Динамика поведения несжимаемой двухфазной смеси под действием силы тяжести тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

на правах рукописи

Трофимова Алиса Владимировна

Динамика поведения несжимаемой двухфазной смеси под действием силы тяжести

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

доцент Б. В. Куксенко

Москва 1998

V ' I

Оглавление

Обозначения ............................... 5

Введение ................................. 8

1 Обзор теории седиментации в двухфазных средах 13

2 Моделирование несжимаемой двухфазной среды 23

2.1 Двумерная нестационарная двухскоростная модель динамики поведения твёрдых частиц в несжимаемой жидкости

под действием силы тяжести .................. 24

2.1.1 Физическая постановка задачи............. 24

2.1.2 Вывод уравнений сохранения и переноса....... 25

2.1.3 Скорости жидкой и твёрдой фаз............ 29

2.1.4 Уравнение для диффузионного потока в приближении Стокса......................... 30

2.1.5 Уравнение для диффузионного потока в случае нелинейной формулы сопротивления........... 32

2.1.6 Полная система уравнений движения двухфазной среды в цилиндрической системе координат в приближении Стокса......................... 34

2.1.7 Полная система уравнений движения двухфазной среды в цилиндрической системе координат в случае нелинейной формулы сопротивления ....... 35

2.1.8 Условия применимости постановки задачи в приближении Стокса....................... 36

2.1.9 Число Рейнольдса для задачи в случае нелинейной формулы сопротивления................. 36

2.1.10 Приведение системы уравнений задачи к безразмерному виду в приближении Стокса ........... 37

2.1.11 Приведение системы уравнений задачи к безразмерному виду в случае нелинейной формулы сопротивления ............................ 42

2.2 Обобщение математической модели на случай N фаз .... 45

2.3 Выводы............................... 50

3 Численное моделирование монодисперсной несжимаемой

двухфазной среды. 52

3.1 Конечно-разностная схема аппроксимации поля течения несжимаемой среды.......................... 53

3.2 Алгоритм решения задачи на основе использования процедуры SIMPLE........................... 56

3.2.1 Улучшение приближённого поля решения задачи за счёт поправок скорости и давления .......... 56

3.2.2 Схема решения задачи (алгоритм SIMPLE)...... 58

3.3 Решение уравнений неразрывности и движения на основе метода расчёта переноса с коррекцией потоков (FCT) ... 59

3.3.1 Многомерный расчёт на основе использования методики расщепления временного шага.......... 59

3.3.2 Решение одномерных уравнений сохранения в радиальном направлении по методу FCT.......... 61

3.3.3 Решение одномерных уравнений сохранения в осевом направлении по методу FCT............ 68

3.4 Решение уравнения Пуассона методом последовательной верхней релаксации (SOR) ...................... 70

3.5 Решение уравнения для диффузионного потока по неявному методу Эйлера . . . . ........................ 75

3.6 Численный алгоритм решения задач.............. 76

3.7 Выводы............................... 78

4 Исследование влияния начальных условий на динамику по-

ведения монодисперсных несжимаемых смесей 79

4.1 Задача I. Дисперсная фаза в начальный момент сосредоточена в объёме в форме уплощённого цилиндра....... 80

4.2 Задача II. Дисперсная фаза в начальный момент сосредоточена в объёме в форме удлинённого цилиндра ......111

4.3 Задача III. Дисперсная фаза в начальный момент сосредоточена в цилиндрическом слое у внешней границы......126

4.4 Задача IV. Дисперсная фаза в начальный момент распределена однородно.........................133

4.5 Задача V. Дисперсная фаза в начальный момент с пузырём

в форме удлинённого цилиндра.................137

4.6 Задача VI. Дисперсная фаза в начальный момент располагается вне границы, которая имеет форму параболоида вращения..............................139

4.7 Выводы...............................141

Заключение................................142

Литература ...............................143

Обозначения

Ar - число Архимеда; AX,j - источник as по оси х;

ARij - источник as по оси г; —*

fi - вектор плотности внешних массовых сил г-ой фазы; —

Fsf - сила сопротивления; Ff - сила тяжести; Far - сила Архимеда;

g - вектор ускорения силы тяжести, м/с2; Gs - тензор напряжений в твёрдой фазе; G| - тензор напряжений в жидкости; G; - тензор напряжений г-ой фазы; Ga - число Галилея; hx - шаг сетки по оси х; hr - шаг сетки по оси г; ht - полшага по времени;

Js - диффузионный поток частиц, кг/(м2 • с);

Jс - квазистационарный диффузионный поток частиц, кг/(м2 • с); Jl - диффузионный поток жидкости, кг/(м • с); Ji - диффузионный поток ¿-ой фазы, кг/(м2 • с);

Jf - квазистационарный диффузионный поток г-ой фазы, кг/(м2 • с);

т - масса частицы;

т' - присоединённая масса частицы;

пх - число точек по оси х;

пг - число точек по оси г;

р - давление смеси, Ра;

Ri - поток импульса в жидкости;

Rs - поток импульса в твёрдой фазе; —*

Ri - поток импульса г-ой фазы; Т - тензор диффузионных напряжений, Ра; R - радиус частицы, м; Re - число Рейнольдса;

Re0g - число Рейнольдса в задаче с общей формулой сопротивления; Re cm ~~ число Рейнольдса в задаче в стоксовом приближении; го - размер цилиндрического сосуда по оси г; rs - узлы сетки по оси г для v; гр - узлы сетки по оси г для р; t - время, с;

и - составляющая скорости смеси v по х\ UXy - источник и по оси х; URy - источник и по оси г;

v - вектор среднемассовой скорости смеси, м/с;

v - составляющая скорости смеси г/ по г;

vs - вектор скорости твёрдой фазы, м/с;

vl ~ вектор скорости жидкости, м/с;

vj - вектор скорости г-ой фазы, м/с;

VXy - источник v по оси х;

VRy - источник v по оси г;

xq - размер цилиндрического сосуда по оси х;

xs ~ узлы сетки по оси х для и;

хр - узлы сетки по оси х для р\

Z - отношение продольного к поперечному размеру задача; as - объёмная концентрация частиц твёрдой фазы; а[ - объёмная концентрация жидкости; ам ~ максимально допустимая концентрация частиц; Qijv ~ объёмная концентрация частиц, выше которой проявляется взаимодействие между ними; оц - объёмная концентрация г-ой фазы; р - плотность среды, кг/м3;

pi - приведённая плотность жидкости (масса фазы в единице объёма смеси), кг/м3;

ps - приведённая плотность твёрдой фазы частиц, кг/м3;

pi - приведённая плотность ¿-ой фазы (масса фазы в единице объёма

смеси), кг/м3;

Р\ - истинная плотность жидкости (масса фазы в единице объёма, занимаемого только жидкой фазой), кг/м3;

0 / я

р3 - истинная плотность частицы, кг/м ;

о ,

Р{ - истинная плотность г-ои фазы (масса фазы в единице объема, занимаемого только г-ой фазой), кг/м3; Ар - разность истинных плотностей фаз; ¡1 - динамический коэффициент вязкости, Ра- с; т - время релаксации скорости твёрдой фазы;

г - время релаксации нестационарного диффузионного потока твёрдой фазы;

- вектор скорости диффузии частиц твёрдой фазы, м/с; (1;/ - вектор скорости диффузии жидкости, м/с; Со1 - вектор скорости диффузии частиц г-ой фазы, м/с; ь> - кинематический коэффициент вязкости, м2/с; Т5 - объём частицы твёрдой фазы, м3.

Введение

В последнее время при детальном изучении различных природных явлений и технологических процессов появляется все более острая необходимость в применении высоких технологий, базирующихся на использовании достаточно адекватных (согласованных с опытом) математических моделей этих явлений и процессов. При построении качественных математических моделей требуются более глубокое знание моделируемого объекта (явления, процесса), его пространственно - временного состояния в различных ситуациях, нахождение и использование современных методов исследования для изучения и расшифровки механизма взаимодействия различных фаз этих объектов. Здесь же в свою очередь возникает целый ряд проблем корректного учета основных принципов формирования и законов функционирования исследуемых моделей. Это прежде всего законы изменения количества движения в исследуемых средах, сохранения массы, энергии и т.п., а также информация при численном решении, как правило, нелинейных задач.

Постановка новых, сложных задач гидродинамики требует совершенствования способов исследования как на этапе теоретического описания состояния гетерогенных сред, так и на этапе построения численных алгоритмов, обеспечивающих устойчивое решение системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. При этом актуальными являются теоретические и программно - алгоритмические разработки, позволяющие выполнить моделирование многофазных сред. Использование метода расчёта переноса с коррекцией потоков (FCT) и процедуры SIMPLE (Semi - Implicit Method for Pressure - Linked Equation -полунеявный метод для связанных через давление уравнений) позволяет проводить численное воспроизведение пространственно - временных изменений, поведения несжимаемой двухфазной среды с приближением к реальной ситуации. Этим вопросам посвящена данная работа.

Целью работы являются теоретические и вычислительные исследования, которые дают возможность корректно решать задачу моделирования достаточно сложной многофазной среды на примере динамики

поведения твёрдых частиц в несжимаемой жидкости под действием силы тяжести и получения достоверных результатов, объясняющих механизм взаимодействия фаз под влиянием определённых внешних и внутренних факторов исследуемой гетерогенной среды.

В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие основные задачи:

- методологически последовательная постановка задачи движения несжимаемой двухфазной среды на основе построения системы нелинейных дифференциальных уравнений в дивергентной форме и её обобщение на iV-фаз;

- разработка численного метода решения задачи движения монодисперсной среды в поле силы тяжести на основе использования алгоритмов FCT (метода расчета переноса с коррекцией потоков) и SIMPLE (процедуры улучшения приближенного решения за счет применения корректирующих поправок скорости и давления);

- исследование результатов решения задачи движения монодисперсной смеси под действием силы тяжести при разных начальных геометрии и распределении концентраций твердых частиц, различающихся по своим размерам и плотностям.

Научная новизна:

- разработана новая нестационарная двухскоростная модель движения несжимаемой монодисперсной суспензии в поле силы тяжести; общим случаем такой модели является модель движения полидисперсной iV-фазной несжимаемой среды;

- в разработанной модели используется только одно уравнение импульсов для смеси, а недостающая информация получена с помощью моделирования диффузионных потоков в двух вариантах: с релаксацией и без нее;

- сила сопротивления движению частиц твёрдой фазы связывается с относительной скоростью и моделируется силой Стокса, более общей формулой;

- впервые рассматриваемая задача представлена в безразмерных пере-

менных; при этом сформулировано условие подобия движения двух несжимаемых двухфазных смесей;

- на основе использования процедур SIMPLE и FCT разработан комплекс алгоритмов и программ, реализующий численное решение задачи конечно-разностными методами; разработана методика решения задачи (ее нулевое приближение), благодаря использованию которой представляется возможность реализовать решение некоторых типовых задач, близких к исследуемой.

- изучена динамика поведения несжимаемой монодисперсной среды на ряде задач, различающихся по начальным данным и параметрам изучаемых сред.

Практическая значимость работы состоит в реализации теоретических исследований и методических выводов в виде рабочих алгоритмов и программ, которые дают возможность решать задачи моделирования движения несжимаемых моно- и полидисперсных сред в поле силы тяжести и на этой основе получить результаты, позволяющие прогнозировать поведение несжимаемых многофазных сред и объясняющие механизм взаимодействия различных по своим характеристикам фаз.

Существующее многообразие частиц с различным гранулометрическим составом (с диапазоном размеров от небольших молекул до обыкновенных песчинок и сравнительно мелких обломков различных горных пород и минералов, видимых невооружённым глазом), а также белковые молекулы, вирусы, синтетические полимеры, коллоидные частицы и т.п., ха-рактеризующеся определёнными размерами и определёнными свойствами - все это примеры в том или ином приближении объектов для исследований, проводимых в настоящей работе. Гидродинамический подход к анализу взаимодействия таких частиц и их движения служит универсальным ключом к пониманию различных пространственно-временных изменений состояния сложных гетерогенных систем.

Разработанная методика и подход к решению задачи исследований, характеризующиеся своей фундаментальной направленностью, позволяют, в принципе, решать целый спектр типовых задач, которые могут иметь

большое практическое значение. Многие технологические процессы связаны с производством порошкообразного продукта, который необходимо отделять от жидкости, в которой он взвешен. Это, например, производство цинковых белил и сажи. Во многих отраслях промышленности встречается процесс гравитационного и центробежного осаждения концентрированных суспензий частиц в жидкости (например, в производстве пива, бумаги). Кроме того, это возможность решать (после соответствующей адаптации математической системы дифференциальных уравнений в частных производных) задачи в области:

- инженерной геологии, гидрогеологии и экологии водных бассейнов (изучение режима оползневого процесса и его пространственно - временной прогноз; прогнозирование и контроль качества подземных вод, ликвидация их загрязнения);

- динамической и структурной геологии (изучение на геодинамических моделях условий седиментации осадков, древних обстановок осад-конакопления);

- нефтяной индустрии (моделирование с использованием скважинных и сейсмических методов исследования природных резервуаров пород -коллекторов, заполненных подвижным флюидом: нефтью, газом и пластовой водой с целью оптимизации процесса извлечения - добычи углеводородного сырья) и т.п.

Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов обеспечивается применением в исследованиях общих уравнений механики многофазных сред и подтверждается хорошим соответствием получаемых результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции и Чебышевских чтений, посвящённых 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева (Москва, 1996). В целом диссертационная работа обсуждалась на семинарах: кафедры газовой и волновой динамики МГУ (Москва, рук. акад. Е.И.Шемякин); кафедры аэромеханики МГУ (Москва, рук. акад. Чёрный Г.Г.)

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы, содержит 149 страниц, включая 254 рисунка.

В первой главе дается обзор по теории седиментации двухфазной среды жидкость - твёрдые частицы. Во второй главе построена математическая модель поведения твёрдых частиц в несжимаемой жидкости под действием силы тяжести, и она обобщена на случай N фаз. Третья глава посвящена разработке численного моделирования монодисперсной среды. В четвёртой главе продемонстрировано решение поставленной задачи с различными начальными параметрами: геометрическими особенностями, плотностными характеристиками и исходной концентрацией -распределением твёрдой фазы.

Автор считает приятным долгом выразить благодарность кандидату физико - математических наук Б.В.Куксенко за научное руководство и помощь на всех этапах выполнения работы. Автор выражает глубокую признательность сотруднику лаборатории волновых процессов МГУ В.Ф.Никитину за помощь и за то большое влияние, которое он оказал как при построении математической модели, так и при подготовке программ вычисления и визуализации, которые легли в основу настоящей работы.

Автор приносит благодарность доктору физико - математических наук Н.Н.Смирнову, кандидату физико - математических наук В.М.Генду-гову, кандидату физико - математических наук Л.А.Алании за консультации и полезные замечания при обсуждении отдельных разделов диссертации. Особую благодарность автор выражает доктору физико - математических наук А.Н.Чувырову за внимание и поддержку работы. Самую глубокую признательность и благодарность автор выражает своей семье за любовь, терпение, выдержку и понимание.

Глава 1

Обзор теории седиментации в двухфазных средах

Изучение природных явлений, в том числе различных гидродинамических систем, вызывает необходимость в расширении представлений о уже существующих математических моделях, их свойствах, решениях и т.д.

Известно что, двухфазные течения несжимаемой среды важны для решения широкого круга задач. Например, это такие задачи, которые позволяют изучить поведение взвешенной зерновой или угольной пыли, капель и аэрозолей, горение топлива, образование кокса, сажи и дыма, дождя и процессов осаждения различных веществ в жидкостях. Такие смеси широко используются в большом количестве апп�