Численное моделирование течения жидкости с температурой аномалией вязкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правахрукописи

КИРЕЕВ ВИКТОР НИКОЛАЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С ТЕМПЕРАТУРНОЙ АНОМАЛИЕЙ ВЯЗКОСТИ

01.04.14 - Теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2004

Работа выполнена в лаборатории «Механика многофазных систем» Института механики Уфимского научного центра Российской академии наук и на кафедре механики сплошных сред математического факультета Башкирского государственного университета

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Урманчеев С. Ф. доктор физико-математических наук, профессор Житников В. П. кандидат физико-математических наук, доцент Назмутдинов Ф. Ф. Уфимский государственный нефтяной технический университет

Защита состоится« 27 »_мая_2004 г. в 15°° ч. на

заседании диссертационного совета Д212.013.04 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, в аудитории 216 физико - математического корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан« 23 » апреля 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, д. ф. - м. н., доцент

Шарафутдинов Р. Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Вязкость подавляющего большинства жидких сред в широком диапазоне температур изменяется в соответствии с зависимостями Вильямса - Лэнделла - Ферри, Фулчера - Фогеля - Тамманна, Эйринга и им подобными. Эти зависимости- представляют собой убывающие функции температуры и хорошо описывают течение капельных жидкостей: простых жидкостей, встречающихся в природе и применяемых в технике, жидких металлов, расплавов природных минералов, полимеров. Характеристики течения таких жидкостей достаточно хорошо изучены и продолжают уточняться. Однако некоторые вещества, в которых в определенном диапазоне температур могут происходить процессы полимеризации и деполимеризации, имеют вязкость с немонотонной температурной зависимостью.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию течений аномально - вязких жидкостей в каналах теплообменных устройств. Здесь и далее аномально — вязкими жидкостями будут называться жидкости, вязкость которых в рассматриваемом температурном диапазоне имеет немонотонную зависимость от температуры.

Вопросы, связанные с особенностями течения аномально - вязких жидко стен, до сих пор оставались открытыми. Необходимость их решения связана как с соображениями развития термогидродинамики, так и с конкретными технологическими задачами. К ним можно отнести некоторые процессы переработки нефти, экологические задачи по очистке отходящих газов от серосодержащих соединений, химические технологии полимерных материалов.

Наиболее ярким представителем семейства веществ с температурной аномалией вязкости является жидкая сера. Вязкость жидкой серы с увеличением температуры сначала увеличивается, достигая максимального значения при 187° С, после чего происходит относительно плавное уменьшение.

Эти свойства жидкой серы проявляются, в частности, в теплообменных устройствах установок Клаус - процесса, предназначенных для сжигания серного ангидрида и утилизации серы при переработке сернистой нефти. На конечной стадии процесса парогазовая смесь, состоящая из паров серы и некоторых газов, поступает в теплообменник, на стенках которого конденсируется жидкая сера. При этом вблизи входа в теплообменник формируется «порог», образованный большим скоплением конденсата серы. При определенных условиях «порог» из жидкой серы увеличивается настолько, что может произойти перекрытие сечения канала. В результате возникновения «порога» в большинстве каналов теплообменники достаточно часто выходят из строя. Непосредственные измерения температуры конденсата внутри «порога» дали значения температуры в пределах 160 — 190° С, т. е. именно такие температуры, которым соответствует резкое возрастание вязкости серы.

Указанный факт требует установления механизма образования «порога» и причины перекрытия сечения канала теплообменника на основе проведения исследований с применением математических

Целями диссертационной работы являются численное исследование и изучение особенностей течения в каналах теплообменных устройств аномально - вязких жидкостей, вязкость которых имеет немонотонную зависимость от температуры и достигает максимального значения на рассматриваемом температурном диапазоне; изучение зависимостей расходных характеристик потока от параметров, характеризующих аномальную вязкость, условий теплообмена, приложенного перепада давления и времени; моделирование явления «порого-образования» при течении слоя аномально — вязкой жидкости.

Достоверность результатов обусловлена применением методов механики сплошных сред при разработке математической модели рассматриваемого процесса и их физической и математической непротиворечивостью в рамках физических законов. Компьютерная программа, реализующая численный метод решения уравнений математической модели, протестирована путем сравнения с точными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Практическая ценность. Результаты, полученные в данной диссертационной работе, необходимы для правильного понимания процессов происходящих в теплообменниках установок Клаус - процессов и могут быть применены для оптимизации их работы и увеличения сроков службы теплообменных устройств.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. При течении аномально - вязкой жидкости в каналах теплообменников установлено образование локализованного высоковязкого участка - «вязкого барьера», который в значительной мере способен влиять на структуру потока.

2. Выявлены основные закономерности потока в зависимости от параметров вязкой аномалии.

3. Обнаружен эффект отрицательного приращения относительного расхода с ростом перепада давления.

4. Показано существование четырех основных режимов установления течения в зависимости от интенсивности теплообмена.

5. Установлены причины явления образования «порога» при расслоенном режиме течения аномально - вязкой жидкости.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертационной работе, докладывались на следующих конференциях и научных школах:

• Республиканская научная конференция студентов и аспирантов по физике и математике, Уфа, 1997 г.

• Tiiird International Conference on Multiphase Flows, Lyon, France, 1998 г.

• IV Всероссийская школа - семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (САМГОП - 98), Уфа, 1998 г.

• Республиканская конференция «Современные проблемы естествознания на стыках наук (СПЕ'СН - 98)», Уфа, 1998 г.

• XXII школа - семинар по проблемам механики сплошных сред в системах добычи, сбора, подготовки, транспорта и переработки нефти и газа (под руководством академика АН Республики Азербайджан А. X. Мирзаджан-заде), Уфа, 1998 г.

• Международная научно-практическая конференция «Химия и химические технологии — настоящее и будущее», Стерлитамак, 1999 г.

• Международная конференция по многофазным системам, посвященная 60-летию со дня рождения академика РАН Р. И. Нигматулина (ICMS -2000), Уфа, 2000 г.

• Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001 г.

• Восьмая Всероссийская научная конференция студентов физиков и молодых ученых (ВНКСФ - 8), Екатеринбург, 2002 г.

• XVI сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды, Казань, 2002 г.

• 1-ый конкурс научных работ молодых ученых и аспирантов УНЦ РАН и АН РБ, Уфа, 2002 г.

• 13-я Зимняя школа по механике сплошных сред и Школа молодых ученых по механике сплошных сред, Пермь, 2003 г.

• Пятая Международная конференция «Математическое моделирование физических, экономических, технических и социальных систем и процессов», Ульяновск, 2003 г.

• Двенадцатая Международная конференция по вычислительной механике и современным программным системам, Владимир, 2003 г.

• Четвертый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия), Сочи, 2003 г.

Кроме того, основные результаты работы докладывались автором на семинарах:

• кафедры механики сплошных сред математического факультета Башкирского государственного университета (под руководством чл. — корр. РАН М. А. Ильгамова и проф. И. Ш. Ахатова),

• кафедры геофизики физического факультета Башкирского государственного университета (под руководством проф. Р. А. Валиуллина)

• Института механики Уфимского научного центра РАН (под руководством академика РАН Р. И. Нигматулина и проф. В. Ш. Шагапова).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 25 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 142 страницы, в том числе 60 рисунков. Список литературы состоит из 81 наименования.

Во введении показана актуальность темы настоящей диссертации, сформулированы цели исследования, отмечены научная новизна и практическая ценность работы.

Первая глава содержит краткий обзор литературных источников, посвященных теоретическому и экспериментальному исследованию течения жидкостей с учетом зависимости вязкости от температуры. Также приведена общая математическая модель термовязкой среды, записанная в произвольной криволинейной системе координат.

Во второй главе описаны численные методы, которые применялись для решения уравнений математической модели и приведены некоторые тестовые расчеты. Подробно описано применение метода контрольного объема и алгоритма SIMPLE (Serai - Implicit Method for Pressure — Linked Equations), модифицированных для учета переменного коэффициента вязкости. Точность и сходимость метода контрольного объема и алгоритма SIMPLE показаны путем сравнения с аналитическими решениями для двумерного нестационарного уравнения диффузии, двумерных уравнений Бюргерса и течения Пуазейля. Описаны основные этапы метода VOF (Volume Of Fluid), который применялся для отслеживания положения границы раздела слоя аномально - вязкой. В качестве тестов показана эволюция жидкой капли при параболическом распределении скорости и при сдвиговом течении.

Третья глава посвящена численному моделированию течения термовязких жидкостей в полностью заполненном плоском канале теплообменника.

В §3.1 записываются уравнения математической модели течения несжимаемой термовязкой жидкости в плоском канале длины L и ширины h под действием перепада давления , которые в безразмерных переменных в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид:

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

ди д

(u'-£e+Avfi)>

аО д

8t дх

дх) ду

(4)

где и и V - продольная и поперечная компоненты вектора скорости, р — давление, 1 - температура, £ =--параметр, характеризующим геометрию плос-

кого канала,

параметр, характеризующим степень зависимости

вязкости от температуры,

- минимальная и максимальная кинематическая вязкость жидкости в рассматриваемом диапазоне температур, v(T) — функция зависимости вязкости от температуры, v,(T) - производная вязкости

по температуре, Яе = —- - число Рейнольдса, Ей = —- число Эйлера, Ьу

Ре = —- — число Пекле, и0 и V,, — характерные скорости, р — плотность жида

кости, а - коэффициент температуропроводности.

При записи уравнений (1) - (4) предполагалось, что массовые силы отсутствуют, а нагрев за счет вязкой диссипации незначителен.

В §3.2 рассматривается течение жидкости с монотонно убывающей зависимостью вязкости от температуры. Зависимость кинематической вязкости от температуры имеет вид'

"(Т) = V. ехр(- В(Т - Т.)), , (5)

где В > 0 - постоянный параметр, V, - вязкость жидкости при температуре Т..

В качестве граничного условия для температуры на стенках канала использовалось граничное условие первого рода:

Ч-вТЦ-т-- (6)

Устанавливающееся в охлаждаемом канале температурное поле полностью характеризуется свойствами жидкости и распределением поля скоростей, так как теплоемкость и теплопроводность жидкости считаются постоянными. Распределение вязкости имеет выраженную переходную зону, разделяющую области с низким и высоким значениями вязкости. Жидкость при втекании в канал имеет высокую температуру и, соответственно, наименьшее значение вязкости. При охлаждении в условиях интенсивного стационарного теплообмена она охлаждается, становясь высоковязкой. Таким образом, поля скоростей формируются в условиях перехода течения из слабовязкой в высоковязкую область с перераспределением продольной скорости течения. Соответствующее

перераспределение происходит за счет появления поперечной составляющей скорости на начальном участке переходной зоны, соответствующему увеличению вязкости. Эпюры продольной скорости свидетельствуют о непуазейлевом характере течения в переходной зоне: так как вязкость вблизи стенок больше, чем в ядре потока, то скорость вблизи стенок уменьшается, а в ядре - увеличивается. В результате профиль скорости имеет характерную вытянутую форму. После прохождения переходной зоны, в которой происходит температурная релаксация жидкости, поток приобретает соответствующий течению жидкости с постоянными свойствами пуазейлевый характер.

На Рис. 1 показана зависимость расхода термовязкой жидкости от перепада давления, которая имеет вид возрастающей функции с характерным изломом, приобретающим более выраженную форму с увеличением параметра В.

Рис. 1. Зависимость расхода от перепада давления для различных значений параметра В

Очевидно, что причиной излома является переход течения со структурой потока, определяемой полным охлаждением жидкости к течению с частичным охлаждением жидкости. На основе сравнения характерных картин распределения вязкости при различных перепадах давления был сделан вывод, что существуют три основных типа распределения поля вязкости.

В §3.3 рассматривается течение некоторой модельной аномально — вязкой жидкости, зависимость кинематической вязкости которой от температуры имеет следующий вид:

У(Т)=*,1Ш.(1+Аехр[-В(Т-Т.)2] > (7)

где А£0 И В>0 - параметры, характеризующие аномальную зависимость

вязкости от температуры, - температура, с которой жидкость

втекает в канал, a X, - температура стенок канала.

На Рис. 2 показан график функции (7) и пояснен геометрический смысл входящих в нее параметров.

V

т

к

Т.

Т,

о

Рис. 2. Аномальная зависимость вязкости от температуры •

На Рис. 3 показаны установившиеся распределения температуры, вязкости, продольной и поперечной компонент скорости в канале при течении аномально - вязкой жидкости.

Поле температур (Рис. 3, а) имеет распределение, характерное для задач конвективной теплопроводности, что связано с постоянством значений теплоемкости и теплопроводности рассматриваемой жидкости.

Поскольку вязкость жидкости является однозначной функцией температуры, то значения вязкости, следуя за характером распределения температурного поля, образуют выпуклую в направлении потока зону немонотонного изменения этого физического параметра - «вязкий барьер» (Рис. 3, б). Таким образом, процесс течения определяется характером преодоления жидкостью «вязкого барьера» -устойчивого образования, локализованного в пространстве.

Поле значений продольной скорости (Рис. 3, в) характеризуется наличием зоны с относительно высокой скоростью. Ее расположение во внутренней части вязкого барьера свидетельствует о его потокоотклоняющих свойствах. Учитывая реальные размеры области с соотношением ширины к длине как 1/100, можно говорить об образовании некоторого подобия кумулятивной струи. Эту мысль подтверждает также и наличие во внутренней области вязкого барьера поперечной составляющей поля скоростей (Рис. 3, г).

Основной характеристикой течения жидкости в канале является ее расход. Для определения расходных характеристик потока аномально - вязкой жидкости был введен относительный расход жидкости через поперечное сечение канала:

где Q0 - безразмерный расход жидкости при пуазейлевом течении с постоянным коэффициентом вязкости

■0 о

(8)

Рис. 3. Установившиеся распределения температуры (а), вязкости (б), продольной (в) и поперечной (г) скоростей в охлаждаемом канале (е = 0.01, А= 100, В = 0.01 и Др = 0.8Па)

На основании численных расчетов было установлено, что величина относительного расхода р существенным образом зависит от параметров А и В, являющихся количественной мерой выбранного вида немонотонной зависимости вязкости от температуры. Так, увеличение параметра В, соответствующее с физической точки зрения сужению области аномальной вязкости при фиксированном температурном интервале, приводит к монотонному возрастанию относительного расхода, ограниченному случаем исчезающе малой аномалии. При этом увеличение максимального значения вязкости, характеризуемого параметром А, способствует уменьшению относительного расхода.

Важнейшую роль с точки зрения приложений играет зависимость расхода жидкости от перепада давления. Эта зависимость приведена на Рис. 4 для различных значений параметра А.

Полученные кривые свидетельствуют об обнаружении эффекта уменьшения относительного расхода при увеличении перепада давления для аномально — вязких жидкостей. Здесь сплошная горизонтальная прямая р = 1 означает линейную зависимость расхода от перепада давления для жидкости с постоянной вязкостью.

Рис. 4. Зависимость относительного расхода Q от перепада давления Др для различных значений параметра А

Уменьшение расхода, характерное и для малых значений параметра А, связано с возрастанием области аномальной вязкости при увеличении перепада давления. Уменьшившись до определенного минимального уровня, расход с дальнейшим повышением перепада начинает увеличиваться. Физически это означает выход части вязкого барьера за пределы канала и образование двух незамкнутых зон аномальной вязкости, прилегающих к стенкам канала, и не пересекающих его поперечное сечение.

В §3.4 рассматривается течение модельной аномально - вязкой жидкости (7) при задании на стенках канала граничных условий третьего рода в виде закона конвективного теплообмена Ньютона — Рихмана, который в безразмерных переменных принимает вид:

ду

у.О

эт

5у

-И-Т. (9)

У-1

где Bi - число Био, характеризующее интенсивность теплообмена на стенках канала.

Проведенные численные исследования выявили несколько различных режимов установления потока в зависимости от значения числа Био (Рис. 5).

Первый режим установления течения осуществляется при слабом теплообмене, т. е. для малых чисел Био. Границами данного режима можно считать диапазон 0 < < 0.15. Рассмотрим подробно случай В1= 0.1.

Под действием приложенного перепада давления Др через левое сечение канала начинает поступать нагретая жидкость с температурой Т = 1. В начальные моменты времени расход увеличивается (ОА на Рис. 5, а) до тех пор, пока формирующийся вязкий барьер не оказывает существенного влияния на характер течения.

t

в) 0.3<5 г) В!¿10

Рис. 5. Зависимость относительного расхода Q от времени при различных режимах теплообмена

После формирования вязкого барьера скорость течения замедляется, а расход жидкости при этом резко уменьшается (АВ на Рис. 5, а). Далее на протяжении длительного времени расход продолжает незначительно уменьшаться (ВС на Рис. 5, а), что связано с увеличением области, занимаемой вязким барьером.

Нагретая жидкость, поступающая в канал, не успевает охлаждаться и, постепенно, вся жидкость в канале оказывается нагретой выше температуры порога образования вязкого барьера. Поэтому вязкий барьер поступательно движется под действием поля скоростей к правому сечению канала. Дальнейшее резкое увеличение расхода (CD на Рис. 5, а) связано с тем, что вязкий барьер выходит за пределы канала. Таким образом, вследствие слабого теплообмена жидкость в канале практически не охлаждается и устанавливается режим течения с расходом, равным расходу для изотермического течения жидкости (DE на

Рис. 5, а).

Второй режим связан с увеличением конвективного теплообмена на стенках канала и охватывает диапазон чисел Био 0.15 ¿Ш <0.3 (Рис. 5, б). В этом случае на первоначальной стадии процесса установления течения вязкий барьер повторяет характерные этапы эволюции для первого режима (до точки С). Однако в дальнейшем температурное поле и, следовательно, вязкий барьер устанавливаются: теплообмен с окружающей средой оказывается достаточным, чтобы на некотором расстоянии наступило динамическое равновесие конвективного и кондуктивного переноса тепла. Вязкий барьер при этом принимает фиксированный размер и местоположение. Расход жидкости устанавливается на некотором минимальном уровне, соответствующей степени взаимодействия вязкого барьера со стенками канала.

Третий режим установления течения, который соответствует умеренному теплообмену, реализуется в диапазоне числе Био 0.3 < Bi < 5 и его можно назвать колебательным. В этом случае перед выходом на некоторое стационарное значение, величина относительного расхода испытывает несколько затухающих колебаний. Как и для первого режима, максимумы и минимумы относительного расхода соответствуют уменьшению и увеличению области вязкого барьера.

И, наконец, четвертый режим установления потока аномально — вязкой жидкости реализуется при достаточно интенсивном теплообмене с окружающей средой при Bi > 10 (Рис. 5, г). В этом случае относительный расход не испытывает колебаний и после формирования устойчивого вязкого барьера сразу выходит на стационарное значение.

В четвертой главе проводится моделирование явления образования «порога» при расслоенном режиме течения аномально - вязкой жидкости в канале теплообменника, наблюдаемого в экспериментах.

Для анализа «порогообразования» были проведены расчеты при различных значениях толщины ^ слоя жидкости с температурной аномалией вязкости. На Рис. 6 представлены результаты расчетов для различных толщин слоя жидкости. Кроме изолиний вязкости на каждом графике толстой сплошной линией показано положение границы раздела жидкостей. При данных условиях вязкий барьер имеет вид «факела», сносимого потоком.

Как и следовало ожидать порядок абсолютных значений поперечной составляющей вектора скорости на два порядка меньше, чем у продольной составляющей. Однако именно ее наличие вызывает деформацию границы раздела течения жидкости с постоянной вязкостью и жидкости с температурной аномалией вязкости. Деформация границы раздела представляет собой некоторый всплеск течения слоя аномальной жидкости над образовавшимся вязким барьером и качественно аналогичен «порогу», наблюдаемому при проведении описанного выше эксперимента.

Наиболее интересным представляется тот факт, что размер «порога», практически не изменяется с увеличением толщины слоя аномальной жидкости. Следует также отметить, что «порог» есть устойчивое образование в пространстве, не меняющее своих параметров с течением времени после установления.

а) И, =0.001 б) 11,= 0.003

Рис. б. Установившиеся распределение вязкости и положение границы при расслоенном течении аномально - вязкой жидкости

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

1. При исследовании течения жидкости с экспоненциальной зависимостью вязкости от температуры обнаружено существование трех основных типов распределения поля вязкости. Установлено, что при достижении некоторого критического перепада давления расход термовязкой жидкости скачкообразно увеличивается, причем величина скачка тем больше, чем сильнее зависимость вязкости от температуры.

2. При течении аномально - вязкой жидкости в канале теплообменника установлено образование локализованного участка - «вязкого барьера», который в значительной мере способен влиять на структуру потока. Выявлены основные закономерности потока и зависимости расходных характеристик течения от параметров вязкой аномалии, внешних условий и времени.

3. В случае течения жидкости с температурной аномалией вязкости в канале с постоянной температурой стенок при интенсивном теплообмене с увеличением перепада давления обнаружен эффект отрицательного приращения относительного расхода.

4. При течении аномально — вязкой жидкости в канале с заданным конечным теплообменом на стенках обнаружено существование термовязких колебаний расхода. При этом было выделено четыре различных режима установления расхода в зависимости от интенсивности теплообмена.

5. При численном моделировании расслоенного режима течения в канале теплообменника установлено образование «порога» на поверхности аномально — вязкой жидкости, наблюдаемого в экспериментах при течении жидкой серы. Показано, что величина «порога» практически не изменяется при изменении ширины слоя аномально - вязкой жидкости.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Киреев В. Н. Численное решение нелинейного двумерного уравнения теплопроводности // Республиканская научная конференция студентов и аспирантов по физике и математике: Тезисы докладов конференции. - Уфа, 1997.-е.72-73

2. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н., Везиров Р. Р. Численное исследование течения жидкости с аномальной вязкостью // Нефтепереработка и нефтехи-мия.-1997. № 8.-е. 21-25

3. Везиров P.P., Киреев В.Н., Подшивалин А.В., Урманчеев С.Ф. Численное моделирование каталитического окисления сероводорода в системах отходящих газов нефтехимических производств // Тезисы Первого Международного симпозиума «Наука и технология углеводородных дисперсных систем». - Москва, 1997.

4. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н., Теляшев Э. Г., Ахатов И. Ш. К моделированию течения структурированных жидких сред // Современные проблемы естествознания на стыках наук: Сборник статей: В 2 т. — Уфа: Изд-во УНЦ РАН, 1998. Т. 1.-е. 164-177

5. Urmaneheev S. F., Kireev V. N., Larionov S. L., Obukhova S. A. A Numerical investigation of anomalously viscous liquid flowing along the heat exchanger channel // Proceeding of the Third International Conference on Multiphase Flow. - Lyon, 1998. - 6 p.

6. Киреев В. Н. Численное моделирование течения жидкой серы в каналах аппаратов химических производств // Дифференциальные уравнения и их приложения в физике: Сборник научных трудов. - Стерлитамак: Изд-во СГПИ, 1999.-c. 167-170

7. Киреев В. Н. Математическое моделирование процесса перекрытия канала теплообменника при течении жидкой серы // Тезисы Шестой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых России. -Томск, 2000.-с. 219-221

8. Urmancheev S. F., Kireev V. N., Ilyasov A. M., Mikhaylenko С I., Akhatov I. Sh. Some Abnormal Hydrodynamics Effects in Petroleum Industrial Processes // Proceeding of International Conference on Multiphase Systems. - Ufa, 2000. -pp.479-486

9. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н., Ильясов А. М., Михайленко К. И., Ахатов И. Ш. К исследованию гидродинамических особенностей процессов переработки нефти // Башкирский химический журнал. - 2000. Т. 7, №5. - с. 66 -72

10. Ильясов А. М., Киреев В. Н., Урманчеев С, Ф. Численное исследование течения расслоенных и аномально-вязких жидкостей // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. - Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2001. - с. 294 - 295

11. Киреев В. Н. Особенности течения аномально-вязкой жидкости в неоднородном температурном поле // Восьмая Всероссийская научная конферен-

ция студентов-физиков и молодых ученых. Сборник тезисов. - Екатеринбург: Изд-во АСФ, 2002. - с. 310 - 312

12. Ильясов А. М., Киреев В. Н., Урманчеев С. Ф. Определение потерь на трение в ламинарных расслоенных потоках // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. - 2002. - Т. 16. - с. 202 - 209

13. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н. О влиянии немонотонной зависимости вязкости от температуры на течение жидкости в канале // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. - 2002. - Т. 16. - с. 272 - 277

14. Ахатов И. Ш., Ильясов А. М., Киреев В. Н., Урманчеев С. Ф. Математическое моделирование установившихся расслоенных течений // Сборник трудов Института механики УНЦ РАН. - Уфа: Изд-во Тилем", 2003 . - с. 195-207

15. Киреев В.Н., Урманчеев С.Ф. Течение жидкостей с температурной аномалией вязкости // Сборник трудов Института механики УНЦ РАН. - Уфа: Изд-во Тилем", 2003. - с. 232 - 245

16. Киреев В.Н. Моделирование динамики застойной зоны при расслоенном течении вязких несмешивающихся жидкостей // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Тезисы докладов. - Пермь, 2003. - с. 200

17. Киреев В.Н., Урманчеев С.Ф. О течении жидкости с температурной аномалией вязкости // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Тезисы докладов. - Пермь, 2003. - с. 201

18. Киреев В. Н. Численное исследование изменения положения границы раздела вода-нефть в горизонтальных скважинах // Сборник тезисов Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых. - Екатеринбург-Красноярск: Изд-во АСФ России, 2003. - с. 386 - 388

19. Киреев В.Н., Урманчеев С.Ф. Численное исследование положения границы раздела фаз при расслоенном течении двух вязких несмешивающихся жидкостей // Труды Пятой Международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических и социальных систем и процессов". - Изд-во УлГУ, 2003. - с. 89 - 91

20. Киреев В.Н., Урманчеев С. Ф. Об одной задаче течения термовязкой среды // Труды международной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы". - Уфа: Изд-во Тилем", 2003. -с. 121-125

21. Киреев В.Н., Урманчеев С.Ф. Математическая модель течения жидкости с температурной аномалией вязкости // Тезисы докладов Двенадцатой Международной конференции по вычислительной механике и современным программным системам. - Москва: Изд-во МАИ, 2003. - с. 332 - 333

22. Киреев В.Н. Численное исследование изменения положения границы раздела вода-нефть в горизонтальных скважинах // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003. Т. 10, выпуск 2. - с. 396 - 397

23. Urraancheev S.F., Podshivalin A.V., Kireev V. N. Mathematical modeling of hydrogen sulfide oxidation in cell-type thermocatalitic reactors: Hydrodynamics aspects // XVI International Conference on Chemical Reactors

CHEMREACTOR - 16, Berlin, Germany, December 1-5, 2003. - Abstracts, paper No. OP-I-8, pp. 66-69

24. Urmancheev S. F., Kireev V, N. Influence of heat exchange on structure of anomalous-viscous fluid flow // 5th Euromech Fluid Mechanics Conference EFMC'2003, Toulouse, France, August 24-28,2003. - Book of abstracts, paper No. 261

25. Урманчеев С.Ф., Киреев В.Н. Установившееся течение жидкости с температурной аномалией вязкости //Доклады академии наук, 2004. Т. 396, №2

Киреев Виктор Николаевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С ТЕМПЕРАТУРНОЙ АНОМАЛИЕЙ ВЯЗКОСТИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 20.04.2004 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл.печ л. 1,15. Уч.-изд.л. 1,34. Тираж 100 экз. Заказ 270.

Редакционно-зддатепъский отдел Башкирского государственногоуниверситета 450074, РБ, г Уфа, ул. Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственногоуниверситета 450074, РБ, г Уфа, ул.Фрунзе, 32.

• -8 62 J

Введение.

Глава 1. Обзор литературы и исходная математическая модель.

§1.1 Обзор литературы.

§1.2 Исходная математическая модель термовязкой среды.

Глава 2 Методы численного решения задачи.

§2.1 Метод контрольного объема.

2.1.1 Разбиение расчетной области на контрольные объемы.

2.1.2 Построение дискретного аналога для уравнения энергии.

2.1.3 Дискретные аналоги для уравнений сохранения количества движения.

§2.2 Алгоритм SIMPLE.

§2.3 Тестовые расчеты

2.3.1 Двумерное нестационарное уравнение диффузии.

2.3.2 Двумерные уравнения Бюргерса. 2.3.3. Течение Пуазейля

§2.4 Метод VOF.

2.4.1. Введение.

2.4.2. Построение нормали.

2.4.3. Построение поверхности раздела.

2.4.4. Перемещение поверхности раздела.

2.4.5. Тестовые расчеты.

Глава 3 Течение термовязкой жидкости в плоском канале

§3.1 Математическая модель и постановка краевой задачи.

§3.2 Течение жидкости с монотонно убывающей зависимостью вязкости от температуры.

§3.3 Течение аномально — вязкой жидкости в канале, стенки которого имеют постоянную температуру

§3.4 Влияние условий теплообмена на течение аномально - вязкой жидкости.

Глава 4 Моделирование порогообразования при течении слоя аномально — вязкой жидкости в канале теплообменника

§4.1 Постановка задачи.

§4.2 Обсуждение результатов расчетов.

Актуальность темы

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию течений аномально — вязких жидкостей в каналах теплообменных устройств. Здесь и далее аномально - вязкими жидкостями будут называться жидкости, вязкость которых в рассматриваемом температурном диапазоне имеет немонотонную зависимость от температуры.

Вязкость подавляющего большинства жидких сред в широком диапазоне температур изменяется в соответствии с зависимостями Вильямса — Лэнделла — Ферри, Фулчера - Фогеля, Эйринга и им подобными. Эти зависимости представляют собой убывающие функции температуры и хорошо описывают течение капельных жидкостей: простых жидкостей, встречающихся в природе и применяемых в технике, жидких металлов, расплавов природных минералов, полимеров. Характеристики течения таких жидкостей достаточно хорошо изучены и продолжают уточняться. Однако некоторые вещества, в которых в определенном диапазоне температур могут происходить процессы полимеризации и деполимеризации, имеют вязкость с немонотонной температурной зависимостью.

Вопросы, связанные с особенностями течения аномально — вязких жидкостей, до сих пор оставались открытыми: Необходимость, их решения: связана как с соображениями развития гидродинамики; так и с конкретными технологическими задачами.

Во многих производственных процессах переработки нефти, химических технологиях, при решении экологических задач по очистке отходящих газов присутствует сера. Из 150 важнейших товарных химических продуктов 88 требует для своего получения использование серы или ее соединений. В то же время жидкая сера является наиболее ярким представителем семейства аномально — вязких жидкостей. Вязкость жидкой серы с увеличением температуры сначала увеличивается, достигая максимального значения при 187° С, после чего происходит относительно плавное уменьшение (физико — химические свойства жидкой серы приведены в Приложении А).

Необходимость знания особенностей течения жидкой серы можно продемонстрировать на следующем примере. В нефтехимических производствах для сжигания ангидрида серы и получения элементарной серы используются установки Клаус - процесса. На конечной стадии парогазовая смесь, состоящая из паров серы и некоторых газов, поступает в теплообменник, на стенках которого конденсируется жидкая сера. При этом вблизи входа в теплообменник формируется «порог», образованный большим скоплением конденсата серы. При определенных условиях «порог» из жидкой серы увеличивается настолько, что может произойти перекрытие сечения канала. В результате возникновения «порога» в большинстве каналов теплообменники достаточно регулярно выходят из строя. Непосредственные измерения температуры конденсата внутри «порога» дали значения температуры в пределах 160 — 190° С, т. е. именно такие температуры, которым соответствует резкое возрастание вязкости серы. Таким образом, образование «порога» жидкой серы может быть объяснено резким возрастанием вязкости серы в локализованной зоне при течении конденсата на начальном участке теплообменника. Указанный факт требует установления механизма образования «порога» на основе проведения исследований с применением математических моделей.

Таким образом, широкое распространение серы в современных технологиях и необходимость теоретического изучения закономерностей течения сред с реологическими свойствами, подобными сере, требует постановки задачи о течении несжимаемой аномально - вязкой жидкости в канале теплообменника под действием перепада давления в двумерном случае.

В представленной работе задача была решена для двух различных типов граничных условий на стенках канала: 1. стенки канала имеют постоянную температуру; 2. на стенках канала поставлены условия теплообмена с окружающей средой. При этом предполагалось, что канал либо полностью заполнен аномально — вязкой жидкостью, либо имеет место расслоенный режим течения.

Для численного решения системы уравнений гидродинамики совместно с уравнением энергии применялся метод контрольного объема с использованием алгоритма SIMPLE (Semi - Implicit Method for Pressure-Linked Equation — полунеявный метод для связывающих давление уравнений), модифицированного для учета переменного коэффициента вязкости.

Цель работы

Целью настоящей работы являлось численное исследование и изучение особенностей течения в каналах теплообменных устройств аномально — вязких жидкостей, вязкость которых имеет немонотонную зависимость от температуры и достигает максимального значения на рассматриваемом температурном диапазоне; изучение зависимостей расходных характеристик потока от параметров, характеризующих аномальную вязкость, условий теплообмена, приложенного перепада давления и времени; моделирование явления «порогообразования» при течении слоя аномально - вязкой жидкости;

Новизна работы

Новизна данной работы заключается в следующем:

1. Проведены численные исследования течения аномально-вязких жидкостей в каналах теплообменников для различных значений параметров.

2. Установлено образование локализованного высоковязкого участка — «вязкого барьера», который в значительной мере способен влиять на структуру потока.

3. Выявлены основные закономерности потока в зависимости от параметров вязкой аномалии.

4. Обнаружен эффект отрицательного приращения относительного расхода с ростом перепада давления.

5. Установлено существование четырех основных режимов установления течения в зависимости от интенсивности теплообмена.

6. Установлены причины явления образования «порога» при расслоенном режиме течения аномально — вязкой жидкости.

Достоверность результатов работы

Достоверность результатов обусловлена применением методов механики сплошных сред при разработке математической модели рассматриваемого процесса и их физической и математической непротиворечивостью в рамках физических законов. Компьютерная программа, реализующая численный метод решения уравнений математической модели, протестирована путем сравнения с точными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Практическое значение работы

Результаты, полученные в данной диссертационной работе, необходимы для правильного понимания процессов, происходящих в теплообменниках установок Клаус - процессов, и могут быть применены для оптимизации их работы и увеличения сроков службы теплообменных устройств.

Апробация работы и публикации

Основные результаты, приведенные в диссертационной работе, докладывались на следующих конференциях и научных школах:

• Республиканская научная конференция студентов и аспирантов по физике и математике, Уфа, 1997 г.

• Third International Conference on Multiphase Flows, Lyon, France, 1998 r.

IV Всероссийская школа — семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (САМГОП - 98), Уфа, 1998 г.

Республиканская конференция «Современные проблемы естествознания на стыках наук (СПЕ'СН-98)», Уфа, 1998 г.

XXII школа — семинар по проблемам механики сплошных сред в системах добычи, сбора, подготовки, транспорта и переработки нефти и газа (под руководством академика АН Республики Азербайджан А. X. Мирзад-жанзаде), Уфа, 1998 г.

Международная научно-практическая конференция «Химия и химические технологии - настоящее и будущее», Стерлитамак, 1999 г.

Международная конференция по многофазным системам, посвященная 60-летию со дня рождения академика РАН Р. И. Нигматулина (ICMS — 2000), Уфа, 2000 г.

Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001г.

Восьмая Всероссийская научная конференция студентов физиков и молодых ученых (ВНКСФ - 8), Екатеринбург, 2002 г.

XVI сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды, Казань, 2002 г.

1-ый конкурс научных работ молодых ученых и аспирантов УНЦ РАН i и АН РБ, Уфа, 2002 г.

13-я Зимняя школа по механике сплошных сред и Школа молодых ученых по механике сплошных сред, Пермь, 2003 г.

Пятая Международная конференция «Математическое моделирование физических, экономических, технических и социальных систем и процессов», Ульяновск, 2003 г.

• Двенадцатая Международная конференция по вычислительной механике и современным программным системам, Владимир, 2003 г.

• Четвертый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия), Сочи, 2003 г.

Кроме того, основные результаты работы докладывались автором на семинарах:

• кафедры механики сплошных сред математического факультета Башкирского государственного университета (под руководством чл. — корр. РАН М. А. Ильгамова и проф. И. Ш. Ахатова),

• кафедры геофизики физического факультета Башкирского государственного университета (под руководством проф. Р. А. Валиуллина)

• Института механики Уфимского научного центра РАН (под руководством академика РАН Р. И. Нигматулина).

По результатам диссертации опубликовано 25 печатных работ, в том числе 13 статей.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит 142 страницы, 60 рисунков, 12 таблиц, библиография из 81 наименования.

Заключение

1. При исследовании течения жидкости с экспоненциальной зависимостью вязкости от температуры обнаружено существование трех основных типов распределения поля: вязкости. Установлено, что при достижении некоторого критического перепада давления расход термовязкой ' жидкости скачкообразно увеличивается, причем величина скачка тем больше, чем сильнее зависимость вязкости от температуры.

2. При течении аномально — вязкой жидкости в канале теплообменника установлено образование локализованного; участка — «вязкого барьера», который в значительной мере способен влиять на структуру потока: Выявлены основные закономерности, потока и зависимости расходных характеристик течения; от параметров вязкой > аномалии, внешних условий и времени.

3. В случае течения жидкости с температурной аномалией вязкости в канале с постоянной температурой стенок при интенсивном теплообмене, с увеличением перепада давления обнаружен эффект отрицательного приращения относительного расхода.

4. При течении аномально — вязкой жидкости в канале с заданным конечным теплообменом на стенках обнаружено существование термовязких колебаний расхода. При этом? было выделено» четыре различных режима установления; расхода в зависимости от интенсивности теплообмена.

5. При численном моделировании расслоенного режима теченияi в;канале теплообменника установлено образование «порога» на поверхности аномально - вязкой жидкости, наблюдаемого в экспериментах при течении жидкой серы. Показано, что величина «порога» практически не изменяется при изменении ширины слоя аномально — вязкой жидкости.

1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен: В 2 т. — М.: Мир. — 1990. — Т. 1—2.

2. Аристов С. Н. Стационарное течение жидкости с переменной вязкостью // Доклады Академии наук. 1998; Т. 359, № 5. - с. 625 - 628

3. Аристов С. Н., Зеленина В; Г. Влияние теплообмена на пуазейлевское течение термовязкой жидкости в плоском канале // Механика жидкости и газа. 2000. № 2; - с. 75 - 80

4. Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир. - 1978. - 309 с.

5. Ахатов И. Ш., Ильясов А. М., Киреев В. Н., Урманчеев С. Ф. Математическое моделирование установившихся расслоенных течений Сборник трудов Института механики УНЦ РАН. Уфа: Издательство "Гилем", 2003 .-с. 195-207

6. Виноградов Г. В., Малкин А. Я. Реология полимеров. М.: Химия. — 1977.-438 с.

7. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шихов В. М. Об устойчивости конвективного течения жидкости с вязкостью, зависящей от температуры. // Теплофизика высоких температур. — 1975. Т. 13, № 4. — с. 771 — 778

8. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость, конвективных течений. М.: Наука, 1989. — 319 с.

9. Гиргидов А. Д. Механика жидкости и газа (гидравлика): Учебник для вузов. СПб.: Изд - во СПбГПУ, 2002. - 545 с.

10. Знаменский BI А. Течения неньютоновских жидкостей. 1980.

11. Киреев В: Н. Математическое моделирование процесса перекрытия канала теплообменника при течении жидкой серы // Тезисы Шестой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых России. Томск. -2000. - с. 219 - 221

12. Киреев В. Н. Особенности течения аномально-вязкой жидкости в неоднородном температурном поле // Восьмая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых. Сборник тезисов. — Екатеринбург: Издательство АСФ, 2002. — с. 310 — 312

13. Киреев В.HI, Урманчеев С.Ф: О течении жидкости с температурной аномалией вязкости// Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Тезисы докладов. — Пермь, 2003. — с. 201

14. Киреев В.Н;, С.Ф.Урманчеев Об одной задаче течения термовязкой среды // Труды международной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов ш родственные проблемы": Уфа: Издательство 'Тилем?, 2003; - с. 121-125

15. КиреевВ.Н. Численное исследование изменения положения границы раздела вода-нефть в горизонтальных скважинах // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003. — т.10, выпуск 2. — с. 396-397

16. Кириллов IT Л., Богословская Г. П. Теплообмен в ядерных энергетических установках: Учебник для вузов. М.: Энергоатомиздат, 2000. — 456 с.

17. Кочин Н.; Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика: В 2 частях. М.: Наука. — 1963. - Ч; 1-2.

18. Ландау Л. Д., Лившиц Е. Mi Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука. - 1986. - 736 с.

19. Лекае В. М., Елкин Л. Н. Физико-химические и термодинамические константы элементарной серы. М.: МХТИ им. Д. И. Менделеева. — 1964.

20. Литвинов В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. — 1982.

21. Лихачев Е. Р. Зависимость вязкости воды от температуры и давления // Журнал технической физики, 2003, т. 73, вып. 4. с. 135 - 136

22. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. - 848 с.

23. Малай Н. В., Щукин Е. Р., Яламов Ю. И. Движение твердой нагретой сфероидальной частицы в вязкой жидкости с однородным внутренним тепловыделеним // Журнал технической физики, 2001, т. 71, вып. 8. — с. 13 -16

24. Малай № В. К вопросу о гравитационном движении равномерно нагретой капли в вязкой жидкости // Журнал технической физики, 2002, т. 72, вып. З.-с. 7- 10

25. Мягков Л.В., Поляк В. Я., Головко А. Б. и др. Гидродинамика течения пленки жидкости переменной вязкости. Обзорная информация. Серия «Энерготехнологические процессы в химической промышленности». — М.: НИИТЭХИМ. 1979. - 24 с.

26. Мягков JI. В., Поляк В. Я., Головко А. Б., Лекае В. М. Исследование тепло- и массообмена при конденсации < серы из серогазовой смеси // 06-зорн. инф. М.: НИИТЭХИМ. - 1979. - 40 с.

27. Мягков Л. В., Поляк В. Я;, Головко А. Б., Лекае В. М. Методика расчета конденсаторов серы // Обзорн. инф. М.: НИИТЭХИМ. - 19791 — 25 с.

28. Морс Ф. Теплофизика. — М.: Наука, 1968. — 416 с.

29. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. — М.:Наука, 1985.-680 с.

30. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат. - 1984. - 152 с.

31. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. — М.: Мир, 1990.-661 с.

32. Остапенко А. А. Влияние электрического поля на динамическую вязкость жидких диэлектриков // Журнал технической физики, 1998, т. 68, №1.-е; 40-43

33. Петухов Б. С., Генин Л. Г., Ковалев С. А., Соловьев С. Л. Теплообмен в ядерных энергетических установках: Учебное пособие для вузов. — М.: Издательство МЭИ, 2003. 548 с.

34. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. Москва — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 572 с.

35. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. — 1971. —

36. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир. — 1980. —

37. Сорокин Л. Е. Устойчивость течения жидкости с коэффициентом теплопроводности, линейно зависящим от температуры // Механика жидкости и газа.-1997. №2.-с. 191 — 195

38. Тепло- и массообмен в неньютоновских жидкостях // Под ред. Лыкова А.В;, Смольского Б. М. М.: Энергия. - 1968. - 287 с.

39. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н., Везиров Р. Р. Численное исследование течения жидкости с аномальной вязкостью // Нефтепереработка и нефтехимия, 1997, №8.-с. 21-25

40. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н., Теляшев Э. Г., Ахатов И. Ш. К моделированию течения структурированных жидких сред // Современные проблемы естествознания на стыках наук: Сборник статей: В 2 т. Уфа: Издательство УНЦ РАН. - 1998. - Т. 1. - с. 164 - 177

41. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н., Ильясов А. М., Михайленко К. И., Ахатов И. Ш. К исследованию гидродинамических особенностей процессов переработки нефти // Башкирский химический журнал, 2000, т.7,№5. — с. 66-72

42. Урманчеев С.Ф., Киреев В.Н. Установившееся течение жидкости с температурной аномалией вязкости // Доклады академии наук, 2004, т. 396, №2

43. Фабелинский И. Л. О макроскопической и молекулярной сдвиговой вязкости //Успехи физических наук.-1997. Т. 167, № 7.-е. 721-7331

44. Фабер Т. Е. Гидроаэродинамика. М.: Постмаркет, 2001. — 560 с.

45. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2 т. — М.:Мир. — 1991. Т. 1 - 2

46. Фогельсон Р. Л., Лихачев Е. Р. Температурная зависимость вязкости // Журнал технической физики, 2001, т. 71, вып. 8. с. 128 - 131

47. Френкель Я; И. Кинетическая теория жидкостей. — Ленинград: Наука, 1975.-592 с.

48. Химическая гидродинамика: Справочное пособие / А. М. Кутепов, А. Д. Полянин, 3. Д. Запрянов, А. В. Вязьмин, Д. А. Казенин. — М.: Бюро» Квантум, 1996.-336 с.

49. Шлихтинг F. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. — 728 с.

50. Юдаев Б. Н. Теплопередача. Учебник для втузов — М.: Высшая школа, 1973.-360 с.

51. Янг Ван-цзу Конвективный теплообмен при вынужденном ламинарном течении жидкостей в трубах в случае переменной вязкости // Теплопередача. 1962. № 4. - с. 95 - 10563.- Bacon R. F., Fanelli R. // J. Am. Chem. Soc. 1943: No.65. - p. 639

52. Estep D. Jl,.Verduyn Lunel S. M., Williams R.D. The formation, structure and stability of a shear layer in a fluid with temperature — dependent viscosity // CACR Technical Report, CACR-187,2000

53. Griebel M., Domseifer Т., Neunhoeffer T. Numerical' Simulation in Fluid Dynamics. SIAM monographs on mathematical modeling and computation, 1998

54. Gueyffieer D., Li J;, Nadim A., Scardovelli R:, Zaleski S. Volume-of-Fluid? Interface Tracking with Smoothed Surface Stress Methods for Three-Dimensional Flows // Journal of Computational Physics. 1999. - Vol: 152. -pp. 423 - 456

55. Hartnett J. P., Kostic Mi Heat transfer to a viscoelastic fluid in laminar flow through a rectangular channel // International Journal of Heat Mass Transfer. -1985. No. 28. pp. 1147 -1155

56. Hirt С. W., Nichols В. D. Volume of Fluid (VOF) Method for the Dynamics of Free Boundaries // Journal of Computational Physics. 1981. - Vol. 39. — pp. 201-225

57. Lafaurie В., Nardone C., Scardovelli R., Zaleski A., Zanetti G. Modelling Merging and Fragmentation in Multiphase Flows with SURFER//Journal of Computational Physics. -1994. Vol; 113. - pp. 134 - 147

58. Man Chai Chang, Mu Shik Jhon Viscosity and thermodynamic properties of liquid sulfur // Bulletin of the Korean Chemical Society, 1982, vol; 3, No. 41 -pp.133 -139

59. Meyer Bi Elemental Sulfur // Chemical Reviews, 1976, vol. 76, No. 3. — pp. 367-387

60. Pearson J. R. A., Shah Y. Т., Vieira E. S. A. Stability of non-isothermal flow in channels -1. Temperature dependent Newtonian fluid without heat generation // Chemical Engineering Science. -1973. Vol. 28. - pp. 2079 - 2088

61. Rigatos A. P., Charalambakis N. C. Two — dimensional adiabatic Newtonian flow with temperature dependent viscosity // International Journal of Engineering Science. - 2001. No. 39. - pp. 1143 - 1165

62. Sherman F. S. Viscous flow. New York: McGraw Hill Book Co., 1990

63. Shin S., Ahn H.-H;, Cho Y. I., Sohn C.-H. Heat transfer behavior of a temperature — dependent non Newtonian fluid with Reiner — Rivlin model in a 2:1 rectangular duct // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 1999.No. 42.-pp.2935-2942

64. Urmancheev S. F., Kireev V. N. et al. A Numerical investigation of anomalously viscous liquid flowing along the heat exchanger channel // Proceeding of the Third International Conference on Multiphase Flow. — Lyon.-1998-6 p.

65. Urmancheev S. F., Kireev V. N., Ilyasov A. M., Mikhaylenko С. I., Akhatov I; Sh. Some Abnormal Hydrodynamics Effects in Petroleum Industrial Processes // Proceeding of International Conference on Multiphase Systems. -Ufa.-2000.-c. 479-486

66. Urmancheev S.F., Kireev V. N. Influence of heat exchange on structure of anomalous-viscous fluid flow // 5th Euromech Fluid Mechanics Conference EFMC'2003, Toulouse, France, August 24-28, 2003. Book of abstracts, paper No. 261

67. Wilson S. K., Duffy B. R. On the gravity-driven draining of a rivulet of fluid with temperature-dependent viscosity down a uniformly heated or cooled substrate // Journal of Engineering Mathematics. 2002. No. 42. - pp. 359 - 372