Влияние вязкой диссипации на характеристики течения жидкости при заполнении емкостей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Фролов Олег Юрьевич

ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОЙ ДИССИПАЦИИ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ ПРИ ЗАПОЛНЕНИИ ЕМКОСТЕЙ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

28 0КТ 2015

Томск-2015

005563705

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», на кафедре прикладной газовой динамики и горения.

Официальные оппоненты:

Алтухов Юрий Александрович, доктор физико-математических наук, федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», кафедра «Математика и информатика» Барнаульского филиала, профессор

Ткаченко Алексей Степанович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный педагогический университет», кафедра прикладной механики и информатики, профессор

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук

Защита состоится 11 декабря 2015 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.13, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корпус № 10, ауд. 239).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на официальном сайте федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: http:/7wmv.ams.tsu.rll/TSU/Qua!iflcationDep/co-searchers.ns£'newpublicationIl/FrolovOJuU 122015.html

Автореферат разослан «_» октября 2015 года.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Шрагер Геннадий Рафанлович

Ученый секретарь диссертационного совета

Пикущак

Елизавета Владимировна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Процесс заполнения емкостей жидкостью является одной из основных стадий технологии производства изделий методом литья, широко реализуемого в различных отраслях промышленности: химическая индустрия, металлургия, пищевая промышленность и т. п. В частности, в производстве изделий из полимерных композиций методом литья осуществляется заполнение пресс-форм полимерной жидкостью. Течение жидкости в процессе заполнения характеризуется наличием свободной поверхности, в окрестности которой осуществляется фонтанирующее течение. Результаты исследования такого течения впервые были опубликованы W. Rose в 1961 году. Эволюция свободной поверхности при заполнении может способствовать возникновению воздушных полостей внутри и на границах потока, линий спая при смыкании складок на свободной поверхности и т. п., приводящих в конечном итоге к дефектам формуемого изделия. В целях правильной организации технологии производства и прогнозирования качества изделий необходимо детальное исследование процессов физико-химической гидродинамики, реализуемых на различных стадиях переработки полимерных композиций.

Вследствие большой производительности современного перерабатывающего оборудования и высокой стоимости технологической композиции проведение экспериментальных исследований реального процесса переработки композиций превращается в дорогостоящую и продолжительную работу. В связи с этим целесообразно изучать особенности каждого процесса, рассматривая вначале его теоретическое описание, то есть, осуществляя математическое моделирование с привлечением эффективных численных методов, реализуемых на высокопроизводительных вычислительных средствах.

За последние десятилетия было предпринято множество попыток качественного и количественного описания процесса заполнения, реализуемого при переработке полимерных композиций методом литья под давлением. Вначале рассматривались упрощенные математические модели без учета свободной поверхности, позволяющие получать приближенные решения в аналитической форме, либо реализуемые с помощью простых численных алгоритмов. Позднее многие авторы используют метод конечных разностей и метод конечных элементов для исследования изотермического течения при заполнении емкостей в плоской и осесимметричной постановках. Основные результаты, полученные на тот период, представлены в работах D. J. Coyle, Н. Mavridis, Г. Р. Шрагера. К настоящему времени существуют эффективные численные методы расчета течений жидкости со свободной поверхностью такие как: ALE-метод, VOF-метод, метод функции уровня, метод конечных элементов. Использование современных численных методов позволяет реализовывать адекватные математические модели и более точно предсказывать эволюцию свободной поверхности и детали фонтанирующего течения.

Полимерные композиции являются термопластичными или термореактивными материалами, реологические характеристики и фазовое состояние которых зависят от температуры. Неизотермичность процесса заполнения емкостей полимерной жидкостью обуславливается диссипацией энергии в потоке, химическими превращениями, условиями теплообмена на границах. В большинстве исследований влияние диссипа-тивного разогрева на температуру жидкости при заполнении емкостей оценивается рассмотрением течений без учета свободной поверхности. Обзор подобных работ представлен, например, в трудах А. М. Сталина, А. В. Баранова.

Свойства формуемых образцов зачастую характеризуются анизотропией и неоднородностью. Существенную роль в создании морфологии образца играет термомеха-

ническая история элементов жидкой среды, реализуемая на стадии заполнения. За последние десятилетия в этом направлении также выполнено большое количество исследований. В работах 3. Тадмора, Т. Nguyen-Chung, Н. Maviidis, X. Jin, И. А. Глуш-кова обсуждается согласование свойств образца с условиями деформирования жидких элементов в процессе заполнения плоских и осесимметричных емкостей. Вследствие сложной картины течения и изменяющегося температурного режима в процессе заполнения термомеханическая история элементов жидкости разная, что приводит к пространственному распределению свойств материала в образце. Неоднородность формуемого образца может быть обусловлена разбросом свойств жидкой композиции на входе заполняемой емкости. В связи с этим для прогнозирования пространственного изменения свойств образца необходимо также знать топограмму распределения порций жидкости, поступающих в емкость в разные моменты времени.

Актуальность предлагаемого исследования определяется не только многообразием режимов течения жидкости со свободной поверхностью, но и многочисленными практическими приложениями рассматриваемых явлений и, как следствие, необходимостью создания средств для их физического и математического моделирования в целях отработки технологий различного назначения.

Цель работы - изучение влияния вязкой диссипации на характеристики течения жидкости при малых числах Рейнольдса в процессе заполнения емкостей.

Реализация сформулированной цели сводится к решению следующих задач:

• разработка конечно-разностной вычислительной методики расчета течений несжимаемой вязкой жидкости со свободной поверхностью с учетом диссипативного разогрева в плоской и осесимметричной постановках;

• исследование влияния диссипативного разогрева на кинематические и динамические характеристики течений, формирование тепловых полей при заполнении плоского канала и круглой трубы ньютоновской жидкостью;

• исследование влияния кинематики течения на особенности деформирования и ориентации элементов жидкой среды в потоке во время заполнения круглой трубы.

Научная новизна:

• сформулирована математическая постановка задачи о плоском и осесимметрич-ном неизотермическом течении вязкой несжимаемой жидкости с учетом диссипативного разогрева, зависимости вязкости от температуры и наличия свободной поверхности, реализуемого при заполнении емкостей;

• разработан алгоритм расчета рассматриваемого гидродинамического процесса на основе модифицированного конечно-разностного метода расчета течений вязкой жидкости со свободной поверхностью;

• получены результаты параметрических исследований, демонстрирующие влияние вязкой диссипации на кинематические и динамические характеристики течений, формирование тепловых полей, деформацию и ориентацию элементов жидкой среды в процессе заполнения плоского канала и круглой трубы. Выписаны критериальные зависимости, определяющие характеристику свободной поверхности и длину зоны фонтанирующего течения в зависимости от соотношения гравитационных и вязких сил в потоке для рассматриваемых процессов в изотермических условиях.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость результатов, полученных при решении рассматриваемой проблемы, определяется созданием средств математического моделирования, позволившим получить новые знания, способствующие более глубокому пониманию процессов физико-химической

гидродинамики со свободной поверхностью. Результаты расчетов, разработанные вычислительные методики и программный комплекс могут использоваться при выборе технологического регламента и конструировании соответствующего оборудования в производстве изделий методом литья на таких предприятиях, как АО «Федеральный научно-производственный центр «Алтай» (г. Бийск, Алтайский край), ФГУП «Федеральный центр двойных технологий «СОЮЗ» (г. Дзержинский, Московская обл.), АО «Научно-исследовательский институт полимерных материалов» (г. Пермь) и в других организациях, где реализуется переработка жидких сред методом литья.

Работа О. Ю. Фролова выполнялась в рамках следующих НИР:

• грант РФФИ «Скольжение-прилипание на твердой стенке, его влияние на характер течения неньютоновской жидкости в каналах» № 12-08-310003;

• грант РФФИ «Разработка теоретических основ технологии формования изделий из высокоэнергетических полимерных композиций с учетом их реологических и термохимических свойств для обеспечения эффективного и безопасного производства» № 12-08-00313;

• грант РФФИ «Моделирование растекания и смачивания применительно к технологии переработки полимерных композиций методом литья» № 15-08-02256;

• государственное задание «Разработка теоретических основ технологии проектирования новых материалов и энергетических установок» № 7.3960.2011;

• государственное задание «Формулировка математических моделей механического поведения материалов элементов конструкций твердотопливных энергетических установок, гидродинамических, химических и теплофизических процессов для моделирования формования зарядов РДТТ из литьевых топливных композиций, газодинамики продуктов сгорания в трактах твердотопливных двигателей» № 2014/223 (код проекта 1943);

• федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» в 2009-2013 годах № 14.В.37.21.0419;

• хоздоговорная работа с ФГУП «Федеральный центр двойных технологий «СОЮЗ» «Разработка требований к технологическому оборудованию для обеспечения стабилизации эксплуатационных показателей на основе математических моделей и прикладных алгоритмов для управления технологическими процессами смешения и формования СТРТ»№ 1058 от 21.01.2013 г.;

• хоздоговорная работа с ФГУП «Федеральный центр двойных технологий «СОЮЗ» «Разработка методов определения параметров модельных двигателей на основе математических моделей и критериев подобия для применения при отработке характеристик натурных РДТТ» № 1229/1051-14 от 01.03.2014 г.;

• хоздоговорная работа с АО «Федеральный научно-производственный центр «Алтай» «Моделирование заполнения пресс-форм при формовании изделий из высокоэнергетических полимерных композиций методом свободного литья» № 1003-14 от 21.04.2014 г.

Методы исследования. Теоретические исследования проводятся методом математического моделирования рассматриваемых процессов в его традиционном исполнении, а именно, анализ физического содержания, формулировка математической модели, разработка метода решения и создание программы для ЭВМ, проведение параметрических исследований.

Положения, выносимые на защиту:

• конечно разностный алгоритм расчета течения ньютоновской несжимаемой вязкой жидкости для расчета плоских и осесимметричных течений с учетом диссипации механической энергии и наличия свободной поверхности;

• результаты численного моделирования процессов заполнения плоского канала и круглой трубы для постановок задач с различными граничными и начальными условиями, в зависимости от значений определяющих безразмерных параметров;

• результаты численного исследования термомеханической истории элементов жидкой среды, возникающей при заполнении круглой трубы.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов исследования обеспечивается обоснованностью физического содержания исследуемых процессов, использованием базовых уравнений физико-химической гидродинамики и подтверждается тестовыми расчетами, согласованием полученных результатов с данными вычислительного и физического экспериментов других авторов.

Апробация результатов исследования. Результаты выполненной научно-исследовательской работы были представлены для обсуждения научной общественности на Всероссийской молодежной научной школе «Химия и технология полимерных и композиционных материалов» (Москва, 2012), XTV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Томск, 2013), X Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2014), V Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2014), 53 Международной научной студенческой конференции МНСК-2015: Физика сплошных сред (Новосибирск, 2015), IV Международной научно-технической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Высокие технологии в современной науке и технике» (Томск, 2015), XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015).

Публикации. Основные научные результаты, содержащиеся в диссертации О. Ю. Фролова, достаточно полно изложены в 11 опубликованных работах, в том числе 4 статьи в журналах, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук (из них 2 статьи в российских журналах, переводные версии которых включены в базы данных Scopus и Web of Science), 1 свидетельство на программу для электронных вычислительных машин, 6 публикаций в сборниках материалов международных и всероссийских научных конференций.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации включает введение, три главы, заключение, список литературы из 137 наименований, изложен на 108 страницах, содержит 37 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность и степень разработанности выбранной темы исследования в области численного моделирования течений со свободными границами в приложении к технологическому процессу формования изделий методом литья. Сформулированы цель, задачи, научная новизна, теоретическая и практическая

значимость, методы исследования. Приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе на основе литературных данных представлены сведения о методах вычислительной гидродинамики, касающихся моделирования течений жидких сред со свободной границей. Также разъясняется суть основных стадий процесса заполнения пресс-формы и трудностей, возникающих при их компьютерном моделировании.

На сегодняшний день не реализована математическая постановка задачи, которая полностью бы учитывала все физические особенности литья под давлением.

Моделирование стадии заполнения требует адекватного описания её физического содержания и соблюдения сложных граничных условий на свободной поверхности.

Процесс литья под давлением характеризуется наличием фронта свободной поверхности полимера, заполняющего пресс-форму. Форма подвижной границы, оказывая влияние на характеристики течения, в свою очередь может претерпевать значительные изменения вследствие расширений, сжатий, разделений на части и столкновений. Физические явления, вовлеченные в такие процессы, накладывают жесткие требования на аналитические, численные и экспериментальные подходы, используемые в их исследовании. Среди отечественных исследователей в гидродинамике жидкости со свободными границами следует отметить работы В. В. Пухначева, А. М. Липанова, В. К. Булгакова, М. Ю. Альеса, И. К. Березина, К. А. Чехонина, И. М. Васенина, Г. Р. Шрагера, В. А. Якутенка, А. Н. Козлобродова, А. П. Нефедова, Е. И. Борзенко, М. А. Пономаревой и других.

В конце первой главы отмечается, что явление фонтанирующего течения, возникающего в окрестности движущейся свободной границы, в настоящее время хорошо изучено с точки зрения механики жидкости, и стали очевидны различия в численной реализации моделей течения для областей с различной геометрией. Внимание должно быть уделено выбору способа дискретизации расчетной области и методу восстановления свободной границы.

Во второй главе рассматривается конечно-разностный метод, основанный на методе контрольного объема и методе инвариантов для расчета переменных внутри области течения и на свободной поверхности соответственно.

Область решения покрывается квадратной разнесенной разностной сеткой. На рис. 1 показан заштрихованный контрольный объем расчетного узла для давления в двумерной постановке задачи. Уравнения движения и неразрывности для вязкой несжимаемой жидкости в размерных переменных принимают вид

Рис. 1. Контрольный объем для узла давления

1(Р у)+А(р„У)+А(руу)=-ёга(1(Р)+А т~(р")+^-(ру)+«р—=°>

-1- ск,

В

—1 + —

дх,) дх2

В

ЭУ

Эх

дх,

(1)

где р — плотность; t — время; V = (и, v)— вектор; и, v - составляющие вектора скорости в направлениях jci и х2; р - гидродинамическое давление; В - вязкость; Si - вектор ис-точникового слагаемого; а — признак, определяющий тип математической постановки (а = 0 — плоское приближение, а = 1 — осесимметричное приближение).

Для нахождения полей скорости записываются дискретные аналоги проекций уравнения движения (1) на оси Xi и х2. Для достижения сходимости в рамках одного итерационного цикла используется расчетная процедура SIMPLE, которая предусматривает расчет полей скоростей на фиксированных полях давлений с последующей коррекцией скоростей и давления на основании удовлетворения уравнению неразрывности (2).

Для расчета поля температуры внутри области течения используется дискретный аналог уравнения теплопроводности

эг'

f(cpr)+A(cp*r)+A(cpvr)=.

э э

Эх, ^_ Эх2

Эх,

+ S2,

где с — удельная теплоемкость; р — плотность; Т — температура; к — коэффициент теплопроводности; 5г — источниковое слагаемое.

Для расчета скоростей частиц на свободной поверхности используется метод инвариантов. На рис. 2 показана схема расположения маркеров свободной поверхности.

В расчетных узлах свободной границы вводится локальная декартова система координат (и, я, а). Ось и направлена по внешней нормали к свободной поверхности, оси я, а — касательные к ней. Нормаль к узлу к проводится перпендикулярно прямой, соединяющей два соседних узла к-1 и к+1.

Условие отсутствия касательного напряжения и уравнение неразрывности на свободной поверхности переписываются в виде

Рис. 2. Схема расположения расчетных узлов на свободной поверхности

dQ | dQ | и дп д.у

. ЭR dR и п

= 0, ---— + а— = 0,

х, dn ds х,

нормальная и касательная составляющая вектора

где (2 = и„ + и,, Я = и„ - и5, и„, и, скорости.

Используя разностные аналоги последних уравнений, получаем формулы для расчета () и Я в к-ом расчетном узле свободной границы. Далее, после расчета (), Я находим и„, и5 и составляющие вектора скорости в системе координат х2). Давление и температура на свободной границе определяются из разностных аналогов условий нулевого теплового потока и равенства нормального напряжения внешнему давлению.

В третьей главе представлена физико-математическая модель заполнения плоского канала и круглой трубы, а также результаты численных исследований.

Рис. 3. Область решения

Рассматривается заполнение вертикального канала несжимаемой жидкостью в поле силы тяжести с учетом диссипативного разогрева, зависимости вязкости от температуры и наличия свободной поверхности. Область решения в системе координат (xi, х2) изображена на рис. 3. Математическую основу описания течения образуют уравнения движения, неразрывности и энергии, которые в безразмерном виде запишутся следующим образом:

Re= —Vp+V■ (2ВЕ) + W, V-V = 0, di

Ре^ = Д0+С,-2В-/2, S = e"C2°,

где V = (i/,v)- безразмерный вектор скорости; р - безразмерное давление; t - безразмерное время; W = {О, W} - безразмерный вектор; 9 = (Т - Т0)/Т0 - безразмерная температура; В - безразмерная вязкость; Т, Г0 - размерная температура жидкости в потоке и на твердой стенке соответственно; /2 = е,/?,,- - безразмерный второй инвариант тензора скоростей деформаций Е; V, Д - дифференциальные операторы; Re = рUL/\i0 - число Рейнольдса; W = ç>gL2/p.0U - параметр, характеризующий отношение гравитационных и вязких сил; Ре = cpULA - число Пекле; Ci = (loi/ГкТй - безразмерный параметр, характеризующий соотношение диссипативного разогрева и кондуктивного переноса тепла; С2 = рГо - безразмерный параметр экспоненциальной зависимости вязкости от температуры; До - вязкость при температуре Г0; g - ускорение силы тяжести; р - константа. В качестве масштабов обезразмеривания выбраны следующие величины: длины - ширина канала (радиус трубы) L; скорости - среднерасходная скорость во входном сечении U\ давления - величина \ioU/L, вязкости - вязкость |ifJ.

На входной границе П задаются распределения скорости и температуры в соответствии с используемой физической постановкой: и = 0, v = Цх,), 0 = <p(xi). На твердой стенке Г2 выполняется условие прилипания, а температура совпадает с температурой стенки: и = 0, v = О, G = 0. На оси симметрии Г3 выполняются условия симметрии:

и = 0, — = 0, — = 0, — = 0. На свободной поверхности Г4 в качестве граничных ус-Эх, Эх, Эх,

ловий используются отсутствие касательного напряжения, равенство нормального напряжения внешнему давлению, нулевой тепловой поток:

= р = 2В——, — = 0. Движение свободной границы Г4 осуществляется в ds дп Ъп д п

соответствии с кинематическим условием, которое в лагранжевом представлении за-

dv, dx, писывается в виде —- = и, —- = v.

df dr

Предполагается, что свободная поверхность накатывается на твердую стенку, и динамический краевой угол равен л, при этом силы поверхностного натяжения не учитываются. В начальный момент времени канал частично заполнен жидкостью.

Для численного решения сформулированной задачи применяется конечно-разностный метод, описанный в главе 2. Поле скоростей вычисляется с применением экспоненциальной схемы, а температуры - с использованием противопоточной схемы.

Тестирование методики расчета проводилось на задаче о течении жидкости в плоском канале и круглой трубе с заданным расходом с учетом диссипативного разогрева и экспоненциальной зависимости вязкости от температуры. На входе в канал (трубу) задавались параболический профиль для скорости и нулевая температура, а на выходе соблюдались мягкие граничные условия. На рис. 4 представлено сравнение распределения скорости и температуры на выходе из круглой трубы, полученных численным методом, с полуаналитическим решением одномерной эквивалентной задачи (Химическая гидродинамика : справочное пособие / А. М. Кутепов [и др.]. М., 1996. 336 е.).

1 Ах,

^ 2

С

Рис. 4. Профили скорости (а) и температуры (б) в выходном сечении круглой трубы при Re = 0.001, Ре = 1000, С[ = 2, С2 = 0.8704: 1,2- шаг сетки 1/10, 1/40; 3 - аналитическое решение

Хорошее согласование подтверждает достоверность методики. Проверка аппрок-симационной сходимости на квадратных сетках позволила во всех дальнейших расчетах использовать шаг сетки, равный 1/40. Максимальное *х2 значение шага по времени ограничивается условием j Куранта.

В качестве характеристики свободной границы рассматриваемого течения используется параметр X - Ax2!L, показывающий местоположение точки В на линии симметрии относительно точки С на линии трехфазного контакта (рис. 5).

На рисунке 6, а представлена зависимость х от W для изотермического и неизотермического течений при заполнении плоского канала, а на рисунке 6, б - при заполнении круглой трубы.

Полученные результаты для изотермического случая (/) сравниваются с данными работы (Mitsoulis Е. Fountain flow revisited: The effect of various fluid mechanics parameters // AIChE Journal. 2010. Vol. 56, iss. 5. P. 1147-1162). Сопоставление зависимости %(W) с данными зарубежного автора показывает согласование результатов. Наблюда-

10

В

Рис. 5. Фронт свободной поверхности

ется существенное влияние параметра на величину % в рассматриваемом диапазоне изменения Кривая /, полученная в результате расчетов для плоского канала (рис. 6, а), аппроксимируется выражением вида %= (1.11—0.26\¥°*')~1. Для круглой трубы кривая 1 (рис. 6, б) аппроксимируется выражением вида х = О-24 + 0.21\У1Ш)"1 со средней величиной отклонения, не превышающей 1.1% в рассматриваемом диапазоне изменения XV.

0.45

Рис. 6. Зависимость характеристики ^ от W при Re = 0.01: 1 - изотермический случай, 2 - изотермический случай (Mitsoulis Е.); 3 -С, =1 при Ре = 100 и С2 = 1.33 (а - плоский канал), С2 = 0.87 (б-крутлая труба); 4-С i =2 при Ре = 100 и С2 = 1-33 (а - плоский канал), С2 = 0.87 (б - круглая труба)

На рис. 7 показана эволюция характеристики фронта свободной поверхности вдоль трубы и представлено сравнение с численными и экспериментальными данными работы (Behrens R. A. Transient free-surface flows: Motion of a fluid advancing in a tube / R. A. Behrens [et al.] // AIChE Journal. 1987. Vol. 33, iss. 7. P. 1178-1186.). Наблюдается удовлетворительное согласование результатов. Слабые колебания в поведении кривых, полученных в результате расчетов, как в работе зарубежных авторов, так и в настоящей диссертации, связаны с дискретным характером движения контактной точки С. Тем не менее, наблюдается квазиустановление формы свободной границы.

На рис. 8, а и б показаны зависимости безразмерной длины зоны двумерного те-

0 2.5 5

Рис. 7. Формирование фронта свободной поверхности вдоль трубы: /, 2,3,4- экспериментальные данные [Behrens R. А.], 5 - численное решение [Behrens R. А.]; 6 - Re = 0.01, W = 0

чения /2Г) от для изотермического и неизотермического течений в плоском и осе-симметричном приближениях соответственно. Здесь предполагается, что зона дву-

мерного течения начинается с сечения х2 = const, в котором максимальное значение поперечной (радиальной) скорости достигает величины 0.001. Длину области двумерного течения определяем как расстояние от вершины фронта потока до этого сечения. Значение рассматриваемой характеристики в изотермическом случае асимптотически стремится к постоянной величине с увеличением W. Кривая I, демонстрирующая эту зависимость в плоском приближении (рис. 8, а), аппроксимируется выражением вида 1гв = 1.42 + 0.79exp(-0.24W), в осесимметричном приближении (рис. 8, б) - выражением вида lw = 1.39 + 0.68ехр(-0.14W) со средней величиной отклонения 1.7%.

Рис. 8. Длина зоны двумерного течения при Яе = 0.01, Ре = 100, Сг = 1.33 (а - плоский канал), С2 = 0.87 (б - круглая труба): 1 - С1 = 0; 2-С, = 1; 3 - С, = 2

Для демонстрации влияния неизотермичности за счет диссипативного разогрева на характеристики течения при заполнении плоского канала и круглой трубы проведены параметрические исследования нестационарного неизотермического течения для раз- : личных начальных и граничных условий на входной границе Г). Вначале используется | постановка задачи, в которой на входной границе задается параболический профиль I продольной (аксиальной) скорости, соответствующий одномерному изотермическому течению, а температура равна температуре стенки. В качестве начальных условий ис- 1 пользуются нулевые распределения скорости и температуры. Интенсивность вязкой диссипации в потоке определяется значением параметра С,. Поля температуры, вязкости, давления и скорости для двух значений параметра С, при прочих равных условиях, соответствующие заполнению круглой трубы представлены на рис. 9. Поступающая в канал жидкость разогревается за счет вязкой диссипации, причем зона повышенной температуры формируется на некотором удалении от твердой стенки, где дис- ) сипативная функция достигает наибольших значений. Соответствующее распределе- 1 ние вязкости приводит к формированию двумерного течения во всей области.

Влияние значения числа Пекле на характер распределения температуры и вязкости I в потоке при заполнении круглой трубы в момент времени / = 8 демонстрирует рис. 10.

_ 11111!

О 0.2 0.6 1 1.4 1.6 1.8 2 Рис. 9. Изолинии температуры, вязкости, давления и скорости при Яе = 0.01, \У = 10, Ре = 100,

5

ияш

Рис. 10. Изолинии температуры и вязкости при Яе = 0.01, \¥ = 10, = 1, С2 = 0.87,1 -а, в-Ре = 100; б, г-Ре = 1000

Наряду с рассмотренной поставленной задачей реализуется математическая модель, в которой жидкость поступает в плоский канал и круглую трубу с постоянным расходом и температурой, равной температуре стационарного неизотермического потока жидкости в бесконечном канале (круглой трубе) с учетом диссипации механической энергии и зависимости вязкости от температуры. Граничные условия для скорости на входе и начальное распределение скорости и температуры соответствует такому течению.

На рис. 11 продемонстрировано влияние параметра интенсивности диссипации С] на характеристики течения в круглой трубе при прочих равных условиях. Характер распределения изолиний показывает, что и в этом случае поток можно разделить на две зоны течения аналогично изотермическому приближению. Размер области двумерного течения увеличивается с ростом параметра С[. Наблюдается незначительное увеличение температуры в окрестности свободной поверхности. С уменьшением вязкости интенсивность растекания жидкости к твердым стенкам в окрестности свободной границы растет, поэтому значение % уменьшается с увеличением С]. Перепад давления в потоке также падает с ростом С] вследствие уменьшения вязкости.

0.5

I 21 9 2 45

И 2.2 — 2

— 1.75

— 1.6

— 1.435

— 1.4 В 1.33 —> 1.2

Й0.7

Г

0

Рис. 11. Изолинии температуры, вязкости, давления и рис ¡2, Изолинии темпе-

скорости при Яе = 0.01, ЛУ = 10, Ре = 100, С2 = 0.87, ратуры при Яе = 0.01, ЧГ = 10,

8: а, в, д, ж - С] = 1; б, г, е, з - С, = 2 Ре = 5,0, = 2, С2 = 0.87, /= 8

Было сделано предположение, что если в рамках первой постановки задачи при значениях определяющих параметров, допускающих существование стационарного решения, предположить установление квазистационарного режима заполнения, то при достаточно больших временах в передней части потока, по-видимому, сформируется

течение, описываемое в рамках второй рассматриваемой постановки. Выполненные расчеты подтверждают сделанное предположение. На рис. 12 представлены распределения температуры, полученные в рамках первой (рис. 12, б) и второй (рис. 12, а) постановках задачи при заполнении жидкостью круглой трубы.

Описанная кинематика течения позволяет объяснить деформацию и ориентацию выделенного элемента жидкости в потоке в процессе заполнения. На рис. 13 показана эволюция элемента жидкости, находящегося около оси во входном сечении в начальный момент времени, для изотермического течения.

1

6.6

5.4

\

7.9

6.9

(6)

1 0.4

5.9

12.5

9.5

4

3

- :

1

(г)

: Рис. 13. История деформации элемента жидкости для изотермического течения: а - 0 < I < 4; б-5<Г<7;в-8</<16;г:./ —/=17;.2-/=19;3-? = 29;'/-/ = 39

I Вначале, элемент жидкости растягивается в соответствии с характером сдвигового течения в зоне одномерного движения. Точки элемента, которые ближе к оси, двигаются быстрее и первыми догоняют фронт потока. Распределение радиальной скорости в зоне фонтанирующего течения обуславливает движение жидких частиц к стенке трубы. В дальнейшем элемент жидкости вытягивается вдоль стенки, постепенно отставая от фронта потока. На этом этапе движения элемент жидкости, вытягиваясь, совершает поворот и попадает в область сдвигового течения в окрестности стенки. Далее, в соответствии со сдвиговым течением, жидкий элемент деформируется с образованием V-образной формы, и в конечном итоге вытягивается вдоль стенки. Полученные результаты полностью согласуются с расчетными и экспериментальными данными других авторов (Mavridis Н. Finite element studies in injection mold filling : thesis Ph. D. Hamilton, 1988. 202 p.). Фонтанирующее течение обуславливает поворот элемента с одновременным перемещением к стенке. Деформация и ориентация жидкого объема при заполнении трубы в неизотермических условиях показывает, что учет вязкой диссипации вносит лишь количественные изменения в результаты расчетов, сохраняя качественное поведение элементов жидкости.

Для получения картины распределения порций жидкости, поступающих в трубу в разные моменты времени, используются ансамбли частиц-маркеров, не обладающих массой и разделяющих соседние порции жидкости. На рис. 14 представлена эволюция

топограммы распределения порций жидкости, поступающих в трубу через промежуток времени Ar = 1, для изотермического течения. Правая линия являющаяся свободной границей, вначале деформируется в параболу (t = 1, t = 2), затем принимает грибовидную форму (/ = 3, t = 4) и окончательно принимает характерную V-образную форму (/ > 4). Подобная эволюция реперной линии была описана ранее другими авторами, например, в работе (Vos Е. Multilayer injection molding / Е. Vos, H. E. H. Meijer, G. W. M. Peters // International Polymer Processing. 1991. Vol. 6, iss. 1. P. 42-50.).

Рис. 14. Эволюция топограммы распределения порций жидкости для изотермического течения

0_ 2 4 6 8 10

Рис. 15. Топограммы массораспределения в момент времени t = 8: а - изотермическое течение;

б — неизотермическое течение

Для заполнения с учетом вязкой диссипации наблюдается повторение качественного поведения реперных поверхностей. Количественное различие картин массораспределения в момент времени t = 8 демонстрируется на рис. 15.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Сформулирована математическая модель, описывающая неизотермическое течение вязкой жидкости со свободной поверхностью в плоском канале и круглой трубе с учетом зависимости вязкости от температуры и диссипации механической энергии.

2. Для решения поставленной задачи модернизирован конечно-разностный метод, объединяющий алгоритм SIMPLE и метод инвариантов для нахождения искомых переменных внутри области течения и на свободной поверхности соответственно.

3. Проведены параметрические исследования кинематических характеристик потока в зависимости от определяющих безразмерных критериев. Подтверждается зависимость формы свободной поверхности от соотношения гравитационных и вязких сил в потоке x(W), полученная с использованием стационарной постановки задачи для изотермического течения. Результаты расчетов для изотермических условий согласуются с экспериментальными данными. Получена функциональная зависимость %(W), аппроксимирующая результаты численных расчетов.

Продемонстрировано разделение потока жидкости на зону двумерного течения в окрестности свободной границы и одномерное течение вдали от нее для изотермического течения и для неизотермического, когда начальное распределение скорости и температуры соответствует стационарному решению. Показано асимптотическое уменьшение размера области двумерного течения с ростом W. Получена функциональная зависимость /(W), аппроксимирующая результаты численных расчетов. Представлены картины течения для постановок задач с различными граничными и начальными условиями.

4. Представлены распределения скорости, температуры, вязкости и давления в зависимости от основных определяющих параметров для разных температур жидкости, поступающей в круглую трубу. Выявлена зависимость рассматриваемых характеристик потока от интенсивности диссипации механической энергии, степени зависимости вязкости от температуры, чисел Рейнольдса и Пекле и числа, характеризующего отношение гравитационных и вязких сил. Показаны особенности формирования характеристик потока для разных начальных и граничных условий на входной границе.

5. Показано влияние кинематики течения на особенности деформирования и ориентации жидких элементов в потоке. Продемонстрирована роль вязкой диссипации в формировании термомеханической истории поведения жидких элементов при заполнении. Результаты численных расчетов демонстрируют влияние вязкой диссипации на деформацию и ориентацию элементов жидкости в процессе заполнения трубы и способствуют пониманию и прогнозированию морфологии формуемых образцов.

СПИСОК ТРУДОВ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

Статьи в журналах, включенных в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук:

1. Борзенко Е. И. Фонтанирующее неизотермическое течение вязкой жидкости при заполнении круглой трубы / Е. И. Борзенко, О. Ю. Фролов, Г. Р. Шрагер // Теоретические основы химической технологии. - 2014. - Т. 48, № 6. - С. 677-684. - 0.97 / 0.4 п.л.

в переводной версии журнала:

Borzenko Е. I. Fountain Nonisothermal Flow of a Viscous Liquid during the Filling of a Circular Tube / E. I. Borzenko, O. Yu. Frolov, G. R. Shrager // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. - 2014. - Vol. 48, iss. 6. - P. 824-831.

2. Борзенко E. И. Фонтанирующее течение вязкой жидкости при заполнении канала с учетом диссипативного разогрева / Е. И. Борзенко, О. Ю. Фролов, Г. Р. Шрагер // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2014. - № 1. -С. 44-53.-0.81 /0.29 п.л.

в переводной версии журнала:

Borzenko Е. I. Fountain viscous fluid flow during filling a channel when taking dissipa-tive warming into account / E. I. Borzenko, O. Yu. Frolov, G. R. Shrager// Fluid Dynamics. -2014.-Vol. 49, iss. l.-P. 37-35.

3. Борзенко E. И. Численное моделирование течений вязкой жидкости со свободной поверхностью / Е. И. Борзенко, Д. Р. Масалимов, О. Ю. Фролов, Г. Р. Шрагер // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2013. - Т. 56, № 6/3. - С. 95-98. -0.35 / 0.08 п.л.

4. Борзенко Е. И. Граничные условия в окрестности движущейся линии трехфазного контакта / Е. И. Борзенко, О. Ю. Фролов, Г. Р. Шрагер // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2013. - Т. 56, № 6/3. - С. 98-101. - 0.35 / 0.11 п.л.

Свидетельство на программу для электронных вычислительных машин:

5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015614591. Программа расчета кинематических, динамических характеристик потока и полей температуры при заполнении круглой трубы вязкой жидкостью. Правообладатель: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет». Авторы: Борзенко Е. И., Фролов О. Ю., Шрагер Г. Р. Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 21 апреля 2010 г.

Публикации в других научных изданиях:

6. Фролов О. Ю. Численное моделирование заполнения круглой трубы в неизотермических условиях / О. Ю. Фролов, Г. Р. Шрагер // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики : сборник трудов. Казань, 20-24 августа 2015 г. - Казань, 2015. - С. 3947-3949. - 0.34 / 0.17 пл.

7. Фролов О. Ю. Кинематика течения и деформация элементов жидкости при неизотермическом заполнении круглой трубы / О. Ю. Фролов, Г. Р. Шрагер // Физика сплошных сред : сборник материалов 53 Международной научной студенческой конференции (МНСК-2015). Новосибирск, 11-17 апреля 2015 г. - Новосибирск, 2015. -С. 79.-0.06/0.04 п.л.

8. Борзенко Е. И. Влияние вязкой диссипации на характеристики течения при заполнении емкостей / Е. И. Борзенко, О. Ю. Фролов, Г. Р. Шрагер // Задачи со свобод-

ными границами: теория, эксперимент и приложения : тезисы докладов V Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых. Бийск, 29 июня - 04 июля 2014 г. -Бийск, 2014. - С. 20. - 0.06 / 0.02 п.л.

9. Борзенко Е. И. Кинематика течения и температурные поля при заполнении круглой трубы вязкой жидкостью / Е. И. Борзенко, О. Ю. Фролов, Г. Р. Шрагер // Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии : доклады X Всероссийской конференции молодых ученых. Новосибирск, 23-25 апреля 2014 г. - Новосибирск, 2014. - С. 34-37. - 0.23 /0.16 п.л.

10. Фролов О. Ю. Неизотермическое течение вязкой жидкости со свободной поверхностью при заполнении круглой трубы / О. Ю. Фролов, Е. И. Борзенко, Г. Р. Шрагер // XIV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям : программа и тезисы. Томск, 15-17 октября 2013 г. - Новосибирск, 2013. - С. 32. - 0.12 / 0.08 п.л.

11. Борзенко Е. И. Моделирование фонтанирующего течения высоковязкой жидкости при заполнении плоского канала с учетом диссипативного разогрева / Е. И. Борзенко, О. Ю. Фролов, Г. Р. Шрагер // Химия и технология полимерных и композиционных материалов : сборник материалов Всероссийской молодежной научной школы. Москва, 26-28 ноября 2012 г. - М., 2012. - С. 88. - 0.06 / 0.02 пл.

Подписано в печать 02.10.2015 г. Формат А4/2. Ризография . л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 03-10/15 Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а