Топологические инварианты краевых и обобщенных особенностей нелинейных операторов и их приложения

Кунаковская, Ольга Вениаминовна

Топологические инварианты краевых и обобщенных особенностей нелинейных операторов и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Кунаковская, Ольга Вениаминовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Топологические инварианты краевых и обобщенных особенностей нелинейных операторов и их приложения»

Автореферат диссертации на тему "Топологические инварианты краевых и обобщенных особенностей нелинейных операторов и их приложения"

На правах рукописи

Кунаковская Ольга Вениаминовна

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ КРАЕВЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ИХ? 26¡2

Воронеж - 2012

005015252

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Перов Анатолий Иванович

доктор физико-математических наук, доцент Фоменко Татьяна Николаевна

Ведущая организация: Вологодский государственный технический

университет.

Защита состоится 20 марта 2012 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан у^" февраля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22 доктор физ-мат. наук, профессор

Гликлих Ю.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертационной работе исследуется задача об обобщенных собственных векторах пары нелинейных операторов, действующих как в конечномерном, так и в бесконечномерном пространстве. Предлагается метод исследования условий существования обобщенных собственных векторов пары нелинейных операторов, основанный на конструкции топологических индексов особенностей пары сечений векторных расслоений, обобщающей конструкцию индексов краевых индексов 1-форм (векторных полей) В.И. Арнольда.

Множество S всех особых точек векторного поля на многообразии (или, более общим образом, сечения векторного расслоения) в существенной степени дает представление о его свойствах. Например, факт непустоты S - важная характеристика рассматриваемого поля. Выявление компонент связности S (например, изолированных особых точек поля) и вычисление их топологических индексов часто помогает прояснить многое в структуре S, а использование глобальных теорем (типа теоремы Пуанкаре-Хопфа или теории Морса) вместе с процедурой траисверсализацин дает результат, достаточный для первого анализа рассматриваемого поля. Распространенная практика формального представления физических полей как некоторых сечений подходящих векторных расслоений (или расслоений, ассоциированных с векторными расслоениями) позволяет считать проблему изучения множества S чрезвычайно актуальной по отношению к различным областям естествознания.

Кроме того, в рамках теории операторов в банаховых (или более общих) пространствах каждому оператору (линейному или, в общем случае, нелинейному) взаимно однозначно соответствует его график, являющийся сечением простейшего (тривиального) векторного расслоения-произведения, и, очевидно, исследуемые свойства оператора полезно соотносить со свойствами его графика (что часто использовалось как классиками, так и современными исследователями).

К рассмотрению собственных функций нелинейных операторов в свое время привели задачи о нелинейных колебаниях, об устойчивости сжатых стержней. Возникновение этой задачи обычно связывается с работами A.M. Ляпунова. Задача о собственных векторах нелинейных операторов в функциональных проз

странствах, впервые, видимо, рассматривалась Биркгофом и Келлогом

Исследованию задачи об обобщенных собственных векторах нелинейных операторов в значительной степени были посвящены исследования в научных школах М.А. Красносельского и М.М. Вайнберга. Работы в этом направлении публиковали такие специалисты как Р.Н. Rabinovich, M. Berger, К. Uhlenbeck, S.T. Cheng, J. Ize, F. Browder, С. И. Похожаев и многие другие. В.Г. Звягин исследовал задачу о собственных векторах, вводя их индексы через вторые препятствия В.Г. Болтянского. В этом направлении ведутся также активные современные исследования.

Целью работы является построение и исследование топологических индексов особенностей (в частности, обобщенных собственных векторов) пары гладких нелинейных операторов, заданных на открытом множестве с гладкой границей в сепарабелыгом гильбертовом пространстве. Также, целью работы является выделение класса сепарабельных банаховых пространств, допускающих элементы конструкции топологических индексов. Кроме того, целью работы является построение и исследование конечномерной основы конструкции топологических индексов для пары гладких сечений гладкого векторного расслоения ранга п над гладким компактным n-мерным многообразием с краем.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы нелинейного функционального анализа, дифференциальной топологии, общей топологии, а также отдельные методы линейной алгебры.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми:

1) для каждой подсистемы С в системе всех компонент связности множества S+{(J\,<Ji) особых точек пары гладких сечений (оьог) гладкого векторного расслоения ранга п над гладким компактным n-мерным многообразием с краем построена гомотопически инвариантная аддитивная целочисленная характеристика (обобщенный топологический индекс g{oi,<J2',C)), кососимметрическая относительно перестановки сечений данной пары,

2) доказана теорема о связи между глобальным краевым индексом Б (cri, егг) допустимой пары гладких сечений векторого расслоения над n-мерным многооб-

разием с краем и их глобальными внутренними индексами;

В(аиа2) = 1(а2) - (-1Г1Ы,

3) доказано, что для произвольной кристаллической среды имеется по крайней мере три направления продольных нормалей акустических волн,

4) для каждой подсистемы С в системе всех компонент связности множества

/<2) обобщенных особенностей пары нелинейных операторов вида

(Я. Рг) = (щ 1 я + Ки цг1 н + К2), щ < 0, № > О

с условием невырожденности на границе подмногообразия нулевой коразмерности в сепарабельном гильбертовом пространстве Я построена гомотопически инвариантная (в естественном классе д-гомотопий) аддитивная целочисленная характеристика — обобщенный топологический индекс д(Р1, Т7^; С),

5) доказана теорема о связи между глобальным краевым индексом В(Е1, допустимой пары нелинейных операторов п сепарабельном гильбертовом пространстве и их глобальными внутренними индексами:

6) доказана теорема о существовании "второго решения"в терминах обобщенного топологического индекса д для задачи об обобщенном собственном векторе пары нелинейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве,

7) выделен класс Сг-многообразий М, г > 1, являющихся паракомпактами и моделированными сепарабельными 5Ср-гладкими банаховыми пространством!!, где р > тах(2, г), допускающих Сг-разбиение единицы.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории операторных уравнений в бесконечномерных пространствах, математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных. Полученные результаты могут быть использованы для доказательства разрешимости задач, которые могут быть сведены к задачам о собственных векторах пары нелинейных отображений, заданных на областях с гладкой границей.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на VIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах

(Рига, 1983), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (Самара 1992), на IX Международной конференции по топологии и ее приложениям (Киев, 1992), на Международном Конгрессе Ассоциации "Женщины - математики" (Москва, 1994), на III Международной конференции женщин-математиков (Воронеж, 1995), на международной конференции "Stochastic and Global Analysis" (Воронеж, 1997), на международной конференции "Колмогоров и современная математика"(Москва, 2003), на Международной конференции "Анализ и особенности", посвященной 70-летию В.И. Арнольда (Москва, 2007), регулярно на Воронежских зимних математических школах и на Весенних Воронежских математических школах "Понтрягинские чтения", а также на научных семинарах Воронежского государственного университета: семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа (рук. проф. Ю.Г. Борисович), семинаре кафедры нелинейных колебаний (рук. проф. А.И. Перов), на семинаре по глобальному и стохастическому анализу (рук. проф. Ю.Е. Гликлих) и семинаре кафедры математического моделирования (рук. проф. Ю.И.Сапронов).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[18]. Работы [7], [12] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. Из совместных публикаций [1], [4], [6], [7], [13] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 98 наименований. Объем диссертации составляет 150 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приводятся краткие сведения о возникновении и развитии задачи о собственных векторах нелинейных операторов. Здесь же отмечается новизна и актуальность подхода, разрабатываемого в этой диссертации, указываются основные полученные результаты, их апробация на конференциях. Затем кратко дается обзор содержания работы по главам.

В первой главе излагается гладкая конечномерная конструкция топологических индексов особых точек пары гладких сечений вещественного ориентирован-

ного евклидова векторного расслоения ранга п над гладким ориентированным компактным n-мерным многообразием с краем. Приведенная конструкция индексов использует геометрическую теорию пересечений гладких ориентированных подмногообразий дополнительных размерностей в гладком ориентированном многоообразии и дифференциально-топологическое определение ориентированной степени отображения.

В разделе 1.1 вводятся множества особенностей сечений и пар сечений конечномерных векторных расслоений, в частности, векторных полей и 1-форм, на многообразии m с краем дм. Полагая

0+(ffi,<r2) = {х 6 дм | ЗА > 0 : ах{х) = Ао2(х) ИЛИ (72 (х) = À<7l(z)}, 04<r1,a2) = 0+(-аиа2).

s+(aua2) ^ 0+(аи а2) U Ofa) U 0(а2),

элементы множества 0(аi,<72) = ®+{а1>&2) U CL (ai, а2) называются краевыми особенностями пары сечений (ai,а2), а элементы множества S|(ai, а2) — особыми точками пары (ai,a2). Здесь о (а) == {ж G m | о{х) = 0Х} — множество нулей сечения <7.

Краевые особенности одинарного сечения а векторного расслоения, изоморфного т*м, вводятся как краевые особенности пары сечений (ai, a), при этом изоморфизме сечение (Ti соответствует df, где / — гладкая неотрицательная функция на Л/, задающая край дм = /_1(0) как неособую поверхность уровня. Указанный подход представляет собой прямое обобщение подхода В.И. Арнольда'к определению краевых особенностей 1-формы на многообразии с краем.

В разделе 1.2 определяются и изучаются (±)-допустимые множества сечений и пар сечений. Для любого x с m полагается

= xns+(aua2), xl = xns-fa,a2), x¡, = хпо(а).

Подмножество x с m называется (+)-допустимым (соответственно, (-)-допустимым) множеством пары (ai, a2), если х+ (соответственно, х-) состоит из точек некоторой (конечной, в силу компактности M) подсистемы в системе всех компонент связности множества (ctj,стг) (соответственно, 5_(ai,аг)).

Множество X называется вполне допустимым множеством пары (01,02), если оно одновременно является (+)-допустимым и (-)-допустимьш. Пара сечений (о'ьо'г) векторного расслоения £ называется допустимой, если дМ — вполне допустимое множество этой пары. В частности, в разделе 1.2 приведены определения и свойства мембран множеств особенностей — гладких функционально-замкнутых регулярных гиперповерхностей, ограничивающих некоторые подмногообразия в М коразмерности 0, содержащих в своей внутренности рассматриваемое множество особенностей. Понятие ориентированной мембраны играет важную роль в нашей конструкции топологических индексов допустимых множеств сечений.

В разделе 1.3 вводится индекс Т пары сечений вдоль ориентированной гиперповерхности и изучаются его свойства. Этот индекс выражается через индекс пересечения специально конструируемых гладких подмногообразий и является обобщением индекса В.И. Арнольда 1-формы вдоль гиперповерхности.

В разделе 1.4 вводится обобщенный топологический индекс g(o1,o2: X) (+)-допустимого множества X пары сечений, его специализации для допустимых сечений в виде краевых b(o1,o'2;X), X С dM; B(oi,o2) = b(oi,о2;дМ), и внутренних индексов i(o\X), X С intM\ 1(о) = г (а; int М), с локальными и глобальными вариантами, а также исследуются свойства этих индексов (ко-сокоммутативность, аддитивность, гомотопическая инвариантность и другие). Глобальный внутренний индекс 1(о) допустимого сечения о представляет собой обобщение характеристики Кронекера системы функций, индекса Пуанкаре изолированной особой точки векторного поля, локальной степени отображения Брауэра, (точнее, в форме Нагумо), полного индекса Ж. Jlepe решений нелинейного уравнения, вращения М.А. Красносельского векторного поля на границе области. Здесь же доказана

Теорема 1.4.3 Глобальный краевой индекс B(oi, 02) допустимой пары С-сечений векторного евклидова ориентируемого С -расслоения £ = (Е,р, М) ранга п над п-мернъш компактным ориентируемым СТ-многообразием М связан с их глобальными внутренними индексами формулой

В(аиа2) = 1(о2) - (-1)в/(<п).

Эта теорема является прямым обобщением теоремы Арнольда о равенстве суммы индексов особенностей (в случае их конечного числа) векторного поля (1-формы) на компактном многообразии с краем эйлеровой характеристике этого многообразия (и представляющую собой обобщение теоремы Пуанкаре-Хопфа.

Раздел 1.5 содержит важные для приложений теоремы существования особых точек пары сечений в множестве X С М, формулируемых в терминах индексов. С помощью свойства аддитивности построенных индексов доказывается так называемая "теорема о втором решении" : отличие от нуля разности индекса допустимого множества X и индекса его допустимого подмножества Х1 гарантирует существование (возможно, еще не найденных до момента исследования) особых точек г, X \ Х\. Здесь же (подраздел 1.5.2) указаны приложения к разрешимости конечномерных нелинейных уравнений.

В разделе 1.6 построенная теория локальных и глобальных индексов применяется к задаче оценки числа продольных нормалей в кристаллической среде.

Продольная нормаль п = (гц,П2,ггз) является решением уравнения з

]Г] Ац1тП] щ пт - Хщ (г = 1,2,3), (1)

],1,7П=1

получаемого из уравнения Кристоффеля линейной теории плоских упругих волн

в кристаллической среде нормировкой (Л = V2 > 0, п\ = !)■ Получена

¿=1

Теорема 1.6.1. Независимо от класса симметрии рассматриваемой кристаллической среды уравнение (1) имеет по крайней мере шесть решений, соответствующих трем направлениям продольных нормалей.

Во второй главе показано, что для каждого множества X, допустимого в строго определенном смысле для пары операторов ¿2), существует аддитивная целочисленная характеристика, гомотопически инвариантная в естественном смысле, — индекс д(Рх,Рг',Х). Отличие этого индекса от нуля позволяет утверждать существование в X особой точки, т.е., либо нуля одного из этих операторов, либо обобщенного собственного вектора этой пары операторов, лежащего на границе рассматриваемого основного бесконечномерного многообразия IV. Другими словами, особая точка пары (вообще говоря, нелинейных) операторов , вводится в этой главе как решение хотя бы одного из следующих

операторных уравнений

Fi(x) = \Fi(x), А>0, xedW, (2)

Fi(x) = 0, x€W, (3)

F2{x) - 0, xeW. (4)

Раздел 2.1 посвящен постановке задачи об обобщенных собственных векторах и простейшим следствиям из определений.

На открытом множестве U в вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве Н рассматривается вещественный С3-гладкий нелинейный функционал /, обладающий следующими свойствами:

1) ß dä /_1(0, -foo) {х £ U | /(х) > 0} ограничено и непусто;

2) W Г2 С U (здесь черта над П означает замыкание в Н);

3) /_1(0) d= {х £ U | f(x) = 0} — регулярная поверхность уровня функционала /, т.е. V(x G U : fix) = 0) dxf : Я R — эпиморфизм: dxf(H) = R (или, что эквивалентно, У(х G U : f(x) = 0) gradf(x) Ф 0).

de /

4) G == gradf = — 1ц + Ко, где Ко : U -4 Н — вполне непрерывный оператор (т.е., Kq(S) компактно для любого ограниченного множества S С i/).

Вместе с заданным функционалом / : U —> R, удовлетворяющим указанным условиям 1) - 4), на ¿7 рассматриваются пары С2-гладких операторов следующего типа (здесь Ki, К?: U Н - вполне непрерывные операторы):

(FuF2) (М11Н + Ki, /х21н + /С2),

где /ij < 0, /¿2 > 0, причем оператор Fj = /¿i 1ц + A'i : U ч- Н предполагается невырожденным на dW.

При заданных условиях имеет место равенство W = /-1([0,+оо)), причем W является ограниченным гильбертовым С2-подмногообразием в Н коразмерности 0 с краем dW — /-1(0) и внутренностью IntW = fi. W названо в работе основным многообразием. Его С2-структура допускает редукцию к фредгольмовой структуре.

Вводятся множества 0+(Fu F2){х е dW \ ЗА > 0 : F2(x) = XF^x)},

рг\0) П1¥ = {х 6 IVI Ъ(х) = 0}, г = 1,2,

-ЗД, Р2) и и ОД).

и доказано, что они компактны и состоят из конечного числа компонент связности.

Подмножество X С IV названо (+)-допустимым множеством пары операторов (Р\, если замыкание Х+ множества Х+ X П 5'+ (Р\, Р2) состоит из точек некоторого числа компонент связности множества 5+(-Рь Пара операторов (^ь-Рг) названа допустимой на если сНУ есть ее (4-)-допустимое множество. Подмножество X С № называло (+)-допустимым множеством оператора Р — + Я', где ц > 0, если X является (+)-допустимым множеством пары (б, .Р).

Раздел 2.2 посвящен построению и свойствам фильтрации многообразия И'" конечномерными многообразиями с краем.

В разделе 2.3 вводится глобальный краевой индекс В(Р\, пары операторов, невырожденных на как глобальный краевой индекс пары их конечномерных аппроксимаций, суженных на элемент фильтрации IV с достаточно большим номером. Для пары (С. Р) полагается = -В(С,Р). Вводят-

ся глобальные внутренние индексы /(Р2), (Д-Р!)) как степени Лере-Шаудера с/(1ц + у-А'г, т/ И', 0), с/(111 + т/ 0) соответственно. Здесь же вводится понятие /х-гомотопни гладких операторов вида /х!ц + К, ц > 0, частным случаем которого является понятие гладкой вполне непрерывной гомотопии операторов типа "тождественный+ компактный" , и доказывается, что В(Ь\. Р2) является инвариантом при /х-гомотопии операторов (—и Р2. Введена эйлерова характеристика многообразия IV как = /(—С). Доказана

Теорема 2.3.1. = 1(Р2) - /(-Р1)

и ее следствие

Теорема 2.3.1. /(Р) + /+(Р) = х(Ж), представляющее собой бесконечномерный аналог теоремы Арнольда о сумме индексов векторного поля (1-формы) на многообразии с краем.

В разделе 2.4 вводится и изучается локальный индекс д{р!,р2', X) (+)-допустимого множества X пары операторов Р£) указанного типа. В случае Х+ ф 0 полагается д(Рх,Р2-,Х) = д(\'}п п, Пп), где п > т > Дг, N - достаточно велико. Здесь угт п = (1я+Рт^г)1и-'„ '• ^п '= ПЯп -> И^ х Я„ — хорошие конечномерные аппроксимации операторов г = 1,2, конечномерное многообразие 71п специальным образом строится по регулярной С°°-мембране множества X. Доказана корректность определения д(Е\, Р2] X). В случае Х+ = 0 индекс полагается равным нулю. Доказаны свойства естественной гомотопической инвариантности, аддитивности, двойственности. Здесь же указаны различные специализации обобщенного индекса пары операторов (краевые и внутренние), отмечена связь индекса д с вращением "вполне непрерывного векторного поля".

В разделе 2.5 доказываются теоремы существования решений нелинейных операторных уравнений. Значимым результатом является

Теорема 2.5.2. Пусть X, X] — (+)-допустимые множества упорядоченной пары (РиР2), где Х\ С X С IV. Если д(Р1,Р2;Х1) ф д(РиР2-,Х), то (X \ А\) содержит решение хотя бы одного из уравнений (2) - (4), где А > 0.

В третьей главе выделен класс банаховых многообразий, которые допускают С""-разбиение единицы (г > 2) специального типа. Как известно, существуют банаховы пространства, на которых невозможно построить гладкое разбиение единицы. Так, например, С[од] не обладает ¿^-разбиением единицы, V и 1Р, где р > 1 и не является четным целым числом, не обладают Сг-разбиением единицы для г > р.

Вещественную функцию / : II К класса Сг, где г > 2, будем называть фредгольмовой Сг-функцией (или ФСГ-функцией), если производное отображение О/ : и -> Е* является фредгольмовым. Функцию д : (У —> II класса СТ, т > 2, будем называть элементарной БСГ-функцией (или 5СТе-функцией), если она С°°-гладко зависит от некоторого конечного числа ФСГ функций /х,..., Д : II —> И, т.е., если существует такое открытое в множество IV, что И/ Э Р(и), где F = (/1,..., //;), а также С°°-функция : IV —> И, такая, что д = у а Р. Банахово пространство Е будем называть БСТ-гладким, если существует 5Сег-функция <7: Е —> Л, г > 2, с ограниченным непустым носителем.

С-диффеоморфизм Р : I/ V, г > 2, открытых подмножеств банахова пространства Е назван ФСТ-диффеоморфизмом (соотв. БСТ-диффеоморфизмом), если (Р|£/0*(ФСг(Г)) - ФСг(и') (соотв. есть изоморфизм алгебр БСЦУ)

и БС1(и') ) для любых непустых открытых множеств V С II, V С V, таких, что Р(и') = V.

Пусть X — банахово (^-многообразие с фиксированной Сг-структурой. Атлас данной С-структуры на X назван ФСГ-атласом (соотв. БСг-атласом), если для любой пары его карт ((/;, (¿¿), (/7,-, <р-,) с условием [/* П Ц ф ф отображение (ру : ^(и, П Щ 1рг{11г П V]), рц = о Ч>}\}1У1 пиЛ) является ФСГ-диффеоморфизмом (соотв. БСг-диффеоморфизмом). Если банахово С-многообразие X обладает ФСГ-атласом (соотв. 5'6'г-атласом), то X названо ФСГ-многообразием (соотв. БСТ -многообразием). Карта (С/, ф) данной Ст-структуры на ФСг-многообразии (соотв. 5СГ-многообразии ) X названа совместимой с его ФСг-атласом (соотв. 5С"'-атласом) {([/¿, (£;)}, если каждое отображение ^¡|кп£/0при 11{Г\и Ф ф является ФСТ-диффеоморфизмом (соотв. 5СГ-диффеоморфизмом). Максимальный ФСг-атлас Ф на ФСг-многообра-зии (соотв. максимальный 5Сг-атлас £> на ЙС-многообразин) X назван ФСг-структурой (соотв. 8СТ-структурой) на X.

Теорема 3.3.1 Пусть (Х,Б) — хаусдорфово БС-многообразие со счетной базой, моделированное БСТ-гладким банаховъш пространством Е, г > 2. Тогда а) X допускает БСГ -разбиение единицы;

б) для произвольных / е С°(Х, II), р £ С°(Х, 11+) существует БСТ-функция д, аппроксимирующая / в С0-тонкой топологии, т.е. |д(х) — /{х)\ < р(х) для всех х £ X;

в) если А и В — замкнутые непересекающиеся множества в X, то существует БСГ-функция / : X ->• [0,1], такая, что / = О в некоторой окрестности А и / = 1 в некоторой окрестности В.

Условиям теоремы 3.3.1, в частности, удовлетворяет любое сепарабелыюе БСТ-гладкое банахово пространство.

Теорема 3.3.2. Сг-многообразие М, г > 1, являющееся паракомпактом и моделированное сепарабелънъш, 8СР-гладким банаховым пространством, где

р > тах(2,г), допускает С -разбиение единицы.

Известная теорема Иллса-Ленга о существовании Сг-разбнения единицы для хаусдорфова паракомпактного Сг-многообразия, где г > 1, моделированного се-парабельным гильбертовым пространством в этой работе получена как следствие теоремы 3.3.2.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Кунаковская О.В. Об одном топологическом принципе для собственных векторов нелинейных операторов / Ю.Г. Борисович, О.В. Кунаковская // VIII Всесоюзной школы по теории операторов в фупкц. пространствах: тез. докл. - Рига, 1983. - С. 29-30.

[2] Кунаковская О.В. Некоторые замечания к индексам особенностей 1-форм / О.В.Кунаковская // Топологические и геометрические методы в математической физике: сб. статей. — Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 1983. — С. 118-121.

[3] Кунаковская О.В. Краевые индексы пары сечений п - мерного векторного расслоения над п - мерным многообразием с краем / О.В. Кунаковская — Деп. в ВИНИТИ 25.07.1986, № 6317-86. - 24 с. (РЖМат, 1986,12А780 ДЕП)

[4] Кунаковская О.В. Краевые индексы нелинейных операторов и приложения к топологии особых решений дифференциального уравнения деформированного кристалла / Ю.Г. Борисович, О.В. Кунаковская //Дифф. и интегр. уравнения. Матем. физика и спец. функции: тез. докл. международной научн. конф. - Самара, 1992. - С. 39-40.

[5] Kunakovskaya O.V. On the properties of the compositions of Fredholm functionals / O.V. Kunakovskaya // Abstr. of IX Intern. Conf. on Topology and its Appl. — Kiev, Academy of Sciences of Ukraine. — 1992. — P. 92.

[6] Kunakovskaya O.V. Boundary indices of nonlinear operators and the problem of eigenvectors / Yu.G. Borisovich, O.V. Kunakovskaya // Methods and applications of global analysis: coll. of sc. proceedings / Voronezh: Voronezh University Press. - Voronezh, 1993. P. 39-44.

[7] Кунаковская О.В. Применение топологических методов для оценки числа продольных упругих волн в кристаллах / Ю.Г. Борисович, Б.М. Даринский, О.В. Кунаковская // Теорет. и матем. физика. — 1993. — Т. 94, № 1. — С. 146-152.

[8] Kunakovskaya O.V. On properties of some classes of smooth functions on Banach spaces and manifolds //Methods and Appl. of Global Analysis. - Voronezh, Voronezh Univ. Press, 1993. - P.81-93.

[9] Кунаковская O.B. О некоторых классах гладких функций на банаховых многообразиях. - Деп. в ВИНИТИ 11.04.94, N 864-В94. - 28 с. (РЖМат, 1994, 7Б714 ДЕП ).

[10] Kunakovskaya O.V. On additivity property of the boundary index of a pair of nonlinear operators / O.V. Kunakovskaya // Труды Международного Конгресса Ассоциации "Женщины - математики" (Москва, 30 мая-3 июня 1994 г.), вып. 3. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1994. - С. 23-28.

[11] Кунаковская О. В. О свойствах множеств особенностей сечений векторных расслоений / О.В. Кунаковская // Труды III Международной конф. женщин-математиков, Воронеж, 29 мая-2 июня 1995 г., вып. 2. — Н. Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1996. — С. 133-146.

[12] Кунаковская О.В. О гладких разбиениях единицы на банаховых многообразиях / О.В. Кунаковская // Изв. вузов. Математика. — № 10. — 1997. — С. 51-58.

[13] Kunakovskaya O.V. Intersection theory methods in constructions of topological characteristics of solutions of nonlinear eigenvectors problem / Yu.G. Borisovich, O.V. Kunakovskaya // Stochastic and Global Analysis. Abstracts. Voronezh, Russia, 13-19 January, 1997. - Voronezh, 1996. - P. 10-12.

[14] Кунаковская O.B. Об индексах сечений расслоений / O.B. Кунаковская // Современные методы в теории краевых задач. "Понтрягинские чтения-XIII" : Воронежская весенняя матем. школа: тез.докл., Воронеж, 3-9 мая 2002 г., дополнит, вып. — Воронеж, 2002. — С. 176.

[15] Кунаковская О.В. Топологические инварианты пары операторов / О.В. Ку-наковская // Колмогоров и современная математика: тез. докл. междунар. конф., Москва, 16-21 июня 2003 г. - М., 2003. - С. 892-893.

[16] Кунаковская О.В. Топологические инварианты сечений и пар сечений банаховых расслоений / О.В. Кунаковская // Воронежская зимняя математическая школа — 2004. — С. 65-66.

[17] Кунаковская О.В. Глобальные и локальные краевые и обобщенные индексы особенностей пары полей и их приложения / О.В. Кунаковская // Анализ и особенности: Междунар. конф., поев. 70-летию В.И.' Арнольда. Москва, МИАН, 20-24 августа 2007 г. - Москва: МИАН, 2007. - С. 81-82.

[18] Кунаковская О.В. Глобальные и локальные топологические индексы особенностей пар сечений векторных расслоений над многообразием с краем / О.В. Кунаковская // Математические модели и операторные уравнения: сб. научи. статей под ред. В.А. Костина и Ю.И. Сапронова. — Т.7. — Воронеж: ВГУ, 2011. - С. 89-148.

Работы [7[, [12] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Подписано в печать 15.02.2012. Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ №408

Отпечатано в типографии Воронежского ЦНТИ - филиала ФГБУ «РЭА» Минэнерго России 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 30.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Кунаковская, Ольга Вениаминовна, Воронеж

61 12-1/827

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

; р

Кунаковская Ольга Вениаминовна ^у^мам^

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ КРАЕВЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ д.ф.-м.н., профессор Ю.И. Сапронов

Воронеж - 2012

Оглавление

Введение

1. Индексы особенностей пар сечений векторных расслоений над многообразием с краем.

1.1. Особенности пар сечений векторных расслоений.

1.2. Допустимые множества пары сечений и их свойства.

1.2.1. (±)-допустимые множества, вполне допустимые множества, допустимые сечения и допустимые пары сечений.

1.2.2. Сг-мембраны допустимых множеств и их ориентации.

1.3. Индекс пары сечений вдоль гиперповерхности.

1.4. Индексы компонент множества особенностей пары сечений.

1.5. Теоремы существования.

1.5.1. Теоремы существования особых точек пары сечений векторных расслоений над компактным многообразием с краем.

1.5.2. Теоремы существования решений нелинейных операторных уравнений. Конечномерный случай.

1.6. Применение краевых индексов для оценки числа продольных акустических волн в кристаллической среде.

2. Индексы пары нелинейных операторов в гильбертовом пространстве.

2.1. Постановка задачи об обобщенных собственных векторах нелинейных операторов в гильбертовом пространстве.

2.2. Фильтрация основного многообразия \¥ конечномерными многообразиями с краем.

2.3. Глобальный краевой индекс пар нелинейных операторов, невырожденных на д\¥.

2.4. Локальные краевые, внутренние и обобщенные индексы пар нелиней-

ных операторов.

2.4.1. Мембраны (+)-допустимых множеств пары операторов.

2.4.2. Конструкция локального индекса.

2.4.3. Свойства локального индекса д.

2.4.4. Специализации индекса д.

2.5. Теоремы существования решений нелинейных операторных уравнений. Бесконечномерный случай.

3. Свойства гладких функций на банаховых многообразиях.

3.1. ¿^[-функции на банаховых пространствах.

3.2. 5Сг-многообразия.

3.3. 5С'г-функции на 5С7'-многообразии.

Литература

ВВЕДЕНИЕ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Качественное описание свойств нелинейных отображений составляет существенную часть математического знания. Точные геометрические и топологические методы позволяют подступиться к исследованию сложных задач, для которых иные методы либо неприменимы, либо не дают результата. Наиболее естественный и часто встречающийся метод — построение топологического инварианта (или серии инвариантов) рассматриваемого нелинейного отображения, значения которого классифицируют, например, основные типы прообразов точек или множеств (или характеризуют общие черты образа окрестности точки или множества).

В рассматриваемой работе исследуется задача об обобщенных собственных векторах пары нелинейных операторов, действующих как в конечномерном, так и в бесконечномерном пространстве. К рассмотрению собственных функций нелинейных операторов в свое время привели задачи о нелинейных колебаниях, об устойчивости сжатых стержней и другие. Возникновение этой задачи обычно связывается с работами A.M. Ляпунова [30]. Задача о собственных векторах нелинейных операторов в функциональных пространствах, впервые, видимо, рассматривалась Биркгофом и Келлогом [52].

Исследованию задачи об обобщенных собственных векторах нелинейных операторов посвящены монографии [14], [24], [26]. Работы в этом направлении публиковали такие специалисты как Р.Н. Rabinovich, M. Berger, К. Uhlenbeck, S.Т. Cheng, J. Ize, F. Browder, С. И. Похожаев и многие другие. В.Г. Звягин исследовал задачу о собственных векторах, вводя их индексы через вторые препятствия В.Г. Болтянского [19, 20]. Важное прикладное значение этой задачи ярко отражено в сборнике [41]. В этом направлении ведутся также активные современные исследования. Достаточно указать содержательную монографию [51], в которой приведена обширная библиография.

В настоящей работе предлагается метод исследования условий существования обобщенных собственных векторов пары нелинейных операторов, основанный на конструкции топологических индексов особенностей пары сечений

векторных расслоений, обобщающей конструкцию индексов краевых индексов 1-форм (векторных полей) В.И. Арнольда [2]. Множество всех особых точек векторного поля на многообразии М (или, более общим образом, сечения векторного расслоения над М) в существенной степени дает представление о его свойствах. Например, факт непустоты 5 — важная характеристика рассматриваемого поля (в частности, при дМ = 0 эквивалентная запрету на его нормировку). Выявление компонент связности 5 (например, изолированных особых точек поля) и вычисление их топологических индексов часто помогает прояснить многое в структуре 5", а использование глобальных теорем (типа теоремы Пуанкаре-Хопфа или теории Морса) вместе с процедурой трансверсализации дает результат, достаточный для первого анализа рассматриваемого поля. В случае дМ — 0 о краевых индексах, конечно, говорить нельзя; однако, приведенные здесь конструкции топологического индекса пары сечений вдоль гиперповерхности и обобщенного топологического индекса допустимых множеств пары сечений имеют смысл и в этой ситуации.

Напомним, что сечением векторного расслоения £ = (Е,р,М) с тотальным пространством Е над базой М и с проекцией р : Е —> М называется такое отображение а : М —>■ Е, что р о а{х) = х \/х е М (т.е., вектор а(х) принадлежит слою Ех = р~1(х) над точкой х). Распространенная практика формального представления физических полей как некоторых сечений подходящих векторных расслоений (или расслоений, ассоциированных с векторными расслоениями) позволяет считать проблему изучения множества 5 чрезвычайно актуальной по отношению к различным областям естествознания. Кроме того, в рамках теории операторов в банаховых (или более общих) пространствах каждому оператору (линейному или, в общем случае, нелинейному) Г : II Е2, заданному на области II пространства Е\ со значениями в пространстве Е2, взаимно однозначно соответствует его график

Г : и и х Е2 : х И- (ж, ^(ж)),

являющийся сечением простейшего (тривиального) векторного расслоения-произведения р\ : и х Е2 н> 11 : (х, у) —> х, и, очевидно, исследуемые свойства оператора полезно соотносить со свойствами его графика (что часто использова-

лось как классиками, так и современными исследователями). Это подчеркивает необходимость наших конструкций в нелинейном анализе.

При нелокальном изучении функционалов и векторных полей на многообразиях с краями и углами возникает необходимость использования глобальных версий конечномерной редукции — теорий Ляпунова-Шмидта, Каччиопо-ли, Морса-Ботта, LS-приводимости и пр. [16], [8], [18].

К изучению поведения гладких функционалов вблизи краевых и угловых особых точек края банахова (в частности, гильбертова) многообразия приходится обращаться как в пределах "чистой" теории особенностей гладких функционалов, так и в рамках задач прикладной направленности — теории управления, теории фазовых переходов, теории бифуркаций периодических волн и т.д. Анализ краевых и угловых особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях возник в работах В.И. Арнольда, Д. Сирсмы, Д. Пита, Т. Посто-на и др. [1], [77], [16]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах В.А. Васильева, A.A. Давыдова, В.И. Матова и др. [3]. Отметим, что перенос теории угловых особенностей на класс фредгольмовых функционалов был осуществлен Ю.И. Сапроновым. Сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым, A.B. Гнездило-вым, О.Ю. Даниловой, О.В. Швыревой, М.А. Хуссаином и A.B. Белоглазовым был проанализирован ряд важных угловых особенностей, связанных с приложениями к нелинейным задачам механики сплошных сред и математической физики [16].

Целью работы является построение и исследование топологических индексов особенностей (в частности, обобщенных собственных векторов) пары гладких нелинейных операторов, заданных на открытом множестве с гладкой границей в сепарабельном гильбертовом пространстве. Также, целью работы является выделение класса сепарабельных банаховых пространств, допускающих элементы конструкции топологических индексов. Кроме того, целью работы является построение и исследование для случая пары гладких сечений гладкого векторного расслоения ранга п над гладким компактным п-мерным многообразием с краем конечномерной основы конструкции топологических индексов.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми:

1) для каждой подсистемы С в системе всех компонент связности множества 5+(о-!, <72) особых точек пары гладких сечений (ах, сг2) гладкого векторного расслоения ранга п над гладким компактным п-мерным многообразием с краем построена гомотопически инвариантная аддитивная целочисленная характеристика (обобщенный топологический индекс д(ах, сг2; С)), кососимметрическая относительно перестановки сечений данной пары,

2) доказана теорема о связи между глобальным краевым индексом В (ах, а2) допустимой пары гладких сечений векторого расслоения над п-мерным многообразием с краем и их глобальными внутренними индексами:

В(а1,а2) = 1(а2)-(-1)п/(а1),

4) для каждой подсистемы С в системе всех компонент связности множества ^2) обобщенных особенностей пары нелинейных операторов вида

(^1,^2) = (Мя + ^ъ/Мя+ ^2), < 0, /и2 > О

с условием невырожденности ^ на границе подмногообразия нулевой коразмерности в сепарабельном гильбертовом пространстве Н построена гомотопически инвариантная (в естественном классе /¿-гомотопий) аддитивная целочисленная характеристика — обобщенный топологический индекс д(Рх, .Рг; С),

5) доказана теорема о связи между глобальным краевым индексом В(Е\, .Р2) допустимой пары нелинейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве и их глобальными внутренними индексами:

6) доказана теорема о признаке существования "второго решения "в терминах обобщенного топологического индекса д для задачи об обобщенном соб-

ственном векторе пары нелинейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве,

7) выделен класс Сг-многообразий М, г > 1, являющихся паракомпакта-ми и моделированными сепарабельными ^С^-гладкими банаховыми простран-ствоми, где р > тах(2,г), допускающих Сг-разбиение единицы.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на VIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Рига, 1983), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (Самара, 1992), на IX Международной конференции по топологии и ее приложениям (Киев, 1992), на Международном Конгрессе Ассоциации "Женщины - математики" (Москва, 1994), на III Международной конференции женщин-математиков (Воронеж, 1995), на международной конференции "Stochastic and Global Analysis"(Воронеж, 1997), на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003), на Международной конференции "Анализ и особенности", посвященной 70-летию В.И. Арнольда (Москва, 2007), регулярно на Воронежских зимних математических школах и на Весенних Воронежских математических школах "Понтрягинские чтения", а также на научных семинарах Воронежского государственного университета: семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа (рук. проф. Ю.Г. Борисович), семинаре кафедры нелинейных колебаний (рук. проф. А.И. Перов), на семинаре по глобальному и стохастическому анализу (рук. проф. Ю.Е. Гликлих) и семинаре кафедры математического моделирования (рук. проф. Ю.И.Сапронов).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [81]-[98]. Работы [87], [92] опубликованы в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК РФ. Из совместных публикаций [81], [84], [86], [87], [93] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 89 наименований. Объем диссертации составляет 150 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В первой главе излагается гладкая конечномерная конструкция топологических индексов особых точек пары гладких сечений вещественного ориентированного евклидова векторного расслоения ранга п над гладким ориентированным компактным n-мерным многообразием с краем. Приведенная конструкция индексов использует геометрическую теорию пересечений гладких ориентированных подмногообразий дополнительных размерностей в гладком ориентированном многоообразии и дифференциально-топологическое определение ориентированной степени отображения (см. [39, 44, 31, 42].

В разделе 1.1 вводятся множества особенностей сечений и пар сечений конечномерных векторных расслоений, в частности, векторных полей и 1-форм, на многообразии М с краем дМ. Полагая

0+(аi,(J2) == {х € дМ | ЗА > 0 : o"i(x) = \<72(х) илиа2(х) — Асг^ж)},

S+(aua2) ^ 0+(a1,a2)U0(a1)U0(a2),

элементы множества 0(ai,a2) = 0+(ai,a2) U 0-(ai,a2) называются краевыми особенностями пары сечений (ст^ог), а элементы множества S+(oi,<j2) — особыми точками пары (сг^стг). Здесь 0(a) с= {х £ М \ а(х) = 0Ж} — множество нулей сечения а.

Краевые особенности одинарного сечения а векторного расслоения, изоморфного Т*М, вводятся как краевые особенности пары сечений (а\,а), при

этом изоморфизме сечение а\ соответствует df, где / — гладкая неотрицательная функция на М, задающая край дМ = /_1(0) как неособую поверхность уровня. Указанный подход представляет собой прямое обобщение подхода В.И. Арнольда [2] к определению краевых особенностей 1-формы на многообразии с краем.

В разделе 1.2 определяются и изучаются (±)-допустимые множества сечений и пар сечений. Для любого X С М полагается

= XnS+(<7i,<72), ХГ = ХП <т2), Х^=ХП 0{а).

Множество X С М называется (+)-допустимым (соответственно, (-)-допустимым) множеством пары (cri,cr2), если Х+ (соответственно, Х_) состоит из точек некоторой (конечной, в силу компактности М) подсистемы в системе всех компонент связности множества <S+(c7i, сг2) (соответственно, S-(a\, сг2)). Множество X называется вполне допустимым множеством пары (ai,a2), если оно одновременно является (+)-допустимым и (-)-допустимым. Пара сечений (crj, сг2) векторного расслоения £ называется допустимой, если дМ — вполне допустимое множество этой пары.

Подробное исследование свойств (±)-допустимых множеств позволяет в дальнейшем прозрачно доказывать свойства вводимых индексов. В частности, в разделе 1.2 приведены определения и свойства мембран множеств особенностей — гладких гиперповерхностей, ограничивающих некоторые подмногообразия в М коразмерности 0, содержащих в своей внутренности рассматриваемое множество особенностей. Понятие ориентированной мембраны играет важную роль в нашей конструкции топологических индексов допустимых множеств сечений и служит здесь многомерным аналогом термина "контур" (от "contour" — франц.), традиционно используемым в двумерном случае для ориентированной замкнутой кривой, являющейся границей плоской области, в которой лежит исследуемое множество.

В разделе 1.3 вводится топологический индекс Т пары сечений вдоль ориентированной гиперповерхности и изучаются его свойства. Этот индекс выражается через индекс пересечения специально конструируемых гладких подмногообразий и является обобщением индекса В.И. Арнольда 1-формы вдоль ги-

перповерхности [2].

В разделе 1.4 вводится обобщенный топологический индекс д(а\, а2\ X) (+)-допустимого множества X пары сечений, его специализации в виде краевых и внутренних индексов с локальными и глобальными вариантами, а также исследуются свойства этих индексов (косокоммутативность, аддитивность, гомотопическая инвариантность и другие). Глобальный внутренний индекс 1(а) допустимого сечения а представляет собой обобщение характеристики Кроне-кера [65] системы функций, индекса Пуанкаре [72] изолированной особой точки векторного поля, локальной степени отображения Брауэра [56] (точнее, в форме Нагумо [71, 70]), полного индекса Ж. Лере решений нелинейного уравнения [68, 67], вращения М.А. Красносел�