Математическое моделирование некоторых задач пограничного слоя в газовзвесях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗАБАРИН Владимир Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ГАЗОВЗВЕСЯХ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

1

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск 2005

Работа выполнена на кафедре физической и вычислительной механики Томского государственного университета и на кафедре высшей математики Кемеровского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, Заслуженный деятель науки РФ А.М. Гришин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор A.M. Бубенчиков,

доктор физико-математических наук, профессор В.Я. Рудяк

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной

механики СО РАН

Защита состоится " £5" МЛЦпТСо 2005 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 в Томском государственном университете по адресу:

634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ТГУ, ауд. 503 в корпусе НИИ ПММ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан " " 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. наук, профессор

Ю.Ф. Христенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование течений многофазных смесей получило существенное развитие в последние 10 лет в связи с математическим моделированием практически важных задач в ракетной технике, авиации, атомной энергетике, турбостроении, пневмотранспорте, защите лесов от пожаров, химической технологии и т. д. При этом основное значение может иметь знание картины течения и характеристик тепло-массообмена в вязком пограничном слое газовзвеси около обтекаемого тела при больших числах Рейнольдса, так как частицы в дисперсном потоке в ряде режимов существенно взаимодействуют с пограничным слоем, изменяют его толщину, величину трения и параметры тепло-массобмена с поверхностью.

Впервые наиболее корректный анализ уравнений газовзвеси, содержащих тензор вязких напряжений, при больших числах Рейнольдса, Яе » 1, был проделан в работе , где методом погранслойных поправок получены уравнения в четырех характерных случаях. В работе 2) подробно решена задача о структуре пограничного слоя на пластине в постановке '' . Дальнейшее развитие теории двухфазного пограничного слоя связано с постановкой и исследованием ряда конкретных задач обтекания пластины потоком газовзвеси, критической точки торца 3), затупленного тела 4>, учетом воздействия таких отягощающих факторов, как сила Сэффмена 5) , пленка жидкости на поверхности и т. д. Значительное количество работ посвящено близким по типу турбулентным течениям в трубах и струях, обзор которых можно найти, например, в работе б> . Из экспериментальных работ следует отметить диссертацию ', в которой исследованы профили параметров

Стулов В.П. Об уравнениях ламинарного пограничного слоя в двухфазной среде // Изв. АН СССР, МЖГ,- 1979,- № 1,- С. 51-60. Осипцов А.Н. О структуре ламинарного пограничного слоя дисперсной смеси на плоской пластине // Изв. АН СССР, МЖГ,- 1980,- № 4,- С.48-54. Осипцов А.Н. Пограничный слой на затупленном теле в потоке запыленного газа // Изв. АН СССР, МЖГ.- 1985,- № 5,- С.99-107. Осипцов А.Н. Нестационарный пограничный слой на затупленном теле в гиперзвуковом потоке неоднородно запыленного газа // Изв. РАН, МЖГ,-2001,-№5,- С. 107-120.

Асмолов В.А. Влияние силы Сэфмена на частицы в пограничном слое // Изв. РАН, МЖГ,- 2001,- № 5.- С. 107-120.

Зайчик Л.И., Першуков В.А. Проблемы моделирования газодисперсных турбулентных течений с горением и фазовыми переходами (обзор) // Изв. РАН, МЖГ,- 1996,- № 5,- С. 3-19.

Богачев В.В. Исследование гидродинамики и теплообмена в запыленном пограничном слое // Автореф. дисс. на соискание учен, степени канд. техн. наук.- Ставрополь, Ставропольский попитгтпптгггир Мц-Т

МАННОМ АЛЫМ*

и теплообмен с поверхностью в ламинарном запыленном пограничном слое на пластине в неравновесном режиме течения

В последнее время интенсивно развиваются новые подходы к моделированию усложненных течений как в рамках континууальных моделей 8), так и неконтинуальных моделей течений газа с частицами с помощью методов статистической физики 9)~i2>.

Вместе с тем недостаточно разработаны математические модели и не изучены свойства течений газовзвеси в пограничном слое в ряде режимов течения. В частности, мало исследовано влияние температурного фактора, числа Маха, вдува-отсоса газа с поверхности при обтекании пластины, кривизны поверхности при обтекании криволинейных тел, эффекты при обтекании тонких тел, влияние нестоксовости коэффициента сопротивления частиц, влияние турбулентности потока на структуру пристенного пограничного слоя газовзвеси.

Целью работы является математическое моделирование течения газовзвеси в пограничном слое около обтекаемого тела при больших числах Рейнольдса в условиях скоростной и температурной неравновесности фаз, которое включает в себя следующие этапы:

1) получение уравнений пограничного слоя и граничных условий при обтекании газовзвесью вогнутой к потоку поверхности и тонких тел;

2) обобщение полуэмпирической модели турбулентных пульсаций Г.Н.Абрамовича 13) на течения с осредненным скольжением фаз и применение ее для расчета турбулентного движения газовзвеси в пристенном пограничном слое;

3) распространение классических приближенных методов для решения уравнений двухфазного пограничного слоя;

4) разработку численной методики расчета;

5) решение ряда практических задач запыленного пограничного слоя,

8) Фомин В.М., Долгушев C.B. Динамика дисперсных систем типа "газовая смесь - полые, селективно проницаемые микросферы"// Доклады АН,-2001 .-Т.381 .--N"5.-C. 626-629.

9) Киселев В.М., Фомин В.М., Исследование каустик в двухфазной среде газ-чаешцы //Журн. прикл. мех. и техн. физики,- 1987. - №4. - С. 164-170.

10) Гладков М.Ю., Рудяк В.Я. Кинетические уравнения мелкодисперсной газовзвеси // Журн. техн. физики.- 1994. -Т.64. - №4. - С. 170-174.

"' Рудяк В,Я., Краснолуцкий С.Л. Кинетическое описание диффузии нано-частиц в разреженном газе // Доклады АН.- 2001 .-Т.381 ,-№5.-С 623-625. 12) Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Кинетическая модель столкновительной примеси в запыленном газе и ее применение к расчету обтекания тел // Известия РАН, МЖГ.- 2000.-№3.-С. 81-96. П) Абрамович Г.Н., Гиршович Т.А., Крашенинников С.Ю., Секундов А.Н., Смирнова И.П. Теория турбулентных струй.- М.. Наука, 1984.

. • • ;

■

I в* 9*

анализ закономерностей решения в зависимости от определяющих параметров: концентрации частиц, вдува, отсоса газа, подвижной поверхности, температурного фактора, числа Маха, кривизны поверхности и др.,

7) обобщение полученных решений в виде универсальных законов;

8) сравнение полученных результатов с экспериментальными данными и известными численными решениями.

Научная новизна работы состоит в том, что

1) разработаны модели ламинарного движения газовзвеси в пограничном слое на вогнутой к потоку поверхности и при обтекании тонкого тела;

2) разработана модель турбулентного движения газовзвеси в пристенном пограничном слое в условиях осредненного скольжения фаз;

3) разработаны методики численного и приближенного аналитического решения задач пограничного слоя газовзвеси;

4) с помощью численных и приближенных аналитических решений получены теоретические данные о структуре ламинарного и турбулентного пограничного слоя для ряда практических задач при обтекании пластины, тонкого клина, поверхности с вогнутой кривизной и критической точки затупленного тела, согласующиеся с известными экспериментальными данными;

5) выяснены эффекты воздействия основных определяющих факторов таких, как концентрации частиц, размера частиц, вдува, отсоса газа, подвижной поверхности, температурного фактора, числа Маха при сверхзвуковом течении, силы Магнуса, силы 1урбулентного дрейфа в пограничном слое на пластине или части этих факторов в других задачах на характеристики трения, теплообмена и осаждения частиц на поверхность.

Достоверность полученных результатов подтверждается путем сравнения в предельных случаях с классическими результатами теории пограничного слоя без частиц, сравнением с известными численными и экспериментальными данными, оценкой сходимости численных решений при измельчении разностной сетки и сравнением с асимптотическими решениями.

Практическая значимость. Полученные численные результаты, асимптотические оценки и приближенные решения могут быть использованы для расчета коэффициентов трения и теплообмена, вычисления потока частиц на поверхность, определения концентрации частиц в потоке, оценке эрозии, толщины жидкой пленки дисперсной фазы на поверхности при проектировании теилонапряженных конструкций. Данные результаты и разработанная программа численного расчета были использованы при выполнении хоздоговорных работ с Московским институтом теплотехники (г. Москва).

Апробация работы . Основные результаты диссертации докладывались на Уральской зональной конференции молодых ученых и специалистов "Молодые механики Западного Урала - народному хозяйству" (г. Пермь, 1980 г.), на III, IV, V, V) всесоюзных совещаниях-семинарах молодых ученых по механике реагирующих сред (г. Междуреченск, 1980 г., г. Томск, 1982 г., г. Томск, 1984 г., г. Междуреченск, 1986 г.), на XIII региональной конференции

"Математическое моделирование задач гидрогазодинамики" (г Новосибирск, ИТПМ, 1987 г. ), на краевых конференциях "Численные методы механики сплошной среды" (г. Красноярск, 1987 г. и 1988 г.), на краевой конференции "Совещание - семинар по механике реагирующих сред" (г. Красноярск, 1989 г.), на VI и VII всесоюзных конференциях "Краевые задачи и математическое моделирование" (г.Новокузнецк, 2003 г. и 2004 г.), на международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997 г.), на V международной конференции "Наука и образование" (г.Белово, 2004 г.), на научном семинаре проф. В.П.Стулова, 1990 г. (г.Москва, МГУ), на научных семинарах кафедры физической и вычислительной механики в Томском государственном университете в 1986-2005 г.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 16 публикациях автора, список которых помещен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Диссертация изложена на 159 страницах машинописного текста, иллюстрирована 73 рисунками. Список литературы содержит 124 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении показывается актуальность темы диссертации и новизна работы, формулируется цель работы и кратко излагается её содержание.

Первая глава посвящена аналитическому обзору работ по теме диссертации с выявлением неисследованных вопросов. При обтекании тел газовзвесями при больших числах Рейнольдса вблизи поверхности тела образуется тонкий вязкий пограничный слой запыленного газа. Уравнения, описывающие движение газовзвеси в пограничном слое, должны получаться на основе асимптотического анализа при Re—><ю уравнений газовзвеси, содержащих тензор вязкого напряжения Важно отметить, что в отличие от классического пограничного слоя чистого газа, вид уравнений пограничного слоя запыленного газа, порядки переменных, граничные условия и даже порядок толщины пограничного слоя зависит от определяющих параметров задачи и типа геометрической области течения. Это проиллюстрировано в работах 2) "4), а также в данной диссертации.

Анализ литературных данных, например, работ 2>"4> , свидетельствует о существенном влиянии частиц на трение и тепловой поток к поверхности. С другой стороны, в ряде режимов, например, при обтекании затупленного тела при числах Стокса, близких к критическому значению, пограничный слой оказывает влияние на частицы, изменяя их траектории и поток на поверхность и).

Во второй главе диссертации с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений при больших числах Рейнольдса анализируется

|4) Циркунов Ю.М. Исследование инерционного осаждения полидисперсных частиц в критической точке сферы // ПМТФ.- 1985,- № 5.- С.94-101.

система уравнений двухфазного пограничного слоя, содержащая тензор вязких напряжений, и получаются уравнения и граничные условия в неисследованных ранее в литературе случаях.

В параграфе 2 I записаны общие модельные уравнения двухфазной газовзвеси с тензором вязких напряжений в криволинейных координатах и краевые условия Дальнейший асимптотический анализ при Яе» 1 исходит из этих уравнений.

В параграфе 2 2 получены уравнения пограничного слоя газовзвеси и граничные условия на внешней границе при обтекании тонких тел, толщина которых сравнима с толщиной пограничного слоя [15]. Уравнения получаются при Яе»1 из уравнений параграфа 2.1 методом сращиваемых асимптотических разложений. В частности, показано, что для поперечной компоненты скорости частиц на внешней границе пограничного слоя узе справедливо уравнение:

Здесь иоо - невозмущенная скорость газа, v - нормальная компонента скорости, индекс "в" относится к частицам, индекс "е" относится к параметрам на внешней фанице пограничного слоя, с0 - коэффициент сопротивления частицы,

сД( - стоксовский коэффициент сопротивления, =/18/л - характерное время релаксации скорости частиц; р°, с1л - физическая плотность и диаметр частиц соответственно; Л -радиус кривизны поверхности. Уравнение (1) по своему смыслу отражает эффект взаимодействия внешнего невязкого течения и течения в пограничном слое, так как величина уе - скорость газа на внешней границе пограничного слоя должна находиться в процессе решения, 1'^(0,0)-скорость частиц из внешнего решения, при несимметричном обтекании находится совместно с решением задачи в пограничном слое и У,е'(0,0) = -иха при симметричном обтекании тонкого тела с полууглом раствора а .

В параграфе 2 3 получены уравнения пограничного слоя газовзвеси и граничные условия на внешней границе при обтекании тел с вогнутой к потоку кривизной поверхности путем асимптотического анализа при Яе—>°о уравнений, приведенных в § 2.1 При различных числах Стокса вид уравнений и граничных условий, а также порядок толщины пограничного слоя меняется. Например, при <т,,

= 0(Ке ) порядок толщины пограничного слоя является минимально возможным, меньше классической величины и равен <5'=0(Ке"ш), а уравнения пограничного слоя значительно упрощаются, здесь o^v ~ туЬ / игл -динамическое число Стокса, Ь - характерный размер области течения.

дх ду ' г„ ду V

дух 2 V, ди. и-и

дх ду ' " Гу ду^ду)' ду ' ду

ду г/ ду

Уравения приведены для изотермического течения На внешней границе из условий сращивания имеем [10]:

при;'->оо u^us-uim)(x, 0), v,=KTv\u{m\x,0)f (к <0) (2) где г/'"'- промежуточное решение квазиравновесных уравнений при у-0(<т,).

В параграфе 2 4 анализируются уравнения погранично! о слоя на критической линии затупленного тела с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений. Получено, что при малых числах Стокса, к 12

crv «1, av = 0( 1 / In Re ^ ) и изотермического внешнего решения, течение в пограничном слое определяется из равновесных уравнений с логарифмически увеличенной "эффективной" плотностью (р + ps). Граничные условия на внешней границе пограничного слоя находятся из условий сращивания с возмущенным решением первого порядка и имеют вид:

при у >оо Ps-+Pvn{\ + cTvlnRe*"/2), и->и£\ Т-^Т^ (3) Здесь и[кр/^„-константы внешнего решения. Порядок толщины пограничного слоя имеет классическую величину.

В параграфе 2 5 приведены уравнения турбулентного пограничного слоя, полученные с помощью стандартной процедуры осреднения по времени уравнений параграфа 2.1. Данные уравнения содержат дополнительные слагаемые, по смыслу своему представляющие силы турбулентного продольного и поперечного дрейфа частиц и турбулентную диффузию частиц. Для пристенных турбулентных течений выражения от осредненных величин произведений пульсаций получаются на основе обобщения модели Г.Н. Абрамовича 13) , сформулированной для струйного течения изотермической газовзвеси. Считается, что турбулентный газовый моль с частицами, имеющий форму параллелепипеда с ребрами ах, ау, 1, совершает пульсацию в

поперечном направлении в течение "времени жизни" моля r,Wl с начальной поперечной пульсационной скоростью Vq и температурой Tq , вызывая тем самым пульсации параметров дисперсной фазы. Частицы могут входить и выходить из газового моля в продольном и поперечном направлении. Газовая и дисперсная фазы динамически взаимодействуют и обмениваются теплом по линейным законам. В пределах газового моля параметры фаз считаются постоянными по объему, вязкость учитывается только в межфазных силах, также считается, что плотности газовой и дисперсной фазы не пульсируют. Тогда применяя законы сохранения пульсационных величин количества движения и энергии фаз в интегральном виде к турбулентному молю, движущемуся с актуальной скоростью газа v+v' получаем систему дифференциальных уравнений пульсаций параметров газовой и дисперсной фаз: dv' v!-v' dv[ v'- v'4 1 , , , , , , 1 .. , , . |

т=у'0, <(0)=1>;0, ПО)=70', г;(0)=7;0 Здесь и,,^! - относительные продольная и поперечная скорости газа соответственно, величины без штрихов -осредненные по времени параметры, штрих обозначает пульсации параметров, у = рк/р - массовая доля частиц Предполагается, что входящие в моль частицы имеют скорость, совпадающую с начальной. В начальный момент времени пульсации параметров фаз считаются заданными величинами. В отличие от работы |3) , в данном подходе считается, что присутствуют потоки пульсаций дисперсной фазы через границу моля, масса частиц, с которой взаимодействует газовый моль, в каждый момент времени неизменна при наличии существенного осредненного скольжения. Тем самым устранено противоречие с исходным предположением, что осредненная скорость пролета частиц через моль постоянна, приводящее к нефизичным предельным решениям и поведению пульсаций (например, при большой осредненной скорости скольжения или при <—>«>). В диссертации учтены также продольное осредненное и пульсационное движение фаз и осредненное поперечное скольжение фаз. В пределе при ах,ау-> со, V сот! из уравнений (4) получается модель Г.Н.Абрамовича 13) . Похожий подход использовался для моделирования изотермической двухфазной турбулентной струи в работе |5), однако потоки пульсаций частиц авторы относят к газовой фазе, что по-видимому не совсем обоснованно.

В случае существенного осредненного продольного скольжения, |»|у)|, система дифференциальных уравнений (4) является линейной, и решение находится в конечном виде [11]:

, „ ,Ъ , (5)

где к1Л=[к3±(1-Г + иг)]/2, к3 = 1(]-Г + уйг)2+4у]и2, с,=с,/ср

А12 = (1 + г + ^т*з)/2, йг = г,,\иг\/а, Л^4-\\~ус,+ у(т-; /г\.)м,)т/:4]/2 к4=[0-у^+у(т, /ту)йг)2 + 4ус,]1/2, к56=[к4±(\-ус,+у(т11т,,)Иг)\12 Двойные корреляции параметров фаз, аналогично П), выражаются-

<2=/2Ч2, мм, М

где "функции увлеченности пульсациями" находятся из (4) или из (5),

а корреляции и'0^0, ^, у'Л определяются из алгебраической модели Прандтля-Ван-Дриста-Себечи-Смита-Клаузера и гипотезы подобия турбулентного переноса импульса и тепла |6). В диссертации приведены результаты

,5) Зуев Ю.В., Лепешинский И.А. Математическая модель двухфазной турбулентной струи // Изв. АН СССР, МЖГ,-1981.- № б,- С.69-77. 16> Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей.-М.: Наука, 1989.

сравнения "коэффициента увлечения" частиц пульсациями, величины ks=i/Jti, полученного по модели (4), с локально-равновесными статистическими моделями, приведенными в 1 ' и экспериментальными данными 18) Получено удовлетворительное качественное и количественное согласование. Заметим, что алгебраические модели, основанные на понятии длины пути смешения J1. Прандтля, интенсивно развиваются и совершенствуются в настоящее время для усложненных турбулентных течений чистого газа 191 . Поэтому оправданы подобные подходы и к моделированию турбулентности в дисперсных смесях в силу их простоты применения по сравнению с дифференциальными моделями, например 20), включающими в себя уравнения переноса турбулентных моментов пульсаций дисперсной фазы.

В параграфе 2 б приводится обобщенная система уравнений, включающая в себя как частные случаи уравнения параграфов 2.2-2.5.

dpurj | dpvjrj dpsuft t d[{psvs + р'УМ] = Q

дх ду ' дх ду

& = 0,p = pRT, Н = h+u2/2, h=ha+ j^cp(T)dT, pvt=pv+pV du. . ——.dus cD . . Q , ~Г7\

, . ~TTx <3v5 Pi"? с» , ч д , 72ч д , "ТТч

дТ. . I ,, дТ, Nu /т■ т \ д ,

P.u^HP^P^-Ps-^iTr-T^P^T,)

Обозначения в системе (6) общепринятые ' ^ . Граничные условия для несущей фазы обычные:

|7) Волков Э.П., Зайчик Л.И., Першуков В.А. Моделирование горения твердого

топлива,- М.: Наука, 1994.

18) Вараксин А.Ю. Турбулентные течения газа с твердыми частицами.-

М.:Физматгиз, 2003. |9) Гарбарук A.B., Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Турбулентный пограничный

слой при одновременном влиянии продольного градиента давления, вдува (отсоса) и поперечной кривизны поверхности//ТВТ.-2002.-Т.40 №3 -С.436-441

20) Старченко A.B., Бубенчиков A.M., Бурлуцкий B.C. Математическая модель неизотермического турбулентного течения в трубе на основе смешанного эйлерово-лагранжева представления// ТВТ,- 2002.- Т.40,- №3.- С.449-459.

и(х,со) = ие(х), //(дг,оо)=ЯДдг)

и(х.О ) = uw{x), v(xA)) = vw(x), H(x,0) = Hw(x) (

Индекс "w" относится к параметрам на поверхности тела. Начальные условия для несущей фазы получаются из решения автомодельной задачи (6) при х=0 Граничные условия для частиц зависят от типа обтекаемой поверхности, чисел Стокса, рьоо/роо и числа Рейнольдса. При обтекании пластины или тонкого тела однородной смесью дополнительно к условию (1) имеем: и(х,со)=и„, Т(х,к) = 7м, p,(x,co) = psx 0,0)=Wto, Г,(0,0)=Т„, A(0,0) = pw При обтекании вогнутой поверхностии и ег,, = 0(1) для частиц на внешней границе пограничного слоя нужно задавать условия (1),(8), в которых индекс "да" следует заменить на индекс "е", при малых числах Стокса, ст,,«1, следует использовать условия (2). При обтекании критической точки затупленного тела при <tv<<t„ , pia0 = 0(Re~kf"12) граничные условия для частиц на внешней границе пограничного слоя были получены в работе 3):

при у—><х> ->Апу, р^Арук"\ (9)

Здесь Avs , /ipS , kps - константы из внешнего решения. При ег,,«1, р&=СК\) необходимо использовать условия (3).

В заключение главы в параграфе 2.7 приводятся уравнения пелены в приближении пограничного слоя.

В главе 3 приведены численные и приближенные аналитические решения некоторых задач, сформулированных в главе 2, для изотермического (при Т= Ts=const) запыленного пограничного слоя.

В параграфе 3 / рассмотрены автомодельные решения уравнений (6) изотермического двухфазного пограничного слоя, то есть решения, зависящие от одной переменной. Сформулированы условия автомодельности. Получены приближенные аналитические решения методом последовательных приближений формальных автомодельных уравнений и уравнений пограничного слоя запыленного газа для критической точки затупленного тела в режиме инерционных частиц. Как показали сравнения с результатами численного расчета, относительная погрешность приближенных решений не превосходит 10%.

В параграфе 3 2 численно и приближенно аналитически решается задача (6)-(9) для двухфазного изотермического пограничного слоя на пластине, установленной параллельно невозмущенному потоку при наличии вдува, отсоса газа и подвижной поверхности в режимах от близкого к замороженному до равновесного течения фаз [3]. На рис. 1 приведены локальные коэффициенты трения вдоль пластины при реальном законе сопротивления частиц для различных размеров частиц, здесь число Рейнольдса частицы Rew>= p'Mu'md J , штрихи относятся к размерным параметрам, индекс "со" обозначает невозмущенные параметры, Rех= plu'^x'/. При увеличении размера частиц частицы тормозятся в пограничном слое интенсивнее на характерной длине релаксации частиц L , и максимум cj-c(p сдвигается в безразмерных координатах к критической точке. Звездочками на рис. 1 нанесены результаты

работы для стоксовых частиц. Отличие от данных результатов не более 8%. Локальный коэффициент вязкого трения вводится обычным образом

с^ =(м'ди'/ду')\ /(Р'„и'х2) (10)

Хорошее качественное соответствие по всем параметрам получено с экспериментом 7) На рис. 2 приведены коэффициенты трения при вдуве и отсосе газа с поверхности пластины. Здесь вдув-отсос задается значением безразмерной функции тока fw = -/?нл'и, , при расчетах бралось ~

1, Ле8Ю = 0 , кривые 1) -5) вычислены при = 0, 0.2, 0.5, -0.2, -0.4 . При отсосе газа частицы увлекаются газом и попадают на поверхность. В этом случае локальный коэффициент трения состоит из двух слагаемых

с/=су>+с?\ (11)

Раз

где с^р - составляющая за счет взаимодействия конденсированной фазы с поверхностью записана для случая абсолютно неупругого удара частиц о поверхность пластины, безразмерные величины /><, , , щ получены из размерных путем отнесения к величинам р'^, и^Яе-"2, соответственно Отсос уменьшает толщину слоя повышенной плотности и существенно понижает плотность дисперсной фазы в пограничном слое. При вдуве газа вблизи поверхности образуется область чистого газа, запыленный газ оттесняется от поверхности, коэффициент трения существенно уменьшается. Кроме того, происходит пересечение траекторий частиц вблизи разделяющей линии тока на некотором расстоянии от передней кромки пластины. Пересечение траекторий частиц моделируется "пеленой". На рис. 3 приведены профили относительной континуальной плотности частиц поперек пограничного слоя, а на рис. 4 параметры пелены, рассчитанные при вдуве газа с поверхности. Здесь

безразмерные координаты равны т] = ^0.5Кех Ух. = (/1 ¿)Кс'/2,

Кс-р'^и'^Иц, 3* - безразмерная толщина вытеснения, -

безразмерная поверхностная плотность пелены. Также в параграфе 3.2 приведены приближенные решения интегральным методом.

0.5

102

. \)х~0 1

2)*-0 4

3)^1

4)дг=10

2 з /П

1 ^

б) 0 5

Пх- -0 4

2)х =2

»)* =20

3"1 к 2

.1

в)/„ = -0 4

Ке«=0

1),2),3),4),5) х-0, 0 4, 1 4 1 л

5

Ул

Яа

- /„ — - — /«=" • и— 0 4,Л, = 1 0 4,Лг=3 0 2,/?1х = 1 4

✓

*'____— • / ^ у'

А^ А . ' • ' _ —-3-

Рт!Р:

0.9 1 1.1/, 0 0.5

: /Л

Рис.3.

Рус^

Рис.4.

В параграфе 3 3 рассматриваются решения уравнений изотермического пограничного слоя, полученных в параграфе 2.3, для вогнутой к потоку поверхности. Подобные задачи возникают во внутренних течениях газовзвесей в каналах. При числах Стокса порядка единицы выписано приближенное решение методом последовательных приближений. При числах Стокса Яе-|/3«<т„«1 и Яе~|/2«сг„« Яе~'/3 решение находится в простом аналитическом виде, в частности, продольные компоненты скоростей фаз равны [10]:

и(х, т])=и("'\х, 0) [1 - ещ>(~Ат})) при Яе'"3«а\,«1 гл(х,т?) = гу<"')(д:,0), т]=у(М ау)1'2, А = ^р["'\х,0) при Яе~1 /3<< ст,,« Яе_|'2 и, = и, ц = у Яе- ст„, А = Дт,{х,0)[нм(л,0)]2/Л Здесь индекс "т" относится к параметрам квазиравновесного промежуточного решения, которое справедливо при у~0(аг). При сг,, = 0(Ке~|п) получено решение интегральным методом. Если числа Стокса большего порядка, чем 0(Яе~'/2), то имеется поток частиц на поверхность.

В параграфе 3 4 получено приближенное решение методом последовательных приближений в изотермическом пограничном слое при обтекании цилиндра газовзвесью с инерционными частицами, когда числа Стокса оу » а, +е, где а» - критическое число Стокса, при котором поток частиц на поверхность отсутствует.

В параграфе 3 5 численно решается задача о структуре турбулентного двухфазного изотермического пограничного слоя на пластине на основе уравнений (6). Учитывается взаимное влияние турбулентных пульсаций газа и частиц на основе обобщения алгебраической модели пульсаций Г.Н. Абрамовича, приведенной в §2.5. В осредненных уравнениях учитываются силы турбулентного поперечного и продольного дрейфа частиц и турбулентная диффузия частиц. С помощью численных расчетов установлено, что

наибольшее влияние на двухфазное течение в пограничном слое оказывают поперечные пульсации газа, в результате которых в пристенной области частицы двигаются к стенке, выпадая на поверхность, а во внешней части, наоборот, частицы движутся к внешней границе, увеличивая толщину пограничного слоя и свою концентрацию. На рис. 5 а, б приведены профили поперечных скоростей фаз и относительной континуальной плотности дисперсной фазы в пограничном слое. Полученные решения показывают, что имеет место экспериментально наблюдаемый эффект осаждения частиц на стенку, который возникает в результате действия трех факторов: поперечных турбулентных пульсаций газа, инерционного продольного и поперечного движения частиц, на рис. 5в приведены графики скорости осаждения частиц, полученные численным расчетом, и сравнения с экспериментальными данными '.

В параграфе 3 6 рассмотрено влияние силы Магнуса на структуру изотермического пограничного слоя. Воздействие силы Сэффмена на пограничный слой на пластине ранее изучалось в работе 22) . В работе 23) получено обобщение выражения силы Сэффмена на произвольные значения Яс,, Яе^, которое на 1 1.5 порядка понижает общепринятые оценки силы 7

20

16

12

б) \

1) х-0 i )

' 2) х=0 5 у

3) х=1 I

з/ /

/ 2у

-10 -5 0 1/ V

у, к„

0.4 0.8

Рх1 Рул Рис.5.

5

Сэффмена для инерционных частиц. В диссертации путем оценок, а также расчетом величин сил Магнуса и Сэффмена при различных условиях течения, показано, что для достаточно инерционных частиц при Ке5оо>10 и неравновесном течении газовзвеси сила Магнуса может быть одного порядка и даже превосходить силу Сэффмена. Наиболее часто в литературе выражение для силы Магнуса, действующей на частицы, берется по Рубинову-Келлеру 24). Из оценок, приведенных в диссертации, следует, что данную силу следует учитывать, начиная с Яе= 104 Механизм действия силы Магнуса на течение осуществляется через поперечную компоненту скорости частиц , что в первую очередь влияет на течение дисперсной фазы, распределение концентрации частиц, поток на поверхность, а затем и на движение газовой фазы. При отсутствии силы тяжести и градиента давления сила Магнуса

приводит к движению частиц по направлению к поверхности и оказывает существенное влияние на частицы, в основном, в области неравновесности скоростей. Причем это влияние сосредоточено в достаточно тонком слое (примерно 1/10 толщины пограничного слоя). На рис.6 приведены графики обратной относительной континуальной плотности частиц в различных сечениях в пограничном слое, а на рис.7 распределение потока частиц вдоль поверхности пластины. Область релаксации скоростей фаз становится существенно протяжённей, при км= 1 в 3 раза, где критерий Магнуса км = 0 75(р / Яе . В области почти равновесного течения влияние силы Магнуса является величиной второго порядка малости О(сг^), а фактически ещё меньшей величиной на десятичный порядок в силу условий прилипания на стенке. На всем протяжении области неравновесного движения за счет силы Магнуса появляется поток частиц на поверхность пластины, изменяющий коэффициент трения (и теплообмена при учете неизотермичности).

1,1 *■-='-"--=' л^лы»!

2 4

1 2

4f = 1> Л» = 1 1) х=0.4 2)х-1 3)х = 3

V

--г-Т-

05

PsJPs

Рис.6

В параграфе 3 7 рассмотрен пограничный слой газовзвеси на тонком клине. На рис.8 изображены коэффициенты вязкого трения (10) вдоль поверхности клина для различных полууглов раствора а / л/Яеот клина при р1М =1,

21)

McCoy D.D., Hanratty T.J. Rate of deposition of droplets in annular two-phase flow // Intern. Multiphase Flow.- 1977,- V.3.- N 4,- P.319-332. Наумов В.А. Расчет ламинарного пограничного слоя на пластине с учетом подъемных сил, действующих на дисперсную примесь // Изв.АН СССР, МЖП- 1988,- №6,- С. 171-173. 23> Mei R. An approximate expression for the shear lift force on a spherical particle at finite Reynolds number//lntern.J Multiph.Flow.-1992.- V.18.-№l.-P.145-147. Нигматулин P.M. Динамика многофазных сред. 4.1.- M.: Наука, 1987.

22)

пунктирной кривой нанесен суммарный вязкий и инерционный коэффициент трения (11) при а =5 Считается, что частицы с поверхностью взаимодействуют абсолютно неупруго. С увеличением угла клина до а~1 максимальные величины коэффициента вязкого трения и суммарного трения, а так же размеры области релаксации скоростей фаз существенно возрастают: соответственно на 15%, 25%, 50% по отношении к аналогичным параметрам

для пластины (ог О), при а=5 эти же величины составят соответственно 60%, 230%, 180%. Установлено путем численных расчетов, что на поверхности тонкого клина имеется точка торможения частиц, в которой вектор скорости частиц равен нулю. Поток частиц на поверхность присутствует на всем протяжении до точки торможения частиц и равен нулю за точкой торможения. При увеличении концентрации частиц длина области торможения частиц несколько увеличивается, а коэффициенты вязкого трения и конденсированной составляющей значительно увеличиваются [16] (в 2-3 раза при увеличении рт от 1 до 3). В связи с полученными результатами встает вопрос о достаточно осторожной интерпретации экспериментальных данных по пограничному слою газовзвеси на пластине, так как малое изменение угла наклона пластины влечет за собой изменение характеристик течения порядка единицы.

Глава 4 посвящена исследованию численным методом и приближенными аналитическими методами некоторых задач двухфазного пограничного слоя со сжимаемой несущей фазой.

В параграфе 41 получены приближенные аналитические и точные численные решения автомодельных и локально автомодельных задач пограничного слоя в запыленном газе при наличии теплообмена с поверхностью при <ту »о. . Приближенные решения находятся методом последовательных приближений [1] в первом приближении в виде простых аналитических зависимостей от определяющих параметров задачи. Так же как и для несжимаемого двухфазного пограничного слоя, классы автомодельных решений довольно узки и в основном определяются задачами обтекания критической точки затупленного тела. Для примера приведены решения для коэффициентов трения и теплообмена обтекания критической точки сферы газовзвесью из инерционных частиц.

с^Ле'

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 х 4,0

Рис.8

В параграфе 4 2 численно и асимптотически исследуется задача о пограничном слое запыленного газа на пластине в до- и сверхзвуковом потоке при наличии теплообмена с поверхностью в широком диапазоне чисел Стокса.

При дозвуковых течениях с малыми числами Маха частицы, попадающие в пограничный слой на охлажденной поверхности, подогревают газ пограничном слое, сами при этом охлаждаются. Увеличение концентрации частиц в окрестности точки торможения частиц приводит к интенсификации теплообмена фаз и как следствие этого к максимуму локальных коэффициентов теплопередачи и трения С/,, су (см. рис.9). Здесь локальный коэффициент теплопередачи вводится как обычно в теории пограничного слоя чистого газа:

Си = '

1'ЁИ

ду>

и:

у-- О

- для ламинарного режима, г = Рг - для турбулентного режима, штрих относится к размерным величинам С повышением температуры стенки максимум с/,, ¿у сдвигается к передней кромке пластины, а протяженность зоны релаксации сохраняется, величины максимумов С/,, су увеличиваются в связи с более интенсивным торможением частиц, увеличением концентрации частиц и теплообменом фаз в окрестности точки торможения. При сильно охлажденных поверхностях пластины интенсивность взаимодействия фаз вблизи поверхности существенно уменьшается, а зона релаксации параметров фаз растягивается на большие расстояния вдоль пластины. При попадании частиц в пограничный слой с нагретой поверхностью пластины частицы охлаждают несущую среду, сами при этом нагреваются. Быстрая релаксация параметров вблизи поверхности и сильное вытесняющее действие разогретого газа может приводить к пересечению траекторий частиц внутри пограничного слоя на сильно нагретой поверхности Подробные результаты приведены в [4].

Ке,' Кс?

ю

06

021

—С,,, —С, М»=аА»=з

/з \ /,7 / ч

ш ¥ / ' 11/ У -с --

V Г 1 - г --э

т т

II" да»

ч1)-МЛ=2;2)-5)-МЛ=4

Рис.9. 1),2),3)-Т\г=0.1,0.5,2; ЯеЛОО=0; 4)-Ту=0.5, Ке1<я = 10

Рис.10. 1) 2),3),4) - с, /ср=\, 1,

1/3, 3; 3;

5)- /ср=3, рю= 1

При сверхзвуковых скоростях течения смеси процессы теплообмена с поверхностью будут определяться температурой поверхности по отношению к локальной адиабатической температуре стенки [8]. При этом, в отличие от классического пограничного слоя адиабатическая температура поверхности запыленного пофаничного слоя является переменной вдоль пластины. В диссертации рассчитаны адиабатические температура поверхности и температура частиц. Из полученных результатов (см. рис.10) следует, что сначала с увеличением координаты х вдоль пластины адиабатическая температура увеличивается, достигая максимального значения, а затем уменьшается к своему равновесному адиабатическому значению. Здесь безразмерная температура получается отнесением размерной к невозмущенному значению Т'л . Равновесная адиабатическая температура смеси больше адиабатической температуры чистого газа при ст< \ и меньше таковой при с-ъ / сР > 1 .

При наличии теплообмена вводится понятие "холодной" поверхности, как поверхности с температурой, меньшей локально равновесной адиабатическойтемпературы пластины. На рис. 11 приведена динамика развития профилей температуры для "холодной" температуры поверхности. Из рисунка видно, что пограничный слой разделяется на две области -"внешнюю" и "внутреннюю", примыкающую к поверхности пластины. Положение разделяющей линии определяется условием = Тг , здесь Тх -

торможения вблизи частицы. Во внешней области частицы охлаждают газ, а во внутренней - разогревают ею. Этот эффект связан с относительным движением фаз и наличием области пониженной температуры газа вблизи поверхности пластины.

На рис. 12 приведены коэффициенты теплопередачи и трения для различных чисел Мсо . В связи с неравновесным движением газовзвеси число Маха

вводится как для чистого газа ])с'рТ^, . С увеличением числа

Маха невозмущенного i аза от 0 до 4 максимум с/,, Cf возрастает на 14% . Безразмерная координата максимума мало изменяется, однако при этом характерная длина L увеличивается с увеличением Моо . Для достаточно холодной поверхности пластины Tw < 0.5 и умеренных чисел Маха Мм-2ч-4

-2/3

удовлетворительно выполняется аналогия Рейнольдса ch — Cj Pr , справедливая для чистого газа. С уменьшением числа Маха аналогия Рейнольдса приближенно выполняется при с$ / cr ~ 1 . Также в параграфе 4.2 получены результаты о влиянии на решение температуры стенки, отношения теплоемкостей, концентрации частиц и других определяющих параметров задачи, получены асимптотические решения при малых числах Стокса. В частности, асимптотическое решение для дисперсной фазы вблизи поверхности получено следующее [9]:

В области I: при х - O(l), х < am - е

u,(x) = \-xlcrvw+..., vs(x) = e(\-x!crvw)+..., ул(х)=е(1+х)+... Ti{x)=Tw+(\-Tw){\~ х I crvwfm /ст''"'+..., А=Аоо l[(\-xlam)(\+x)}+... В области II: при |л-сги(,| = 0(£)

«t = £ln(l/e)+..., у,=с2е + ..., a = c^pm/\e\n(\ / £■)]+... T,=Tw + cAea»'^+..., p,{u-u,) = p.wI2+... (13)

рх(Т-T,) = c5ea<j<r'"-4W/£) + ... Здесь е - малый параметр, расстояние от поверхности до пробной траектории частицы при х = 0 , для простоты взято М„ = 0 , оу = 1.5 Pre, 1ср - тепловое

число Стокса, cs - теплоемкость частиц, сР - теплоемкость газа при постоянном давлении, ct , с2,.. , cs - константы сращивания Из решения (12) следует в частности, что частицы вблизи поверхности в области I имеют поперечную скорость порядка 0(/:) благодаря вытесняющему эффекту передней кромки пластины. В решении (13) в области 11 раскрыта неопределенность в члене со взаимодействием фаз ps(T-T,) , откуда следует, что особенность в межфазном тепловом потоке интегрируема, поэтому тепловой поток принимает конечные значения в окрестности точки торможения частиц при любых <rv, от .

В параграфе 4 3 численно рассчитывается двухфазный турбулентный пограничный слой в присутствии теплообмена с поверхностью. Исследуется влияние температуры стенки и концентрации частиц в набегающей смеси на характеристики теплообмена, потока частиц к поверхности, профили концентрации частиц, скоростей и температур фаз. Получено, что локальный тепловой поток к поверхности за счет частиц может составлять до 80% от конвективного теплового потока при массовой доле частиц в газовзвеси равной 1 и возрастает с увеличением концентрации частиц. С увеличением

температуры поверхности коэффициенты трения и теплообмена уменьшаются, а скорость осаждения частиц на поверхность мало изменяется [6].

В главе 5 рассматривается методика численного расчета течений газовзвеси в пограничном слое - основного метода решения поставленных задач. Метод решения основывается на совместном эйлерово-лагранжевом подходе к рассмотрению движения фаз. При этом для получения численных решений несущей фазы используются итерационно-интерполяционная схема 25) порядка точности 0[Дг, (Ау)г ] и для контроля результатов схема И.В. Петухова 261 повышенного порядка точности 0[Ддс, (Ayf ], разработанные ранее для пограничного слоя чистого газа и адаптированные для расчета газа с частицами. Течение конденсированной фазы рассчитывается вдоль траекторий частиц методом Эйлера второго порядка точности 0[(Дх)2 ]. Переход от одного поля течения к другому осуществляется с помощью интерполяции. Приведены тестовые результаты.

ВЫВОДЫ

1. На основе асимптотического анализа получены уравнения ламинарного пограничного слоя газовзвеси и граничные условия при обтекании тонких тел, вогнутых в сторону потока поверхностей и критической точки затупленного тела. Показано, что уравнения и граничные условия на внешней границе пограничного слоя меняются в зависимости от типа поверхности, числа Стокса и концентрации частиц в набегающем потоке.

2. Предложено обобщение полуэмпирической модели Г.Н. Абрамовича турбулентных пульсаций скорости и температур фаз в газовзвеси с учетом осредненного скольжения фаз.

3. Разработаны методики численного решения задач пограничного слоя газовзвеси в условиях неравновесного движения фаз и приближенного решения на основе метода интегральных соотношений и метода последовательных приближений.

4 Получены и проанализированы численные и асимптотические решения задачи продольного обтекания пластины газовзвесью при различных определяющих факторах: концентрации частиц, наличия вдува, отсоса газа, подвижной поверхности, инерционности частиц, температурного фактора и числа Маха в сверхзвуковом режиме течения.

В изотермическом пограничном слое выявлено заметное влияние передней

25) Гришин A.M., Зинченко В И., Ефимов К.Н., Субботин А.Н., Якимов A.C. Итерационно-интерполяционный метод и его приложения.- Томск: Ичд-во Томского ун-та, 2004.

26) Петухов И.В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы.- М : Наука, 1964 С 304-325.

кромки пластины на решение несущей и дисперсной фаз. Это явление отражает эффект вытеснения пограничного слоя. Учет реального закона сопротивления частиц приводит к более интенсивному торможению частиц и сдвигу максимумов С/ , с/, к передней кромке пластины на характерной длине релаксации частицы. Показано, что при вдуве газа в двухфазный пограничный слой образуется поверхность разрыва типа "пелены", отделяющая запыленный газ от чистого газа, а коэффициент трения существенно уменьшается. Данная задача может быть полезна на практике при защите 01 эрозионного и теплового воздействия частиц. При отсосе [аза с поверхности частицы увлекаются потоком и выпадают на поверхность. Вычислены поток частиц на поверхность и добавка в напряжение трения за счет соударения частиц с поверхностью.

Показано, что влияние силы Магнуса может стать значительным для инерционных частиц при Яс(м > 1О и Кеда > 104. Выявлено, что сила Магнуса приводит к потоку частиц и импульса частиц на поверхность в области неравновесного течения, уменьшает концентрацию частиц и в несколько раз увеличивает длину области релаксации скоростей фаз.

5 При наличии теплообмена газовзвеси с поверхностью пластины при малых числах Маха получено, что увеличение концентрации частиц в потоке и температуры поверхности может в несколько раз увеличить локальный коэффициент теплопередачи к поверхности. С увеличением теплоемкости частиц в 10 раз коэффициент теплопередачи возрастает в 2 раза, а коэффициент трения слабо изменяется. При сверхзвуковых течениях, в отличие от классических результатов, где адиабатическая температура поверхности постоянна при обтекании пластины однородным потоком, для газовзвеси адиабатическая температура меняется вдоль поверхности, принимая максимальное значение в области торможения частиц. При этом во внешней части пограничного слоя частицы охлаждают газ, а в пристенной области, наоборот, разогревают его. Аналогия Рейнольдса сА =бу Рг~2/3 приближенно выполнена при 7^^0.5, с8 = ср , 0 <; Моо < 4 . Приведены результаты расчетов коэффициентов теплообмена и трения в широком диапазоне определяющих параметров.

6. Рассмотрена структура пограничного слоя газовзвеси на вогнутой к потоку поверхности и на тонком клине. Показано, что при малых числах Стокса порядка Яе4'"1 за счет кривизны вогнутой поверхности и инерционности частиц толщина пограничного уменьшается до порядка Яе_2/\ а уравнения пограничного слоя значительно упрощаются. В пограничном слое на тонком клине за счет поперечного движения частиц появляется поток частиц на поверхность, коэффициент трения на поверхности возрастает в несколько раз.

7. Рассмотрена структура турбулентного двухфазного изотермического и неизотермического пограничного слоя на плаоине. Показано, что в результате совместного действия инерционной силы и поперечною турбулентного дрейфа частиц возникает эффект осаждения частиц, наблюдаемый в экспериментах Сравнение с экспериментальными данными по скорости осаждения частиц показало хорошее качественное и количественное совпадение результатов, что

подтверждает правильность выбранной математической модели. Выявлено, что эффекты турбулентной диффузии частиц и продольного дрейфа являются эффектами второго порядка малости. Вблизи поверхности происходит уменьшение, а во внешней части пограничного слоя увеличение концентрации частиц.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Брыкина И.Г., Забарин В И., Ковач ЭЛ., Колесников А.Ф., Тирский Г.А. Решение уравнений пограничного слоя в несжимаемой жидкости методом последовательных приближений // НИИ Механики МГУ. 1977. Отчет № 1873.

2. Забарин В.И. Асимптотическое решение уравнений пограничного слоя на подвижной поверхности // Механика сплошных сред. Секция 2: Материалы Уральской зональной конференции,- Пермь: Изд-во УНЦ СО АН СССР, 1980. С.61-63.

3. Гришин A.M., Забарин В.И. Двухфазный пограничный слой с несжимаемой несущей фазой на пластине при вдуве и отсосе газа с поверхности // Журн. прикл. мех. и техн. физики. -1987. -№ 5. -С.54-61.

4. Гришин A.M., Забарин В,И. Теплообмен и трение в двухфазном пограничном слое на пластине // Журн. прикл. мех. и техн физики . -1988 -№4. -С.78-86.

5. Забарин В.И. Двухфазный пограничный слой на пластине при вдуве и отсосе газа с поверхности // Численные методы механики сплошной среды 4.1.: Тезисы докл. конф.- Красноярск, изд-во ВЦ СО АН СССР, 1987. С.56-57.

6. Забарин В.И. Двухфазный турбулентный пограничный слой на пластине // Совещание по механике реагирующих сред: Тезисы докладов краевого совещания,- Красноярск, изд-во ВЦ СО АН СССР, 1988. С.89-91.

7. Забарин В.И., Мурашкина Е.А. Влияние сил Магнуса и тяжести на структуру двухфазного пограничного слоя на пластине // Численные методы механики сплошной среды. Часть 1: Тезисы докл. конф,- Красноярск, изд-во ВЦ СО АН СССР, 1989. С.54-56.

8. Забарин В И Теплообмен и трение в двухфазном пограничном слое на пластине при сверхзвуковом течении // В сб. научн. трудов: Физическая газодинамика реагирующих сред,- Новосибирск: Наука, 1990. С.78-85.

9. Забарин В.И. Асимптотическое решение уравнений газовзвеси в пограничном слое вблизи поверхности пластины// Всесибирская конф. по матем. и механике: Материалы. Международной конф. -Томск, 1997. С.5^-56.

10 Забарин В.И. Об уравнениях пограничного слоя газовзвеси с несжимаемой несущей фазой на вогнутой поверхности// Вестник Кемеровского гос. ун-та. 2002. Вып.З. С. 85-89.

11. Забарин В.И. К модели турбулентных пульсаций газовзвеси при

наличии осредленного скольжения // Вестник Кемеровского гос. ун-та. 2003. Вып.З. С. 40-46.

12. Забарин В И. К модели турбулентных пульсаций плотности дисперсной фазы в газовзвесях // Вестник Кемеровского гос. ун-та. 2003. Вып.4. С. 18-21.

13. Забарин В.И. Влияние осредненного и пульсационного скольжения на турбулентные пульсации газовзвеси// Краевые задачи и математическое моделирование: Материалы VI Всероссийской конф,, Т.1 - Новокузнецк, 2003. С. 35-37.

14. Забарин В.И. Моделирование турбулентных пульсаций скоростей и температур газовзвеси при наличии осредненного скольжения//Наука и образование: Материалы V Мевдународной научн. конф.- Белово, 2004. С. 510-514.

15. Забарин В.И. Двухфазный пограничный слой на тонком клине// Вестник Кемеровского гос. ун-та. 2004. Вып.З. С. 32-35.

16. Забарин В.И. Математическое моделирование течения газовзвеси в пограничном слое на тонком клине // Краевые задачи и математическое моделирование: Материалы VII Всероссийской конф., Т.1.- Новокузнецк, 2004. С.11-12.

Тираж 120 экз. Заказ №34 /н5 Издательство "Кузбассвузиздат" 650043, г. Кемерово, ул. Ермака, 7

«-3211

РНБ Русский фонд

2006-4

15632

А

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1.1. Состояние вопроса.

1.2. Цель исследования и краткое содержание диссертации.

2. ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВУХФАЗНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ.

2.1. Уравнения многофазного континуума.

2.2. Получение уравнений двухфазного пограничного слоя при обтекании тонких тел.

2.3. Получение уравнений двухфазного пограничного слоя на вогнутой к потоку поверхности.

2.4. Пограничный слой запыленного газа в окрестности критической точки затупленного тела.

2.5. Модель турбулентных пульсаций газовзвеси при наличии осредненного скольжения.

2.6. Уравнения турбулентного пограничного слоя газовзвеси и граничные условия.

2.7. Уравнения пелены.

3. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ С НЕСЖИМАЕМОЙ НЕСУЩЕЙ ФАЗОЙ.

3.1. Автомодельные решения уравнений двухфазного пограничного слоя.

3.2. Двухфазный пограничный слой на пластине при наличии вдува, отсоса газа и подвижной поверхности.

3.3. Пограничный слой газовзвеси с несжимаемой несущей фазой на вогнутой к потоку поверхности.

3.4. Двухфазный пограничный слой на круглом цилиндре.

3.5. Турбулентный двухфазный пограничный слой с несжимаемой несущей фазой на пластине.

3.6. Влияние силы Магнуса на двухфазный пограничный слой на пластине.

3.7. Пограничный слой газовзвеси на тонком клине.

4. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ГАЗОВЗВЕСИ СО СЖИМАЕМОЙ НЕСУЩЕЙ ФАЗОЙ.

4.1. Автомодельные решения уравнений двухфазного пограничного слоя при числах Стокса порядка единицы.

4.2. Пограничный слой газовзвеси на пластине в дои сверхзвуковом потоке.

4.3. Турбулентный пограничный слой на пластине при наличии теплообмена с поверхностью.

5. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ГАЗОВЗВЕСИ.

5.1. Общий алгоритм.

5.2. Методика расчета уравнений несущей среды.

5.3. Схема расчета движения дисперсной фазы.

5.4. Тестовые расчеты.

В последнее десятилетие активно развиваются исследования по многофазным движениям систем вблизи обтекаемых поверхностей при больших числах Рейнольдса. Эти исследования вызваны практическими приложениями в ракетной технике, авиации, атомной энергетике, турбостроении, защите лесов от пожаров, пневмотранспорте, химической технологии, обеспечении безопасности в шахтах и т. д.

В настоящей работе рассматриваются задачи двухфазного течения газовзвесей в вязком пограничном слое вблизи обтекаемой поверхности тела при больших числах Рейнольдса в условиях динамической и температурной неравновесности фаз. Наличие двухфазности, инерционности частиц, кривизны поверхности, динамическое и тепловое взаимодействие фаз, сил Сэффмена, Магнуса и других сил, взаимодействие частиц с турбулентным потоком приводит к новым постановкам задач, новым уравнениям, к новым эффектам и решениям. Частицы в дисперсном потоке в ряде режимов существенно взаимодействуют с вязким пограничным слоем, изменяя его толщину и характеристики трения и теплообмена с поверхностью.

В работе рассмотрены задачи математического моделирования течения газовзвеси в вязком пограничном слое в ранее неисследованных режимах и их решения в широком диапазоне определяющих параметров: концентрации частиц, чисел Стокса, Маха, температурного фактора, критерия Магнуса, Рейнольдса и других параметров. Результаты исследований имеют теоретическое значение и могут быть применены для вычисления коэффициентов трения, теплообмена, потока частиц на поверхность, оценки эрозионного воздействия на тело, определения концентрации частиц в набегающем потоке при обтекании тел газовзвесями с большими числами Рейнольдса.

1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАБОТ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.1. Состояние вопроса

Механика многофазных систем является в настоящее время одним из быстроразвивающихся разделов механики сплошной среды. Спецификой гетерогенных сред является то, что каждая из фаз занимает часть объема смеси, фазы разделены деформируемой межфазной поверхностью, на которой идут процессы межфазного обмена. Сложность структуры смеси и многообразие физических процессов приводят к тому, что до сих пор не существует единого подхода к построению моделей гетерогенных сред. Эффективным методом построения моделей гетерогенной смеси является феноменологии-ческий подход, опирающийся на гипотезу взаимопроникающих континуумов [1]. Основные модели механики гетерогенных сред, уравнения движения многофазных континуумов достаточно полно освещены в монографиях [2-8]. Для усложненных типов течения, когда имеются пересечения траекторий частиц со столкновениями частиц между собой или без столкновений, используются неконтинуальные модели дисперсной фазы, например, "дискретно-траекторная" модель [9-10] или кинетические модели с привлечением уравнения для функции распределения частиц [11,12-14]. Модель течения газовой смеси и селективно проницаемых частиц разработана в работе [15].

В данной работе рассматривается круг задач механики гетерогенных смесей, связанный с движениями монодисперсной газовзвеси или так называемого запыленного газа, вблизи обтекаемой поверхности в пограничном слое при больших числах Рейнольдса в рамках двухжидкостной континуальной модели в условиях неравновесности и взаимного влияния фаз друг на друга. Основными предположениями модели "запыленного газа" [2,16] являются: значительно большая физическая плотность дискретной фазы по сравнению с несущей газовой средой и малая объемная доля частиц.

При обтекании тел газовзвесями с большими числами Рейнольдса вблизи поверхности образуется тонкий вязкий пограничный слой запыленного газа. Уравнения, описывающие движение смеси в пограничном слое, должны получаться на основе асимптотического анализа при Re» 1 из уравнений газовзвеси, содержащих тензор вязкого напряжения. Впервые наиболее корректный анализ был проделан в работе [17], где методом погранслойных поправок t получены уравнения пограничного слоя в четырех характерных случаях: при малых числах Стокса, больших числах Стокса, больших поперечных скоростях частиц и поперечных скоростях частиц порядка Re . Последний случай реализуется при обтекании пластины по данным работы [17].

Дальнейшее развитие теории двухфазного пограничного слоя связано с постановкой и исследованием ряда конкретных задач, таких как обтекание пластины, критической точки сферы, течения в трубах, струях, в гиперзвуковом ударном слое, исследованием силы Сэффмена, образования пленки на поверхности, моделирования турбулентного течения с частицами и т.д.

Основными определяющими критериями течения дисперсной смеси в пограничном слое являются: число Рейнольдса несущей фазы Re = р'щЬ / // , безразмерная континуальная плотность дискретной фазы в невозмущенном * потоке psoo=p'soo/p'oo , динамическое число

Стокса c7v=(pX2/18//)/(и£/L), тепловое число Стокса От=1.5Рг (Cs/cp)ov (или отношение теплоемкостей фаз cs/cp), где р\ p's - размерные плотности газа и дискретной фазы, p°s - физическая плотность частицы, // — вязкость газа, щ , L-характерная гидродинамическая скорость и характерный размер области течения. Динамическое число Стокса av представляет собой отношение характерных сил инерции частицы и аэродинамического сопротивления и по своему смыслу пропорционально длине релаксации скорости частицы. Тепловое число Стокса <7Т есть отношение характерных величин конвективного потока энергии частицы к межфазному потоку тепла и по своему смыслу пропорционально длине релаксации температуры частицы. Динамическое и тепловое взаимодействие фаз пропорциональны динамическому и тепловому числам Стокса. Новые явления в пограничном слое, которые привносят частицы, обусловлены большей > кинематической и тепловой инерционностью частиц по сравнению с несущей фазой. При мгновенной скоростной и тепловой релаксации частиц (оу= <гт = 0 ) скорости и температуры фаз совпадают между собой. При меньшей или большей длине релаксации перенос массы, импульса и энергии дисперсной фазы характеризуется либо локальными характеристиками потока (при av, От-малых), либо существенно инерционными признаками ( при av, От = 0(1) ). Поэтому в зависимости от величины числа Стокса могут реализоваться различные режимы течения в двухфазном пограничном слое: от режима равновесного течения фаз при малых числах Стокса до режима инерционного движения частиц при больших числах Стокса [17]. При этом наиболее сложными задачами являются те, для которых характерные длины релаксации соизмеримы с размерами области течения. Такие течения называют неравновесными [16,17]. Например, для случая продольного обтекания пластины характерная длина - релаксации должна быть порядка характерной длины пластины, для поперечного обтекания той же пластины наиболее сложным будет случай, когда характерная длина релаксации будет порядка толщины пограничного слоя.

Существенное влияние на поведение частиц в пограничном слое оказывает форма обтекаемой поверхности. В связи с этим имеются особенности получения уравнений двухфазного пограничного слоя при больших числах Рейнольдса, связанные с влиянием особенного поведения континуальной плотности частиц [18], влиянием поперечной компоненты скорости частиц на пластине и на тонком теле [19,20], влиянием инерционной силы вблизи поверхности [21]. Отмеченные эффекты приводят к различным уравнениям и граничным условиям.

К осложняющим физическим факторам следует отнести наличие силы Сэффмена, Магнуса, силы турбулентного дрейфа, которые менее исследованы в пристенном пограничном слое.

Во всех случаях присутствие частиц существенно влияет на трение и теплообмен на поверхности тела [19,22-27 и др.]. В ряде задач важно знать поток частиц на поверхность, и в определенных режимах важное влияние на поток частиц оказывает пограничный слой [28-30]. Существенными вопросами являются влияние вдува, отсоса газа на двухфазный пограничный слой, влияние температуры поверхности и т.д. Актуальным вопросом является исследование двухфазного пограничного слоя в турбулентном режиме [31]. Имеются примеры моделирования струйных течений и решения задач, например, [3233], которые позволяют обобщить исследования на пристенные течения. Для турбулентного режима возникают такие новые явления как турбулентная диффузия частиц и турбулентная "миграция частиц" поперек потока [34], приводящие к осаждению частиц на поверхность, в связи с этим, взаимодействию частиц с поверхностью [35] и образованию пленки на поверхности [30,43].

Значительно усложняет структуру течения взаимодействие дискретных фаз между собой, коагуляция, дробление, отскок от поверхности и т.п. В этих случаях необходимо вводить для дисперсной фазы несколько фракций одного и того же вещества или новые континуумы того же вещества [36,37]. Для описания усложненных течений появились подходы, не использующие гипотезу континуума частиц, а работающие с дискретным набором "пробных частиц", которые сохраняют свою индивидуальность при движении, при этом допускается пересечение траекторий, взаимодействие частиц, изменение размеров [9-10]. В отечественной литературе такой подход развивается авторами [10,26] и другими и носит название "дискретно-траекторного" метода моделирования многофазных течений. Фактически, данный подход является прямым моделированием движения ансамбля частиц с последующим пространственно-временным осреднением в выделенном малом объеме. Имеются также примеры моделирования течений с существенным взаимодействием между частицами [12-14] или при пересечении траекторий частиц, когда для описания дисперсной фазы вводится кинетическое уравнение типа Больцмана для функции распределения [11,38]. На основе этого подхода были изучены уплотненные области течения - так называемые "каустики" [11] и турбулентные пристенные течения [38].

В силу инерционного движения частиц существенным фактором может оказаться локальная кривизна обтекаемых поверхностей. Например, при обтекании сферы газовзвесью течение может быть как регулярным, так и иметь точки пересечения траекторий в зависимости от исходных параметров [26].

Из-за отсутствия тензора давления в среде частиц возможно появление поверхности разрыва, имеющей конечную массу, импульс, энергию, то есть так называемой "пелены" [39].

И, наконец, течения двухфазных сред, как правило, имеют особые точки, в которых концентрация частиц неограниченно возрастает. Особенности эти могут быть интегрируемыми, в этом случае модель невзаимодействующих частиц работает, и неинтегрируемыми, когда необходимо изменять модель [40].

С математической точки зрения уравнения двухфазного пограничного слоя имеют составной параболическо-гиперболический тип [4] и требуют при решении соответствующих краеых условий. Для частиц необходимо выставить граничные условия на линии, не являющейся характеристикой, на участке входа в пограничный слой. Для несущей фазы граничные условия выставляются обычным образом [41]. Причем влияние частиц может изменить граничные условия, например, условия прилипания несущей фазы за счет образования пленки на поверхности [42,43].

Работы [17,18], а также настоящие исследования показывают, что вид уравнений двухфазного пограничного слоя, порядки переменных, граничные щ условия на внешней границе и даже порядок толщины пограничного слоя зависит от геометрии области течения и определяющих параметров. В свою очередь, порядки переменных и граничные условия на внешней границе определяются из поведения внешнего невязкого течения при у-> 0, где у-координата, направленная по нормали к поверхности. Нахождение внешнего невязкого решения для запыленного газа является достаточно сложной самостоятельной задачей, и аналитических результатов имется лишь ограниченное число. Несомненный интерес представляют решения, полученные при обтекании сферы [44,45], обтекании цилиндра [46], выпуклых и вогнутых углов [47,48]. В работе [49] исследуется окрестность критической точки для потока с малой концентрацией частиц. В работе [40] рассматриваются зоны неограниченного роста концентрации частиц, показывается, что для интегрируемых особенностей модель невзаимодействующих частиц ♦ остается справедливой. Дело в том, что при обтекании затупленных тел существует критический размер частиц, который соответствует критическому числу Стокса а*, при av< а* частицы не выпадают на поверхность, а при

7v> <7. попадают на поверхность, имея некоторую конечную скорость. При (Tv< a, ps неограниченно возрастает на критической линии при jy->0 . Тип особенности ps > порядок vs при jy->0 оказывается важным для построения уравнений вязкого слоя, см. [18], §2.3. В работе [50] рассмотрено поведение двухфазной среды на критической линии в гиперзвуковом ударном слое. В работах [16,51-53] рассмотрен тонкий профиль при обтекании двухфазным дозвуковым и сверхзвуковым невязким потоком.

В ранних работах по двухфазному пограничному слою [5,16] использовалось упрощенное моделирование поперечного движения частиц при обтекании пластины. В теоретической работе [17] получены уравнения пограничного слоя в характерных случаях, в том числе при обтекании пластины. В настоящей работе подобный асимптотический анализ уравнений проделан для течений около тонких тел с малой кривизной поверхности, а также при обтекании тел с вогнутой кривизной при малых числах Стокса. В полной постановке с учетом поперечного движения частиц в пограничном слое на пластине и расчетом уравнения для плотности частиц, задача впервые была решена в работе [22] путем численного расчета. Численный расчет такой задачи достаточно трудоемок в связи с релаксационным характером уравнений движения частиц, различным типом уравнений несущей фазы и частиц и наличием особенности в поведении ps . Отметим, что в данной работе краевые условия для частиц задаются не на внешней границе пограничного слоя, а на нормали к поверхности в критической точке. В работах [19,54] получены и используются в решении краевые условия для частиц на внешней границе пограничного слоя, расчетная область выбирается единой для несущей и дисперсной фаз. В работе [19] выявлено заметное влияние передней кромки пластины, которое приводит к отклонению траекторий частиц, уменьшению плотности ps вблизи поверхности и уменьшению локального коэффициента трения на пластине. Решения для обтекания пластины запыленным газом, аналогичные [22], получены в работах [55-57].

В работах [28,29] исследуется вязкое обтекание газовзвесью лобовой поверхности сферы при числах Re = 103 107 . Несущий газ несжимаемый, концентрация частиц мала. Изучается влияние пограничного слоя на траектории частиц и характеристики осаждения дисперсной фазы на обтекаемую поверхность. Результаты расчетов показали, что сила вязкого трения на три и более порядков превосходит силу Архимеда и присоединенной массы, на несколько порядков превосходит силу Сэффмана в градиентном потоке, которая, в свою очередь на порядок больше силы Магнуса за счет вращения частицы. Найдено, что в широком диапазоне параметров потока газовзвеси влияние пограничного слоя на движение частиц существенно. Последний вывод несколько отличается от сделанного в работе [44], где обнаружено резкое падение потока частиц при ds~*0 в идеальном обтекании. В целом, влияние пограничного слоя сводится к уменьшению потока частиц на поверхность. В работе [29] исследуются характеристики осаждения полидисперсных частиц в критической точке сферы. Оценен эффект влияния стенки на траектории и осаждение частиц.

В работе [18] рассмотрен двухфазный пограничный слой в окрестности критической точки затупленного тела с учетом теплообмена при малых числах Маха и получены подробные решения задачи в режиме инерционных частиц и при течении смеси с малой концентрацией не осаждающихся на поверхность частиц. Для последнего случая получены уравнения пограничного слоя и граничные условия на внешней границе методом сращиваемых асимптотических разложений. Характерно, что в пограничном слое безразмерная плотность дисперсной фазы порядка единицы, ps=0(l), несмотря на малую величину в невозмущенном потоке, ps «>« 1 . Вследствие этого малая концентрация частиц оказывает существенное влияние на трение и теплообмен. Безразмерная плотность ps возрастает при приближении к стенке и остается конечной в отличие от внешнего решения, в котором ps-*oo при у-*О . Вместе с тем остается неясным вопрос об уравнениях на критической линии при ps от= 0(1) и (Tv = о*+£, где G* - критическое значение числа Стокса, минимальное при котором отсутствуют столкновения частиц со стенкой, £- малый параметр и при малых числах Стокса.

В работе [23] получено численное решение уравнений гиперзвукового вязкого ударного слоя на критической линии пространственного тела двоякой кривизны в широком диапазоне определяющих параметров. Найдено, что частицы уменьшают отход ударной волны. Для малых частиц получены асимптотические уравнения двухслойной структуры : неравновесные вблизи ударной волны и равновесные в остальной области. Рассмотрены также решения для сильного и слабого вдува с поверхности. В работах [58,59] также рассматривается двухфазный гиперзвуковой вязкий ударный слой в окрестности критической точки затупленного тела. В отличие от работы [23] рассмотрен режим отсутствия инерционного осаждения частиц. Получены уравнения вязкого ударного слоя методом сращиваемых асимптотических разложений и их численные решения. Показано, что даже в случае малой массовой концентрации частиц в набегающем потоке (2-5%) может произойти существенное (до 100%) увеличение теплового потока. Вместе с тем, для обтекания сферы при малых числах Стокса, cv«l, имеются особенности течения вдоль по обводу тела, связанные с центробежной силой, действующей на частицы. Как показано в работе [44] при <7V«1 в невязком течении вблизи поверхности сферы образуется тонкая область толщиной порядка R ov , свободная от

I/O частиц, где R- радус затупления. Поэтому при ov >Re~ частицы могут быть только в окрестности критической точки в пограничном слое на протяжении x~R ov, а далее частицы стремятся покинуть пограничный слой. Результаты численных расчетов полных уравнений Навье-Стокса с частицами [60] для сверхзвукового режима подтверждают эти общие соображения.

Влияние силы Сэффмена, появляющейся за счет поперечного градиента скорости даже при отсутствии вращения частиц, на движение частиц в ламинарном пограничном слое изучалось в работах [30,61-63]. В работе [64] на основании обработки численных решений введены поправки к силе Сэффмена [65], действующей на сферическую частицу диаметра ds в сдвиговом потоке, учитывающие конечную величину числа Рейнольдса частицы Res = p'u*ds / /л и числа Рейнольдса поперечного градиента скорости Rек=p'dsdu' / ду'. Получена зависимость поправочного коэффициента ^(Re^Re^) в силе Сэффмена при различных Ref,Rev в виде интерполяционной формулы, из которой следует, что сила Сэффмена существенно уменьшается с увеличением параметра инерционности частиц Res. В работах [61,30] исследовалось влияние предельной силы Сэффмена (при Re5=0) на длине релаксации продольной скорости частиц L при обтекании пластины и течении в трубе. Воздействие силы Сэффмена на частицы приводит к потоку частиц на поверхность пластины в области неравновесности скоростей фаз. В работе [62] изучалось действие силы Сэффмена на примесь мелких частиц в газе на продольном масштабе L\ релаксации поперечной скорости частиц (L\»L). Движение дисперсной фазы определялось из квазиравновесных уравнений. В работе [63] рассмотрена аналогичная задача течения около клина. Показано, что в течениях с градиентом давления под действием силы Сэффмена при некоторых условиях образуется область свободная от частиц на некотором расстоянии от передней кромки за счет движения частиц от поверхности. Заметим, что результаты работы [64] существенно понижают общепринятые оценки величины силы Сэффмена (на 1-4.5 порядка) для инерционных частиц.

Проблема расчета пристенного двухфазного турбулентного течения возникает во многих приложениях и активно исследуется в настоящее время [31,66-68]. Существенное внимание уделяется течениям газовзвеси в трубах, например, [66-68]. Значительное количество работ сделано для близких по типу струйным турбулентным течениям и уравнениям, например [32-33,69,70]. Об актуальности подобных задач отмечается в материалах 16 международной конференции по газодинамике дисперсных систем [71]. Основными вопросами здесь являются: использование корректной математической модели осреднен-ных уравнений, построение модели взаимного влияния турбулентных пульсаций несущей среды и частиц, взаимодействие частиц друг с другом и обтекаемой поверхностью и решение конкретных задач.

Важной характеристикой двухфазного турбулентного пристенного течения и течения в трубах является поток частиц на поверхность [7,8], величину которого необходимо знать в пылезащитных, химических, пневматических, энергетических и других устройствах. Пристеннные модели течения должны описывать эту характеристику, существенная составляющая которой обязана турбулентности, а именно двойным корреляциям скоростей дисперсной фазы.

При осреднении уравнений турбулентного двухфазного движения возникает проблема замыкания осредненных уравнений, то есть написания выражений или уравнений для средних величин от произведений пульсаций скорости несущей и дисперсной фаз. В работе [32] предложена алгебраическая модель, обобщающая полуэмпирическую теорию пути смешения Прандтля на случай двухфазных и многофазных сред. Эта модель учитывает силовое взаимодействие турбулентных молей газа с заключенными в них частицами на основе простейших уравнений баланса. В результате получены выражения для поперечных и продольных пульсаций скорости фаз через стандартные турбулентные пульсации газа без частиц. Для струйных течений данная модель используется довольно широко, например, [32-33,69,70]. В работе [69] обобщается теория Г.Н.Абрамовича на случай неравновесного многоскоростного континуума.

Более сложные дифференциальные модели, равновесные и неравновесные, основанные на тех или иных способах осреднения уравнений газовзвеси, рассмотрены в [7,8]. Известно из экспериментов, что добавление частиц в турбулентный поток может приводить как к увеличению, так и к уменьшению гидравлического сопротивления в трубах. В работе [8] используются уравнения баланса вторых одноточечных моментов пульсаций скорости несущей фазы, в которых наряду с диссипацией за счет пульсационного скольжения фаз учитывается эффект рассеяния мелкомасштабных вихрей на частицах, а также дополнительный перенос пульсаций частицами, обусловленный вовлечением частиц в пульсационное движение и миграцией частиц поперек потока. Получено, что мелкие частицы (ds<№ мкм), вовлекаясь в пульсационное движение газа, турбулизуют течение. Частицы средних размеров (10 мкм< ds< 30 мкм) при малых весовых концентрациях приводят к уменьшению уровня турбулентных пульсаций из-за диссипации

• пульсаций на частицах. С ростом концентрации частиц турбулизация течения увеличивается в связи с переносом характеристик из логарифмической области в область подслоя. В работе [72] используется смешанный подход. Для связи пульсаций газа и частиц используется полуэмпирическая теория Г.Н.Абрамовича, а для определения "невозмущенного" частицами коэффициента турбулентного обмена используется однопараметрическая дифференциальная модель А.И.Секундова [73]. В связи с появлением супер-ЭВМ все чаще встречаются работы прямого моделирования газодисперсных турбулентных потоков без введения замыкающих соотношений [74],

В реальных условиях фракционный состав дисперсной фазы является, как правило, полидисперсным. В пограничном слое течение полидисперсной газовзвеси рассматривалось в работе [29] при малых концентрациях частиц на критической линии сферы. Течение полидисперсной двухфазной смеси при не очень малых концентрациях дискретного компонента сопровождается массовыми столкновениями частиц различных размеров, которые приводят к изменению фракционного состава конденсата [4]. Объемную долю частиц при этом можно считать малой. Однако расчет величины объемной доли частиц или концентрации необходим, так как она входит в характеристики межфракционного обмена. Различные механизмы межфракционного перехода рассмотрены в [4]. Основными являются переход мелких частиц в крупные за счет коагуляции и, наоборот, переход крупных частиц в мелкие за счет столкновения и дробления. В газовой динамике течение полидисперсных смесей с коагуляцией и дроблением достаточно широко исследовано в связи с сопловой тематикой, например [4,75]. В результате численных исследований сделан важный вывод, что от выбора модели взаимодействия частиц существенно зависит распределение концентрации и дисперсности частиц и слабо зависит течение несущей среды.

Для постановки граничных условий и выяснения воздействия двухфазного потока на стенку важным вопросом является взаимодействие частиц со стенкой [4,75-80]. Классификация видов взаимодействия приведена в [4,79]. Важное влияние на результат взаимодействия оказывают следующие факторы: состав частиц (жидкие или твердые), прочность, состояние и состав поверхности, угол наклона удара частиц, скорость, температура поверхности и т.д. Различные подходы к описанию взаимодействия приведены в работе [76]. При выпадении жидких частиц на поверхность возможно образование жидкой пленки на поверхности, которая оказывает влияние на двухфазный пограничный слой, характеристики трения и теплообмена. В работах [2,42] представлен обзор о современном состоянии гидродинамики пленок. Экспериментальные исследования свидетельствуют о существовании трех режимов течения: ламинарного при Re ^ 5, волнового при 6 ^ Re ^ 250 и турбулентного при Re ^ 250, где Re =Q)pL - число Рейнольдса пленки , Q - расход жидкости в пленке, ц- вязкость пленки. При ламинарном режиме течения для описания пленок используются уравнения типа пограничного слоя [42] с заранее неизвестной толщиной пленки. В работе [43] рассмотрено обтекание тела двухфазным дозвуковым потоком с жидкими каплями с образованием ламинарной пленки на поверхности. Продольным градиентом в пленке оказывается возможным пренебречь. Толщина пленки рассчитывается численным методом. В работе [30] рассмотрено образование жидкой пленки на поверхности пластины за счет действия силы Сэффмена на частицы в пограничном слое.

Экспериментальные данные по трению, теплообмену в дисперсных потоках и осаждению частиц довольно обширны, укажем лишь работы [5,8191]. Из этих работ наиболее информативными, посвященными исследованию структуры ламинарного пограничного слоя газовзвеси на пластине с учетом теплообмена, являются работы [84-85]. В этих работах получены профили плотности, скорости, температуры дисперсной фазы в зальщенном пограничном слое в режиме неравновесности фаз. Качественно экспериментальные результаты соответствуют теоретическим результатам работы [22] и результатам данной диссертации. Однако, экспериментальные данные охватывают область до точки торможения частиц на пластине, то есть до области существенной релаксации параметров фаз, что не позволяет подтвердить наличие максимумов у локальных коэффициентов трения и теплопередачи и сравнить поведение параметров в области существенной релаксации. В работах [88-89] экспериментально исследуется влияние вдува на теплообмен двухфазного потока с поверхностью. В работах [90,91] экспериментально исследуется двухфазный турбулентный пограничный слой, в [90] приведены данные по скорости осаждения частиц на стенку канала.

Применение классических погранслойных приближенных аналитических методов для двухфазного пограничного слоя встречает существенные трудности в связи с различным типом уравнений движения несущей и дисперсной фаз. В работе [92] рассмотрена на основании приближения равновесного течения (малые числа Стокса, нулевое приближение) аналогия Рейнольдса для течений газовзвеси в ламинарном режиме течения, а в работе [93] рассмотрена подобная задача в турбулентном пограничном слое газовзвеси. В работе [94] метод Мексина применяется для решения уравнений ламинарного пограничного слоя газовзвеси на пластине, получены приближенные формулы для коэффициента трения и теплообмена.

При расчете двухфазного пограничного слоя используются различные методы. Часто в области течения возникают поверхности разрыва концентрации частиц и пелена. В таких задачах, по-видимому, как и в двухфазной газовой динамике при наличии разрывов, течение выгодно изучать в лагран-жевых переменных. Поскольку в многоскоростных континуумах единая лагранжевая система координат отсутствует, то в двухфазной газодинамике используют подвижные сетки [95] или эйлерово- лагранжевый подход типа метода "частиц в ячейках" [96] или его модификации [97]. Идея сочетания эйлеровою и лагранжевого подходов при построении численных методов расчета может применяться и для расчета двухфазного пограничного слоя. При этом уравнения несущей среды можно рассчитывать известными в теории пограничного слоя методами, например, [98,99]. В работе [22] уравнения двухфазного пограничного слоя записывались в параболических переменных, обычно принятых в теории пограничного слоя, и решались с помощью неявной разностной схемы с порядком аппроксимации 0{А.Х,Ы]2), где х, tj — продольная и поперечная координаты. Для решения разностных уравнений на каждом шаге применялся метод прогонки. Следует отметить, что для уравнений несущей фазы переменные Дородницына очень удобны, для уравнений же частиц эти переменные вносят искусственные трудности счета - особенность в поведении параметров частиц при х-* 0. В работе [18] для расчета двухфазного пограничного слоя на критической линии задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается методом "пристрелки" с помощью стандартной программы. В работе [68] уравнения несущей фазы решаются с помощью разностной схемы Кранка- Николсона.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе асимптотического анализа получены уравнения ламинарного пограничного слоя газовзвеси и граничные условия при обтекании тонких тел, вогнутых в сторону потока поверхностей и критической точки затупленного тела. Показано, что уравнения и граничные условия на внешней границе пограничного слоя меняются в зависимости от типа поверхности, числа Стокса и концентрации частиц в набегающем потоке.

2. Предложено обобщение полуэмпирической модели Г.Н. Абрамовича турбулентных пульсаций скорости и температур фаз в газовзвеси с учетом осредненного скольжения фаз.

3. Разработаны методики численного решения задач пограничного слоя газовзвеси в условиях неравновесного движения фаз и приближенного решения на основе метода интегральных соотношений и метода последовательных приближений.

4. Получены и проанализированы численные и асимптотические решения задачи продольного обтекания пластины газовзвесью при различных определяющих факторах: концентрации частиц, наличия вдува, отсоса газа, подвижной поверхности, инерционности частиц, температурного фактора и числа Маха в сверхзвуковом режиме течения.

В изотермическом пограничном слое выявлено заметное влияние передней кромки пластины на решение несущей и дисперсной фаз. Это явление отражает эффект вытеснения пограничного слоя. Учет реального закона сопротивления частиц приводит к более интенсивному торможению частиц и сдвигу максимумов cj к передней кромке пластины на характерной длине релаксации частицы. Показано, что при вдуве газа в двухфазный пограничный слой образуется поверхность разрыва типа "пелены", отделяющая запыленный газ от чистого газа, а коэффициент трения существенно уменьшается. Данная задача может быть полезна на практике при защите от эрозионного и теплового воздействия частиц. При отсосе газа с поверхности частицы увлекаются потоком и выпадают на поверхность. Вычислены поток частиц на поверхность и добавка в напряжение трения за счет соударения частиц с поверхностью.

Показано, что влияние силы Магнуса может стать значительным для инерционных частиц при Re^^lO и Re^^ 104. Выявлено, что сила Магнуса приводит к потоку частиц и импульса частиц на поверхность в области неравновесного течения, уменьшает концентрацию частиц и в несколько раз увеличивает длину области релаксации скоростей фаз.

5. При наличии теплообмена газовзвеси с поверхностью пластины при малых числах Маха получено, что увеличение концентрации частиц в потоке и температуры поверхности может в несколько раз увеличить локальный коэффициент теплопередачи к поверхности. С увеличением теплоемкости частиц в 10 раз коэффициент теплопередачи возрастает в 2 раза, а коэффициент трения слабо изменяется. При сверхзвуковых течениях, в отличие от классических результатов, где адиабатическая температура поверхности постоянна при обтекании пластины однородным потоком, для газовзвеси адиабатическая температура меняется вдоль поверхности, принимая максимальное значение в области торможения частиц. При этом во внешней части пограничного слоя частицы охлаждают газ, а в пристенной области, наоборот, разогревают его.

2/3

Аналогия Рейнольдса ch=cf Рг приближенно выполнена при JW ^ 0.5, Cs ~ ср , 0 < Moo ^ 4 . Приведены результаты расчетов коэффициентов теплообмена и трения в широком диапазоне определяющих параметров.

6. Рассмотрена структура пограничного слоя газовзвеси на вогнутой к потоку поверхности и на тонком клине. Показано, что при малых числах Стокса порядка Re~1/3 за счет кривизны вогнутой поверхности и инерционности

2/3 частиц толщина пограничного уменьшается до порядка Re , а уравнения пограничного слоя значительно упрощаются. В пограничном слое на тонком клине за счет поперечного движения частиц появляется поток частиц на поверхность, коэффициент трения на поверхности возрастает в несколько раз.

7. Рассмотрена структура турбулентного двухфазного изотермического и неизотермического пограничного слоя на пластине. Показано, что в результате совместного действия инерционной силы и поперечного турбулентного дрейфа частиц возникает эффект осаждения частиц, наблюдаемый в экспериментах. Сравнение с экспериментальными данными по скорости осаждения частиц показало хорошее качественное и количественное совпадение результатов, что подтверждает правильность выбранной математической модели. Выявлено, что эффекты турбулентной диффузии частиц и продольного дрейфа являются эффектами второго порядка малости. Вблизи поверхности происходит уменьшение, а во внешней части пограничного слоя — увеличение концентрации частиц.

1. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // ПММ. - 1956. - Т.20, № 2.- С. 184-195.

2. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1,4-2. М.:Наука, 1987.

3. Дейч М.Е., Филиппов Г.А. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энергоиздат, 1981.-471 с.

4. Шрайбер А.А., Стернин Л.Д. Многофазные течения газа с частицами. -М.: Машиностроение, 1994. -320 с.

5. Coy С.Л. Гидродинамика многофазных систем. М.: Мир, 1971. —536 с.

6. Гришин А.М., Фомин В.М. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред. Новосибирск: Наука, 1984. - 320 с.

7. Шрайбер А.А., Гавин Л.Б., Наумов В.А., Яценко В.П. Турбулентные течения газовзвеси. Киев: Наук, думка,1987. - 238 с.

8. Волков Э.П., Зайчик Л.И., Першуков В.А. Моделирование горения твердого топлива. М.: Наука, 1994. - 319 с.

9. Crowe С.Т., Troutt T.R., Chung J.N. Numerical models for two-phase turbulent flow // Ann. Rev. Fluid Mech. 1996. - V.28, №11.- P.l1-43.

10. Гилинский M.M., Толстов B.H. Дискретно-траекторный численный метод расчета неоднофазных течений с пересекающимися траекториями частиц // Струйные и отрывные течения / Ин-т механики МГУ, под ред. Г.Г.Черного и др. М., 1985. - С.78-94.

11. Киселев С.П., Фомин В.М. Исследование каустик в двухфазной среде газ-частицы // ПМТФ. 1987. - № 4. - С.164-170.

12. Гладков М.Ю., Рудяк В .Я. Кинетические уравнения мелкодисперсной газовзвеси //Журн. техн. физики,- 1994. -Т.64. №4. - С. 170-174.

13. Рудяк В .Я., Краснолуцкий С.Л. Кинетическое описание диффузии нано-частиц в разреженном газе // Доклады АН.- 2001.-Т.381.-№5.-С. 623-625.

14. Волков А.Н., Циркунов Ю.М. Кинетическая модель столкновительной примеси в запыленном газе и ее применение к расчету обтекания тел // Известия РАН, МЖГ.- 2000.-№3.-С. 81-96.

15. Фомин В.М., Долгушев С.В. Динамика дисперсных систем типа "газовая смесь — полые, селективно проницаемые микросферы"// Доклады АН.-2001 .-Т.381 .-№5.-С. 626-629.

16. Марбл Ф. Динамика запыленных газов//В кн.: Механика. Период, сб. перев. иностр. статей. 1971. - № 6. - С.48-89.

17. Стулов В.П. Об уравнениях ламинарного пограничного слоя в двухфазной среде // Изв. АН СССР, МЖГ. 1979. - № 1. - С. 51-60.

18. Осипцов А.Н. Пограничный слой на затупленном теле в потоке запыленного газа // Изв. АН СССР, МЖГ. 1985. - № 5. - С.99-107.

19. Гришин А.М., Забарин В.И. Двухфазный пограничный слой с несжимаемой несущей фазой на пластине при вдуве и отсосе газа с поверхности// ПМТФ. 1987. - № 5. - С.54-61.

20. Забарин В.И. Двухфазный пограничный слой на тонком клине// Вестник Кемеровского гос. ун-та. 2004. - Вып.З. - С. 32-35.

21. Забарин В.И. Об уравнениях пограничного слоя газовзвеси с несжимаемой несущей фазой на вогнутой поверхности// Вестник Кемеровского гос. ун-та. 2002. - Вып.З. - С. 85-89.

22. Осипцов А.Н. О структуре ламинарного пограничного слоя дисперсной смеси на плоской пластине //Изв. АН СССР, МЖГ. 1980. - № 4. -С.48-54.

23. Пейгин С.В. Гиперзвуковой пространственный вязкий ударный слой в двухфазном потоке// ПММ. 1984. - Т.48, № 2. - С. 234-263.

24. Wang B.Y., Glass I.I. Compressible laminar boundary-layer flow of a dusty gas // J. Fluid Mech. 1988. - V.186. - P.223-241.

25. Hove D.T., Taylor E. Stagnation region heat transfer in hypersonic particle environments // AIAAj. 1976. - V.14. - P.1486-1488.

26. Рамм M.C., Шмидт A.A. Обтекание затупленного тела потоком газовзвеси. I. Учет отражения дисперсных частиц от обтекаемой поверхности, оценка вклада столкновений между частицами // Препринт №1097. Ленинград: ФТИ АН СССР. 1987. - 24 с.

27. Забарин В.И. Теплообмен и трение в двухфазном пограничном слое на пластине при сверхзвуковом течении // В сб. научн. трудов: Физическаягазодинамика реагирующих сред. Новосибирск: Наука, 1990. С.78-85.

28. Циркунов Ю.М. Влияние вязкого пограничного слоя на осаждение частиц при обтекании сферы газовзвесью //Изв. АН СССР, МЖГ. 1982. - № 1. - С.59-66.

29. Циркунов Ю.М. Исследование инерционного осаждения полидисперсных частиц в критической точке сферы // ПМТФ. 1985. - № 5. - С.94-101.

30. Наумов В.А. Расчет газодисперсного ламинарного пограничного слоя на пластине с учетом образующейся жидкой пленки// Изв. АН СССР, МЖГ. -1992. -№ 2. -С. 179-181.

31. Зайчик Л.И., Першуков В.А. Проблемы моделирования газодисперсных течений с горением и фазовыми переходами (обзор) // Изв. РАН, МЖГ. 1996. -№ 5. - С. 3-19.

32. Абрамович Г.Н., Гиршович Т.А., Крашенинников С.Ю., Секундов А.Н., Смирнова И.П. Теория турбулентных струй. М.: Наука, 1984. 716 с.

33. Лаатс М.К. Некоторые задачи и проблемы расчета струи с тяжелыми частицами // Турбулентные двухфазные течения. Таллин, 1982. С.49-61.

34. Медников Е.П. Турбулентный перенос и осаждение аэрозолей. М.: Наука, 1981.- 174 с.

35. Старченко А.В., Бубенчиков А.М., Бурлуцкий Е.С. Математическая модель неизотермического турбулентного течения в трубе на основе смешанного эйлерово-лагранжева представления// ТВТ. 2002. - Т.40, №3. - С.449-459.

36. Еникеев И.Х. О влиянии дисперсных частиц, отскочивших от поверхности обтекаемого тела, на структуру ударного слоя // Нестационарные течения многофазных систем с физико-химическими превращениями. М., 1983. С.86-94.

37. Старченко А.В., Бубенчиков A.M., Бурлуцкий Е.С. Исследование теплообмена при восходящем и нисходящем турбулентном течении смеси газ-твердые частицы в трубе // ТВТ. 2001. - Т.39, №2. - С.304-310.

38. Крошилин А.Е., Кухаренко В.Н., Нигматулин Б.И. Осаждение частиц в градиентном турбулентном дисперсном потоке // Изв. АН СССР, МЖГ. -1985. № 4. - С.57-63.

39. Крайко А.Н. О поверхностях разрыва в среде, лишенной собственного давления // ПММ. 1979. - Т.43, вып.З. - С.500-510.

40. Осипцов А.Н. Исследование зон неограниченного роста концентрации частиц в дисперсных потоках // Изв. АН СССР, МЖГ.-1984.-№ 3.-С.46-52.

41. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. — 840 с.

42. Бояджиев X., Бешков В. Массоперенос в движущихся пленках жидкости. М.: Мир, 1988. 137 с.

43. Осипцов А.Н., Шапиро Е.Г. Обтекание поверхности аэродисперсным потоком с образованием жидкой пленки// Изв. АН СССР, МЖГ. 1989. - № 4. -С.85-92.

44. Michael D.H. The steady motion of a sphere in a dusty gas // J. of Fluid Mech. 1968. - Vol.31, Pt.l. - P.175-192.

45. Michael D.H., Norey P.W. Particle collision efficiencies for a sphere // J. Fluid Mech. 1969. - Vol.37, pt.3. - P.565-575.

46. Healy J.V. Perturbed two-phase cylindrical-type flows // Phys. Fluids. -1970. V.13, N 3. - P.551-557.

47. Healy J.V. Two-phase concave-type corner flows // J. Fluid Mech. 1971. - Vol.46, pt.l.-P.33-42.

48. Healy J.V. Two-phase convex-type corner flows // J. Fluid Mech. 1970. -Vol.41, pt.4. - P.759-768.

49. Drew D.A. Low concentration two-phase flow near a stagnation point // Phys. Fluids. 1974. - V.17, N 9. - P.1688-1691.

50. Васильков А.П. Окрестность критической точки затупленного тела в гиперзвуковом двухфазном потоке // Изв. АН СССР, МЖГ. 1975. - № 5. -С.121-129.

51. Рахматулин Х.А., Мамадалиев Н.А. Двухскоростная теория обтекания тонкого профиля // ПМТФ. 1969. - № 4. - С.32.

52. Ткаленко Р.А. К линейной теории сверхзвуковых течений смеси газа и частиц// Изв. АН СССР, МЖГ. 1971. - № 1. - С. 109.

53. Осипцов А.Н. Тонкий профиль в потоке дисперсной смеси // Изв. АН СССР, МЖГ. 1981. - № .5. - С.147-154.

54. Гришин A.M., Забарин В.И. Теплообмен и трение в двухфазном пограничном слое на пластине // ПМТФ. 1988. - № 4. - С.78-86.

55. Prabha Saroy, Tayan А.С. Laminar boundary layer of gas particulate flow on a flat plate // Proc. Indian Acad. Sci. 1979. - A&&, No 5, Part 3. - P.377-385.

56. Datta N., Mishra S.K. Boundary layer flow on a dusty fluid over a semi-infinite flat plate // Acta mech. 1982. - 42, N1-2. - P.71-83.

57. Абрамов Ю.И. Двухфазный дисперсный пограничный слой на начальном участке трубы // Тепло- и массообмен в химической технологии. Казань, 1981. С.8-11.

58. Осипцов А.Н., Шапиро Е.Г. Влияние мелкодисперсной примеси на структуру пограничного слоя при гиперзвуковом обтекании затупленного тела// Изв. АН СССР, МЖГ. 1986. - № 5. - С. 55-62.

59. Осипцов А.Н. Нестационарный пограничный слой на затупленном теле в гиперзвуковом потоке неоднородно запыленного газа // Изв. РАН, МЖГ. -2001.-№5.-С. 107-120.

60. Егорова JI.A., Осипцов А.Н., Сахаров В.И. О границах инерционного осаждения частиц и теплообмен при сверхзвуковом обтекании тел вязким запыленным газом// Изв. РАН, МЖГ. 2001. - № 6. - С. 11-124.

61. Осипцов А.П. Движение запыленного газа на начальном участке плоского канала и круглой трубы// Изв. АН СССР, МЖГ.-1988.-№ 6.-С.80-87.

62. Асмолов Е.С. Движение частиц в ламинарном пограничном слое на масштабе релаксации поперечной скорости// Изв. АН СССР, МЖГ. 1993. -№1. - С.86-93.

63. Асмолов Е.С. О движении дисперсной примеси в ламинарном пограничном слое при обтекании клина// Изв. АН СССР, МЖГ.-1993.-№ 6.-С.34-42.

64. Mei R. An approximate expression for the shear lift force on a spherical particle at finite Reynolds number// Intern. J. Multiph. Flow.-1992.-№l.-P. 145-147.

65. Алипченков В.М., Зайчик Л.И. Осаждение инерционных частиц из турбулентного потока в трубе // Изв. РАН, МЖГ. 1998. - № 2. - С. 68-75.

66. Картушинский А.И., Мульги А.С., Руди Ю.А., Хусаинов М.Т. Движение примеси крупных твердых частиц в горизонтальном плоском канале // Изв. РАН, МЖГ. 1997. - № 1. - С. 57-66.

67. Терехов В.И., Пахомов М.А. Численное исследование гидродинамики, тепло- и массообмена двухфазного газопарокапельного потока в трубе // ПМТФ. 2003. - Т.44. - №1. - С.108-121.

68. Зуев Ю.В., Лепешинский И.А. Математическая модель двухфазной турбулентной струи // Изв. АН СССР, МЖГ. 1981. - № 6. - С.69-77.

69. Лепешинский И.А., Воронецкий А.В., Зуев Ю.В. и др. Экспериментальные и теоретические исследования газокапельных струй с высокой концентрацией жидкости в газе // Мат. моделирование. 2001. - Т.13, № 6. - С. 124-127.

70. Тезисы докладов 16 конф. стран СНГ по вопросам испарения горения и газовой динамики дисперсных систем. Одесса, 1993.

71. Картушинский А.И. Перенос инерционной примеси в турбулентной струе // Изв. АН СССР, МЖГ. 1984. - № 1. - С.36-41.

72. Секундов А.Н. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости к анализу плоских неавтомодельных течений // Изв. АН СССР, МЖГ. 1971. - № 5.

73. Baneijee S. Direct simulation of multi-phase flows // Plenary Lecture on 4th. Intern. Conf. in Numeric Methods in Nuclear Engineering. Montreal, 1993.

74. Рычков А.Д., Шрайбер A.A. Осесимметичное полидисперсное двухфазное течение с коагуляцией и дроблением частиц при произвольном распределении осколков по массам и скоростям // Изв. АН СССР, МЖГ. -1985.-№3.-С.73-79.

75. Подвысоцкий A.M., Шрайбер А.А. Экспериментальное исследование переноса массы и импульса при взаимодействии капель со стенками// Изв. РАН, МЖГ. 1993. - № 2. - С. 61-67.

76. Спринджер Дж. С. Эрозия при воздействии капель жидкости. М.:

77. Машиностроение, 1981. 200 с.

78. Трунев А.П., Фомин В.М. Обтекание тел двухфазным потоком типа газ-твердые частицы с учетом эрозии // ПМТФ. 1983. - № 1. - С.69-75.

79. Полежаев Ю.В., Михатулин Д.С. Эрозия поверхностей в гетерогенных потоках // Препринт № 2-277. М.: ИВТАН, 1989. 67 с.

80. Полежаев Ю.В. Современные проблемы тепловой защиты // ИФЖ. -2001. Т.74, № 6. - С.8-16.

81. Бусройд Р. Течение газа со взвешенными частицами. М.: Мир, 1975. -378 с.

82. Depew С.A., Kramer T.J. Heat trasfer to flowing gas-solid mixtures. Acad. Press. 1973, V.9. -P.l 19-180.

83. Михатулин Д.С., Полежаев Ю.В., Ревизников Д.Л. Исследование разрушения углеродного теплозащитного материала в запыленной атмосфере// ТВТ. 2003. - Т.41, №1. - С.98-105.

84. Богачев В.В. Исследование гидродинамики и теплообмена в запыленном пограничном слое : Автореф. дисс. на соискание учен, степени канд. техн. наук. Ставрополь, Ставропольский политехнический ин-т, 1981.

85. Богачев В.В., Васильев В.Н., Никитин А.Т. Конвективный теплообмен зальщенного газа с плоской пластиной // Тепломассобмен VII: Аннотац. докл. и сообщений VII Всесоюзн. конф. по тепломассобмену. - Минск, 1984. -С.199.

86. Каширский В.Г., Печенегов Ю.Я. Тепломассобмен и энергетическая эффективность потоков газовзвеси с различными размерами частиц твердой фазы // Тепломассобмен-6, Т.6. Минск, 1980. - С.117- 121.

87. Сукомел А.С., Салохин В.И. Теплопередача пластины в потоке газовзвеси // Тепломассобмен-6, Т.6.- Минск, 1980. С.122-126.

88. Нигматулин Б.И., Горюнова М.З., Гугучкин В.В., Маркович Э.Э. Влияние вдува газа на движение капель у стенки горизонтального канала в газожидкостном дисперсном потоке // ТВТ. 1982. - Т.20, № 2. - С.386-388.

89. Абалтусов В.Е. Экспериментальное исследование теплообмена на перфорированной поверхности при наличии вдува // Пристенные струйные потоки. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1984. С.76-81.

90. McCoy D.D., Hanratty T.J. Rate of deposition of droplets in annular two-phase flow // Intern. Multiphase Flow. 1977. - V.3, N 4. - P.319-332.

91. Вараксин А.Ю. Турбулентные течения газа с твердыми частицами. М.:Физматгиз, 2003. 187 с.

92. Агранат В.М. Об аналогии Рейнольдса в запыленном ламинарном пограничном слое // Изв. АН СССР, МЖГ. 1986. - № 6. - С. 160-162.

93. Павлюченко А.Н. Аналогия Рейнольдса и закон теплообмена в турбулентном пограничном слое при наличии твердых частиц // Динамика многофазных сред. Новосибирск, 1983. С.314-319.

94. Агранат В.М., Милованова А.В. Расчет трения и теплообмена в запыленном пограничном слое // Механика реагирующих сред и ее приложения. Под ред. Ю.А. Березина и A.M. Гришина. Новосибирск: Наука, 1989. С.164-171.

95. Алалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева И.Л., Пликер А.А. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках.М/.Наука,1970.-112с.

96. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. -С.316-342.

97. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике: Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1982. 391 с.

98. Гришин A.M., Зинченко В.И., Ефимов К.Н., Субботин А.Н., Якимов А.С. Итерационно-интерполяционный метод и его приложения. Томск: Изд-во Томского ун-та, 2004. 317 с.

99. Петухов И.В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М.: Наука, 1964. С.304-325.

100. Забарин В.И. Асимптотическое решение уравнений пограничного слоя на подвижной поверхности // Механика сплошных сред. Т.2: Материалы Уральской зональн. конф. Пермь: Изд-во УНЦ СО АН СССР, 1980. - С.61-63.

101. Брыкина И.Г., Забарин В.И., Ковач Э.А., Колесников А.Ф., Тирский Г.А. Решение уравнений пограничного слоя в несжимаемой жидкости методомпоследовательных приближений. Изд-во МГУ, 1977. Отчет № 1873.

102. Забарин В.И. Двухфазный пограничный слой на пластине при вдуве и отсосе газа с поверхности // Численные методы сплошной среды. 4.1: Тезисы докладов конф. Красноярск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1987. - С.56-57.

103. Забарин В.И. Двухфазный турбулентный пограничный слой на пластине // Совещание по механике реагирующих сред: Тезисы докладов краевого совещания. Красноярск, 1988. - С.89-91.

104. Забарин В.И., Мурашкина Е.А. Влияние сил Магнуса и тяжести на структуру двухфазного пограничного слоя на пластине // Численные методы механики сплошной среды. Часть I: Тезисы докл. конф. Красноярск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1989. - С.54-56.

105. Забарин В.И. Асимптотическое решение уравнений газовзвеси в пограничном слое вблизи поверхности пластины// Материалы. Международной конф.: Всесибирская конф. по матем. и механике. Томск, 1997. - С.55-56.

106. Забарин В.И. К модели турбулентных пульсаций газовзвеси при наличии осредненного скольжения // Вестник КемГУ. 2003. - Вып.З.-С. 40-46.

107. Забарин В.И. К модели турбулентных пульсаций плотности дисперсной фазы в газовзвесях // Вестник КемГУ. 2003. - Вып.4. - С. 18-21.

108. Забарин В.И. Моделирование турбулентных пульсаций скоростей и температур газовзвеси при наличии осредненного скольжения//Наука и образование: Материалы V Междунар. научн. конф. Белово, 2004.-С.510-514.

109. Забарин В.И. Влияние осредненного и пульсационного скольжения на турбулентные пульсации газовзвеси// Краевые задачи и математическое моделирование: Материалы VI Всерос. конф.: Новокузнецк, 2003. С. 35-37.

110. Забарин В.И. Математическое моделирование течения газовзвеси в пограничном слое на тонком клине // Краевые задачи и математическое моделирование: Материалы VII Всерос. конф., Т. 1.-Новокузнецк,2004. С.11-12.

111. Иммих X. Импульсивное движение суспензий: влияние антисимметричных напряжений и вращения частиц // Механика. Вихри и волны. М.: Мир, 1984. С.112-152.

112. Яненко Н.Н., Солоухин Р.И., Папырин А.И., Фомин В.М.

113. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновесности частиц. Новосибирск: Наука, 1980. — 159 с.

114. Carlson D.I., Hogland R.F. Particle drag and heat transfer in rocket nozzles // AIAAj. 1964. - V.2, N11.- P.1980-1984.

115. Волощук В.М. Введение в гидродинамику грубодисперсных аэрозолей. JL: Гидрометеоиздат, 1971. 208 с.

116. Henderson G.B. Drag coefficient of a spheres in continuum and rarefied flows // AIAAj. 1967. - V.14, N 6. - P.707-708.

117. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.-274 с.

118. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963. T.I. 583 с.

119. Вараксин А.Ю., Полежаев Ю.В., Поляков А.В. Экспериментальное исследование влияния твердых частиц на турбулентное течение воздуха в трубе И ТВТ. 1998. - Т.36, №5. - С.767-775.

120. Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989.

121. Гарбарук А.В., Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Турбулентный пограничный слой при одновременном влиянии продольного градиента давления, вдува (отсоса) и поперечной кривизны поверхности //ТВТ. 2002. -Т.40, №3. - С.436-441.

122. Тирский Г.А. Условия на поверхности сильного разрыва в многокомпонентных средах// ПМТФ. 1961. - Т.25, вып.2. - С.196-208.

123. Ковач Э.А., Тирский Г.А. Применение метода последовательных приближений к интегрированию уравнений пограничного слоя // Докл. АН СССР.- 1969.-Т. 190,Х°1.

124. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовича М., Стиган И. М.: Наука, 1979. 830 с.

125. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. -439 с.