Численное моделирование пространственных нестационарных течений несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

1. Методика численного интегрирования системы уравнений Навье - Стокса.

1.1. Основные уравнения. Схема расщепления

1.2. Аппроксимация конвективных членов

1.3. Учет эффектов вязкости.

1.4. Граничные условия на поверхности обтекаемого тела.

1.5. Граничные условия на внешних границах расчетной области.

1.6. Приведение полного потока жидкости через внешние границы расчетной области к нулю

1.7. Решение уравнения Пуассона. Граничные условия для давления. 1.8. Исследование устойчивости и аппроксимации

2. Результаты численного моделирования

2.1. Краткая характеристика созданного комплекса программ.

2.2. Течение в кубической каверне

2.3. Пространственное обтекание тонкой прямоугольной пластины под углом атаки

2.4. Перспективность разработанного алгоритма

3. Моделирование нестационарных режимов обтекания неравномерно движущихся тел

3.1. Предварительные замечания.

3.2. Основные уравнения. Схема расщепления

3.3. Модификация методики постановки граничных условий.

3.4. Колебания пластины в покоящейся жидкости

3.5. Колебания пластины в потоке жидкости

3.6. Поворот пластины в потоке жидкости. Плоская и пространственная задачи

В В Е Д Е Н И Е Бурное развитие вычислительной техники и расширение возможностей современных ЭНЛ с одной стороны, совершенствование существующих и разработка новых более экономичных алгоритмов с другой привели к тому, что появился новый метод исследования численный эксперимент [I]. Численный эксперимент должен базироваться на гармоничном сочетании основных аспектов научной проблемы. К таковым относятся: четкое представление о физических особенностях явления; рациональная математическая постановка задачи, позволяющая реализовать экономный численный метод решения; приспособленность всего математического описания явления и численного метода к возможностям ЭВМ [21. Численный эксперимент в ряде случаев может заменить физический или натурный эксперименты, проведение которых является либо практически невозможным, либо дорогостоящт. Все элементы технологической цепочки численного моделирования физических процессов, состоящей из обоснования физико-математической модели, выбора или разработки численного метода и создания работающего комплекса программ, существенно определяют экономичность вычислительного процесса в целом. Несмотря на существующий прогресс в этой области, задача численного моделирования сложных физических явлений еще очень далека от своего завершения. Моделирование на ЭВМ пространственных задач динамики вязкой жидкости и газа на основе уравнений Навье-Стокса является сравнительно молодым, но интенсивно развивающимся направлением вычислительной механики. По оценкам советских и американских специалистов для полного.решения указанных задач требуются мощные суперкомпьютеры с быстродействием до 10 млрд. операций в секунду и практически неограниченной памятью [3]. Стало общепризнанным, что такая производительность может быть достигнута только на ЭВМ новой архитектуры с использованием параллельных процессоров. Однако, ожидать, пока такие машины войдут в практику, было бы непростительной потерей времени. Отработка методики, подбор наиболее перспективных разностных алгоритмов, получение первых приближенных результатов возможны и даже необходимы уже сейчас. Необходимы потому, что с точки зрения современной вычислительной механики, разностная схема является не только аппроксимацией наперед заданного дифференциального, интегро-дифференциального или интегрального уравнения, а представляет собой самостоятельную математическую модель 3 Этой тематике и посвящена настоящая работа. Разработан и реализован на практике алгоритм численного моделирования пространственных течений несжимаемой вязкой жидкости. Особое внимание уделено нестационарным задачам, в которых рассматривается неравномерное движение тел в среде. Моделирование проводится путем прямого численного интегрирования системы уравнений Навье-Стокса, записанных в естественных переменных (скорость V и давление р по методу расщепления. В связи с моделированием пространственных течений, в классическую схему метода [4-7] были внесены следующие изменения 8-10 джя аппроксиглации конвективных членов использованы ориентированные разности, разработана новая эффективная методика постановки граничных условий на внешних границах расчетной области, для решения уравнения Пуассона использован 6 более современный попеременно-треугольный метод Г Ц Проведено численное моделирование и получены основные характеристики следующих гидродинамических задач: пространственного обтекания тонкой прямоугольной пластины под углом атаки; течения вблизи колеблющейся пластины в плоском потоке и покоящейся жидкости; плоского и пространственного обтекания поворачивающейся пластины. В настоящее время существует большое количество методов численного интегрирования системы уравнений Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости. Однако, большая часть этих методов была разработана применительно к решению двумерных задач для уравнений относительно функции тока Y и вихря из [12-15]. Это связано с тем, что при моделировании плоских или осесимметричных течений ("У,«А>)-система 01сазывается, как правило, более экономичной, чем (V,p)-cHCTeма [12]. Для пространственных течений положение существенно изменяется. Более экономичной оказывается уже V p -система, где на каждом временном слое нужно решать только одно уравнение Пуассона, а не три, как это имеет место для трехмерного аналога (V,C*))-CHCTeMH [16-17]. Основная трудность при численном интегрировании системы уравнений Навье-Стокса, записанных в естественных переменных, связана с расчетом поля давления. Один из путей преодоления указанной трудности был разработан на основе введения "искусственной сжимаемости" [18-19], когда вместо уравнения неразрывности использовалось одно из уравнений f/Ъ vv V О или p IVt*)-clwV=o. Такой подход применяется и в настоящее время при моделировании пространственных течений [20-211, хотя его ограниченность очевидна и связана с тем, что уравнение неразрывности аппроксимируется точно только в режиме установления, Значительный успех был достигнут благодаря разработке и совершенствованию методов, типа MAC и его различных модификаций 22-26]. Методам этого типа присуща специфическая конечно-разностная схема и специфическая структура ячейки: давление определяется в центре ячейки, а компоненты скорости в центрах соответствующих сторон. В этих методах в рассмотрение вводятся частицы-маркеры, которые не обладают массой и переносятся со скоростью конвекции. Непосредственно в вычислениях частицы-маркеры не участвуют и во внутренних точках вообще не оказывают обратного влияния на поток. Однако, имея вввду, что метод MAC интенсивно применялся для моделирования течений несжимаемой вязкой жидкости со свободной поверхностью, отметим, что форма свободной поверхности, не известная априори, определялась в процессе счета по положению маркеров. В методе расщепления, разработанном на основе метода MAC, была сохранена специфическая структура ячейки, использована схема расщепленияj лежащая в основе методов PIC [22] и Чорина [18-19]. Первая

I. Разработан и реализован на практике алгоритм для мо делирования пространственных течений несжимаемой вязкой жид кости. Моделирование проводится на основе прямого численного интегрирования системы уравнений Навье-Стокса по методу рас щепления. В связи с переходом к моделированию пространствен ных течений, в классическую разностную схему метода расщепле ния [4,5] были внесены следующие изменения: • Для аппроксимации конвективных членов использованы ориентированные, а не центральные разности. • Постановка граничных условий реализована после перво го, а не после третьего этапа. • Разработана эффективная методика постановки граничных условий на внешних границах расчетной области. В рамках этой методики удается единым образом описать входную, выходную и боковую границы. • Для решения уравнения Пуассона использован поперемен но-треугольный метод. • Переработаны методики учета эффектов вязкости и по становки граничных условий на теле.Все основные новые элементы предложенной разностной схемы метода расщепления заимствованы из различных источни ков и принципиально новыми не являются. Однако, использова ние их в едином алгоритме осуществлено, по-видимому, впер вые. 2. Проведено численное моделирование ряда задач прост ранственного обтекания тонкой прямоугольной пластины под уг лом атаки. Полученные результаты соответствуют физической сущности задачи и согласуются с асшлптотическими оценками.Изучена структура вихревых жгутов, которые образовались в результате сворачивания вихревой пелены, сходящей с острых боковых кромок пластины. Построены профили скорости углово го вращения жидкости в жгутах.3. Показано, что приближенная формула для определения коэффициента подъемной силы, выведенная в теории крыла ко нечного размаха в предположении большого удлинения, может быть использована и при малых удлинениях.4. Продемонстрирована возможность использования метода расщепления для прямого численного моделирования неравномер ного движения пространственных тел в жидкости. Учет эффек тов, связанных с неравномерностью движения, привел к необхо димости некоторой перестройки алгоритма и модификации мето дики постановки граничных условий на внешних границах рас четной области. Предложенная модификация "открытых гранич ных условий" ранее в доступной литературе не встречалась.5. С помощью разработанного алгоритма построены матема тические модели и получены основные характеристики следующих гидродинамических задач: • Колебаний пластины в покоящейся жидкости, • Колебаний пластины в потоке жидкости. • Плоского и пространственного обтекания поворачивающей ся пластины. Задача такого типа в пространственной постанов ке решена, по-видимому, впервые.6. Получены соотношения для определения нестационарных

значений коэффициента подъемной силы в зависимости от угла атаки, скорости углового вращения и (для плоской задачи) ее производной. Показано, что относительное влияние нестационар ных эффектов для пространственных задач существенно больше, чем для плоских.

1. Белоцерковский О.М. Вычислительный эксперимент. Прямое численное моделирование сложных течений газовой динамики на основе зфавнений Эйлера, Навье-Стокса и Больцмана. В кн.: "Прямое численное моделирование течений газа". М., ВЦ АН СССР, 1978, с. 6-64.

2. Белоцерковский С М Ништ М.И, Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М., "Наука", 1978, 352 с. 3.. Яненко Н.Н. Проблемы вычислительной механики. В кн.: "Численные методы динамики вязкой жид1гости" (Труды IX Всесоюзной школы-семинара). Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1983, с. 3-13.

3. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, т. 15, В I, с. 197-207.

4. Гущин В.А. Пространственное обтекание трехьерных тел потоком вязкой жидкости. Ж. вычисл. матем. и матем, физ., 1976, т. 16, В 2, с. 529-534.

5. Гущин В.А., Щенников В.В. Решение задач динамики вязкой несжимаемой жидкости методом расщепления. В кн.: "Прямое численное моделирование течений газа". М., ВЦ АН СССР, 1978, с. II4-I33. 7. гущин В.А. Численное исследование обтекания тела ко6. Рыков В.В. Численное моделирование пространственных течений несжимаемой вязкой жидкости. Сообщения по прикл. матем. М., ВЦ АН СССР, 1983, 32 с.

7. Рыков В.В, Пространственное обтекание тонкой пластины потоком несжимаемой вязкой жидкости. В кн.; "Численные методы динамики вязкой жидкости" (Труды IX Всесоюзной школы-семинара). Новосибирск, Й Т Ш СО АН СССР, 1983, с. 278-281.

8. Рыков В.В. Численное моделирование нестационарных течений несжимаемой вязкой жидкости. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1985, т. 25, 1 5. П Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М., "Наука", 1978, 592 с.

9. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М., "Мир" 1980, 616 с.

10. Браиловская И.Ю., Кускова Т.В., Чудов Л.А. Разностные методы решения уравнений Навье-Стокса (обзор). В кн.: "Вычислительные методы и программирование". Вып. XI. М., МХУ, 1968, с. 3-18. 14. 1ин В.А., Щенников В.В. Об одном численном методе решения уравнений Навье-Стокса. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1974, т. 14, 2, с. 512-520.

11. Полежаев В.И., Грязнев В.Л. Метод расчета граничных условий дяя уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь функция тока". Докл. АН СССР, 1974, т. 219, В 2, с. 301-304.

12. Aziz К., Heliums J.D. Wviraerical solution of the threedimensional equations of motion for laminar natural convection, Phys. Fluids, 1967, v. 10, N 2, p. 314-324.

13. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible flow problems. J. Comput. Phys,, 197, v. 2, N.l, p. 12-26.

14. Chorin A.J. Numerical solution of Navier-Stokes equations. Math, of Computation, 19б8, v. 22, Ж 104, p. 745-762. 20. Liu U.S., Krause E. Calculation of incompressible viscous flows in vessels with moving boimdaries. Acta Mechanica, 1979, v. 33, N 1, p. 21-32.

15. Krause E., Shi X.-G., Hartwich P.-M. Computatin of leading edge vortices. AIAA Paper 83-1907, 1983, p. 154-162.

16. Harlow P.H., Welch J.E. Numerical calculation of timedependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. Phys. Fluids, 1965, v. 8, N 12, p. 2182-2189.

17. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродиншлИЕИ. В кн.: "Вычислительные методы в гидродинамике". М., "Мир", 1967, с. 316-342.

18. Hirt C.W., Harlow F.H. А general corrective procedure for the numerical solution of initial-value problems. J. Comput. Phys., 1967, V. 2, N 2, p. 114-119.

19. Amsden A.A., Harlow F.H. A simplified MAC te.chnique for incompressible fluid flow calculations. J. Comput. Phys., 1970, V. 6, N 2, p. 322-325.

20. Easton C.R. Homogeneous boiindary conditions for pressure in the MAC method. J. Comput. Phys., 1972, v. 9, N 2, p. 375-379.

21. Orlanski I. A simple boundary condition for unbounded hyperbolic flow. J. Goraput. Phys., 1976, v. 21, N 3, p. 251-269. 28. Han T.Y., Meng J.C.S., Innis G.E. An open boundary condition for incompressible stratified flows. J. Comput. Phys., 1983, V. 49, N 2, p. 276-297.

22. Goda K. A multistep technique with implicit difference scheras for calculating two- or three-dimensional cavity flows. J. Comput. Phys., 1979, v. 30, N 1, p. 76-95.

23. Burggraf O.R. Analytical and mmierical studies of the structure of steady separated flow. J. Fluid Mech., 1966, V. 24, N 1, p. 113-151.

24. Shay W.A. Development of a second order approximation for the Wavier-Stokes equations. Comput. and Fluids, 1981, V. 9, N 3, p. 279-298.

25. Gupta M.M. A comparison of niomerical solutions of convective and divergence forms of the Navier-Stokes equations for the driven cavity problem. J. Comput. Phys., 1981, v. 43, N 2, p. 260-267.

26. Чаплыгин C.A. Избранные работы по теории крыла. М.Л., Гостехиздат, 1949, 275 с.

27. Голубев В.В. Лекции по теории крыла. М., Гостехиздат, 1949, 480 с.

28. Валландер С В Лекции по гидроаэромеханике. Л., ЛГУ, 1978, 296 с.

29. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 2, перераб. М., "Наука", 1978, 736 с.

30. Белоцерковский С М Расчет обтекания крыльев произволь31. Белоцерковский РЛ., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке газа.-М., "НазпЕса", I97I, 768 с.

32. Белоцерковский С М Ништ М.И. Нестационарная нелинейная теория тонкого крыла произвольной формы в плане. Известия АН СССР, Механика жидкости и газа, 1974, i 4, с. 100-108.

33. Bulgarelli U., Casulli V., Greenspan D. Numerical solution of the three-dimensional, time dependent NavierStokes equations. Notes Numer. Fluid Mech., 1984, v. 7» N 1, p. 25-31.

34. Gresho P.M., Chan S.T,, Lee R.L., Upson C D A modified finite element method for solving the time dependent incompressible Navier-Stokes equations. Part 1: theory. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 1984, v. 4, N 6, 557-598.

35. Yang Chien-Tung, Satua N.A. An "assiimed deviatoric stress-pressure-velocity" mixed finite element method for unsteady convectjve incompressible studees. Int. J. Nxmer. Meth. Fluids, 1984, v. 4, N 1, p. 43-69.

36. Kessler R. Solution of the three dimensional, time dependent Navier-Stokes equations using a Galerkin method. Notes Numer. Fluid Mech., 1984, v. 7, p. I6I-I68.

37. Arguris J.H. ,Doltsinis J.St. ,Pimenta P.M. ,V/ustenberg H. Natural finite element techniques for viscous fluid motion. Сотр.Meth. Appl. Mech.and Engin., 1984, v.45, N 1, p. 3-55.

38. Skerget P.,Alujevie A. Boundary integral method for viscous incompressible fluid flow. Strojn. Vestn., 1983, v. 29, N 10-12, p. E1-E4. 46. Wu J.C. Hubrid procedures for computing general viscous

39. Войнович П.А., Фурсенко A.A. Метод глобальных итераций для расчета смешанных течений вязкого газа. Дифференц, ур. 1984, т. 20, В 7, с. II5I-II56.

40. Рыжов О С Терентьев Е.Д. О следе за несущим телом в вязкой жидкости. Ж. прикл. мех. и тех. физ., 1980, В 5, с. 83-91. 50. Мс. Croskey W.J. Some curent research in unsteady fluid dynamics the 1976 Freedman schoolar lecture. Tranc. of the ASME, ser. I. J. of Fluids Engin., 1977, v. 99, N 1, p. 8-38.

41. Прингл Дж. Полет насекомых.-М., Ш," 1963, 179 с.

42. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. М., "Шр", 1980, 550с.

43. Bennet L. Insect flight: lift and rate of change of incidence. Science, 1970, v. 167, p. 177-179.

44. Lighthill M.J. On the Weis-Fogh mechanism of lift generation. J. Fluid Mech., 1973, v. 60, N 1, p. 1-17.

45. Cloupeam M., Devillers J.F. Unsteady effect in the flight of an insect. Arch. Mech., Warshava, 1980, v. 32, N 5, p. 645-653.

46. Geissler W., Kienappl K. Investigations of the incompressible flow around an oscillating elipsoid. Arch. Mech., Warshava, 1980, v. 32, N 5, p. 675-685.

47. Курьянов А.И., Столяров Г.И., Штеинберг Р.И. О гистерезисе аэродинамических характеристик. Уч. зап. ЦАГИ, 1979, т. X, В 3, с. 12-15.

48. Белоцерковский С М Гуляев В.В., Ништ М.И. О механике образования нормальной силы при взмахе крыльев. В кн.: "Избранные проблемы прикладной механики". М.,"Наука",1974,с.97-102.

49. Белоцерковс1Шй М., Гуляев В.В., Ништ М.И. К изучению полета насекомых и птиц. Доклады АН СССР, 1974, т. 219, J 3, с. 567-570.

50. Захаренков М.Н. Расчет обтекания вращающегося и колеблющегося элиптического цилиндра потоком вязкой несжимаемой жидкости. Числ. методы мех. сплош. среды, Новосибирск, 1984, т. 15, i I, с, 45-59.

51. Sankar N.L., Wu J.С. Viscous flow around oscillating airfoil 10 p.

52. Bram van Leer. Towads the ultimate conservative difference scheme. II. Monotonicity and conservation combined a numerical study. AIAA Paper 78 1225, 1978, in second-order scheme. J. Comput. Phys., 1974> v. 14, N 4» p. 361-370.

53. Холодов A.С. 0 построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа.-Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1978, т. 18, В 6, с. I476-I492.

54. Холодов А.С. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1980, т. 20, В 6, с. I60I-I620.

55. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И., Тушева Л.А., Федотова З.И. Классификация разностных схем одномерной газовой динамики методом дифференциального приближения. Числ. методы мех. сплош.

56. Tsai Т., Nabil Е.М. А comparative study od central and upwind difference schemes using the primitive variables. Int. J. Numer. Meth. in Fluids, 1983,v. 3, N 3, p. 295-305. 67. De Vahl Davis G., Mallinson G.D. An evaluation of upwind and central difference approximations by a study of recirculating flow. Сотр. and Fluids., 1976, v. 4, N 1, p. 29-43.

57. Самарский A.A. Теория разностных схем. М., "Назгка", 1977, 656 с.

58. Годунов O.K., Рябенький B.C. Разностные схемы. М., "Наука", 1977, 440 с.

59. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М., "Мир", 1975, 392 с.

60. Allen J.S., Sheng S.I. Numerical solution of the compressible Wavier-Stokes equations for the laminar near wake. Phys. Fluids, 1970, v. 13, N 1, p. 37-52.

61. Яненко H.H., Шокин Ю.И. 0 корректности первых дифференциальных приближений разностных схем. Докл. АН СССР, 1968, т. 182, В 4, с. 776-778.

62. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск, "Наука", 1979, 221с.

63. Яненко Н.Н., Ковеня В.М. Разностная схема для решения многомерных уравнений газовой динамики. Докл. АН СССР, 1977, т. 232, В 6, I273-I276.

64. Ковеня В.М. Применение метода расщепления для построения экономичных разностных схем. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1980, т. 20, А5 3, 702-715.

65. Ковеня В.М.", Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах

66. Lugt H.J., Ohring S. Rotating elliptic cylinder in a viscous fluid at rest or in a parallel stream. J. Fluid Mech., 1977, V. 79, N 1, p. 127-156.

67. Lugt H.J., Autorotation of an elliptic cylinder about an axis perpendicular to the flow. J. Fluid Mech., 1980, V. 99, N 4, p. 817-840.

68. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T.I. М., "Наука", 1973, 536 с.