Разработка и исследование новых численных методов с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса

Соловьев, Михаил Борисович

Разработка и исследование новых численных методов с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Соловьев, Михаил Борисович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Разработка и исследование новых численных методов с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса»

Автореферат диссертации на тему "Разработка и исследование новых численных методов с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса"

На правах рукописи

Соловьев Михаил Борисович

Разработка и исследование новых численных методов с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса

Специальность 01.01.07 — "Вычислительная математика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 С • 1 И '">'>'"••! ' ».И О

Москва - 2010

4842922

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН

доктор физико-математических наук, профессор

Пальцев Борис Васильевич

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Чарахчьян Александр Агасиевич

кандидат физико-математических паук, старший научный сотрудник Жуков Виктор Тимофеевич

механико-математический факультет Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится «27» января 2011 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 002.017.01 при Учреждении Российской академии наук Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН, расположенном по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии паук Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН.

02/

Автореферат разослан « » декабря 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В диссертационной работе осуществляется построение новых численных методов решения первой начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса (нестационарной задачи Стокса)

dtu - vAxu + Vxp - f, div* u = 0, (t, x) e (0, T) x П, u|(0,T)xr = g, J{g,n)ds = 0 Vi 6 (0,T),

(1)

u|t=o = а(ж), divj a = 0, x 6 П,

g|t=o = a|r, Jpdx = 0 Vi 6 (0,T), tl

где П — область в R™, Г — граница fi, x = (xj, ...,x„), n — единичный Виктор внешней нормали к Г, и > 0 — коэффициент кинематической вязкости, u(t,x),p(t,x) — искомое решение (скорость и давление), i(t,x), g[t,x) и а(х) — заданные вектор-фупкции (ВФ). Система уравнений Стокса представляет собой линеаризацию полной системы уравнений Навье-Стокса, получаемую отбрасыванием нелинейного конвективного члена в уравнении движения, и описывает течения вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рей нольдса.

Создание эффективных и надежных численных методов решения начально-краевых задач для системы Навье-Стокса, даже в случае линеаризованной начально-краевой задачи (1), и в настоящее время представляет собой весьма сложную и актуальную проблему, связанную с необходимостью преодоления целого ряда принципиальных трудностей. При непосредственном численном аппроксимировании начально-краевой задачи (1) в переменных "скорость-давление" требуется удовлетворять известным весьма трудно проверяемым условиям устойчивости — условиям Ладыженской-Бабушки-Брсцци1 (ЛББ-условиям). Разностных или конечно-элементных (КЭ) схем, удовлетворяющих ЛББ-условиям, на данный момент известно совсем немного, причем в ЛББ-устойчивых КЭ-аппроксимациях давление, как правило,

'см. Girault V., Raviari P. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Berlin: Springer, 1986.

необходимо аппроксимировать с более низким, чем для скорости, порядком точности по шагу пространственной сетки2. Кроме того, эффективное разрешение разностных схем, возникающих в результате таких аппроксимаций, представляет собой самостоятельную достаточно непростую проблему.

Ранее в работах Б.В. Пальцева с соавторами были разработаны и исследованы3 эффективные численные итерационные методы с расщеплением граничных условий (ГУ) решения стационарной обобщенной задачи Стокса

с большим параметром /х2 > 0. Задачи вида (2) возникают, в частности, на временных слоях в результате неявных дискретизаций по времени нестационарной задачи Стокса (1). При этом обычно ц2 ~ 1 /(i/r), где т — шаг дискретизации по времени, и поэтому в реальных ситуациях параметр /х2, как правило, принимает очень большие значения. Эти методы достаточно просты алгоритмически (поскольку на их итерациях происходит расщепление па отдельные краевые задачи для приближений к скорости и и давлению р, по сложности численного решения эквивалентные задачам Дирихле и Неймана для скалярных уравнений Пуассона и Гельмгольца) и обладают высокими скоростями сходимости, не убывающими с возрастанием параметра fi2. Для аппроксимации и компонент скорости и давления используются одинаковые билинейные КЭ, и при этом для численных решений обеспечивается 2-й порядок точности по шагу сетки в норме максимума модуля, причем как для скорости, так и для давления, а удовлетворять каким-либо специальным условиям устойчивости типа ЛББ-условий не требуется. Тем не менее, оказалось, что методы численного решения нестационарной задачи Стокса (1), постро-

им. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. New York: Springer,

Зсм. обзорную статью Пальцев Б.В., Белаш В.О., Меллер H.A., Чечелъ PI.И., Хлюпи-на Е.Г. О быстросходящихся итерационных методах с расщеплением граничных условий решения краевых задач для линеаризованных и нелинейной систем Навье-Стокса // Труды 2-й ыеждунар. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", поев. 80-летию Л.Д. Кудрявцева. - М: Физ-матлит. 2003. С. 28G-301.

- Ди + /i2U + Vp = f, divu = 0, lEÜ,

(2)

1991.

енные на пути дискретизации се по времени по неявным разностным схемам с последующим разрешением возникающих на каждом временном слое обобщенных задач Стокса вида (2) с помощью указанных выше методов, могут приводить к катастрофическому возрастанию ошибки для давления при неограниченном уменьшении значений отношения т/|/г|, где |/г| — характерный шаг пространственной сетки4. Наличие этого дефекта делает такой, на первый взгляд естественный, подход практически непригодным для построения эффективных численных методов решения задачи (1), особенно при использовании сильно неравномерных по пространству сеток. В связи с этим возникла проблема создания таких численных методов решения нестационарной задачи Стокса (1), которые, с одной стороны, обладали бы теми же преимуществами, что и упомянутые выше численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения стационарной обобщенной задачи Стокса (2), и, с другой стороны, не страдали бы отмеченным дефектом.

Б.В. Пальцевым недавно был предложен5 на дифференциальном уровне быстросходящийся итерационный метод с расщеплением ГУ уже непосредственно для нестационарной задачи Стокса (1) и обоснован для случая, когда пространственная область — слой в К", а задача периодическая в направлениях вдоль слоя. На каждой итерации метод приводит к решению последовательных задач: зависящей от времени как от параметра задачи Неймана для уравнения Пуассона для приближений к давлению и специальной векторной параболической начально-краевой задачи для приближений к скорости. Итерация завершается простой формулой пересчета на пространственно-временной части границы. Расщепление на итерациях метода на существенно более простые (по сравнению с исходной), устойчиво численно аппроксимируемые краевые задачи обусловило перспективность его как основы для создания новых эффективных и устойчивых численных методов решения нестаци-

4см. Пальцев Б.В., Ченель И.И. Конечно-элементные реализации итерационных методов с расщеплением граничных условий для систем Стокса и типа Стокса в шаровом слое, обеспечивающие 2-й порядок точности вплоть до оси симметрии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. №5. С. 846-889.

''см. Пальцев Б.В. Об одном итерационном методе с расщеплением граничных условий решения 1-й начально-краевой задачи для системы Стокса // Докл. РАН. 2010. Т. 432. №5. С. 597-603.

онарпой задачи Стокса (1).

Цели диссертационной работы состоят в 1°) разработке новых численных итерационных методов решения нестационарной задачи Стокса (1) на пути построения численных реализаций итерационного процесса с расщеплением ГУ, предложенного и обоснованного на дифференциальном уровне Б.В. Пальцевым; 2°) численном изучении реальных свойств построенных численных методов; 3°) разработке приемов повышения их эффективности. Разработка осуществлена для случаев:

а) задачи (1) в полосе в М2 при условии периодичности задачи по направлению вдоль полосы;

б) осесимметричной задачи (1) в зазоре между соосными цилиндрами при условии периодичности ее вдоль цилиндров.

Случай а) представляет интерес для проведения сравнений качеств создаваемых численных реализаций метода с соответствующими качествами уже изученной его дифференциальной версии. В случае б) обоснования метода на дифференциальном уровне пока не получено. Рассмотрение этого случая представляет интерес с точки зрения исследования возможности перенесения численных реализаций метода на случаи более общих областей и выяснения эффективности этих численных реализаций в указанном случае.

дач вариациошюго типа). Модифицированные разностно-КЭ-аппроксимации формулы пересчета на границе, обеспечивающие такие же высокие скорости сходимости, как и у исходного метода на дифференциальном уровне, построены на основе конструкции, предложенной A.C. Лозинским0 для ускорения сходимости упомяпутых выше численных итерационных методов с расщеплением ГУ решения стационарной обобщенной задачи Стокса (2).

Теоретическая и практическая ценность результатов. Построенные в диссертационной работе численные итерационные методы решения нестационарной задачи Стокса обладают достаточной алгоритмической простотой, поскольку па их итерациях происходит расщепление на существенно более простые (по сравнению с исходной) красную и начально-краевую задачи, соответственно, для приближений к давлению и к скорости, и эти приближения возможно аппроксимировать по пространству одинаковыми билинейными КЭ. При этом методы, основанные на упомянутых выше конечно-разностных дискретизациях 2-го и 3-го видов, обеспечивают для численных решений 2-й порядок точности по шагу пространственно-временной сетки в норме максимума модуля, причем и для скорости и для давления (методы, основанные на простейшей конечно-разностной дискретизации 1-го вида, обеспечивают 1-й порядок точности по времени при сохранении 2-го порядка точности по пространству), чего обычно не в состоянии обеспечить аппроксимации всей задачи (1) в целом, удовлетворяющие ЛБВ-условиям. Кроме того, важно подчеркнуть, что построенные методы не страдают потерей точности для давления при неограниченном уменьшении величины г/|/i|, как это происходит для методов, основанных на первоначальной дискретизации по времени задачи (1) по неявным разностным схемам с последующим решением возникающих на каждом временном слое стационарных обобщенных задач Стокса вида (2) при помощи разработанных ранее численных итерационных методов с расщеплением ГУ (как это отмечалось выше). Скорости сходимости построенных численных итерационных методов так же высоки, как и у исходного итерационного процесса на дифференциальном уровне (ошибка

6Лозинский A.C. Об ускорении конечно-элементных реализаций итерационных процессов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. №9. С. 1339-1363.

уменьшается приблизительно в 7 раз за одну итерацию).

Построенные в работе численные методы решения нестационарной задачи Стокса (1) в случае б) (в зазоре между соосными цилиндрами) имеют также и прикладную ценность, поскольку они могут служить основой (при развитии их на случай нелинейной системы Навье-Стокса) для численного исследования классической гидродинамической задачи о механизме образования вихрей Тейлора.

Построенные в работе численные методы представляются перспективными для перенесения их на случаи более общих областей, а также для разработки на их основе новых методов численного решения нелинейной нестационарной задачи Навье-Стокса.

Научная новизна работы. Построенные в работе численные итерационные методы решения нестационарной задачи Стокса являются новыми и не имеют аналогов.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечена

• использованием в качестве основы для построенных в работе численных методов итерационного процесса с расщеплением ГУ, получившего обоснование на дифференциальном уровне в случае слоя в К" при условии периодичности задачи в направлениях вдоль слоя;

• проведенными численными исследованиями.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Разработаны и численно исследованы новые эффективные численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения нестационарной задачи Стокса в случае, когда пространственная область представляет собой полосу в К2, а задача периодическая по направлению вдоль полосы.

2. Разработаны и численно исследованы аналогичные численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения осесимметричной нестационарной задачи Стокса в зазоре между соосными цилиндрами при условии периодичности ее по направлению вдоль цилиндров.

гу пространственно-временной сетки в норме максимума модуля как для скорости, так и для давления. Методы же, основанные на простейшей конечно-разностной дискретизации 1-го вида, обеспечивают 1-й порядок точности по времени и 2-й порядок точности по пространству. Разработанные численные методы являются устойчивыми и не страдают потерей точности для давления при неограниченном уменьшении отношения Т/\Я

4. Найдены эффективные способы модификации аппроксимаций формулы пересчета на границе, обеспечивающие такие же высокие скорости сходимости разработанных численных методов, как и у исходного итерационного метода на дифференциальном уровне, а именно уменьшение ошибки приблизительно в 7 раз за 1 итерацию.

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано 3 статьи [1-3] в изданиях, входящих в перечень ВАК РФ, и 5 работ в сборниках тезисов докладов [4-8].

Личный вклад автора. Все вынесенные на защиту результаты получены лично автором.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре МГУ по аэромеханике и газовой динамике под руководством акад. Г.Г. Черного, семинаре ИВМ РАН "Вычислительная математика, математическая физика, управление" под руководством Г.М. Кобелькова и A.B. Фурсикова, научном семинаре кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, а также на следующих научных конференциях: Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (г. Москва, 30 марта- 2 апреля 2009 г.); XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 25-31 мая 2009 г.); Международной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики" (г. Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 16—18 июня 2009 г.); Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летшо академика С.К. Го-

дунова (г. Новосибирск, 20-24 июля 2009 г.); Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (г. Тула, 23-27 ноября 2009 г.); Международной конференции по прикладной математике и информатике, посвященной 100-летию со дня рождения академика А.А. Дородницына (г. Москва, ВЦ РАН, 7-11 декабря 2010 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы из 65 наименований. Диссертация содержит 15 таблиц. Общий объем диссертации составляет 89 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируются ее цели, практическая значимость полученных результатов и положения, выносимые на защиту.

В первой главе построены для случая задачи в полосе в К2 при условии периодичности задачи по направлению вдоль полосы и численно изучены численные реализации предложенного и обоснованного на дифференциальном уровне Б.В. Пальцевым нового итерационного метода с расщеплением ГУ решения нестационарной задачи Стокса (1).

В разделе 1.1 приведена формулировка алгоритма итерационного метода с расщеплением ГУ решения нестационарной задачи Стокса (1) на дифференциальном уровне для случая полосы в К2 при условии периодичности задачи по направлению вдоль полосы. В рассматриваемом в данной главе случае х = {х\,х2), под областью П в (1) понимается "ячейка периодичности" — прямоугольник (0, ¿а) х (0, ¿2), под Г — "существенная" граница П: Г = Г_ и Г+, где Г_ = [О,^] х {0}, Г+ = [0,£]]х х{Ь2}. При этом решение и = (и1{1,х1,х2),и2^,х1,х2)) и р(Ь,Х1,Х2) и данные I = {/1{Ь,хих2), /г^,хих2)), g = (д1Ц,Х1,х2),д2У,хиХ2)) и а = = (а1(х1,х2),а2(х1,х2)) предполагаются периодическими по переменной х\ с периодом Ь\. Все определенные на Г и (0, Т) х Г скалярные функции и ВФ, встречающиеся далее в периодических по х\ краевых задачах и формулах

пересчета, представляют собой сужения на эти множества соответствующих периодических по х\ функций и ВФ.

Итерационный процесс начинается с задания начального приближения 6 (О, Т) х Г, к неизвестной функции

<р(Ьх) = {др/дп - п)}|(о,т)хг. (3)

где д/дп — производная по направлению п.

В качестве начального приближения (ро^,х) может быть взята, например, любая непрерывная функция, периодическая по переменной х\ с периодом ¿1, удовлетворяющая условию

ч>н{г,х)(1з = о те {о,Т) (4)

при Л'' = 0.

Если ТУ-е приближение удовлетворяющее условию (4), уже-най-

дено, то 1)-е приближение (рн+и вместе с ним /У-е приближения идг(£,х) и рдг(1,х) к скорости и давлению соответственно находятся следующим образом.

1. Решается зависящая от í как от параметра периодическая по переменной II с периодом ¿1 задача Неймана

дри

ДггРлг = сКУя Г, х е П, ^

= Рх + (Г,п)1г, JpNdx = 0, (5)

I Е (0, Т). Необходимое условие разрешимости этой задачи, имеющее вид (4), выполнено.

2. Решается периодическая по переменной XI с периодом Ь\ векторная начально-краевая задача

д^п - ¡/Дхидг = ? - УхРы, (£, х) е (0, Т) х П,

{и^ - (илг, п)п} |(0,Г)хГ = {g - (е, п)п} |(0,Г)хГ,

(6)

¿¡У^идг^оу^г = 0, и^|(=0 = а(а:))

решения которой автоматически оказываются соленоидальными по х ВФ.

3. Новое приближение вычисляется с помощью формулы пересчета

Улг+1 = + х {дг - 2ий!) (идг - g, п)|(0,г)хг. (7)

где Д' — оператор Лапласа--Бельтрами на Г, я — релаксационный параметр, оптимальное значение которого для случая задачи (1) в слое в К™ при условиях периодичности задачи в ортогональных направлениях вдоль слоя равно ~ 1.14285.

В разделе 1.2 построена первая (простейшая) численная реализация итерационного метода (5)-(7) решения задачи (1). В основе этой численной реализации лежит дискретизация по времени отщепленной векторной параболической начально-краевой задачи (6) для приближений к скорости по полностью неявной разностной схеме7

(итд - ит_!1Лг) /т - ^ Дитд = {т- Урт^, X € П, {ит,ЛГ - (ит,лг, п)п} |г = - (ёт1 п)п} |Г,

1°)

с!^ит;Лг|г = о, т = 1,...,ЛГТ,

иод = а(ж),

где г = Т/Ыт — шаг дискретизации по времени, ЛГТ € М, итд(ж) — приближения К идг(¿т, ж), {т = gт(х) = g(£m, г), £т = тт. Функции рт,лг(я) в (8) суть приближения кр^^п^х), вычисляемые в результате решения серии задач Неймана

дРт,ы

Дртд = сПу£т, х 6 П,

= У'т.ЛГ + (Гт,п)|г,

(9)

9п

рт,и<1х = Ъ, т=1,...,ЛГТ, п

где — приближения к (рк(1т,х).

Введены соответствующие функциональные пространства и построены для рассматриваемого случая периодичности по переменной Х\ билинейные КЭ-аппроксимации задачи Неймана для уравнения Пуассона вида (9) и век-

7Все встречающиеся в дальнейшем изложении краевые задачи являются периодическими по переменной х1 с периодом Ь\.

торной краевой задачи

- Ди + ц2и = f - Vp, х в П, {u-(u,n)n}|r = {g-(g,n)n}|r, divu|r = О, ß2 > О,

возникающей на временных слоях в результате неявной дискретизации по времени (8) начально-краевой задачи (6).

Для формулы пересчета (7) вначале используется непосредственная раз-ностно-КЭ-аппроксимация, построенная на основе полностью неявной дискретизации по времени:

Здесь (,miN-h = (Um,N;/i ~ gm;)n n)|r, ip,n<N.h, UmtN-h II gm;h — КЭ-ПриблИЖС-ния к ipN(tm,x), и g(tm,x) соответственно, A'h — линейная КЭ-

аппроксимация оператора Лапласа-Бсльтрами Д'. Вычисление действия оператора A'h сводится к решению линейной системы с трехдиагоналыюй циклической матрицей и реализуется экономичным образом с помощью метода циклической прогонки.

В разделе 1.3 представлены результаты численных исследований скоростей сходимости первой численной реализации и точности вычисляемых с се помощью численных решений задачи (1). Оказывается, что первоначальный (основанный на использовании непосредственной аппроксимации (11) формулы пересчета (7)) вариант первой численной реализации страдает значительным падением (по сравнению с исходным итерационным методом па дифференциальном уровне) скоростей сходимости на высокочастотных дискретных гармониках по переменной Х\. В связи с этим автором диссертационной работы предложен прием, позволяющий повысить скорости сходимости разрабатываемых численных реализаций на всех дискретных гармониках до уровня исходного итерационного метода для дифференциальной задачи. Суть предложенного приема состоит в специальном модифицировании непосредственных разностпо-КЭ-аппроксимаций формулы пересчета (7), осуществляемым на основе упомянутой выше конструкции, предложенной A.C. Лозинским для ускорения сходимости изучавшихся ранее билинейных

Vm,JV+l;/i = <Pm,N-,h + X [(£m,JV;A ~ <im-lA;h)/r ~ ,

m = 1,..., Nr.

(И)

КЭ-реализаций итерационных методов с расщеплением ГУ решения обобщенной задачи Стокса (2). Так, построена следующая модификация аппроксимации (11) формулы пересчета (7):

= + X [(1тда ~ Цт- 1,ЛГ;Л)/Г _ ^ ДлСт,ЛГ;л] ,

т = 1,...,ЛГТ,

где = - (/12/6)А^т,лг;л, Ст,лг;л = »7т,лг;л + £т,лг;л> Лг — шаг сетки

по переменной дгг, обозначения £т)лг;л и Д^ те же, что и в (11). Проведенные численные эксперименты показывают, что использование модифицированной аппроксимации (12) формулы пересчета (7) вместо непосредственной ее аппроксимации (11) позволяет повысить скорости сходимости первой численной реализации на всех дискретных гармониках (по переменной х\) до уровня исходного итерационного процесса для дифференциальной задачи, а именно, обеспечивает уменьшение ошибки приблизительно в 7 раз за 1 итерацию.

Численные решения задачи (1), получаемые с помощью первой численной реализации, обладают 2-м порядком точности по шагу /г пространственной сетки и 1-м порядком точности по шагу г дискретизации по времени в норме максимума модуля, причем как для скорости, так и для давления.

Проведен сравнительный анализ точности численных решений нестационарной задачи Стокса (1), вычисляемых двумя различными методами: (¡) с помощью первой численной реализации и (и) с помощью непосредственной дискретизации по времени задачи (1) по полностью неявной разностной схеме

——- иАит + Урт = сНУит = 0, хбА,

Чт|г = Ет, /^ = 0, т=1,...,ЛГг, ио = а(я),

(13)

с последующим решением возникающих на каждом временном слое стационарных обобщенных задач Стокса вида (13) при помощи билинейной КЭ-реализации первого итерационного процесса с неполным расщеплением ГУ8.

8см. Пальцев Б. В., Чечелъ И.И. Алгоритмы численных реализаций на основе билинейных конечных элементов итерационных методов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в полосе при условии периодичности // Ж. вычиел. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. №7. С. 799-815.

Приведены примеры, показывающие, что при использовании подхода (и) может происходить катастрофическая потеря точности для давления (при сохранении при этом достаточно высокой точности для скорости), когда шаг г дискретизации но времени становится значительно меньше характерного шага |Л| пространственной сетки (численные эксперименты обнаруживают обратно пропорциональное по отношению к г возрастание ошибки для давления). Для первой численной реализации подобной потери точности не происходит.

В разделе 1.4 построена вторая численная реализация итерационного метода (5)-(7), основанная на дискретизации по времени отщепленной параболической начально-краевой задачи (6) для приближений к скорости по разностной схеме Крапка-Ннколсон

(и„му - /т - 0.5V (Аит_дг + Лит-2,лг) =

= {щ-о.а — х е

{ит,]У - (итд, п)п} |г = {ёт ~ (ётп! п)п} |Г, (14)

<Цуит,^|г = 0, т = 1,..., ио.дг = а(я).

Здесь Гт_о.5(ж) = £(*т_о.5,ж), ёт{х) = g(tmlx), £„ = ат, функции рт_ вычисляются в результате решения серии задач Неймана

Арт-0.5,ДГ = с1^Гт_0.5, X € Л,

дрт- 0.5,N , ,с м [ , п -- = <Рт-0.5,ЛГ + (,1т-0.5. П)|г , / рт-0.5,= и,

Г Г!

т = 1, ...,ЛГТ,

где <рт-а.5м{х) ~~ приближения к ры^т-о.ь, х). Краевые задачи, возникающие на временных слоях после дискретизации по времени, аппроксимируются с помощью билинейных КЭ-схсм, построенных в разделе 1.2. Модифицированная аппроксимация формулы пересчета (7), обеспечивающая для второй численной реализации такие же высокие скорости сходимости, как и у исходного итерационного метода на дифференциальном уровне, построена на основе дискретизации по времени, согласованной с дискретизацией (14), используемой для начально-краевой задачи (6), и имеет вид

<Рт-0.5,ЛГ+1;Л = <Рт-0.5,ЛГ;Л + ^[{Лт^-.И ~ Цп- -

-0.5г/Д;(СтД;Л + Ст-1Д;/,)], т = 1,...,ЛГТ. (16)

Здесь используются те же обозначения, что и в (12).

В разделе 1.5 построена третья численная реализация итерационного метода (5)—(7), основанная на дискретизации по времени отщепленной параболической начально-краевой задачи (6) по неявной трехслойной разностной схеме

Зит^ — 4ит_11Лг + ит_2,дг

- иАитМ = Урт,лг, х е Г2,

(17)

2т

{"тД - (итд, п)п} |г = ^т - ^т, п)п} |Г, Шуит,лг|г = 0, т = 2,..., ИТ, "од = а(х),

где (х) = {(гт, х), gm(x) = ёЦт,х), функции Рт^{х) суть решения задач Неймана (9), отвечающих моментам времени т — 2,...,ИТ1 вектор-функция и^ту находится с помощью разностной схемы (14). В отличие от разностной схемы Кранка-Николсон (14) разностная схема (17) обеспечивает достаточно быстрое затухание по времени высокочастотных пространственных возмущений в получаемом разностном решении задачи (6). В основе модифицированной аппроксимации формулы пересчета (7), используемой в третьей численной реализации, лежит трехслойная конечно-разностная дискретизация по времени того же вида, что и в (17):

/37/т,ЛГ;Л - 47^-1,+ Г)т_2,Ы-к ./ > \

V 2г / (18)

771 = 2, ...,МТ.

Здесь используются те же обозначения, что в (16) и (12).

В разделе 1.6 представлены результаты численных исследований второй и третьей численных реализаций. В отношении показателей скоростей сходимости этих численных реализаций обнаружены те же явления, что и для первой численной реализации. А именно, выявлено значительное падение скоростей сходимости исследуемых численных реализаций на высокочастотных дискретных гармониках по переменной возникающее при использовании непосредственного аппроксимирования формулы пересчета (7). При

использовании же модифицированных аппроксимаций (16) и (18) формулы пересчета (7) (для второй и третьей численных реализаций соответственно) скорости сходимости этих численных реализаций оказываются такими же высокими, как и у исходного итерационного метода на дифференциальном уровне.

Проведенные численные эксперименты обнаруживают 2-й порядок точности по шагу пространственно-временной сетки в норме максимума модуля численных решений задачи (1), вычисляемых с помощью второй и третьей численных реализаций, причем как для скорости, так и для давления.

Во второй главе построены и численно изучены численные реализации итерационного метода (5)-(7), перенесенного на случай оееепмметричной нестационарной задачи Стокса (1) в зазоре между соосными цилиндрами при условии периодичности се вдоль цилиндров (в данном случае обоснования метода на дифференциальном уровне пока не получено).

В разделе 2.1 уточнена постановка задачи (1) для рассматриваемого в данной главе случая. А именно, под областью в (1) в данном случае понимается ячейка периодичности

П = {х = (х1, х2, х3) : г < фс[+х1 < Я, 0 < х3 < Ь}, В. > г > О, а под Г — существенная граница

Г = Гг и Гд, Гр= {х : + х1 = р, 0 < х3 < Ь}, р = г,Л. При этом заданные ВФ

а = (о1(а;))а2(а;),а3(х)),

а также искомая ВФ и = (и'(£,х),и2(1,х),и3(Ь,х)) и искомая скалярная функция р{Ь, х) предполагаются осесимметричпыми и периодическими по переменной х3 с периодом Ь. Определенные на Г и (О, Т) хГ скалярные функции и ВФ понимаются в том же смысле, что и в первой главе.

В разделе 2.2 приведена формулировка алгоритма итерационного метода (5)-(7) на дифференциальном уровне для рассматриваемого в данной

главе случая. В этом случае отщепленные задачи (5) и (6) являются осе-симметричными и периодическими по переменной с периодом Ь, как и итерационные приближения 1рн(Ь,х).

В разделе 2.3 описаны используемые пространственно-временные дискретизации отщепленных задач (5) и (6), полагаемые в основу разрабатываемых численных реализаций итерационного метода с расщеплением ГУ. Для отщепленной параболической начально-краевой задачи (6) для приближений к скорости используются те же дискретизации по времени, что использовались в первой главе, а именно полностью неявная дискретизация (8), дискретизация по разностной схеме Кранка-Николеон (14) и неявная трехслойная дискретизация (17), соответственно, для первой, второй и третьей численных реализаций.

Введены соответствующие пространства осесимметричных скалярных функций и ВФ и даны для рассматриваемого в данной главе случая вариационные формулировки краевых задач (5) и (10), возникающих после дискретизации по времени на временных слоях. На основе приведенных вариационных формулировок построены билинейные КЭ-аппроксимации этих задач на равномерных прямоугольных сетках в цилиндрических координатах (р, г).

В разделе 2.4 сформулированы алгоритмы первой, второй и третьей численных реализаций итерационного метода (5)-(7) в рассматриваемом случае. Приведены модифицированные разностно-КЭ-аппроксимации формулы пересчета (7), построенные на основе той же конструкции, что использовалась для этого в первой главе.

В разделе 2.5 приведены результаты численных исследований построенных в данной главе численных реализаций. Установлено, что эти численные реализации обладают фактически теми же качествами, что и построенные в первой главе аналогичные численные реализации для случая задачи (1) в полосе при условии периодичности задачи вдоль полосы. Так же, как и в случае, рассмотренном в первой главе, скорости сходимости построенных численных реализаций (при использовании модифицированных аппроксимаций формулы пересчета (7)) хорошо согласуются с аналогичными показателями для исходного итерационного метода на дифференциальном уровне: ошибка

уменьшается приблизительно в 7 раз за одну итерацию. При этом построенные численные реализации обеспечивают для численных решений такие же порядки точности, что и аналогичные численные реализации, построенные в первой главе.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные результаты работы

В диссертационной работе разработаны и численно изучены новые эффективные численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения нестационарной задачи Стокса в случаях: а) задачи в полосе в И2 при условии периодичности задачи по направлению вдоль полосы; б) осссиммстрич-ной задачи в зазоре между соосными цилиндрами при условии периодичности ее вдоль цилиндров. Разработанные численные методы созданы на пути построения численных реализаций итерационного метода с расщеплением ГУ, предложенного и обоснованного на дифференциальном уровне Б.В. Пальцевым, и обладают следующими важными достоинствами.

1. В силу того, что на итерациях методов происходит расщепление на существенно более простые (по сравнению с исходной) краевые задачи для приближений к скорости и давлению, и эти приближения возможно аппроксимировать по пространству одинаковыми билинейными КЭ, методы обладают достаточной алгоритмической простотой.

2. Проведенными численными исследованиями установлено, что численные методы, основанные на консчпо-разностпой дискретизации по схеме Кранка-Николсон и неявной трехслойной коиечио-разностной дискретизации, обеспечивают для численных решений 2-й порядок точности по шагу пространственно-временной сстки в норме максимума модуля, причем и для скорости и для давления, чего обычно не в состоянии обеспечить аппроксимации всей задачи (1) в целом, удовлетворяющие ЛББ-условиям. Методы же, основанные на простейшей полностью неявной конечно-разностной дискретизации но времени, обеспечивают для численных решений 1-й порядок точности по времени при сохранении 2-го

порядка точности по пространству.

3. Методы не страдают потерей точности для давления при неограниченном уменьшении величины шага дискретизации по времени по сравнению с характерным шагом пространственной сетки, как это происходит для методов, основанных на первоначальной дискретизации по времени задачи (1) по неявным разностным схемам с последующим решением возникающих на каждом временном слое стационарных обобщенных задач Стокса вида (2) при помощи разработанных ранее численных итерационных методов с расщеплением ГУ.

4. Методы обладают такими же высокими скоростями сходимости, как и у исходного итерационного процесса на дифференциальном уровне, а именно, обеспечивают уменьшение ошибки приблизительно в 7 раз за одну итерацию.

5. Благодаря использованию многосеточпого метода для разрешения КЭ-задач, возникающих на временных слоях, построенные численные итерационные методы оказываются реально высокоэффективными.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Б.В. Пальцеву за постановку задачи и многие ценные советы.

Публикации по теме диссертации

1. Соловьев М.Б. О численных реализациях нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса // Докл. РАН. 2010. Т. 432. № 6. С. 741-745.

2. Соловьев М.Б. О численных реализациях нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса в полосе при условии периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 10. С. 1771-1792.

3. Соловьев М.Б. Численные реализации итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса в зазоре между коаксиальными цилиндрами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 11. С. 19982016.

4. Пальцев Б.В., Соловьев М.Б, О численных реализациях нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса // Материалы междунар. конф. "Современные проблемы математики, механики и их приложений", поев. 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садов-ничего. М.: Изд-во "Университетская книга". 2009. С. 332.

5. Соловьев М.Б. Новый итерационный метод с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса и его параллельная реализация // Материалы XVI Междунар. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2009), 25-31 мая 2009 г., Алушта. — М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. С. 663-666.

6. Соловьев М.Б. О численной реализации с распараллеливанием нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для системы Стокса // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: Между-нар. конф., Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 16-18 июня 2009 г.: Тезисы докладов. — М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2009. С. 94-95.

7. Пальцев Б.В., Соловьев М.Б. Об одном итерационном методе с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса и его численных реализациях // Математика в приложениях. Всероссийская конференция, приуроченная к 80-летию академика С.К. Годунова (Новосибирск, 20-24 июля 2009 г.): тезисы докладов. — Ин-т математики СО РАН. Новосибирск, 2009. С. 201-202.

8. Соловьев М.Б. Построение, оптимизация и распараллеливание численных реализаций нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для системы Стокса // Материалы междунар. научн. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики". — Тула: Изд-во ТулГУ. 2009. С. 277-279.

Подписано в печать: 20.12.10. Тираж: 100 экз. Обьем : 1,5 усл.печ.л.Заказ № 76973 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г.Москва, пр-т Вернадского, 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Соловьев, Михаил Борисович

Введение.

1. Случай задачи в полосе в М2 при условии периодичности задачи вдоль полосы.

1.1. Алгоритм итерационного метода с расщеплением граничных условий на дифференциальном уровне.

1.2. Первая (простейшая) численная реализация

1.3. Численные исследования первой численной реализации.

1.4. Вторая численная реализация (на основе разностной схемы Кранка-Николсон).

1.5. Третья численная реализация (на основе неявной трехслойной разностной схемы).

1.6. Численные исследования второй и третьей численных реализаций 48 Выводы.

2. Случай осесимметричной задачи в зазоре между коаксиальными цилиндрами при условии периодичности ее вдоль цилиндров

2.1. Постановка задачи.

2.2. Алгоритм итерационного метода с расщеплением граничных условий на дифференциальном уровне.

2.3. Используемые дискретизации отщепленных задач.

2.4. Алгоритмы численных реализаций.

2.5. Результаты численных экспериментов.

Выводы.

Введение диссертация по математике, на тему "Разработка и исследование новых численных методов с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса"

Актуальность работы. Хорошо известно, что численное решение системы уравнений Навье-Стокса, описывающей динамику вязкой несжимаемой жидкости [1,2], является весьма важным для целого ряда практически значимых приложений и вместе с тем представляет собой одну из чрезвычайно сложных проблем вычислительной математики и математической физики. В мире имеется и постоянно появляется очень большое число работ и монографий, посвященных этой проблеме. Не имея возможности дать здесь хоть сколько-нибудь краткий их обзор, отметим лишь несколько (одних из первых) монографий [3-6].

Настоящая работа посвящена разработке и исследованию новых численных методов решения первой начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса (нестационарной задачи Стокса) дьи - 1уАх\1 + = сИу* и = О, (£, х) <Е (О, Т) х П, (1) и|(0,т)хг - и|4=о = а(х), У рсЬ = О V* 6 (О, Т), (2) п

1(ё,п)(1з = 0 У£(Е(0,Т), Е|«=о = а|г, (Иуяа = 0, х <Е П, (3) г где П — область в Мп, Г — граница П, х = (#1,., хп), п — единичный вектор внешней нормали к Г, и > 0 — кинематическая вязкость, и = (и1^, х),., ггп(£, а;)), р = — искомое решение (скорость и давление), вектор-функции (ВФ) { = ж),., /п(г, ж)), 6 (О,Г) х О, = (рЧ«.®),-.^,®)), (*>*) € [О ,Т) х Г, а - (а1^),.-,^)), заданные задачи (соответственно, поле внешних сил, заданные значения вектора скорости на Г и начальное значение вектора скорости). Первое условие в (3) — необходимое условие разрешимости задачи, предпоследнее же условие в (3) — условие согласования начального и граничного данных при t = 0. Система уравнений Стокса (1) представляет собой линеаризацию полной системы Навье-Стокса, получаемую отбрасыванием нелинейного конвективного члена в уравнении движения, и описывает течения вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса [1]. Создание эффективных и надежных численных методов решения начально-краевых задач даже для такой существенно более простой (по сравнению с полной системой Навье-Стокса) системы, тем не менее, и в настоящее время представляет собой весьма сложную и актуальную проблему, связанную с необходимостью преодоления целого ряда принципиальных трудностей.

При непосредственном численном аппроксимировании (по пространству) начально-краевой задачи (1)-(3) требуется удовлетворять специальным условиям устойчивости, известным под названием условий Ладыженской-Бабушки-Брецци (ЛББ), см. [4,7]. Эти условия по сути дела являются условиями согласования (в определенном смысле) используемых конечномерных аппроксимаций операторов Лапласа, градиента и дивергенции. Они весьма трудно проверяемы. На данный момент известно совсем немного разностных или конечно-элементных (КЭ) схем, удовлетворяющих ЛББ-условиям. В случае конечно-разностных аппроксимаций это, например, семейство схем типа MAG на смещенных прямоугольных сетках [7-10]. В случаях же конечно-элементных аппроксимаций, удовлетворяющих ЛВБ-условиям, компоненты скорости и давление, как правило, аппроксимируются КЭ различных типов. При этом давление обычно аппроксимируется с более низким, чем для скорости, порядком точности по шагу пространственной сетки, и причем достаточно специальным образом [11]. Ряд примеров ЛББ-устойчивых КЭ-схем приведен в [11]. К числу ЛББ-устойчивых схем относятся, например, получившие достаточно широкое применение КЭ-схемы, использующие неконформные КЭ типа Крузе-Равиа [12,13].

Эффективное разрешение разностных схем, возникающих в результате ЛББ-устойчивых численных аппроксимаций начально-краевой задачи (1)—(3), представляет собой самостоятельную, довольно непростую проблему. Неявные дискретизации по времени задачи (1)-(3) приводят на каждом временном слое (при использовании тех или иных дискретизаций по пространству) к системам линейных алгебраических уравнений с седловым oneратором [14]. Для решения таких систем разработан целый ряд специальных итерационных методов, см, например, [14], и цитируемую там литературу. Выделим среди них алгоритмы Удзавы и Эрроу-Гурвица (первые и наиболее простые, см. [5,14,15]), двухпараметрический (/3,т)-метод Г.М. Кобель-кова [7], представляющий собой их существенное развитие, а также трехпара-метрическое обобщение (¡3, г)-метода, предложенное и исследованное в [16]. Скорости сходимости итерационных методов типа Удзавы, однако, оказываются зависящими от шага дискретизации по времени и с уменьшением величины этого шага, как правило, падают [17]. В связи с этим для ускорения сходимости таких методов в ряде работ осуществлялось построение специальных предобуславливателей [18,19].

В работах ряда авторов разрабатывались и исследовались многосеточные методы для численного решения уравнений Стокса и Навье-Стокса, см., например, [20-24], а также [25]. Такие итерационные методы, как правило, отличаются достаточно высокой эффективностью, но их теоретический анализ, однако, изрядно затруднен. Многосеточные методы используются также и в качестве предобуславливателей для упомянутых выше итерационных методов типа Удзавы-и Эрроу-Гурвица, см. [25].

Весьма плодотворной для создания новых численных методов решения краевых задач динамики вязкой несжимаемой- жидкости явилась идея расщепления граничных условий (ГУ), т.е. построения таких итерационных методов решешш этих задач, которые приводят на итерациях к вычислительно более простым и регулярным задачам (см., например, обзор [26]). Одними из первых итерационных методов с расщеплением ГУ в двумерном случае, в переменных "функция тока - вихрь" на уровне конечно-разностных аппроксимаций для численного решения уравнений Навье-Стокса следует считать хорошо известные методы Тома и Вудса, см., например, [6], позволявшие с помощью формальных разложений решений по формуле Тейлора приближенно находить в процессе итераций сеточные граничные значения для вихря. Несмотря на весьма невысокие скорости сходимости таких методов, они долгое время использовались для расчета двумерных стационарных течений вязких несжимаемых жидкостей.

Первые итерационные методы с расщеплением ГУ уже на дифференциальном уровне для решения двумерной системы Навье-Стокса в переменных "функция тока - вихрь" были предложены А А. Дородницыным, см. [27-30]. Суть этих методов состояла во введении в граничные условия прилипания на стенке вспомогательного малого параметра и нахождении решения в виде степенных рядов по этому параметру (или с помощью соответствующего метода последовательных приближений, что более предпочтительно с точки зрения вычислений).

Важным этапом на пути создания методов, рассматриваемых в настоящей работе, явилось создание в [31-34] на дифференциальном уровне принципиально новых быстросходящихся итерационных методов с расщеплением ГУ решения 1-й краевой задачи для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса (стационарной обобщенной задачи Стокса) с большим параметром ¿¿2 > 0. Задача (4),(5) при ¡I2 > 0 (при ¡1 = 0 это классическая стационарная задача Стокса) возникает, в частности, при дискретизации по времени по неявным схемам нестационарной-задачи Стокпо времени, и поэтому в реальных задачах значения параметра ¡л2 обычно очень большие. Исследования методов были проведены для случая, когда область представляет собой слой = хп) : |гсп| < I} при условиях периодичности для решения и,ри данных Г и g по переменным ., гсп-ъ см. [31-33], а также для случая областей с круговой симметрией в М2 и М3, см. [34]. Были разработаны две группы итерационных методов, названные условно группами с неполным и полным расщеплением ГУ (в каждой группе по-существу по 2 итерационных процесса). Построение итерационных процессов осуществлялось на базе исследования свойств двух видов граничных

-Ди + ¿¿2и + = сИу и = 0, х € П,

5) г са (1)-(3). При этом как правило /¿2 ~ {ит) 1, где г — шаг дискретизации интегральных уравнений для неизвестной граничной функции ф) = {др/дп-(¥,п)}\т, (б) для каждого вида уравнения^ выстраивается соответствующая группа итерационных процессов. Эти процессы приводят на каждой итерации к решению существенно более простых (по сравнению с исходной) краевых задач, эквивалентных по трудности решения задачам Дирихле и Неймана для скалярных уравнений Пуассона и Гельмгольца, и выстраивают в пределе итераций функцию (6), а вместе с ней и решение (и,.р) исходной задачи*. Простейшие из итерационных процессов уменьшают ошибку по меньшей мере в,~ 10 раз за 1 итерацию, а вторые и в значительно большее число раз, причем с увеличением значения параметра /л2 скорости сходимости всех этих процессов по крайней мере не снижаются.

В [35,36]* на основе аналогичного подхода были разработаны для областей с круговой симметрией вК2ив К3 соответственно и исследованы достаточно быстро сходящиеся итерационные методы с полным расщеплением ГУ и для стационарной задачи Стокса (4),(5) (при ¡1 = 0).

В [37-39] были построены и исследованы численные реализации всех итерационных процессов с неполным и полным расщеплением ГУ из [31-33], в случае 2-х пространственных переменных, т.е. в случае, когда область — полоса, а задача (4),(5) периодическая по направлению вдоль полосы. При этом и компоненты скорости и давление аппроксимировались одинаковыми билинейными КЭ без удовлетворения каким-либо условиям согласованности таких КЭ-аппрокеимаций. Численными экспериментами было установлено [38], что построенные численные методы обеспечивают для численных решений 2-й порядок точности по шагу сетки в норме максимума модуля как для скорости, так и для давления. Это явилось существенным достижением, поскольку такого для давления обычно не могут обеспечить численные аппроксимации всей задачи (4),(5) в целом, удовлетворяющие ЛББ-условиям. Построенные методы (при использовании модификаций, предложенных и исследованных в [39,40]) обладают такими же высокими скоростями сходимости, как и у их дифференциальных версий. Кроме того, следует отметить, что численные реализации итерационных процессов с расщеплением ГУ из [31-33] оказываются работоспособными и показывают высокую эффективность и в случаях областей, для которых не было получено обоснований соответствующих итерационных процессов и на дифференциальном уровне, см., например, [41,42].

Как показали дальнейшие исследования по построению численных реализаций итерационных процессов с расщеплением ГУ из [31-36], такие численные реализации оказываются весьма перспективными в плане использования их для высокоточного численного решения стационарных краевых задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Приведем, например, следующие результаты, полученные на этом пути. Для случая шарового слоя вначале в [43] были, построены и численно исследованы непосредственные КЭ-реализации итерационных процессов с неполным расщеплением ГУ из [34] для осесиммет-ричной обобщенной задачи Стокса (4),(5) (с ц2 > 0), а также итерационного процесса с полным расщеплением ГУ из [36] для осесимметричной задачи Стокса (4),(5) (при /х = 0) с аппроксимацией и скорости и.давления билинейными! (в сферических координатах) КЭ. Численными исследованиями было обнаружено, что вне фиксированных сколь угодно малых конусных окрестностей оси симметрии такие методы обеспечивают 2-й порядок точности численных решений по шагу сетки в норме максимума модуля как для скорости, так и для давления, однако в окрестностях оси симметрии происходит падение порядка точности численных решений (для давления) даже до 1-го порядка. Результаты работы [44] позволили устранить этот серьезный дефект. Использование наряду с билинейными КЭ для аппроксимирования тангенциальных составляющих ВФ новых, введенных в [44] тригонометрических КЭ, при аппроксимации скалярных функций и радиальных составляющих ВФ позволило получить в [45] модификации КЭ-реализаций указанных выше итерационных процессов, обеспечивающие 2-й порядок точности численных решений в норме максимума модуля и для скорости и для давления уже по всему шаровому слою (и вплоть до оси симметрии). На основе построенного в [45] численного метода с расщеплением ГУ решения задачи Стокса (4),(5) (при 11 = 0) в [46] был разработан на основе простого метода последовательных приближений численный метод решения первой стационарной краевой задачи для осесимметричной системы Навье-Стокса в шаровом слое. Численные: исследования показали, что метод (когда он сходится) обладает теми же порядками, точности, что и упомянутый выше метод для задачи Стокса. Разработанный метод позволил провести с высокой точностью: обстоятельное численное исследование и классификацию стационарных сферических течений Куэтта при-небольших числах Рейнольдса, см. [47], для весьма широкого диапазона толщин шарового слоя и при всевозможных режимах: вращения внешней и внутренней; сфер. Высокая точность получаемых численных решений позволяла с высокой точностью строить.траектории движения отдельных частиц; жидкости, причем на достаточно больших временных интервалах.

Ключевым обстоятельством, которое привело к созданию описываемых в настоящей? работе методов, явилось обнаружение совёршенно неожиданных трудностей на пути' использования- разработанных в [37-40, 45] численных методов с расщеплением ГУ решения задачи (4),(5) для. численного решения; нестационарной-задачи Стокса (1)-(3) с помощью, дискретизации: ее по времени: по неявным разностным схемам и: последующего; решениям возникающих на каждом временном слое стационарных обобщенных задач Стокса вида (4), (5). Поначалу эти методы, ввиду их высокой5 эффективности, представлялись несомненно перспективными для создания на их; основе новых численных методов решения начально-краевой'задачи (1)-(3). В связи с этим в, [48]: было проведено построение и численное исследование численного метода решения 1-й;начально-краевошзадачи для нестационарной системы; Стокса (1)—(3), основанного на дискретизации ее по времени , по схеме-Кранка-Николсон с последующим решением: возникающих на временных слоях задач вида (4),(5) с ¡л2 = 2/(ть>), где т. — шаг по времени, с помощью разработанных ранее численных итерационных методов с расщеплением ГУ. Был рассмотрен случай полосы при условии периодичности задачи вдоль нее. Проведенные численные эксперименты при выполнении условия т ~ \h\, где \h\ —характерный шаг пространственной сетки, обнаружили второй: порядок точности., по \h\ и г в норме максимума модуля как для скорости, так и для давления^ а также продемонстрировали устойчивость такого метода. Однако^ в ходе дальнейшего исследования такого типа численных методов (даже с дискретизацией по времени, задачи (1)-(3) по простейшей неявной разностной схеме) численными экспериментами было обнаружено, см. [45, е. 882-888], что когда т становится значительно меньше |Д| может происходить катастрофическая потеря*точности"для: давления (ошибка на порядки превышает максимальное: значение модуля-давления; и; при фиксированном шаге /¿ пространственной сетки возрастает почти обратно пропорционально величине шага т; точность же для: скорости при этом остается1 высокой и практически не меняется). Наличие подобного явления вызывает серьезные проблемы, с использованием такого, на первый взгляд естественного, подхода-для численного решения задачи- (1)-(3), особенно при использовании8 сильно, неравномерных пространственных сеток (как, например, в толстых шаровых,слоях, смс [45]).

Выявление столь существенного дефекта послужило основным- мотивом для разработки нового итерационного5 метода с расщеплением ГУ решения непосредственно начально-краевой задачи*(1)-(3), см. [49-51]. Метод получил обоснование' в том же случае, что рассматривался в; первых работах [31-33] по созданию итерационных методов с расщеплением ГУ решения стационарной обобщенной задачи; Стокса (4),(5), т.е. в случае, когда пространственная область представляет собой слой в Мп, а задача (1)-(3) периодическая в;орто-тональных направлениях вдоль слоя. По .своей сути этот метод имеет много общего с 1-м итерационным, процессом с неполным, расщеплением ГУ из [32]. Каждая итерация метода состоит в решении двух последовательных задач: , зависящей от временной переменной I как от параметра задачи Неймана для уравнения Пуассона- для приближений к давлению, затем для приближений к скорости — специальной векторной параболической начально-краевой задачи, решения которой автоматически удовлетворяют уравнению неразрывности. Завершается итерация простой формулой пересчета с использованием параболического оператора на пространственно-временной части границы. . Расщепление на итерациях на существенно более простые (по сравнению с исходной), устойчиво численно аппроксимируемые краевые задачи обусловило перспективность этого итерационного метода как основы для создания новых эффективных и устойчивых численных методов решения нестационарной задачи Стокса (1)-(3).

Цели диссертационной работы состоят в 1°) разработке новых численных итерационных: методов решения нестационарной; задачи Стокса (1)-(3) на пути построения численных реализаций итерационного процесса с расщеплением ГУ, предложенного на дифференциальном уровне в [50]; 2°) численном изучении реальных свойств построенных численных методов; 3?) разработке приемов повышения их эффективности.

Разработка осуществлена для случаев: а) задачи (1)-(3) в полосе в М2 при: условии периодичности задачи-по направлению г вдоль полосы; б) осесимметричной задачи (1)-(3) в зазоре между соосными цилиндрами при условии периодичности ее вдоль цилиндров.

Случай а) представляет: интерес для. проведения сравнений: качеств создаваемых численных реализаций метода с соответствующими качествами уже . изученной его дифференциальной версии: В случае б) обоснования метода, на дифференциальном уровне пока: не получено. Рассмотрение* этого случая представляет интерес с точки-зрения исследования возможности,перенесения . численных реализаций; метода на случаи более общих областей и изучения их эффективности в указанном случае. .

Используемые методы. Основу разработанных численных итерационных методов решения нестационарной задачи Стокса составляет итерационный процесс с расщеплением ГУ, предложенный и обоснованный на дифференциальном уровне Б.В. Пальцевым, см. [50,51]. Построенные в.работе численные реализации этого итерационного процесса базируются на следующих дискретизациях по времени отщепленной параболической начально-краевой задачи для приближений к скорости: 1) по полностью неявной разностной схеме; 2) по разностной схеме Кранка-Николсон; 3) по неявной трехслойной, раз-.ностной схеме 2-го порядка аппроксимации. Аппроксимация краевых задач, возникающих на временных слоях при таких дискретизациях, а также задач Неймана (для приближений, к давлению) осуществлялась с помощью билинейных КЭ:, Для разрешения возникающих КЭ-схем использовался многосеточный метод Р.П. Федоренко[52] (более точно, модификация для задач вариационного типа, см. [53]). Модифицированные разностно-КЭ-аппроксимации: формулы' пересчета на границе, обеспечивающие такие же высокие скорости сходимости, как и у исходного метода на дифференциальном уровне, построены на основе конструкции, предложенной А. С. Лозинским, см: [40], для ускорения сходимости упомянутых выше численных итерационных методов с расщеплением ГУ решения стационарной обобщенной задачи Стокса (4),(5).

Теоретическая и практическая ценность результатов. Построенные в диссертационной работе численные итерационные методы решения нестационарной задачу Стокса обладают достаточной: алгоритмической?, простог той, поскольку на их итерациях происходит расщепление- на существенно более простые (по сравнению с исходной) краевую и начально-краевую задачи, соответственно, для приближений к давлению и к скорости, и эти приближения возможно аппроксимировать, по пространству одинаковыми билинейными,КЭ; При этом; методы, "основанные на упомянутых выше конечно-разностных дискретизациях 2-го и 3-го видов,.обеспечивают для;численных: решений 2-й порядок точности по шагу пространственно-временной сетки в норме максимума модуля^ причем и для скорости: и. для давления (методы, основанные на простейшей конечно-разностной дискретизации 1-го вида, обеспечивают 1-й порядок точности по времени при сохранении 2-го порядка точности по пространству), чего*обычно не в состоянии обеспечить аппроксимации всей задачи (1)-(3) в целом, удовлетворяющие ЛББ-условиям. Кроме того, важно подчеркнуть, что построенные методы не страдают потерей:точности для давления при неограниченном уменьшении величины т/\Н\, как это происходит для методов, основанных на первоначальной дискретизации по времени задачи (1)-(3) по неявным разностным схемам с последующим решением возникающих на каждом временном слое стационарных обобщенных задач Стокса вида (4),(5) при помощи разработанных ранее численных итерационных методов с расщеплением ГУ (как это отмечалось выше). Скорости сходимости построенных численных итерационных методов так же высоки, как и у исходного итерационного процесса на дифференциальном уровне (ошибка уменьшается приблизительно в 7 раз за одну итерацию).

Построенные в работе численные методы решения нестационарной задачи Стокса (1)-(3) в случае б) (в зазоре между соосными цилиндрами) имеют также и прикладную ценность, поскольку они могут служить основой (при развитии их на случай нелинейной системы Навье-Стокса) для численного исследования классической гидродинамической задачи о механизме образования вихрей Тейлора, см. [54].

Достоверность полученных в работе результатов обеспечена

• использованием в качестве основы для построенных в работе численных методов итерационного процесса с расщеплением ГУ, получившего обоснование на дифференциальном уровне в случае слоя в Мп при условии периодичности задачи в направлениях вдоль слоя;

• проведенными численными исследованиями.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Разработаны и численно исследованы новые эффективные численные итерационные методы с расщеплением ГУ решения нестационарной задачи Стокса в случае, когда пространственная область представляет собой полосу вК2, а задача периодическая по направлению вдоль полосы.

3. Численными исследованиями установлено, что методы, основанные на упомянутых выше конечно-разностных дискретизациях 2-го и 3-го видов, обеспечивают для численных решений 2-й порядок точности по шагу пространственно-временной сетки в норме максимума модуля как для скорости, так и для давления. Методы же, основанные на простейшей конечно-разностной дискретизации 1-го вида, обеспечивают 1-й порядок точности по времени и 2-й порядок точности по пространству. Разработанные численные методы являются устойчивыми и не страдают потерей точности для давления при неограниченном уменьшении отношения т/\Я

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

• Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (г. Москва, 30 марта - 2 апреля 2009 г.);

• XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 25-31 мая 2009 г.);

• Международной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики" (г. Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 16-18 июня 2009 г.);

• Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию академика С.К. Годунова (г. Новосибирск, 20-24 июля

2009 г.);

• Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (г. Тула, 23 - 27 ноября 2009 г.).

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано 3 статьи [55-57] в изданиях из перечня ВАК РФ и 5 работ в сборниках тезисов докладов [58-62].

Личный вклад автора. Все вынесенные на защиту результаты получены лично автором.

Заключение диссертации по теме "Вычислительная математика"

Выводы

В главе 2 для случая осесимметричной нестационарной задачи Стокса в зазоре между коаксиальными цилиндрами, периодической по направлению вдоль цилиндров, построены численные реализации итерационного метода с расщеплением ГУ, предложенного на дифференциальном уровне в [50]. Подчеркнем, что обоснования этого метода на дифференциальном уровне в этом случае пока не получено. Построение проведено на основе конечно-разностных дискретизаций по времени и билинейных КЭ-аппроксимаций в цилиндрической системе координат. Численными исследованиями установлено, что построенные в главе 2 численные итерационные методы обладают фактически теми же качествами, что и построенные в главе 1 аналогичные численные итерационные методы для случая задачи в полосе при условии периодичности задачи вдоль полосы. В частности, следует отметить хорошее согласование скоростей сходимости построенных численных методов с теоретически полученной оценкой (1.39) для исходного итерационного процесса на дифференциальном уровне в случае слоя при условии периодичности задачи по направлениям вдоль слоя.

Заключение

Разработанные численные методы получены на пути построения численных реализаций итерационного метода с расщеплением ГУ, предложенного-на дифференциальном уровне в [50], базирующихся на конечно-разностных дискретизациях по времени и билинейных КЭ-аппроксимациях по пространственным переменным возникающих на итерациях этого метода отщепленных задач для-приближений к давлению и скорости.

Построенные численные методы (как в случае (а), для которого получено обоснование исходного итерационного метода на дифференциальном уровне, см. [50], так и в случае (б), для которого такого обоснования4пока не получено) обладают следующими важными достоинствами.

1. В силу того, что на каждой итерации методов' происходит расщепление на существенно более простые (по сравнению с исходной) краевую и начально-краевую задачи для приближений к давлению и к скорости соответственно, и эти приближения аппроксимируются по пространству одинаковыми билинейными КЭ, методы обладают достаточной алгоритмической простотой.

2. Методы обладают такими же высокими скоростями сходимости, как и • у исходного итерационного процесса на дифференциальном уровне, а именно, обеспечивают уменьшение ошибки приблизительно в 7 раз за одну итерацию, что достигается благодаря использованию предложенных в диссертационной работе модификаций непосредственных разностно-КЭ аппроксимаций формулы пересчета на границе.

3. Скорости сходимости построенных численных методов не снижаются с: уменьшением коэффициента вязкости//.

4. Проведенными.численными исследованиями установлено, что. численные методы, основанные на конечно-разностной дискретизации; по; времени отщепленной • векторной параболической начально-краевой задачи для приближений к скорости по схеме Кранка-Николсон и неявной трехслойной конечно-разностной дискретизации по времени этой задачи, обеспечивают для чйсленнь1х решений; исходной нестационарной задачи Сток-са (1)-(3) 2-й-порядок точности по шагу пространственно-временной сетки. в норме максимума модуля, причем и для; скорости и для давления,

• чего обычно не в состоянии обеспечить численные, аппроксимации всей задачи (1) (3) в целом, удовлетворяющие ЛББ-условиям. Методы же. основанные на простейшей. полностью неявной конечно-разностной дискретизации по времени, обеспечивают для численных решений 1-й порядок точности по времени при сохранении 2-го порядка точности по пространству.

5. Методы не! страдают потерей точности для давления. при неограниченном- уменьшении величины шага дискретизации по времени- по сравнению с характерным шагом пространственной сетки, как. это происходит для методов, основанных на. первоначальной-дискретизации по, времени* задач» (1)-(3) по неявным разностным, схемам с последующим решением, возникающих, на каждом временном слое стационарных, обобщенных; задач Стокса вида (4), (5) при помощи разработанных ранее численных; итерационных методов с расщеплением ГУ.\

6. Благодаря использованию многосеточного метода для разрешения КЭ-задач, возникающих на временных слоях, построенные численные итерационные методы оказываются реально высокоэффективными.

Разработанные численные итерационные методы решения нестационарной задачи Стокса (1)-(3), в силу того, что они. обладают перечисленными выше достоинствами, представляются перспективными для перенесения их на случаи более общих областей, а также для разработки на их основе новых методов численного решения нелинейной нестационарной задачи Навье-Стокса.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Соловьев, Михаил Борисович, Москва

1. Кочин Н.Е., Кибель И.А. Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.1.. М.: Физматлит, 1963.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973.

3. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

4. Girault V., Raviart P. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Berlin: Springer, 1986.

5. Темам P. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

6. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

7. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скор ость-давление // Вычисл. процессы и системы. Вып. 8. М.: Наука, 1991. С. 204-236.

8. Kobelkov G.M., Valedinskii V.D. // On the inequality |H|l2 < c||Vp||wa and its finite dimensional analog. Soviet J. Numer. Anal. Math. Model. 1986. V. 1. №3. P. 189-201.

9. Кобельков Г.М. О численном решении задачи Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. № 3. С. 786-789.

10. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики, I // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т. 4. №3. С. 449-465.

11. Brezzi F.} Fortin М. Mixed and hybrid finite element methods. New York: Springer, 1991.

12. Grouzeix M., Raviart P.A. Conforming and non-conforming finite element methods for solving the stationary Stokes equations //R. A. I. R. O. 1973. № R-3. P. 77-104.

13. Rannacher R., Turek S. Simple nonconforming quadrilateral Stokes element // Numer. Meth. Partial Diff. Eq. 1992. V. 8. P. 97-111.

14. Выченков Ю.В., Чижонков E.B. Итерационные методы решения седло-вых задач. М.: БИНОМ, 2010.

15. Arrow К., Hurwicz L., Uzawa Н. Studies in Nonlinear Programming. Stanford: Stanford University Press, 1958.

16. Bychenkov Yu. V., Chizhonkov E. V. Optimization of one three-parameter method of solving an algebraic system of the Stokes type // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1999. V. 14. № 5. P. 429-440.

17. Ольшанский M.A. Об одной задаче типа Стокса с параметром // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. №2. С. 75-86.

18. Cahouet J., Chabard J.-В. Some fast 3-D finite element solvers for the generalized Stokes problem //Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1988. V. 8. P. 869-895.

19. Kobelkov G.M., Olshanskii M.A. Effective preconditioning of Uzawa type schemes for a generalized Stokes problem. // Numer. Math. V. 86. № 3. P. 443-470.

20. Braess D., Sarazin R. An efficient smoother for the Stokes problem // Appl. Numer. Math. 1997. V. 23, P. 3-19.

21. Turek S. Efficient solvers for incompressible flow problems: An algorithmic approach in view of computational aspccts. Berlin, Heidelberg: Springer. 1999.

22. Vanka S.B. Block-implicit multigrid solution of Navier-Stokes equations in primitive variables //J. Comput. Physics. 1986. V. 65. P. 138-158.

23. Elman H. C. Multigrid and Krylov Subspace Methods for the Discrete Stokes Equations // J. Numer. Methods Fluids. 1996. V. 22. P. 755-770.

24. Wittum G. Multi-grid methods for the Stokes and Navier-Stokes equations // Numer Math. 1989. V. 54. P. 543-564.

25. Ольшанский M. А. Лекции и упражнения по многосеточным методам. М.: Физматлит, 2005.

26. Dorodnicyn A.A. On the method for solution of a problem of vescous flow about a body //VII Symp. Advanced Problems and Methods in Fluid Dynamics. Warszawa: IPPT PAN. 1965. P. 13-14.

27. Дородницын A.A. Об одном методе решения задачи обтекания тел вязкой жидкостью // Fluid Dynamics Transactions. Warszawa: PWN. 1967. V. 3. P. 41-52.

28. Дородницын A.A., Меллер H.A. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. № 2. С. 393-402.

29. Пальцев Б.В. О быстросходящихся итерационных методах с расщеплением граничных условий для многомерной системы типа Стокса. Периодические "течения" между параллельными стенками // Докл. РАН. 1992. Т. 325. №5. С. 926-931.

30. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с неполным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса // Матем. сб. 1994. Т. 185. №4. С. 101-150.

31. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с полным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса // Матем. сб. 1994. Т. 185. №9. С. 109-138.

32. Пальцев Б. В. Об условиях сходимости итерационных методов с полным расщеплением граничных условий для системы Стокса в круге и кольце // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. №7. С. 1015-1037.

33. Пальцев Б. В. Об условиях сходимости итерационных методов с полным расщеплением граничных условий для системы Стокса в шаре и шаровом слое // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. №6. С. 935-963.

34. Пальцев Б.В., Чечель И.И. О реальных качествах билинейных конечно-элементных реализаций методов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. №2. С. 247-261.

35. Лозинский A.C. Об ускорении конечно-элементных реализаций итерационных процессов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем физ. 2000. Т. 40. №9. С. 13391363.

36. Лозинский A.C. Конечно-элементная реализация итерационных процессов с расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в неконцентрических кольцах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. №8. С. 1203-1216.-о

37. Пальцев Б.В., Чечель И.И. О билинейных конечно-элементных реализациях итерационных методов с неполным расщеплением граничных условий для системы тина Стокса на прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. №11. С.1838-1864.

38. Пальцев Б.В., Чечель И.И. О методе 2-го порядка точности с расщеплением граничных условий решения стационарной осесимметричной задачи Навье-Стокса в шаровых слоях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. №12 С. 2232-2250.

39. Пальцев Б.В., Ставцев А.В., Чечель И.И. Численное исследование основных стационарных сферических течений Куэтта при небольших числах Рейнольдса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. №4. С. 693-716.

40. Пальцев Б. В. Об одном итерационном методе с расщеплением граничных условий решения первой начально-краевой задачи для системы Стокса // Докл. РАН. 2010. Т. 432. №5. С. 597-603.

41. Пальцев Б. В. Об условиях сходимости метода с расщеплением граничных условий в пространствах Соболева высокой гладкости и условиях согласования для нестационарной задачи Стокса // Докл. РАН. 2010. Т. 435. № 4. С. 455-459.

42. Федоренко Р. П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений // Успехи матем. наук. 1973. Т. 28. Вып. 2. С. 121-182.

43. McCormick S.F., Ruge J. W. Multigrid methods for variational problems //SIAM J. Numer. Analys. 1982. V. 19. № 5. P. 924-929.

44. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Изд-во «Мир», 1981. 638 с.

45. Соловьев М.Б. О численных реализациях нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса // Докл. РАН. 2010. Т. 432. №6. С. 741-745.

46. Соловьев М.Б. О численных реализациях нового итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса в полосе при условии периодичности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. №10. С. 1771-1792

47. Соловьев М.Б. Численные реализации итерационного метода с расщеплением граничных условий решения нестационарной задачи Стокса в зазоре между коаксиальными цилиндрами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т 50. №11. С. 1998-2016.V

48. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства С.Л. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференцнальных уравнений в частных производных // Учен. зап. Ленингр. гос. пед. нн-та им. Герцена. 1958. Т. 197. № 6. С. 54-112.

49. Абрамов A.A., Андреев В.Б. О применении метода прогонки к нахождению периодических решений дифференциальных и разностных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3. №2. С. 377-381.

50. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.