Методы топологической степени в некоторых задачах нелинейного анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Джамхур Махмуд Исмаил АЛЬ ОБАИДИ

МЕТОДЫ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 <^8 2015

005558351

Воронеж - 2015

005558351

Работа выполнена в Воронежском государственном педагогическом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Обуховский Валерий Владимирович. Официальные оппоненты: Климов Владимир Степанович

доктор физико-математических наук, профессор, Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова, кафедра математического анализа, заведующий кафедрой.

Семенов Михаил Евгеньевич доктор физико-математических наук, профессор, Военный учебно-научный центр ВВС "Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е.Жуковского и Ю.А.Гагарина", кафедра теоретической гидрометеорологии, профессор.

Ведущая организация: Тамбовский государственный университет им. Г.Р.Державина.

Защита состоится 24 марта 2015 года в 15 час. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Воронежского государственного университета, а также на сайте http://www.science.vsu.гu/dissermfo&cand=2725 Автореферат разослан " " января 2015 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Гликлих Юрий Евгеньевич

335.

Общая характеристика работы Актуальность темы. Геометрические методы нелинейного анализа, основанные на понятии топологической степени отображения имеют давнюю историю и восходят к именам А. Пуанкаре, JI. Брауэра, П. С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Лере, Ю. Шаудера. В дальнейшем эти методы были развиты и продемонстрировали свою высокую эффективность в трудах М.А. Красносельского, С.Г. Крейна, H.A. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, B.C. Климова, А.И. Перова, А.И. Половоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, Ф. Бра-удера (F. Browder), К. Даймлинга (К. Deimling), М. Фури (М. Furi), Л. Ниренберга (L. Nirenberg), Ж. Мавена (J. Mawhin) и других ученых.

Начиная с сороковых годов прошлого века эти методы распространяются на многозначные отображения. Разработке теории топологической степени для многозначных отображений компактного типа с выпуклыми значениями были посвящены труды Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, А. Челлины (А. Cellina), А. Гранаса (A. Granas), А. Лясоты (A. Lasota) и других.

Однако исследование целого ряда аспектов нелинейного функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и включений, теории управляемых систем требует распространения этой теории на более широкие классы многозначных отображений. Достаточно отметить, что ряд важных задач теории управления и динамических систем приводят к необходимости исследовать многозначные отображения с невыпуклыми значениями. В частности, укажем в качестве такого отображения оператор, сопоставляющий начальным данным интегральную воронку дифференциального включения или оператор сдвига по траекториям обобщенной динамической системы. Для различных классов многозначных отображений с невыпуклыми (ацикличными) значениями конструкции топологической степени предлагались в работах А. Гранаса (A. Granas), Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, Л.

Гурневича (Ь. Gorniewicz), В. Крышевского КгуэгешзЫ) и других.

С другой стороны, для изучения дифференциальных включений в банаховых пространствах весьма эффективным орудием является теория топологической степени некомпактных (уплотняющего типа) многозначных отображений (см., например, работы В.В. Обуховского, М.И. Каменского и др.).

Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении, в ней изучаются различные варианты теории топологической степени для класса псевдоациклических многозначных векторных полей и их приложения к различным теоремам о неподвижной точке, о точке совпадения и к нелокальным краевым задачам нелинейного типа. Отметим, что данный класс включает в себя поля, соответствующие композициям мультиотображений ациклического типа с непрерывными однозначными отображениями. Мультиотображения подобного вида возникают при изучении операторов сдвига по траекториям дифференциальных включений и управляемых систем.

Цель работы. Разработать новые варианты теории топологической степени для псевдоациклических многозначных отображений и применить их для установления новых принципов существования неподвижных точек, точек совпадения и к разрешимости нелокальных краевых задач для полулинейных дифференциальных включений.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. С помощью топологических методов методов нелинейного функционального анализа получены следующие основные результаты:

1. Построена и изучена топологическая степень для класса псевдоациклических многозначных векторных полей относительно выпуклого замкнутого подмножества в локально выпуклом пространстве.

2. С помощью вычисления топологической степени доказаны теоремы о неподвижной точке и совпадении для псевдоациклических многозначных отображений, обобщающих классические результаты Шефера, Роте

и Пуанкаре.

3. Вычислена топологическая степень эквивариантных и нечетных псевдоациклических многозначных векторных полей.

4. Построена и изучена топологическая степень для класса фундаментально сужаемых псевдоациклических многозначных векторных полей в локально выпуклом пространстве.

5. С помощью метода топологической степени доказаны теоремы о неподвижной точке для фундаментально сужаемых и уплотняющих псевдоациклических многозначных отображений.

6. Построена и изучена топологическая степень совпадения для пары, состоящей из линейного фредгольмова оператора Ь нулевого индекса и псевдоациклического многозначного отображения, уплотняющего относительно Ь.

7. Топологическая степень совпадения использована для доказательства теорем о совпадении линейного фредгольмова и псевдоациклического многозначного отображения.

8. Исследованы возможности применения степени совпадения к нелокальной граничной задаче для полулинейного дифференциального включения в банаховом пространстве.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального анализа, теории многозначных отображений и топологии.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований в математической теории управления, теории оптимизации и теории дифференциальных уравнений и включений.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XXIV" - Воронеж, 2013; Международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна" Воронеж, 2014; Воронежской ве-

сенней математической школе "Понтрягинские чтения XXV" - Воронеж, 2014; Международной открытой конференции "Современные проблемы анализа динамических систем, приложения в технике и технологиях" -ВГЛТА 18-19 июня Воронеж, 2014; Международном молодежном симпозиуме "Современные проблемы математики. Методы, модели, приложения"

ВГЛТА 18-19 ноября Воронеж, 2014; на международных научно-методических конференциях студентов, аспирантов и преподавателей кафедры высшей математики ВГПУ (Воронеж, 2013, 2014), а также на семинаре проф. Обуховского В.В.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. Из совместно опубликованных работ [2], [3], [8] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Работы [1]-[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, из которых первая, вторая, третья и четвертая главы разбиты на три, два, три и два пункта соответственно. Объем работы 100 страниц. Библиография содержит 40 наименований.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы исследования и описывается краткое содержание работы.

В первой главе диссертации приводятся основные сведения из функционального анализа, теории многозначных отображений и топологических методов. Дано определение класса псевдоациклических многозначных отображений (мультиотображений) следующим образом.

Пусть Н обозначает функтор когомологий Александера-Спеньера с целыми коэффициентами. Непустое пространство X называется 0-ацик-личным, если Н°(Х) - Ж, /с-ацикличным (к > 1), если Нк(Х) = 0 и ацикличным, если оно /с-ациклично для любого к > 0.

Пусть X, У топологические пространства, 1\(У) обозначает сово-

купность всех непустых компактных подмножеств Y, F : X K(Y) мультиотображение. Для г > 0 обозначим

Мр = {х\ х € X, F(х) не является г — ацикличным}.

Полунепрерывное сверху мультиотображение F : X —> K(Y) называется почти ациклическим, если:

(a) M'F = 0 для всех г, начиная с некоторого г'о > 0;

(b) f = max (dirnx MlF) < оо, где dim.у обозначает относительную раз-

0<r<io

мерность множества в пространстве X.

Мультиотображение F : X —> K(Y) называется псевдоациклическим, если существует топологическое пространство Z и непрерывное отображение 0 : Z Y такое, что F представимо в виде композиции F = ВоF, где F : X —> K(Z) почти ациклическое мультиотображение.

Второй параграф первой главы посвящен конструкции относительной топологической степени псевдоациклических многозначных векторных полей (мультиполей) в следующей ситуации.

Пусть Е - хаусдорфово локально выпуклое пространство, U С Е -выпуклая конечно ограниченная открытая окрестность нуля.

Пусть Т - выпуклое замкнутое подмножество Е. Обозначим Ut — UnT, dU - граница U.

Рассмотрим F = Э о F : дU —> К(Е) - псевдоациклическое мультиотображение такое, что: a) F(dUПТ) С Т; b) F\quht вполне непрерывно; с) FixF П д U ПТ — 0, где FixF = {х : х £ F(x)} - множество неподвижных точек.

С помощью обобщения Е.Г. Скляренко теоремы Виеториса 1 и теоремы В.В. Обуховского и А.Г. Скалецкого о квазиретракции 2 определяется топологическая степень 7г(Ф) псевдоациклического мультиполя

1 Е.Г.Скляренко, О некоторых приложениях теории пучков в общей топологии, УМН 19:6 -1964 - С. 47-70

2!З.П. Обуховский, А.Г. Скалецкий, Некоторые теоремы о продолжении непрерывных отображений, Сиб. мат. ж. - 1982 - 23. №4 - С. 137-141

Ф = i — F относительно множества Т.

Устанавливается корректность данного определения и описываются основные свойства введенной характеристики, включая ее гомотопическую инвариантность относительно множества Т..

Третий параграф первой главы посвящен вычислению топологической степени в некоторых конкретных ситуациях и получению на этой основе некоторых утверждений о неподвижной точке и точке совпадения. Базу подобного рода результатов образует следующая теорема.

(1.3.1) Теорема. Пусть F : О —> К{Е) - псевдоациклическое муль-тиотображение такое, что: (a) F(U П Т) С Т; (b) F\gnT - вполне непрерывно; (с) FixF ndU Г\Т = 0.

Если

7т(г - ф О, то существует точка xq € U П Т такая, что xq € F(xq).

Этот общий принцип открывает возможности для формулировки различных теорем о неподвижной точке. Справедливо следующее утверждение.

(1.3.2) Теорема. Пусть UT у^ 0, — i — f : U Е - однозначное поле такое, что: (a) /(От) С Т\ (b) f\gT - вполне непрерывно; (с) Fix/П dUnT = 0- (d) 7г(г - f\gu) Ф 0.

Пусть Ф = i — F - псевдоациклическое мультиполе такое, что: (i) F(Ut) С Т; (ii) F\qt - вполне непрерывно; (iii) Fix F П dU П Т — 0.

Предположим далее, что

(1.3.3) ркр(х) <£ Ф{х) для всех д < 0, х € dU П Т.

Тогда найдется точка х € От такая, что х 6 F(x).

Следствиями этого утверждения являются аналоги классических теорем о неподвижной точке Шефера и Роте.

Те же методы позволяют доказать следующую теорему о совпадении типа Пуанкаре.

(1.3.6) Теорема. Пусть Т С Е - конус с вершиной в нуле. Пусть <р = i — f : U —>■ Е однозначное поле такое, что условия (а), (Ь), (с), (d) теоремы 1.3.2 выполнены. Пусть Ф = i — F : Ü —> К{Е) -псевдоациклическое мультиполе, удовлетворяющее условиям (i), (ii), (iii) той же теоремы. Предположим далее, что (1.3.7) /лр(х) i F(x) для всех ц> \,х edU ПТ. Тогда найдется точка х € От такая, что <р{х) S F(x).

Завершает первую главу вычисление топологической степени эквива-риантных и нечетных мультиполей.

Вторая глава диссертации посвящена введению топологической степени и изучению ее приложений для некоторых классов некомпактных псевдоациклических мультиотображений.

Пусть X С Е. Выпуклое замкнутое множество Т С Е называется фундаментальным для мультиотображения F : X —> К{Е) (или соответствующего ему мультиполя Ф = i — F), если: 1) F{X П Т) С Т- 2) из х0 е cö(F(xq) U Т) следует х0 € Т.

Фундаментальное множество Т мультиотображения F : X К(Е) такое, что ХПГ/0и сужение F на X П Т компактно, называется существенным.

Есл и мультиотображение F : X —> К(Е) обладает существенным фундаментальным множеством, то F называется вполне фундаментально сужаемым (на Т).

Примерами вполне фундаментально сужаемых мультиотображений являются компактные и уплотняющие относительно монотонных несингулярных мер некомпактности мультиотображения.

Пусть U - открытое выпуклое конечно ограниченное подмножество локально выпуклого пространства Е; F = 0 о F : Ü К(Е) - вполне фундаментально сужаемое псевдоациклическое мультиотображение такое, что х $ F(x) для всех х € dU.

Топологической степенью мультиполя Ф = i — F, соответствующего

F, называется топологическая степень мультиполя Ф относительно произвольного существенного фундаментального множества Т:

Доказывается корректность этого определения, то есть его независимость от выбора существенного фундаментального множества Т. Описываются основные свойства введенной характеристики, включая ее гомотопическую инвариантность. Связь топологической степени с неподвижными точками раскрывает следующее утверждение.

(2.2.7) Теорема. Пусть для вполне фундаментально сужаемого псевдоациклического мультиотображения F : U —¥ К(Е) такого, что х ^ F(x) для всех х 6 0U выполнено 7(i - F, Ü) ф 0. Тогда 0 ф FixF С U.

Из этого общего утверждения вытекает следующая теорема о неподвижной точке.

(2.2.8) Теорема. Пусть однозначное отображение / : U —» Е и псевдоациклическое мультиотображение F : Ü —» К(Е) вполне фундаментально сужаемы на существенное фундаментальное множество Г и не имеют неподвижных точек на 8U. Пусть, далее

1)7г(г-/,£?)^0;

2) (i<p(x) (£ Ф(х) для всех /х < 0, х € dU, где Ф = i - F, <р = i - f.

Тогда 0 Ф FixF С U.

Ele аналогом для уплотняющих мультиотображений является следующее утверждение. Пусть Е - нормированное пространство и U ограничено.

(2.2.9) Теорема. Пусть непрерывное однозначное отображение / : Ü —► Е и псевдоациклическое мультиотображение F : U —» К(Е) являются (к, /3)-уплотняющими относительно вещественной, монотонной, несингулярной, правильной и полуаддитивной МНК 0 и не имеют неподвижных точек на dU. Если 7(г — /, О) ф 0 и выполнено условие (2) предыдущей теоремы, то 0 ф FixF С U.

В качестве следствия отметим следующие утверждения.

(2.2.10) Следствие (Теорема Шефера). Пусть псевдоациклическое мультиотображение F : U -> К(Е) является (к, /3)-уплотняющим относительно вещественной, монотонной, несингулярной, правильной и полуаддитивной МНК /?. Пусть

цх $ F(x) для всех ц > 1, х € dU. Тогда 0 ф FixF с U.

(2.2.11) Следствие (Теорема Роте). Пусть мультиотображение F : U -» К(Е) - такое же как в (2.2.10). Если

F(dU) С U,

то 0 ф FixF С U.

Третья глава работы посвящена конструкции топологической степени совпадения линейного фредгольмова оператора L нулевого индекса и псевдоациклического мультиотображения, которое является уплотняющим относительно L.

Пусть Ei, Е2 - банаховы пространства. Оператор L : DomL С Ei Е2 линейный фредгольмов оператор нулевого индекса, с которым ассоциированы следующие операторы:

а) линейные непрерывные операторы проектирования Р : Ei —5- Еу и Q : Е2 -> Е2 такие, что ImP = KerL и KerQ — ImL;

б) линейный изоморфизм LP : DomLnKerP -> ImL, Lp(x) = L{x) для x e DomL П KerP;

в) непрерывный оператор KP : ImL -> DomL П KerP, Kp(x) = ¿p1;

г) каноническая проекция П : Ег -> CokerL, заданная как Пу = y+ImL;

д) линейный непрерывный изоморфизм Л : CokerL KerL-,

е) непрерывный оператор Л>д : Ег Еи заданный как ¡\рд(у) =

- Qy).

Пусть U С Ei - открытое выпуклое ограниченное множество; /3 -мера некомпактности в ZJi.

Пусть псевдоациклическое мультиотображение Т : 0 —> К(Е2) является (¿,/3)-уплотняющим, то есть: (¡) множество Т{й) ограничено в Е-2; (п) мультиотображение

является /^-уплотняющим.

Точка х € ИотлЬпи называется точкой совпадения пары (Ь,Т), если

' Ьх € Г(х).

Множество всех точек совпадения пары (Ь, Т) обозначается С<лп(Ь, ¿У). Пусть Согп(Ь, 7", 0) П (<9£/ П БотЬ) = 0. Степенью совпадения

¿ед(Ь,Г, 0)

пары (Ь, Т) называется топологическая степень Аед(г — <5, 0) мультипо-ля г — О, где псевдоациклическое мультиотображение 0 : О К(Е\) определено как

д{х) =Рх+ (ЛП + КРд) о Т(х).

Устанавливается корректность данного определения и описываются основные свойства степени совпадения.

Непосредственно из определения вытекает следующий общий принцип существования точки совпадения. (3.3.1) Теорема. Если

то

0 ф Согп(Ь, Т, 0) С и.

Рассматриваются некоторые применения введенной характеристики к задаче о точках совпадения пары (Ь, Т).

12

Справедлив следующий вариант теоремы о нечетном поле.

(3.3.4) Теорема. Пусть область V симметрична относительно нуля, мультиотображение Т нечетно на дЬ\ то есть

Т(—х) — — ^(х)для всех х € 811.

Тогда степень совпадения (1ед(Ь,Т, 0) нечетна и, следовательно, 0 ф Стп(Ь, Т, 0) С и П БотЬ.

Доказывается также следующая теорема о продолжении.

(3.3.5) Теорема. Пусть Т : 0 К(Е2) - (Ь, /?)-уплотняющее псевдоациклическое мультиотображение такое, что

(¡) Ьх $ \Т(х) для всех х € ВотЬ П 811, А € (0,1]; (11) 0 £ П^х) для всех х 6 КегЬ П 811;

(ш) йедКет1{М1Т\ик„ь,икет1.) Ф 0.

Тогда 0 ф Сот(Ь, Т, О) С (и Г) ОотЬ).

В завершение главы рассматривается теорема о точке совпадения, являющаяся аналогом теоремы Б.Н. Садовского о неподвижной точке.

В четвертой главе обсуждаются возможности применения построенной в предыдущей главе теории к изучению следующей задачи.

Рассматриваются полулинейное дифференциальное включение в се-парабельном банаховом пространстве Е

(4.1.1) у'(1)еАу(1) + Р(1,у{1)), ¿<=[0,Т] вместе с нелокальным граничным условием следующего вида

(4.1.2) ¿2/(0) = у{у),

где Ь : ОотЬ С Е —» Е - линейный фредгольмов оператор нулевого индекса, (р: С([0, 7"]; Е) —> Е - непрерывное отображение.

Предполагаегся, что линейная часть включения (4.1.1) удовлетворяет условию

А) А : DomA С Е —> Е - замкнутый линейный оператор, порождающий Co-полугруппу eAt, t > 0.

Для многозначной нелинейности F : [0, Т] х Е —> Kv(E) выполнены условия, обеспечивающие существование интегрального решения задачи Коши3.

Задача (4.1.1) - (4.1.2) сводится к нахождению решения х 6 Е включения

.Lxe<p( £(*)),

или, иначе говоря, отысканию точки совпадения оператора L и муль-тиотображения уз о Е. Здесь Е(х) - мультиотображение, сопоставляющее каждому х € Е множество всех интегральных решений у(-) включения (4.1.1), удовлетворяющих условию у(0) = х.

Справедлив следующий общий принцип разрешимости задачи (4.1.1) - (4.1.2).

(4.2.5) Теорема. Пусть мультиотображение <р о Е : U —> К(Е) является (L, /?)-уплотняющим и deg(L, ц> о Е, U) ф 0. Тогда нелокальная граничная задача (4.1.1.) - (4.1.2) имеет решение.

Описываются достаточные условия того, чтобы мультиотображение ^оЕ было (L, /3)-уплотняющим. При выполнении такого рода условий справедливо, например, следующее утверждение.

(4.2.7) Теорема. Пусть U С Е - выпуклое открытое ограниченное множество; Рт : Е —> К(Е) - мультиоператор сдвига по траекториям включения (4.1.1), удовлетворяющий следующим условиям:

Р1) для любого х 6 DomL Л OU :

Рт(х) П {fiLx : ц > 1} = 0;

Р2) 0 £ ПРг(ж) для всех х € Kerb П dU;

эси. M.Kamenskii, V.Obukhovskii, P.Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, Walter de Gruyter, Berlin - New York, 2001

РЗ) degкег¿(АНPj\xjKtt,L, Ukctl) Ф 0, где последнее выражение представляет собой топологическую степень мультиполя, вычисляемую в конечномерном пространстве Kerb.

Тогда существует интегральное решение у(-) обобщенной периодической задачи (4.1.1), Ьу(0) = у(Т) такое, что у(0) 6 U П DomL.

Публикации автора по теме диссертации

[lj Аль Обаиди Дж. Топологическая степень для псевдоациклических многозначных векторных полей, Вестник ВГУ. Сер. физика, математика, Воронеж. - 2014. - № 2. - С. 95-110.

[2] Дж. Аль Обаиди, В.В. Обуховский, Топологическая степень для одного класса некомпактных мультиполей в локально выпуклых пространствах, Вестник ВГУ. Сер. физика, математика, 2014, N 3, 88-98.

[3] Дж. Аль Обаиди, В.В. Обуховский, Топологическая степень совпадения фредгольмовых операторов и псевдоациклических многозначных отображений, Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2014. Т.19. Вып. 6, 1771-1783.

[4] Дж. Аль Обаиди, Об индексе совпадения фредгольмовых возмущений квазиациклических мультиотображений, Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XXIV", - Воронеж: ВГУ, - 2013. -С. 68-69.

[5] Дж. Аль Обаиди, Топологическая степень некомпактных мулътиполей в локально выпуклых пространствах, Материалы международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна", - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга",

2014. С. 26-27.

[6] Дж. Аль Обаиди, Некоторые теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений, Современные методы теории краевых за-

дач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXV», - Воронеж : Издательско-полиграфический центр «Научная книга», 2014. - С. 55-56.

[7] Дж. Аль Обаиди. О степени совпадения для фредгольмовых возмущений псевдоациклических мулътиотображений / Дж. Аль Обаиди // Актуальные направления научных исследований XXI века: Теория и практика : сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции. - 2014. - №4, часть 2 (9-2). — С. 431-434.

[8] Дж. Аль Обаиди, Обуховский В.В. О нелокальных граничных задачах для полулинейных дифференциальных включений / Дж. Аль Обаиди, В.В. Обуховский // Актуальные направления научных исследований XXI века: Теория и практика : сборник научных трудов по материалам международной заочной научно-практической конференции. - 2014. - №5, часть 2. - С. 243-244.

Работы [1], [2], [3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 14.01.2015. Формат60*84'Л6. Печать трафаретная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 0,93. Заказ 16. Тираж 100 экз.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный педагогический университет» Отпечатано в типографии университета. 394043, г. Воронеж, ул. Ленина, 86.