, напряжений, возникающих в упругих и упруго-пластических средах, содержащих тонкое включение, и методы численного анализа свойств сред с различного рода включениями.

Выводы Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Исследованы свойства экспоненциальной аппроксимации, при которой функция представляется в виде суммы ее значений в узлах аппроксимации, взвешенных с помощью гау-совских плотностей рапределения. Получена оценка точности аппроксимации для / € С2.

2. Получены аналитические выражения для действия интегрального оператора задачи о трещине в упругой и упруго-пластических средах на базисные функции экспоненциального (гауссовского) типа. Эти выражения получены как для плоского, так и для пространственного вариантов задачи.

3. Показано, что решение задачи о среде с тонким включением может быть аппроксимировано решением линейной системы алгебраических уравнений. Получены аналитические представления матрицы коэффициентов этой системы через функции гипергеометрического типа.

4. Проведен численный анализ влияния расположения узлов и шага аппроксимации на эффективность вычислительного процесса и предложены специальные методы численного решения, позволяющие повысить точность и быстродействие алгоритмов решения рассматриваемых задач.

5. Эффективность метода показана на решении ряда конкретных задач. В том числе при определении вектора-скачка перемещений и напряжений в среде с тонким включением произвольной формы (плоская задача), вычислении коэффициента интенсивности напряжений и величины раскрытия трещины в пространственном случае, определении характеристик напряженного состояния в среде с изолированной зоной пластичности и решении упруго-пластической задачи о трещине-разрезе, где в ходе решения, помимо определения возникающих напряжений и деформаций определяется граница, отделяющая упругую и пластическую зоны в вершине трещины.

6. Разработаны алгоритмы и программные продукты, позволяющие решать вышеперечисленные задачи.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Вильчевская E.H., Канаун С.К. Решение интегральных уравнений для тонких включений и трещин в упруго-пластических средах. Тезисы докладов V Всесоюзного симпозиума "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики". Одесса: 1991. С.48-50

2. Вильчевская E.H. Расчет упругих полей в окрестности тонких включений и трещин в сплошной среде. Научно-

техническая конференция "Физико- технологические проблемы материаловедения и машиностроения". — Л.: ИП-МАШ. 1990. С.23-24

3. Вилъчевская Е.Н., Канаун С.К. О решении интегральных уравнений теории упругости и пластичности для сред с тонкими включениями и трещинами. Сб.тр. 12 Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск: 1991. С. 63-72

4. Вилъчевская Е.Н.. Канаун С.К. Расчет упругих полей в окрестности тонких включений и трещин в сплошной среде. Л.: ЛФИМАШ. 1991. Препринт 57. 27с.

5. Вилъчевская Е.Н., Канаун С.К. Интегральные уравнения задачи о тонком включении в однородной упругой среде. Прикл.математика и механика. 1992.Т.56.Вып.2.С.275-285.

6. S.K,Kanaun, А. V.Levin, E.N.Vilchevskaya Application of the boundary points method to some problems of fracture mechanics. Report on the Intern.Conf. Euromech-291. 1992