Численные методы решения задач тепловой конвекции на основе уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Глава

РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

ПРИ ПОНИЖЕННОЙ ГРАВИТАЦИИ

1.1 Математическая формулировка задачи

1.2 Разностная краевая задача.

1.3 Общий алгоритм решения задачи.

1.4 Численные расчеты

Глава

МОДИФИКАЦИЯ ДВУХПОЛЕВОГО МЕТОДА

РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ

2.1 Математическая формулировка задачи

2.2 Одномерная модельная задача.

2.3 Уравнения Стокса.

2.3.1 Разностная начально-краевая задача.

2.3.2 Алгоритм решения системы разностных уравнений

2.3.3 Устойчивость разностной схемы

2.3.4 Примеры тестовых расчетов

2.4 Уравнения Навье - Стокса.

2.4.1 Разностная начально-краевая задача.

2.4.2 Алгоритм решения и устойчивость.

2.4.3 Результаты расчетов.

2.5 Методы обращения матриц С/.

2.5.1 Метод 1.

2.5.2 Метод 2.

Глава

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СХЕМ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА

ТОЧНОСТИ

3.1 Разностная начально-краевая задача.

3.2 Алгоритм решения системы разностных уравнений

3.2.1 Решение разностного уравнения для функции тока

3.3 Устойчивость разностной схемы

3.4 Результаты расчетов.

Известно, что в неравномерно нагретой жидкости возникает движение. Если жидкость не имеет свободных (жидкость — газ) или внутренних (жидкость — жидкость) границ раздела, основная причина явления состоит в том, что более холодная жидкость, которая обычно тяжелее, тонет в поле силы тяжести. Движение, вызванное этой причиной, называется тепловой гравитационной конвекцией. Обычно для его описания используется система уравнений Обербека - Буссинеска [23, 28], которая выводится из общих уравнений Навье - Стокса сжимаемой жидкости в предположении, что плотность жидкости не зависит от давления, но может зависеть от температуры. Предполагается также, что вызванные неоднородностью температуры отклонения плотности от среднего значения настолько малы, что ими можно пренебречь во всех уравнениях, кроме уравнения движения, где это отклонение учитывается лишь в члене с подъемной силой. Система уравнений конвекции мало отличается от системы уравнений Навье - Стокса для однородной несжимаемой жидкости. Численные схемы для изучения конвективных течений сохраняют все особенности схем для уравнений однородной несжимаемой жидкости и содержат некоторые дополнительные особенности.

Уравнения Навье - Стокса, составляющие основу уравнений конвекции, обладают рядом специфических особенностей, которые проявляются в их численной реализации:

• одной из особенностей является пространственно-эллиптический характер решений. Поэтому для решения используются типичные для эллиптических уравнений методы, при этом требуется постановка граничных условий на всех границах рассматриваемой области;

• система уравнений Навье - Стокса не является системой типа Коши -Ковалевской, так как нет эволюционного уравнения для давления;

• эти уравнения нелинейны.

Методы численного решения уравнений Навье - Стокса можно условно разделить на две основные группы. Первая связана с введением функции тока ф и вихря скорости ш и преобразованием исходной системы уравнений к системе уравнений относительно (ф, ш) (для пространственных течений вводят вектор вихря и векторный потенциал скорости). Достоинства такого подхода в том, что нет необходимости заботиться о соленоидально-сти вектора скорости (условие выполняется автоматически). Однако возникают трудности, связанные с заданием граничного условия для вихря на границе с прилипанием, которое отсутствует в физической постановке задачи. Условие первого порядка точности, впервые предложенное Томом [50], до сих пор с успехом используется многими исследователями.

Другую группу составляют методы решения уравнений Навье - Стокса в естественных переменных скорость — давление [7, 17, 26, 58]. Основное затруднение при таком подходе заключается в определении граничного условия для давления [5, 6]. Исторически сложилось так, что большая часть численных методов разработана применительно к системе уравнений, записанных в переменных функция тока — вихрь [3, 8, 9,11, 25, 29, 37,42, 48, 49].

В настоящее время существует очень много разнообразных численных методов решения двумерных уравнений Навье - Стокса в переменных ф, uj), отличающихся друг от друга выбором разностной схемы, видом граничных условий, способом решения уравнения Пуассона и т.д. Для большинства использующихся на практике алгоритмов характерно раздельное решение разностных уравнений для ш и ф [8, 9, 11, 37, 49]. Такой способ организации вычислений ещё называют двухполевым методом. Типичным здесь является приём, когда в уравнении и граничных условиях для вихря функция тока ф берётся с нижнего временного слоя. По терминологии работы [29] такие схемы будем называть линейными. Полученное уравнение относительно значений и на верхнем слое решается методом переменных направлений, а затем при помощи эффективных итерационных или прямых методов решения уравнения Пуассона вычисляется функция ф на верхнем слое. Опыт расчётов показывает, что при использовании подобных алгоритмов, как правило, возникают довольно жёсткие ограничения на шаг по времени т.

Давно было замечено, что существенное влияние на устойчивость вычислительного процесса метода оказывает способ вычисления вихря на твердой границе. Это влияние настолько значительно, что может свести на нет преимущества неявных схем и при отсутствии нелинейных слагаемых (уравнения движения при отсутствии конвективных слагаемых ещё называют системой уравнений Стокса).

Отметим ряд работ, в которых предпринимались попытки снять ограничения на временной шаг.

Для улучшения сходимости двухполевого метода применялась релаксация граничных условий [38, 49]. Использование релаксации при вычислении вихря на границе весьма эффективно, оно позволяет вести вычисления с шагом по времени, который на порядок больше шага в случае без релаксации. Однако, как отмечает Тарунин E.JI. , "платой за это преимущество являются пересчёты" (т.е. внутренние итерации на каждом шаге по времени).

Другое усовершенствование двухполевого метода было предложено Пирсоном [60] и развито в работах Грязного B.JI. и Полежаева В.И. [25]. Усовершенствование заключалось во внесении граничного условия для вихря внутрь области. Метод хорошо зарекомендовал себя при решении стационарных задач. Но если решается нестационарная задача, то необходимо организовать дополнительный итерационный процесс.

Ещё один подход к построению неявных разностных схем для уравнений Навье - Стокса в переменных функция тока — вихрь скорости, позволяющий избежать влияния краевых условий на величину максимального временного шага, предложен в работах Вабищевича П.Н. [13. 14]. Им предложены схемы с коррекцией по граничному условию, которые позволяют в определённом диапазоне параметров течений вязкой несжимаемой жидкости более полно использовать преимущества неявных схем и дают возможность использовать большие шаги по времени в сравнении с традиционными схемами.

В работе Рябенького B.C., Торгашова В.А. [43] предложен безытерационный способ решения на верхнем временном слое разностного аналога уравнений Навье - Стокса, не использующий разностной аппроксимации граничного условия для вихря. Его основу составляет метод разностных потенциалов.

Другой оригинальный подход к решению краевой задачи для нестационарных уравнений Навье - Стокса в случае, когда на границе области задан вектор скорости и не задано давление или вихрь, предложен в работе Бабенко К.И., Введенской Н.Д. [3]. При этом на каждом временном слое вычисляются решения задач Дирихле для простейших эллиптических уравнений (Лапласа, Пуассона, Гельмгольца) и решается некоторое интегральное уравнение. В замкнутых областях этот метод не использовался.

Способ аппроксимации граничных условий для вихря имеет существенное значение лишь для схем, в которых уравнения вихря и функции тока решаются раздельно. Приведём ряд работ, где уравнения для ш и ф решаются совместно.

Так в работе Смагулова Ш., Христова Х.И. рассмотрена безытерационная численная реализация краевых условий для е -он аппроксимации уравнений Навье - Стокса в переменных ш, ф. Построенная разностная схема реализуется векторной прогонкой.

В работе [12] для стационарного случая был предложен метод численного решения, в котором система разностных соотношений, аппроксимирующая уравнения Навье - Стокса в переменных ф, ш, рассматривается как одно матричное уравнение относительно вектора (ш,ф). При таком подходе возникает вопрос об эффективном методе решения двумерных матричных уравнений. В [12] для этой цели был использован итерационный метод, обладающий, по-видимому [29], медленной сходимостью и требующий для достижения необходимой точности большого количества итераций. Заметных преимуществ по сравнению с алгоритмами, основанными на раздельном решении уравнений для ш и ф, достичь не удалось.

В работе Мажоровой О.С., Попова Ю.П. [29] предложен алгоритм численного решения двумерных уравнений Навье - Стокса, также основанный на матричном методе решения разностных уравнений относительно вектора (и>, ф). В отличие от традиционно используемых линейных разностных схем применяется неявная нелинейная схема, содержащая в уравнении для и значения функции тока и вихря с верхнего временного слоя. Численная реализация этих схем осложняется тем, что содержащаяся в них нелинейность порождает еще один итерационный процесс. В этой работе линеаризация разностных уравнений проводится по методу Ньютона, а для решения полученной в результате системы линейных уравнений применяется эффективный матричный итерационный процесс ("именно метод решения этой системы линейных уравнений в значительной степени определяет эффективность всего алгоритма в целом"). Однако, для применения этого алгоритма требуется большой объём оперативной памяти ЭВМ для хранения промежуточной информации. Недостатком также является большое число арифметических операций на слое.

Таким образом, проблема вычисления граничных значений для вихря по-прежнему остается актуальной.

При наличии свободной (жидкость — газ) границы и неоднородного распределения температуры на ней движение жидкости может возникать и вследствие того, что коэффициент поверхностного натяжения а зависит от температуры. Такая конвекция называется термокапиллярной. В большинстве ситуаций термокапиллярная конвекция достаточно мала по сравнению с гравитационной конвекцией и часто опускается. Однако при пониженной гравитации, в установках получения кристаллов, в реакторах пленочного типа, применяемых в химической технологии, а также в сосудах для хранения жидкостей и многих других технических и технологических аппаратах конвекция этого типа может оказывать заметное влияние на процессы тепло- и массообмена и вследствие этого — на качество продукции.

Основные трудности решения задач в областях, имеющих свободную границу, связаны с тем, что граничные условия задаются на заранее неизвестной поверхности, которая должна быть определена в процессе решения задачи.

Наиболее распространенным методом, применяемым для численного решения задач о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью, является метод конечных разностей. Здесь выделяют методы эйлерова типа (МАС-метод [58] и его модификации [15, 33, 39, 53]), методы лагранжева типа (например, Line-метод [4, 10, 59]), смешанные лагранжево-эйлеровы методы (метод ALE [52] и др.). Все перечисленные методы используют естественные переменные — скорость и давление. Имеется ряд работ, использующих при рассмотрении двумерных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью переменные — функция тока, вихрь [16, 32, 35]. Такой подход имеет ряд преимуществ при рассмотрении двумерных течений, так как в этом случае уравнение неразрывности выполняется автоматически. Однако при наличии свободной поверхности вид граничных условий на ней значительно усложняется, что затрудняет построение эффективных алгоритмов расчета.

Таким образом, тпема диссертации является актуальной.

Целью настоящей работы является разработка на основе схем повышенного порядка точности модифицированного безытерационного двухполево-го метода для расчёта плоских задач конвекции в замкнутых областях, создание алгоритма расчёта стационарных задач конвекции в областях со свободной границей в случае зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [62, 63, 64, 66, 67].

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

• разработан метод расчёта стационарных конвективных течений вязкой несжимаемой жидкости в двумерной области с неизвестной свободной границей;

• предложена безытерационная реализация двухполевого метода для решения плоских задач конвекции; доказана безусловная устойчивость этого модифицированного двухполевого метода в линейном приближении;

• предложен новый вариант расщепления по физическим процессам и исследована устойчивость алгоритмов его реализации;

• разработаны новые алгоритмы реализации схем повышенного порядка точности;

• проведено исследование эффективной точности различных разностных формул для расчета вихря на твердых стенках;

Необходимо также отметить, что предложенный безытерационный двух-полевой метод решения плоских задач в замкнутых областях естественным образом обобщается на пространственный случай в случае системы Стокса. При обобщении этого метода на нелинейный случай (уравнения Навье-Стокса, уравнения конвекции), этап конвекции удобно формулировать в естественных переменных, а переход к переменным вектор вихря — векторный потенциал осуществлять на этапе диффузии. Такой подход был использован в работе [68].

1. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначёв В.В. Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994.

2. Бабенко К.И., Введенская Н.Д. О численном решении краевой задачи для уравнений Навье Стокса // ЖВМиМФ. 1972, т.12, №5, С.1343-1349.4| Батлер Т. Развитие метода Line //' Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С.146-155.

3. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984.

4. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости /7 ЖВМиМФ. 1975, т. 15, М, С. 197-207.

5. Белоцерковский С.О. Гущин В.А. Моделирование некоторых течений вязкой жидкости. М.: ВЦ АН СССР, 1982.

6. Берковский Б.М., Ноготов Е.Ф. Разностные методы исследования задач теплообмена. Минск: Наука и техника, 1976.

7. Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. Минск: Университетское, 1988.

8. Булеев Н.И., Тимухин Г.И. О численном решении уравнений гидродинамики для плоского потока вязкой несжимаемой жидкости. // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук, 1969, ДОЗ, вып. 1, С.14-24.

9. Вабищевич П.Н. Докл. АН СССР, 1983, т.273, ДО1, С.22-26.14| Вабищевич П.Н. Неявные разностные схемы для нестационарных уравнений Навье Стокса в переменных функция тока — вихрь // Дифференц. уравнения. 1984, т.20, ДО7, С.1135-1144.

10. Васенин И.М., Нефёдов А.П., Шрагер Г.Р. Метод расчёта течений вязкой жидкости со свободной поверхностью // Численные методы механики сплошной среды. 1985, Т. 16, ДО6, С.29-43.

11. Васенина М.И. Ривкинд В.Я. Численный эксперимент в задачах со свободной границей в криволинейных координатах //' Вестник ЛГУ. 1984, М9, С.77-79.

12. Владимирова Н.Н., Кузнецов Б.Г., Яненко Н.Н. Численные расчёты симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука. Сиб. от-ние, 1966. С.186-192.

13. Воеводин А.Ф. О корректности метода прогонки для разностных уравнений // Числ. методы МСС. 1972, т.З, №5, С.17-26.

14. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Численные методы решения одномерных систем. Новосибирск: Наука, 1981.

15. Воеводин А.Ф. Устойчивость и реализация неявных схем для уравнений Стокса // ЖВМиМФ. 1993, т.ЗЗ, №, С.119-130.

16. Воеводин А.Ф. Устойчивость конечно-разностных граничных условий для вихря на твердой стенке // ЖВМиМФ. 1998, т.38, №5, С.855-859.

17. Волков П.К., Кузнецов Б.Г., Христов Х.И. Метод численного решения задач динамики тяжёлой идеальной жидкости со свободной поверхностью // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1980, т.И, №2, С.22-33.

18. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972.

19. Гидромеханика невесомости. Под редакцией А.Д. Мышкиса. М.: Наука, 1976.

20. Грязнов B.JI. Полежаев В.И. Исследование некоторых разностных схем и аппроксимаций граничных условий для численного решения уравнений тепловой конвекции. Препринт Ин-чга проблем механ. АН СССР, 1974, №40.

21. Гущин В.А. Метод расщепления для решения задач динамики неоднородной вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМиМФ, 1981, т.21, №4, С.1003-1017.

22. Кочин Н.К., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 1. М.: Наука, 1963.

23. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

24. Мажорова О.С. Попов К).П. О методах численного решения уравнений Навье Стокса // ЖВМиМФ, 1980 г., т.20, №4, С.1005-1020.

25. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.

26. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б., Лыкосов В.Н., Галин В.Я. Математическое моделирование общей циркуляции атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

27. Непомнящий А.А., Тарунин Е.Л. Двухполевой метод расчета течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей // Труды VI Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск, 1978, С. 197-206.

28. Николе Б. Дальнейшее развитие метода маркеров и ячеек для течений несжимаемой жидкости // Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973, С.165-173.

29. Овчарова А.С. Метод решения термоконвективной задачи в многослойной среде с криволинейными границами раздела // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1994, вып. 106, С. 108-120.

30. Овчарова А.С. Численное решение стационарной задачи Стефана в области со свободной границей // Вычислительные технологии, 1999, т.4, М, С.88-99.

31. Протопопов Б.Е. Численное моделирование поверхностных волн в канале переменной глубины // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1988. Вып. 84, С.91-105.

32. Пухначёв В.В. Движение вязкой жидкости со свободными границами. Новосибирск. 1989.

33. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1975.

34. Рябенький B.C., Торгашов В.А. Безытерационный способ решения неявной разностной схемы для уравнений Навье Стокса в переменных: завихренность и функция тока // Математическое моделирование, 1996. т.8, №10, С.100-112.

35. Самарский А.А. Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравнения теплопроводности // ЖВМиМФ, 1963. т.З, Х?5, С.812-840.

36. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

37. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск: ЗАО "ЦОТЖ", 1998.

38. Тарунин E.JI. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1990.

39. Том А. Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике. М.: Энергия, 1964.

40. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. M.-JL, Физматгиз, 1963.

41. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука СО, 1967.

42. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids, 1965, v.8, КП2, P.2182-2189.

43. Юшкова Т.В. Расчет стационарных конвективных течений жидкости со свободной поверхностью при пониженной гравитации // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1998, вып.113, С.168-171.

44. Юшкова Т.В. Модификация двухполевого метода расчета начально-краевой задачи для уравнений Стокса // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1998, вып. 114, С.86-89.

45. Воеводин А.Ф., Юшкова Т.В. Численный метод решения начально-краевых задач для уравнений Навье Стокса в замкнутых областях на основе метода расщепления /7 Сиб. журн. вычисл. математики, 1999, т.2, №4. С.321-332.

46. Воеводин А.Ф., Юшкова Т.В. О разностных схемах повышенного порядка для расчёта течений вязкой жидкости // IV-ый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск, 2000. Тез. докл. Часть II, С.79.

47. Воеводин А.Ф., Протопопова Т.В. Метод расчёта вязких течений в замкнутых областях // Сиб. журн. индустриальной математики, 2001, т.4, №, С.29-37.