Численное исследование влияния теплообмена на течение и фильтрацию аномально термовязких сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правах рукописи

ХИЗБУЛЛИНА СВЕТЛАНА ФАИЗОВНА

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕПЛООБМЕНА НА ТЕЧЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЮ АНОМАЛЬНО ТЕРМОВЯЗКИХ СРЕД

01 04 14 — Теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

оозот

Уфа - 2007

003071092

Работа выполнена в лаборатории «Механика многофазных систем» Института механики Уфимского научного центра Российской академии наук

Научный руководитель

Научный консультант

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, Урманчеев Сайд Федорович

кандидат физико-математических наук, Киреев Виктор Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Лежнин Сергей Иванович кандидат физико-математических на>к, доцент Назмутдинов Флорид Фаузиевич Уфимский государственный нефтяной технический университет

Защита состоится « 24 » мая 2007 года в 12°° часов на заседании диссертационного совета Д 212 013 04 в Башкирском государственном университете по адресу 450074, г Уфа. ул Фрунзе, 32 в аудитории 216 физико-математического корпуса

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета

Автореферат разослан « 23 » апреля 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета, д ф -м н у^4*^ Шарафутдинов Р Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Учет зависимости вязкости от температуры, присущей всем жидкостям, приобретает существенное значение при изучении течения жидких сред в системах, рабочий температурный диапазон которых охватывает зону интенсивного изменения вязкости в серопроводах и промысловых трубах в химических технологиях получения полимерных материалов, при регулировании фильтрационных потоков пластовых флюидов

В отечественной и зарубежной научной литературе достаточно широко представлены работы по гидродинамике термовязких сред с различного вида монотонно убывающими зависимостями вязкости от температуры Развитию теории течения таких сред посвящен обширный список исследований, берущих начала от работ Л С Лей-бензона, Фулчера, Эйринга и продолженных в работах Б В Петухо-ва Важнейшие теоретические результаты по изучению растекания павы при извержении вулканов были получены А А Барминым, О Э Мелышком? А А Осипцовым

Некоторые вещества, такие как жидкая сера, высоковязкие нефти, а также ряд органических полимеров имеют немонотонные зависимости вязкости от температуры Особенности изменения вязкости этих веществ связаны с процессами полимеризации и деполимеризации молекул Аномально термовязкие среды занимают особое место в исследованиях по гидродинамике, так как их поведение является результатом взаимодействия потока жидкости с тепловым полем

Учет эффектов течения жидкостей, обусловленных немонотонной зависимостью вязкости от температуры, представляет сложную задачу, сопряженную с необходимостью применения методов математического моделирования и современных вычислительных средств

Целью работы является численное исследование особенностей течения и фильтрации термовязких жидкостей с немонотонной зависимостью вязкости от температуры в трубах и пористых средах при различных условиях теплообмена, изучение зависимости расходных характеристик потока от параметров, характеризующих аномальную зависимость, условий теплообмена и времени

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты, выносимые на защиту

• Установлено, что структура течения аномально термовязкой жидкости в круглой трубе определяется высоковязкой локализованной областью — вязким барьером Обнаружены существенные количественные отличия по сравнению с течением в плоском канале, обусловленные характером теплообмена в том и другом случаях

• Режим установления потока аномально термовязкой жидкости при заданном перепаде давления определяется величиной интенсивности теплообмена

• При течении жидкости с полиэкстремальной зависимостью вязкости от температуры установлена возможность регулирования расхода жидкости путем изменения интенсивности теплообмена при заданном перепаде давления

• Выявлены основные закономерности процесса фильтрации термообратимой гелеобразующей композиции МЕТКА

Практическая значимость. Полученные результаты можно использовать в нефтедобывающей промышленности для описания процесса движения потокоотклоняющих гелеобразующих систем в продуктивном пласте, при транспортировке нефтей со сложной реологией в промысловых трубопроводах и в нефтеперерабатывающей отрасли при проектировании серопроводов, транспортирующих серу в жидком состоянии Результаты, полученные в диссертационной работе, могут служить основанием для определения оптимальных режимов трубопроводной транспортировки высоковязких нефтей или растворов полимеров и для критериальной оценки новых методов повышения нефтеотдачи Результаты работы использовались при составлении отчета о НИР Институт механики УНЦ РАН № ГР 01 200 211711 инв № 02 2 006 07716 за 2006 г

Достоверность результатов. Достоверность результатов обусловлена применением фундаментальных уравнений термогидродинамики при разработке математической модели рассматриваемого

процесса, апробированных вычислительных методов тепло- и массо-обмена и их физической и математической непротиворечивостью в рамках физических законов Компьютерная программа, реализующая численный метод решения уравнений математической модели, протестирована путем сравнения с точными аналитическими решениями

Апробации работы. Основные положения и результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004 г), 3-ей научной школе-конференции «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Алушта, Украина, 2005 г), Школе-семинаре академика Р И Нигматулина (Уфа, 2005 г), Российской научно-технической конференции «Мав-лютовские чтения», посвященной 80-летию со дня рождения чл -корр РАН, проф Р Р. Мавлютова (Уфа, 2006 г), III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А Ф Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2006 г), Всероссийской научной конференции «Математика Механика Информатика» (Челябинск, 2006 г), Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену (РНКТ-4) (Москва, 2006 г), VI региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2006 г), SPE Applied Technology Workshop (Moscow, 2006 г)

Кроме того, результаты работы докладывались на научных семинарах Института механики УНЦ РАН, УФАНИПИНЕФТЬ под руководством кандидата химических наук А Г Телина, кафедры геофизики физического факультета Башкирского государственного университета под руководством доктора технических наук, профессора Р А Валиуллина

На конференции РНКТ-4 автор удостоен дипломом за лучший доклад с названием «Математическое моделирование течения аномально термовязкой жидкости в цилиндрическом канале», представленный на секции «Вынужденная конвекция однофазной жидкости»

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 1] работ

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, содержит 117 страниц машинописного текста, в том числе 4 таблицы и 47 рисунков, список литературы включает 79 библиографических ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы работы, указаны цели и новизна исследований, отмечена их практическая ценность

В первой главе выполнен обзор теоретических и экспериментальных исследований, посвященных изучению течения жидкостей с учетом зависимости вязкости от температуры в трубах и пористых средах Выписана система уравнений математической модели аномально термовязкой среды, записанная в произвольной криволинейной системе координат

Во второй главе описан численный метод решения уравнений математической модели и приведены результаты тестовых расчетов Подробно описано применение метода контрольного объема и алгоритма SIMPLE (Semi — Implicit Method for Pressure — Linked Equations), модифицированных для учета переменного коэффициента вязкости Точность и сходимость метода контрольного объема и алгоритма SIMPLE показаны путем сравнения с аналитическими решениями для течения Пуазейля, нестационарного уравнения теплопроводности в многослойной цилиндрической стенке и плос-корадиалыгой фильтрации упругой жидкости по линейному закону Дарси

Третья глава посвящена численному исследованию течения аномально термовязкой жидкости в круглой трубе

В разделе 3 1 записываются уравнения математической модели течения несжимаемой термовязкой жидкости в круглой трубе при наличии перепада давления с учетом теплообмена с окружающей средой, которые в безразмерных переменных в цилиндрической системе координат (г, z) имеют вид

д (rur) d{ruz) = 0 дг dz '

диг 1 д / 2 гГ диг ~~dt + rdr V7""г ~ Т~дг

ОТ

диг

Еиф_Гиг Ai/' (Г)

duz 1 д ~дГ + г Зг ' rurU.

гГ duz

z ~ Tlh

дТ дит dr дг

Э

+

dz дТ duz dz дг

д и.

ОТ-

dz

dz Re

дТ диг дТ ди2 дг dz dz dz

дТ 13/ ^ г дТ\ д . m

в_дТ

0ГЕк

1 duz

удит

~dz

дит дг

ди7_ дг

^дигдиг дг dz

где иг и иг — радиальная и осевая компоненты вектора скорости, р —

давление, Т — температура, 0 = —--параметр, характеризующий

геометрию трубы, V и Ь — диаметр и длина трубы, А — ■■тах — 1 —

Ь'тгп

параметр, характеризующий степень зависимости вязкости от температуры, 1/тт и 1Утах — минимальная и максимальная кинематическая вязкость жидкости в рассматриваемом диапазоне температур, V (Г) — функция зависимости вязкости от температуры, г/ (Г) — про-

и0О

изводная вязкости по температуре, йо

т? Р° а тэ иоП

Ей = —? — число Эйлера, Ре =--

ри£ а

l'r,

число Рейнольдса,

число Пекле, Ек =

Uq срАТ

число Эккерта, щ — характерная скорость, р — плотность жидкости, а — коэффициент температуропроводности, Ср — удельная теплоем-

(1 + АУ)

кость жидкости, АТ = Тгг

г, Г

Re

Для температуры на стенке трубы используются два вида граничных условий

стенка трубы имеет постоянную температуру (граничные условия первого рода) Т|г=1/2 = 1

• на стенке тр^бы задан конвективный теплообмен с окр\жа-ющей средой согласно закону Ньютона-Рихмана (граничные

. (эт'

у словия третьего рода) I

= т,

= 1/2

ь* Б ,

где N11 =--безразмерное число Нуссельта, характериз\ ющее

к

интенсивность теплообмена на стенке тр>бы, К* — коэффициент теплоотдачи к — коэффициент теплопроводности жидкости

В разделе 3 2 рассматривается течение модельной аномально термовязкой жидкости, зависимость кинематической вязкости которой от температуры имеет следующий вид

У (Т) = 1Ут1„ [1 + Ае-В<-Т-Т^

где А > 0 и В > 0 — параметры характеризующие аномальную зависимость вязкости от температуры, Т* = (Тт + Тгп) /2, Тгп — температура, с которой жидкость втекает в трубу, Тш — температура стенки трубы Для определенности считалось, что Тгп >

Проведенные численные исследования течения аномально термовязкой жидкости в трубе с осевой симметрией показали, что процесс течения определяется характером преодоления жидкостью зоны немонотонного изменения вязкости — «вязкого барьера», который является устойчивым образованием в пространстве. На Рис 1 показаны установившиеся распределения осевой и радиальной скоростей, линий тока, температуры и вязкости при течении модельной аномально термовязкой жидкости в трубе для граничных условий первого рода (Г\и —» оо, а) и граничных условий третьего рода (N0 = 1, б)

На Рис 1(1) приведено распределение осевой составляющей скорости Поле значений осевой скорости характеризуется наличием зоны с относительно высокой скоростью Ее расположение во внутренней части «вязкого барьера» свидетельствует о его потокоотклоняю-щих свойствах Эту мысль подтверждает также и наличие во внутренней области «вязкого барьера» радиальной составляющей поля скоростей (Рис 1(2))

Сравнение температурных полей на Рис 1(4) свидетельствует о том, что при втекании нагретой жидкости в канал с максимально

Рис. 1. Установившиеся распределения осевой (1) и радиальной (2) скоростей, линий тока (3), температуры (4) и вязкости (5) в осевом течении трубы для граничных условий первого рода (N11 —* ос) (а) и граничных условий третьего рода (N11 = ]) (б)

(а) (б)

Рис. 2. Установившиеся нзоповерхности вязкости в области «вязкого барьера» для граничных условий первого рода (Ки —* оо) (а) и граничных условий третьего рода (Г\*и — 1) (б)

__

интенсивным теплообменом на стенках (N11 —> оо, а) степень охлаждения жидкости оказывается меньше, чем в капале с конечным теплообменом (N11 = 1, б) Этот результат объясняется разницей в скоростях течения

Причина замедления течения аномально термовязкой жидкости в случае конечного теплообмена заключается в характере формирующегося вязкого барьера Если температура жидкости вблизи стенки равна температуре стенки в случае граничных условий первого рода для температуры, то вязкий барьер имеет «колоколообразнуго» форму (Рис 2, а) Это означает, что зона аномально высоких значений вязкости удалена от стенки трубы, и динамическое взаимодействие жидкости со стенкой при протекании жидкости осуществляется при значениях вязкостей, находящихся вне зоны аномалии по всей длине трубы При граничных условиях третьего рода представленная на Рис 2, б зона аномальной вязкости пересекает все поперечное сечение трубы и имеет практически постоянную ширину Изолинии вязкости имеют небольшую кривизну, что связано с типом граничных условий для температуры Таким образом, при конечном теплообмене взаимодействие аномальной зоны со стенкой трубы приводит к возникновению больших напряжений сдвига и, как следствие, значительному уменьшению скорости потока

В результате численных исследований было выявлено несколько различных режимов установления потока в зависимости от интенсивности теплообмена (Рис 3) При слабом теплообмене (Ми < 0.1) устанавливается режим с расходом, равным расходу для изотермического течения жидкости С увеличением интенсивности теплообмена (0 1 < N11 < 1) вязкий барьер принимает фиксированный размер и местоположение, при этом расход жидкости устанавливается па минимальном уровне Обнаружено, что в некотором диапазоне чисел Нуссельта (1 < N11 < 12) изменение расхода жидкости перед выходом на некоторое стационарное значение сопровождается колебаниями, обусловленными квазипериодическим изменением параметров вязкого барьера. Максимумы и минимумы расхода соответствуют уменьшению и увеличению области вязкого барьера При дальнейшем увеличении интенсивности теплообмена (№1 >12) происходит непрерывное увеличение расхода до значений, соответствующих рас-

Q

44^

06 04 02

1 Nu = 0 01 "Nu = (П2~Г Nu = 40

~i г

1 I

—II

I

I >

>

15

time

Рис 3 Зависимость расхода от времени при различных режимах теплообмена

Рис 4 Профили вязкости в осевом сечении для трубы (сплошная линия) и плоского канала (пунктирная линия) для разных чисел Рей-нольдса

ходу при максимально возможном теплообмене

В разделе 3 3 проводится сравнение результатов численных расчетов для течений аномально термовязкой жидкости в плоском канале и круглой трубе Проведенные численные исследования показали, что распределения полей физических величин (вязкости, температуры, давления и компонент вектора скорости) имеют структуру аналогичную течению в плоском канале Обнаружены существенные количественные отличия по сравнению с течением в плоском канале, что объясняется более интенсивным теплообменом из-за большей удельной поверхности трубы За счет этого «вязкий барьер», как видно на Рис 4, в трубе располагается ближе к входу

В разделе 3 4 исследовано влияние интенсивности теплообмена на технологические параметры перекачки и гидродинамические параметры потока, имеющего сложную зависимость вязкости от температуры (Рис 5), представленной в виде некоторой модельной кривой, основанной на обработке экспериментальных данных, характерной для Тимано-Печерских, Ромашкинской и ряда других нефтей Поволжья и Казахстана

На Рис б представлены результаты численных экспериментов по

11, Па с

Т,° С

Рис 5 Полиэкстремальная зависимость вязкости от температуры

О 15

0 05

Рис 6 Зависимость расхода от времени для различных режимов

теплообмена

изменению расхода со временем до режима установления в зависимости от интенсивности теплообмена, который определялся локальным числом Нуссельта Следует обратить внимание на возникновение однотипных для всех режимов теплообмена осцилляций Они не относятся к типу численных осцилляций Шаг по времени на несколько порядков меньше характерной длины волны осцилляций Таким образом они имеют физическую природу и обусловлены инерционностью взаимодействия теплообменных процессов, влияющих на гидравлическое сопротивление, с одной стороны, и средней скоростью потока, которая также зависит от гидравлического сопротивления, с другой стороны

Общая картина зависимости расхода потока с полиэкстремальной температурной зависимостью вязкости от условий теплообмена представлена на Рис 7 Существенно то, что в зависимости от условий теплообмена расход может изменяться более чем в два раза при одном и том же перепаде давления Кроме того, немонотонная зависимость вязкости от температуры (Рис 5) влечет возникновение локального максимума расхода при N0 « 30, когда устанавливается режим, при котором в наибольшей степени развита область течения соответствующая минимуму вязкости на Рис 5

Рис 7 Зависимость расхода от числа Нуссельта для фиксированного перепада давления

Т,° С

Рис 8 Зависимость динамической вязкости от температуры композиции МЕТКА

В четвертой главе исследуется процесс фильтрации аномально термовязкой жидкости в неоднородной пористой среде Для численного исследования фильтрационного течения рассматривалась жидкость с зависимостью динамической вязкости от температуры, представленной на Рис 8, характерной для термообратимой гелеобразу-ющей композиции МЕТКА

В разделе 4 1 описывается постановка задачи, выписываются уравнения математической модели однофазной фильтрации упругой слабосжимаемой жидкости с немонотонной зависимостью вязкости от температуры, имеющие в безразмерных переменных следующий вид

др 1 д / г к др\ д ( к др\

к др _ к др и = ~Оа(1 + Ац)дг' 'Ш ~ ~£2Оа(1 + Ар,)д1'

д(СТ) 19/ ф гА9П 9/ _ Л 9ТЛ где и и и; — радиальная и осевая компоненты скорости фильтрации,

Н - гт г

е = — — параметр, характеризующим геометрию пласта, л и Ь —

X/

мощность и длина пласта, С = mpfCf -¡- '1 — т] ргсг — объемная теплоемкость насыщенной пористой среды, Л = шЛ/ + [1 — т] Аг —- коэффициент теплопроводности насыщенной пористой среды, р, А, с — плотность, коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость (индекс «/» относится к флюиду, «г» — к скелету пористой среды), ¡3" — коэффициент упругоемкости пласта, ц(Т) — функция зави-

Р*иоЬцтгп

симости динамическои вязкости от температуры, А„ ----- ---,

«о

и0Ь(1т1П „ роСоиоЬ

иа = —--и Ре =----безразмерные числа

коро Ао

На Рис 9 показана расчетная область (заштрихованная часть) и схема подачи гелеобразующей композиции МЕТКА в пласт.

В разделе 4 2 на основании численного моделирования фильтрации термообратимой гелеобразующей композиции МЕТКА показано, что многообразие гидродинамических эффектов, обнаруженных при течении аномально термовязкой жидкости в плоском канале и трубе, имеют место и при фильтрации термовязкой жидкости в по-ристои среде Процесс фильтрации также определяется характером преодоления жидкостью зоны немонотонного изменения вязкости — «вязкого барьера» На Рис 10 представлены характерные профили радиальной скорости фильтрации и изолинии распределения осевой скорости фильтрации, температуры и вязкости при постоянной тем-

(1Г

N 5 / ^ - г = 0 7

/ / 1 - — г 0 5

1 1 1 — --г = 0 3

, ! ... г ~ 0 5

------ ✓

I / /---г = 0 7

1 / 1 ------г = 0 5

| 1 1___Г = 0 3

. ! 1. --г = 0 5

154 СГ5~ (б)

Рис 10 Профили радиальной скорости фильтрации (1) композиции МЕТКА и жидкости с постоянной вязкостью (сплошная линия) на различных расстояниях от оси скважины и изолинии распределения осевой (2) скорости фильтрации, температуры (3) и вязкости (4) при постоянной температуре кровли и подошвы (а) и задании оттока тепла по схеме Ловерье (б)

пературе кровли и подошвы и задании оттока тепла по схеме Ловерье в однородном пласте

На Рис 10(1) приведены профили радиальной скорости фильтрации по высоте пласта на различных расстояниях от оси скважины для композиции МЕТКА и жидкости с постоянной вязкостью (сплошная линия) при г = 0 5 Видно, что при учете зависимости вязкости о г температуры профиль скорости меняется, причем вблизи кровли и подошвы скорость больше, чем в средней части пласта Кроме того, возникают и осевые скорости фильтрации (Рис 10(2))

Значения вязкости гелеобразующей композиции, следуя за характером распределения температурного поля (Рис 10(3)), образуют в

Рис 11 Профили вязкости в высокопронидаемой (сплошная линия) и низкопроницаемой (пунктирная линия) зонах слоисто-неоднородного пласта с перетоком (а) и без перетока (б) между пропластками

направлении потока зону немонотонного изменения вязкости — «вязкий барьер» (Рис 10(4))

На Рис 11 показаны профили вязкости в высокопроницаемой и низкопроницаемой зонах слоисто-неоднородного пласта Рис 11, а и б показывают, что фильтрация гелеобразующей композиции в высокопроницаемом и низкопроницаемом пропластках с перетоком и без перетока имеет различный характер

В заключении подведены итоги работы и указаны ее основные результаты

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 В результате численного исследования течения аномально термовязкой жидкости в круглой трубе при заданных условиях теплообмена на стенке трубы установлено, что структура течения определяется высоковязкой локализованной областью — вязким барьером Обнаружены существенные количественные отличия по сравнению с течением в плоском канале, что объяс-

няется различием процессов теплообмена вследствие большей удельной поверхности трубы

2 Пространственная конфигурация вязкого барьера при заданном перепаде давления определяется величиной интенсивности теплообмена на поверхности трубы При высокой интенсивности теплообмена вязкий барьер имеет «колоколообразную» форму, а изолинии вязкости не пересекают образующей трубы При уменьшении интенсивности теплообмена форма вязкого барьера меняется так, что изолинии вязкости пересекают образующую трубы, обусловливая более высокие значения гидравлического сопротивления Величина интенсивности теплообмена определяет также и режим установления потока аномально термовязкой жидкости

3 Обнаружен диапазон значений числа Ни, в котором процесс установления течения жидкости происходит с возникновением колебаний расхода жидкости, затухающих со временем и обусловленных чередованием влияния конвективного и кондук-тивного видов теплопереноса, определяющих квазипериодические изменения вязкого барьера

4 На основании численного моделирования течения жидкости с полиэкстремальной зависимостью вязкости от температуры обнаружено существование локального максимума расхода жидкости в зависимости от интенсивности теплообмена при фиксированной величине перепада давления на рассматриваемом участке трубы Для выбранных параметров задачи режим течения с максимальным расходом устанавливается при значении N11 «30

5 При численном моделировании фильтрации термообратимой гелеобразующей композиции МЕТКА установлено образование пристеночной неоднородности профиля радиальной скорости, наиболее выраженной при граничных условиях с постоянной температурой Показано, что для адекватного описания процесса закачки гелеобразующих композиции в расчетах необходим учет зависимости вязкости от температуры

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Численное моделирование вихревых течений в цилиндрических трубах / С Ф Хизбуллина // Материалы XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды — Казань, 2004 — т 27 — с 218-221

2 Математическое моделирование течения аномально термовязкой жидкости в канале с осевой симметрией / С Ф Хизбуллина, С Ф Урманчеев // Сборник тезисов докладов 3-й научной школы-конференции «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» — Алушта, Украина, 2005 -с 34-35

3 Моделирование течения слоя жидкой серы в канале теплообменника / В Н Киреев, С Ф Хизбуллина, С Ф Урманчеев // Нефтегазовое дело — 2005 — №3 - с 333-338

4 Нестационарные процессы тепло- и массообмена в системе «скважина - совокупность пластов - окружающие горные породы» / С Ф Хизбуллина, В Н Киреев, Р А Валиуллин, Р Ф Шарафутдинов, А А Садретдинов // Мавлютовские чтения Российская научно-техническая конференция сб трудов - Уфа УГАТУ, 2006 - Т 4 - с 124-129

5 Численное исследование течения жидкости с немонотонной зависимостью вязкости от температуры / С Ф Хизбуллина // Вестник Башкирского университета — 2006 — №2 — с 22-25

6 О влиянии температурной зависимости вязкости жидкости на процесс фильтрации / С Ф Хизбуллина, В Н. Киреев // Математика Механика Информатика Тез докл Всерос науч конф — Челябинск, 2006. — с 145

7 Процессы тепло- и массообмена в системе «скважина-пласт» / С Ф Хизбуллина, В Н Киреев // Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А Ф Сидорова — Екатеринбург УрО РАН, 2006 — с 104-106

8 Математическое моделирование течения аномально термовязкой жидкости в цилиндрическом канале / В Н Киреев, С Ф. Урманчеев, С Ф Хизбуллина // Труды Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену В 8 томах Т2 Вынужденная конвекция однофазной жидкости — М Издательский дом МЭИ, 2006 — с 145-148

9 Движение термовязкой жидкости в системе «скважина-пласт» / С. Ф Хизбуллина//Тезисы VI региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии — Уфа, 2006 — с 135

10 Моделирование течения реологически сложной нефти на начальном участке «горячего» трубопровода / С Ф. Хизбуллина, В Н Киреев, С Ф Урманчеев, С Е Кутуков // Нефтегазовое дело - 2006 - № 4 - с 259-262

11 Фильтрация аномально термовязкой жидкости в слоисто-неоднородном пласте / С Ф Хизбуллина // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН Вып 4 / Под ред. С Ф Урманчеева, С. В Хабирова — Уфа- Изд-во «Гилем», 2006 - с 251-257

Хизбуллина Светлана Фаизовна

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕПЛООБМЕНА НА ТЕЧЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЮ АНОМАЛЬНО ТЕРМОВЯЗКИХ СРЕД

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 20 04 2007 г Формат 60x84 У16 Уел печ л 1,2 Бумага офсетная Гарнитура Times Тираж 100 экз. Заказ № 07-23 Печать методом ризографии

Типография ГУП НИИБЖД РБ 450005, Уфа, ул 8 Марта, 12/1

Введение

Глава 1. Аналитический обзор литературы

1.1. Обзор литературы.

1.2. Исходная математическая модель аномально термовязкой жидкости

Глава 2. Метод численного решения задач

2.1. Метод контрольного объема

2.1.1. Обобщенное дифференциальное уравнение.

2.1.2. Разбиение расчетной области на контрольные объемы

2.1.3. Построение дискретного аналога для обобщенного уравнения

2.1.4. Линеаризация источникового члена.

2.2. Алгоритм SIMPLE.

2.3. Тестовые расчеты

2.3.1. Течение Пуазейля.

2.3.2. Распределение температуры в многослойной цилиндрической стенке.

2.3.3. Плоскорадиальная фильтрация упругой жидкости по линейному закону Дарси.

Глава 3. Течение аномально термовязкой жидкости в круглой трубе

3.1. Математическая модель и постановка краевой задачи.

3.2. Течение аномально термовязкой жидкости в трубе.

3.3. Сравнение численных результатов для течений аномально термовязкой жидкости в круглой трубе и плоском канале.

3.4. Моделирование течения реологически сложной нефти на начальном участке трубопровода.

Глава 4. Фильтрация в насыщенной аномально термовязкой жидкостью пористой среде

4.1. Математическая модель фильтрации и постановка задачи

4.2. Результаты численного исследования.

Аномально термовязкие среды занимают особое место в исследованиях по гидродинамике, так как их поведение является результатом взаимодействия потока жидкости с тепловым полем.

Учет зависимости вязкости от температуры, присущей всем жидкостям, приобретает существенное значение при изучении течения жидких сред в системах, рабочий температурный диапазон которых охватывает зону интенсивного изменения вязкости: в серопроводах и промысловых трубах, в химических технологиях получения полимерных материалов, при регулировании фильтрационных потоков пластовых флюидов.

В отечественной и зарубежной научной литературе достаточно широко представлены работы по гидродинамике термовязких сред с различного вида монотонно убывающими зависимостями вязкости от температуры. Развитию теории течения таких сред посвящен обширный список исследований, берущих начало от работ JI. С. Лейбензона, Фулчера, Эйринга и продолженных в работах Б. В. Петухова. Важнейшие теоретические результаты по изучению растекания лавы при извержении вулканов были получены А. А. Барминым, О. Э. Мельником, А. А. Осипцовым. Большое количество работ посвящено изучению особенностей конвективных течений с учетом температурной зависимости вязкости. В основном, это работы, связанные с моделированием процессов, происходящих в мантии Земли и других планет.

В последнее время для повышения нефтеотдачи пластов широко используются различные химические реагенты, в том числе поверхностно-активные вещества и органические полимеры. На многих месторождениях проводятся работы по закупориванию каналов преимущественно за счет закачивания гелевых, осадкообразующих и вяжущих композиций, составляющих основу потокоотклоняющих технологий. Проведение данных работ позволяет увеличить реальные дебиты нефти за счет снижения ее обводненности. Кроме того, в России и за рубежом неуклонно возрастает доля месторождений высоковязких нефтей и битумов, добыча которых тесно связана с проблемой фильтрации аномально термовязких сред.

Некоторые вещества, такие как жидкая сера, высоковязкие нефти, а также ряд органических полимеров имеют немонотонные зависимости вязкости от температуры. Особенности изменения вязкости этих веществ связаны с процессами полимеризации и деполимеризации молекул. Образование длинных полимерных цепочек в определенном температурном диапазоне приводит к значительному увеличению вязкости. Дальнейшее повышение температуры, напротив, уменьшает их длину и ведет, соответственно, к уменьшению вязкости. Закономерности течения таких сред практически не изучены и требуют адекватной постановки задачи для их теоретического и экспериментального исследования.

Учет эффектов течения жидкостей, обусловленных немонотонной зависимостью вязкости от температуры, представляет сложную задачу, сопряженную с необходимостью применения методов математического моделирования и современных вычислительных средств.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию течений аномально термовязких жидкостей в трубе, а также в насыщенной аномально термовязкой жидкостью пористой среде. Здесь и далее аномально термовязкими жидкостями будут называться жидкости, вязкость которых в рассматриваемом температурном диапазоне имеет немонотонную зависимость от температуры.

В представленной работе была решена задача о течении аномально термовязкой жидкости в круглой трубе для двух типов граничных условий на стенке трубы:

• стенка трубы имеет постоянную температуру;

• на стенке трубы поставлены условия теплообмена с окружающей средой.

Было проведено сравнение полученных результатов с результатами решения задачи о течении аномально термовязкой жидкости в плоском канале. При этом предполагалось, что труба полностью заполнена аномально термовязкой жидкостью.

На основании численного исследования изучено влияние интенсивности теплообмена на технологические параметры перекачки и гидродинамические параметры потока, имеющего сложную зависимость вязкости от температуры, представленной в виде некоторой модельной кривой, основанной на обработке экспериментальных данных, характерной для Тимано-Печерских, Ромашкинской и ряда других нефтей Поволжья и Казахстана.

Также была решена задача о фильтрации термообратимой гелеобразу-ющей композиции МЕТКА, зависимость вязкости которой от температуры имеет немонотонный характер. При нагревании раствора происходит постепенное снижение вязкости, а затем при дальнейшем нагревании — резкое увеличение вязкости, связанное с образованием геля. Проведено сравнение для двух типов граничных условий на кровле и подошве для температуры:

• кровля и подошва поддерживаются при постоянной температуре;

• на кровле и подошве задан отток тепла по схеме Доверье. На забое задавалось постоянное давление.

Для численного решения системы уравнений гидродинамики совместно с уравнением энергии применялся метод контрольного объема с использованием алгоритма SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation — полунеявный метод для связывающих давление уравнений), модифицированного для учета переменного коэффициента вязкости.

Цель работы

Целью работы является численное исследование особенностей течения и фильтрации термовязких жидкостей с немонотонной зависимостью вязкости от температуры в трубах и пористых средах при различных условиях теплообмена, изучение зависимости расходных характеристик потока от параметров, характеризующих аномальную зависимость, условий теплообмена и времени.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Установлено, что структура течения аномально термовязкой жидкости в круглой трубе определяется высоковязкой локализованной областью — вязким барьером. Обнаружены существенные количественные отличия по сравнению с течением в плоском канале, обусловленные характером теплообмена в том и другом случаях.

2. Режим установления потока аномально термовязкой жидкости при заданном перепаде давления определяется величиной интенсивности теплообмена.

3. При течении жидкости с полиэкстремальной зависимостью вязкости от температуры установлена возможность регулирования расхода жидкости путем изменения интенсивности теплообмена при заданном перепаде давления.

4. Выявлены основные закономерности процесса фильтрации термообратимой гелеобразующей композиции МЕТКА.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обусловлена применением фундаментальных уравнений термогидродинамики при разработке математической модели рассматриваемого процесса, апробированных вычислительных методов тепло- и массообмена и их физической и математической непротиворечивостью в рамках физических законов. Компьютерная программа, реализующая численный метод решения уравнений математической модели, протестирована путем сравнения с точными аналитическими решениями.

Практическая значимость

Полученные результаты можно использовать в нефтедобывающей промышленности для описания процесса движения потокоотклоняющих геле-образующих систем в продуктивном пласте, при транспортировке нефтей со сложной реологией в промысловых трубопроводах и в нефтеперерабатывающей отрасли при проектировании серопроводов, транспортирующих серу в жидком состоянии. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут служить основанием для определения оптимальных режимов трубопроводной транспортировки высоковязких нефтей или растворов полимеров и для критериальной оценки новых методов повышения нефтеотдачи. Результаты работы использовались при составлении отчета о НИР Институт механики УНЦ РАН № ГР 01.200.211711 инв. № 02.2.006 07716 за 2006 г.

Апробации работы

Основные положения и результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных школах:

• XVII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды, Казань, 2004 г.

• 3-я научная школа-конференция «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики», Алушта, Украина, 2005 г.

• Школа-семинар академика Р. И. Нигматулина, Уфа, 2005 г.

• Российская научно-техническая конференция «Мавлютовские чтения», посвященная 80-летию со дня рождения чл.-корр. РАН, проф. Р. Р. Мавлютова, Уфа, 2006 г.

• III Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А. Ф. Сидорова, Абрау-Дюрсо, 2006 г.

• Всероссийская научная конференция «Математика. Механика. Информатика», Челябинск, 2006 г.

• Четвертая Российская национальная конференция по теплообмену (РНКТ-4), Москва, 2006 г.

• VI региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии, Уфа, 2006 г.

• SPE Applied Technology Workshop, Moscow, 2006 г.

Кроме того, основные результаты работы докладывались автором на семинарах:

• Института механики Уфимского научного центра РАН

• УФАНИПИНЕФТЬ (под руководством кандидата химических наук А. Г. Телина)

• кафедры геофизики физического факультета Башкирского государственного университета (под руководством доктора технических наук, профессора Р. А. Валиуллина).

На конференции РНКТ-4 автор удостоен дипломом за лучший доклад с названием «Математическое моделирование течения аномально термовязкой жидкости в цилиндрическом канале», представленный на секции «Вынужденная конвекция однофазной жидкости».

Объем и структура работы

По результатам диссертации опубликовано И печатных работ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, содержит 117 страниц машинописного текста, в том числе 4 таблицы и 47 рисунков, список литературы включает 79 библиографических ссылок.

Заключение

1. В результате численного исследования течения аномально термовязкой жидкости в круглой трубе при заданных условиях теплообмена на стенке трубы установлено, что структура течения определяется высоковязкой локализованной областью — вязким барьером. Обнаружены существенные количественные отличия по сравнению с течением в плоском канале, что объясняется различием процессов теплообмена вследствие большей удельной поверхности трубы.

2. Пространственная конфигурация вязкого барьера при заданном перепаде давления определяется величиной интенсивности теплообмена на поверхности трубы. При высокой интенсивности теплообмена вязкий барьер имеет «колоколообразную» форму, а изолинии вязкости не пересекают образующей трубы. При уменьшении интенсивности теплообмена форма вязкого барьера меняется так, что изолинии вязкости пересекают образующую трубы, обусловливая более высокие значения гидравлического сопротивления. Величина интенсивности теплообмена определяет также и режим установления потока аномально термовязкой жидкости.

3. Обнаружен диапазон значений числа Nu, в котором процесс установления течения жидкости происходит с возникновением колебаний расхода жидкости, затухающих со временем и обусловленных чередованием влияния конвективного и кондуктивного видов теплопере-носа, определяющих квазипериодические изменения вязкого барьера.

4. На основании численного моделирования течения жидкости с полиэкстремальной зависимостью вязкости от температуры обнаружено существование локального максимума расхода жидкости в зависимости от интенсивности теплообмена при фиксированной величине перепада давления на рассматриваемом участке трубы. Для выбранных параметров задачи режим течения с максимальным расходом устанавливается при значении Nu « 30.

5. При численном моделировании фильтрации термообратимой гелеоб-разующей композиции МЕТКА установлено образование пристеночной неоднородности профиля радиальной скорости, наиболее выраженной при граничных условиях с постоянной температурой. Показано, что для адекватного описания процесса закачки гелеобразующих композиций в расчетах необходим учет зависимости вязкости от температуры.

1. Алтупипа J1. К., Кувшинов В. А. Неорганические гели для увеличения нефтеотдачи неоднородных пластов с высокой температурой // Нефтяное хозяйство. - 1995. - №4. - с. 36-38.

2. Алтунипа Л. К., Кувшинов В. А. Увеличение нефтеотдачи пластов композициями ПАВ. — Новосибирск: Наука. — 1995. — 198 с.

3. Алтунина Л. К., Кувшинов В. А. Физико-химические аспекты технологий увеличения нефтеотдачи // Химия в интересах устойчивого развития. 2001. - №9. - с. 331-344.

4. Аристов С. Н. Стационарное течение жидкости с переменной вязкостью // Доклады академии наук. — 1998. — Т. 359, 5. — с. 625-628.

5. Аристов С. Н., Зеленина В. Г. Влияние теплообмена на пуазейлев-ское течение термовязкой жидкости в плоском канале // Механика жидкости и газа. 2000. - № 2. - с. 75-80.

6. Бармин А. А., Мельник О. Э. Течение загазованной магмы в канале вулкана // Известия РАН, сер. МЖГ. 1990. - № 5. - с. 35-43.

7. Бармин А. А., Мельник 0. Э. Об особенностях динамики извержения сильновязких газонасыщенных магм // Известия РАН, серия МЖГ. 1993. - № 2. - с. 49-60.

8. Бармин А. А., Мельник О. Э. Гидродинамика вулканических извержений // Успехи механики. — 2002. — № 1. — с. 32-60.

9. Басниев К. С., Дмитриев Н. М., Розенберг Г. Д. Нефтегазовая гидромеханика. // Учебное пособие для вузов. — М.: Ижевск. Институт компьютерных исследований. — 2005. — 544 с.

10. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. — М.: Высш. школа, 1982. — В 2-х частях.

11. Буро/се Ж., Сурио П., Комбарну М. Термические методы повышения нефтеотдачи пластов. М.: Недра, 1988. — 424 с.

12. Биноградов Г. В., Малкин А. Я. Реология полимеров. — М.: Химия. — 1977. 438 с.

13. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Шихов В. М. Об устойчивости конвективного течения жидкости с вязкостью, зависящей от температуры. // Теплофизика высоких температур. — 1975. — Т. 13, № 4. — с. 771 778.

14. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. — М.: Наука, 1989. — 319 с.

15. Григорьев Б. А., Богатое Г. Ф., Герасимова А. А. Теплофизические свойства нефти, нефтепродуктов, газовых конденсатов и их фракций. / Под редакцией Б. А. Григорьева. — М.: Издательство МЭИ, 1999. — 372 с.

16. Желтое Ю. П. Разработка нефтяных месторождений: Учебник для вузов. М.: Недра, 1986. - 332 с.

17. Знаменский В. А. Течения неньютоновских жидкостей. — 1980.

18. Зубков П. Т., Федоров К. М. Влияние гелевых барьеров на течение воды и нефти в неоднородном пористом пласте. // Известия академии наук. Механики жидкости и газа. — 1995. — № 2. — с. 99-107.

19. Левин В. А., Луцепко Н. А. Течение газа через пористую тепловыделяющую среду при учете температурной зависимости вязкости газа // ИФЖ, 2006. Т. 79, № 1. - с. 35-40.

20. Киреев В. Н., Урмаичеев С. Ф. Течение жидкостей с температурной аномалией вязкости // Сборник трудов Института механики УНЦ РАН. Уфа: Издательство «Гилем», 2003. - с. 232-245.

21. Киреев В. Н., Хизбуллипа С. Ф., Урмаичеев С. Ф. Моделирование течения слоя жидкой серы в канале теплообменника // Нефтегазовое дело, 2005. №3. с. 333-338.

22. Кочип Н. Е., Кибелъ И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика: В 2 частях. М.: Наука. - 1963. - Ч. 1-2.

23. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука. - 1986. - 736 с.

24. Лейбеизон Л. С. О движении подогретой вязкой жидкости / Сборник трудов. — T.III. — Нефтепромысловая механика. — М: Изд. АН СССР, 1955. с. 22-68.

25. Лекае В. М., Елкин Л. Н. Физико-химические и термодинамические константы элементарной серы. — М.: МХТИ им. Д. И. Менделеева. — 1964.

26. Лихачев Е. Р. Зависимость вязкости воды от температуры и давления // Журнал технической физики, 2003. — Т. 73, вып. 4. — с. 135-136.

27. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973. — 848 с.

28. Мирзадэ/санзаде А. Ч., Хасапов М. М., Бахтизин Р. Н. Этюды о моделировании сложных систем нефтедобычи. — Уфа: «Гилем». — 1999. 464 с.

29. Мягков Л. В., Поляк В. Я., Головко А. Б. и др. Гидродинамика течения пленки жидкости переменной вязкости. Обзорная информация. Серия «Энерготехнологические процессы в химической промышленности». М.: НИИТЭХИМ. - 1979. - 24 с.

30. Мягков Л. В., Поляк В. Я., Головко А. В., Лекае В. М. Исследование тепло- и массообмена при конденсации серы из серогазовой смеси // Обзорн. инф. М.: НИИТЭХИМ. - 1979. - 40 с.

31. Мягков Л. В., Поляк В. Я., Головко А. В., Лекае В. М. Методика расчета конденсаторов серы // Обзорн. инф. — М.: НИИТЭХИМ. — 1979. 25 с.

32. Морс Ф. Теплофизика. М.: Наука, 1968. - 416 с.

33. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. — М.:Наука, 1985. 680 с.

34. Патанкар С. В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер. с англ. — М.: Энегроатомиздат. — 1984. — 152 с.

35. Патанкар С. В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах: Пер. с англ. Е. В. Ка-лабина; под ред. Г. Г. Янькова. — М.: Издательство МЭИ. — 2003. — 312 с.

36. Петухов Б. С., Генин Л. Г., Ковалев С. А., Соловьев С. Л. Теплообмен в ядерных энергетических установках: Учебное пособие для вузов. — М.: Издательство МЭИ, 2003. 548 с.

37. Рид Р., Праусниц До/с., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. — 1971.

38. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

39. Тепло- и массообмен в неньютоновских жидкостях // Под ред. Лыкова А. В., Смольского Б. М. — М.: Энергия. — 1968. — 287 с.

40. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н. Установившееся течение жидкости с температурной аномалией вязкости // Доклады академии наук. — 2004. Т. 396, №2. - с. 204-207.

41. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н. О влиянии температурной зависимости вязкости на течение жидкости // Нефтегазовое дело. — 2004. — №2. — с. 287-295.

42. Фабелипский И. Л. О макроскопической и молекулярной сдвиговой вязкости // Успехи физических наук. — 1997. — Т. 167, № 7. — с. 721— 733.

43. Филиппов Г. А., Салтанов Г. А., Кукушкин А. Н. Гидродинамика и тепломассообмен в присутствии поверхностно-активных веществ. — М.: Энергоатомиздат, 1998. — 184 с.

44. Фогелъеон Р. Л., Лихачев Е. Р. Температурная зависимость вязкости // Журнал технической физики. — 2001. — Т. 71, вып. 8. — с. 128-131.

45. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2 т. — М.:Мир. 1991. - Т. 1-2.

46. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. — Ленинград: Наука, 1975. 592 с.

47. Хизбуллина С. Ф. Численное моделирование вихревых течений в цилиндрических трубах // Материалы XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. Казань, Россия. — 2004. — Т. 27. с. 218-221.

48. Хизбуллина С. Ф. Численное исследование течения жидкости с немонотонной зависимостью вязкости от температуры // Вестник Башкирского университета. — 2006. — №2. — с. 22-25.

49. Хизбуллипа С. Ф., Киреев В. Н., Урманчеев С. Ф., Кутуков С. Е. Моделирование течения реологически сложной нефти на начальном участке «горячего» трубопровода // Нефтегазовое дело. — 2006. — № 4. с. 259-262.

50. Хизбуллипа С. Ф. Фильтрация аномально термовязкой жидкости в слоисто-неоднородном пласте // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 4 / Под ред. С. Ф. Урманчеева, С. В. Хабирова. — Уфа: Изд-во «Гилем», 2007. — с. 251-257.

51. Шаммазов А. М., Кутуков С. Е., Арсентьев А. А., Самигуллин Г. X., Шматков А. А. Комплексное исследование реологических и адгезионных свойств нефтей в диапазоне температур кристаллизации // Известия ВУЗов. Нефть и газ. 1998. - №4. - с. 63-73.

52. Янг Ван-цзу Конвективный теплообмен при вынужденном ламинарном течении жидкостей в трубах в случае переменной вязкости // Теплопередача. 1962. - № 4. - с. 95-105.

53. Bacon R. F., Fanelli R. // J. Am. Chem. Soc. 1943. - №.65. - p. 639.

54. Braden W. B. A viscosity-temperature correlation at atmospheric presuare for gas-free oils. Annn. Fall Meeting of Soc. Petroleum Engrs, SPE Paper № 1580, 1966.

55. Elbashbeshy E. M. A., Ibrahim F. N. Steady free convection flow with variable viscosity and thermal diffusivity along a vertical plate // Journal of Physics D: Applied Physics. 1993. - V. 26, № 12. - p. 2137-2143.

56. Elbashbeshy E. M. A. Laminar mixed convection over horizontal flat plate embedded in a non-Darcian porous medium with suction and injection // Applied Mathematics and Computation. 2001. - № 121. - p. 123-128.

57. Elbashbeshy E. M. A. The mixed convection along a vertical plate embedded in a non-Darcian porous medium with suction and injection // Applied Mathematics and Computation. 2003. - № 136. - p. 139-149.

58. Elbashbeshy E. M. A., Bazid M. A. The mixed convection along a vertical plate with variable surface heat flux embedded in porous medium // Applied Mathematics and Computation. — 2002. — № 125. — p. 317-324.

59. Green A. E., Naghdi P. M. A new thermoviscous theory for fluids // J. Non-Newtonian Fluid Mechanics. 1995. - № 56. - p. 289-306.

60. Man Chai Chang, Mu Shik Jhon Viscosity and thermodynamic properties of liquid sulfur // Bulletin of the Korean Chemical Society. — 1982. — V. 3, № 4. p. 133-139.

61. Meyer B. Elemental Sulfur // Chemical Reviews. 1976. - V. 76, № 3. - p. 367-387.

62. Pearson J. R. A., Shah Y. Т., Vieira E. S. A. Stability of non-isothermal flow in channels — I. Temperature-dependent Newtonian fluid without heat generation // Chemical Engineering Science. — 1973. — V. 28. — p. 2079-2088.

63. Ratcliff James Todd, Schubert Gerald, Zebib Abdelfattah Effects of temperature-dependent viscosity on thermal convection in a spherical shell 11 Physica. D. 1996. — № 1-3. - p. 242-252.

64. Rigatos A. P., Charalambakis N. C. Two-dimensional adiabatic Newtonian flow with temperature-dependent viscosity // International Journal of Engineering Science. 2001. - № 39. - p. 1143-1165.

65. Sherman F. S. Viscous flow. New York: McGraw Hill Book Co. 1990.

66. Shmidt M., Siebert W., В agnail K. W. The Chemistry of Sulphur, Selenium, Tellurium and Polonium. Pergamon Texts in Inorganic Chemistry. Pergamon Press: Oxford, 1975. - V. 15. - p. 795-1008.

67. The Sulphur Data book / Edited by William N. Tuller. New York: McGraw-Hill Book Company, Inc. — 1954. — 145 p.

68. Urmancheev S. F., Kireev V. N. Influence of heat exchange on structure of anomalous-viscous fluid flow // 5th Euromech Fluid Mechanics Conference EFMC'2003, Toulouse, France, August 24-28, 2003. Book of abstracts, paper № 261.

69. Urmancheev S. F., Kireev V. N. et al. A Numerical investigation of anomalously viscous liquid flowing along the heat exchanger channel // Proceeding of the Third International Conference on Multiphase Flow. — Lyon. 1998. - 6 p.

70. Wilson S. K., Duffy B. R. On the gravity-driven draining of a rivulet of fluid with temperature-dependent viscosity down a uniformly heated or cooled substrate // Journal of Engineering Mathematics. — 2002. — № 42.- p. 359-372.

71. Wu H. W., Tsay W. C., Chou H. M. Transient natural convection heat transfer of fluids with variable viscosity between concentric and vertically eccentric spheres // Int. J Heat Mass Transfer. — 2004. — V. 47, № 8-9.- p. 1685-1700.