Краевые задачи нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в случае резонанса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДОЩ НАУК СССР . УРАПЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ' ИНСТИТУТ- ЫАТШТИКИ : МЕХАНИКИ

На правах рукописи Бурмистрова Алла Еорисоша

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНВДСШЛШ-даФЕШЩМЬНЫХ - УРАНЕНИЙ В СЛУЧАЕ ГЕЗОНАНСА

Специальность 01.01,02 - "Дифференциальное уравнения"

А в то р в ф » р а V диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Свердловск .1991 -

Работа выполнена ка кафедре математического анализа' Перксхаго подштегхшзчоского института.

Научные руководители : кандидат физкко-иатеиатических наук

Асдудяаев А.Р.,.

доктор физико-матештаческих наук Аэбелев Н.В.

Официальные оппоненты : доктор фиэико-мете«атических науп

Треногий А.В,,

кандидат физико-математических науп Ислш>8 Г .Г.

Ведувря оргенизиря - Институт математика АН УССР.

Защитя состоится в?Л* 1991 р..в

часов,на заседании спецнаяивированного сошта ДО02.07.01 во защите диссертаций на сонскакиэ ученой степегвз доктор физа-ко-гатекатичоскях ваун в Институте математики и механики УрО АН СССР С 620056, г, Свер£рвоЕ,^з. С.Ковалевской, д. 16 ).

С дяссертощей кото оек&кошться в иау«2гой библиотеке Институте матемиида в ыехешки УрО АН СССР.

' Автореферат разослан " 11. * , ■ 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат фязяко-и&тештическкх наук, старимй научный сотрудник

У

Ы.И.Гусев

- 3 -

общая характеристика работы

Актуальность теш. При построении математических моделей физических явлений, задач экономики, биология и техники возникают краевые задачи для нелинейны* функционально-дифференциальных уравнений вырожденные в том смысле, что их линейная часть является необратимым оператором. Такие- задачи называют резонансными краевыми задачами (РКЗ).

РКЗ образуют специальный класс краевых задач, усиленно изучаемых в последние десятилетия. Исследованию РКЗ посвящена обширная литература. В частности, монография С.Фучика5® н Дя.Мавэна*

Вырожденность линейной части й£3 определяет непригодность традиционных методов исследования краевых задач, основанных на непосредственном сведении краевой задачи к уравнению вида x*°Pz и использовании затем принципов неподвижной точки.

Б актуальном для обыкновенных дифференциальных уравнений случае РИЗ с фредгольмогой линейной частью работает хорош известный способ Ляпунова-Шмидта сведения ШЗ к уравнению вида

х. -жЧ^ ж. , Развитию метода Ляпунова-Шмидта в такой близкой проблемам РКЗ области, как теория ветвления решений нелинейных уравнений, посвящены работы Ы.М.Вайнберга, В,А.Троногина.

М. А .Красносельский, Дя.Мавэн использовали редукцию Ляпуно-ва-Ямидта для развития теории степени* отображения в случае РКЗ с: фредгольмоаой линейной часты).

В последнее время НО интенсивно исследуется как в направлении ослабления условия фредгольковоетн линейной части, так и в направлении отказа от традиционного требования полной непрерывности нелинейной части.

Fu.tik S. Sotv&biiitu of froniintbr Equations and Boundary 4a.lue Probtims. - Hottand: Dordrecht, 1ЧЗО. - 3$0p.

хи

fflawftin. J. Topo logical decree meihod in. nottiinecir boundary vulue problems J/ Conf. Board of ihe Wat A. Sc. У ft-conf. series in math., - Harvey,, Ш9,-tfo. W. - iZlp.

К посяаднецу направлении относятся многие работа О.Г.Борисовича и его учеников, где разрабатываются топологические методы исследования РКЗ, как правило, с фредгольмовой линейной часть» я различными класса.™ неяинейностей (негладкими, многозначными, упяоткящиии относительно фредгольдава оператора и др.). -

В оотэи с первым направлением, необходимо отметить активно работающую в этой области РКЗ группу итальянских математиков во главе с прО(|ессором Фури М. ( Риг1 /Я. ), которые и спольэовали модификацию редукции Ляпунова-Шмидта для исследования разрепимоста РКЗ с нетеровой линейной частью неотрицательного индекса. Кроме того, ими же доказан ряд распространений утверждений, известных для НО с фредгояьшЕОй линейной частью, на случай нетеровнх операторов отрицательного индекса, а такне на случай бесконечномерных ядра и коядра линейной части. Эта серия результатов показывает, что требование фредгольмовости ( или даже нетероеости) линейной часта ЙКЗ нередко связано лишь с возможностями выбраного метода исследования, что делает актуальной единообразного подхода к исследованию НО, линейная часть которых имеет бесконечномерные ядро и коядро. Актуальность исследования разрешимости таких краевых задач и разработки методов их приближенного решения обуславливается преаде всего тем, что линейные чести многих классов практически значимых функцио-н алько-дифференциальных уравнений I большинство уравнений нейтрального типа, уравнения с отклоняющийся аргументом, рассматриваемо на действительной оси) на являются ни фредгодьмовши, ни даже штеровыыи, и имеют бесконечномерное ядро или коядро.

Объест исследования. Изучаются резонаясныэ краевые задачи, линейная часть которых является топологически нетеровда оператором, т.е. имеет дополняемые, вообще говоря, бесконечномерные ядро и образ, Упомянутый объект охватывает, в частности, традиционные РКЗ для обыкновенных дифференциальных уравнений (фред-гольмова линейная часть) и РКЗ для абстрактного функционально-дифференциального уравнения* (линейная часть - нетерзв оператор).

^Азбелев Н.В., Рахматудлина Д.5. Абстрактное функционально-диф-ференциалькое уравнение// функционально-дифференциальн. уравнения: Хежвущ. сб. научн. -тр./ Перы. политехи, ин-т. - Пермь, 1985. -С.З-1Е.

Цель работа. Исследование вопросов общей теории динзйкых топологически нетеровых краевых задач: разрешимость, представление решений и т.п.

- Разработка и обоснование редукции РКЗ к уравнению вида

на основе специального обобщения оператора Грина линейные краевых задач для уравкегшй с топологически нетеровкии операторами.

- Получение вффективных признаков разреши!»ста РКЗ и обосяова-ние итерационного метода их решения с использованием предложенной редукции.

- Применение полученных абстрактных результатов к конкретным практически важным РКЗ.

Общие методы исследования. Основные результаты диссертации подучены с поиощыо методов функционального анализа. В частности, использованы результата теории линейных операторов и операторных уравнений в банаховых пространствах» методы нелинейного функционального анализа, теория краевых задач для абстрактного фуннционально-дафферекциалшоро уравнения и полученные автором специальные вспомогательные утверждения о линейной краевой задаче для уравнения с топологически кетеровыы оператором.

Научная новизна. На эаяргеу выносятся следующие основные положения, определяющие научную новизну результатов диссертационной работы:

- получены необходимые Обобщения результатов теории линейных краевых задач на случай абстрактного функционалшо-дифференци-аяьног-о уравнения с топологически яетеровш линейным оператором;

- предложена конструкция обобщенного оператора Грина линейной краевой задачи для уравнений с оператором, имевщиы дополняемые ядро и образ;

- разработан метод редукции РКЗ с топологически нетеровой линейной частью к уравнению вида X * Я? 32 ; -

- подучены новые признаки разрешимости РКЗ;

- обоснован итерационный метод приближенного решения РКЗ на основе ее редукции к уравнению вида эе»Фэе ;

Теоретическая значимость. Работа, носит теоретический характер, углубляет сучзствуюцяе представления о нелинейных краевых задачах и расширяет возможности их использования. Предложена новея методика исследования РКЗ, которая, являясь достаточно

- б -

общей (применимой к такому достаточно широкому классу РКЗ, как краевые задачи с топс-чогкчески нетеровой линейной частью}, в соответствующих более узких предположениях позволяет реализовать многие известные, ранее не связанные друг с другом, подходы к исследованию РКЗ.

Практическая ценность, №3 с топологически нетеровой линейной частью возникают в теории нелинейных колебаний, в теории устойчивости движения, в теории управления, в теории электрических цепей.и других областях, связанных с объектами, опи-сываомыми нелинейным! уравнениями. Сюда относятся периодические краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (критический случай), среди которых - интенсивно изучаемые периодические краевые задачи для уравнений Льенара,

Разработанная методика с одной сторэны позволяет получать новые признаки разрешимости таких НСЗ, а с другой стороны, ввиду ее общности, применима к изучению но исследованных ранее практических значимых классов краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Так, в диссертации исследована краевая задача для функциокржьно-дифференциальнсго уравнения нейтрального типа с топологически нетертвой линейной частью, возникающая в квантовой механике. Ранее был получен частный результат55 касающийся этой задачи, г случае обратимости линейной части.

Кроме того, практическая значимость предложенной методики определяется тем, что на ее основе разработай алгоритм построения приближенных решений РКЗ рассматриваемого типа.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 1У Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применение" vHPБoлгapия, г.Руса, 1989г.); на Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев, 1983; Новгород, 1989; Ульяновск, 1990); на Севэро-Кавказских Региональных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Махачкала, 19В6, 1989), на конференции "Современные методы качественной теории

* Гип (П., ГПагиШ Ш-. А. Оп Оье.

о{ поп 11пга.г орег^ог ¿а лргтеЫ.

ьрасе5 М йм.'-еИ /7га£. рига. еЫ. ССрр1. - НЮ. ~

- [/. /2«. - р. 321-391.

дифференциальных уравнений" (Воронеж, 1990), на у1 научной конференции молодых ученых унц "Кибернетика" ггу ^Горький, 1989), на Уральских региональных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения" (Уфа, 1986; Челябинск, 1987;Пермь, 1988), на семинаре профессора А.М.Самойленко в Математическом институте Ail УССР (Киев, 1989), на семинаре профессора В.А. Треногина в МИСиС (Москва, 1990), на расширенном семинаре ИШ ии. И.Н.Векуа ТбГУ ("Тбилиси, 1990), на Лерыском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (руковод. ггроф. Н.В, Азбелев; 1987 - 1990).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах П - 12] Из работ {1,2] , выполненных в соавторстве, в автореферат и диссертацию включены результаты, полученные автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Она содержит 134 страницы машинописного текста, включая библиографический список мэ 108 работ отечественных и зарубежных авторов.

. содетаиБ и ссноваив результаты

ДОСКЕРТАЩИ

Во введении обоснована актуальность выбранного направления исследования, дан краткий обзор литература по теме диссертации и приведена аннотация результатов диссертации.

В первой главе рассмотрена линейная краевая задача

.¿Г'/, (1)й

с топологически нетеровнм оператором jt , действующим из банахова пространства D в банахово пространство 5 , я непрерывным вектор-функционалом t ■ Ъ — Я.^ . Введено понятие обобщенного оператора Грина такой краевой задачи, и на его основе получено представление решений задачи (I).

Параграф I.I имеет вводный характер. 3 нем приведены нео бходимые вспомогательные сведения об уравнении £ ж = / и линейной краевой задаче (I) с топологически нетеровым оператором ¿. , а также ряд новых утверждений об уравнении ¿х=/

^Нумерация формул в автореферате отличается от нумерации в диссертации.

и краевой задача (I) с нетэровш оператором X, . В этом se параграфе вводится сяедущэе необходимое в дальнейшем понятие.

Определение I.I.2.* Пусть А : V — Z - линейный топологически нетерсв оператор. Пространство S э® называется

А - расширением пространства 2> , если пространство 2? дополняемо в пространство 2? и 1>/£> ~ кел А* .

Если оператор A¿ действует из банахова пространства D в банахово пространство 2 ¿ ( í = í , 2. > , то символом íA¿, Л23 будем обозначать оператор ÍAí}AJ :D — Z, "Zz •

опредвяенный равенством IA¡, А хI х = {х, Лгг].

Важным для дальиейшх построений является следуюцяй, доказанный в данном параграфе факт.

Теорема 1.1,5. Если изератор А •' ¡0 И топологически нетеров, то существует линейный ограниченный оператор

Т: D кал А такой» что оператор í А,TJ-Ь А

топологически нетеров, СА,Т1 = {0} и

В случае нетерова оператора А- £>-* Z . теорема 1.1,5 уточняется следующим образом. .

. Теорема ГЛ.б. Дея любого нетерова оператора а существует линейный ограниченный вектор-функционал • ¡D— R

такой, что краевая задача А»=<? , i, х. - О имеет только тривиальное решение и &4лГА,£0]"Ш tu*. А * < Здесь

v * efc/n hjui А .

Параграф 1,2. посвящен развитию результатов Я.Ф.Рахиатул-линой** о не зезду разрешимых линейных краевых задачах. Сдесь

^Нумерация определений и утверждений автореферата совпадает с нуыергадей соответствующие формулировок в диссертации, **Рах«атудлина Представление репений не всоду раэрешигшх линейных фуякфокадько-даффсрекциа.'шяьс уравнений//3ункцксналь-н о-дифференциальные уразнежа: Ыеязуз.сб.науч.тр./йерм, политех, ин-т, - Пермь, 19У8. - С.10 - 13.

приводится конструкция всюду разрешимой краевой задачи, эквивалентной в некотором сдасле задаче (I). В основа конструкции левит идея расгжрения пространства, на котором определены операторы \\ Е . Специальным образом продолжая операторы £. и Е на расширенное пространство, получаем та куп всюду разрешимую краевую задачу, что шопество решений краевой задачи (X) и мноаЬство пршадяежащях исходному пространству репаний построенной, краевой задачи совпадают. А именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.2.3. Если © - г «£ , £1 - расшрение пространства Ъ , то существуют такие продолжения ¿Г — В> и

£ '■ Т> — операторов и £ соответственно, что краевая задача

разрешима для любых пар правых частей { /, <**} ев" В^-Т"

При этом любое рзиение задачи (I) является рзшешеы задачи (2), а если { /, 3 е РК (П, ?2У % то соответствующее решение задачи (2) является решением задачи <2)„

Доказательства теорем 1.1.5,, 1.1.6. и 1.2.3., . тан га как и большинства теорем первой глаш, ¡конструктивны. Так в доказательстве теоремы 1.1.5 показано, что в качестве искомого оператора Т ■ О км- А можно взять непрерывный линейный проектор на подпространство АеъА с (О , который существует в силу топологической нетеровости оператора Л . Если А - нетеров оператор а ] ■ Ош. А -» - некзторай фик-

сированный изоморфизм, то гарантируемый теоремой 1.1.6 вектор-функционал 4 •' О определяется формулой

г.хъЗ'Тх. ^ ^ ^ о)

Далее, и качестве операторов £■ V — В й В : Ъ -*■ ¡рС* ,

существование которых утверждается теоремой 1.2.3, моано взять оператора, определенные равенствами:

- 10 -

¿у-ХА(Г*.е1*Р9у+7йормр)ш (5) где М - дополнение пространства Ъ в (изоморфное км Г £ , £ 3 по определений I.I.2), Рс и Рн проекторы пространства Z) на пространства О и /1 соответственно, Jt : /i — В * ZRm <£> Я (С¿С, £3) - изоморфизм, а

и - операторы проектирования прямого произведения В * Л."1"

на 1-ую и 2-ую компоненты соответственно. В параграфе 1.3 приводится центральный результат первой главы - конструкция обобщенного оператора Грина краевой задачи (X) с топологически нетеровым оператором X. ' О — &

Кострукция основана на результатах параграфов 1.2 и I.I. Введенное понятие обобщенного оператора Грина основано на использовании следующего утверждения, опирающегося на теорему 1.2.3.

Теорема 1.3.2. Пусть Т> - некоторое 81 - расши-

рение пространства © . Тогда существуют такие операторы

Z • © — в , ? : v-+ R™ и т.- т5-* fU*. [Jij п

что система уравнений

^ = (6)

однозначно разрешима для любых /ев, згс е ЯсгГ£,В1 к

оС е Rm . При атом, если е R.(Ci£,?]) , то для

любого г. е ken [<£, ¿1 соответствующее решение (6) принадлежит пространству Z> и является решением краевой задачи (I).

Если if, О} £ Я(£гС, £2) , то в силу теоремы 1.3.2 элемент X = Т, TJ~* { f j о, О) является решением полуод-

кородной задачи

¿х* Д fx* О, (7)

Этот факт позволяет ввести следующее определение.

Определение 1.3.2. Оператор & ■ & — £> , определенный равенством 6 / В, Т]~* о, О) будем называть обобщенным оператором Грина краевой задачи (I). Здесь <£ и

£ - операторы, определяемые равенствами С4) и (5) соответственно, а Т - непрерывный линейный проектор на подпрост- .

- rr - ____

ранство [ ■£, £1 с D <=■ Z>

Обобщенный оператор Грина дает представление решений краевой задачи (б). А именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.3.3, Существует такой т -мерный функциональный вектор Xf решений уравнения [£,TJ у = О , что для любых f е В, хв е Алг. СХ. f] и & Rm репение краевой задачи (6) икеет представление

еС * х„ * Grf. (8)

В силу теоремы 1.3,2 представление решений Ш) краевой задачи (6) при ,</.)& R.([£t ¿1) задает представление решений краевой задачи (i). Этот факт э дальнейшем позволит перейти от нелинейной краевой задачи вида

¿х - Тх) Вх- (fix (9)

к урагаекип вида у « ф ^ , уе О , эквивалентному на пространстве © краевой задаче (9),

Обсуждении связи обобщенного оператора Гряна, введенного в 5 1.3, с известными конструкциями обобщенных операторов Грина для нетеровых краевых задач посвящен § 1.4, Оказалось, что конструкция обобщенного оператора Грина, рассмотренная в 5 1.3, являясь достаточно общей, в соответствующих более узких предположениях позволяет получать многие известные, ранее не связанные между собой, конструкции обобщенных операторов Грана различных классов краевых задач для нетеровых операторов.

Вторая глава посвящена нелинейной краевой задаче вида (9), где £ •' V — В , £: Я) —■ R. ^ -.непрерывные линейные операторы; Т D В » ¥> ■' ^ Я."*1. - непрерывные оператора.

Определение 2.I.I. Краевая задача (9; называется резонансной, если оператор 1<£, П :0- & необратим.

В параграфе 2.1 обсуадается определение резонансной краевой задачи, приводятся характерные примеры и предлагается классификация РКЗ по линейной части краевой задачи (9); Здесь же формулируются и доказываются критерии принадлежности НО к тому или иному типу.

- ie -

Праведен одно и- таких утверждений.

Теорема 2.1.1. Краевая -задача (9) принадлежит классу А чоператор t] : "D — В ~ ¿R'n~ всюду разрешим) тогда и только тогда, когда ¿.-Т)—£> - всццу разрешимой, топологически

нетеров оператор и размерность пространства 1*1 из разложения в прямую сумму íun ¡d - kxn TsL t £ J & JY равна числу m

компонент вектор-функционала В

В § 2.2 обсуядаотся различные способы сведения РКЗ к уравнению типа ^ = ЯР у* . Показана ^эффективность предложенной

редукции в случае нетерова оператора отрицательного индекса. Здесь мы остановимся на редукции. имеющей место для случая произвольного топологически нетерова оператора ¿ '■ О —■ & .

Зта реакция основана на представлении решений (8) краевой задачи (6), которая в ск.*у теоремы 1.3.2 эквивалентна на исход-

ком пространстве Ф краевой задаче (I).

Теорема к.2.6. Пусть £. ' — 3 - топологически нетеров, Z) - Г , IJ - расширение пространства Ъ .Тогда существует такие продолжения > С, ¥у <р операторов

£, <р и такой оператор Т : & — А&г [ <£,, е J , что оператор L «£, £, TJ • 'D В "IR"" * Алл i] непрерывно обратим и множество решений краевой задачи (9) совпадает с множеством принадлежащих пространству t> решений уравнения

уеФ, (Ю)

где Я 1,ТГ*'1Т, р, Т1 . .

Следствие 2.2.7. -Оператор Q ' T>-~ D в уравнении СЮ) имеет представление

t»)

Ьдесь G : В О - обобщенный оператор Грина краевой зада-

чи ¿Z? jc = / , I х « o¿ í X g - фундаментальный век-

тор решений уравнения [ <£, t Т J ^ = О такой, что £ Xе -о ператсры 7 • D В ■ и У ■ Ъ — R"1 определены равенствами

В параграфе 2.3 получены теорем!» -уществования репений РКЗ, носящие глобальный характер, т.е. без указания области, в которой существуют решения. Доказательства приведенных теорем используют обобщенный оператор Грина, конструкция которого изложена в § 1.3.

Теорема 2.3.1. Пусть

а) существует замкнутое инвариантное для оператора & • 7 подпространство Л с D такое» что .X/ <р[А) с. А %

б) JJZ iZjci' í дГГ / ^ причем

и выполнено одно из следующих условий:

в!) пространство А компактно вложен© в пространство 2? ;

в2) оператор У- D -* В вполне непрерывен.

Тоща задача (9) имеет хотя бы одно решение', принадлеаащее пространству А .

Теорема 2.3.3. Пусть опэратор 7: "D — В вполне непрерывен и выполнены условия:

а) существуют висла о. ъ о и ¿ & С э такие, что для любого xfi ® найдется элемент и е кал ti такой, что liuil $ Л-IIХИ* в и ircx + u),tprxr+u)}c: ñtfíd, £])',

t¿m. I¡ rxJ//lxU = D , íipxt/iixti = £>,'

tixtl-»— tt*<t~~ ■

в) подпространство k&i L<£-, 81 компактно вгокеко в . Тогда задача (9) имеет по крайней мере одно решение.

Применение абстрактной теорекь 2.3.1 к периодической краевой задаче для обобщенного уравнения Яьенара с отклонением аргумента, воздакащей в '

'прияовеккях* х<t) *■ йixtto- xa) * ¡(t,x(i-t})=ett) , t e со, nf

* (13)

X(0)=rfij, i(oi^xíi)

дает следующий результат.

Теорема 2.3,5. Пусть непрерывные функции ^ : Я1— IR1 и Lo,i)xR1 R1 удовлетворяют условиям:

а) д. -нечетна;

б) для любых t е[0, i] н Те {R. справедливо равенство fíí-i, - T) = -fft,T>;

в) существуют числа а,&> О и непрерывная функция

такие, что 1$(Г)1 í й для всех Г е R1 , и1 {(t.DUylO-'gni для любых (f, 4) е Г О, il « ¡R1 , причем а» £ < i/3 . Тогда для любой непрерывной функции е : IR.* —* ¡R? такой, что e(í-t) я - , краевая задача (13) имеет решение, не-

четное относительно 1/2, т.е. удовлетворяющее равенству XII ~ t) - - x(t). •

В параграфе 2.4 формулируются и доказываются локальные теоремы'существования решений FK3 типа теорем Дзре-^аудера. Приведем наиболее общее из полученных утверждений.

Теорема 2.4.1. Пусть существует открытая ограниченная окрестность нуля 0 <= ( Я),, - замкнутая компонента в разложении 2) = km [J?t £ V& Ъ4 ) и непрерывный оператор V- V— кел С<£, ¿1 такие, что выполнены условия:

а) IT, ¡p] °(1+ Г) С0Л) <= Я ([¿С., 11) ;

б) из Té íl'F)d9 и xe(Q,l) следует Г (fJx. Тогда краевая задача (9) имеет хотя бы одно решение в Ü *Г)&.

Подчеркнем, что полученные в этом параграфе утверждения уточняют известную теорему 3.1

* Ъс P<Líca¿e £., íannacci R.. Per¿0dU sotutions of genereiized ¿Cienarcf e$uaticn.s uAil c/e¿ay У/Lect. flotes /TlatK. - -

- V. 101?. ~ P. itf- 1Г6,

работы* .

Абстрактные результаты данного параграфа применяптя для получения достаточных условий разрешимости следующей краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа, возникающей в квантовой механике.

i.ti)-^-ocH/K)=f(ttoc(-t)fTU/K))r tCCO.fJ, (14) Х(0) = о>

где jf<£ R.1 , к >1 . - целое число, Ф i У < .

Редухция резонансной краевой задачи (9) к уравнению вида у- —Я2» у. естественно ставит вопрос об использовании метода простых итераций для получения приближенных решений РКЗ, Этой проблеме посвящен § 2.5. Отметим, что в недавней работе Фйм Ки Аня** предложены в общей операторной форме методы построения приближенного решения РКЗ для случая фредгольыовой линейной части Г «£, £ 1 . Приближенные метода решения нетеровых РКЗ для о быкновенных дифференциальных уравнений были рассмотрены БоЙ-чуком А.А.***. Нетеровы» а следовательно, и фредгольмовы операторы являются частным случаем топологически нетеровых операторов. В этом смысле можно утверждать, что результаты § 2.5 продолжают упомянутые, работы. Однако, методика использованная автором, основана на совершенно ином принципе. Следовательно, и в рамках предположения о нетеровости оператора ¿. , предлагаемый метод представляет самостоятельный интерес.

Введем в рассмотрение оператор Q.: Ъ ^D , определенный

равенством Qtf. -Xg• fjf * Cr и сформулируем одно из

утверждений параграфа 2.5,

Теорема 2.5.1. Пусть существует замкнутое инвариантное для оператора подпространство А с © такое, что

Х( \р(А) <= А , Q •' Ö" — ¿0" - сжимащий на пространстве А в

*П^гШ(ГгП 'Semi-'f'iedkJm. opemtonxnd kfrerkefic probte»*//

icetn^s /hatA.-im-Г.Ш;-*%ам Ки Ань. Операторные методы исследования нелинейных вырожденных дифференциальных я интегральных уряйеииЯ; Дисс. ... докт. физ.-йат. наук. - К«ев, 1988. - 245 е.

Бойчук A.A. Конструктивные метода анализа краевых задач. -Киев: Наук, думка, 1990. - 96 q.

- 16 -

константой Липшица р . Тогда для любого Х„ £ kest,l£/]ftA i: любого fc^A последовательность итераций

о Ш

сходятся а некоторому решению ас* краевой задачи (9). При этом

(16а)

(i66>

ДОБШШЩЙ ПО TESE ДИССЕРТАЦИИ

1. Абдуляаев ¿.Р., Бурюзстрова А.Б. К вопросу о разревишсти краевых задач в резонансном случае // Диф$еренц. уравн. -1989. - Т. 25, $ 12, - С. 2044 „ 204S.

2. Абдулваев А.Р., Буриистрова А .В. Приводимость и свойства реаений линейных функционально-дифференциальных уравнений// Краевые задачи: Нежвуз, сб. научн. тр./ Пер/, политех, ин-т. - Пермь, 1988. - С. 107 - 112.

3. Буриистрова A.B. Некоторые теоремы существования решений резонансных краевых задач// Краевые задачи: Мэхвуз. сб. научн. тр./ Дерм, полнтех. кн-т. - Пермь» 1990. - С. 115 - 119.

4. Буриистрова А.Б. О резонансе в уравнении с отклоняющимся аргументом // Функционально-дифференц. уравнения: Ые&вуз. сб. научн. тр./ Оеры. политех, ин-т. - Пермь, 1989. - С. 127 -131

5. Еурмистрова A.B. Об одном методе приближенного решения ре-

зонансных краевых задач // ОТ Международная конференция по дифференц. уравнениям я их применениям: Тезисы докл. -НРБ, r.FVce, 1989. - С. 44.

6. Еурыистрова А.Б. Об одном способе сведения резонансной краевой задачи к уравнению второго рода // Функционал ьно-даф-ференц. уравнения: Нежвуз. сб. научн. тр./ Пери, политех, кн-т. - Пермь, 1990. - С, IÖ4 - 160.

7. Еурыистрова А.Б. Построение обратимого оператора "эквивалентного" оператору нетеровой краевой задачи // Х1У Всесоюзная школа по сеорви операторов в функциональных пространствах: Тезисы док». - Новгород, 1989. - С, 38.

к

8, Бурмистрона А.Б. Признаки разреввшоста резонансных краевых задач // Рвспубл. Латвийская кокф. "Теория и численные методы решения краевых задач дафферзнц. уравнений: Тезисы докл. - Сриала, 1988. - С. 21 - 22.

9. Бурмистрова А.Б. Применение метода обобщенного оператора Грана к нетеровым краевым задачам // У1 научн. конф. коло-дых ученых УНЦ "Кибернетика" ГорьяГУ: Тезиск докл. - Горький, 1989. - С. 34..

10. Буршстрова A.B. Разрешимость периодической задачи для фун-кционально-дифференциалышх уравнений с периодическими операторами // II Саверо-Кавк. регион, конф.: Тезисы докл. -Махачкала, 1989. - С. 40.

11. Бурмистрова А.Б. Теоремы существования решений резонансных краевых задач, полученные t> - редукцией к уравнению второго рода / Перл, политех, нн-т. - Пермь, 1990, - 20 с. -Деп. в ВШИТИ 19.01.90, Я 428-В-90.

12. Бурмистрова А.Б. Изучение резонансных задач при поаощ расширения операторов JJ W Всесоюзная икояа по теории операторов в функциональных пространствах / Тозясы дом. - Ульяновск, 1990. - С. 49,

Подписано я печати II. 01.91. Формат 60X90 1/16. Печ. л. I. Уч.-изд. л. 0,75. Тираж ПО экз. Заказ 10.

УОП ЧГТУ. 454080,. Челябинск, пр. ш. В;й.Ленина, 76.