Динамика неизотермических взвесей в вибрационных полях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Теплое Владислав Станиславович

ДИНАМИКА НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ ВЗВЕСЕЙ В ВИБРАЦИОННЫХ

ПОЛЯХ

01 02 05 - Механика жидкости, газа и плазмы у

/

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь-2007

003065489

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Любимов Д В

Официальные оппоненты

• д ф -м н, доцент Черепанов Анатолий Александрович

• к ф -м н Вертгейм Игорь Иосифович

Ведущая организация Челябинский государственный университет, Челябинск

Защита состоится " ё^/гг^Лё/иЯ в 1515 на заседании диссертационного совета Д 212 189 06 в Пермском государственном университете 614990, г Пермь, ул Букирева, 15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, к ф -м н, доцент

Г И Субботин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Дисперсные системы, такие как взвеси твердых частиц в жидкости, газовзвеси, газожидкостные смеси, широко распространены в природе и в различных областях человеческой деятельности По сравнению с однофазными, такие системы являются с одной стороны более сложными, с другой - могут при определенных условиях приводить к интересным физическим эффектам, связанным с неоднофазностью среды Изучение поведения неизотермических взвесей в переменных силовых полях представляет значительный теоретический и практический интерес

С теоретической точки зрения, проблема остается практически не изученной Причина этого состоит в том, что даже в случае отсутствия вибрационных ускорений, система уравнений, полученная в рамках традиционных приближений Буссинеска, содержит асимптотически малые, и асимптотически большие параметры Здесь даже в случае, когда полость, заполненная двухфазной средой, совершает линейные гармонические колебания, следует ожидать новых эффектов, связанных с переносом массовой концентрации примеси

С другой стороны, результаты, полученные в ходе теоретического исследования, могут быть использованы при решении проблем интенсификации ряда технологических процессов, управления устойчивостью гидродинамических систем с помощью добавления примеси Цель работы

• изучение устойчивости конвективных течений запыленной среды в условиях вибраций конечной частоты при однородном распределении примеси по всему объему, занимаемому дисперсной средой,

• изучение устойчивости конвективных течений запыленной среды в условиях вибраций высокой частоты при однородном распределении частиц во всем объеме среды,

• изучение устойчивости конвективных течений запыленной среды в условиях вибраций конечной частоты с учетом эффектов, связанных с переносом массовой концентрации примеси

Научная новизна результатов

• впервые получена одножидкостная модель конвективной динамики двухфазной среды в условиях вибраций конечной частоты,

• решена задача о параметрическом возбуждении вторичного течения в вертикальном слое жидкости в присутствии мелких твердых частиц при однородном распределении частиц во всем объеме среды,

• впервые получена одножидкостная модель осредненных уравнений, описывающая поведение неизотермической взвеси под действием высокочастотных линейно-поляризованных вибраций в статическом поле тяжести,

• решена задача устойчивости конвективных движений в вертикальном слое двухфазной среды в условиях вибраций высокой частоты при однородном распределении примеси по всему объему, занимаемому дисперсной средой, исследованы свойства возмущенных уравнений,

• впервые получены уравнения конвективной динамики двухфазной среды в условиях вибраций конечной частоты в приближении малых значений массовой концентрации примеси с учетом эффектов, связанных с ее неоднородным распределением,

• решена задача устойчивости горизонтального слоя двухфазной среды при наличии вертикальных вибраций конечной частоты

Автор защищает:

• вывод одножидкостной модели конвективной динамики двухфазной среды в условиях вибраций конечной частоты,

• результаты исследования задачи о параметрическом возбуждении вторичного течения в вертикальном слое жидкости в присутствии мелких

твердых частиц при однородном распределении частиц во всем объеме среды,

• вывод одножидкостной модели осредненных уравнений, описывающей поведение неизотермической взвеси под действием высокочастотных линейно-поляризованных вибраций в статическом поле тяжести,

• результаты исследования задачи устойчивости конвективных движений в вертикальном слое двухфазной среды в условиях вибраций высокой частоты при однородном распределении примеси по всему объему, занимаемому дисперсной средой,

• вывод уравнений конвективной динамики двухфазной среды в условиях вибраций конечной частоты в приближении малых значений массовой концентрации примеси с учетом эффектов, связанных с ее неоднородным распределением,

• результаты исследования задачи устойчивости горизонтального слоя двухфазной среды при наличии вертикальных вибраций конечной частоты

Практическая денность. Результаты, полученные во второй и четвертой главе, могут быть использованы при решении проблемы интенсификации теплообмена в химической промышленности и в различных технологических процессах, например, при выращивании кристаллов

Результаты, полученные в третьей главе, могут быть частично использованы при решении проблемы управления конвекцией в ряде технологических процессов с помощью включения вибраций и добавления примеси В одних случаях в условиях вибрационного воздействия, добавление к жидкости частиц приводит к повышению, а в других - к понижению устойчивости механического квазиравновесия или стационарного течения Достоверность результатов подтверждается сравнением с результатами других работ в общих областях параметров, использованием апробированных методов, зарекомендовавших себя в смежных областях, сравнение с

экспериментом там, где это возможно, внутренней согласованностью результатов, получаемых при разных подходах

Апробация работы. Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались на Xth European and Vith Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity (June 1997, StPeterburg), 11-й Международной зимней школе по механике сплошных сред (январь 1997 г, Пермь), Third International Conference on Multiphase Flow (June, 1998, Lyon, France), 12-й Международной зимней школе по механике сплошных сред (январь 1999 г , Пермь), Восьмом Всероссийском Съезде по теоретической и прикладной механике (июнь 2001г, Пермь), а также неоднократно на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г 3 ГершунииЕМ Жуховицкого

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 печатных работах [1-14], в том числе, 2 статьи [1,2], входящие в список ВАК В статьях [1-3] автор принимал участие в выводе основных уравнений для конвективных движений в запыленной среде в условиях вибрации конечной частоты, постановке задачи, основных вычислениях и обсуждении результатов, в работах [4-9] автору принадлежит вывод определяющих уравнений, участие в постановке задачи и основных вычислениях, работы [10-14] выполнены автором самостоятельно

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 101 название

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко очерчен круг вопросов, обсуждаемых в диссертационной работе, производится постановка задачи и основные результаты исследования В первой главе обсуждаются процессы, описываемые в рамках неоднофазной среды Рассматриваются основные принципы, используемые при построении модели многоскоростной монодисперсной среды Производится литературный

обзор, где обсуждаются работы по исследованию влияния как низкочастотных, так и высокочастотных, в том числе акустических вибраций на поведение различных дисперсных систем, обсуждаются работы по устойчивости равновесия и стационарных течений взвесей

Во второй главе в параграфе 2 1 выводится модель конвективной динамики двухфазной среды в условиях вибрации конечной частоты В качестве исходной использована двухжидкостная модель Нигматулина (Нигматулин РИ Динамика многофазных сред 41 М Наука, 1987 464 с) Предполагается, что взаимодействие частиц с жидкостью происходит по закону Стокса Для того чтобы реализовать такой квазистационарный режим, необходимо, чтобы плотность частиц была много больше плотности жидкости (газа), а радиус частиц много меньше характерного размера задачи, что наиболее характерно для газовзвеси или вязкой жидкости, содержащей достаточно мелкие тяжелые частицы При применении к двухжидкостной модели обобщенных приближений Буссинеска, в предельном случае, когда параметр отношения плотностей фаз стремится к бесконечности D = ps0/pfo-^оо, а объемная доля твердых частиц - к нулю ф-»0 (при этом массовая концентрация примеси £ = cpD остается конечной), показано, что возможно упрощение и переход к одножидостному описанию Когда полость вместе с неизотермической жидкостью, содержащей обменивающиеся движением и теплом тяжелые твердые частицы, совершает гармонические колебания в поле тяжести с амплитудой смещения а и частотой со в направлении, характеризуемом единичным вектором й, уравнения конвекции имеют вид

(l + - + (of V)Tf I = — ATf + SB^(y + nAcosQt) VTf,

^ + Vk = S(y + nAcosQt) 8t

V 6f=0, us = Cf -Sn(y + nAcosQt), Ts = Tf Задача характеризуется шестью безразмерными параметрами Gr = gß©h3/v2,

Pr = v/x, А = аю2/g, n = c>h2/v, S = 2/9DGa(r/h)2, B = Cs/Cf - число Грасгофа, число Прандтля, безразмерные амплитуда и частота вибраций, параметр двухфазной среды, отношения теплоемкостей фаз Здесь ни один из безразмерных параметров, фигурирующих в конечных уравнениях, а также их всевозможные комбинации, не совпадают ни с одним из таких асимптотически больших или малых параметров, как Ga, ß 0, D или r/h

На базе полученных уравнений в параграфе 2 2 рассматривается задача о параметрическом возбуждении вторичного течения в вертикальном слое

жидкости в присутствии мелких твердых частиц в условиях горизонтальных вибраций конечной частоты параллельных вертикальным границам при однородном распределении частиц во всем объеме среды Получено

„ , „ , пульсирующее с конечной

Рис 1 Зависимость критического (минимизированного

по к) значения амплитуды модуляции Ag+ от периода частотой течение, которое

1 /П+ при различных значениях параметра S+ (число

возникало в плоском слое в

Прандтля фиксировано Рг=26, области

неустойчивости расположены выше коивой 1 условиях невесомости при

наличии поперечной разности температур и вибрации конечной частоты в плоскости слоя Однако показано, что течение с кубическим профилем скорости, которое возникает в вертикальном слое благодаря силе тяжести, оказывает существенное влияние на вибрационную компоненту течения

Спектрально-амплитудная задача решалась численно с помощью метода Галеркина, с использованием базиса Петрова Для отыскания границ устойчивости основного течения системы использовался метод Флоке, который включает в себя построение матрицы монодромии и вычисление ее собственных значений Найдено, что все наиболее опасные возмущения в однородной жидкости относятся к «целому» типу, те частота осцилляции вторичного течения совпадает с частотой внешнего воздействия (синхронные возмущения) Отсутствие субгармонических («полуцелых») возмущений объясняется с использованием симметрии задачи Построены зависимости критического (минимизированного по волновому числу) значения амплитуды модуляции и минимального волнового числа от периода при различных значениях параметра оседания Показано, что добавление частиц в поток приводит к повышению порогового значения амплитуды модуляции и увеличению длины волны критических возмущений Производится сравнение с экспериментом

В третьей главе в параграфе 3 1 обсуждаются основные принципы и подходы при построений модели динамики двухфазной среды в условиях вибрации высокой частоты Показано, что в этом случае пользоваться обычными приближениями Буссинеска нельзя, так как такой подход приводит к появлению в уравнениях движения асимптотически больших и асимптотически малых параметров из-за присутствия в системе характерных времен, связанных с процессами выравнивания неоднородностей скорости и температуры С другой стороны, при выводе уравнений в приближениях Буссинеска из "первых принципов", те на основе уравнений баланса массы, импульса и энергии, приходится пренебрегать эффектами генерации осредненного движения, связанными с неоднородностью плотности жидкости по сравнению с эффектами, вызванными переносом массовой концентрации примеси Таким образом, в качестве исходных уравнений, подлежащих усреднению, принимаются уравнения динамики двухфазной среды в условиях вибрации

конечной частоты, полученные во второй главе Показано, что, для того чтобы учесть основные эффекты, связанные с генерацией осредненного движения в двухфазной среде, необходимо, как и в случае "чистой" жидкости, конвекцию, состоящую из осредненной и колебательной компонент, условно рассматривать как комбинированное течение, в котором колебательная компонента играет роль вынужденного течения, но вместе с тем, сама колебательная компонента связана как с температурной неоднородностью, так и с наличием примеси В параграфе 3 2, на основе сделанных заключений, выводится система осредненных уравнений, описывающая поведение неизотермической взвеси под действием высокочастотных линейно-поляризованных вибраций в статическом поле тяжести при однородном распределении примеси по всему объему Система уравнений имеет вид

(l + ijof— + (ö V)öl = -VP + Av + §(y V)ß + GrTf + Grv (b v)(t3-l), Kdt )

(l + B£o0^+(ö У)т| = ~ЛТ + §Ву VT + aBGrvdiv((Tn V)b),

V ü = 0, V w = 0, V x w = VTxn, L = w + an Vu, где S = S^0=9/2§0DGa(r/h)2, ct = S/Gr, Grv =(acoß9h)2/2v2(l +-параметр оседания, параметр неоднородности среды и вибрационное число Грасгофа соответственно

Система должна решаться при обычных граничных условиях для скорости и температуры, Так, например, на твердой границе х = ±1 должны выполняться условия и|г= 0, Т[г=+1

Что же касается вектора w, то, имея в виду "невязкий" характер пульсационного течения, следует поставить условие обращения в нуль нормальной компоненты wn на границе полости wn |р=0 Как видно, даже в случае линейно-поляризованных ускорений, в системе присутствуют эффекты, связанные с появлением примеси твердых частиц Мерой отличия от случая однородной жидкости, кроме параметра оседания, который проявляется и в

отсутствие вибрационных ускорений, служит параметр а, отвечающий за пульсационный перенос осредненных полей

Данная система допускает предельный переход как к уравнениям вибрационной конвекции Зеньковской-

Симоненко (при устремлении

_ , _ массовой концентрации к

Рис 2 Зависимость минимизированных по волновому

числу критических значений вибрационного числа нулю), так и к уравнениям Рэлея от числа Прандгля при различных значениях

параметра неоднородности среды а+ конвекции в запыленной среде

- в отсутствие вибраций На базе полученных уравнений в параграфе 3 3 исследуется задача устойчивости конвективных движений в вертикальном слое двухфазной среды в условиях горизонтальных вибрации высокой частоты,

160 Яау

155

150

» / 0 07 ____^

1« 004

135 ——— 0^=0

Ш /7/

125 11

ш III Рг+-

приложенных в продольном направлении,

Рис 3 Нейтральные кривые 11ау (к) при а+ = 0 16 и различных значениях числа Прандтля При Рг+=219 происходит качественная перестройка гидродинамических структур длина волны критических движений скачком уменьшается почти в два раза (бистабильность)

при однородном распределении примеси по всему объему, занимаемому дисперсной средой Рассматриваются свойства

возмущенных уравнений

Показано, что общая картина устойчивости, как и в случае однородной жидкости, может быть понята из рассмотрения двух предельных случаев, а именно - плоских и спиральных возмущений

В классе плоских возмущений задача не

содержит вибрационной силы и определяется обычной задачей устойчивости течения среды с примесью в вертикальном слое без вибраций В классе спиральных возмущений задача не содержит скорости основного течения и совпадает с задачей устойчивости механического квазиравновесия среды с примесью в невесомости при наличии поперечной разности температур и вибрации в плоскости слоя Спектрально-амплитудная задача решалась численно с помощью метода Галеркина, с использованием базиса Петрова Показано, что добавление частиц в поток приводит к качественно новым эффектам Если число Прандтля не превышает значения Рг+ »11, наличие примеси приводит к дестабилизации "квазиравновесия" При этом наиболее опасными становятся все более короткие волны При 11 < Рг+ <17, короткие волны, продолжая оставаться наиболее опасными, приводят к повышению порога устойчивости Если же Рг+ >17, добавление частиц, как и в предыдущем случае, стабилизирует "квазиравновесие", но приводит к увеличению длины волны критических возмущений Определены критические параметры для режима термоконцентрационной конвекции Рассмотрен механизм перехода к термоконцентрационному режиму Показано, что в этом случае при определенном соотношении между параметрами, пороговым образом происходит качественная перестройка гидродинамических структур В четвертой главе в параграфе 4 1 показано, что уравнения вибрационной конвекции в запыленной среде, полученные в главах 2 и 3, имеют существенные ограничения относительно градиентов массовой концентрации примеси Найдено, что здесь массовая концентрация примеси может изменяться лишь так, чтобы ее градиент был направлен по вектору У = у + пАсовСЙ Это, в свою очередь, оставляет рассматриваемые в указанных главах задачи корректными только для случая однородного распределения концентрации по объему Понятно, что в этом случае можно говорить лишь о качественной стороне вопроса, так как, например, мелкомасштабная модуляция концентрации частиц приводит, в силу уравнения неразрывности, к

пространственной модуляции поля скорости Здесь же, в параграфе 4 2, выводятся и обсуждаются в приближении малых значений массовой концентраций примеси уравнения конвективной динамики двухфазной среды в условиях вибраций конечной частоты с учетом эффектов, связанных с ее неоднородным распределением При этом предполагается, что объемная доля частиц настолько мала, что произведение cpD асимптотически стремится к нулю при D —> оо Уравнения вибрационной конвекции жидкости с твердой примесью в условиях вибраций конечной частоты имеют вид

^ + öf Vüf = -VP + Auf + (GrT - 'ф + nA sin Qt), öt

—+6f VTf = —ATf, dt Pr

—+uf V§ = S(y + nsmQt) dt

V Df =0

На твердой границе x = ±1 должны выполняться условия и |г= 0, Т |г= +1

Для массовой концентрации примеси вид условий на границе определяется из конфетной постановки задачи Кроме этого, в силу того, что уравнение для концентрации содержит частные производные только первого порядка по пространственным координатам, достаточно для каждой из координат задать условия только на одной границе

На базе полученных уравнений в параграфе 4 3 решается задача устойчивости горизонтального слоя двухфазной среды в условиях вибраций конечной частоты поперек слоя В пределе малых значений характерного размера частиц, когда можно пренебречь их оседанием, задача сводится к неоднородному уравнению Матье с диссипативным слагаемым Показано, что влияние частиц проявляется даже в изотермическом случае в то время как в однородной жидкости всякое решение затухает, в среде с примесью устанавливаются вынужденные движения С помощью метода многих масштабов, в предположении малых значений коэффициента затухания и

амплитуды модуляции, найдено решение задачи При конечных значениях коэффициента затухания, с использованием теории Флоке, построена карта устойчивости в плоскости параметров обратная частота - абсолютная амплитуда модуляции при фиксированных значениях числа Грасгофа и числа Прандтля Показано, что в области параметров, где в однородной жидкости достигается стабилизация, система имеет решение, осциллирующее около некоторого среднего значения с частотой вынуждающей силы

Основные результаты

1 Получена одножидкосшая модель конвективной динамики двухфазной среды в условиях вибраций конечной частоты,

2 Решена задача о параметрическом возбуждении вторичного течения в вертикальном слое жидкости в присутствии мелких твердых частиц при однородном распределении частиц во всем объеме среды,

3 Получена одножидкостная модель осредненных уравнений, описывающая поведение неизотермической взвеси под действием высокочастотных линейно-поляризованных вибраций в статическом поле тяжести,

4 Решена задача линейной устойчивости в вертикальном слое двухфазной среды в условиях вибраций высокой частоты при однородном распределении примеси по всему объему, исследованы свойства возмущенных уравнений,

5 Получена одножидкостная модель конвективной динамики двухфазной среды в условиях вибраций конечной частоты в приближении малых значений массовой концентрации примеси с учетом эффектов, связанных с ее неоднородным распределением,

6 Решена задача устойчивости горизонтального слоя двухфазной среды при наличии вертикальных вибраций конечной частоты

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1 DA Bratsun, V S Teplov On the stability of the pulsed convective flow with small heavy particles// Eur Phys J AP 10, 219-230 (2000)

2 ДАБрацун, В С Теплов О параметрическом возбуждении вторичного течения в вертикальном слое жидкости в присутствии мелких твердых частиц // ПМТФ 2001, №1,Т 42 С 48-55

3 D A Bratsun, V S Teplov Parametric excitation of a secondary flow in a vertical layer of a fluid m the presence of small solid particles J Appl Mech Techn Phys , Vol 42, No 1,2001, pp 42-48

4 D V Lyubunov, V S Teplov, D A Bratsun On the equations of thermovibrational convection in dusty media Abstracts Joint Xth European and Vith Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity St Peterbuig, Russia, 15-21 June 1997, p 82

5 D V Lyubimov, V S Teplov, D A Bratsun «On the equations of thermovibrational convection in dusty media» Proceedings of Joint Xth European and Vith Russian Symposium on Physical Sciences m Microgravity StPeterburg, 1997

6 Теплов В С, Любимов Д В , Брацун Д А "Об уравнениях движения в запыленной среде в условиях вибраций высокой частоты" 11-я Международная Зимняя школа по механике сплошных сред Тезисы докладов, Книга 2, Пермь, 1997, с 278

7 D V Lyubimov, D A Bratsun, Т Р Lyubimova, В Roux, V S Teplov Non-isothermal flows of dusty media Third International Conference on Multiphase Flow ICMF-98, 8th-12th June, 1998, Lyon, France Book of Abstracts, 4 1-7

8 D V Lyubimov, D A Bratsun, T P Lyubimova, В Roux, V S Teplov Non-isothermal flows of dusty media Third International Conference

on Multiphase Flow ICMF-98, 8th-12th June, 1998, Lyon, France Proceedings on CD, PDF/PDF600/PDF676

9 Брацун ДА, Зюзгин AB, Путин ГФ, Теплов ВС О параметрическом возбуждении конвекции в вертикальном слое жидкости, совершающем низкочастотные вибрации 12-я Международная Зимняя школа по механике сплошных сред Тезисы докладов, Пермь, 1999, с 103

10 В С Теплов Об уравнениях конвективной неустойчивости жидкости с примесью твердых частиц в условиях модуляции силы тяжести Вестник ПГТУ, ПММ 1/2005 С 35-43

11 ВС Теплов К проблеме описания конвективных движений в запыленной среде в условиях вибрации высокой частоты Вестник ПГТУ, ПММ 1/2006 С 35-43

12 ВС Теплов Устойчивость плоскопараллельного течения в вертикальном слое двухфазной среды в условиях вибрации высокой частоты Вестник ПГТУ, ПММ 1/2006 С 28-34

13 ВС Теплов К проблеме описания вибрационной конвекции в запыленной среде / Перм Гос Техн Ун-т - Пермь, 2006 Деп В ВИНИТИ 09 11 06 № 1349 _ в 2006

14 Теплов ВС К проблеме влияния твердой примеси на

устойчивость конвективных течений в условиях вибрации

высокой частоты / Перм Гос Техн Ун-т - Пермь, 2006 Деп В

ВИНИТИ 09 11 06 № 1350 - В 2006

Подписано в печать 04 06 07 Формат 60X90/16 Набор компьютерный Тираж 100 экз

_Объем 1,0 уч изд п л Заказ № 835/2007_

Издательство

Пермского государственного технического университета 614600, г Пермь, Комсомольский пр , 29, к 113 тел (342)219-80-33

ВВЕДЕНИЕ.

1. ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОПИСАНИЯ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССОВ В НЕОДНОФАЗНЫХ СРЕДАХ.

1.1. Процессы, описываемые в рамках неоднофазной среды.

1.2. Модель многоскоростной монодисперсной среды.

1.3. Состояние вопроса.

1.4. Общая характеристика работы.

2. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЗАПЫЛЕННОЙ СРЕДЫ В УСЛОВИЯХ ВИБРАЦИЙ КОНЕЧНОЙ ЧАСТОТЫ.

2.1. Принципы построения модели двухфазной среды в условиях вибраций конечной частоты.

2.2. Параметрическое возбуждение вторичного течения в вертикальном слое жидкости в присутствии мелких твердых частиц.

2.2.1. Введение.

2.2.2. Основное течение.

2.2.3. Спектрально-амплитудная задача.

2.2.4. Численное решение.

2.2.5. Сравнение с экспериментом.

3. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ЗАПЫЛЕННОЙ СРЕДЕ В УСЛОВИЯХ ВИБРАЦИЙ ВЫСОКОЙ ЧАСТОТЫ.

3.1. Принципы построения модели.

3.1.1 Основные принципы и подходы при построении модели высокочастотной вибрационной конвекции в запыленной среде.

3.1.2 Уравнения высокочастотной вибрационной конвекции в запыленной среде. Прямое разложение.

3.1.3. Уравнения высокочастотной вибрационной конвекции в запыленной среде. Случай малой теплоемкости частиц.

3.2. Осредненная замкнутая система уравнений высокочастотной вибрационной конвекции в запыленной среде.

3.3. Устойчивость конвективных движений в вертикальном слое двухфазной среды в условиях вибраций высокой частоты.

3.3.1 Свойства возмущенных уравнений. Спектрально - амплитудная задача.

3.3.2 Численное решение.

3.3.3 Результаты расчетов.

4. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ЗАПЫЛЕННОЙ

СРЕДЕ В УСЛОВИЯХ ВИБРАЦИЙ КОНЕЧНОЙ ЧАСТОТЫ. ПРЕДЕЛ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАССОВОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ

ПРИМЕСИ.J

4.1. Введение.

4.2. Вывод определяющих уравнений.

4.3. Устойчивость горизонтального слоя двухфазной среды в условиях вибраций конечной частоты поперек слоя.

4.3.1. Спектрально-амплитудная задача.

4.3.2. Разложение вблизи периодического решения.

Теория гидродинамической устойчивости и тесно связанная с ней проблема возникновения турбулентности представляется в настоящее время наиболее интересной и бурно развивающейся областью механики жидкости и газа. Это объясняется весьма широкими приложениями результатов данной w теории к исследованиям природных процессов и к различным задачам техники и технологии. К таким задачам относятся, в частности разработка систем охлаждения атомных реакторов [1], методов диагностики параметров аэрозолей (например, дождя - его удельный объем или водность) для анализа и последующего моделирования атмосферных процессов в лабораторных условиях [2], способов разделения газовых смесей [3].

В теоретическом отношении, особое место здесь занимают вопросы конвективной устойчивости. Обладая более богатым по сравнению с изотермическими течениями спектром характеристических возмущений, конвективные течения обнаруживают широкое разнообразие механизмов неустойчивости. Наличие различных по своей физической природе механизмов развития возмущений делает конвективные течения чувствительными к воздействию всякого рода внешних и внутренних факторов. Так, например, продольная прокачка, движение границ, вибрация кроме существенного влияния на границы устойчивости и характеристики критических возмущений приводят к появлению новых механизмов неустойчивости [4,5]. Однако, как показано в [6], попытки учесть влияние этих факторов на базе уравнений, выведенных в рамках "обычных" приближений Буссинеска и учитывающих зависимость плотности от температуры лишь в массовых силах, в ряде работ приводят к неправильным результатам. Как оказалось, при наличии высокочастотных вибраций полости, заполненной жидкостью, пользоваться традиционными уравнениями в приближении Буссинеска можно лишь в тех специальных случаях, когда изотермическое пульсационное поле скорости оказывается однородным. Так, например, обстоит дело в случае поступательных вибраций сосуда с жидкостью: здесь неоднородность пульсационного поля сама обусловлена неизотермичностью. В ситуациях же общего положения, когда пульсационное поле скорости неоднородно (это могут быть непоступательные, например вращательные вибрации, неоднородный нагрев, наличие примеси), необходим учет переменности плотности в инерционных слагаемых, поскольку ускорения элементов жидкости оказываются того же порядка, что и вибрационные ускорения. В этом случае, как показано в [6], действуют два сильных механизма генерации осредненного течения. Первый - виброконвективный объемный эффект, обусловленный взаимодействием неоднородного поля пульсационной скорости и неоднородности плотности, связанной с неизотермичностью. Второй - шлихтинговский изотермический механизм, связанный с взаимодействием пульсаций скорости и завихренности в вязких скин-слоях около твердых поверхностей. Еще сложнее обстоит дело, когда рассматривается случай неоднофазной среды, состоящей из двух фаз, одна из которых дисперсная — капли, пузырьки или твердые частицы, а другая — дисперсионная фаза. Здесь, даже в случае отсутствия вибрационных ускорений, система уравнений, полученная в рамках традиционных приближений Буссинеска [7], содержит асимптотически малые и асимптотически большие параметры. Впервые указанная несостоятельность подхода обнаружена в [8]. Как отмечается в данной работе, последовательно проведенное приближение Буссинеска требует, чтобы ни один из асимптотических параметров, например, такой как число Галилея Ga или параметр неоднородности среды /?<9, не оставался в конечных уравнениях. Здесь же, в рамках обобщенных приближений Буссинеска, производится последовательный вывод уравнений конвекции, описывающих динамику двухфазной среды, состоящей из жидкости (газа) и твердой примеси.

В контексте указанных проблем, представляется естественным обобщение данного подхода на случай двухфазной среды жидкость - твердые частицы, на которую кроме сил тяжести действуют еще и вибрационные силы. В данной постановке даже в случае, когда полость, заполненная двухфазной средой, совершает линейные гармонические колебания, следует ожидать новых эффектов, связанных с переносом массовой концентрации примеси. Если же пульсационное поле скорости также неоднородно, то можно ожидать появления эффектов, связанных с взаимодействием этих двух механизмов генерации осредненного движения.

В диссертационной работе выводятся и обсуждаются уравнения динамики обменивающейся движением и теплом двухфазной среды -несущей жидкости и облака частиц, на которые кроме сил тяжести действуют еще и вибрационные силы. Уравнения получены как для случая конечных частот, так и для случая высоких частот вибраций. На базе выведенных уравнений решается задача конвективной устойчивости в вертикальном слое двухфазной среды в условиях вибрации вдоль слоя. Вместе с тем, как показано, полученные уравнения конвекции в запыленной среде имеют существенные ограничения относительно градиентов массовой концентрации примеси. Это в свою очередь, оставляет рассматриваемые задачи корректными лишь для случая однородного распределения концентрации по всему объему. Понятно, что в этом случае можно говорить лишь о качественной стороне вопроса, так как, например, мелкомасштабная модуляция их концентрации приводит, в силу уравнения неразрывности, к пространственной модуляции поля скорости, в котором находятся частицы. Здесь следует ожидать новых эффектов, связанных с переносом массовой концентрации примеси, и, с другой стороны, требуется новый вывод уравнений. В рамках выведенных уравнений рассматривается задача устойчивости равновесия горизонтального слоя двухфазной среды в условиях вертикальных вибрации конечной частоты.

Заключение

Основными результатами, полученными в настоящей работе, являются следующие:

1. получена одножидкостная модель конвективной динамики двухфазной среды в условиях вибрации конечной частоты;

2. решена задача о параметрическом возбуждении вторичного течения в вертикальном слое жидкости в присутствии мелких твердых частиц при однородном распределении частиц во всем объеме среды;

3. получена одножидкостная модель осредненных уравнений, описывающая поведение неизотермической взвеси под действием высокочастотных линейно-поляризованных вибраций в статическом поле тяжести;

4. решена задача устойчивости конвективных движений в вертикальном слое двухфазной среды в условиях вибрации высокой частоты при однородном распределении примеси по всему объему, занимаемому дисперсной средой; исследованы свойства возмущенных уравнений;

5. в приближении малых значений массовой концентрации примеси получена одножидкостная модель конвективной динамики двухфазной среды в условиях вибрации конечной частоты с учетом эффектов, связвнных с ее неоднородным распределением;

6. решена задача устойчивости горизонтального слоя двухфазной среды при наличии вертикальных вибраций конечной частоты.

1. Anderson Е.Е. Radioactive heat transfer in molten U02 based on the Rosseland diffusion method. Nuclear Technology, Vol. 30 1976, pp.65-70.

2. Б.Немцов Применение акустического зондирования для определения параметров аэрозолей. Акуст. журн. 1990. Т.36. № 4 с.712-717.

3. С.В.Долгушев, В.М.Фомин Уравнения динамики смеси газ-полые селективно-проницаемые микросферы. ПМТФ, 2002, Т. 43, № 1, с.83-90.

4. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М. Наука 1972,392 с.

5. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М. Наука 1989,320 с.

6. D.V.Lyubimov. Convective flows under the influence of high-frequency vibrations. Eur. J. Of Mechanics, B/Fluids, 1995, Vol.14, No.4,439-458

7. Дементьев O.H. Конвективная устойчивость среды, содержащей тяжелую твердую примесь. ПМТФ, 1976, вып.З, с.105-115.

8. Любимов Д.В, Брацун Д.А. Об уравнениях конвекции в запыленной среде. Вестник Пермского университета. Физика, 1997, вып.2, с. 15-29.

9. Coy С. Гидродинамика многофазных систем. М. Мир, 1975, 536с.

10. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред 4.1. М. Наука, 1987,464с.

11. Рудяк В.Я., Гладков М.Ю. Кинематические уравнения молекулярных и мелкодисперсных газовзвесей. Нов-ск, 1993, 30с. (Препринт НИСИ; № 293).

12. Слезкин Н.А. Дифференциальные уравнения движения пульпы. ДАН СССР 1952, Т.86, № 2,235-237.

13. Баренблатт Г.Н. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке. ПММ 1953, Т.17 № 3, 261-274.Франкль Ф.И. ДАН СССР 1955, Т.102, №15.

14. Франкль Ф.И. Уравнение энергии для движения жидкостей со взвешенными наносами. ДАН СССР 1955, Т.102, №5, 903-906.

15. Телетов С.Г. Вестник МГУ, матем., мех., астрон., физ., хим., 1958, № 2.

16. Carrier, G.F. Shock waves in a dusty gas, Vol. 4 ,1958,376 382

17. Рахматулин X.A. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред. ПММ 1956, Т.20, № 2, с. 184-195.

18. Крайко А.Н., Стернин JI.E. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твердыми или жидкими частицами. ПММ 1965, Т.29, №3, 418— 429.

19. Нигматулин Р.И. Уравнения гидромеханики и волны уплотнения в двухскоростной и двухтемпературной сплошной среде при наличии фазовых превращений. Изв. АН СССР МЖГ, 1967, № 5,33^7.

20. Нигматулин Р.И. Некоторые вопросы гидромеханики двухфазных полидисперсных сред. Изв. АН СССР МЖГ, 1968, №3, 63-67.

21. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М. Мир, 1973.

22. Rayleigh L. On the pressure developed in a liquid on the collapse of a spherical cavity. Philos. Mag. 1917, Vol. 34, p.94.

23. Happel, Viscous flow in multiparticle systems: slow motion of fluids relative to. beds of spherical particles, AIChE Journal, 1958, Vol.4, № 2.197-201.

24. Simha, R., 1952, A treatment of the viscosity of concentrated, suspensions, J. Appl. Phys. Vol 23, № 9,1020-1024.

25. Фортье А. Механика суспензий. М.Мир 1971, 342c.

26. Saffman P.G. On the stability of laminar flow of a dusty gas. J.Fluid Мех. 1962, Vol.13, pt.l,pp.l20-128.

27. Drew D.A. Lift-generated instability of the plane Couette flow of a particle-fluid mixture. Phys.Flyids. 1975, Vol.18, № 8, pp.935-937.

28. Drew D.A. Effect of lift force on the stability of uniform fluidization. Phys.Flyids. 1976, Vol.19, № 11, pp.1716-1729.

29. Drew D.A. Stability of a Stokes layer of a dusty gas. Phys.Flyids. 1979, Vol.22, №l,pp.2081-2086.

30. Drew D.A. Averaged field equations for two-phase media. Studies in Appl. Math. 1971, Vol.1, № 3, pp.133-166.

31. В.Я.Рудяк, Е.Б.Исаков Устойчивость течения Пуазейля двухфазной жидкости с неоднородным распределением частиц. ПМТФ, 1996, Т.37, № 1, с.95-105.

32. В.Я.Рудяк., Е.Б.Исаков Устойчивость плоского течения Пуазейля. Нов-ск, 1994,44с. (Препринт НИСИ; № 2-94).

33. Е.Б.Исаков, В.Я.Рудяк Устойчивость течений разреженных газовзвесей и суспензий в плоском канале. Изв. РАН. МЖГ, 1995, № 5, с.79-85.

34. В.Я.Рудяк, М.Ю.Гладков, А.А.Белкин Статистический вывод уравнений переноса механики дисперсных сред. Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей. Нов-ск: НГАС, 1994, с. 18-19.

35. Е.Г.Борд, Е.Б.Исаков, В.Я.Рудяк Устойчивость ламинарных течений разреженных дисперсных сред. Изв. РАН. МЖГ, 1997, №4, с.32-38.

36. V.Ya.Rudyak, E.B.Isacov, E.G.Bord. Stability of two-phase jet flows. J. Thermophysics and Aeromechanics, 1998, vol.5, № 1, pp. 51-57.

37. Serge G., Silberberg A. Behaviour of macroscopic rigid spheres in Poiseuille flow. Pt.1,2 J.FluidMech. 1962. Vol.14, Pt.l, pp.115-157.

38. С.И.Мартынов Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости. Изв. РАН. МЖГ, 2000, № 1, с.84-91.

39. Гупало Е.П. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1960, №6.

40. Michael D.H. The stability of plane Poiseuille flow of a dusty gas. J.Fluid Mech.,1964, N.l, v.18, pp.19-32.

41. Дементьев O.H. О спектре возмущений и устойчивости жидкости, содержащей твердые тяжелые частицы. Гидродинамика, Перм.пед. ин-т. 1976, вып.8, с.42-53.

42. А.Б.Бурмистрова, О.Н.Дементьев Устойчивость стационарного течения жидкости с тяжелой примесью. ПМТФ, 1996, № 2, с.65-68.

43. О.Н.Дементьев Устойчивость конвективного движения среды, несущей твердую примесь. Гидродинамика, Перм.пед ин-т, 1974, вып.7, с.3-15.

44. О.Н.Дементьев Влияние конвекции на устойчивость движения жидкости с неравномерно распределенной тяжелой примесью. ПМТФ, 2000, т.41, № 5, с.180-187.

45. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Штраубе А.В. Поведение пылевого облака в конвективном потоке. Тез. докл. VII Межд. конф. по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Новосибирск: НГАСУ, 2000. С. 40-42.

46. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Штраубе А.В. Захват пылевых частиц конвективным вихрем. Труды 3 Росс, национ. конф. по теплообмену. Москва, 2002. Т. 5. С. 258-261.

47. Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкий О параметрическом возбуждении конвективной неустойчивости. ПММ, 1963, т.27, № 6, с.779-783.

48. Г.З.Гершуни, И.О.Келлер, Б.Л.Смородин О вибрационно-конвективной неустойчивости в невесомости. Конечные частоты. Докл. РАН, 1996, т.348, № 2, с.194-196.

49. Г.З.Гершуни, И.О.Келлер, Б.Л.Смородин О вибрационно-конвективной неустойчивости в невесомости плоского горизонтального слоя жидкости при конечных частотах вибрации. Изв. РАН, МЖГ, 1996, № 5, с.44-51.

50. БЛ.Смородин Об устойчивости термовибрационного течения в наклонном слое жидкости при конечных частотах вибрации. ПМТФ, 2003, т.44, № 1, с.53-61.

51. Зюзгин А.В., Путин Г.Ф. Устойчивость подъемно-опускного течения в вертикальном слое жидкости под воздействием высокочастотных вибраций Сб. Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермский ун-т. 1998. Вып.1. С. 130-141.

52. Зюзгин А.В., Брацун Д.А., Путин Г.Ф. Надкритические нестационарные движения в плоском вертикальном слое жидкости. Вестник Пермского университета. Физика. Вып.2,1997, с.59-76.

53. Л.Х.Беленькая О Возникновении вторичных периодических течений в горизонтальном слое жидкости с примесью под действием вертикальных колебаний.

54. И.Г.Шапошников К теории конвективных явлений в бинарной смеси. ПММ, 1953, т. 17, вып.5, с.604-606.

55. С.М.Зеньковская, И.Б.Симоненко О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 5, с.51-55.

56. С.М.Зеньковская, И.Б.Симоненко Исследование конвекции в слое жидкости при наличии вибрационных сил. Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 1, с.55-58.

57. Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкий, Ю.С.Юрков О конвективной устойчивости при наличии периодически меняющегося параметра. ПММ, 1970, т.34, № 3, с. 470-480.

58. G.Z.Gershuni, D.V.Lybimov Thermal vibrational convection. John Wiley and sons, 1998,358p.

59. Заварыкин М.П., Зорин С.В., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование вибрационной конвекции. Докл. АН СССР, 1985. т.281, N 4, с.815-816.

60. Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкий Вибрационная тепловая конвекция в невесомости. Гидродинамика и процессы переноса в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983, с.86-105.

61. Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкий Об устойчивости конвективного течения в вибрационном поле относительно пространственных возмущений. Изв. АН СССР, МЖГ, № 2,1998, с.116-122.

62. А.Н.Шарифуллин Устойчивость конвективного движения в вертикальном слое при наличии продольных вибраций. Изв. АН СССР, МЖГ, №2, 1983, с.186-188.

63. А.Н.Шарифуллин Волновая неустойчивость свободноконвективного движения в вибрационном поле. Нестационарные процессы в жидкостях и твердых телах, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983, с.58-62.

64. Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкий, В.М.Шихов Устойчивость конвективного течения в вертикальном слое при наличии поперечной вибрации. Конвективные течения, Пермь: Перм. пед. ин-т, 1987, с. 18-24.

65. Д.В.Любимов, А.В.Штраубе Вибрационная динамика слабонеоднородной взвеси. Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: ПГУ, 1998, с.237-250.

66. Н.И.Лобов, Д.В.Любимов, Т.П.Любимова Поведение двуслойной системы жидкость-взвесь в вибрационном поле. Изв. РАН, МЖГ, 1999, № 6, с.55-62.

67. Махеу M.R. On the advection of spherical and non-spherical particles in a nonuniform flow. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1990. V. 333. P.289-307.

68. Druzhinin O.A. Concentration waves and flow modification in a particle-laden circular vortex. Phys. Fluids. 1994. V. 6 №10. P.3276-3284.

69. Druzhinin O.A. On the two-way interaction in two-dimensional particle-laden flows: the accumulation of particles and flow modification. J. Fluid Mech. 1995. V.297.P.49-76.

70. Tio K.-K., Linan A., Lasheras J.C., Ganan-Kalvo A.M. On the dynamics of buoyant and heavy particles in a periodic Stuart vortex flow. J. Fluid Mech. 1993. V. 254. P. 671-699.

71. Raju N., Meiburg E. Dynamics of small, spherical particlesin vortical and stagnation point flow fields. Phys. Fluids. 1997. V. 9. №2. P. 299-314.

72. Stuart J.T. On the finite amplitude oscillations in laminar liquid layers. J. Fluid Mech. 1967. V. 29. P. 417-440.

73. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Штраубе А.В. Численное моделирование аккумуляции частиц взвеси в потоке жидкости Тез. докл. 10 Всерос. конф. мол. уч. "Математическое моделирование в естественных науках", Пермь, 2001. С. 26-27.

74. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Штраубе А.В. Аккумуляция частиц взвеси в потоке жидкости. Гидродинамика. Сб. науч. трудов. Пермь: Перм. ун-т, 2002. Вып. 13. С. 128-140.

75. Lyubimov D.V., Straube A.V. Linear stability problem of suspension in vibration field. XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (APM-2002). St-Petersburg, Russia. 2002. Book of abstracts. P. 69.

76. Straube A.V., Lyubimov D.V., Shklyaev S.V. Averaged dynamics of two-phase media in a vibration field. Phys. Fluids. 2006. V. 18 P.3276-3284.

77. Б.Е.Немцов, В.Я.Эйдман Коллективный эффект конденсации капель под действием звука. Акуст. Журн. 1989, т.35, вып.5, с.882-886.

78. С.Д.Данилов, М.А.Миронов Коллективное взаимодействие взвеси частиц в звуковом поле. Акуст. Журн. 1992, т.38, вып.З, с.456-462.

79. С.Д.Данилов Средняя сила, действующая на малое тело в осесимметричном звуковом поле в реальной среде. Изв. АН СССР, МЖГ, №5,1986, с.161-169.

80. Putin G.F., Zavarykin М.Р., Zorin S.V., Zyuzgin A.V. Dynamic suppression and parametric resonance excitation of convection by the variable inertia field.

81. Abstr. of Internat. workshop "Non-gravitational mechanisms of convection and heat/mass transfer", September 15 17, Zvenigorod, Russia, 1998.

82. Зюзгин А.В. Управление тепловой конвекцией с помощью переменных силовых полей. Кандидатская диссертация, 1998 г.

83. D.A.Bratsun, V.S.Teplov On the stability of the pulsed convective flow with small heavy particles. Eur. Phys. J. AP 10,219-230 (2000).

84. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика. Том I. Механика. -Изд. 4-е, испр. и доп. М: Наука, 1988. - 215 с.

85. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М: Наука, 1969. - 742 с.

86. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М: Мир, 1984. 535 с.

87. Н.В.Гневанов, Б.Л.Смородин Конвективная неустойчивость течения бинарной смеси в условиях вибрации и термодиффузии. ПМТФ. 2006., №2,Т.47 С. 77-84.

88. D.V.Lyubimov, V.S.Teplov, D.A.Bratsun On the equations of thermovibrational convection in dusty media. Abstracts Joint Xth Europeanand Vith Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity. St.Peterburg, Russia, 15-21 June 1997, p.82.

89. D.V.Lyubimov, V.S.Teplov, D.A.Bratsun «On the equations of thermovibrational convection in dusty media». Proceedings of Joint Xth European and Vith Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity. St.Peterburg, 1997.

90. Теплов B.C., Любимов Д.В., Брацуи Д.А. "Об уравнениях движения в запыленной среде в условиях вибраций высокой частоты". 11-я Международная Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов, Книга 2, Пермь, 1997, с.278.

91. D.V.Lyubimov, D.A.Bratsun, T.P.Lyubimova, B.Roux, V.S.Teplov. Non-isothermal flows of dusty media. Third International Conference on Multiphase Flow. ICMF-98, 8th-12th June, 1998, Lyon, France. Book of Abstracts, 4.1-7.

92. D.V.Lyubimov, D.A.Bratsun, T.P.Lyubimova, B.Roux, V.S.Teplov. Non-isothermal flows of dusty media. Third International Conference on Multiphase Flow. ICMF-98, 8th-12th June, 1998, Lyon, France. Proceedings on CD, PDF/PDF600/PDF676.

93. В.С.Теплов Об уравнениях конвективной неустойчивости жидкости с примесью твердых частиц в условиях модуляции силы тяжести. Вестник ПГТУ, ПММ. 1/2005. С. 35 43.

94. B.C. Теплов К проблеме описания конвективных движений в запыленной среде в условиях вибрации высокой частоты. Вестник ПГТУ, ПММ. 1/2006. С. 35-43.

95. B.C. Теплов Устойчивость плоскопараллельного течения в вертикальном слое двухфазной среды в условиях вибрации высокой частоты. Вестник ПГТУ, ПММ. 1/2006. С. 28 34.

96. B.C. Теплов К проблеме описания вибрационной конвекции в запыленной среде. / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2006. Деп. в ВИНИТИ 09.11.06 № 1349-В 2006.

97. Теплов B.C. К проблеме влияния твердой примеси на устойчивость конвективных течений в условиях вибрации высокой частоты. / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2006. Деп. в ВИНИТИ 09.11.06 № 1350 - В 2006.

98. Or А.С. Finite-wavelength instability in a horizontal liquid layer on an oscillating plane. / J. Fluid Mech. 1997. V.335. P.213-232.