Разработка метода численного решения систем моментных уравнений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ. ф

ГЛАВА 1.

Обзор литературы и анализ состояния вопроса.

Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2.

Уравнения движения вязкого газа.

2.1 Анализ характеристик уравнений Навье-Стокса, Эйлера и Трэда.

2.2 Нормировка уравнений, переход к обобщенной криволинейной системе координат.

Выводы по главе 2. t

ГЛАВА 3.

Разностные схемы для уравнений движения вязкого газа.

3.1 Общий подход к построению схем.

3.2 Расчетная сетка.

3.3 Граничные условия.

Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4.

Проверка достоверности разработанного метода.

4.1 Программная реализация.

4.2 Результаты расчетов.

4.2.1 Пограничный слой на пластине. Профиль Блазиуса.

4.2.2 Течение в плоском канале.

4.2.3 Обтекание кругового цилиндра. Кривая сопротивления.

4.2.4 Обтекание цилиндра с разделительной пластиной.

4.2.5 Ламинарное обтекание профиля NACA0012.

Выводы по главе 4.

В последние годы в области вычислительной гидродинамики интенсивно развиваются исследования по моделированию нестационарных течений вязкого теплопроводного газа без использования каких-либо моделей турбулентности. Изучение этого класса течений имеет большую самостоятельную научную ценность, поскольку позволяет разобраться в физических механизмах переходных процессов внутри газовых потоков. В свою очередь, знание этих механизмов может быть использовано в других областях динамики газа и жидкости, например, при создании новых математических моделей турбулентности. К таким течениям можно отнести формирование потока около неподвижного тела, качественное изменение характера течения за телом с образованием упорядоченного движения, имеющего периодический характер, разрушение нестационарного периодического движения и т.п. Ситуации, при которых происходят качественные изменения характера течений, определяются пока недостаточно точно, а достоверность получаемых результатов вызывает сомнения, когда речь идет, к примеру, об образовании вторичных вихревых структур в периодических нестационарных потоках.

Интерес в этой области стимулируется значительной практической потребностью, а также существенным прогрессом в создании быстродействующих компьютеров. В связи с этим ведутся разработки новых физико-математических моделей, пригодных для описания этого класса течений, а также новых подходов к их численному решению. В аэрогидромеханике эти модели основаны на системах дифференциальных уравнений в частных производных. Как правило, более глубокие модели приводят к более сложным системам уравнений. Иногда возникают ситуации, когда отсутствуют методы численного решения таких уравнений. Примером могут служить 13-ти моментные уравнения Г. Грэда [1]. Применение методов, основанных на использовании центрально-разностных аппроксимаций производных, входящих в эту систему [2], сопровождается нежелательными численными осцилляциями решения, что во многих случаях приводит к численной неустойчивости. Применение же противопоточных аппроксимаций не может быть реализовано на основе известных методов решения [3].

Таким образом, актуальность темы исследования обусловлена потребностью в методах, позволяющих численно моделировать физические процессы, протекающие в быстро изменяющихся течениях вязкого газа, на основе более глубоких физико-математических моделей.

Цель диссертационной работы заключается в создании новых численных методов решения систем моментных уравнений, сравнительном моделировании плоских нестационарных потоков вязкого теплопроводного газа на основе численного решения уравнений Навье-Стокса и систем моментных уравнений и установлении зависимостей интегральных и локальных характеристик от критериальных параметров.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать обобщенный метод численного решения систем моментных уравнений;

2. Разработать различные способы перехода от дифференциального уравнения к разностному аналогу в рамках разработанного метода и исследовать свойства полученных разностных схем;

3. Установить связь разработанного метода с известными методами численного решения уравнений газовой динамики и определить пределы его применимости;

4. В рамках общего метода моментов и метода Грэда обосновать новую 10-ти моментную систему "макроскопических" уравнений, сохраняющую большую часть характерных особенностей 13-ти моментной системы уравнений;

5. Создать комплекс программ для расчета плоских течений вязкого газа на основе уравнений Навье-Стокса и 10-ти моментной системы уравнений и провести проверку достоверности разработанного метода и созданного комплекса программ;

6. Провести численное исследование ряда плоских течений вязкого газа на основе разработанного метода и созданного комплекса программ;

7. На основе сравнительного анализа решений уравнений Навье-Стокса и 10-ти моментной системы уравнений выяснить причины и механизмы возникновения отрывных нестационарных течений.

Структура работы соответствует поставленным в ней цели и задачам. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе создан численный метод решения систем моментных уравнений, обоснована 10-ти моментная система уравнений, на основании решения которой осуществлено математическое моделирование плоских нестационарных потоков вязкого теплопроводного газа.

Основные научные и практические результаты работы состоят в следующем:

1. Разработан новый обобщенный метод решения вполне гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных, характеристическая форма которых может являться многочленом более чем четвертой степени. В основу метода положена аппроксимация соотношений между полными производными от искомых макроскопических переменных.

2. Разработаны различные способы и приемы перехода от систем дифференциальных уравнений к их разностному аналогу на основе метода конечных разностей или на основе метода конечных элементов в рамках разработанного метода.

3. Установлена связь разработанного метода с методом характеристик, сеточно-характеристическим методом, так называемыми а.-схемами и методом расщепления матричных коэффициентов. Установлено, что в некоторых частных случаях разработанный метод совпадает с перечисленными, а в общем случае является самостоятельным методом, который в отличие от известных методов не имеет принципиальных ограничений по области применимости.

4. На основе метода Грэда и закона Фурье обоснована 10-ти моментная система уравнений, описывающая течения вязкого теплопроводного газа. Полученная система сохраняет многие характерные особенности 13-ти моментных уравнений Грэда и отличается от них упрощенным законом для компонент вектора теплового потока.

5. Показана принципиальная неприменимость известных численных методов для решения систем 13-ти и 10-ти моментных уравнений. При применении разработанного метода к решению 10-ти моментных уравнений особое внимание уделено аппроксимации релаксационных членов. Обоснована необходимость использования этих систем при моделировании быстро изменяющихся течений газа.

6. На основе разработанного метода создан исследовательский комплекс программ, предназначенных для решения 10-ти моментной системы уравнений. Этот комплекс дополнен программами для решения уравнений Навье-Стокса на основе близкого метода расщепления матричных коэффициентов.

7. Создан комплекс программ, предназначенных для построения сеток О- и С-типов со сгущением сеточных линий в заданных подобластях для плоских тел с криволинейной границей. Построение сеток осуществлялось на основе решения уравнения Пуассона, в котором источниковый член управляет сгущением линий сетки. Первое приближение задавалось методом трансфинитной интерполяции.

8. Проведена проверка достоверности разработанного метода и созданного комплекса программ. Решена задача Блазиуса об обтекании плоской пластины и задача о течении вязкого газа в плоском канале. Полученные при решении этих задач на основе 10-ти моментной системы и уравнений Навье-Стокса результаты практически совпадают между собой и с известными теоретическими решениями. Это подтверждает достоверность разработанного метода и созданного программного комплекса. Используемые в расчетах разностные схемы исследованы на порядок аппроксимации. Установлено, что используемые в расчетах разностные схемы имеют второй и более высокий порядок аппроксимации по пространству. При исследовании схемной вязкости установлено, что уравнения Навье-Стокса не обладают таковой при Re<5-ю6. В схемах, применяемых при решении 10-ти моментных уравнений, схемная вязкость становится одного порядка с физической при Re>5-ю5. Максимальный дисбаланс массового расхода в этих задачах не превышал 2%.

9. При решении задачи об обтекании кругового цилиндра при числах Re <40 обнаружено хорошее совпадение результатов, полученных на основе обоих систем уравнений как между собой, так и с известными опытными данными [79]. В нестационарных потоках выявлено взаимодействие вихрей, расположенных в кормовой части цилиндра, на режимах течения, предшествующих возникновению периодического схода вихрей. Это явление обнаружено только для случая использования 10-ти моментных уравнений. Высказано предположение об отсутствии бифуркаций в решениях 10-ти моментной системы при числах Рейнольдса Re<soo. Время счета при использовании 10-ти моментной системы в 3.5 раза превышает соответствующее время для уравнений Навье-Стокса. Воспроизведен обнаруженный в опытах эффект локального увеличения величины Сх при Re-100.

10. Решена задача о снижении сопротивления и подъемной силы цилиндра (а/ = o.i, Re = 300) при помощи разделительной пластины, установленной в его кормовой части. Показано, что при длине пластины вихревая дорожка Кармана практически исчезает в следе за цилиндром.

Определены аэродинамические характеристики профиля NACA0012 в ламинарном дозвуковом потоке газа при малых числах Рейнольдса.

11. Достоверность разработанного метода подтверждается всесторонним тестированием созданного комплекса программ, сравнением результатов с численными решениями уравнений Навье-Стокса на основе близких численных методов при одинаковых граничных условиях, на одних и тех же расчетных сетках, а также с теорией или экспериментом. Результаты настоящей работы могут найти широкое применение в теории устойчивости течений вязкого теплопроводного газа и теории разностных схем.

12. Разработанный метод создает дополнительные возможности для исследований по динамике разреженного газа. В частности, использование систем моментных уравнений с граничными условиями скольжения при моделировании течений в области умеренных чисел Кнудсена может привести к значительному сокращению потребных вычислительных ресурсов. Разработки в этой области практически не проводились и представляют большой интерес для дальнейших исследований.

1. Грэд Г. О кинетической теории разреженных газов. Механика, 1952, вып. N 4, С.71-97, вып. N 5, С.61-96.

2. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001, 608с.

3. Пинчуков В.И., Шу Ч.-В. Численные методы высоких порядков для задач аэрогидродинамики. Н., Изд-во СО РАН, 2000, 232с.

4. Бондарев Е.Н., Дубасов В.Т., Рыжов Ю.А., Свирщевский С.Б., Семенников Я.В. Аэрогидромеханика. М.: Машиностроение, 1993, 608 с.

5. Фейнман Р. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968, 382 с.

6. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967,440 с.

7. Больцман Л. Лекции по теории газов. Пер. ГИТТЛ, 1953, 554 с.

8. Hilbert D. Math. Ann. 1912, 72, 562.

9. Grad H. Principles of the kinetic theory of gases. Handbuch der Physik, ed by S. Flugge, Springer - Verlag, Berlin, 1958, vol. XII, Sec. 26.

10. Грэд Г. Асимптотическая теория уравнения Больцмана. Механика, 1964, вып. N2, С.43-108.

11. Welander P. Arkiv for Fysik, 1954, vol. 7, N 7, 507; русский перевод: Механика, вып. N 1,1953.

12. Bhatnagar P.L., Gross Е.Р., Krook М. A model for collision processes in gases. Phys rev., 1954, vol.94, 511; русский перевод в сб. "Проблемы современной физики", 1956, т. 2.

13. Шахов Е.М. Метод исследования движения разреженного газа. М.: Наука, 1974,208 с.

14. Хлопков Ю.И., Шахов Е.М. Кинетические модели и их роль в исследовании течений разреженного газа. Сб. Численные методы в динамике разреженных газов, 19776 Вып. 3, С.37-80.

15. Никитченко Ю.А., Попов С.А., Свирщевский С.Б. Экономичный метод решения модельного кинетического уравнения при малых числах Кнудсена. XI Всесоюзная конференция по динамике разреженных газов, Тезисы докладов, Ленинград, 8-13 июля 1991.

16. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and Direct Simulation of Gas Flows. -Oxford, Claredon Press, 1994, 458c.

17. Яницкий B.E. Стохастические модели совершенного газа из конечного числа частиц. Сообщения по прикладной математике, М.: ВЦ АН СССР, 1988, 56 с.

18. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Решение нестационарной и стационарной краевых задач для уравнения Больцмана методом расщепления. -Численные методы в динамике разреженных газов, Выпуск 3, М.: ВЦ АН СССР, 1977, С.117-140.

19. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Прямое численное моделирование кинетического уравнения Больцмана. М.: ВЦ АН РАН, 1992, 192 с.

20. Аристов В.В., Мамедова И.Г. Параллельные алгоритмы для решения кинетического уравнения Больцмана. ЖВМиМФ, 1996, N 2, С.138-146.

21. Аристов В.В., Забелюк С.А. Получение решений для уравнения Больцмана на многопроцессорных компьютерах. Математическое моделирование, 2002, т. 14, N 8, С.5-9.

22. Ларина КН., Рыков В.А. Метод численного решения уравнения Больцмана при малых числах Кнудсена. Математическое моделирование, 2000, т. 12, N 6, С. 109-114.

23. Ларина И.Н., Рыков В.А. Метод второго порядка точности для решения уравнения Больцмана. Математическое моделирование, 2002, т. 14, N 8, С.96-101.

24. Chung T.J. Computational Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 2002, 1012c.

25. Chakravarthy S.R., Anderson D.A., Salas M.D. The Split-Coefficient Matrix Method for Hyperbolic Systems of Gasdynamic Equations. AIAA Paper 80-0268, Pasadena, California, 1980, 20 p.

26. Steger J.L., Warming R.F. Flux Vector Splitting of the Inviscid Gas Dynamic Equation with Application to Finite-Difference Methods // Journal of Computational Physics, 1981, V.40, №2, P.263-294.

27. Годунов С.К, Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976, 400 с.

28. Иванов М.Я., Нигматуллин Р.З. Неявная схема С.К.Годунова повышенной точности для численного интегрирования уравнений Эйлера. ЖВМиМФ, 1987, т.27, N11, С. 1725-1735.

29. Roe P.L. Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes // Journal of Computational Physics, 1981, V.43, P.357-372.

30. Harten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // Journal of Computational Physics, V.49, 1983, P.357-393.

31. Osher S., Chakravarthy S.R. High Resolution Schemes and entropy condition. SI AM J. Num. Anal., 1984, 21, P.955-984.

32. Harten A., Osher S. Uniformity High-Order Accurate Nonoscillatory Schemes I. SIAM J. Num. Anal., 1987, 24, P.279-309.

33. Четверушкин Б.Н. Кинетически согласованные разностные схемы в газовой динамике. - М.: изд. МГУ, 1999, 232с.

34. Deshpande S.M. Kinetic theory based new upwind methods for in viscid compressible flow. AIAA Paper 86-0275, 1986.

35. Абалкин И.В., Жохова A.B., Четверушкин Б.Н. Разностные схемы на основе кинетического расщепления вектора потока. — Математическое моделирование, 2000, т. 12, N 4, С.73-82.

36. Дородницын JI.B., Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Кинетически согласованные разностные схемы и квазигазодинамическая модель течений плотных газов и жидкостей. — Математическое моделирование, 2001, т. 13, N 4, С.47-57.

37. Бондаренко Ю.А. Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики. Обзор зарубежной литературы. РФЯЦ-ВНИИЭФб 88 - 2003, 53 с.

38. Попов С.А. Моделирование течений сжимаемого газа на основе метода полных дифференциалов. Математическое моделирование, 2005, том 17, N3,C.99-119.

39. Белошицкий А.В., Бондарев Е.Н. Истечение вязкого газа из цилиндрического канала в вакуум, Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, N 1.

40. Бондарев Е.Н., Бургасов М.П., Васильев И.А., Кокорев А.С. Поле плотности вязкого газа, истекающего из конического сопла в вакуум, Изв. АН СССР, МЖГ, 1986, N 3.

41. Бондарев Е.Н., Кокорев А.С. Разработка и описание программы расчета конечно разностным методом полной системы уравнений Навье -Стокса. - Отчет МАИ N971,1989, 25 с.

42. Крайнов В.А. Расчет потоков сжимаемого газа на оптимальных разностных сетках // Вопросы аэродинамики летательных аппаратов и их частей. Тематический сборник научных трудов. М.: МАИ, 1992, С.4-8.

43. Goldberg U., Peroomian О., Chakravarthy S. Application of The k-z-R Model to Wall-Bounded Compressible Flow. 1998, AIAA 98-0323.

44. Menter F.R. Two-equation eddy viscosity turbulence models for engineering applications. //AIAA J. 1994, V. 32, N 11, P. 1299-1310.

45. Lien F.S., Kalitzin G., Durbin P.A. RANS modeling for compressible and transitional flows. Proceedings of the Summer Program. 1998, P.267-286.

46. Рождественский Б.Л., Симакин И.Н. Моделирование турбулентных течений в плоском канале. ЖВМиМФ, 1985, т. 25, N 1, С.96-121.

47. Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Моделирование нестационарных газодинамических течений. Математическое моделирование, 2002, т. 14, N 4, С.35-44.

48. Чурбанов А.Г., Горбачевский А.Я., Марокко А.Ю. Численное исследование конвективного течения вязкой жидкости в канале с препятствиями квадратного сечения на стенке. Математическое моделирование, 2002, т. 14, N 8, С.84-90.

49. Аристов В.В., Забелюк С.А. Вихревая структура неустойчивой струи,изучаемой на основе уравнения Больцмана. Математическое моделирование, 2001, т. 13, N 6, С.87-92.I

50. Курант Р. Уравнения с частными производными. Перев. с англ. М.: Мир, 1964, 830 с.

51. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971, 416 с.

52. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука, 1980,336 с.

53. Русанов В.В. Характеристики общих уравнений газовой динамики. -ЖВМиМФ, 1963, т.З, №3, С.508-527.

54. Попов С.А. Метод полных дифференциалов для численного решения гиперболических систем уравнений. Электронный журнал "Труды МАИ" (http://wvyw.rnai.ru/projects/mai worksA. 2006, вып. 22, 19 с.

55. Галуа Э. Сочинения. Пер. ГРОиТТЛ, Ленинград, 1936, 336 с.

56. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные ' # методы.-М.: Наука, 1988,288 с.

57. Дадоне А., Моретти Дж. Эффективный метод расчета трансзвукового обтекания профилей на основе уравнений Эйлера. Часть I Теория. Часть II Приложения. Аэрокосмическая техника, 1989, N 4. С.3-20.

58. Наполитано М., Дадоне А. Методы расчета трехмерных сжимаемых течений, основанные на неявной лямбда схеме. - Аэрокосмическая техника, 1986, N 7, С.23-28.

59. Пирумов У.Г., РосляковГ.С. Численные методы газовой динамики. М.: Высшая школа, 1987, 232 с.

60. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: ГИ ТТЛ, 1953, т.2, 628 е., т.4, 804 с.

61. Raithby G.D. Skew Upstream Differencing Schemes for Problems Involving Fluid Flow. Comput. Methods Appl. Mech. Engng., 1976, V.9, P. 153-164.

62. Андерсон Д., Таннехнлл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990, т.2, С.393-728.

63. Mehta V., Lomax Н. Reynolds Averaged Navier-Stokes Computations of Transonic Flows:the State-of-the-Art, "Progress Astronautics and Aeronautics, Transonic Aerodynamics, edited by D.Nixon. AIAA, New York, 1982, V.81, P.297-375.

64. Thompson J.F., Thames F.C., Mastin C.W. Automatic Numerical Generation of Body-Fitted Curvilinear Coordinate System for Field Containing any Number of Arbitrary Two-dimensional Bodies. J. Сотр. Phys., 1974, V.15, P.299-319.

65. Эрыкссон Л.Э. Построение с помощью трансфинитной интерполяции сеток, связанных с телом, представляющих собой комбинацию крыло-фюзеляж. Аэрокосмическая техника, 1983, т.1, N 5, С.3-12.

66. Томас П.Д. Построение составных трехмерных расчетных сеток на основе решения эллиптических уравнений. Аэрокосмическая техника, 1983, т.1, N4.

67. Шлнхтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712 с.

68. Попов С.А. Математическое моделирование отрывных и нестационарных течений. Электронный журнал "Труды МАИ", 2006, вып. 22, 19 с.

69. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.:Мир, 1986, 184 с.

70. Гольдштейн С. Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости. М.: ГИ ИЛ, 1948, 407 с.

71. Roshko A. On the development of turbulent wakes from vortex streets. -NACA TN-2913, 1953.

72. Gaster M. Vortex Shedding from circular cylinder at low Reynolds numbers. Journ. Fluid Mech., 1971, Vol.46, part.4, P.751-756.

73. Чжен П. Отрывные течения. М.: Мир, 1972-1973, T.l, 300с., Т.2, 280с., Т.З, 334с.

74. Morkovin М. Flow around circular cylinder a kaleidoscope of challenging fluid phenomena. - ASME Symposium on Fully Separated Flows, 1964, P. 102-118.

75. Thom A. The flow past circular cylinders at low speeds. Proceedings of the Royal Society of London Series A, 1933, Vol.141, P.651-669.

76. Wen C.-Y., Yeh C.-L., Wang V.J., Lin C.Y On the drag of two-dimentional flow about a circular cylinder. Phys. Fluids, 2004, Vol.16, N 10, P.3828-3831.

77. Zdravkovich M.M. Flow around Circular Cylinders. Volume I. Oxford University Press, 2003, 674 p.

78. Белоцерковский O.M. Численное моделирование в механике сплошных сред: 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 1994, 448с.

79. Белоцерковский О.М., Белоцерковский С.М., Гущин В.А. Численное моделирование нестационарного периодического течения вязкой жидкости следе за цилиндром. ЖВМиМФ, 1984, Т.24, С. 1207-1216.

80. Рамзи Ч.Л., Томас Дж.Л., Уоррен Г.П., Лью Г.К. Расчеты периодических отрывных течений на основе уравнений Навье-Стокса сл

81. Fornberg G. A numerical study of steady viscous flow past a circular cylinder. Jour. Fluid Mech., 1980, Vol.98, P.819-855.

82. Gervasio P., Saleri F. Stabilized spectral element approximation for the Navier-Stokes equations. Num. Meth. For Partial Differencial Equations, 1998, Vol.14, Nl,P.l 15-141.

83. Cox J.S. Computation of vortex shedding and radiated sound for a circular cylinder subcritical to transcritical Reylonds numbers. Theoret. Comput. Fluid Dynamics, 1998, N 12, P.233-253.

84. Lange C.F., Durst F., Breuer M. Momentum and heat transfer from cylinder in laminar flow. Int. Jour, jf Heat and Mass Transfer, 1998, N 41, P.3409-3430.

85. Baranyi L. Computational of unsteady momentum and heat transfer from a fixed circular cylinder in laminar flow. Jour. Of Сотр. and Appl. Mech., 2003, Vol.4, Nl,P.13-25.

86. White F.M. Fluid mechanics. Third edition, McGraw-Hill, International edition, 1994.

87. Кудинов П.И. Численное моделирование гидродинамики и теплообмена в задачах с конвективной неустойчивостью и неединственным решением. Канд. диссертация по специальности 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы, Днепропетровск, 1999, 229 с.

88. БэтчелорДж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973, 758 с.

89. Ну С., Koterayama W. Numerical study on two-dimensional circular cylinder with a rigid and elastic splitter plate in uniform flow. Proc. Of the Fourth Int.Of. and Polar Eng. Conf., Osaka, Japan, 1994, P.484-490.

90. Gerrard J.H. The mechanics of the formation region of vortices behind bluff bodies. J. Fluid Mech., Vol.25, P.401-413.

91. Sallet D. W. A method of stabilizing cylinders in fluid flow. J. Hydronautics 4, P.40-45.

92. Roshko A. On the drag and shedding frequency of two-dimensional bluff bodies. N.A.C.A., Tech. Note 3169.

93. Harris, Charles D., "Two-dimensional aerodynamic characteristics of the NACA0012 airfoil in the Langley 8-foot transonic pressure tunnel", NASA Technical Memorandum 81927, 1981, 137 p.

94. Cook, P.H., McDonald M.A., Firmin M.C.P. Aerofoil RAE 2822 Pressure Distributions, and Boundary Layer and Wake Measurements. Experimental Data Base for Computer Program Assessment, AGARD Report AR 138, 1979.

95. Мюллер Т.Д., Бэйтилл C.M. Экспериментальные исследования отрыва потока на крыловых профилях при низких числах Рейнольдса. -Ракетная техника и космонавтика, 1982, Т.20, N 5, С. 11-19.

96. Brendel М., Muller T.J. Boundary layer measurements on an airfoil at low Reynolds numbers, J. Aircraft, 1988, Vol.25, P.612-617.r