Численное моделирование течений реологически сложной жидкости в плоских каналах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ
|
Борзенко, Евгений Иванович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Томск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2009
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ии^а 1497
На правах рукописи
:.....ОЙ
Борзенко Евгений Иванович
Численное моделирование течений реологически сложной жидкости в плоских каналах
01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Томск-2009
003481497
Работа выполнена на кафедре математической ГОУ ВПО «Томский государственный университет»
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
старший научный сотрудник Якутенок Владимир Альбертович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
Воеводин Анатолий Федорович,
Ведущая организация: ФГУП «ФЦДТ «Союз», г. Дзержинский,
Московской обл.
Защита состоится 25 декабря 2009 года в 14-30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина,
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО «Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34а.
доктор физико-математических наук, профессор
Бубенчиков Алексей Михайлович,
36.
Автореферат разослан 6^-- ^ *2009г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук
Ю.Ф. Христенко
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Диссертационная работа посвящена решению фундаментальных и прикладных задач о течениях ньютоновских и неньютоновских сред со свободной поверхностью в плоской постановке. Основой численных исследований рассматриваемых течений является конечно-разностная методика.
Актуальность темы. Исследования течений реологически сложных жидкостей со свободными поверхностями представляют большой интерес для ряда отраслей промышленности и науки. В частности, в отдельный класс можно выделить задачи о заполнении каналов различной конфигурации вязкой жидкостью. Они встречается в технологиях изготовления изделий из полимерных материалов методом свободного литья или литья под давлением на этапах прохождения жидкостью элементов технологической оснастки, в технологиях формования, в металлургии, в пищевой промышленности и во многих других производствах [Глушков И.А., Милехин Ю.М., Меркулов В.М. Банзула Ю.Б. Моделирование формования изделий из свободно литьевых-композиций. - М.: Архитектура-С, 2007. - 362с.]. Таким образом, изучение различных аспектов процесса заполнения является важной практической задачей. В частности, с технологической точки зрения важно определение характерных режимов течения, а также значений параметров, при которых реализуется соответствующий режим. Моделирование гидродинамических процессов течения вязкой жидкости со свободной поверхностью осложнено наличием нелинейных уравнений со сложными граничными условиями и меняющейся во времени областью течения. Дополнительные трудности возникают в связи со сложным реологическим поведением рассматриваемых жидких сред. Аналитическое решение такого класса задач не удается получить даже для простых видов течений.
В связи с этим большое распространение для исследования течений вязкой жидкости со свободной поверхностью получили численные методы. Выбор того или иного метода решения определяется спецификой задачи, а именно, геометрией области течения, значениями определяющих параметров, формой свободной поверхности и некоторыми другими факторами. Также актуально повышение точности расчетов, поэтому появилось много модификаций оригинальных методик. Они направлены на повышения точности расчетов и учет различных физических явлений, таких как силы поверхностного натяжения, краевой динамический угол, сложное реологическое поведение и т.п.
В представленной работе разработана и протестирована конечно-разностная методика решения нестационарных задач течения неньютоновской жидкости со свободной поверхностью. В основе методики лежит совместное использование алгоритма SIMPLE и метода инвариантов. С ее помощью решены задачи о течении реологически сложной жидкости со свободной поверхностью:
1) заполнение плоского канала, расположенного в общем случае наклонно, когда сила тяжести действует против направления движения;
2) заполнение вертикального плоского канала, когда вектор силы тяжести совпадает с направлением движения.
Одними из основных факторов, влияющих на кинематику течения жидкости, являются ее реологические свойства. При моделировании процессов заполнения в данной работе использовались следующие реологические модели: Ньютона, Оствальда - де Виля, Шведова-Бингама. Выбор данных моделей объясняется их простотой и широким распространением в практике моделирования течений неньютоновских сред.
В процессе заполнения канала, когда жидкость подается против направления силы тяжести, существуют режимы с образованием воздушных включений. Впоследствии они могут явиться возможной причиной возникновения дефектов в готовом изделии, что приводит к ухудшению или полному несоответствию изделия заданным техническим параметрам.
В случае заполнения канала при совпадении направления движения и гравитации характерной особенностью является наличие двух режимов: режим полного заполнения и струйный. Первый важен, когда необходимо сплошным образом заполнить сливную систему без образования воздушных полостей. С другой стороны в случае полного заполнения гидродинамическое сопротивление, возникающее за счет условия прилипания на стенках канала, гораздо больше, чем в случае струйного режима, и это может оказаться существенным во многих технологических процессах. Исследование распределений кинематических и динамических характеристик для отмеченных режимов является важным с точки зрения организации технологического процесса.
Целью данной работы является:
- разработка вычислительной методики расчета течений реологически сложной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью на основе конечно-разностных методов;
- исследование процесса заполнения плоского канала вязкой нелинейной жидкостью при ее подаче как сверху вниз, так и снизу вверх; выявление различных режимов заполнения и определение критических параметров, при которых происходит смена режима.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- На основе алгоритма SIMPLE и метода инвариантов разработана методика расчета течений псевдопластичной и вязкопластичной жидкости со свободной поверхностью.
- Проведено численное моделирование процесса заполнения плоского канала в случае, когда сила тяжести направлена против направления движения. Показано влияние основных определяющих параметров на установившуюся форму свободной поверхности. Численные расчеты показали существование режима с образованием воздушных включений на стенках канала. Исследована эволюция квазитвердых ядер при течениях жидкости с пределом текучести.
- Исследовано течение нелинейной жидкости при заполнении плоского канала сверху вниз, то есть когда сила тяжести совпадает с направлением течения. Показано существование трех режимов: режим полного заполнения, переходный режим и струйный режим. Получены значения определяющих параметров, разделяющие отмеченные режимы при различной степени нелинейности. Проиллюстрированы основные различия в кинематике течения при струйном режиме и режиме полного заполнения.
Практическая ценность. Разработанная методика расчета и комплекс программ могут использоваться для исследования динамических процессов на различных стадиях технологий переработки жидких сред со сложным реологическим поведением. Результаты расчетов, представленные в данной работе, могут быть использованы для прогнозирования режимов заполнения плоских каналов при конструировании элементов технологической оснастки.
Работа выполнялась в рамках грантов РФФИ (проекты № 06-08-00107а, 08-08-00064), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» в 2009-2013 годах, договора с ФГУП «ФЦДТ «Союз» (х/д №175 от 04.02.2008г.). В рамках программы «Мобильность молодых ученых» пройдена стажировка в ФГУП «ФЦДТ «Союз» (грант РФФИ № 09-08-90710).
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Конечно-разностная методика, основанная на совместном использовании алгоритма SIMPLE и метода инвариантов, для расчета
течений реологически сложных сред со свободной поверхностью с учетом нестационарности и инерционных эффектов.
2. Результаты численного эксперимента процесса заполнения плоских каналов жидкостью при ее подаче; против действия силы тяжести и при совпадении направления движения и гравитации.
3. Результаты расчета параметров задачи, определяющих режим заполнения канала, а также особенности этих режимов.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на международной школе-конференции молодых ученых «Физика и химия наноматериалов» (Томск, 2005); на V Международной научной конференции «Хаос и структуры в нелинейных структурах. Теория и эксперимент» (Астана, 2006); на VI Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2007); на Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2007); на IV, V Всероссийских конференция молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2008, 2009); на второй Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные науки и образования» (Бийск, 2008); на 3-ей Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008); на VI Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трудах вышеперечисленных конференций, а так же в журналах «Известия РАН. Механика жидкости и газа», «Fluid Dynamics», «Математическое моделирование». Всего по материалам диссертации опубликовано 13 работ [1-13].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы. Работа изложена на 99 страницах, содержит 40 рисунков, список литературы включает 130 наименование.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость математического моделирования движения неньютоновских сред со свободной поверхностью. Сформулированы цель и основные задачи исследований, представлены положения, выносимые на защиту.
В первой главе приведен обзор численных методов расчета течений ньютоновской жидкости со свободной поверхностью, а также алгоритмов расчета течений реологически сложных сред.
Во второй главе рассмотрена численная методика, основанная на совместном использовании алгоритма SIMPLE и метода инвариантов, для решения задач динамики неньютоновских жидкостей. Ее суть заключается в следующем. Область 0.t покрывается конечно-разностной разнесенной сеткой. Относительно свободной поверхности контрольные объемы узлов могут занимать положения, обозначенные на рис.1 цифрами 1, 2, 3, 4. В узлах типа 1 функции u,v и поправка давления вычисляются в соответствии со стандартной процедурой метода SIMPLE с использованием экспоненциальной схемы и метода Гаусса-Зейделя. Узлы типа 2 требуют дополнительной интерполяции с использованием значений рассчитываемой функции на свободной поверхности. В узлах, расположенных подобно узлам 3, искомые переменные вычисляются линейной интерполяцией по значениях! в соседнем узле и значению в соответствующей точке свободной границы. В узлах типа 4 вычисления не проводятся.
к-2 J 4 j 4 X Г
" X xjr-
X X 2 * / А' / Д5Л- <Vnt X 1 X \
X X X X X
X 1 X X X X X \
Рисунок 1 — Расчетная сетка
Метод инвариантов заключается в следующем. В начальный момент времени на границе располагается заданное количество маркеров на одинаковом расстоянии друг от друга. Условие отсутствия касательных напряжений и уравнение неразрывности записываются
совместно с использованием новых переменных С> = у„ + у5 , Я = уп - у5 , где у„ , у8 - нормальная и касательная составляющие вектора скорости. Это приводит к необходимости решения следующей системы уравнений:
Зп &
да Эб
Для численного решения этих уравнений используется разностная схема бегущего счета. При этом необходима организация итерационного процесса, так как уравнения записаны в локальной декартовой системе координат. Давление на свободной поверхности (в точках, соответствующих положению маркеров) вычисляется с помощью разностного аналога условия равенства нормального напряжения внешнему давлению.
Новое положение свободной поверхности на следующем шаге по времени вычисляется в соответствии с кинематическим условием по разностной схеме Эйлера. При попадании маркера на твердую стенку линия трехфазного контакта занимает новое положение. Таким образом, моделирование процесса натекания жидкости на стенку подобно движению «тракторной гусеницы».
Третья глава посвящена численному моделированию процесса заполнения плоского канала вязкой жидкостью в случае, когда сила тяжести противоположна направлению движения. Канал в общем случае расположен под углом а.
В 3.1. приведена постановка задачи. Течение неньютоновской жидкости в поле силы тяжести описывается уравнениями сохранения количества движения и массы, которые в безразмерной форме имеют вид
Яе
Эи Эи Эи ) Зр П1 _ ЭВ Эи ЭВ — + и — + у— =—-+ВДи + 2--+
Яе
& дх ду) дх дх дх ду
Эу д\ ду\ Эр „5В5у ЭВ + и — + у— =—-+ВАу + 2--+
Эи Э\Л — +— ,
ду дх) х
ч
д1 дх ду) ду ду ду дх
(ду Эил дх ду
Эи дм . _ +— = 0, ох ду
где (и,у) - компоненты вектора скорости, (х,у) - декартовы координаты, р - давление, 1- время. Значение эффективной вязкости В определяется
следующим законом B = (Se + Ak)/A , где А - второй инвариант тензора скоростей деформаций, к - степень нелинейности.
В качестве масштаба скорости используется среднерасходная скорость во входном сечении U, масштаба длины - половина расстояния между стенками L. В задачу входят три безразмерных комплекса, являющиеся числами подобия для данной задачи:
Re = pU2~k Lk / ц - обобщенное число Рейнольдса, характеризующее отношение конвективных и вязких сил в потоке жидкости; Se = T0Lk/((iUk) - безразмерный параметр вязкопластичности; W = pLk+1g/pUk - параметр Стокса, характеризующий отношение вязких и гравитационных сил, где р - плотность жидкости, ц -константа реологического закона, т0 - предел текучести. Во всех вычислительных экспериментах под W подразумевается длина вектора W, а его проекции равны Wx = W sin а, Wy = - W cos а.
t У
В начальный момент времени плоский канал, расположенный под углом а, считается частично заполненным жидкостью. Свободная поверхность имеет плоскую горизонтальную форму (рис. 2). Входная граница Г] находится достаточно далеко от свободной поверхности Г3 , чтобы можно было исключить влияние последней на течение в окрестности Г3. Жидкость подается в канал с заданным постоянным расходом, при этом профиль скорости совпадает с профилем, характерным для установившегося плоскопараллельного течения жидкости в плоском вертикальном канале в зависимости от
реологической модели среды. На твердых стенках Г2 выполняется условие прилипания. На свободной поверхности используются условия равенства нулю касательных напряжений и равенства нормальных напряжений внешнему давлению. Кроме этого свободная поверхность подчиняется кинематическому условию. Силы поверхностного натяжения не учитываются в связи с их малостью в рассматриваемых процессах.
Таким образом, математическая постановка задачи о движении неньютоновской жидкости со свободной поверхностью сводится к определению области течения в заданный момент времени, а также поля давления и поля вектора скорости в этой области, удовлетворяющие системе уравнений (1) и следующим граничным условиям:
где (п.э) - локальная декартовая система координат, нормально связанная со свободной границей, У0(х) - функция, определяющая вид входного профиля скорости. Кинематическое условие используется в лагранжевом представлении
В случае вертикально расположенного канала решение задачи будет симметрично относительно плоскости, расположенной посередине между стенками. Вследствие этого рассматривается только половина области с привлечением условий симметрии на этой плоскости.
В пункте 3.2 получены профили скорости, соответствующие плоскопараллельному течению псевдопластичной и вязкопластичной жидкости в бесконечном канале, которые задаются на входной границе Г] . В п. 3.3. проведен ряд тестовых расчетов на сходимость численного процесса.
Результаты решения поставленной задачи представлены в п. 3.4. Исследования показали, что в процессе эволюции первоначально плоская свободная поверхность выгибается, приобретая установившуюся форму, которая перемещается вдоль канала со среднерасходной скоростью (рис.3). Область течения в процессе заполнения условно можно разделить на две зоны. В окрестности
Г,: и = О, V = У0(х); Г2 :и = 0,у = 0;
(2) (3)
(4)
свободной поверхности реализуется фонтанирующее течение, характеризующееся растеканием жидкости в стороны стенок. В остальной области реализуется плоскопараллельное течение.
Рисунок 3 - Эволюция
свободной поверхности Рисунок 4 - Установившиеся формы
границы раздела
При вышеописанном режиме заполнения одной из характеристик процесса является степень выпуклости установившейся свободной поверхности. Влияние числа Яе на выпуклость представлено на рис.4. Рост числа Рейнольдса при постоянном значении можно трактовать как уменьшение вязкости наряду с уменьшением гравитации, что способствует в фонтанирующей зоне более слабому растеканию жидкости в стороны стенок. Следовательно установившиеся формы границы становятся более выпуклыми. Наряду с этим в диссертации представлено влияние других чисел подобия на форму границы.
Рисунок 5 - Зависимость выпуклости от числа W
На рис. 5 приведено сравнение выпуклости установившейся свободной поверхности при заполнении плоского вертикального канала с результатами работы [Шрагер Г.Р., Козлобродов А.Н., Якутенок В.А. Моделирование гидромеханических процессов в технологии переработки полимерных материалов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. 230с.], где используется метод граничных элементов и модель ползущего течения (пунктирная линия). Сплошной линией изображены данные, полученные с помощью вышеизложенной методики при Re=0.01. Наблюдается незначительное отличие этих кривых, что подтверждает адекватность полученных результатов.
В результате численного эксперимента было выявлено существование режима заполнения с образованием воздушных полостей. Непрерывное натекание на твердую стенку, подобно «тракторной гусенице», заменяется формированием струи с последующим ее растеканием в верхней части к твердым стенкам. В результате на твердых стенках образуется газовое включение в виде пузыря (рис.6). Наличие такого сорта дефектов в процессе заполнения каналов наблюдалось экспериментально и приводится в работе [Yokoi Н., Masuda N., Mitsuhata Н. Visualization analysis of flow front behavior during filling process of injection mold cavity by two-axis tracking system // Journal of Materials Processing Technology. - 2002. - V. 130-131. - P. 328-333]. Рост числа Re при конкретной величине W приводит к переходу от режима сплошного заполнения канала к режиму с образованием воздушных полостей. Зависимости критических значений Re*(W), при которых происходит указанный переход, представлены на рис.7 для а = 0 и a = 7t/5 (кривая 1 и 2 соответственно). При Re< Re*(W) обеспечивается заполнение канала без образования внутренних полостей.
Re=7, W=l, Se=0, k=l
50
Re*
10
W
0 10 20 30 40 50 60 70
-1.0
-0,5
0.0
0.5
1,0
Рисунок 6 - Последовательность форм свободной поверхности
Рисунок 7 - Зависимость Re* от W(Se=0,k=l)
Далее рассматривается заполнение канала жидкостью с реологически сложным законом поведения. При исследовании вязкопластичных сред применяется закон Шведова-Бингама. Наличие предела текучести может привести к образованию в области течения квазитвердых ядер в областях с малыми значениями скоростей деформаций. Процесс их зарождения и эволюции во времени представляется интересным. В качестве условия выделения таких ядер можно принять ВА<8е. На рис.8 проиллюстрирована эволюция квазитвердых ядер для значения параметра 8е=1. Видно, что ядро образуется вблизи оси симметрии. По мере продвижения свободной границы вдоль канала оно постепенно увеличивается в длину. С ростом параметра вязкопластичности ширина квазитвердого ядра в области плоскопараллельного течения увеличивается.
0 05 1 0 0.5 1 0 0.5 1 й 05 1 о 0-5 1 0 0.5 1
Рисунок 8 - Эволюция квазитвердых ядер (Re=0.1, W=2.5,k=l,Se=l)
В четвертой главе решается задача заполнения плоского вертикального канала неньютоновской жидкостью в поле силы тяжести сверху вниз (рис.9). В пункте 4.1 описываются математическая и физическая постановки, описывающие такие течения.
Для проверки работоспособности разработанного алгоритма и точности полученных результатов было проведено сравнение эволюции свободной границы при струйном течении ньютоновской жидкости с данными работы [Новошинцев A.B., Шрагер Г.Р., Якутенок
В.А. Истечение вязкой жидкости из емкостей с учетом формирования струи // Изв. РАН. МЖГ - 2008. - №6. - С. 15-24], где решение получено методом граничных элементов в рамках модели ползущего течения (рис. 10). Сплошными линиями изображены результаты расчетов настоящей работы, пунктирными линиями - результаты работы [Новошинцев A.B. и др.]. Наблюдается удовлетворительное согласование результатов. Сравнение на более дальних интервалах времени невозможно, так как в случае ползущего течения расход во входном сечении не остается постоянным.
У*
~—. - ■ * х
Г,
г,
Re=0.1, W=1.212, Se=0,.k=l
Рисунок 9 - Область течения
Рисунок 10 - Сравнение форм свободной границы
Численное исследование показало, что при заполнении каналов жидкостью, имеющей в начальный момент времени горизонтальную свободную поверхность, возможны три различных режима протекания процесса, которые продемонстрированы на рис.11. При прочих равных условиях, соответствующая эволюция свободной поверхности определяется соотношением гравитационных и вязких сил в потоке жидкости, то есть значением числа W. При Ш=1 (рис.11, а) происходит непрерывное натекание на твердую стенку и жидкость сплошным образом заполняет канал. В итоге свободная поверхность приобретает выпуклую установившуюся форму и перемещается вниз по каналу со среднерасходной скоростью. Характер течения в указанном режиме аналогичен течению, описанному в третьей главе настоящей работы, когда сила тяжести противоположна направлению движения.
Увеличение приводит к тому, что, начиная с некоторого момента времени, режим полного заполнения заменяется струйным поведением свободной поверхности (рис.11, б). Последняя приобретает форму с каплевидным образованием, которое через некоторый промежуток времени касается твердой стенки. В результате на стенке канала образуется объем, незаполненный жидкостью, величина которого увеличивается с ростом числа Такой характер процесса заполнения можно назвать переходным режимом.
Рисунок 11 - Режимы заполнения канала (Яе=0.1, к=1, А( = 0.4): а-полного заполнения б - переходный (2.9), в - струйный (3.5)
Дальнейшее увеличение V/ приводит к формированию свободной струи (рис.11, в). На начальном этапе первоначально плоская свободная поверхность приобретает выпуклую форму, которая стремится двигаться со среднерасходной скоростью. Однако на последующих этапах граница приобретает форму струи, при этом скорость вдоль оси постепенно возрастает, а каплевидное образование уменьшается в размерах и не касается твердых стенок.
Различие в кинематике течений при полном заполнении канала и струйном поведении свободной поверхности иллюстрирует рис. 12, где изображены линии тока в системе координат, движущейся вниз со среднерасходной скоростью. Фонтанирующее течение с разворотом линий тока вблизи свободной поверхности для режима полного заполнения (рис.12, а) заменяется течением с линиями тока, характерными для струйного течения (рис.12, б). В этом пункте так же
изучены различия в распределении давления и вязкости в области течения при различных режимах заполнения.
б у
О 0.5 1
Рисунок 12 - Линии тока: а - режим полного заполнения 11е=0.1, к=0.7; б - струйный режим Ке=1, W=5.6> к=0.9
О 1 2 3 4 } №
Рисунок 13 - Зависимость критического значения \У* от Ие: 1 -к=1,2-к=0.9,3 -к=0.8
Зависимости критического значения разделяющего
отмеченные режимы заполнения, от числа Ле при различных значениях показателя к представлены на рис.13. Верхние кривые под соответствующим номером отделяют зону струйного течения от переходного режима, нижние кривые - зону полного заполнения от переходного режима. Промежуточные области между нижними и верхними кривыми соответствуют переходному режиму, при котором на стенках канала образуются воздушные полости.
Рисунок 14 - Эволюция квазитвердых ядер (Яе=0Л, \У=5,к=1, 8е=1)
При заполнении канала сплошным образом вязкопластичной жидкостью динамика квазитвердых ядер практически совпадает с вариантом заполнения, когда сила тяжести и направление потока противоположны. Далее рассмотривается заполнение канала жидкостью с пределом текучести и эволюция квазитвердых ядер в случае струйного режима (рис.14). На начальном этапе течения ядро образуется вблизи оси симметрии. По форме и размерам оно практически совпадает с начальным ядром для режима полного заполнения. С течением времени поверхность выгибается, а квазитвердая зона уменьшается. По мере того как на переднем фронте свободной границы развивается каплевидное образование (1=1-2.5), в нем возникают новые ядра, а контур ядра на оси симметрии вблизи входа приобретает стационарную форму. Его ширина соответствует ширине квазитвердой зоны при установившемся течении вязкопластичной жидкости в бесконечном канале. К моменту времени 1=3 практически все каплевидное образование представляет собой квазитвердое тело. Проводя аналогию между псевдопластичными и пластичными средами, можно сделать вывод, что области квазитвердых ядер для среды Шведова-Бингама совпадают с областями повышенной вязкости среды Оствальда-де Виля.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1. Разработан и протестирован алгоритм реализации конечно-разностного метода для исследования плоских реологически сложных течений жидкости со свободной поверхностью с учетом нестационарности и инерционных эффектов. Проведено сравнение результатов с имеющимися в литературе данными.
2. Показана зависимость установившихся форм свободной поверхности при заполнении канала неньютоновской жидкостью от параметров задачи, а также характерные особенности фонтанирующего течения в случае подачи жидкости снизу вверх (0.1 < Ле < 50,
3. Выявлен режим заполнения с образованием воздушных полостей на стенках канала и определены критические значения безразмерных критериев, при которых возникают подобные включения.
4. В случае заполнения канала в направлении силы тяжести обнаружено три режима течения: режим полного заполнения, переходный режим с образованием воздушных полостей на твердых стенках и режим струйного течения. Определены значения безразмерных критериев, разделяющих отмеченные режимы для степенной жидкости (0.8 < k^ 1).
5. Исследована эволюция поведения квазитвердых ядер в процессе заполнения канала вязкопластичной жидкостью Шведова-Бингама в диапазоне изменения параметра вязкопластичности Se от 0 до 5.
Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях
1. Борзенко Е.И. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью на основе метода SIMPLE / Е.И. Борзенко, В.А. Якутенок // Физика и химия наноматериалов : сб. материалов международной школы-конф. молодых ученых. Томск, 13-16 дек. 2005 г. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 2005. - С. 304-307.
2. Борзенко Е.И. Формирование формы свободной поверхности при заполнении цилиндрического канала вязкой жидкостью / Е.И. Борзенко, В.А, Якутенок // Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент : материалы 5-й международной научной конф., посвященной 10-летию Евразийского национального университета им. JI.H. Гумилева. Астана, 15-17 июня 2006 г. - Астана: Изд-во ЕНУ, 2006. - Ч. 2. - С. 98-101.
3. Борзенко Е.И. Численное исследование заполнения плоского канала вязкой жидкостью / Е.И. Борзенко, В.А. Якутенок // Проблемы механики:
теория, эксперимент и новые технологии : тез. докл. VI всероссийской конф. молодых ученых. Новосибирск, 6-8 фев. 2007 г. / Институт теоретической и прикладной механики СО РАН. - Новосибирск, 2007. - С. 11-12.
4. Борзенко Е.И. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью на основе метода SIMPLE / Е.И. Борзенко, В.А. Якутенок // Математическое моделирование. - 2007. -Т. 19, №3.- С. 52-58.
5. Борзенко Е.И. Моделирование течений вязкой жидкости при заполнении плоских каналов I Е.И. Борзенко // Неравновесные процессы в сплошных средах : материалы всероссийской конф. молодых ученых. - Пермь,
2007. - С. 86-89.
6. Борзенко Е.И. Эволюция свободной поверхности при заполнении плоских каналов вязкой жидкостью / Е.И. Борзенко, В.А. Якутенок II Изв. РАН. МЖГ. - 2008. - № 1. - С. 24-30.
7. Борзенко Е.И. Учет поверхностного натяжения при моделировании заполнения плоских каналов вязкой жидкостью / Е.И. Борзенко // Фундаментальные науки и образование : материалы II всероссийской научно-практической конф. Бийск, 30 янв. - 1 фев. 2008 г. / БПГУ им. В.М. Шукшина. - Бийск, 2008. - С. 66-69.
8. Борзенко Е.И. Моделирование процесса истечения вязкой жидкости из вертикальных каналов / Е.И. Борзенко // Физика и химия высокоэнергетических систем : сборник материалов IV всероссийской конф. молодых ученых. Томск, 22-25 апр. 2008 г. - Томск : TMJI-Пресс, 2008. -С. 181.
9. Borzenko E.I. Evolution of the Free Surface of a Plane Channel during Filling with a Viscous Fluid / E.I. Borzenko, V.A. Yakutenok // Fluid Dynamics. -
2008. -V. 43, № 1. - P. 20-25.
10. Борзенко Е.И. Моделирование процесса истечения вязкой жидкости из емкостей с последующим заполнением каналов / Е.И. Борзенко, A.B. Новошинцев, Г.Р. Шрагер, В.А Якутенок // Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения : сб. тез. 3-ей всероссийской конф. с участием зарубежных ученых. Бийск 28 июня - 3 июля 2008 г. / Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. - Новосибирск, 2008. - С. 28.
11. Борзенко Е.И. Численное моделирование течений неньютоновской жидкости с использованием процедуры SIMPLE / Е.И. Борзенко, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок // Материалы VI всероссийской научной конф., посвященной 130-летию ТГУ и 40-летию НИИПММ. Томск, 30 сен. - 2 окт. 2008 г. - Томск : ТМЛ-Пресс, 2008. - С. 450-451.
12. Борзенко Е.И. Заполнение плоских каналов неньютоновской жидкостью в поле силы тяжести / Е.И. Борзенко // Физика и химия высокоэнергетических систем : сборник материалов V Всероссийской конференции молодых ученых. Томск, 22-25 апр. 2009 г. - Томск: ТМЛ-Пресс, 2008.-С. 254-257.
13. Борзенко Е.И. Заполнение каналов неньютоновской жидкостью в поле силы тяжести / Е.И. Борзенко, Г.Р. Шрагер, В.А. Якутенок // Изв. РАН. МЖГ. - 2009. - № 6. - С 40-47.
Тираж 100 экз. Отпечатано в КЦ «Позитив» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а
Перечень условных обозначений и сокращений
Введение
1. Моделирование течений жидкости со свободной поверхностью
1.1 Развитие численных методы решения задач о течении ньютоновской жидкости
1.2 Численные методы решения задач о течении реологически сложных сред
2. Численный метод решения задачи о течении реологически сложной жидкости со свободной поверхностью
2.1 Алгоритм SIMPLE
2.1.1 Экспоненциальная схема
2.1.2 Дискретные аналоги для двумерной задачи
2.1.3 Алгоритм SIMPLE
2.2 Метод инвариантов для расчета кинематических характеристик 32 свободной поверхности
2.3 Объединение метода SIMPLE и метода инвариантов 36 2.4. Особенности методики расчета
3. Заполнение каналов вязкой жидкостью в случае действия силы 42 тяжести против направления течения
3.1. Постановка задачи
3.2 Установившееся течение степенной жидкости и жидкости Шведова- 46 Бингама в плоском,канале
3.3 Тестовые расчеты
3.4 Результаты исследования процесса заполнения канала ньютоновской 52 жидкостью
3.5 Результаты исследования процесса заполнения канала 62 неньютоновской жидкостью
4. Заполнение каналов вязкой жидкостью в случае совпадения 67 действия силы тяжести и направления движения
4.1 Постановка задачи
4.2 Результаты расчетов 69 Заключение 83 Литература
Перечень условных обозначений и сокращений
В список включены основные сокращения и условные обозначения, используемые при изложении. Вновь встречающиеся обозначения и сокращения оговариваются отдельно, (х, у) - координаты; и, у) - компоненты вектора скорости и; I — время; р — плотность жидкости; (I - мера консистенции; т0 - предел текучести; к - степень нелинейности; ву — компоненты тензора скоростей деформаций Е;
В - эффективная вязкость; А — второй инвариант тензора Е;
Яе, W - безразмерные параметры Рейнольдса и Стокса; 8е - безразмерный параметр вязкопластичности; И — среднерасходная скорость; Ь — характерный геометрический масштаб; Г| - границы области.
Нумерация формул и рисунков в пределах каждой главы сквозная. Номера формируются из номера текущей главы и номера формулы (рисунка) в данной главе соответственно.
Исследования течений реологически сложных жидкостей со свободными поверхностями представляют большой интерес для ряда отраслей промышленности и науки. В частности, в отдельный класс можно выделить задачи о заполнении каналов различной конфигурации вязкой жидкостью. Они встречается в технологиях изготовления изделий из полимерных материалов методом свободного литья или литья под давлением на этапах прохождения жидкостью элементов технологической оснастки, в технологиях формования, в металлургии, в пищевой промышленности и во многих других производствах [1]. Таким образом, изучение различных аспектов процесса заполнения является важной практической задачей.Моделирование гидродинамических процессов течения вязкой жидкости со свободной поверхностью осложнено наличием нелинейных уравнений со сложными граничными условиями и меняющейся во времени областью течения. Дополнительные трудности возникают в связи со сложным реологическим поведением рассматриваемых жидких сред. Аналитическое решение такого класса задач не удается получить даже для простых видов течений.В связи с этим большое распространение для исследования течений вязкой жидкости со свободной поверхностью получили численные методы. Все существующие на сегодняшний день методы условно можно разделить по принципу представления ими свободной поверхности и алгоритма ее движения. Выбор того или иного метода решения определяется спецификой задачи, а именно, геометрией области течения; значениями определяющих параметров, формой свободной поверхности и некоторыми другими факторами. Также актуально повышение точности расчетов, поэтому появилось много модификаций оригинальных методик, разработанных еще в прошлом веке. Они направлены на повышения точности расчетов и учет различных физических явлений, не рассматривавшихся ранее, таких как силы поверхностного натяжения, краевой динамический угол, сложное реологическое поведение и т.п.В настоящее время существует множество работ посвященных исследованиям гидродинамических процессов при наличии свободной поверхности, в основе которых лежит как численное моделирование [4-77, 80-105], так и физическое [1, 106-112].В представленной работе разработана и протестирована конечноразностная методика решения нестационарных задач течения неньютоновской жидкости со свободной поверхностью. В основе методики лежит совместное использование алгоритма SIMPLE [2] и метода инвариантов [3]. С ее помощью решены задачи о течении реологически сложной жидкости со свободной поверхностью: 1) заполнение плоского канала, расположенного в общем случае наклонно, когда сила тяжести действует против направления движения; 2) заполнение вертикального плоского канала, когда вектор силы тяжести совпадает с направлением движения.Одними из основных факторов, влияющих на кинематику течения жидкости со свободной поверхностью, являются ее реологические свойства.При моделировании процессов заполнения в данной работе использовались следующие реологические модели: Ньютона, Оствальда - де Виляя, Шведова-Бингама. Выбор данных моделей- объясняется их простотой и широким распространением в практике моделирования течений неньютоновских сред.В процессе заполнения канала, когда жидкость подается против направления силы тяжести, существуют режимы с образованием-воздушных - включений. Впоследствии они могут явиться возможной причиной возникновения дефектов в готовом изделии, что приводит к ухудшению или полному несоответствию изделия заданным техническим параметрам.Образование такого рода включений обсуждается в работе [107].В случае заполнения канала при совпадении направления движения и гравитации характерной особенностью является наличие двух режимов: режим полного заполнения и струйный. Первый важен, когда необходимо сплошным образом заполнить сливную систему без образования воздушных полостей. С другой стороны в случае полного заполнения гидродинамическое сопротивление, возникающее за счет условия прилипания на стенках канала, гораздо больше чем в случае струйного режима, и это может оказаться существенным во многих технологических процессах. Исследование распределений кинематических и динамических характеристик для отмеченных режимов является вопросом с точки зрения организации технологического процесса.Целью данной работы является: разработка вычислительной методики расчета течений реологически сложной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью на основе конечно-разностных методов; - исследование процесса заполнения плоского канала вязкой нелинейной жидкостью при ее подаче как сверху вниз, так и снизу вверх; выявление различных режимов заполнения и определение критических параметров, при которых происходит смена режима.Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи: 1. Разработка и тестирование численной методики на основе алгоритма SIMPLE и метода инвариантов для решения задач течения реологически сложной жидкости со свободной поверхностью.2. Проведение вычислительного эксперимента в широком диапазонеопределяющих параметров с целью выявления характерных режимов заполнения плоских каналов.3. Численное исследования влияние безразмерных критериев подобия на форму свободной поверхности и картину течения в ее окрестности.Научная новизна работы заключается в следующем: - На основе алгоритма SIMPLE и метода инвариантов разработана методика расчета течений псевдопластичной и вязкопластичнои жидкости со свободной поверхностью. - Проведено численное моделирование процесса заполнения плоского канала в случае, когда сила тяжести направлена против направления движения. Показано влияние основных определяющих параметров на установившуюся форму свободной поверхности. Численные расчеты показали существование режима с образованием воздушных включений на стенках канала. Исследована эволюция квазитвердых ядер при течениях жидкости с пределом текучести. - Исследовано течение нелинейной жидкости при заполнении плоского канала сверху вниз, то есть когда сила тяжести совпадает с направлением течения. Показано существование трех режимов: режим1 полного заполнения, переходный режим и струйный режим. Получены значения определяющих параметров, разделяющие отмеченные режимы при различной степени нелинейности. Проиллюстрированы основные различия в кинематике течения при струйном режиме и режиме полного заполнения.Практическая ценность: Разработанная методика расчета и комплекс программ могут использоваться для исследования динамических процессов на различных стадиях технологий переработки жидких сред со сложным реологическим поведением. Результаты расчетов, представленные в данной работе, могут быть использованы для прогнозирования- режимов заполнения плоскихканалов при конструировании технологических элементов.Работа выполнялась в рамках грантов РФФИ (проекты № 06-0800107а, 08-08-00064), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» в 2009-2013 годах, договора с ФГУП «ФЦЦТ «Союз» (х/д №175 от 04.02.2008г.). Также в рамках программы «Мобильность молодых ученых» была пройдена стажировка в ФГУП «ФЦДТ «Союз» (грант РФФИ № 09-08-90710).Основные положения, выносимые на защиту: 1. Конечно-разностная методика, основанная на совместном использовании алгоритма SIMPLE и метода инвариантов, для расчета течений реологически сложных сред со свободной поверхностью с учетом нестационарности и инерционных эффектов.2. Результаты численного эксперимента процесса заполнения плоских каналов жидкостью, при ее подачи против действия силы тяжести и при совпадении направления движения и гравитации.3. Результаты расчета параметров задачи, определяющих режим заполнения канала, а также особенности этих режимов.Апробация работы: Материалы диссертации докладывались и обсуждались на международной школе-конференции молодых ученых «Физика и^ химия наноматериалов» (Томск, 2005); на V международной научной конференции «Хаос и структуры в нелинейных структурах. Теория и эксперимент» (Астана, 2006); на VI всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2007); на Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2007); на IV, V Всероссийских конференциях молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск,- 2008, 2009); на . второй .Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные науки и образования» (Бийск, 2008); на 3-ей Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008); на VI Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2008).Основные результаты диссертации представлены в трудах вышеперечисленных конференций, а так же в журналах «Известия РАН. Механика жидкости и газа», «Fluid Dynamics», «Математическое моделирование». Всего по материалам диссертации опубликовано 13 работ [113-125], выполненных в соавторстве с профессорами Шрагером Г.Р. и ЯкутенкомВ.А. Краткое содержание работы по главам Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость математического моделирования движения неньютоновских сред со свободной поверхностью. Сформулированы цели и основные задачи исследований.В первой главе приведен обзор численных методов расчета течений ньютоновской жидкости со свободной поверхностью, а также алгоритмов расчета течений реологически сложных сред.Во второй главе рассмотрена численная методика, основанная на совместном использовании алгоритма SIMPLE и метода инвариантов, для решения задач динамики неньютоновских жидкостей. Выведены дискретные аналоги для расчета составляющих скорости и давления внутри области и на свободной поверхности. Рассмотрено взаимное положение свободной поверхности и контрольных объемов. Приведены некоторые особенности расчета.Третья глава посвящена численному моделированию процесса заполнения плоского канала снизу вверх. Иллюстрируется влияние основных параметров на установившуюся форму свободной поверхности и распределения скорости на ней. Исследуются эволюция квазитвердых ядер, размеры зон одномерного и фонтанирующего течения. Показано существование режимов заполнения с образованием воздушных полостей и определены критические значения параметров, при которых происходит смена режима бездефектного заполнения на режим с образованием полостей.В четвертой главе решается задача заполнения плоского вертикального канала в поле силы тяжести сверху вниз. Показано существование трех режимов заполнения и определены значения параметров, разделяющих эти режимы для степенной жидкости при различных показателях нелинейности. Рассмотрены характерные особенности картин течения этих режимов. Наряду с этим исследован процесс заполнения плоского канала вязкопластичной жидкостью, проиллюстрировано поведения квазитвердых ядер с течением времени.
Заключение
Диссертационная работа посвящена численному моделированию процессо течение жидкости со свободной поверхностью при заполнение плоских каналов ньютоновской и неньютоновской жидкостью в случае ее подачи как против действия силы тяжести, так и при совпадения направления движения и гравитации. Рассматриваемые течения характеризуются наличием свободной поверхности, меняющейся во времени, умеренными скоростями и сложным реологическим поведением жидкости. Перечисленные особенности существенно усложняют математическую формулировку, описывающую такие течения. Это обусловлено прежде всего необходимостью определения эволюции свободной поверхности во времени с весьма сложными граничными условиями на ней, а также нелинейностью основных уравнений, связанной со сложным реологическим поведением среды. Численная реализация сформулированных задач требует построения адаптивных сеток, организации дополнительных итерационных процедур, разработки алгоритмов определения эволюции области течения со временем. Для решения поставленных задач, была разработана конечно-разностная методика, основанная на совместном использовании алгоритма SIMPLE и метода инвариантов.
На основе проведенных в работе исследований могут быть сформулированы следующие основные результаты:
1. Разработан и протестирован алгоритм реализации конечно-разностного метода для исследования плоских реологически сложных течений жидкости со свободной поверхностью с учетом" нестационарности и инерционных эффектов. Проведено сравнение результатов с имеющимися в литературе данными.
2. Представлены соотношения установившихся форм свободной поверхности при заполнении канала неньютоновской жидкостью в зависимости от параметров задачи, а также характерные особенности фонтанирующего течения в случае подачи жидкости снизу вверх (0.1 <Яе<50, 1 < \\^<50, 0<а<^/, 0.8<к< 1).
3. Выявлен режим заполнения с образованием воздушных полостей на стенках канала и определены критические значения безразмерных критериев, при которых возникают подобные включения.
4. В случае заполнения канала в направлении силы тяжести обнаружено три режима течения: режим полного заполнения, переходный режим с образованием воздушных полостей на твердых стенках и режим струйного течения. Определены значения безразмерных критериев, разделяющих отмеченные режимы для степенной жидкости (0.8<к^1).
5. Исследована эволюция поведения квазитвердых ядер в процессе заполнения канала вязкопластичной жидкостью Шведова-Бингама в диапазоне изменения параметра вязкопластичности 8е от 0 до 5.
Автор благодарит научного руководителя профессора Якутенка В.А., профессора Шрагера Г.Р. за ценные указания, а так же весь коллектив кафедры математической физики физико-технического факультета Томского государственного факультета за моральную поддержку оказанную во время обучения в аспирантуре.
1. Глушков И.А., Милехин Ю.М., Меркулов В.М. Банзула Ю.Б. Моделирование формования изделий из свободно литьевых-композиций. - М.: Архитектура-С, 2007. - 362с.
2. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и механики жидкости: Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152с.
3. Шрагер Г.Р., Козлобродов А.Н., Якутенок В.А. Моделирование гидромеханических процессов в технологии переработки полимерных материалов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. 230с.
4. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluid. 1965. - V.8. -№12.-P. 2182-2189.
5. Chan R.K.-C., Street R.L. A computer study of finite-amplitude water waves // J. Comput. Phys. 1970. - V.6. - P. 68-94.
6. Чен P., Стрит P., Фромм Дж. Численное моделирование волн в воде — развитие метода SUMMAC / Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 183-188.
7. Pracht W.E. A numerical method for calculating transient creep flow // J. Comput. Phys. 1971. - V.7. - P. 46-60.
8. Березин И.К., Голубицкий A.M., Понамарчук А.И. Численные методы для расчета течений высоковязких жидкостей со свободной поверхностью. Свердловск: Препринт УрО АН СССР, 1988. 90 с.
9. Amsden A.A., Harlow F.H. A simplified MAC technique for incompressible fluid flow calculation. // J. Comput. Phys. 1970. - V.6. - P. 322-325.
10. Tome M.F., McKee S. GENSMAC: a computational marker and cell method for free surface flows in general domains // J Comput. Phys. 1994. - V.l 10. -№ l.-P. 171-186.
11. McKee S., Tome M.F., Ferreira V.G., Cuminato J.A., Castelo A., Sousa F.S., Mangiavacchi N. The MAC method // Computers & Fluids. 2008. - P. 907-930.
12. Sousa F.S., Mangiavacchi N., Nonato L.G., Castelo A., Tome M.F., Ferreira V.G., Cuminato J.A., McKee S. A front-tracking/front-capturing method for the simulation of 3D multi-fluid flow with free surface // J. Comput. Phys. -2004.-V. 198.-P. 469-499.
13. Hirt C.W., Nichols B.D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries // J. Comput. Phys. 1981. - V.39. - P. 201-225.
14. James Edward Pilliod Jr. Second Order Accurate Volume of Fluid Algorithms for Tracking Material Interfaces // Submitted to the Journal of Computational Physics on June 12 1998
15. Torrey M.D., Mjolsness R.C., Stein L.R. NASA-VOF3D: a three dimensional computer program for incompressible flows with free surfaces // Technical Report LA-11009-MS. Los Alamos National Laboratory. -1987.
16. Kim W.S., Im I.T. Analysis of a mold filling using an explicit SOLA-VOF // Numerical Heat Transfer, Part A. 1999. - V.35. - P. 331-342.
17. Andrillon Y., Alessandrini B. A 2D+T VOF fully coupled formulation for the calculation"of breaking free surface flow // J. Mar. Sei. Technol. 2004. -V.8.-P. 159-168.
18. Yong Zhao, Hsiang Hui Tan, Baili Zhang. High-Resolution Characteristics-Based Implicit Dual Time-Stepping VOF Method for Free Surface Flow Simulation on Unstructured Grids // J. Comput. Phys. 2002. - V.l83. - P. 233-273.
19. Минаков A.B., Гаврилов A.A., Дектерев A.A. Численный алгоритм решения пространственных задач гидродинамики с подвижными твердыми телами и свободной поверхностью // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. - Т. XI. - № 4. С. 94-104.
20. Park I. R., Kim К. S., Kim J., Van S. H. A volume-of-fluid method for incompressible free surface flows // International journal for numerical methods in fluids. 2009.
21. Shepel S., Paolucci S. Numerical simulation of filling and solidification of permanent mold casting // Applied Thermal Engineering. 2002. - № 2. -V.22.-P. 229-248.
22. Kim K.D., Yang D.Y., Jeong J.H. Adaptive refinement techniques based on tetrahedral and hexahedral grids for finite element analysis of mold filling in casting processes // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2000. - № 4849. - V.195 - P. 6799-6821.
23. Shin S., Lee W.I. Finite element analysis of incompressible viscous flow with moving free surface by selective volume of fluid method // International Journal of Heat and Fluid Flow. 2000. - V.21. - № 2. - P. 197-206.
24. Swaminathan C.R., Voller V.R. A time-implicit filling algorithm // Applied Mathematical Modeling. 1994. -V. 18. - P. 101-107.
25. Voller V.R., Peng S. An algorithm for analysis of polymer filling of molds // Polymer Engineering Science. 1995. - V.35.-P. 1758-1765.
26. Yang J., Jiaa Y.X., Suna S., Mac D.J., Shi T.F., An L.J. Enhancements of the simulation method on the edge effect in resin transfer molding processes // Materials Science and Engineering A. 2008. - V.478 - №1-2. - P. 384389.
27. Tavakoli R., Babaei R., Varahram N., Davami P. Numerical simulation of liquid/gas phase flow during mold filling // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. -2006. V. 196. -№1-3. - P. 697-713.
28. Kim M.S., Park J.S., Lee W.I. A new VOF-based numerical scheme for the simulation of fluid flow with free surface. Part II: application to the cavity filling and sloshing problems // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2003. - V.42. -№7.-P. 791-812.
29. CFD Flow Modeling Software & Solutions from Fluent / URL: http://fluent.com (дата обращения: 24.08.2009).
30. CFD Flow Modeling Software FLOW-3D / URL http://flow3d.com (дата обращения: 24.08.2009).
31. Васенин И.М., Сидонский О.Б., Шрагер Г.Р. Метод расчета течений вязкой жидкости со свободной поверхностью // ДАН СССР. 1974. -Т.217. -№2. - С. 295-298.
32. Васенин И.М., Нефедов А.П., Шрагер Г.Р. Метод течения вязкой жидкости со свободной поверхностью // Численные методы механики сплошной среды. 1985. - Т. 16. - №6. - С.29-43.
33. Нефедов А.П. Численное моделирование -пространственных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью // Математическое моделирование. 1994. - Т.6. - №2. - С. 102-112.
34. Васенин И.М., Нефедов А.П., Шрагер Г.Р. Метод расчета течений вязкой жидкости со свободной поверхностью // Численные методы механики сплошной среды. 1985. - Т. 16. - №6. - С. 29-43.
35. Шрагер Г.Р., Щербаков И.В. Течении жидкости в процессе заполнения цилиндрических емкостей // Механика жидкости и газа. — 1990. №1. -С. 65-70.
36. Ищенко В.П., Масленников В.Н., Терентьева И.А., Шрагер Г.Р. Растекание вязкой жидкости под действием силы тяжести // Ред: «Инженерно-физического журнала». Минск. 1984. - 11с. Деп. ВИНИТИ №733-84.
37. Васенин И.М., Козлобродов А.Н., Шрагер Г.Р. Расчет течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью // Труды V
38. Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск. 1975. - С. 58-69.
39. Богоряд И.Б., Лаврова Н.П. Численное моделирование вращения твердого тела с заполненной жидкостью полостью, имеющей радиальные ребра // ПМТФ. 2007. - Т. 48. - № 2. - С. 135-139.
40. Херт С. Произвольный лагранжево-эйлеров численный метод / Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 156-164.
41. Li J., Hesse М., Ziegler J., Woods A.W. An arbitrary Lagrangian Eulerian method for moving-boundary problems and its application to jumping over water // Journal of Computational Physics. 2005. - V.208. - № 1. - P. 289-314.
42. Bellet M., Fachinotti V.D. ALE method for solidification modelling // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2000. - V.193 - № 39-41 -P.4355-4381.
43. Tompson E.G., Mack L.R., Lin F.S. Finite element method for incompressible slow viscous flow with free surface // Development in Mechanics. 1965. - V.5. - P. 93-111.
44. Thompson J.F. Numerical grid generation // Elsever Sci. Pub. Co. New York, 1982.
45. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1996. -Т.36. -№1. С.3-41.
46. Альес М.Ю., Копысов С.П., Новиков А.К. Параллельное построение плоских конечно-элементных сеток // Математическое моделирование.- 1998. Т. 10. - №5. - С. 71-76.
47. Чехонин К.А., Булгаков В.К. Моделирование процесса заполнения крупногаборитной формы полимерной массой с помощью метода конечных элементов // Молодые ученые Удмуртии ускорению научно-технического прогресса. Ижевск. - 1987. — С. 136-138.
48. Булгаков В.К., Потапов И.И., Сухинин П.А. Решение задач гидродинамики в переменных вихрь-скорость методом конечных элементов // Сборник научных трудов НИИ КТ. 1996. - №2. - С.84-86.
49. Сухинин П.А. Численное моделирование течения нелинейно-вязкопластичной жидкости, заполняющей осесимметричный объем: дис. . канд. физ.-мат. наук: 05.13.16 / П.А. Сухини; НИИ компьтерных технологий при ХГТУ. Хабаровск, 1998. - 133с.
50. Thompson Е. Use of pseudo-concentrations to follow creeping viscous flow during transient analysis // Int. J. for Numer. Mech. Fluids. 1986. - V.6. -№10.-P. 749-761.
51. Haagh G.A.A.V., Van De Vosse F.N. Simulation of three-dimensional polymer mould filling processes using a pseudo-concentration method // Int. J. Numer. Meth. Fluids 1998. - V.28. - P. 1355-1369.
52. Cayle D.J., Blake J.W., Macoska C.W. The kinematics of fountain flow in mould-filling // AlChe J. 1987. - V.33. - №7. - P. 1168-1177.
53. Ramaswamy В., Kawahara M. Lagrangien finite element analysis applied to . viscous free surface fluid flow // Int. J. for Numer. Mech. Fluids. 1987. -V.7.-P. 953-984.
54. Иванов B.A., Березин И.К., Голубицкий A.M. Растекание неньютоновской жидкости под действием силы тяжести // Инженерно-физический журнал. 1990. -Т.58. -№3. - С. 447-452.
55. Orr F.M., Scriven L.E. Rimming flow: numerical simulation of steady viscous free surface flow with surface tension. // J. Fluid. Mech. 1978. -V.84. - №1. - P. 145.
56. Sujatha K.S., Webster M.F., Binding D.M., Couch M.A. Modelling and experimental studies of rotating flows in part-filled vessels: wetting and peeling // Journal of Food Engineering. 2003. - V.57. —№1. - P. 67-79.
57. Бенерджи П., Баттерфилд P. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494с.
58. Бреббия К., Телес Ж., Вроубел Лю Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524с.
59. Громадка Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов. М.: Мир, 1990.-303с.
60. Evans W.A.B., Ford M.J. An integral equation approach to internal (2-layer) solitary waves // Phys. Fluid. 1996. - V.8. - №8. - P.2032-2047.
61. Chalikov D., Sheinin D. Modeling extreme waves based on equations of potential flow with free surface // Journal of Computational Physics. 2005. - V.210. - №1. — P.247-273.
62. Bal. S., Kinnas S.A. A BEM for the prediction of free surface effects on cavitating hydrofoils // Computational Mechanics. 2002. - V.28. - №3-4. -P. 260-274.
63. Афанасьев K.E., Афанасьева M.M., Терентьев А.Г. Исследование эволюций свободных границ методами конечных и граничных элементов при нестационарном движении тел в идеальной несжимаемой жидкости // Иза. АН СССР. МЖГ. 1986. - №5. - С. 8-13.
64. Афанасьев К.Е., Стуколов С.В. Моделирование опрокидывающихся волн методом комплексных граничных элементов // Труды VI научной школы «Гидродинамика больших скоростей» / Чуваш. Ун-т им. И.Н. Ульянова. Чебоксары: ЧТУ, 1996. С.11-17.
65. Афанасьев К.Е., Стуколов С.В. Циркуляционное обтекание профилей стационарным плоскопараллельным потоком тяжелой жидкости конечной глубины со свободной поверхностью II Прикладная механика и техническая физика. 2000. - Т.40. - №1. - С.27-35.
66. OsswaldT.A., Tucker C.L. A boundary element simulation of compression mold filling // Plym. Eng. and Sci. 1988. - Y.28. - №7. - P.413-420.
67. Березин И.К. Пономарчук А.И. Применение метода граничных элементов для расчета движений свободных границ вязкой жидкости. Свердловск: Препринт УрО АН СССР, 1989. 34с.
68. Якутенок В.А. Численное решение трехмерных задач о ползущем течении вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов // Мат. моделирование. 1999. — Т. 11. - №10. - С. 92-99.
69. Новошинцев A.B., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Истечение вязкой жидкости из ескостей с учетом формирования струи // Изв. РАН. МЖГ. -2008.-№6.-С. 15-24.
70. Якутенок В.А. Численное моделирование медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов // Мат. моделирование. 1992. - Т.4. - №10. - С. 62-70.
71. Олицкий А.Ф., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Течения вязкой жидкости в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 1993. -№3. - С. 25-30.
72. Khayat R. Е., Eisin W., Kim К. An adaptive boundary element approach to transient free surface flow as applied to injection molding // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2000. - V.33. - P. 847-868.
73. Новошинцев A.B., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А., Милехин Ю.М., Банзула Ю.Б. Численное моделирование истечения вязкой жидкости из объемного смесителя // Теоретические основы химической технологии. — 2006. Т.40. - №6. - С. 666-672.
74. Шрагер Г.Р., Штоколова М.Н., Якутенок В.А. Формирование свободной поверхности объема вязкой жидкости внутри вращающегося горизонтального цилиндра // Изв. РАН. МЖГ. 2009. - №2. - С. 179185.
75. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров. М.: Химия, 1977. -440с.
76. Реология. Под. ред. Ф. Эйриха. М.: Издатинлит, 1962. 824с.
77. De Paulo G.S., Tom'e M.F., McKee S. A marker-and-cell approach to viscoelastic free surface flows using the PTT model // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2007. - V. 147. - № 3. - P. 149-174.
78. Bonito A., Picasso P., Laso M. Numerical simulation of 3D viscoelastic flows with free surfaces // Journal of Computational Physics. 2005. -V.215. - № 2. - P. 691-716.
79. Ngamaramvaranggul V., Webster M.F. Viscoelastic simulations of stick-slip and die-swell flows // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2001. - V.36. - №2. - P. 539-595.
80. Cai Z., Westphal C.R. An adaptive mixed least-squares finite element method for viscoelastic fluids of Oldroyd type // J. Non-Newtonian Fluid Mech. -2009. -V.l59 T№ 1-3.-P. 72-80.
81. Sandri D. Numerical study of a new finite element method for the " approximation of viscoelastic fluid flow problems // J. Non-Newtonian Fluid
82. Mech. -2004.-V.l 18-№ 2-3.-P. 103-120.
83. Bush M.B., Phan-Thien N., Tanner R.I. A boundary element investigation of extrudate swell // J. Non-Newt. Fluid Mech. 1985. - V.18. - №2. - P. 143162.
84. Constable D. С., Bush M. B. Stratified Newtonian and non-Newtonian flow calculations by the boundary element method // Computational Mechanics. -1992. V.l0. -№ 5. - P. 345-357.
85. Khayat R.E., Ashrafi N. A boundary-element analysis for transient viscoelastic blade coating flow // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2000. - V.24. - № 5. - P. 363-375.
86. Шульман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей. М.: Энергия, 1975. 352с.
87. Березин И.К. Метод расчета течений жидкости с вязкостью зависящей от времени // Исследование течений и фазовых превращений в полимерных системах. Свердловск: УНО АН СССР, 1985. С. 1-15.
88. Чехонин К.А., Булгаков В.К., Липанов A.M., Иванов О.Н. Моделирование течений неньютоновских жидкостей, имеющих предел текучести // Механика композитных материалов. 1988. - №6. -С.1112-1116.
89. Булгаков В.К., Чехонин К.А. Гидродинамика течений полимеризующейся нелинейно-вязкопластичной жидкости, имеющей свободную поверхность // ИФЖ. 1990. - Т.59. - №4. - С.764-771.
90. Чехонин К.А., Сухинин П.А. Движение нелинейно вязкопластичной жидкости со свободной поверхностью при заполнении осесимметричного объема // Математическое моделирование. 2001. -Т.13. -№3. - С. 89-102.
91. Mitsoulis Е., Matsoukas A. Free surface effects in squeeze flow of Bingham plastics // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2005. - V.129. - №3. - P. 182187.
92. Mitsoulis E. Annular extrudate swell of pseudoplastic and viscoplastic fluids //J. Non-Newtonian FluidJVIech. -2007. V.l41. -№2-3. - P. 138-147.
93. Mitsoulis E. Numerical simulation of calendering viscoplastic fluids // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2008. - V.l54. - №2-3. - P. 77-88.1.%
94. Липанов A.M., Альес М.Ю., Константинов Ю.Н. Численное моделирование ползущих течений неньютоновских жидкостей со свободной поверхностью // Математическое моделирование. 1993. -Т.5. -№7. - С. 3-9.
95. Альес М.Ю., Константинов Ю.Н. Численное моделирование процессов течений высоковязких неньютоновских жидкостей с теплообменом // Гидрогазодинамические течения с тепломассообменом. 1990. - №4. — С. 136-140.
96. Bush М.В. Phan-Thien N. Three dimensional flow with free surface: flow out of a long square die // J. Non-newt. Fluid Mech. 1985. - V.18. - №2. -P. 211-218.
97. Sugeng F., Phan-Thien N., Tanner R.I. A study of non-isothermal non-newtonian extrudate swell by a mixed boundary element and finite element method // J. Rheol. 1987. - V.31. - №1. - P.37-58.
98. Luoma J.A., Voller V.R. An explicit scheme for tracking the filing front during polymer mold filling // Appl. Math. Modelling. 2000. - V. 24. - P. 575-590.
99. Florez W.F., Power H. Multi-domain mass conservative dual reciprocity method for the solution of the non-Newtonian Stokes equations //Applied Mathematical Modelling. 2002. - V. 26 - № 3. - P. 397-419.
100. Kim J.M., Aim K.H., Lee S.J., Lee S.J. Numerical simulation of moving free . surface problems in polymer processing using volume of fluid method // Polymer engineering and science. 2001. - V.41. - №5. - P. 858-866.
101. Rudert A., Schwarze R. Experimental and numerical investigation of a viscoplastic Carbopol gel injected into a prototype 3D mold cavity // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2009. - V.l61 - № 1-3. - P. 60-68.
102. Coyle D.J., Blake J.W., Macosko C.W. The kinematics of fountain flow in mold-filling // AIChE J. 1987. - V.33. - №7. - P. 1168-1177.
103. Yokoi H., Masuda N., Mitsuhata H. Visualization analysis of flow front behavior during filling process of injection mold cavity by two-axis tracking system // Journal of Materials Processing Technology. 2002. -V. 130-131. -P. 328-333.
104. Chen X., Gao F., Chen G. A soft-sensor development for melt-flow-length measurement during injection mold filling // Materials Science and Engineering A. 2004. - V.384. - № 1-2. - P.245-254.
105. Tseng F.-G., Yang I.-D., Lin K.-H., Ma K.-T., Lu M.-C., Tseng Y.-T., Chieng C.-C. Fluid filling into micro-fabricated reservoirs // Sensors and Actuators A: Physical. 2002. - V.97-98. - P. 131 -138.
106. Liu S.-J., Wu Y.-C. Dynamic visualization of cavity-filling process in fluid-assisted injection molding-gas versus water // Polymer Testing. 2007. -V.26. - № 2. - P. 232-242.
107. Kolli V.G., Ogadhoh S.O., Abel S.M., Gadala-Maria F., Papathanasiou T.D. Particle Motion in the Fountain Flow Region During Filling of a Tube With a Viscoelastic Fluid // Polymer Engeneering and science. 2002. - V.42. -№2. -P.403-412.
108. Борзенко Е.И., Якутенок В.А. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью на основеметода SIMPLE // Мат. моделирование. 2007. - Т. 19. - № 3. - С. 52-58.
109. Борзенко Е.И., Якутенок В.А. Эволюция свободной поверхности-при заполнении плоских каналов вязкой жидкостью // Изв. РАН. МЖГ. -2008.-№ 1. С.24-30.
110. Борзенко Е.И. Моделирование течений вязкой жидкости при заполнении плоских каналов // Материалы Всероссийской конф. молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». -Пермь, 2007. С.86-89.
111. Борзенко Е.И. Моделирование процесса истечения вязкой жидкости из вертикальных каналов // Сборник материалов IV Всероссийской конф.молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем». Томск, 22-25 апр. 2008г. Томск: TMJT-Пресс, 2008. - С. 181.
112. Borzenko E.I., Yakutenok V.A. Evolution of the Free Surface of a Plane Channel during Filling with a Viscous Fluid // Fluid Dynamics. 2008. - V. 43. -№1. - P. 20-25.
113. Борзенко Е.И., Шрагер Г.Р. Якутенок В.А. Заполнение каналов неньютоновской жидкостью в поле силы тяжести // Изв. РАН. МЖГ. -2009. № 6: - С.40-47.
114. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т.2. М:: Мир, 1990. — 392с.
115. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1973. 848с.
116. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Гидромеханика. Т. VI. М.: Наука, 1988. - 736с.1. С" " .
117. Любимова Т.П. Численное исследование конвекции неньютоновской жидкости в ограниченном объеме: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1980. 440с.
118. Новошинцев A.B., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Истечение вязкой жидкости из емкостей с учетом формирования струи // Изв. РАН. -2008. №6. - С.15-24.
