Краевые задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в случае резонанса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

''' !

АКАдаШЯ НАУК СССР . УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ' ШСТГОТ- ИАЗШТИКИ И МЕХАНИКИ

Ка правах рукописи Бурмистрова Алла БорнеоЕна

краевые ЗАДШ дм нелинейных швд(жлльго-ддоегащшшх

- урайенм в случае резонанса

Специальность 01..01,02 - "Дифференциальное уравнения"

А в то р в ф » р а т дассертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Свердяовск .1991

Работа шаожнеяа на кафедре математического икали га Пермского погнгсеттчоского института ,

Научные руководители : кандидат физико-иатематических наук

Абдулгавв А.Р.,.

доктор ф!зико-иатематаческих наук Азбеяев Н.В.

Официальные оппоненты : доктор физико-катеиатических наук

Треногин A.B.,

кандидат физико-математических науп ЙСВ8ШВ Г.Г1..

Всщвря организация - Институт математики^ УССР.

Зщщщ1 состоятся "2?" ?г.-1991 г..в

часов,»а саседедай специалиеира ваяного совета ДР02.07.01 ло звзрте диссертаций на соискание ученой стеягяя доктора физи-ко-матеттическвх наук в Институте математики и механики УрО АН СССР ( 620066, г. Свергрвек, уа. С.Ковавевской, д. 16 ).

' С диссертацией шхио озяйеошться в нау®юй библиотеке Института математика в мехшдав УрО АН СССР.

Автореферат разослан * ^ " J?tcß{lJbt/ 1991 г. * •

. Ученый секретарь следиахигированного совета« кандидат фигйко-ыатеиатичосгзгх наук, старияй научный сотрудник

ОЩАЯ МРШШСЖк РАБОТЫ

• ■ -И

; Актуальность теш. При построении математических моделей физических ЯЕлений, задач экономики, биология и техники возникают краевые задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений вырожденные в ток смысле, что их линейная часть является необратимым оператором. Такье- задачи называет резонансными краевыми задачами (РКЗ},

РКЗ образует специальный класс краевых задач, усиленно изучаемых в последние десяталетия. Исследованию РКЗ посвящена обширная литература. В частности, монографии С.<йучика* и Дя.Мавэна* Вырожденность линейной части Н13 определяет непригодность традиционных методов исследования краевых задач, основанных на непосредственном сведении краевой задачи к уравнении вида Х'Чх и использовании затем принципов неподвижной точки.

Б актуальном для обыкновенных дифференциальных уравнений случае РКЗ с фредгольмовой линейной частью работает хорош известный способ Ляпунова-Шмидта сведения РКЗ к уравнению вида ■ * ж , Развитию метода Ляпунова-Шмидта в тазеой близкой проблемам РКЗ области, как теория ветвления решений нелинейных уравнений, посвящены работы Н.М.Вайябврга, В.А,Треногина.

М. А.Красносельский, Дя.Мавэн использовали редукцию Ляпунова-Шмидта для развития теории стапекия отображения в случае РКЗ с фредгольмовой линейной частью.

В последнее время НО интенсивно исследуется как в направлении ослабления условия фредголькогости линейной части, так я в направлении отказа от традиционного требования полной непрерывности нелинейной части.

я

Рц.с1к 5. Зо^лЬШ^ с/ flon.fin.enr Е^и&Шпз алс1 Bou.nda.ry УаСие РгоЫгт*. - Но11ат£: ЪоЫгескЬ, Щ0.-3$0р.

хя

fflawiun. J. Topological degree meifiod (л nonlinear hou.nda.ry. value probls/ns // Conf. Board, of the Rlatk. 5c. Conf. series in ma.tk. - Harvey, , 4979.-

no. W, - /22 р.

К последнему направлению откосятся шогие работы Ю.Г.Борисовича и его учеников, где разрабатываются топологические методы исследования FK3, как правило, с фредгольыовой линейной часть» и различными классами нэяинейностей (негладкими, многознашшш, уплотняющими относительно фредгольмова оператора к др.).

В С13ЯЗИ с первым направлением, необходимо отметить активно работанцую в этой области FH3 группу итальянских математиков во главе с профессором Фури М. ( Pur i 171. ), которые использовали кодификации редакции Ляпунова-Шмидта для исследования разрешимости Р$3 с нетеровой линейкой частью неотрицательного индекса. Кроме того, кыи Ев доказан ряд распространений утверждений, известных для И<3 с фредголъшБОй линейной пастью, на случай нетеровнх операторов стряцательного индекса, а такав на случай бесконечномерных ядра и коядра линейной части. Зта серия результатов показывает, что требование фредгольдавости Iиди даже нетеровостя) линейной части РЯЗ нередко связано лишь с возможностям! выбраного метода исследования, что делает актуальной единообразного подхода к исследованию РКЗ, линейная часть которых имеет бесконечномерные ядро и коядро. Актуальность исследования разрешимости таких краевых задач и разработки методов их приближенного решения обуславливается преяде всаго тем, что линейные части многих классов практически значимых функционально-дифференциальных уравнений большинство уравнений нейтрального типа , уравнения с отклонящиыся аргументом, рассматрива-еше на действительной оси) на являются ни фредгольмовши, ни даже изтеровшш, и имеют бесконечноыерное ядро или коядро.

Объект исследования. Иаучаятея резонансные краевые задачи, линейная часть которых является топологически нетеровда оператором, т.е. имеет дополняемые, вообще говоря, бесконечномерные ядро и образ. Упомянутый объект охватывает, в частности, традиционные РКЗ для обыкновенных дифференциальных уравнений (фредгольмова линейная часть) и РКЗ для: абстрактного функционально-дифференциального уравнения8 Iлинейная часть - нетеров оператор).

^Азбелев Н.В., Рахматуллина Я.$, Абстрактное функционально-дифференциальное уравнение// Функционально-дифференциальи, уравнения: Межвуд. сб. научн. тр./ Пери, политехи, ин-т. - Пермь,IS85.

- С. 3 - хг.

Цель работ». Исследование вопросов общей теории дцнайкьгх топологически кетеровых краевых задач: разрешимость, представление решений и т.п.

- Разработка и обоснование редукции РКЗ к уравнению вида х»Фх на основе специального обобщения оператора Грина линейных кравши задач для уравнений с топологически нетеровкми операторами.

- Получение аффективных признаков разрешимости РКЗ и обоснование итерационного катода их решения с использованием предложенной редукции.

- Применение полученных антрактных результатов к конкретным практически важным РКЗ.

Общие методы исследования. Основные результаты диссертации получены с поиощьп методов функционального анализа. В честности, использованы результаты теории линейных операторов и операторных уравнений г банаховых пространствах, метода нелинейного функционального анализа, теория краевых задач для: абстрактного функционально-дифференциального уравнения и полученные автором специальные вспомогательные утверждения о линейной краевой задаче для уравнения с топологически нетерэвьш оператором.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие основные положения, определяйте научную новизну результатов диссертационной работы:

- получены необходимые обобщения результатов теории линейных краевых задач на случай абстрактного функционально-дифференциального уравнения с топологически нетеровда линейным оператором;

- предложена конструкция обобщенного оператора Грина линейкой краевой задачи для уравнений с оператором, нмеюцим дополняемые ядро и образ;

- разработан метод редукции РКЗ с топологически нетеровой линейной частью к уравнении вида Ж - Ф х ; .

- получены новые признаки разрешимости РКЗ;

- обоснован итерационный метод приближенного решения Rî3 на основе ее редукции к уравнению вида х »*Рх ;

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер, углубляет супрствущие представления о нелинейных краевых задачах и расширяет возможности их использования. Предложена новая методика исследования РКЗ, которая, являясь достаточно

- б -

общей (применимой к такому достаточно широкому классу РКЗ, как краевые задачи с топологически нетвровой линейной частью), в соответствующих более узких предположениях позволяет реализовать многие известные, ранее не связанные друг с другом, подходы к исследованию РКЗ.

Практическая ценность. И<3 с топологически нетеровой линейной частью возникают в теории нелинейных колебаний, в теории устойчивости движения, в теории управления, в теории электрических цепей и других областях, связанных с объектами, описываемыми нелинейными уравнениями. Сода относятся периодические краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (критический случай), среди которых - интенсивно изучаемые периодические краевые задачи для уравнений Льенара.

Разработанная ыетодвяа с одной сторзкы позволяет получать новые признаки разрешимости таких FK3, а с другой стороны, ввиду ее общности, применима к изучению не исследованных ранее практических значимых классов краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Так, в диссертации исследована краевая задача для функциокряьно-дифференциаяьнсго уравнения нейтрального типа с топологически нетеровой линейной частью, возникающая в квантовой механике. Ранее был получен частный результат55 касащнйся этой задачи, в случае обратимости линейной части.

Кроме того, практическая значимость предложенной методики определяется тем, что на ее основе разработан алгоритм построения приближенных решений РКЗ рассматриваемого типа.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 1У Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применение" 1ЙРБолгария, г.Русе, 1989г.;; на Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев, 1983; Новгород, 1989; Ульяновск, 1990); на Северо-Кавказских Региональных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения* ^Махачкала, 1986, 1989), на конференции "Современные методы качественной теории

* Fu«-i Ш., fflartetti (П., Vignoii A. On ike iolvabi-.

tity of поп t¿near operator e^ua.tion.s ¿a normed spaces V dnn. dc J7lat. puro. ed Clppi. - 14Ю. ~

- v. m. - P. 321-342.

дифференциальных уравнений" (Воронеж, 1990), на У1 научной конференции молодых ученых УЩ "Кибернетика" ГГУ (Горький, 1989), на Уральских региональных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения" (Уфа, 1986; Челябинск, 1987;Пермь, 1988), на семинаре профессора А.М.Самойленко в Математическом институте АН УССР (Киев, 1989), на семинаре профессора В.А. Треногина в ШСиС С Москва, 1990), на расширенном семинаре ИШ им. И.Н.Векуа ТбГУ (Тбилиси, 1990), на пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (руковод. проф. Н.В. Аэбелев; 1987 - Г990).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах П - 12] Из работ {1,2] , выполненных в соавторстве, в автореферат и диссертацию включены результаты, полученные автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Она содержит 134 страницы машинописного текста, включая библиографический список из 108 работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ШУДЬТАШ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность выбранного направления исследования, дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приведена аннотация результатов диссертации.

В первой главе рассмотрена линейная краевая задача

/Г-/, (I)*

с топологически нетеровым оператором , действующим из банахова пространства Ъ в банахово пространство В , и непрерывным вектор-функционалом I - Ъ — ЯГ" . Введено понятие обобщенного оператора Грина такой краевой задачи, и на его основе получено представление решений задачи (I).

Параграф 1.1 имеет вводаый характер. 3 нем приведены не-обходише вспомогательные сведения об уравнении ¿.ос. - ^ и линейной краевой задаче (I) с топологически нетеровым оператором «£ , а также ряд новых утверждений об уравнении /г»/

^Нумерация формул в автореферате отличается от нумерации в диссертации.

и краевой задаче (I) с нетеровш оператором £ . В этом яе параграфе вводится следующее необходимое в дальнейшем понятие.

Определение 1.1,2.* Пусть А : V — £ - линейный топологически нетерсв оператор. Пространство 1) э® называется

А - расширением пространства Ъ , если пространство Т> дополняемо в пространство "О и 2Г/£> = квл А* .

Если оператор А £ действует из банахова пространства Ъ в банахово пространство 2 ^ (I = I у х) »то символом ГА4, Л21 обозначать оператор 1А1 :1) " Z ± ' Zг >

определенный равенством ГЛ.. А.I а: = {А,х,Л„г}.

* ' * * 2»

Важным для дальнейших построений является следующий, доказанный в данном параграфе факт.

Теорема 1.1,5. Если жератор А - О 2 топологически нетеров, то существует линейный ограниченный оператор

Т: ъ — кьг А такой, что оператор 1А,Т} -

топологически нетеров, кед. СА.Т] « {0} и &гГД,Т]*= ЬлА* В случае нетерова оператора А ' О-»2 . теорема 1.1,5 уточняется следующм образоы. .

Теорема Г. 1,6. Дгк любого нетерова оператора А ■ £)—2 существует линейный ограниченный вектор-функционал •• 0— К

такой, что краевая задача Ах®<? , О иыеет толь-

ко травиальное решение и АелЕА,^}*^ ЬелА * . Здесь

V * скпг А ,

Параграф 1.2. посвящен развитию результатов Д.'З.Рахматуя-линой®4 о не зсэду разрешимых линейных краевых задачах. Сдесь

хНу&ерацкя определений и утверждений автореферата совпадает с л умеренней состЕетот-вукдих формулировок в диссертации.

**Рахматуллина Представление решений не всюду разрешимых линейных функ^окалько-дафферекциалыагх уравнений/./Оункщюналь-ио-диффереяциадькыз уравнения: Меязуз.сб.науч.гр./йерм .похжтех. ин-т, - Пермь, 1968. - С.10 - 13.

приводится конструкция всюду разрешимой краевой задачи, эквивалентной в некотором смысле задаче (I). В основе конструкции лепит идея расширения пространства, на котором определены операторы \\ & . Специальным образом продолжая оператор« Х-и, & на расгафенное пространство, полу таем такул всюду разра-иииуи краевую задачу, что множество решений краевой задачи (I) и мкоайство принадлежащих исходному пространству решений построенной краевой задачи совпадают. А именно, справедливо следующее утверждение.

а.

Теорема Г.2.3. Если - Г<£., £1 - расаирение пространства ¡0 , то существуют такие продолжения Ъ — Е> и

£ •' О — ¡Р(.т операторов я £ соответственно, что краевая задача

•¿V"/» еу» у*®

разрешима для любых пар правых частей Г/, Л] е б " ¡Я-"^

При этом любое решение задачи (I) является решением задачи (2), а если {/,<>£• > € Р~ (Г£, £1) , то соответствующее решение задачи (2) является решением задачи (I).

Доказательства теорем 1,1.5., 1,1.6. и 1.2.3., . тая же как и большинства теорем первой главы, конструктивны. Так в доказательстве теореш 1.1.5 показано, что в качества искомого оператора Т О-» А можно взять непрерывный линейный проектор на подпространство ЛсхА с £> , который существует в силу топологической нетеровости оператора А . Есяя А - нетеров оператор в 1 ■ Аи А ' Л" - некоторый фиксированный изоморфизм, то гарантируемый теоремой 1.1,6 вектор-функционал £, £> — А." определяется формулой

Далее, ц качестве операторов Х- V — В и в ■ Т> -* рС1 ,

существование которых утверждается теоремой 1.2.3, можно ваять операторы, определенные равенствами:

+ (5)

где М - дополнение пространства Т> в © (изоморфное км. Гш€, е! по определению 1.1.2), Ре и Р„ - проекторы пространства Ъ на пространства О » Л соответст«-венно, : — Б * Я.п<=> в!) - изоморфизм, а -«в

и & в. - операторы проектирования прямого произведения в * Л"1

на 1-у» и 2-ую компоненты соответственно. В параграфе 1,3 приводится центральный результат первой главы - конструкция обобщенного оператора Грина краевой задачи (1) с топологически нетеровым оператором

Кострукция основана на результатах параграфов 1.2 и 1.1, Введенное понятие обобщенного оператора Грина основано на использовании следующего утверждения, опирающегося на теорему 1.2.3.

Теорема 1.3.2. Пусть ¡0 - некоторое {£, - расширение пространства £) . Тогда существуют такие операторы

£ • © — в % £ : ь - НГ и Т; V -* АпГ*, ез

что система уравнений

однозначно разрешима для любых /ев, х0 е Г ¿С., Ц к

вС е Я.т . При этом, если С Д <¿3 е Я (ГгС, Г]) , то для

любого х„ е. клп , £] соответствующее решение (6) принадлежит пространству £> и является решением краевой задачи (I).

Если О} « ЖС£, £2) , то в силу теоремы 1.3.2 элемент х * [£,Т,Т2~* { £ , о. О} является решением полуод-

н ородной задачи

¿ж-д (7)

Этот факт позволяет ввести следующее определение.

Определение 1.3.2. Оператор , определенный

равенством 6 £ = £,Т]~* {Д о, О} будем называть обобщенным оператором Грина краевой задачи (I). Здесь и

£ - операторы, определяемые равенствами 14) и (5) соответственно, а Т - непрерывный линейный проектор на подпрост-.

- и - _

ранство Ью- с X) <= Х>

Обобщенный оператор Грина дает представление решений краевой задачи (б). А именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.3.3. Существует такой т -мерный функциональный вектор Хе решений уравнения С<£,Т3у - О , что для любых /ев, хв е. [¿С., г) и & (ЯГ решение краевой задачи (6) имеет представление

+ С8)

В силу теоремы 1.3.2 представление решений (8) краевой задачи (6) при {/.¿^е Д.<ТаС, £]) задает представление решений краевой задачи (1). Этот факт в дальнейшем позволит перейти от нелинейной краевой задачи вида

¿х - Ух, ¿ж- р* (9)

к уравнению вида у * <Ру , ^е О , эквивалентному на пространстве О краевой задаче (9).

Обсуждению связи обобщенного оператора Грина, введенного в § 1.3, с известными конструкциями обобщенных операторов Грина для нетерових краевых задач посвящен ? 1.4. Оказалось, что конструкция обобщенного оператора Грина, рассмотренная в 5 1.3, являясь достаточно общей, в соответствующих более узких предположениях позволяет получать многие известные, ранее не связанные между собой, конструкции обобщенных операторов Грина различных классов краевых задач для нетеровых операторов.

Вторая глава посвящена нелинейной краевой задаче вида (9), где £ Ъ — В , / ' ¡0 — А"4, - непрерывные линейные операторы; Т • V В , р Ъ ~~ . - непрерывные операторы.

Определение 2.1.1. Краевая задача (9) называется резонансной, если оператор 1£, 0~ д * Я"" .необратим.

В параграфе 2.1 обсуждается определение резонансной краевой задачи, приводятся характерные примеры и предлагается классификация РКЗ по линейной части краевой задачи (9К Здесь же формулируются и доказываются критерии принадлежности РКЗ к тому или иному типу.

- 12 -

Приведен одно и*, таких угверздеккй.

Теорема 2.1,1. Краевая -задача (9) принадлежат классу А (оператор в -Я"1 всюду разрешим) тогда и толь-

ко тогда, когда £ - 2) — Ё> - всоду разрешимой топологически

нетеров оператор и размерность пространства М из разложения в прямую сумку клк - кла , £ ] & /у равна числу т.

компонент вектор-функционала В

В $ 2.2 обсуадаптся различные способы сведения РКЗ к уравнение типа у. = Я2 у. . Показана эффективность предложенной

редукции в случае нетерова оператора отрицательного индекса. Здесь мы остановимся на редукции, имеющей место для случал произвольного топологически нетерова оператора «С V -* Ё> ,

Эта редукция основана на представлении решений (8) краевой задачи (6), которая в сигу теоремы 1.3.2 эквивалентна на исход-

ком пространстве Ф краевой задаче (I).

Теорема 2.2,6, Пусть — Е> - топологически нете-

ров, 7) - I «£ , ¿1 - расширение пространства Ъ . Тогда существуют такие продолжения £} £, ¥3 у? операторов £у (р и такой оператор Т : V — кш Г <£■, 61 ,

что оператор [ ¿Г, Е} Т1 — & "Я."* * Ам. [■£, П непрерывно обратим и множество решений краевой задачи (9) совпадает с множеством принадлежащих пространству £> решений уравнения

где £ = 1 е, ТГ* •[ Г, у,Т2 .

Слвдсгвие 2,2.7. Оператор С? - "В — Т) в уравнении (10) имеет представление

я?*хе' П * (И)

5десь С : В "*• © - обобщенный оператор Грина краевой зада-

чн ¿зса/ , I .х = » X - фундаментальный вектор решений уравнения [ ¿С, Т ] у. ~ О такой, что & Хе -операторы Т • О— В- и ^ •• 2) —• ¡Я™' определены равенствам!

В параграфе 2.3 получены теорем» '/чествования репекий РКЗ, носящие глобальный характер, т.е. без указания области, в которой существуют решения. Доказательства приведенных теорем используют обобщенный оператор Грина, конструкция которого изложена в § 1.3.

Теорема 2.3.1. Пусть _

а) существует замкнутое инвариантное для оператора & ° 7- подпространство А <= Ъ такое, что X, <р(А) с А ;

б) п?х11 тг~ 1У>х1 - (Л> < прячеи

Ч0П /Г *//хРг<1;

и выполнено одно из следугацих условий:

в1) пространство А компактно вложено в пространство V ;

в2) оператор О — 8 Еполне непрерывен.

Тогда задача (9) имеет хотя бы одно решение', принадлежащее пространству А .

Теорема 2.3.3. Пусть оператор 3-: ¡0 -* 3 вполне непрерывен и выполнены условия:

а) существует оиела <л 9- о и 6 з» & , такие, что для любого х е 7} найдется элемент и е кил £ ] такой, что ВиИ $Ц.ЦХ11 + в и 1Т(х*и>, у>гзг+а)}с: в]) ',

б- &>п. ИТхИ / 1хц =■ О, НРхи/йхп = о;

пха-»— пхч*. ф. •

в) подпространство км. [£, £3 коитаптно вложено в . Тогда задача (9) имзеч по крайней «ере одно решение.

Применение абстрактной теорёмь, 2.3.1 к периодической краевой задаче для обобщенного уравнения Льенара с отклонением аргумента, возяикапцеЯ в '

прилокениях*

xi*> *oixit)t-¿(ti ♦ l(t, xu-t))=ett)t t « со, ijr

7 (13)

X(OJ = Xii), i.(0)=>Xlt\ дает следующий результат.

Теорема 2.3.5. Пусть непрерывные функции ^ : ¿Я1— R1 и f:[0,í'i*ÍR. R1 удовлетворяют условиям:

а) ¡J. -нечетна;

б) для любых t еГО, i J и Te.fR.1 справедливо равенство ffi-t, - т) - ft (t, т>;

в) существуют числа й,6>0 и непрерывная функция R* такие, что для всех Г е R* , и lfft,i)l{y(t)'ini для любых if, 4) е Г О, 1 7 * R , причем а «■ ¿ <1/2 . Тогда для любой непрерывной функции г ; Д.1 — R1 такой, что

г fí -1J » - e(t) , краевая задача (13) имеет решение, нечетное относительно 1/2, т.е. удовлетворяющее равенству xd-t J * -

В параграфе 2.4 формулируются и доказываются локальные теоремы' существования решений РКЗ типа теорем Лэре-Шаудера, Приведем наиболее общее из полученных утверждений.

Теорема 2.4,1. Пусть существует открытая ограниченная окрестность нуля в с T)t { 'Di - замкнутая компонента в разлоКении Ъ = Аел IX, В J© t>t ) я непрерывный оператор Г: V — А&г [■£, £1 такие, что выполнены условия:

а) IT, tp] * (I - Г) (0t} с Я CC¿ , П) ;

б) из re i(1->Г)д9 и а е (О, i) следует f £tZlx t xí^ fix. Тогда краевая задача (9) имеет хотя бы одно решение в (J * Г) 6.

Подчеркнем, что полученные в этом параграфе утверждения уточняют известную теорему 3.1

Pa.ica.il В., ¡anna.cc i Я. Periodic solutions of genere йгеЫ ¿¿еллгс/ equations witk c/e(ay //Led. flotes HlatK. - <3ii.-- V. W1 ?. - P. Hf- 1Г6.

работы* .

Абстрактные результаты данного параграфа применяютя для получения достаточных условий разрешимости следующей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа, возникающей в квантовой механике.

XfP) = o,

где % & R.* , к > i . - целое число, tyi Ф i /х .

Редукция резонансной краевой задачи (9) к уравнению вида у- =С)С> у- естественно ставит вопрос об использовании метода простых итераций для получения приближенных решений РКЗ, Этой проблеме посвящен ? 2.5. Отметим, что в недавней работе Фам Ки Аня** предложены в общей операторной форме методы построения приближенного решения РКЗ для случая фредгольмовой линейкой части Г <£-, 81 . Приближенные методы решения нетеровых НО для о быкновенных ди$ференциальных уравнений бьши рассмотрены Бой-чуком A.A.***. Нетеровы, а следовательно, и фредгольмОЕЫ операторы являются частным случаем топологически нетеровых операторов. В этом смысла можно утверждать, что результаты § 2.5 продолжают упомянутые работы. Однако, методика использованная автором, основана на совершенно ином принципе. Следовательно, и в рамках предположения о кетеровести оператора , предлагаемый метод представляет самостоятельный интерес.

Введем в рассмотрение оператор <2 ' Ъ ~~ "D , определенный

равенством О♦ Cr " и сформулируем одно из

утверждений параграфа 2,5,

Теорема 2.5.1. Цусть существует замкнутое инвариантное для оператора G- 0 Т шдпространство А ^ t) такое, что ке-tf (А) С А , Q : 2Г — ¿Г - сжимающий на пространстве А о

~*lnö~rteFli Ш "Semi-Ftedhofm oper&tcrt xnd kfrerhotic probte**// ieet.яс-ies тм.-mi.-v.т.-ft tw-гв*.

Ки Ань. Операторные методы исследования нелинейных вырожденных дифференциальных и интегральных урявйений; Дисс. ... докт. физ.-иат. наук. - Киев, 1988, - 245 с. ххя

Бойчук A.A. Конструктивные методы анализа краевых задач. -Киев: Наук, думка, 1990. - 96 с.

константой Лишзща j> . Тогда для любого Хе е ktn.l£,?](l'A к любого е Л последовательность итераций

tfn *Х0 (15)

сгодится в некоторому реаении х* краевой задачи (9). Ори втом

(16а) (166)

Я*

публикации го та диссертации

1. Абдудяаев А.Р., Бурмистрава A.B. К вопросу о разрешимости краевых задач в резонансном случае // Дифференц. уравн. -1989. - Т. 25, £ 12. - С. 2044 - 2048.

2. Абдулшев А.Р., Бур&шстрова А.Б. Приводимость и свойства решений линейных функционально-дифференциальных уравнений// Краевые задачи: Мэавуз, сб, каучн. тр./ Перм. политех, ин-т. - Пермь, IS88. - С. 107 - 112.

3. Бурыистрова А.Б. Негсотораз теоремы существования решений ре-аокансншс краевых задач// Краевые задачи: Кежвуз. сб. каучн. тр./ Перм. политех, ин-т. - Пермь, 1990. - С. 115 - 119.

4. Буркистрова А.Б. О резонансе в уравнении с отклоняющимся аргументом // буккцконально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. научн. тр./ Пери, политех, ин-т. - Пермь, 1989. - С. 127 -131

5. Бурыйсгрова A.B. Об одном методе приближенного решения ре-

зонансных краевых задач // ХУ Международная конференция по дифференц. уравнениям и их прююненшш: Тезисы докл. -НРБ, r.fyce, 1989. - С. 44,

6. Бурыисгрова А.Б. 0$ одном способе сведения резонансной краевой задачи к уравнению второго рода // Функционально-даф-ференц. уравнения: Ыежвуз. сб, научн. тр./ Пери, политех, ин-т. - Пермь, 1990. - С, 164 - 160.

7. Бурмистрова А.Б. Построение обратимого оператора "экю!валентного" оператору нетероюй краевой задачи // Х1У Всесоюзная посоха го теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докл. - Новгород, 1989. - С, 38.

- 17 -

8. БурмистроЕа А,Б. Признаки разрешимости резонансная краевых задач // Республ. Латвийская конф. "Теорш и численные методы решения краевых задач дифферещ. уравнений: Тезисы докл. - Юрмала, 1968. - С. 21 - 22.

9. Бурмистрова А.Б. Применение катода обобщенного оператора Грина к нетерОЕЫМ краевым задачам // У1 научн. конф. молодых ученых УНЦ "Кибернетика" ГорькГУ: Тезисы докл. - Горький, 1989. - С. 34.,

Ю. Бурдастрова А.Б. Разрешимость периодической задачи для функционально-дифференциальных уравнений с периодическими операторами // П Северо-Кавк. регион, конф.: Тезисы докл. -Махачкала, 1989. - С. 40.

11. Бурмистрова А.Б. Теоремы существования решений резонансных краевых задач, полученные Ъ - редукцией к уравнению второго рода / Перм. политех, кя-т. - Пермь, 1990. - 20 с. -Деп. в ВИНИТИ 19.01.90, $> 428-В-90.

12. Бурмистрова А.Б. Изучение резонансных задач при помощи расширения операторов // 3<У Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах / Тезисы докл. - Ульяновск, 1990. - С. 49.

Подписано к печати II.01.91. Форма* 60X90 1/16.. Печ. л. I. Уч.-изд. л. 0,75. Тираж 110 экз. Заказ 10. "

УОЕ ЧПТ. 454080. Челябинск, пр.. им. В^И.Яакива, 76.