Численное исследование течений вязкой жидкости в каналах с заданными перепадами давления тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Постановка задачи о протекании вязкой несжимаемой жидкости сквозь ограниченную область.

1.1. Постановка задачи в переменных скорость, давление. ^

1.2. Эквивалентная постановка в переменных функция тока, завихренность".

1.3. Выбор безразмерных переменных в задачах протекания.

1.4. Нестационарное течение в прямом плоском канале.

Глава П. Численное исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале с разветвлением при ааданных перепадах давления.

2.1. Метод численного решения задач протекания в естественных переменных.

2.2. Нестационарное течение вязкой жидкости по цилиндрической трубе круглого поперечного сечения.

2.3. Течение жидкости в плоском I - образном канале.

Глава Ш. Течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах с локально искривленными стенками при заданном перепаде давления.

3.1. Алгоритм численного решения задачи протекания в переменных "функция тока, завихренность".

3.2. Нестационарное течение в прямом плоском канале. Сравнение аналитического и численного решения.

3.3. Течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале переменного сечения.

3.4. Течения вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе переменного сечения. ЮЗ

Глава 1У. Течения вязкой несжимаемой жидкости в области с заданной внутренней поверхностью протекания и разрывом давления на ней.

4.1. Постановка задачи. Теорема единственности. Простейшее одномерное течение.

4.2. Алгоритм численного решения. Простейшие примеры двумерного течения.

4.3. Осесимметричное течение в круглой цилиндрической трубе с периодически расположенными внутренними границами протекания.

В различных областях науки и техники все большее значение приобретают исследования и расчеты гидродинамических течений, возникающих в трубопроводах, насосах, химических аппаратах, системах управления и регулирования. Такой интерес вызван, например, необходимостью интенсификации развития трубопроводного', транспорта, особенно для транспортировки нефти, нефтепродуктов и газа. Уже давно признано, что течение жидкостей и газов играет важную роль в биологических процессахi происходящих в живых организмах. Во многих случаях жидкость можно считать вязкой несжимаемой ньютоновской и интересующие процессы моделировать с помощью уравнений Навье-Стокса.

Решение конкретной задачи требует задания дополнительных условий (начальных, краевых). По виду краевых условий, задачи о решении уравнений Навье-Стокса можно разделить на два класса. К первому отнесем случаи, когда вектор скорости задан на всей границе. Это могут быть, либо течения жидкости в сосуде с непроницаемыми твердыми стенками, либо движения жидкости, заполняющей все пространство вне некоторого тела, либо течения жидкости в заданной ограниченной области, когда на частях границы, через которые жидкость протекает, задано распределение скорости. Большинство теоретических исследований проведено именно для указанного класса. Достаточно полный обзор литературы по вопросам корректности можно найти в монографиях 0.А.Ладыженской [37], Ж.Л.Лионса [39] и Р.Темама [70]. Ко второму классу отнесем краевые задачи для уравнений Навье-Стокса, когда на известной части границы задано давление (полный напор) и касательная составляющая вектора скорости. Такие задачи будем называть в дальнейшем задачами протекания.

Механическая интерпретация задач протекания состоит в том, что требуется определить расходы через сечения протекания, зная только перепады давления между этими сечениями. Задачи протекания являются важными и естественными, с точки зрения физики и приложений. К таким задачам можно отнести напорное движение среды, вызванное перепадом давления (полного напора), движения жидкостей в гидро- или пневмосистемах, вызванные действием насосов или компрессоров. Исследование корректности задач протекания проведено в работах В.В.Рагулина [53,54],

В.В.Рагулина, Ш.Смагулова [55]. В предположении, что граница пз области состоит из нескольких кусков класса гладкости L , для нестационарных уравнений Навье-Стокса доказана однозначная разрешимость задачи, в которой на известной заранее части границы заданы касательные составляющие вектора скорости и значения давления или полного напора. В плоской задаче с заданным напором имеет место глобальная разрешимость, в остальных случаях. установлено существование решения "в малом": либо для малых отрезков времени, либо при малых числах Рейнольдса.

Физические эксперименты, направленные на подробное изучение течений жидкости, весьма трудоемки и дороги. Поэтому большой интерес представляет получение численных решений задач о течениях вязкой жидкости. Литература по этоцу вопросу очень обширна. Подробный обзор работ по "вычислительной гидродинамике", выполненных за рубежом дан в книге П.Роуча [57]. О развитии численных методов решения задач гидромеханики в нашей стране можно судить по работам [5,6,8,13,16-18,21-23,42-44, 50,64,66,68,69,78-80J и литературе, цитируемой в них. Заметим, что практически все численные алгоритмы решения уравнений Навье^ Стокса приспособлены для решения таких краевых задач, в которых вектор скорости задан на всей границе области течения. Рассмотренные в работах [2,53-55j постановки задач протекания являются новыми и имеют физическую интерпретацию. Разработка численных методов решения задач протекания в настоящее время является весьма актуальной.

Целью данной работы является численное исследование течений вязкой несжимаемой жидкости в каналах, трубах различной геометрии, когда между отдельными сечениями протекания известны перепады давления. Исследование проводится на основе построенных численных алгоритмов решения задач протекания для полных уравнений Навье-Стокса. Предложенные методы хорошо работают в области ламинарных течений.

Кратко остановимся на содержании некоторых работ, которые, в какой-то степени, характеризуют актуальность решения задач протекания и показывают, что течения в трубах, каналах с известными перепадами давления представляют достаточно большой практический интерес во многих областях.

Течение жидкости в прямой трубе является простейшим примером задачи протекания. Такое движение в чистом виде в практике встречается довольно редко. Несмотря на это, благодаря простым выражениям для расхода жидкости через трубу, перепадам давления на единицу длины трубы и для гидравлического сопротивления, аналитические решения таких задач широко используются в настоящее время. Задача о нестационарном движении вязкой жидкости по цилиндрической трубе круглого поперечного сечения, в общей постановке для практически произвольных зависимостей перепада давления от времени, была подробно исследована в сочинении И.С.Громеки [15] , относящимися к 1882 году. Это решение широко применяется для задания профиля скорости на сечениях протекания при решении задач о пульсирующих и осциллирующих течениях в различных каналах [19,29, 41-44, 49,51,56,74,76,99-101].

Во многих,практически важных, случаях (тороидальная труба), можно сделать предположение, что характеристики течения не зависят от координаты вдоль оси канала. В этом случае перепад давления вдоль оси трубы является функцией только времени. Обзор работ выполненных в этом направлении можно найти, например, в [76, 105].

Большой практический интерес представляют движения вязкой жидкости в областях с несколькими (более 2-х) сечениями протекания. В гидравлике и пневмоавтоматике подобные ситуации встречаются в тройниках, крестовинах, в логических элементах простейших гидросистем [ПО]. В биомеханике такие течения моделируют ветвления кровеносных сосудов. В работе Миролюбова С.Г. [44] решена задача о пульсирующем течении крови в плоском канале с симметричным ветйлением. Цульсирукмций характер течения задавался нестационарным градиентом давления на входе. Предполагалось равенство оттоков из обеих отводящих ветвей. На выходе из ответвлений ставились "мягкие" условия. Работа [44] проведена с целью изучения механизма появления артериальных поражений в районе ветвления сосудов. Аналогичная задача решалась в работах [87,101].

В [22] Дорфманом A.JI. изучена следующая модельная задача. Между сечениями "Т"-образного плоского канала заданы перепады давления. Найдено распределение полей скорости и давления. В основу численного метода положен алгоритм, основанный на идее расщепления по физическим процессам. Суть предлагаемого в [22J метода заключается в следующем. На сечениях протекания заданы постоянные скорости U-/ » , . Таким образом, получена задача с известным на всей границе вектором скорости. Находится ее решение. В каждом ответвлении вычисляются средние по сечению давления. Если перепады между вычисленными средними давлениями не совпадают с заданными, то изменяются значения U-f » U2 » U5 и процесс повторяется.

В [56,74] на основе решения для прямой трубы, изучается пульсирующее течение в круглой трубе с ответвлением. Основное предположение состоит в том, что давление в области ветвления постоянно, а в каждом ответвлении решение зависит только от продольной координаты.

Используя естественные переменные - скорость, давление, в [8в] рассмотрено течение в плоском симметричном ветвлении. К сожалению, не указана процедура численного решения.

Стационарное и пульсирующее течение крови в плоском канале с ответвлением, моделирующее движение крови в артериях с ответвлением, изучалось в работах Кавагути с соавторами [92,93].

Трехмерное ламинарное течение в тройнике рассматривалось в работе Полларда А., и Сполдинга Д.В. [ЮЗ].

Также, проводились и экспериментальные исследования течений жидкости в трубах и каналах с ответвлениями различной формы [27,98].

Большое практическое значение имеют исследования течений, вызванных перепадом давления, в трубах, каналах с местными неровностями поперечного сечения. В гидравлике, пневмоавтоматике такая ситуация встречается при течении жидкости через различные регулирующие устройства (задвижки, клапана, гидроусилители и др.). Зависимость расхода от предписанного перепада давления является важной характеристикой перистальтических течений [38]. Течения в трубах с локальным сужением, расширением очень важны для нужд биомеханики, т.к. они моделируют стенозы и аневризмы кровеносных сосудов.

Подробный обзор работ, выполненных за рубежом, касающихся течений крови в сосудах с местным сужением (расширением) содержится в обзорной статье Мюллера Т.Дж. [48]. Расчету стационарного течения крови в районе веретенообразной аневризмы посвящена работа Миролгобова С.Г. [ 43]. В [104] рассматривается задача определения стационарного течения несжимаемой вязкой жидкости в плоских и осесимметричных каналах, стенки которых, имеющие вначале прямолинейную форму, с некоторого места искривляются. Считается, что перед искривлением имеет место течение Цуазейля, само искривление мало, а число Не велико. Полученные результаты позволяют определить место отрыV ва и последующего присоединения потока. Эта же задача решена в работе Ченга [85] используя метод конечных элементов для yj , СО - системы в случае плоского канала с локальным сужением.

Стационарные течения встречаются сравнительно редко в связи с тем, что обычно всегда имеют место случайные возидпце-ния, вызывающие изменение каких-либо физических величин. Поэтому все большее значение приобретают исследования и расчеты нестационарных течений жидкости.

Используя осесимметричные нестационарные уравнения Навье-Стокса в переменных скорость и давление при помощи метода конечных элементов в работе [112] проведен расчет пульсирующего течения крови в артериальной аневризме. Отмечено существование присоединенных или висячих вихрей в месте расширения артерии. Вследствие малости скоростей сдвига, в области этих вихрей, такая ситуация может благоприятствовать тромбообразова-нию в районе аневризмы.

Нестационарные уравнения Навье-Стокса, в переменных завихренность, функция тока,использовались для учета эффекта пульса-ционного течения. Эти уравнения не содержат градиента давления, необходимого для задания пульсационного движения. Однако, градиент давления может быть учтен через граничные условия на входе и выходе. Для этого поперечные сечения для втекания и вытекания жидкости выбирают на большом расстоянии вверх и вниз по потоку от интересующей области. Поскольку, величина касательной составляющей скорости равна нулю, то завихренность на входе и выходе определяется путем дифференцирования скорости, соответствующей течению в прямом канале при заданном перепаде давления, по поперечной координате. Функция тока определяется путем интегрирования по поперечно^ сечению. Используя такой подход, ряд авторов с успехом исследовали течения в каналах с местным сужением или расширением поперечного сечения [19,42, 43,85,86,97,100,104,106-108,112]. Так в серии работ [82-84], применяя явный метод Фромма и неконсервативную форму уравнений переноса завихренности и изменений функции тока для плоского движения, получены результаты для установившегося, колебательного и пульсационного течения в канале с прямоугольным сужением. В работе Миролюбова С.Г. [42] исследуется ламинарное пульсирующее течение крови, как вязкой несжимаемой жвдкости, по стенозированной артерии, радиус которой является произвольной непрерывно дифференцируемой и отличной от нуля функцией продольной координаты. На выходе из канала ставились "мягкие" условия (параллельность потока). В работах [106-109], появившихся недавно, рассматривалось осциллирующее течение в плоских каналах с расширениями. Эти работы выполнены с целью изучения структуры течения в мембранном оксигенераторе, который использовался в аппаратах искусственного кровообращения. Главная особенность осциллирующего течения заключается в росте вихревой области при торможении потока. Отмечено, что из геометрических параметров наиболее важными являются полная длина и глубина расширения. Детали геометрии, такие как наличие углов, оказывают незначительное влияние на структуру течения в расширяющемся канале. Рассмотрен вопрос об области параметров, где работает квазистационарное приближение. Численные расчеты подтверждаются проведенными экспериментами.

Б последнее время возрос интерес к нестационарным пульсирующим течениям не только для нужд биомеханики. 6 работе fio] отмечено, что гидравлические системы с пульсирующим потоком имеют ряд преимуществ.

1. Для обеспечения работоспособности системы в различных условиях (например, высокие температуры и интенсивная радиоактивность) в различных частях системы можно использовать различные рабочие жидкости, которые разделяются с помощью гидрансфор-матора (или разделителя). Например, если выходной участок системы находится под действием высоких температур, в качестве рабочей жидкости на этом участке можно использовать жидкий металл.

2. Отсутствие циркуляции жидкости в гидросистеме позволяет насосу системы работать при умеренных температурах, даже если другие части системы находятся под действием очень высоких или очень низких температур.

Перейдем к изложению краткого содержания данной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. При ссылках на форцулы рисунки и таблицы применяется двойная нумерация, указывающая номер главы и номер формулы в ней. В библиографическом списке фамилии авторов расположены в алфавитном порядке. Основные результаты работы опубликованы в статьях L 34-36,46,47],Работы [ 34-3б/ выполнены в соавторстве. Автору в этих работах принадлежит разработка алгоритмов численного решения задач протекания и проведение расчетов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации исследуются течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах трубах различной геометрии при заданных перепадах давления между известными частями границы области течения. Такие течения моделируются краевыми задачами (задачами протекания) для уравнений Навье-Стокса, когда на известных участках границы заданы давление (или полный напор) и касательная составляющая скорости. Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Сформулирована постановка задачи протекания в переменных "функция тока, завихренность" для плоских и осесимметрич-ных течений. Доказано, что предложенная постановка эквивалентна задаче в естественных переменных - скорость, давление.

2. Предложена постановка краевой задачи для уравнений Навье-Стокса, в которой известны касательные компоненты скорости и разность давлений на двух сторонах заданной поверхности, содержащейся внутри области течения. Нормальная компонента скорости к этой поверхности непрерывна. В предположении существования достаточно гладкого решения доказана его единственность.

3. Построены и проверены алгоритмы для численного решения задач протекания, которые позволяют эффективно исследовать плоские, осесимметричные и пространственные ламинарные нестационарные течения.

4. Численно исследовано развитие течения, возникающего из состояния покоя, под действием внезапно приложенных перепадов давления, сохраняющих свои значения во все время движения, в плоском "Т- образном симметричном канале. Найдены области изменения определяющих параметров, при которых установившееся течение имеет одну из трех выделенных структур. Замечено, что для некоторых перепадов давления течение может иметь структуры различных типов в начальные моменты времени, когда расходы через ответвления еще не установились, и в моменты времени, соответствующие стационарно»^ движению жидкости.

5. Исследовано течение, вызванное разностью давлений между концевыми сечениями плоского или осесимметричного канала, состоящего из прямолинейных участков и участка с криволинейной границей.

Для постоянного во времени перепада давления найдены:

- значения коэффициента гидродинамического сопротивления трубы (с местным одиночным расширением) для различных отношений осевого размера неровности к общей длине трубы при фиксиv Г ttn ^-/Щ)' \ рованном числе Кармана ( ка= yf^r );

- зависимость расхода жидкости от вертикального размера неровности в случае, когда остальные параметры, определяющие течение, фиксированы.

Для перепада давления, изменяющегося во времени по гармо-ническоцу закону с частотой иУ :

- получено, что расход изменяется по тощ же гармоническому закону (со сдвигом по фазе), что и перепад давления;

- впервые изучено влияние W на амплитуду расхода жидкости в трубе с местной одиночной неровностью;

- структура и динамика области возвратного течения, полученные в настоящей работе, качественно согласуются с численными и экспериментальными исследованиями других авторов.

6. Решена задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе, внутри которой содержится поверхность протекания в виде круга. На круге известны окружная (тангенциальная), радиальная компоненты скорости и разность между давлениями на двух его сторонах. Скачок нормальной составляющей скорости на круге равен нулю. На концевых сечениях трубы задавались либо условия периодичности, либо давление и нулевая касательная (к сечению) компонента вектора скорости. Расчеты, проведенные для различных значений определяющих параметров, показали, что:

- при течении направленном против перепада давления в зоне между кругом и твердой стенкой формируется область циркуляционного течения;

- когда закрутка потока, сообщаемая жидкости на круге, достаточно велика, появляется зона циркуляционного течения около оси трубы вниз по потоку за кругом. Аналогичное явление наблюдалось другими авторами в численных и экспериментальных исследованиях закрученных потоков;

- увеличение закрутки потока сопровождается ростом зон занимаемых циркуляционным течением и приводит к возрастанию количества жидкости протекающей через круг.

1. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра,1982, второе издание, 224с.

2. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука,1983, 320с.

3. Афонин З.М., Кацман Ф.М., Луковников А.А.Гребные винты. Расчеты и требования к изготовлению. М.: Морской транспорт, 1959, - 207с.

4. Белоцерковский О.М,, Гущин В.А., Ценников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. ЖВМ и Ж, 1975, т.15, № I, с.197-207.

5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х томах, т.2. 3-е изд. - М.: Физматгиз, 1963, - 620с.

6. Будунов Н.Ф. Некоторые задачи гидромеханики и их численное решение. Иркутск. Иркутский государственный университет, 1980, - 105с.

7. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости М.: Мир, 1973, - 760с.

8. Вень Чень-Куо. Передача энергии в гидросистемах с помощью пульсирующего потока. Тр. амер. о-ва инж.-мех., сер. Теоретические основы инженерных расчетов, 1966, № 3, с.34-41.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971, изд. 2-е, - 512с.

10. Воеводин А.Ф., Гончарова О.В., Леонтьев Н.А. Расчет свободной конвекции в кольцевой области при пониженной гравитации. В кн.: Численные методы динамики вязкой жидкости. (Труды IX Всесоюзной школы-семинара). Новосибирск, ИТПМ

11. СО АН СССР, 1983, с.83-89.

12. Волков П.К., Кузнецов Б.Г. Численное решение задачи о стационарном обтекании вязкой жидкостью газовой полости в. трубе. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1982, т.13, & 5, с.20-31.

13. Годунов СЛС., Прокопов Г.Г. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток. ЖВМ и Щ, 1967,т.7, № 5, с.1031

14. Громека И.О. К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубах. Соб.соч., Изд.АН СССР, 1952, с.149-171.

15. Гущин В.А., Щенников В.В. Решение задач динамики вязкой несжимаемой жидкости методом расщепления. В сб. Прямое численное моделирование течений газа, М., ВЦ АН СССР, 1978, с.114-133.

16. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. О расчете граничных условий для нестационарных уравнений Навье-Сток-са в переменных "вихрь,-функция тока". Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, Б.И., 1979, т.10,2, с. 49-58.

17. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. Численное моделирование переходного и турбулентного режимов конвекции на основе нестационарных уравнений Навье-Стокса. -М., 1978. (Препринт ИП Мех АН СССР, 101).

18. Дали Б.Д. Численное исследование пульсирующих течений в артериях с локальным сужением. В кн.: Численное решение задач гидромеханики. М.: Мир, 1977, с.143-156.

19. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, изд. 5-е, 1977, - 228с.

20. Дорфман А.Л. Явная схема расщепления с приложением к задаче о пространственном взаимодействии струй вязкой несжимаемой жидкости в канале. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, Б.И., 1978, т.9, № 4, с.57-67.

21. Дорфман А.Л. Численное решение задач о течении вязкой несжимаемой жидкости в разветвляющемся канале при задании перепадов давления между ответвлениями. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, Б.И, 1979, т.10,1. J& 7, с.

22. Дорфман А.Л. Решение уравнений динамики вязкой жидкостив криволинейной неортогональной системе координат. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, Б.И., 1980, т.II, Я 6, с.79-89.

23. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике. -М.: Наука, 1980, 384с.

24. Игнатьев В.Н. Расчет закрученных ламинарных течений в газотурбинных двигателях. В кн. Численные методы динамикивязкой жидкости. (Труда II Всесоюзной школы-семинара).

25. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1983, с.169-174.

26. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям.-М.: Машиностроение, 1975, 559с.

27. Ито Хидзаки, Сато Мицумаса, Ока Кэндзи. Потери напора при разветвлении и соединении потоков в круглых трубах. Рю-тай когаку, 1981, т.17, № 2, с.59-69 (Япон).

28. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. М.: Мир, 1981, - 624с.

29. Климеш Ф. Влияние периодических пульсаций на критическое значение числа Рейнольдса при течении жидкостей в трубах.-Теоретична и прилежна механика. Четвърти конгрес': . София. 1981, докл. кн.2, с.128-133.

30. Корженаркс Й., Климеш Ф. Вклад в анализ пульсирующе-осцил-лирующего течения жидкостей в трубах. Теоретична и прилежна механика. Четвърти конгрес. София. 1981, докл.кн.2, с.72-77.

31. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973, - 832с.

32. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Наука, изд. 4-е, 1963, ч.П, - 728с.

33. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: АН СССР, изд. 7-е, 1951, - 426с.

34. Кузнецов Б.Г., Мошкин Н.П., Смагулов Ш. Численное исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах сложной геометрии при задании перепадов давления. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, Б.И., 1983, т.14, № 5, с.87-99.

35. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970, второе издание, - 288с.

36. Левина Г.В. Исследование режимов течения в каналах с волнообразно движущимися границами. В кн. Численные методы динамики вязкой жидкости. (Труды IX-всесоюзной школы-семинара). Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1983, с.222-226.

37. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972, - 587с.

38. Лойвднский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.:Наука, 1974, 1У-изд. - 847с.

39. Лямбоси П. Вынужденные колебания. ; несжимаемой вязкой жидкости в жесткой горизонтальной трубе. Расчет силы трения.-Механика, М.: И.Л., 1953, вып.З, с.67-77.

40. Миролюбов С.Г. О пульсирующем течении вязкой жидкости через осесимметричную трубку с локальным сужением. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1979, № 4, с.47-55.

41. Миролюбов С.Г. Расчет стационарного течения крови в районе веретенообразной аневризмы. Механика композитных материалов, 1980, № 4, с.685-691.

42. Миролюбов С.Г. Расчет плоского пульсирующего течения крови в канале с симметричным ветвлением. Теоретична и прилежна механика, четвърти конгрес, София, 1981, докл. кн.2,с. 173-178.

43. Мишкевич B.F. Проблемы проектирования гребных винтов.

44. В сб. Проблемы прикладной гидромеханики судна, Ленинград: Судостроение, 1975, с. 179-207.

45. Мошкин Н.П. Пульсирующее течение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе переменного сечения. В кн. Численное моделирование в динамике жидкости. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1983, с. 51-59.

46. Мошкин Н.П. Метод численного решения задачи протекания в переменных "функция тока, вихрь". Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, Б.И., 1984, т. 15, №3.

47. Мюллер Т.Дж. Применение численных методов к исследованию физиологических течений. В кн. Численные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1981, с. 80-151.

48. Овсянников В.М. Расчет возникновения движения жидкости в трубопроводе. Изв.АН СССР Механика жидкости и газа, 1981, № 5, с. 158-160.

49. Полежаев В.И., Грязнов В.Л. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока". Докл. АН СССР, 1974, т.219, № 2, с. 301-304.

50. Попов Д.Н. Нестационарные гидромеханические процессы. -М.: Машиностроение, 1982, 240 с.

51. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975, - 392 с.

52. Рагулин В.В. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора. В кн. Динамика сплошной среды. Новосибирск, ИГ СО АН СССР, 1976, вып.27, с. 78-92.

53. Рагулин В.В. Краевые задачи для уравнений гидродинамики со смешанными граничными условиями.-Диссертация на соиск.учен. степени к.ф.-м.н.,Новосибирск,Новосиб.государств.унив.,1980.

54. Рагулин В.В., Смагулов Ш. О гладкости решения одной краевой задачи для уравнений Навье-Стокса. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, Б.И., 1980, т.II, № 4,с. I13-12I.

55. Радкабова Р.Я. Неустановившееся течение вязкой жидкости в разветвленных трубах. Уз ССР Фанпар Акад.акборти. техн. фанлари сер., Изв. АН Уз ССР, сер.техн.н., 1981, № 5,с.60-65.

56. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980, -616с.

57. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971, - 552с.

58. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М., Наука, 1978, - 592с.

59. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: И.Л., 1963, - 256с.

60. Сидоров А.Ф., Шабашов Т.И. Об одном методе расчета разностных сеток для многомерных областей. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, Б.И., 1981, т.12,5, с.106-123.

61. Сироченко В.П. О единственности решения некоторых периодических задач для уравнений Навье-Стокса. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, Б.И., 1980, т.II, № 6, с.123-129.

62. Сироченко В.П. Численное решение одной задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в двусвязной области. -Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, Б.И., 1977, т.8, # I, с. II9-I34.

63. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1955, - 520с.

64. Смагулов Ш., Орунханов М.К. Приближенный метод решения уравнений гидродинамики в многосвязных областях, Докл. АН СССР, 1981, т.260, № 5, с.1078-1082.

65. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.:Наука, 1974, т.2, - 655с.

66. Тарунин Е.Л. О выборе аппроксимационной формулы для вихря скорости на твердой границе при решении задач динамики вязкой жидкости. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, Б.И., 1978, т.9, № 7, с.97-111.

67. Тарунин Е.Л. Оптимизация неявных схем для уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и вихря скорости. В кн. Труды У-Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1975, т.1,с. 3-26.

68. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М:Мир, 1981, 408с.

69. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972, 4-е изд., - 736с.

70. Том А., Эипл К. Числовые расчеты полей в технике и физике.-М.тЛ.: Энергия, 1964, 208с.

71. Фадцева В.Н., Гавурин М.К. Таблицы функций Бесселя целых номеров.-М.-Л., ГИТТЛ, 1950, 440с.

72. Файзулаев Д.Ф., Наврузов К., Фаттаев Ф.Н. Пульсирующее течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе с разветвлением. Уз ССР Фанлар Акад.докл., Докл. АН Уз ССР, 1981, № 10, с.20-22.

73. Харлоу Ф.Х. Численный метод "частиц в ячейках" душ задач гидродинамики. В сб. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967, с.316-342.

74. Христов Х.И. Полностью развитое течение вязкой несжимаемой жидкости в тороидальной трубе круглого поперечного сечения душ широкого интервала числа Дийна. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, Б.И., 1978, т.9, № 7, с.122-138.

75. Холл Дж., Уатт Дд. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1979, -312с.

76. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, Наука, 1967, - I960.

77. Яненко Н.Н., Шокин Ю.И. О первом дифференциальном приближении разностных схем для гиперболических систем уравнений.-Сибир.матем.журнал, 1969, т.10, № 5, с.1173-1187.

78. Яненко Н.Н., Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д. О вариационном методе построения сеток. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, Б.И., 1976, т.8, №4, с.157-163.

79. Buckley P.L.,Crald R.R.,Davis D.L.,Schwartzkopt K.C. The disign and combustion performance of practical swirlers for itegral rocket/ramjets. AIAA Pap. 1980, N 1119,209-218 pp.

80. Cheng L.C.,ClarkM.E.Robertson J.M. numerical calculation of oscillating flow in the vicinity of square wall obstacles in plane conduits.- J. Biomech.,1972, vol.5, 467-484 pp.

81. Cheng L.С.,Robertson J.M.,Clark M.E. Numerical calculations of plane oscillatory non-uniform flow:11,Parametrik stadu of pressure gradient and frequencu with square wall obstacles.-J. Biomech., 1973,vol.6, 521-538 pp.

82. Cheng L.C.,Robertson J.M.,Clark M.E. Calculation of plane pulsatile flow past wall obstacles.- Comput. Fluids, 1974, vol.2, N 3/3, 363-380 pp.

83. Cheng R.T. Numerical solution of the Navier-Stokes Equations by the finit element method.- The Physics of fluids,1972, vol. 15, N 12, 2098-2105 pp.

84. Chen L.C.,Clark M.E.,Robertson J.M. Plane periodic flow predictions for fusiform aneurysms.- J. Eng. Mech; Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 1978, vol. 104, N 1, 31-48 pp.

85. Ehrlich L.W. Digital simulation of periodic fluid flow ina bifurcation.- Computers & fluids,1974,vol.2,N 3/4,237-247 pp.

86. Fernandez R.C.,De-Witt K.J.,Botwin M.R. Pulsatile flow through a bifurcation with applications to arterial disease. J. Biomech.,1976,vol.9,575-580 pp.

87. Gillani ,Swanson W.M. Time-dependent laminar incompressible flow through a spherical cavity.- Journal of fluid Mechanics, 1976,vol,78,part 1,99-127 pp.

88. Kawaguti M. ,Hamano A. Numerical study on bifurcating flow of a viscous fluid.- Journal of the Physical Society of Japan,1979,vol.46,N 4, 1360-1365 pp.

89. Kawaguti M., Hamano A. Numerical study on Bifurcating flowof a viscous fluid.11.Pulsatile flow.-Journal of the Physical Society of Japan,1980,vol.49,N 2,817-824 pp.

90. Kopecky R.M.,Torrance K.E. Initiation and structure of axisymmetric eddies in a rotating stream.- Computers & Fluids,1973,vol. 1, 289-300 pp.

91. Kreid D.K.,Chung C.J.,Crowe C.T. Measurements of the flow of water in a "T" ^auction by the LDV technique.- Trans. ASME, Journal of applied mechanics,1975,vol.42, N 2, 498499 pp.

92. Lavan Z.,ITielsen H.,Fejer A.A. Separation and flow reversal in swirling flows in circular ducts.-The Physics of Fluids, 1969,vol. 12,N 9, 1747-1757 pp.

93. Lee J.S.,Fung J.C. Flow in locally constricted tubes at low reynolds numbers.-ASME J. Appl. Mech.,1970,vol. Е37(1),9-1б pp.

94. Mark F.F.,Bargeron С.В.,Deters 0.J.,Friedman M.H. Experimental investigations of stedy and pulsatile laminar flow ina 90 branch.-Trans. ASME Journal of applied mechanics,1977,vol. 44,ser. E,N 3, 372-377 pp.

95. Muto T.,Nakane K. Unsteady flow in circular tube.- Buletion of the JSME.,1980,vol. 23,N 186, 1990-1996 pp.

96. O'Brein V.,Ehrlich L.W. Pulsatile flow through a constricted artery.- Biofluid Mech. 2,Proc. 2-nd Mid-Atlant. Conf. Blacksburg,Va,1980,New-Jork-London,1980,497-516 pp.

97. O'Brein V.,Ehrlich L.W.,Friedman M.H. Unsteady flow in a branch.- Journal of fluid mechanics,1976,vol.75,part. 2,315.366 pp.

98. Patankar S.V.,Spalding D.B. A calculation procedure for heat,mass and momentum trausfer in threedimensional parabolic flows.-Int. J. Heat Mass Transfer,1972,vol. 15, 1787-1806 pp.

99. Pollard A.,Spalding D.B. On the three-dimensional laminar flow in tee-junction.- Int. J. Heat Mass Transfer,1980, vol.23,H 11, 1605-1607 pp.

100. Smith F.T. Plow theough constricted or dilated pipes and channels: part 1. Quart. J. Mech. and Appl. Math.,1976, vol. 29, N 3, 343-464 pp.

101. Smith F.T. Pulsatile flow in curved pipe.- Journal of fluid mechanics,1975,vol. 71,part 1, 15-42 pp.

102. Sobey I.J. On flow throug furrowed channels.Part 1. Calculated flow patterns.-Journal of Fluid Mechanics,1980, vol. 96,part 1, 1-26 pp.

103. Sobey I.J. Oscillatory flows at intermediate Strouhal number in asymmetric channels.-Journal of Fluid Mechanics,1982,vol. 125, 359-373 pp.

104. Sobey I.J. The occurrece of separation in oscillatory flow.- Journal of Fluid Mechanics,1983,vol.134,247-257 pp.

105. Stephanoff K.D.,Sobey I.J.,Bellhouse B.J. On flow through furroweg channels. Part 2. Obseved flow patterns.-Journal of Fluid Mechanics,1980,vol. 96,part 1, 27-32 pp.

106. Tanney J.W. Fluidis.-Progress in Aeronautical Sciences. Oxford.London.Edinburh.Hew-Jork.Pergamon Press.1970,vol. 10, 401-527 pp.

107. Thomas P.O.,Middlicoff J.F. Direct control of the grid point distribution in meshes generated by elliptic equations.-AIAA Journal,1980.vol. 18, U 6,652-658 pp.

108. Welle Sven Oivind. Pulsatile pressure and flow patterns inside an arterial aneurysm.- Biol; Eng. Soc. 20th Anniv. Int. Conf. Recent Adv. Biomed. Ehd.,London,1980, Proc., London,1980, 127-130 pp.