Математическое моделирование волновых явлений в дисперсных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА I ОБОБЩЁННО-РАВНОВЕСНАЯ МОДЕЛЬ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЫ

1.1 Основные соотношения модели.

111 Изоэнтропа и ударная адиабата многокомпонентной смеси.

112 Дифференциальные уравнения модели.

1.2 Одномерные нестационарные течения дисперсной среды.

121 Характеристики и условия совместности бинарной смеси с одним несжимаемым компонентом.

122 Характеристическое уравнение многокомпонентной смеси.

123 Изоэнтропические течения дисперсной среды и инварианты Римана.

124 Распад произвольного разрыва в многокомпонентной смеси.

125 О корректности задачи Коши для обобщённо-равновесной модели.

1.3 Стационарные течения многокомпонентной смеси.

131 Интеграл Бернулли для дисперсной среды.

1.32 Бинарная смесь с одним несжимаемым компонентом.

133 Смесь двух или более сжимаемых фракций.

1.4 Численные методы расчёта течений дисперсной среды.

14.1 Метод характеристик для обобщённо-равновесной модели.

142 Примеры расчётов течений, выполненные методом характеристик.

143 Метод С.К.Годунова для дисперсной среды.

144 Модификации Колгана, Копчёнова-Крайко для двухфазной среды.

ГЛАВА II ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЕНООБРАЗНЫХ СРЕДАХ

2.1 Моделирование в рамках равновесной модели пены.

211 Основные соотношения модели и сравнение с другими моделями пены.

2.12 Отражение воздушной ударной волны от слоя пены.

2.1.3 Особенности взаимодействия воздушных ударных волн со вспененными полимерами.

2.1.4 Распространение и взаимодействие уединённых волн (солитонов) в пенах.

2.1.5 Сильные сферические и цилиндрические ударные волны в дисперсной среяе.

2.1.6 Истечение дисперсной среды в вакуум.

2.1.7 Течение типа Прандтля-Майера для дисперсной среды.

2.18 Сверхзвуковое течение дисперсной среды около конуса.

2.1.9 Распад разрыва в дисперсной среде при различной симметрии движения.

2.2 Моделирование в рамках дискретной модели пены.

2.2.1 Основные соотношения модели.

2.22 Преломление воздушной ударной волны слоем пены.

22.3 Отражение воздушной ударной волны от слоя пены.

2.2.4 Волны разгрузки в пенах.

ГЛАВА ill ВОЛНЫ В ПУЗЫРЬКОВЫХ ЖИДКОСТЯХ

3.1 Равновесная модель пузырьковой жидкости.

3.1.1 Основные соотношения модели.

3.1.2 Сравнительный анализ равновесных моделей пузырьковых жидкостей.

3.13 Прямые и отражённые ударные волны в пузырьковых жидкостях.

3.1.4 Регулярное отражение ударной волны от преграды в пузырьковой жидкости.

3.1.5 Течение пузырьковой жидкости около клина.

3.2 Взаимодействие ударных волн С пузырьковыми экранами.

32.1 Автомодельное решение для ступенчатой нагрузки.

3.22 Численные расчёты для протяженной волны.

323 Падение короткого импульса на экран.

32.4 Действие ударной волны на экран, расположенный у преграды.

3.2.5 Взаимодействие воздушных ударных волн со слоем пузырьковой жидкости.

3.2.6 Взаимодействие ударной волны с экраном из крупных пузырей.

3.3 Удар капли (струи) пузырьковой жидкости о преграду.

3.3.1 Одномерные расчёты.

33.2 Удар по жёсткой преграде с присоединённым скачком уплотнения.

333 Косой удар сферической капли пузырьковой жидкости по деформируемой преграде.

3.3.4 Численное моделирование удара.

3.4 Взаимодействие ударных волн с каплями пузырьковой жидкости.

3.4.1 Дифракция воздушной ударной волны на сферической капле пузырьковой жидкости.

3.42 Численное моделирование взаимодействия ударной волны с отдельными каплями пузырьковой жидкости.

3.43 Взаимодействие воздушной ударной волны с капельным экраном.

в настоящее время для ряда отраслей современной техники актуальна проблема подавления мопщых ударных или детонационных волн. Внимание к этой проблеме обусловлено необходимостью создания надежных средств защиты, обеспечиваюпщх безопасность труда и технологического оборудования. Один из возможных способов решения проблемы снижения импульсного воздействия ударных волн связан с использованием экранируюпщх свойств пенообразных (на жидкой основе) или пеноподобных, например, из пенополиуретана, экранов. В частности, пенные среды находят широкое применение для гашения ударных волн при сварке взрывом, при проведении демонтажных работ взрывным способом, угледобьгае. В последнем случае пена, покрывающая поверхность угля, не только снижает давление взрывной волны, но и улавливает угольную пыль, уменьшая вероятность её взрыва. В целом пена может понизить давление при взрыве на 90Уо [105]. Отметим также эффективность применения пузырьковых Экранов, которые используются для запщты от действия мощных подводных волн [55, 162]. Вместе с тем, используемые в литературе модели в ряде случаев не позволяют с приемлемой точностью рассчитать волновые процессы в подобных средах, поэтому разработка новых моделей является актуальной проблемой. Заметим, что в пенных или пузырьковых средах отсутствует скольжение (в малом объёме) компонентов смеси относительно друг друга. Передача возмущений в подобных средах обусловлена взаимной деформацией компонентов смеси.

Цель работы, направленная на решение фундаментальной проблемы из области механики гетерогенных сред, а именно, - на разработку общей теории движения односкоростных многокомпонентных гетерогенных смесей, связана с построением математических моделей среды, адекватно описываюпщх поведение многокомпонентных смесей, включая разработку эффективных численных методов расчёта многомерных течений. Исследование волновых процессов в пузырьковых, пенных, капельных системах и других подобных структурах, актуальное как с практической, так и с научной точек зрения, составляет важное направление в рамках указанной проблемы.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

• формулировка модели в наиболее общей форме в виде замкнутой системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающей движение односкоростных гетерогенных смесей, состоящих из произвольного числа сжимаемых и несжимаемых фракций, которую в дальнешпем будем называть обобщённо-равновесной моделью;

• изучение обпдах свойств зфавнений модели, к которым относятся локализация областей устойчивости решений по отношению к малым возмущениям в начальных данных, а также вопросы, связанные с однозначной разрешимостью задачи Коши;

• поиск аналитических решений уравнений модели;

• разработка эффективных численных алгоритмов для расчёта нестационарных пространственных течений многокомпонентных сред;

• применение разработанных аналитических и численных методов к решению конкретных задач, описываемых уравнениями обобщённо-равновесной модели, и, в частности, к пенным и пузырьковым средам.

В значительном числе работ при описании волновых процессов в дисперсных средах используются уравнения совершенного газа [4 - 5, 25, 28 - 30, 120, 160, 163, 190], в которых вместо показателя адиабаты газа у рассматривается обобщенный показатель адиабаты смеси Г, опредежемый или из теоретических соображений, или из эксперимента. При этом возникают различного рода трудности, которые не всегда удаётся разрешить.

В предлагаемой модели принято, что движение каждой фракции описываются уравнениями газодинамического типа, поэтому общее количество уравнений модели пропорционально числу фракций в смеси. Рассматриваемая модель односкоростной многокомпонентной среды является более совершенной по сравнению, например, с моделью Ляхова [89 - 93], в рамках которой в процессе вычислений остаются неизвестными текущие значения истинных плотностей составляющих смеси, а также их объёмные доли. В рассматриваемой модели за счет добавления соответствующих дифференциальных уравнений упомянутые выше переменные оказываются известными, что позволяет, например, при дальнейшей модификации модели, учесть межфазный теплообмен и возможные фазовые превращения. Кроме того, в модели Ляхова ударные переходы рассчитываются приближённо, так как при их описании используются изоэнтропические соотношения. В обобщённо-равновесной модели отсутствуют какие-либо дополнительные параметры, которые вводятся в ряде других моделей для согласования расчётных и экспериментальных данных. Например, в модели пены из [29] используется параметр то - характерное время тепловой релаксации смеси, определяемый из взрывного эксперимента.

При исследовании рассматриваемых в работе задач используются аналитические и численные методы. Первые имеют ограниченную сферу приложения, так как используемые в работе уравнения достаточно сложны и лишь в отдельных случаях решение удаётся получить в виде квадратур, или же свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой существенно проще исходной. Заметим, что с увеличением числа фракций в смеси задача с математической точки зрения становится всё более сложной и те приёмы, с помощью которых задача сводилась к автомодельной, зачастую оказываются неприменимы. Это относится, например, к задаче о распространении сильной ударной волны по дисперсной среде при наличии симметрии движения. Численные методы являются более мопщым и универсальным средством исследования. Метод конечных разностей, в основном используемый для численного решения уравнений модели, состоит в сведении исходной задачи к системе алгебраических уравнений и их последующего решения, что является достаточно трудоёмкой процедурой. Решение конечноразностных уравнений лишь в предельном случае измельчения сетки переходит в решение исходной системы дифференциальных уравнений, однако, вследствие ограниченности ресурсов ЭВМ, предел этот никогда не достигается и приходится довольствоваться численными решениями, полученными на достаточно «грубых» сетках. Численный эксперимент, как и физический, позволяет получать лишь дискретные наборы интересуемых параметров, не устанавливая между ними функциональных зависимостей и, следовательно, не может заменить аналитических методов. Вычислительный эксперимент может существенно сократить потребность в физическом эксперименте, а в некоторых случаях и заменить его.

Научная новизна и значимость результатов диссертационной работы состоит в следующем.

1. Предложена обобщённо-равновесная модель гетерогенной среды, сформулированная в виде замкнутой системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая течения односкоростных многокомпонентных смесей, состояпщх ю произвольного числа сжимаемых и несжимаемых фракций. Показано, что система уравнений обобщённо-равновесной модели даже в простейшем случае бинарной смеси относится к квазигиперболическому типу.

2. Разработана модификация метода характеристик применительно к квазигиперболической системе квазилинейных уравнений. Для ряда многокомпонентных сред локализованы области корректности задачи Копш.

3. Показана возможность применения уравнений обобщённо-равновесной модели для адекватного описания ударно-волновых процессов в водно-воздушных пенах, вспененных полимерах, пузырьковых жидкостях, которая по основным параметрам превосходит использующиеся для этих целей модели Рудингера, Кэмпбелла-Питчера, Ляхова, Паркина-Гилмора-Броуда.

4. Получено полное решение задачи Римана для общего случая смеси с произвольным числом сжимаемых и несжимаемых фракций. Для бинарной гетерогенной смеси сжимаемых сред получены точные решения задач, являющихся аналогами решений Буземана, Прандтля-Майера в классической газодинамике. Решены такие автомодельные задачи как истечение дисперсной среды в вакуум, распространение сильного ударного скачка в двухфазной среде при различной симметрии движения.

5. Предложены модификации метода «распада разрыва» первого и повышенного порядков точности, предназначенные для расчета течений, описываемой уравнениями обобщённо-равновесной модели.

6. Разработана дискретная модель пены, эффективность которой продемонстрирована на решении разнообразных задач по взаимодействию акустических, ударных и волн разрежения с пенообразными средами.

7. Аналитически и численно изучено взаимодействие ударных волн с прямыми и обратными пузырьковыми экранами. Решена задача о прохождении ударной волны экрана из пузырей, чьи размеры соизмеримы с толщиной экрана.

8. В рамках обобщённо-равновесной модели численно исследована задача распада разрыва в дисперсной среде для течений, обладающих симметрией движения. Показано, что в зависимости от начальных условий распада в области течения возникает различное число вторичных ударных скачков. Выявлены причины их формндрования.

9. В рамках обобщённо-равновесной модели ананитически и численно изучено явление удара капель пузырьковой жидкости по жёстким и деформируемым преградам. Показано, что в ряде слзЛаев необходимо учитывать окружающий каплю воздух, который может существенно изменить картину взаимодействия. Изучено влияние концентрации газа в жцдкости на параметры растекающейся капли.

Ю.Решена задача о регулярном отражении воздушной ударной волны от сферической капли пузырьковой жидкости. В рамках обобщённо-равновесной модели численно изучено воздействие сильных ударных волн на одиночные, имеющие различные геометрические формы, капли пузырьковых жидкостей.

11.В рамках различных моделей, описывающих течение жидкости в каплях, численно исследована задача взаимодействия сильной ударной волны с капельным экраном. Показано, что в случае падения ударной волны на экран, состоящий из капель вспененной жидкости, режим течения качественно отличается от варианта экрана из капель, в которых отсутствуют газойые включения.

В целом в диссертации разработаны теоретические положения, которые можно квалифицировать как новое достижение в развитии механики гетерогенных систем. Сформулированные выше утверждения выносятся автором на защиту.

В первой главе в разделе 1.1 приведено описание обобщённо-равновесной модели гетерогенной среды. Представлены основные соотношения модели, дифференциальные уравнения модели в различных координатных системах. Выбор дифференциальных уравнений модели многокомпонентной среды неоднозначен, но чрезвычайно важен. Например, в работе [186] используется иной набор уравнений. При описании ударного сжатия многокомпонентной смеси в обобщённо-равновесной модели использовано аддитивное приближение [115], впервые предложенное А.Н.Дреминым, И.А.Карпухиным [58], согласно которому каждый компонент смеси сжимается по индивидуальной ударной адиабате. Для ряда смесей с сильно различающимися степенями сжимаемости фракций принцип аддитивности может нарушаться в случаях, когда межкомпонентным взаимодействием пренебречь нельзя. Для подобных сред в работах В.Н. Николаевского [104], Г.А.Богачева [8], В.Н.Охитина, В.В.Мартьшова [108] предложены методики расчёта ударных адиабат смесей, учитывающие объёмное и вязкое взаимодействие, которые также могут быть включены в обобщённо-равновесную модель.

В п. 1.2.2 рассмотрены одномерные нестационарные течения дисперсной среды, найдены характеристики и условия совместности для бинарной смеси с одним несжимаемым компонентом, с двумя сжимаемыми фракциями, а также для общего случая многокомпонентной смеси.

В п. 1.2.3 рассмотрены изоэнтропические течения в однородных многокомпонентных смесях и введены инварианты Римана. Показано, что волны Ри-мана, распространяюпщеся в однородных смесях, обладают теми же свойствами, что и простые волны в однофазной газодинамике.

В п. 1.2.4 приведено полное решение автомодельной задачи о распаде произвольного разрыва для общего случая многокомпонентной смеси, состоящей из произвольного числа сжимаемых и несжимаемых фракций. В рассматриваемой модели, в отличие от моделей [63, 65, 80, 85, 101 - 102, 106 - 107], учитывающих скоростную неравновесность компонентов смеси, ударные волны и волны разрежения, движупщеся по разные стороны контактной границы, не «расщепляются» на ряд распространяющихся друг за другом волн.

Вн. 1.2.5 обсуждается вопрос о корректности задачи Копш для обобщённо-равновесной модели. Для корректности задачи Коши помимо однозначной разрешимости, что показано вн. 1.4.1, необходимо локализовать области устойчивости решений по отношению к малым возмущениям в начальных данных. При исследовании на устойчивость использовался метод элементарных волновых решений [73]. Для ряда многокомпонентных систем определены границы устойчивости решений по отношению к малым возмущениям в начальных данных. Из приведённых в п. 1.2.5 данных также следует, что система уравнений обобщённо-равновесной модели, описывающая одномерное течение смеси из трёх и более компонентов, относится к смешанному типу (в противовес газодинамическим, которые являются гиперболическими). Линейный анализ, проведённый в разделе позволяет локализовать области квазигиперболичности используемой системы уравнений. в разделе 1.3 исследуются стационарные течения многокомпонентной смеси. В п. 1.3.1 приведён интеграл Бернулли для дисперсной среды. Модификация интеграла Бернулли применительно к обобщённо-равновесной модели многокомпонентной смеси в литературе не описана, поэтому рассмотрены такие связанные с ним вопросы, как расчёт критических параметров, максимально возможных скоростей и параметров торможения.

В п.п. 1.3.2 - 1.3.3 рассматривается смесь двух или более сжимаемых фракций. Показано, что дж бинарной смеси с одним несжимаемым компонентом при М > 1, то есть в случае сверхзвуковых течений, характеристическое уравнение имеет пять корнейА один из которых троекратный. Этот последний корень А = у/и определяет характеристическое направление с1у/с1х = <А, совпадающее с направлением перемещения частицы среды. Отмечено, что при реализации метода характеристик вдоль линий тока вместо дифференциальных условий совместности, которые удовлетворяются тождественно, необходимо использовать определённые алгебраические выражения. При рассмотрении смеси из двух сжимаемых фракций показано, что характеристическое уравнение имеет все действительные корни в случае, если число Маха превосходит критическое значение М,, которое, в отличие от однофазной газодинамики или бинарной смеси с одним несжимаемым компонентом, может быть как меньще, так и больше единицы.

В разделе 1.4 рассмотрены численные методы расчёта течений дж обобщённо-равновесной модели дисперсной среды. В п. 1.4.1 представлен метод характеристик, предназначенный дж расчёта одномерных нестационарных течений. Дж простоты рассмотрена бинарная смесь. Так как один из корней характеристического уравнения кратный, система уравнений модели не относится к строго гиперболическому типу (система гиперболична, если все корни характеристического уравнения действительны и различны), поэтому подход классического метода характеристик, описанный дж двухфазных сред в работах [182 -184], был модифицирован. Особенность случая, когда характеристическое уравнение имеет кратный корень заключается в том, что в характеристическом направлении (1г/<а = и все условия совместности удовлетворяются тождественно. Вместе с тем, на «траекторной» характеристике справедливы определённые алгебраические соотношения, заменяюш;ие дифференциальные соотношения совместности строго гиперболической системы уравнений. Поэтому задача Коши для односкоростной модели, несмотря на наличие у характеристического уравнения кратного корня, оказывается однозначно разрешимой. Приведены конечно-разностные соотношения, реализующие итерационную процедуру Maceo, с использованием которых в п. 1.4.2 выполнен ряд расчётов различных течений дисперсной среды.

В п. 1.4.3 описан модифицированный метод С.К.Годунова, предназначенный для расчётов как одномерных, так и многомерных задач, и использующий в качестве основного элемента задачу распада произвольного разрыва, рассмотренную в п. 1.2.4. Заметим, что метод С.К.Годунова при расчёте волн разрежения менее точен, чем метод В.Ф.Куропатенко [84], однако более удобен для рассматриваемых в работе задач.

В п. 1.4.4 приведена модифжация Колгана для двухфазной среды. Использование модифицированной схемы С.К.Годунова первого порядка точности, базирующейся на кусочно-постоянном распределении параметров в пределах ячейки, приводит к сильному размыванию ударных волн и контактных разрывов. Для того, чтобы увеличить точность расчётов целесообразно использовать схемы повышенного порядка точности. Увеличение порядка аппроксимации схемы достигалось за счёт замены кусочно-постоянного распределения параметров на кусочно-линейное, которое использовалось в сочетании с принципом минимальных значений производных. Основные конечно-разностные соотношения, с использованием которых проводится пересчёт с текущего временного слоя на следующий, те же, что и для схемы первого порядка точности. Корректируются данные, предшествующие решению задачи о распаде произвольного разрыва. Кроме того, описана конечно-разностная схема для уравнений модели, имеющая также второй порядок аппроксимации и по временной переменной, полученная с использованием подхода, развитого в работе [75] для газодинамических уравнений.

Во второй главе на базе описанной в главе I обобщённотравновесной модели гетерогенной среды изучены волновые явления в пенообразных и пенопо-добных средах. Экспериментально динамика распространения ударных волн в пенообразных средах исследовалась в [10 - 17, 163]. Из теоретических работ, в которых изучались волновые явления в пенных средах, отметим [46, 94], основанные на односкоростной модели двухфазной среды Рудингера [181], в которой пена рассматривалась как псевдогаз со скорректированными на присутствие конденсированной фазы параметрами. В п. 2.1.1 показаны преимущества обобщённо-равновесной модели над моделью Рудингера. В частности отмечено, что полученные в рамках последней модели значения давления в отражённой от жёсткой преграды ударной волне, оказываются существенно выше наблюдаемых в эксперименте.

В п. 2.1.2 детально исследована начальная стадия отражения воздушной ударной волны от слоя пены. В отличие от моделей эффективного газа [120], Ляхова [90], Рудингера [181], Паркина-Гилмора-Броуда [ПО] обобщённо-равновесную модель можно использовать для расчётов течений двухфазных сред во всем диапазоне содержания газа в смеси - от пузырьковых жидкостей до газожидкостных систем во вспененном состоянии. Для ряда задач это особенно важно. В частности, при расчёте отражения сильной воздушной волны от стенки при наличии на преграде пенной прослойки степень сжатия пены может быть столь велика, что её на стадии сжатия следует отнести к категории пузырьковой жидкости. Если используется обобщённо-равновесная модель дисперсной среды, то удаётся корректно рассчитать весь процесс отражения ударной волны. Изучено влияние типа газа в пузырях пены на параметры отражённых ударных волн. Результаты расчётов сопоставлены с экспериментом.

В п. 2.1.3 изучено распространение и взаимодействие уединённых волн (солитонов) в пенах. При этом рассматривались не только волны сжатия, но и разрежения. Отмечено, что расчёты, выполненные в рамках обобщённо-равновесной модели дисперсной среды, существенно лучше коррелируют с экспериментом, чем по другим моделям.

Вн. 2.1.4 в рамках обобщённо-равновесной модели изучены особенности взаимодействия ударных волн со вспененными полимерами и, в частности, с пенополиуретаном. Подобная задача также рассматривалась в [111]. В работе [48] для этих целей применялась модель Рудингера, а в [36], - модель, в которой вместо уравнения неразрывности для полиуретана, использовалось некоторое алгебраическое соотношение. Показано, что результаты расчётов, пол5Д1енные в рамках обобщённо-равновесной модели, совпадают с экспериментальными данными в случаях, пока ячейки вспененного полимера не разрушены ударной волной, то есть в условиях отсутствия скольжения газа относительно полимера.

В п. 2.1.5 исследуется распространение сильных сферических и цилиндрических ударных волн в дисперсных средах. При введении автомодельных переменных уравнения обобщённо-равновесной модели приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решалась численно. Показано, что при наличии у течения осевой или центральной симметрии непрерывное решение задачи существует лишь в некоторой окрестности ударной волны, которая замыкается вторичным ударным скачком.

В п. 2.1.6 рассмотрена задача об истечении многокомпонентной смеси в вакуум. При этом предполагалось, что полупространство г <0, заполненное однородной дисперсной средой, находящееся под давлением ро, отделено от области вакуума непроницаемой диафрагмой. Требуется рассчитать течение, возникающее при мгновенном разрушении диафрагмы. При введении автомодельной переменной для смеси с одним несжимаемым компонентом система уравнений в частных производных приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая допускает аналитическое решение. В случае смеси с несколькими сжимаемыми фракциями соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений приходиггся интегрировать численно.

В п. 2.1.7 рассмотрено плоское стационарное течение типа Працдтля-Майера для дисперсной среды. Для бинарной смеси идеального газа с одной несжимаемой составляющей из условия отсутствия вихрей в изоэнтропическом потоке получены, с привлечением интеграла Бернулли, обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие движение смеси в волне разрежения. Изучено влияние концентрации газа на параметры волны разрежения в водно-воздушной смеси.

В п. 2.1.8 исследуется автомодельное течение дисперсной среды около конуса, обобщающее известное решение Буземана для идеального газа. Выписана система обыкновенных дифференциальных уравнений для многокомпонентной смеси, выражающая закон сохранения массы и условие отсутствия вихрей за фронтом ударной волны. Краевая задача для системы уравнений, удовлетворяющая граничному условию непротекания через поверхность конуса и модифицированным соотношениям Ренкина-Гюгонио на фронте присоединённой ударной волны, приводилась к задаче Коши, интегрирование которой проводилось с использованием численного метода Рунге-Кутта. Изучено влияние концентрации газа на параметры присоединённой конической ударной волны в водно-воздушной смеси для адиабатического и изотермического вариантов обобщённо-равновесной модели дисперсной среды.

В п. 2.1.9 проведено численное моделирование распада разрыва в дисперсной среде при различной симметрии движения. Показано, что за ударными волнами умеренной силы, образующимися в результате распада разрыва в области непрерывного течения дисперсной среды могут возникать вторичные ударные скачки, количество которых зависит от начальных условий распада. Описаны процессы, обуславливающие формирование вторичных скачков в дисперсной среде.

В разделе 2.2 проведено моделирование волновых явлений с использованием дискретной модели пены, - подхода, альтернативного равновесному. В п. 2.2,1 приведены основные соотношения дискретной модели пены. По-видимому, впервые подход, близкий к использованному в работе, был применён Т.ТЬоиуепт'ым [189] для приближённого описания волновых явлений в пористых телах. В дальнейшем этот же подход использовал В.Ф.Нестеренко [100]. С его помощью С.И.Лежнин, И.И.Мулляджанов, В.Е.Накоряков [88], а также Мартин, Падманабхан [96] исследовали распространение волн в газожидкостных средах в снарядном режиме течения. В дискретной модели использовано естественное представление о пене, как среды с ячеечной структурой, непроницаемой для газа. В рамках дискретной модели, используемой для одномерных расчётов, движение пленок жидкости, перемещающихся под действием перепада давления в смежных слоях, описывалось системой из конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений. Сжатие газа между плёнками жидкости полагалось адиабатическим. Система обыкновенных дифференциальных уравнений движения жидких пленок интегрировалась совместно с газодинамическими уравнениями для прямого моделирования распространения волн в пене.

Отражение воздушной ударной волны от слоя пены изучено в п. 2.3.3. В п. 2.3.4 рассмотрены слабые волны разгрузки в пенах, где также результаты расчётов сопоставлены с данными по модели Рудингера и экспериментом. Обсуждаются условия, ограничивающие область применения дискретной модели пены.

В третьей главе в рамках обобщённо-равновесной модели исследуются волновые явления в пузырьковых жидкостях. Вн. 3.1.1 представлены основные соотношения обобщённо-равновесной модели пузырьковой жидкости. Подходы, учитываювще скоростную неравновесность составляющих смесь фракцдй, описаны, например, в работах [165,176,180,192 - 193].

В п. 3.1.2 на примере задачи о бегущей по пузырьковой жидкости ударной волне проведен сравнительный анализ используемой, а также ряда других равновесных моделей пузырьковых жидкостей, таких как Кэмпбелла-Питчера, Паркина-Гилмора-Броуда, Ляхова. В модели Кэмпбелла-Питчера полагается, что температура газа в пузырьках совпадает с температурой жидкости, которая считалась несжимаемой. В модели Паркина-Гилмора-Броуда принято, что процессы, происходяпще в пузырях, адиабатические; жидкость полагалась несжимаемой. В модели Ляхова сжатие обоих компонентов смеси в ударной волне полагалось изоэнтропическим. Из анализа полученных в п. 3.1.2 данных делается вывод о том, что учёт сжимаемости жидкости существенен для достаточно сильных ударных волн, причём особенно важен для случая малой концентрации газа в смеси. Указанный фактор ограничивает область применения и других моделей пузырьковых сред, в которых жидкость полагается несжимаемой.

Вн. 3.1.3 исследованы прямые и отражённые ударнью волны в пузырьковых жидкостях. Из сравнения расчётных зависимостей, полученных по адиабатическому и изотермическому вариантам обобщённо-равновесной модели с имеющимися в литературе экспериментальными данными, в разделе делается вывод о том, что в условиях развитого теплообмена между газовой и жидкой фракциями, чему способствует явление дробления пузырей в ударной волне, необходимо использовать гоотермический вариант модели. В случае же затрудненного теплообмена между составляющими смеси совпадения с экспериментом можно достичь, если использовать адиабатический вариант модели. Последний целесообразно применять и при моделировании воздействия мопщых коротких импульсов давления на пузырьковые жидкости.

В п. 3.1.4 рассмотрено регулярное отражение ударной волны, распространяющейся в пузырьковой жидкости, от жёсткой или деформируемой преград. Предложен приближённый подход, основанный на принципе Гюйгенса, ранее использованный автором для однофазных сред [122 - 125], существенно упрощающий расчёты.

В п. 3.1.5 рассмотрена задача о стационарном обтекании клина пузырьковой жидкостью для режима с присоединенным скачком уплотнения. Приведены соотношения, описывающие течение. Пол5Д1ено выражение для предельного угла наклона присоединённой ударной волны. Результаты расчётов сопоставлены с экспериментом. Отмечено совпадение теоретических значений, полученных по изотермической модели с опытными данными. Подчеркивается, что в рамках обобщённо-равновесной модели пузырьковой жидкости удается описать все существующие экспериментальные факты, некоторые из которых до сих пор не находили рационального объяснения.

В разделе 3.2 рассмотрено взаимодействие ударных волн с пузырьковыми экранами. Известны возможности пузырьковых экранов, используемые, например, для защиты от взрывных нагрузок, которые описаны, например, в работе [55]. Взаимодействие ударной волны с пузырьковыми экранами теоретически обсуждалось в работах [47, ПО]. В этих работах при анализе использовалась изотермическая модель газожидкостной среды. Однако, в условиях затруднённого теплообмена между газом и жидкостью, например, при наличии в смеси поверхностно-активного вещества или в условиях повышенного начального давления, а также в ряде других случаев, необходимо использовать адиабатический вариант модели. Поэтому в разделе расчёты выполнены для обоих вариантов обобщённо-равновесной модели дисперсной среды. Отметим также, что в упомянутых выше работах вычисления проводились лишь до первой прошедшей за экран ударной волны, явление реверберации не рассматривалось. В работе [47] защитный эффект обратного пузырькового экрана связывался со снижением амплитуды первичной прошедшей за экран ударной волны. Однако, по этим данным нельзя судить о действительной эффективности подобных экранов. Полную информацию даёт численный эксперимент на основе обпщх уравнений движения дисперсной среды. В п. 3.2.1 приведено автомодельное решение для ступенчатой нагрузки. В п.п. 3.2.2 - 3.2.3 проведено численное моделирование падения протяженного, а также короткого импульсов на экран. В п. 3.2.4 исследовано действие ударной волны на экран, расположенный у преграды. Взаимодействие воздушной ударной волны со слоем пузырьковой жидкости рассмотрено в п. 3.2.5. Из анализа полученных в п. 3.2 данных следует, что наиболее эффективными, с точки зрения защиты от воздействия ударных волн, являются нормальные экраны, объемная доля газа в которых превышает концентрацию газа в окружающей двухфазной среде. Для длинных ударных волн, падающих на экран, защитный эффект связан со временной задержкой, которая обусловлена явлением реверберации ударной волны в экране. Для короткой ударной волны помимо задержки, также снижается амплитуда прошедшей за экран волны. В случае обратного экрана, напротив, импульс давления быстрее по времени попадает в область за экраном. Кроме того, для коротких импульсов давления амплитуда преломленной волны может быть не меньше, чем для варианта без экрана, хотя полная энергия преломлённого импульса и снижается, из-за наличия отраженной от экрана волны. В п. 3.2.6 приведено численное решение задачи о прохождении ударной волны экрана из пузырей, чьи размеры соизмеримы с толщиной экрана.

В разделе 3.3 исследуется явление удара капель из пузырьковой жидкости по жёстким или деформируемым преградам. В литературе описаны процессы при ударе лишь для капель без газовых включений [51, 124 - 126]. Представляет интерес изучить влияние концентрации газа в каплях на динамические характеристики при их взаимодействии с преградой. В п. 3.3.1 рассмотрена одномерная теория. Отмечено, что для пузырьковых жидкостей применение акустического приближения, широко используемого в однофазной теории гидроудара, не целесообразно, так как при определении параметров удара допускается значительная погрешность, которая обусловлена сильной нелинейной зависимостью свойств пузырьковой жидкости от концентрации газа в смеси. ИззАено влияние типа газа в пузырях на параметры отражённой ударной волны. Показано, что наиболее чувствительным параметром является объёмная доля газа в смеси за фронтом отражённой ударной волны. Другие характеристики, такие как скорость перемещения ударного скачка, давление за его фронтом слабо, особенно при небольших значениях оо, зависят от типа газа, заполняющего пузыри. При ударе наибольшему сжатию подвержены пузыри, рассчитанные по изотермической модели дисперсной среды, радиус которых при начальной концентрации до 0.3 уменьшается примерно на порядок. При использовании изотермической модели с несжимаемой несущей жидкостью пузыри за ударным фронтом исчезают полностью. В п.п. 3.3.2 - 3.3.3 изучены течения при ударе капель пузырьковой жидкости с выпуклой головной частью по жёстким или деформируемым преградам дли режима с присоединённым к периметру пятна контакта скачком уплотнения. Для этого же режима течения исследован косой удар сферической капли пузырьковой жидкости по деформируемой преграде. Полученные результаты обобщают соответствующие данные из [124 - 126], где рассматривался удар капель однофазной жидкости, на капли жидкости, содержащие пузырьки газа. Использованные в п.п. 3.3.2 - 3.3.3 подходы позволяют исследовать лишь начальную стадию взаимодействия, давая возможность оценить величины параметров в отдельных точках течения при ударе. Полную картину явления удара капли можно получить из вычислительного эксперимента, численно решая соответствующую систему дифференциальных уравнений обобщённо-равновесной модели, описывающую течение пузырьковой жидкости, что проделано в п. 3.3.4. Заметим, что в литературе моделирование удара капли проводилось для жидкостей без газовых включений и в пренебрежении окружающим каплю воздухом [51]. Показано, что в ряде случаев окружающий каплю воздух сильно влияет на процесс взаимодействия капли с преградой.

В разделе 3.4 в рамках обобщённо-равновесной модели исследуются процессы при взаимодействии воздушных ударных волн с каплями пузырьковой жидкости. В литературе для рассматриваемого класса задач известны работы лишь для капель без газовых включений [51, 127 - 130]. В процессе взаимодействия капли с ударной волной происходит насыщение газом жидкости, на что впервые было обращено внимание в работе [103]. Наличие же в капле пузырей оказывает сильное влияние на деформацию капли в потоке за ударной волной. В п. 3.4.1 изучена начальная стадия дифракции воздушной ударной волны на сферической капле пузырьковой жидкости (для регулярного режима отражения). Показано, что угол преломлённой ударной волны в области малых значений концентраций газа в жидкости существенно зависит от доли газа в смеси. Значения определяющих параметров взаимодействия слабо зависят от сорта газа, заполняющего пузыри. Вычислены зависимости критического угла, отделяющего регулярный режим отражения от маховского, от концентрации газа при различных числах Маха в падающей на каплю пузырьковой жидкости ударной волны. Показано, что с увеличением концентрации газа в капле критический угол слабо растёт, но в области, характерных для вспененных жидкостей, - резко возрастает. Для более полного представления о взаимодействии необходимо решить общую систему дифференциальных уравнений в частных производных, что возможно лишь численно. В п. 3.4.2 изучено взаимодействие ударных волн со сферическими, эллипсоидальными, тороидальными, а также каплями пузырьковой жидкости с вогнутой по отношению к набегающему потоку головной частью. Варьировалось число Маха в падающей ударной волне, концентрация газа в капле. Показано, что с увеличением доли газа в капле последняя становится более подвижной, смещаясь на большее расстояние, что связано с уменьшением её массы. С >твеличением доли газа в капле растёт толщина погранслоя, формирующегося в приповерхностном слое с наветренной части капли, при этом максимальный поперечный размер деформированной капли уменьшается. Последний также уменьшается с увеличением силы падающей ударной волны. Рассмотрено взаимодействие ударной волны с несколькими, расположенными рядом, каплями жидкости. Картина взаимодействия существенно отлична от и и т-\ той, которая имеет место при отсутствии в каплях газовых включений. В п. 3.4.3 исследуются процессы при взаимодействии воздушной ударной волны с ансамблями капель пузырьковой жидкости. Показано, что при падении ударной волны на экран, состоящий из капель вспененной жидкости, режим течения качественно отличается от того, что имеет место в случае экрана из капель без газовых включений.

Практическая ценность результатов работы состоит в разработанных математических моделях, полученных аналитических решениях, алгоритмах и вычислительных программах, а также результатах расчётов. ПолзЛенные в работе данные по воздействию ударных волн с ансамблями капель могут быть использованы, например, при проектировании устройств для подавления мощных ударных (детонационных) волн, распространяющихся, например, в шахтах при возникновении аварийных ситуаций. Сфера приложения развитых в диссертации методов исследования шире, чем описано в работе. Они могут быть непосредственно использованы для исследования процессов, происходяпщх, например при плазменном напылении металлических частиц, при высокоскоростном взаимодействии металлических тел. Полученные результаты могут быть востребованы при решении экологических проблем, в прикладных задачах геофизической гидродинамики. На основе материалов диссертации для студентов физического факультета ЧелГУ автором в течении ряда лет читается курс лекций: «Моделирование волновых процессов в односкоростных гетерогенных системах».

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на IV Всесоюзной научной пжоле: «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 1989); на П, VI Забабахинских научных чтениях (Челябинск, 1990, 2001); на V Всесоюзной школе-семинаре: «Современные проблемы меха-виш жидкости и газа» (Иркутск, 1990); на Всесоюзном семинаре: «Динамика пространственных и неравновесных течений жидкости и газа» (Миасс, 1991); на XI международной школе: «Модели в механике сплошной среды» (Владивосток, 1991); на Всесоюзном симпозиуме: «Газодинамика взрывных и ударных волн, детонации и сверхзвукового горения» (Алма-Ата, 1991); на совещании-семинаре по механике реагирующих сред (Томск, 1992); на Всероссийском семинаре: «Динамика пространственных и неравновесных течений жидкости и газа» (Ми-асс, 1993); на международном совещании-семинаре по сопряжённым задачам физической механики и экологии (Томск, 1994); на V международной конференции: «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2000); на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); на семинарах в ИГ СО РАН, ИТПМ СО РАН, ЧелГУ.

Диссертационная работа, состоящая из введения, трех глав текста и выводов, изложена на 291 страницах, содержит 197 иллюстраций. Список используемой литературы имеет 194 наименования. Основные результаты диссертации опубликованы в 35 печатных работах, приведённых в списке используемой литературы.

Заключение

1. Предложена обобщённо-равновесная модель гетерогенной среды, сформулированная в виде наборов замкнутых систем квазилинейных дифферешщаль-ных уравнений в частных производных, описывающая течения односкорост-ных гетерогенных смесей, состоящих из произвольного числа сжимаемых и несжимаемых фракщш. Показано, что системы уравнений обобщённо-равновесной модели даже в простейшем случае бинарной смеси относятся к квазигиперболическому типу, для которых корни характеристических уравнений хотя и действительны, но среди них имеются кратные. Для ряда многокомпонентных систем с использованием метода элементарных волновых фушщий локализованы области устойчивости решений по отношению к малым возмущениям в начальных данных.

2. Разработана модификация метода характеристик применительно к квазигиперболическим системам квазилинейных уравнений, особенность которых заключается в том, что в характеристическом направлении, определяемым кратным корнем, соответствующие характеристические соотношения выполняются тождественно. Показано, что вместо последних необходимо использовать некоторые алгебраические выражения, которые следуют из физических соображений, что позволяет однозначно разрешить задачу Коши.

3. Получено полное решение автомодельной задачи распада произвольного разрыва (задачи Римана) для общего случая смеси с произвольным числом сжимаемых и несжимаемых компонентов. Изучены автомодельные течения дисперсной среды, аналогичные течениям Буземана, Прандтля-Майера в однофазной газодинамике. Получены решения таких автомодельных задач как истечение дисперсной среды в вакуум, распространение сильного ударного скачка в двухфазной среде при различной симметрии движения. В последней задаче показано, что при наличии у течения осевой или центральной симметрии, непрерывное решение существует лишь в некоторой окрестности сильной ударной волны, которая замыкается вторичным ударным скачком.

4. Разработаны модификации методов С.К.Годунова и Годунова-Колгана, имеюпще соответственно первый и второй порядки точности по пространственной и временной переменным, предназначенные для расчёта в рамках обобщённо-равновесной модели многомерных нестащюнарных течений многокомпонентных смесей.

5. Показана возможность применения обобщённо-равновесной модели для адекватного описания ударно-волновых процессов в водно-воздушных пенах, вспененных полимерах, пузырьковых жидкостях, которая по основным параметрам превосходит использующиеся для этих целей модели Рудингера, Кэм-пбелла-Питчера, Ляхова, Паркина-Гилмора-Броуда. Для пузырьковых жидкостей необходимо использовать или адиабатический, или изотермический вариант обобщённо-равновесной модели, в зависимости от условий теплообмена между жидкой и газовой составляющими.

6. Предложена дискретная модель пены, в рамках которой удается получить не только качественное, но и количественное описание разнообразных волновых процессов в пенных средах, согласующееся с имеюпщмися в литературе экспериментальными данными. Вместе с тем, сфера приложения дискретной модели, в отличие от обобщённо-равновесной, ограничена классом одномерных задач. Кроме того, в её рамках возможно исследование волновых процессов в пенах со сраврштельно малыми значениями плотностей, а также для слабых ударных скачков.

7. Аналитически и численно изучено взаимодействие ударных волн с прямыми и обратными пузырьковыми экранами. Показано, что наиболее эффективными с точки зрения защиты от воздействия ударных волн являются нормальные экраны, объёмная доля газа в которых превышает концентрацию газа в окружающей двухфазной среде. Для длинных ударных волн, падающих на экран, защитный эффект связан со временной задержкой, которая обусловлена явлением реверберации. Для короткой ударной волны, помимо задержки, также снижается амплитуда прошедшей за экран волны. Решена задача о прохождении ударной волны экрана ш пузырей, чьи размеры соизмеримы с толщиной экрана.

8. В рамках обобщённо-равновесной модели численно исследована задача распада произвольного разрыва в дисперсной среде при различной симметрии движения. Показано, что в зависимости от начальных условий распада в области течения возникает различное число вторичных ударных скачков. Выявлены причины их формирования.

9. В рамках обобщённо-равновесной модели аналитически и численно изучено явление удара капель пузырьковой жидкости по жёстким и деформируемым преградам. Изучено влияние концентрации газа в жидкости на параметры растекающейся капли. Показано, что наличие в смеси даже небольшого количества газовых пузырьков исключает возможность использования акустического приближения, широко применяемого для исследования удара жидкостей без газовых включений. Показано, что в ряде случаев необходимо учитывать окружающий каплю воздух, который может существенно гоменить картину взаимодействия.

Ю.Решена задача о регулярном отражении воздушной ударной волны от сферической капли пузырьковой жидкости. В рамках обобщённо-равновесной модели численно изучено воздействие сильных ударных волн на одиночные капли пузырьковых жидкостей для различных форм капель: сферических, эллипсоидальных, тороидальных и др. Показано, что с увеличением доли газа в капле последняя становится более подвижной, смещаясь на большее расстояние, что связано с уменьшением плотности пузырьковой жидкости. С увеличением концентрации газа растёт толпщна погранслоя, формирующегося в приповерхностном слое с наветренной части капли, при этом максимальный поперечный размер деформированной капли уменьшается. Последний также уменьшается с увеличением силы падающей ударной волны.

11. В рамках различных моделей численно исследована задача взаимодействия сильной ударной волны с капельным экраном. Наличие на пути ударной волны экрана приводит к временной задержке, что связано с падением скорости движения волны сжатия в слое, которая тем больше, чем толще экран и меньше его пористость. Снижается амплитуда прошедшей через капельный слой ударной волны, её удельный импульс. Экран при взаимодействии сжимается. Деформация капель, окружённых другими каплями, качественно отличается от деформации одиночной капли - капли подвержены лишь сдвиговой деформации. При наличии за экраном твёрдой стенки давление за экраном с некоторого момента времени становится больше давления в отражённой ударной волне без экрана, что связано с «порпшевым» эффектом. Изучено влияние концентрации газа в каплях на характер ударной волны с экраном. Показано, что в случае падения ударной волны на экран, состоящий из капель вспененной жидкости, режим течения качественно отличается от варианта капель жидкости без газовых включений.

1. АганинА.А., Илъгамов МЛ. Численное моделирование динамики газа в пузырьке при схлопывании с образованием ударных волн / ПМТФ. 1999. Т. 40. №2. С. 101-110.

2. Азарова O.A., Грудницкий В.Г. Расчёт динамики двухфазного течения при взрыве в воде и последующей пульсащш парогазовой полости / В сб.: Акустика неоднородных сред. ИГ СО АН СССР. Новосибирск. 1991. Вып. 100. С. 3 8.

3. Альтшулер Л.В., Крутиков Б.С., Шарипджанов И.И. Расчёты мощного подводного взрыва с учётом испарения по обобщенному уравнению состояния воды / ПМТФ. 1980. № 1. С. 128 133.

4. Арутюнян Г.М. Условия применимости результатов гидродинамики совершенного газа к дисперсным средам / Изв. РАН. МЖГ. 1979. № 1. С. 157 -160.

5. Арутюнян Г.М. Термогидродинамика гетерогенных смесей. М.: Наука 1991.в. Баранов Е.Г., Коваленко В.А., Коваленко Е.А. и др. Расчёт параметроввзрывных волн в плотных средах при различных схемах детонации / ПМТФ. 1980. № 1. с. 133.

6. Баум Ф.А., Орленко Л.П., Станюкович К.П. и др. Физика взрыва. М.: Наука 1975. 704с.

7. Богачев Г.А. Расчёт ударных адиабат некоторых гетерогенных смесей / ПМТФ. 1973. JS6 4. С. 130 -137.

8. Бойко В.М., Папырин А.Н., Поплавский C.B. О динамике дробления капель в ударных волнах / ПМТФ. 1987. № 2. С. 108 115.

9. Британ А.Б. Прохождение ударной волны по защитному экрану из пены / ТВТ. 1993. Т. 31. №3.0.439-443.1\. Британ А.Б., Васильев Е.И., Куликовский В.А. Моделирование процесса ослабления ударной волны экраном из пены / ФГВ. 1994. Т. 30. № 3. С. 135 -142.

10. Британ А.Б., Зиновии И.Н. Взаимодействие волн давления с влажной пеной / ПМТФ. 1994. № 5. с. 78 83.

11. Британ А.Б., Зиновик КН., Левин В.А. Распространение ударных волн по вертикальному столбу пены с градиентом плотности / ПМТФ. 1992. № 2. С. 27-32.

12. Британ А.Б., Зиновик КН., Левин В.А. Взаимодействие ударных волн с пеной / В сб.: Акустжа неоднородных сред. ИГ СО АН СССР. Новосибирск. 1992. Вьш. 105. С. 70 74.

13. Британ А.Б., Зиновик КН., Левин В.А. Разрушение пены ударными волнами / ФГВ. 1992. Т. 28. № 5. С. 108 116.

14. Британ А.Б., Зиновик КН., Левин В.А. и др. Особенности распространения газодинамических возмущений при взаимодействии ударных волн с двухфазными средами пенистой структуры / ЖТФ. 1995. Т. 65. Вып. 7. С. 19 -28.

15. Британ А.Б., Зиновии И.Н., Митичкин СЮ. и др. Исследование процессов в релаксационной зоне при ударном воздействии на газожидкостные пе-ны/ЖТФ. 1996. Т. 66. Выц 2. С. 1 11.

16. А Броуд Г.Л. Воздушная ударная волна при расширении сферы горячего воздуха с высоким давлением / Расчеты взрывов на ЭВМ. Газодинамика взрывов. М.: Мир. 1976. С. 96- 159.

17. Буряков О.В., Куропатенко В.Ф. Автомодельная волна разрежения для одной модели гетерогенной смеси двух политропных газов / ВАНТ. Сер. Методики и программы численного решения задач математической фюики. 1987. Вьт. I.e. 11-15.

18. Буряков О.В., Куропатенко В.Ф. Распад произвольного разрыва на гршице изотермического газа и гетерогенной смеси двух других изотермических газов / ВАНТ. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 1990. Вьш. 2. С. 39-42.

19. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. М.: Мир. 1983. 136 с.

20. Вэтчелор Г.К. Волны сжатия в суспензии газовых пузырьков в жидкости / Механика. М.: Мир. 1968. № 3. С. 65 84.

21. Васильев Е.И., Митичкин С.Ю., Тестов В.Г. и др. Численное моделирование и экспериментальное исследование влияния синерезиса на распространение ударных волн в газожидкостной пене / ЖТФ. 1997. Т. 67. Вьш. 11. С. 1 -9.

22. Васильев Е.0., Митичкин С.Ю., Тестов В.Г. и др. Динамика давления при ударном нагружении газожидкостных пен / ЖТФ. 1998. Т. 68. Вып. 7. С. 19 -23.

23. Васин А.Д. Скачки уплотнения и конические течения в сверхзвуковом потоке воды / Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 5. С. 195 198.

24. Вахненко В.Л., Даниленко В.А., Кулич В.В. Асимптотическое обоснование модели многокомпонентных сред Ляхова / ФГВ. 1996. Т. 32. № 2. С. 68.

25. Вахненко В.А., Кудинов В.М., Паламарчук Б.И. Аналогия движения двухфазной среды, содержащей несжимаемую и газовую фазы, с движением газа /ДАН УССР. Сер. А. 1983. № 6. С. 22.

26. Вахненко В.А., Кудинов В.М., Паламарчук Б.И. К вопросу о затухании сильных ударных волн в релаксирующих средах / ФГВ. 1984. Т. 20. № 1. С. 105-111.

27. Вахненко В.А., Паламарчук БИ. Описание ударно-волновых процессов в двухфазных средах, содержащих несжимаемую фазу / ПМТФ. 1984. № 1. С. 113-119.

28. Воскобойникое KM., Афанасенков А.Н., Богомолов В.М. Обобщённая ударная адиабата органических жидкостей / ФГВ. 1967. Т. 3. № 4. С. 585 -593.

29. Гвоздева Л.Г., Фаресов Ю.М. О взаимодействии воздушной ударной вошаг со стенкой, по1фытой пористым сжимаемым материалом / Письма в ЖТФ. 1984. Т. 10. Вып. 19. С. 1153 1156.

30. Гвоздева Л.Г., Фаресов Ю.М., Фокеев В.П. Взаимодействие воздушных ударш.1Х волн с пористыми сжимаемыми материалами / ПМТФ. 1984. № 3. С. 111-115.

31. Гвоздева Л.Г., Фаресов Ю.М. О расчёте параметров стационарных ударных волн в пористой сжимаемой среде / ЖТФ. 1985. Т. 55. Вып. 4. С. 773 775.

32. Гвоздева Л.Г., Фаресов Ю.М. Приближенный расчёт параметров стационарных ударных волн в пористых сжимаемых материалах / ПМТФ. 1986. № I.e. 120-125.

33. Гвоздева Л.Г., Ляхов В.Н., Раевский Д.К. и др. Численное исследование распространения ударной волны в газе и пористой среде / ФГВ. 1987. Т. 23. № 4. С. 125 129.

34. Гельфанд Б.Е., Губин С.А. и ф. Исследование волн сжатия в смеси жидкости с пузырьками газа / ДАН СССР. 1973. Т. 213. № 5. С. 1043 1046.

35. Гельфанд Б.Е., Губин С.А., Когарко СМ. Прохождение волн через границу раздела в двухфазных газожидкостных средах / Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. №6. С. 58-65.

36. Гельфанд Б.Е., Губин СА., Когарко СМ. и др. Исследование разрушения пузырьков газа в жидкости ударными волнами / Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. №4. С. 51-56.

37. Гельфанд Б.Е., Губин С.А., Когарко СМ. и др. Исследование особенностей распространения и отражения волн давления в пористой среде / ПМТФ. 1975. №6. С. 74-77.

38. Гельфанд Б.Е., Губин С.А., Когарко СМ. и др. Распространение ударных волн в смеси жидкости с пузырьками газа при малых добавках полимеров / ИФЖ. 1976. Т. 31. № 6. С. 1080 -1083.

39. Гельфанд Б.Е., Губин СА., Нигматулин Р.И. и др. Влияние плотности газа на дробление пузырьков ударными волнами / ДАН СССР. 1977. Т. 235. № 2. С. 292-294.

40. Гельфанд Б.Е., Губин СА., Тимофеев Е.И. Отражение плоских ударных волн от твердой стенки в системе пузырьки газа — жидкость / Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. № 2. С. 174 178.

41. Гельфанд Б.Е., Тимофеев Е.И., Степанов В.В. О структуре слабых ударных волн в системе пузырьки газа- жидкость / ТВТ. 1978. Т. 16. № 3. С. 569 -575.

42. Гельфанд Б.Е., Губанов А.В., Тимофеев Е.И. Преломление плоских удар-iftix волн 1фи взаимодействии со слоем пузырьки газа жидкость / Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. № 2. С. 173 - 176.

43. Гельфанд Б.Е., Губанов A.B., Тимофеев Е.И. Особенности распространения ударных волн в пенах / ФГВ. 1981. Т. 17. Хо4. С. 129- 136.

44. Гельфанд Б.Е., Губин С.А., Тимофеев Е.И. Взаимодействие ударных волн с завдитными экранами в жидкости и двухфазной среде / ПМТФ. 1982. № 1. С. 1 18-123.

45. Гельфанд Б.Е., Губанов A.B., Тимофеев Е.И. Взаимодействие воздупшых ударных волн с пористым экраном / Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. №4. С.7984.

46. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М,Я, и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука. 1976. 400 с.

47. Головачев Ю.П., Жмакин А.И., Шмидт A.A. Численное моделирование газодинамических явлений / ЖТФ. 1999. Т. 69. Вып. 9. С. 46 49.

48. Гонор А.Л., Ривкинд В.Я. Динамика капли / Итоги науки и техники. Сер. МЖГ. Т. 17. М.: ВИНИТИ. 1982. С. 8 6 159.

49. Гребенкина Л.Г., Дружинин Г.А., Токман A.C. Искажение формы импульса сжатия при распространении в пористой жидкости / В сб.: IX Всесоюзн. акуст. конф. 1977. Секция Б. М.: 1977. С. 43 46.

50. Губайдуллин 4'А., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И. Модифицированный метод крупных частиц для расчета нестационарных волновых процессов в дисперсных средах / ЖВМ и МФ. 1977. Т. 17. № 6. С. 1531 1544.

51. Губайдуллин A.A., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И. Исследование нестационарных ударных волн в газожидкостных смесях пузырьковой структуры / ПМТФ. 1978. № 2. С. 78 86.

52. Губайдуллин A.A., Ивандаев А.И.А Нигматулин Р.И. и др. Волны в жидкостях с пузырьками / Итоги науки и техники. Сер. МЖГ. Т.17. М.: ВИНИТИ. 1982. С. 160-259.

53. Донцов В.Е., Марков П.Г. Исследование дробления пузырьков газа и его влияния на структуру уединённых волн давления умеренной интенсивности с пузырьками газа / ПМТФ. 1991. № 1. С. 45 49.

54. Дружинин Г.А., Остроумов Г.А., Токман A.C. Нелинейные отражения ударных волн и ударные кривые жидкостей с пузырьками газа / В сб.: Нелинейные волны деформации. Талин. 1977. С. 66 69.

55. Ждан CA. Численное моделирование взрыва заряда ВВ в пене / ФГВ. 1990. Т. 26. С. 103-110.

56. Жилин A.A., Федоров A.B. Распространение ударных волн в двухфазной смеси с различными давлениями компонентов / ПМТФ. 1999. Т. 40. № 1. С. 55-63.

57. Жилин A.A., Федоров A.B. Отражение ударных волн от жесткой границы в смеси конденсированных материалов. I. Равновесное приближение / ПМТФ. 1999. Т. 40. №5. С. 73-78.

58. Жилин A.A., Федоров A.B. Отражение ударных волн от жёсткой границы в смеси конденсированных материалов. 2. Неравновесное приближение / ПМТФ. 1999. Т. 40. Ш 6. С. 3 9.

59. Зауэр Р. Течения сжимаемой жидкости. М.: ИЛ. 1954. 312 с.

60. Зверев H.H., Душин В.Р. Численное исследование задачи о распаде произвольного разрыва в случае цилиндрической или сферической симметрии / Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика, механика. 1997. № 4. С.62-65.

61. Зиновии И.Н. Взаимодействие волн разрежения с влажной пеной / Изв. РАН. МЖГ. 1995. № 2. С. 76 82.

62. Ивандаев А.И., Кутушев А.Г., Нигматулин Р.И. Газовая динамика многофазных сред. Ударные и детонационные волны в газовзвесях / Итоги науки и техники. Сер. МЖГ. Т.16. М.: ВИНИТИ, 1981. С. 209 287.

63. Иорданский СВ. Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа/ПМТФ. 1960. № 3. С. 102 110.

64. Канн К.Б., Шушков Г.А., Куян A.A. Экспериментальное исследование гармонических колебаний в газожидкостных пенах / В сб.: Акустика неоднородных сред. Новосибирск. Ин-т гидродинамики СО РАН. 1992. Вып. 105. С. 185-191.

65. И.Кедринский В.К. Распространение возмущений в жидкости, содержащей пузырьки газа / ПМТФ. 1968. № 4. С. 29 34.

66. Клебанов Л.А., Крошилин А.Е., Нигматулин Б.И. и др. О гиперболичности, устойчивости и корректности задачи Коши для системы дифференциальных уравнений двухскоростного движения двухфазных сред / ПММ. 1982. Т. 46. № I.e. 83-95.

67. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечноразностных схем для расчёта разрывных решений газовой динамики / Ученые записки ЦАГИ. 1972. Т. 3. № 6. С. 68 77.

68. Копченое В.И., КрайкоА.Н. Монотонная разностная схема второго порядка для гиперболических систем с двумя независимыми переменными / ЖВМ и МФ. 1983. Т. 23. №4. С. 848 859.

69. Коробейников B.II. Задачи теории точечного взрыва. М.: Наука. 1985. 400 с.

70. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К. и др. Механика многофазных сред / Гидромеханика (Итоги науки и техники). 1972. Т. 6. С. 93 174.

71. Кудинов В.М., Паламарчук Б.И., Гельфанд Б.Е. и др. Параметры ударных волн при взрыве зарядов ВВ в пене / ДАН СССР. 1976. Т. 228. № 3. С. 555 -557.

72. Кудинов В.М., Паламарчук Б.И., Вахненко В.А. Затухание сильной ударной волны в двухфазной среде / ДАН СССР. 1983. Т. 272. № 5. С. 1080 -1083.

73. Кузнецов Б.Г. Об уравнениях гидродинамики многофазных систем / ЧММСС. 1973. Т. 4. № 1. С. 56-70.

74. Кузнецов В.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Взаимодействие солитонов в жидкости с пузырьками газа / Письма в ЖЭТФ. 1978. Т. 25. Вып. 8. С. 520 -523.

75. Кузнецов В.В., Покусаев Б.Г. Эволюция волн давления в жидкости с пузырьками газа / Неравновесные процессы в одно- и двухфазных системах. Новосибирск. ИТФ СО АН СССР. 1981. С. 61 67.

76. S3. Кузнецов Н.М., Тимофеев Е.И., Губанов Л.В. Анализ распространения ударных волн в термодинамически равновесной пене / ФГВ. 1986. Т. 22. № 5. С. ш Ш .

77. Куропатенко В.Ф. О разностных методах для уравнений гидродинамики / Труды Математического института имени В.А.Стеклова. 1966. Т. LXXIV. Ч. I.e. 107-137.

78. Куропатенко В.Ф. Неустановившиеся течения многокомпонентных сред / Математическое моделирование. 1989. Т. 1. № 2. С. 118-136.

79. Куропатенко В.Ф., Буряков О.В., Мустафин В.К. и др. Методика расчета нестационарных течений в многослойных неравновесных смесях веществ / Математическое моделирование. 1992. Т. 4. № 9. С. 82 100.

80. Кутутев А.Г., Татосов А.В. Влияние объёмного содержания частиц на параметры газовз.Аеси за скачками уплотнения / ФГВ. 1999. Т. 35. № 3. С. 74 -80.

81. Лежнин СМ., Мулляджанов И.И., Накоряков В.Е. и др. Эволюция слабонелинейных возмущений в воздуховодяной смеси снарядной структуры / ПМТФ. 1989. № 6. С. 91 98.

82. Ляхов Г.М. Ударные волны в многокомпонентных средах / Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1959. № 1. С. 46 49.

83. Ляхов Г.М. Основы динамики взрывных волн в грунтах и горных породах. М.: Недра. 1974.

84. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. М.: Наука. 1982.

85. Ляхов Г.М., Охитин В.Н. Сферические взрывные волны в многокомпо-ненгных средах / ПМТФ. 1974. № 2. С. 75 84.

86. Ляхов Г.М., Охитин В.Н., Чистов А.Г. Ударные волны в грунтах и в воде вблизи от места взрыва / ПМТФ. 1972. № 3. С. 151 159.

87. Малахов А. Т., Паламарчук Б.И. Отражение ударных волн в газожидкостных пенах / ПМТФ. 1985. № 1. С. 106-114.

88. Мандельштам Л.И. Лекщшпо теории колебаний. М.: Наука. 1972. 470с.

89. Мартин, Падманабхан. Распространение импульса давления в двухкомпо-нентном снарядном потоке / Теоретические основы инженерных расчетов. 1979. Т. 101. № I.e. 161-171.

90. Накоряков В.Е,, Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. и др. Экспериментальное исследование ударных волн в жидкости с пузырьками газа / Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск. 1975. е. 54 97.

91. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатомиздат. 1990. 248 с.

92. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Прибатурин H.A. и др. Разрушение газового снаряда при ударном нагружении / ДАН еееР. 1990. Т.311. Хо4.С.826-829.

93. Нестеренко В.Ф. Импульсное нагружение гетерогенных материалов. Новосибирск: Наука. 1992. 198 с.

94. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука. 1987. Ч. 1. 464с.

95. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука. 1987. Ч. 2. 360с.

96. ПаламарчукБ.И., Малахов А.Т. Затухание ударных волн в пене при взрыве конденсированного ВВ / ФГВ. 1990. Т.26. №6. С. 135-143.

97. ЮПаркин Б.Р., Гилмор Ф.Р., Броуд Г.А. Ударные волны в воде с пузырьками воздуха / Подводные и подземные взрывы. М.: Мир. 1974. С. 152 258.

98. Ш.Пекуровский Л.Е., Созоненко Ю.А. Нормальное падение плоской акустической волны на жесткую стенку, покрытую тонким сжимаемым слоем / Изв. АНСееР. МЖГ. 1988. №4. е. 139-148.

99. ИПерссон К.О. Давление в ударной волне при косом соударении. Теоретическое исследование / Механика. Сер. Новое в зарубежной науке. М.: Мир. 1976. С. 132-149.

100. МЪПлаксий В.А. Цилиндрическиевзрывнью волны в многокомпонентных средах / ПМТФ. 1978. № 3. е. 93 99.

101. А.Рахматулин Х,А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред / ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 184 195.

102. Рахматулин Х,А. О распространении волн в многокомпонентных средах / ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 4. С. 598 601.

103. Рахматулин Х,А. Газовая и волновая динамика / М.: МГУ. 1983. 200 с.

104. Рахматулин Х,А,, Сагомонян А.Я., Бунимович АЖ и др. Газовая динамика М.: Высщая школа. 1965. 722 с.11%.Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука. 1978. 688 с.

105. Рождественский Б.Л. Исправленная теория и модели сверхзвукового обтекания клина и конуса невязким газом / ЖВМ и МФ. 1999. Т.39. №2.С.289-293.

106. Сидоркина СИ. О некоторых движениях аэрозоля / ДАН СССР. 1957. Т. 112. №3.0.398-399.

107. ИЪ.Суров B.C. Косое соударение металлических пластин / ФГВ. 1988. Т. 24. № 6. С. 115-120.

108. НА.Суров В.С, Агеев СГ. Начальная стадия удара капли воды о поверхность сжимаемой преграды / Изв. ВУЗов «Энергетика». 1989. № 2. С. 103 106.

109. Суров В,С, Агеев СГ. Двумерные расчёты соударения капель сжимаемой жидкости с преградой / Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1989. Вып. 4. С. 66-71.

110. Суров B.C., Фомин В.М. Численное моделирование взаимодействия водяной капли с сильной ударной волной / ПМТФ. 1993. Т. 34. № 1. С. 48 54.

111. Суров B.C. О воздействии плоских воздушных ударных волн на пенообразные среды / Теплофизика и аэромеханика. 1994. Т. 1. № 4. С. 285 292.

112. Суров В,С. Математическое моделирование процессов при взаимодействии жидких фрагментов с преградами, газовыми струями и ударными волнами / Заключит, отчет № госрегистр. 01.9.30 003360. 1994. 69 с.

113. Суров В.С, Численное моделирование взаимодействия сильной ударной волны с каплями жидкости / ПМТФ. 1995. Т. 36. № 3. С. 38 44.

114. ХЗА.Суров B.C. Сравнительный анализ двух моделей пены / ФГВ. 1995. Т. 31. №3. С. 22-28.

115. Суров B.C. О распространении волн в пенах / ТВТ. 1996. Т. 34. № 2. С. 285 -292.

116. Суров B.C. К расчёту методом Годунова односкоростных течений двухфаз-Hbix сред / Вестник Челябинского университета. Сер. Физика. 1997. Вып. 1. С. 116-123.

117. XAl.Cypoe B.C. Расчёт взаимодействия воздушной ударной волны с пористым материалом / Вестник Челябинского университета. Сер. Физика. 1997. Вып. I.e. 124-134.

118. ХАЗ.Суров B.C. Распад произвольного разрыва в односкоростной гетерогеннойсмеси сжимаемых сред / ТВТ. 1998. Т. 36. № 1. С. 157 161. ХАА.Суров B.C. К расчёту течений односкоростной гетерогенной смеси / ТВТ.1998. Т. 36. №2. С. 272-278.

119. ХА5.Суров B.C. Об одной модификации метода Годунова для расчёта односкоростных течений многокомпонентных смесей / Математическое моделирование. 1998. Т. 10. № 3. С. 29 38. ХАЬ.Суров B.C. Анализ волновых явлений в газожидкостных средах / ТВТ. 1998.

120. Т. 36. №4. С. 624-630. X AI. Суров B. C. К расчёту ударнонзолновых процессов в пузырьковых жидкостях

121. Суров В.С. Численное моделирование распада разрыва в дисперсной среде при различной симметрии движения / ТВТ. 2000. Т. 38. Её 2. С. 352.

122. SA.Cypoe В.С. Течение типа Прандтля-Майера для односкоростной модели дисперсной среды / ТВТ. 2000. Т. 38. № 3. С. 491 495.

123. Фаресов Ю.М., Гвоздева Л.Г. Экспериментальное исследование нормального отражения ударных волн от торца, покрытого слоем пористого сжимаемого материала / В сб.: Нестационарные течения газов с ударными волнами. М.: МФТИ. 1990. С. 179 187.

124. ЫО.Фисенко В.В. Сжимаемость теплоносителя и эффективность работы контуров циркуляции ЯЭУ. М.: Энегроатомиздат. 1987. 200 с.

125. Чижов А.В., Шмидт А.А. Взаимодействия капли жидкости с твёрдой поверхностью / Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22. Вып. 3. С. 57 62.

126. Цейтлин Я.И., Гильманов RA., Нилов В.Г. О локализации действия гидроударной волны взрыва пузырьковой завесой / В кн.: Взрывное дело. № 82 / 39. М.: Недра. 1980. С. 264 272.

127. Borisov А.А., Gelfand В.Е. et al Shock waves in water foams / Acta Astron. 1978. Vol. 5. No. 4. P. 1027.

128. Brode H.L. Numerical solution of spherical blast waves / J. Appl. Phys. 1955. Vol. 26. No. 6. P. 766-775.

129. Batchelor G.K. The mechanics of two-phase systems. In: Progress in Heat and Mass Transfer. Vol. 6. Proc. hit. Symp. on two-phase systems. Haifa. 1971. Per-gamon Press. 1972.

130. Eddington R,B. Investigation of supersonic phenomena in a two-phase (Uquid-gas) tunnel / AIAA J. 1970. Vol. 8. No. 1. P. 65 74.

131. Comput. Phys. 1981. Vol. 44. No. 2. P. 377 387. 173.Friedman M.P. A simplified analysis of spherical and cylindrical blast waves / J.

132. Fluid Mech. 1961. Vol. 11. No. 1. P. 1 15. 17AHarten A. High resolution schemes for hiperbolic conservation laws / J. Comput. Phys. 1983. Vol. 49. P. 357 - 393.

133. Hofmann K, AndrewsD.J., MaxwellD,E, Computed shock response of porous aluminum / J. Appl. Phys. Vol. 39. No. 10. P. 4555 4562.

134. Noordzij L. Shock waves in bubble-liquid mixtures / Неустановившиеся течения воды с большими скоростями. М.: Наука. 1973. С. 369 383.

135. Romate J,E, An approximate Riemaim solver for a two-phase flow model with numerically given slip relation / Comput. And Fluids. 1998. Vol.27.No.4.P.455-477.

136. Phys. 1984. Vol. 56. P. 363 409. 187.Гаи M,J,, Bankoff S.G. Propagation of pressure waves in bubbly mixtures /

137. Wallis G,B. One-dimensional two-phase flow. McGraw-Hill. 1969. Русский перевод; УоллисГ. Одномерные двухфазные течения. М.: Мир. 1972.

138. Van Leer В. Towords the ultunate conservative difference scheme. V. A second order sequel to Godunov's methods / J. Comput. Phys. 1984. Vol. 56. No. 1. P. 101-136.

139. Van Wijngaarden L. On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubles / J. Fluid Mech. 1968. Vol. 33. Part 3. P. 465 474.