Метод сеток в задачах на собственные значения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГб од 2 1 тон 1993

Киевский университет им. Тараса Шевченко

На правах рукописи

ПРИКАЗЧИКОВ Виктор Георгиевич

УДК 519.632

МЕТОД СЕТОК В ЗАДАЧАХ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев 1993

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики факультета кибернетики Киевского университета им. Тараса Шевченко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

Ведущая организация: Институт математического моделирования АН России.

часов на заседании специализированного совета Д 068.18.16 при Киевском университете им. Т. Г. Шевченко по адресу:

252127 Киев 127, проспект Академика Глушкова, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан «--»---------------- 19 г.

наук, профессор ГУЛИН А. В.,

доктор физико-математических наук, профессор ЛИТВИНОВ В. Г.,

доктор физико-математических наук, профессор ЛЯШЕНКО И. Н.

Защита состоится «

Ученый секретарь специализированного совета

КУЗЬМИН А. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОМ Актуальность темы

Спектральные задачи (задачи на собственные значения) возникают во многих научно-технических областях. Например, практические расчеты, связанные с колебанием, резонансом, устойчивостью струн, стержней, мембран, пластин, оболочек требуют ' знания собственных чисел (С5.Ч.) и собственных функций (С.Ф.) самое иряженшх эллиптических операторов.

Спектральные задачи по сравнению с обычными краевыми задачами математической физики обладают специфическими особенностями, которые требуют дальнейшего развития теории методов дискретизации и создания новых численных алгоритмов.

Известно, что погрешность дискретного спектрального аналога увеличивается вместе с ростом С.Ч. Поэтому здесь особо необходимы средства повышения точности. К ним относятся:

дискретные схемы высокого порядка точности, в том числе метод конечных элементов;

главная часть погрешности схемы низкой точности, представленная по степеням малого параметра дискретизации; минимизация функционалов для схем высокой точности на решениях схем низкой точности; Главный член разложения погрешности СЛ. по степеням шага разностной сетки представляет интерес по нескольким причинам. Дает полное представление о .погрешности. В частности, позволяет получить точную оценку погрешности и выяснить характер приближенных дискретных С.Ч. к С.Ч. исходной задачи. Позволяет уточнить С.Ч., вычислить поправку на решении, найденном реализацией схемы низкого порядка точности. Показывает как возмущать схему низного порядка точности, чтобы получить схему более высокого порядка точности. Обосновывает многосеточние метода в спектральных задачах.

Цаль работа

Построение и исследование разностных схем высокого порядка точности в спектральных задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Построение и исследование разностных аналогов спектральных задач для уравнений в частных производных.

Получение формул для главного слагаемого в разложении погрешности С.Ч. по степеням шага сетки.

Исследование итерационных алгоритмов решения разностных спектральных задач.

Экспериментальная проверка точности дискретных аналогов и итерационных алгоритмов.

Численное решение конкретных задач.

Общая методика

В диссертации используются: теория уравнений математической физики, функциональный анализ, метода вычислительной математики, теория упругости.

Научная новизна

Построены новые дискретные аналоги спектральных задач.

Исследована точность новых сеточных спектральных задач.

Найдены формулы главной части погрешности дискретных С.Ч., представленной по степеням шага квадратной сетки.

Установлена новая оценка сходимости неявного итерационного процесса спуска к минимальному собственному числу.

Проведена экспериментальная проверка точности разностных схем и скорости сходимости итерационных методов.

Решены конкретные спектральные задачи.

Практическая целость

Полученные в диссертации результаты могут бить использованы: при построении методов высокой точности репеппя спектральных задач для эллиптических операторов;

для решения практических задач колебаний, резонанса, устойчивости объектов различной природы;

в учебном процессе при чтении специальных курсов, для написания курсовых, дипломных и диссертационных работ.

Апробация работы

Результаты работы докладывались и многочисленных научных семинарах и конференциях, в проблемном совете по вычислительной математике

на каф, Начислительной математики

на каф. численных методов в математической

физике

на каф. вычислительной математики на каф. чделенных методов на каф. общей математики в отд. численных методов ( Ин-т киберне в отд. численных методов

обсудцались В частности,

на

(Киевский ун-т), (Киевский ун-т),

(Киевский ун-т), (Московский ун-т), (Московский ун-т), (Московский ун-т), тики им.В.М.Глзшкова), (ВЦ АН России).

Публикации

По результатам исследований опубликовано более 60 работ. Структура и объеи работы

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 131 наименование; изложена на 138 страницах, из которых 12 страниц па.подает список литературы.

Библиографические сведения

Первые работы, в которых рассматривались вопросы точности .разностных спектральных. задач, относятся к обшшоиошшм дифференциальным уравнениям с гладкими коэффициентами (Бюкнер X., 1948, Коллатц Л., 1968, Крылов Н-М.,19в1, Курант Р.,1964).

При дискретизации задачи Штурма-Лиувилля с кусочно-непрерывными коэффициентами были предложены и обоснованы однородные разностные схемы (Тихонов А.Н., Самарский А.А.,1961). Конструкция таких схем едина как в случае непрерывных, так и в случае разрывных коэффициентов дифференциального уравнения. Такие схемы использовались в спектральных задачах:

схемы второго порядка точности для обыкновенного дифференциального уравнения с четвертыми производными (Хао-Шоу, 1968 );

схемы высокого порядка точности для задачи Штурма-Лиувилля с кусочно-непрерывными коэффициентами (Приказчиков В.Г.,1969);

схемы высокого порядка точности для задачи Штурма-Лиувилля с сингулярными коэффициентами (Багмут Г.М. ,1969, Гавршпок И.П., Лук-ных В.М., Макаров В.Л.,1979);

схемы высокого порядка точности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (Макаров В.Л., Макаров И.Л., Приказчиков В.Г.,1979);

в спектральных задачах для уравнений эллиптического типа с частными цроизводными сначала исследовалась сходимость дискретных решений (Ефименко В.А,1938, Ладыженская 0.А.,1953, Люстерник Л.А.,1947).

Затем устанавливалась скорость сходимости (точность) решений различных дискретных аналогов:

для уравнений со вторыми частными производными и достаточно гладкими коэффициентами (Вазов Б., ФорсайтД.,1963, Валицкий Ю.Н.,1971, Вейдингер Л.,1966,Кутлер Г.,1970, Приказчиков В.Г.,1965, Саульев В.К.,1955);

для уравнений второго порядка при обобщенной гладкости С.Ф. в соболевских пространствах и особенностями в коэффициентах

уравнения (Войцеховский С.А., Макаров В.Л..Приказчиков В.Г.,1979, Рыбак Ю.А.,1388, Семчук A.P..IS85);

для уравнений с четвертыми частники производными и достаточно гладкими исходными данными (Кутлэр Г.,1971, Приказчиков В. Г., Хи-шч А.Н. ,1979);

для уравнений четвертого порядка при обобщенной гладкости С.Ф. в соболевских пространствах (Приказчиков В.Г., Химич А.Н.);

разностные схош четвертого и шестого порядков точности в спектральных задачах для уравнения со вторыми ¿астныки производными (Алланазаров Ж.П., Приказчиков В.Г. ,1990, Сапаговэне Д.,1975);

разностные . схемы в нелинейных спектральных задачах (Гулин A.B., Коввлев С.И., Крегжде A.B.).

Совсем мало работ, в которых установлена асимптотическая оценка точности, т.е. главный член разложения погрешности С.Ч. относительно шага квадратной сетки (Вюкнер X.,1948, Вазов В.,1953, Ляшенко И.Н.,1978, Приказчиков В.Г.,1966).

Наконец, укажем дискретные аналоги высокой точности, полученные методом конечных элементов (Варга Р.,1974, Корнеев В.Г., 1977,Попов A.B.,1984, Стренг Г.,1977, Сьярле Ф.,1980, Факс Д.,1977, Шайдуров В.В.,1989, и др.).

Конструирование вычислительного алгоритма решения эллиптических спектральных задач состоит из трех этапов:

получение дискретного (алгебраического) аналога; исследование точности дискретной задачи; рвшениэ алгебраической проблемы собственных значений.

При этом часто необходимо найти несколько С.Ч. и соответствующих им С.Ф. Применение для этой цели традиционных методов линейной алгебры (Воеводин В.В.,1977,Икрамов Х.Д.,1991, Парлетт Б.,1983, Уилкинсон Д.,1970, В.Н. и Д.К. Фадеевы,i960) требует значительного объема вычислений ввиду плохой разделенное™ С.Ч.

Отметим некоторые экономичные алгоритмы решения алгебраических спектральных аналогов с матрицами высокой размерности.

Построение вспомогательных алгебраических задач . с размерностью блоков исходной матрицы (Абрамов А.А.,1967).

Нахождение корней характеристического многочлена заменяется поиском решения систем трансцендентных уравнений. Это осуществляется дискретным алгоритмом разделения области. (Бублик Б.Н.,1976, Ляшенко И.Н.,1978, Пологий Г.Н.,1962).

Формирование трехчленной рекуррентной последовательности векторов, в базисе которых исходная матрица приобретает трехдиагоналызый вид.

Для нахождения нескольких С.Ч. и С.Ф. наиболее эффективны модифицированные градиентные итерационные алгоритмы с использованием спектрально эквивалентных операторов в сочетании с шогосеточными методами. Эти алгоритмы являются соответствующими аналогами итерационных методов для решения операторных уравнений (Годунов С.К.,1970, Дьяконов Е.Г.,1989. Жук П.Ф. ,1982, Канторович Л.В.,1984, Князев A.B.,1986, Красносельский Ы.А.,1969, Кузнецов H.A.,1984, Лебедев В.И.,1977, ПриказчиковВ.Г.,1980, Самокиш Б.А.,1958, И др.).

Приведем ряд обозначений, используемых в работе:

Rjj - евклидово пространство размерности н;

х=(х1,...,хк) - точка Ejji

о - ограниченная область в й^,

г - граница о, п = ацг;

Q(o) - класс кусочно-непрерывных в « функций;

с(1'(п) - класс функций, непрерывных в о вместе с производными до порядка 1 включительно.

- ? -

С (о) - класс непрерывных в о функций, для которых производные 1-го порядка в о удовлетворяют условии Гельдера с показателем

а(0<а<1);

гес - означает, что функция, задающая уравнение граничной кривой г в местных координатах, принадлежит .пространству (Ъа)

0<а<1 ;

- гильбертово пространство' функций, интегрируемая с

квадратом; я )

w2 (о) - гильбертово пространство функций, которые вместе с обобщенными производными до порядка 1 включительно принадлежа'." пространству (о); ы - сеточная область; г - грашща о; ь - шаг квадратной сетки;

и - гильбертово пространство сеточных функций у ; |•| - норма в и;

Ух» У^ - соответственно правая, левая, центральная разностные производные сеточной функции

|у| =тах|у(х)| - норма сеточной функции в равномерной метрике^

0 а

(иа;х3) - собственная функция номера з и соответствущее собственное число исходной задачи;

(у - собственная функция номера в и соответствущее

собственное число дискретной задачи;

(у^) - итерационное приближение номера к соответственно к С.Ф. у С.З. х .

- 8 -СОДЕРИАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 предложены точная разностная схема и схемы высокого порядка точности для задачи

Сри'Э' - <?и + Лги = о. 0<Х<1 , С15

ри' - сги + Ххи = 0. х = 0> 5>0. > С2)

о < с4< р<с2> о £ С? < сэ, О < г < с= ,

рСх}, <?<Г;0, гСх} е <Э[0>1] .

СЗ)

Все разностные схемы записываются в виде

Са\>-Э - &о + = о> I = 1.....,

х -, Ь Ь _ . _ ,

о- -и + А к и = О. 1~0« О» 1-п •

С

опрепедение. Однородная консервативная трехточечная разностная схема С4Э, коэффициенты р, °,ь, «ь которой

являются функционалами коэффициентов р, <?, г исходной задачи и искомого параметра \ называется точной схемой относительно решения Си. исходной задачи СП-СЗ), если оно является некоторым решением сеточной задачи, т.е. = и .

к = хь.

Коэффициенты точной схемы представляются с помощью рядов по степеням л2. Например,

00

< О) V^j> ^ ,2]

= <\ Ср] + 2 >

_j __

оо

< 0> . V < ) > ч J

^ Ср]+ ) Г Ср.

} = »

где Р, г - нелинейные функционалы. Если в формулах для коэффициентов а, р, о,ь, вместо рядов использовать полиномы степени "» относительно то получим усеченную схему т-го ранга. Так как коэффициенты усеченных схем, за исключением схемы нулевого ранга, зависят от искомого параметра \ то для реализации схем предлагается следующий алгоритм.

Сначала решается разностная задача нулевого ранга. Полученное собственное число х* 0> используется при вычислении коэффициентов схемы первого ранга Счетвертого порядка точности). После решения линейной задачи первого ранга определяется х'*', которое используется при вычислении коэффициентов схемы второго ранга Сшестого порядка точности) и т. д. Таким образом реализуется последовательность трехточечных линеаризованных разностных схем любого порядка точности.

Устанавливается существование точной схемы и исследуется точность усеченных схем, которые реализуются по приведенному выше алгоритму. Основные результаты формулируются в виде следующих теорем.

Теореиа 1. Пусть задано любое натуральное число =0> о, тогда при достаточно малом шаге сетки л ^ для задачи

С1Э-СЗ) существует точная схема относительно сх/;хв.> при ® - 1.2.

Здесь величина зависит от и от постоянных ^ в СЗЭ.

Теорема 2. ПУСТЬ гСхЭ е Qio.ll- Тогда

точность усеченных схем ^-ро ранга характеризуется оценками

.. . < п» . ,, , 2 т.2 I. < в> ( г-1> II - у, , -. 2 т-. 2

|\ - X < К СзЭН |и -у I < М СвЗп

а в * " я "с 2 ,

где Си т'в>; х'"" ^ - решение номера в разностной схемы »-го

ранга.

Без дополнительных требований на гладкость.коэффициентов р, я, г получен главный член разложения по степеням погрешности собственных чисел разностных схем "»-го ранга. Он имеет вид

1

х<™>

lim ' " в---- ГГр b^'CiO2 + ^

h->o hXm** Сгш+з^/ J L m " - Р -i '

о

Ь q — X г

» е

В главе и исследуется точность самосопряженных разностных задач, построенных интегро интерполяционным методом

для двухмерных эллиптических операторов второго и четвертого порядков с переменными коэффициентами.

В 2.1 исследуется разностная задача

Ь [*>« " * h>. - + 'XV- о. х«/. С б)

t 1 1 2 ZJ .

У * Or * '« С

которая является дискретным аналогом задачи

Ди + Au ■ о, х s О t

<65

и « о. * е у ,

Здесь ч г - множества соответственно внутренних и граничных узлов сетки; л*. л", а«», дп - оператор Лапласа. Точность устанавливает

Теорема з. Если граница Г с c<Sf0°, то справедливы оценки

- II -

- М ■ IV,- 'ось2},

где и с\*и„-> ~ собственные решения соответственно

задач С5Э и С б); в - фиксированный номер некратного решения.

В 2.2 задача со смешанными краевыми условиями

I ЪГ РаСх:> + Хи " О. X - О = { 05 X <1 . а=! .2} ,

1 а [ а J ■ ■> ■

* СТО

1р<1 ЯГ

и " о» ж «

х «з Г =

аппроксимируется на сетке ы е ^ дискретным аналогом

г

Л-

х

JCa у- + X у " о» х « ь>, огх ж >

1 а а

у = О. X . а/х^.х^ = х,.^

,С8:>

2 {(в«л)«а V " Л + - о. х^ ,

а= 1 а

Точность устанавливает

Теорема 4. ЕСЛИ ВЫПОЛНвНЫ УСЛОВИЯ О Сх-> , рг

С 9)

I

жг со"Сп- V = О. X е гг

то справедливы оценки

" М - Ь.-". Вв- ос^ХТГ

где <г\,и„;> и <Г\'УВ;' ~ собственные решения соответственно задач (?) и С8); = - фиксированный номер некратного решения.

В 2. 3 для задач (?) и (8) с краевыми условиями Дирихле получена формула главного члена представления погрешности С.Ч. по степеням шага квадратной сетки, т. е. доказана

теорема 5. Если выполнены условия С9), то справедлива асимптотическая оценка

\ -ХЬ р -Л, Р с?2 Г) ^ ди

ип = л. Г У Гр а и - 1 —12 Г - 1 С10)

ь->0 Л1 1 г } ¿_[р<» <*' 2 ах2 I ра .1 ] '

а- 1

где ¡-а-а = ГРа ^ ], в -- фиксированный номер некратного

а ^ а'

решения.

Из СЮ) следует, что при достаточно малом шаге л и выпуклости вверх коэффициентов р^*^ С.Ч. дискретной задачи приближаются снизу к С.Ч. исходной задачи. А если коэффициенты

разностной схемы вычислять по формуле

i fx , x .Э = f n (t,x 3dt, a = 1.2. a 12 J Ра а-a >

x - h

ТО

I Cm

= -L |. У D CL и fdx

12 Jcfi a a "

в этом случае < \ без требования на выпуклость раСх;>-

В 2.4 получены двухсторонние оценки СЛ. разностной задачи на неравномерной сетке в р-мерном параллелепипеде; ° - { О S *«• ° = 1.....Р}>

Р

ZCct у- - dy + = 0> хеш,

а х х а о*

а=1

у = О. х в г , 0 < С1 ~ °оГ сг' 0 ~ d S Сэ' 0 < Сз- Р •

Оценка имеет вид

a Íí.x' ní <ó С-± \* * с ,

О С k к 1С к 9 >

4 3

где

{nin Т^ - max Т^ ^

—-i. <5 = max J Ch*J2 \ I.

a max R | i Ia min R_

J J <* l ¡ J J

-„п.*"-

ь'1'. ь'1' - шаги неравномерной сетки; >»* - шиг эквивалентной

равномерной сетки в направлении оси

р *

лМ Л

г--*:

В 2. б представлен результат исследования точности дискретного аналога задачи:

в2« ам о*н -1. + г —+ -1 в Хи. х е о.

Лх2 <5х Лх <»х2

1 12 2.

. - ди , -

—— совСи.х ^ + ^— совСи,х ^ » о>

<9х 1 ОХ 2 "

1 2

х е г

где

О = {о5ха<

1а. а - 1.2

М = с, о> + о ш , М •> 0 с 2 ''о I ^2 2 а

в2 и _ а2и

ы = -

(II)

1 вх' ' Ох2 3 Ох Ох

1 2 12

Переменные коэффициенты удовлетворяют условиям О < с^ <=2 , в = 1.а.з, О < со< р®- Р1Р2. V х в О, в = 0.1.3.3,

Р

Р

1 1

о г

1

Разностный аналог 013 имеет вид:

Ст. ■>- + гСт } + Ст >- = ХЬу, х « П, 1 X X Э X X 2 х х 1

11 1 2 2 2

у » у» совСп,х 3 + у» совСл.х -Э = О. X € у.

' С12)

тСу^ « ^У; - а у; , = аоу- ♦ а у- .

11 22 11 22

т. = а у- -.

а ' ах х

1

Разностные аналоги коэффициентов вычисляются по формулам:

в." »=0.1.3. «,' РЛ'^!

ха = х^- о.З'1. а " 1.8» Сх1,х2-> в

Теорема 6. Погрешность СЛ. аналога С12) на квадратной сетке с шагом ь характеризуется асимптотической формулой

X -ХЬ гг (Ом 1* ГГОи I2 ГЛ> 121

ч^^/Ьк - к г

П

[0и> 0и> Л* Л» 1

жг] + £Ро [жг ззг + 55Г лг] - ЛРоЫ1Шг - к АРЛ» + 2 [ Лс* Лх^ 1 2 I *** Ч

1 1 1' > 1 а' '

В частности, для бигармонического оператора ср0=ог» р1=рг=1. Ра"1формула имеет вид

I ¿га----<

Ь - > о /г

П

е .ЦК] К] К]

с*х

Теорема 7. При достаточно малом шаге квадратной сетки точность дискретного аналога характеризуется оценками

\ь < н с\ьэь.г

а X а

||у - и || < Н С\ьжг. 11 в . а Ис 2 8

где сх.'иа:> и <"х„>Ув-> ~ собственные решения соответственно

задач СШ, С12); » - фиксированный номер некратного решения; м1, мг ~ постоянные, независящие от л.

В 2.6. предложен дискретный аналог для задач С11) без использования законтурных узлов при аппроксимации естественных краевых условий;

ом ом 1

х

«

И. = — + г^г =0. О. хге Со. 1г>

ЭМ, ама С14)

»

М2= гьГ + 2" О. х,- о. х.е

М = о. х = I , X = I

Выпишем характерные разностные уравнения. Например, для предграничных узлов х^= х2>- соЛг->.-

Ф +

ЕСт. ) + Ст. = '

з х х г к х I

12 2 2

ДЛЯ граничных узлов х1« С о- х2= о--

[- < »1 >

ь у- * г1^"1*-3- 2 = у ; с 15)

1 X X I- /I 3 * .2 2 '

1 X 2 1 П

1 » 2 • ,

для правого верхнего узла прямоугольника х1"11- хг"1г !

< -1 > 1 с-1 >

г! „ ) ' ♦ - -I («»,У; „ ) 2 = ^У . .

гг 11-' 12 Ь 4 2 г-*

1 2

Здесь

рэСх-о.ЗЛ. х2- 0.5^^у- ; .

Ьг=Рг[1 '¡йг)

Рс ,

»

В 2.7. предлагается метод уточнения СЛ. спектральной задачи

1^.11,1^ = V V е Н , с 163

где » - гильбертово пространство со скалярным произведением [-, ч; ¡- и к»самосопряженные эллиптические операторы. Пусть известны дискретные аналоги С16);

Аау = цВоу , С 1 П

Ау = рВу С 18)

различной точности, т. е.

\ - fj' = OChaС A Z° ,Z* -> = OCh-a2 , ' ' ° 3 ' C193

\ - v = СКН^З, CAZ ,Z J = OCh2f3^ •

a 8 se

Здесь и, Bo, в - положительно определенные операторы в евклидовом пространстве с со скалярным произведением С», О и размерностью n, которая определяется малым параметром дискретизации \ z°= у" - /ч^, ze= Pu^, р - проектор,

действующий из " в f ^в'^в'1, <Гма,уэ-> ~ собственные

решения номера s соответственно задач С163, С1?3, С183.

Теорема 8. справедлива опенка

где

В главе ш рассмотрены итерационные методы, используемые при решении спектральной задачи

Ау = \Ву,

где л и в - самосопряженные положительно определенные операторы в евклидовом пространстве с с размерностью N и скалярным произведением С», '3.

Пусть о < \ = хг=. ..= <-...< \лг - с,ч>

Все одношаговые итерационные схемы записываются в виде

V - и

с -Ш + Av - ц Ви = о. V е Е , С203

г к к к о '

Если выполняются оценки С193, то

С/4 у , у J ' СБу', у J

у = min gal .

и = V СВх> , и .5 °'3> и -САи

К+1 К+1 К+1 к+1 к к к > 1

где С - самосопряженный положительно определенный оператор, удовлетворяющий УСЛОВИЮ Г2<ТСи,гО > СЛи.гО > ^(ГСи.и^, у >о. Для разности соседних приближений к С.Ч. \ в методах С2С0 получена формула

= т Ср-бт э

ССи\ ыУ

СЪ\> , Ъ Э

К> 1 К+1

где

ь> = С 1САи -и Вг> Э, в = САы - и Вы , ы >ССи , и У1

К К К К К К К К К р

Теорема 9. Неявный метод скорейшего спуска сходится в достаточно малой окрестности С.Ч.х4 так, что при условии Х1< йк< ХР»1 выполняется неравенство

и - Л < рСи Хи -х

1 1 ^ К К 1

с коэффициентом сжатия

^ , Г , ,1Г * Г* г "ь ^ Л"1

^к3 = I1 ~ ~ 1 ~ X I1 + Г" С— " " — .

'г р»»-11- 2 1 р»» Л

В конце главы даны практические рекомендации.

В главе 4 приводятся результаты расчетов собственных значений эллиптических операторов, которые возникают при изучении процессов колебания и статической устойчивости.

В Л. 1. даны некоторые постановки спектральных задач для нахождения частот и форм колебания пластин и оболочек.

В 4.2: проверяется точность интегро интерполяционной

разностной схемы в задаче колебания консольной пластины.

В 4. 3. проверяется эффективность попеременно треугольного итерационного метода по сравнению с явным методом скорейшего спуска при вычислении частот колебания консольной пластины.

В 4.4. даны некоторые постановки спектральных задач нахождения критических усилий и форм потери устойчивости для пластин и оболочек.

В 4. 5. приведены результаты счета критического усилия в задаче устойчивости прямоугольной пластины с постоянными жесткостями при комбинированном и неравномерном нагружении.

В 4. б. приведены результаты счета критического усилия в задаче устойчивости цилиндрической оболочки постоянной жесткости при равномерном одностороннем сжатии.

В 4. 7. проверяется эффективность схем высокого порядка точности при решении задачи Штурма-Лиувилля с кусочно-постоянным коэффициентом.

В диссертации получены следующие основные результаты:

Построены и исследованы точная схема и схемы, еысокого порядка точности в классе кусочно-непрерывных коэффициентов для задачи Штурма-Лиувилля с искомым параметром в краевых условиях.

Предложен и обоснозан метод линеаризации схем высокой точности.

Исследована точность самосопряженных разностных схем в спектральных задачах для уравнений эллиптического типа второго и четвертого порядков с переменными коэффициентами.

Получены формулы главных частей представления погрешности собственных чисел по степеням 'пага квадратной сетки для дискретных аналогов спектральных задач с эллиптически?,га операторами второго и четвертого порядков.

Установлена строгая оценка коэффициента сжатия на шаге неявного метода скорейшего спуска к минимальному собственному значению.

Проведена экспериментальная проверка разностных схем и итерационных методов.

Даны практические рекомендации по использованию итерационных методов спуска к собственному числу.

Решены конкретные практические задачи колебания и устойчивости пластин и оболочек.

Все теоретические результаты, представленные в диссертации, получены лично соискателем и опубликованы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Пр'.'.казчиков В.Г. Разностная задача на собственные значения для

эллиптического оператора // КВМ и МФ. - 1965 . - 5, №4. -- С. 648 - 657.

2. Приказчиков В.Г. Однородные разностные схемы четвертого порядка

точности для задачи Штурма-Лиувилля // Вьг-шсл. методы и программирование. - 1965. - №3. - С. 232 - 236.

3. Приказчиков В.Г. Асимптотика собственных значений для схем вы-

сокого порддка точности в классе кусочно-непрерывных коэффи -циентов // КЕМ и ЫФ. - 1966. - б, »5. - С. 927 - 930.

4. Приказчиков В.Г. Об оценках собственных чисел разностного эл-

липтического оператора на неразномерной сетке // Основные и типовые программы для вычислительных машин и систем. - Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1968. - С. 44 - 53.

5. Приказчиков В.Г. Однородные разностные схемы высокого порядка

точности для задачи Штурма-Лиувилля // ЖВМ и МФ. - 1969. - 9, »Р.. - С. 315 - 335,

6. Приказчиков В.Г. Схемы высокого порядка точности для задачи

Штурма-Лиувилля с параметром в краевых условиях // Мат.обеспечение ЭК ВМ. - Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1970. -- С. 26- 45.

7. Приказчиков В.Г. Оценки собственных чисел разностной задачи

для ортотропной пластины, жестко защемленной по сторонам // Прикладная механика. - 1973. - 9, №3. - С. 90 - 95.

8. Приказчиков В.Г. Интегро-интерполяционный метод построения

уравнений в задаче колебаний тямоугольной ортотропной пластины // Уч. зап. ЦАГИ. - 1973. - 4, № 4. - С. 73 - 76.

9. Приказчиков В.Г., Зубатенко B.C. 0 колебании ортотропной-плас-

тины переменной толщины // Прикладная механика - 1974. - 10, # 9. - С. 121 - 125.

10. Приказчиков В.Г., Гаращгк И.Н. Определение критических уси-

лий в неравномерно загруженной пластине-// Численные метода механики сплошной среды. - 1974. - 5, №3. г- С. 133 - 139.

11. Приказчиков В.Г. Строгие оценки скорости сходимости итерацион-

ного метода вычисления собственных значений // ЖБМ и М5. -

- 1975. - 15, »5. - С. 1330 - 1334.

12. Приказчиков В.Г. Оценка точности метода сеток в задаче на соб-

ственные значения для эллиптического оператора четвертого порядка // Там же. - 1977. - 17, 1г6. - С. 1432 - 1442.

13. Приказчиков В.Г. О модифицированном методе наискорейшего спус-

ка для вычисления собственных значений // Теоретические и прикладные вопросы дифференциальных уравнений и алгебра. -

- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978. - С. 213 - 215.

14. Приказчиков З.Г. Консервативная разностная схема для задачи на

собственные значения в области с гладкой границей // Дифференциальные уравнения. - 1980. - 16, 'Л. - С. 1303 - 1307.

15. Приказчиков В.Г. Прототипы итерационных процессов в задаче на

собственные значения // Там же. - ¿6, №9. - С. 1688 - 1697.

16. Приказчиков В.Г. Разностная задача на собственные значения

для эллиптического оператора второго порядка со смешанными краевыми условиями // ЖВМ и Мф. - 1982. - 22, »3. - С. 655 -

- 662.

17. Приказчиков З.Г., Химич Л.Н. Итерационный метод решения задач устойчивости и колебания пластин и оболочек // Прикладная механика. - 1984. - 20, #1. - С. 88 - 94.

18. Приказчиков В.Г. Собственные значения дифференциальных операторов. Численные методы решения // Мат. энциклопедия. - 1985.- Вып. 5. - С. 546 - 547.

19. Приказчиков В.Г., Семчук А.Р. Точность разностной схемы в спектральной задаче с обобщенными решениями // Дифференциальные уравнения. - 1980. - 21, »7. - С.1246 - 1252.

20. Приказчиков В.Г., Химич Л.Н. Разностная задача на собственные

значения для эллиптического оператора четвертого порядка со смешанными крае вши условиями // ЖЗМ и - 1985.- 23, »10. - С. 1485 - 1495.

21. Приказчиков В.Г. Скорейший спуск в спектральной задаче

// Дифференциальные уравнения. - 1986. - 22, №7. - C.I26&-- 127I.

22. Приказчиков В.Г. Экономичное повышение точности в дискретных

спектральных задачах // Докл. АН Украины. Сер. A.-I986. -

- №9. - С. 74 - '75.

23. Приказчиков В.Г., Ллланазаров Ж.П. Экономичное повышение точ-

ности вычисления собственных значений // Дифференциальные уравнения. - 1989. - 25, » 10. - С. 1821 - 1823.

24. Приказчиков В.Г., Алланазаров Ж.П. Схема четвертого порядка

точности в спектральной задаче с переменными коэффициентами // Там же. - 1990. - 26, »12. - С. 2153 - 2153.

25. Приказчиков В.Г., Клунник А.А.. Проекционный метод повышения

точности для дифференциального уравнения четвертого порядка //Вычисл. и прикладная математика. - 1990. - W72. - С. 27 -

- 33.

26. Приказчиков В.Г. Асимптотическая оценка точности дискретной

спектральной задачи для уравнения четвертого порядка // ЖШ и М5. - 1991. - 31, № 3. - С. 372 - 380.

27. Приказчиков В.Г. Асимптотическая оценка точности дискретной

спектральной задачи для уравнения второго порядка // Там ие.

- 31, М. - С. "ИВ - 622.

28. Приказчиков В.Г. Главный член разложения погрешности собствен-

ных значений дискретного аналога эллиптического оператора четвертого порядка /Дам же. - С. 1016 - 1025.

29. Приказчиков В.Г. Главный член разложения погрешнос'.'и .собственных значений дискретного аналога эллиптического оператора второго порядка // Там же. - .Р 10. - Z. 1571 - 1575.