Методы оптимального управления и сопряженных уравнений для задач геофизической гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На прюаг, руьописи,

Ботвпповский Евгений Александрович

Методы оптимального управления и сопряженных

уравнений для задач геофизической гидродинамики 01 01.07 — Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физи\о-матсматическиг паук

Москва 2008

003454011

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН

Научный руководитель: д ф -м.и., профессор В И Агошков

Официальные оппоненты: дф-мн., Ю.В Василевский к ф.-м н., доцент А.В Попов

Ведущая организация' Вычислительный центр им. А А Дородницына РАН

Защита состоится * 12 * декабря 2008 г. в Ц часов па заседании диссертационного совета Д 002.045 01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу 119333, г. Москва, ул Губкина, д 8.

С диссертацией можно ознакомиться в бибтиотске Института вычислительной математики РАН

Автореферат разослан Л/» ноября 2008 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002 045 01 доктор физико-математических наук

Г А. Бочаров

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Большое количество физических процсссои динамики океана описывается моделями, использующими различные модификации н упрощения классических задач гидродинамики, таких как система сравнении Навье-Стокса,

Исследование п численное решение системы уравнений Навье-Стокса - одна из наиболее сложных задач вычислительной математики и гидродинамики, методы решения которой активно разрабатывались в течение последних 50 лет. Большинство работ, опубликованных па эту тему, посвящено развитию чистеииых методов решения уравнений Навье-Стокса и различных пх модификации Трудности при решении этих задач связаны с недостаточной информацией о точных решениях (почти все найденные точные решения не несут в себе специфики нелинейной задачи) Дополнительные сложности возникают при >четс реальных физических данных (геометрия области, разброс значений коэффициентов, специфика поведения решений, размерность задачи, расчет па долгий интервал по времени, ограниченные ресурсы ЭВМ и многое другое) Существующая, в то же время, большая востребованность решения данных задач при моделировании физических процессов гидродинамики оставляет актуальным вопрос о разработке эффективных методов решения в каждом конкретном случае

Одним из подходов конструирования новых алгоритмов решения задач магматической физики (в том числе и задач гидродинамики) является методология их построения, базирующаяся на методах теории оптимального управления Вероятно, впервые эти подходы были предложены в работе Агошкова В И., Ва1с1оь'а С., Булсева С.Н (1998) в применении к решению классической стационарной системы Стокса. Идея построения таких методов при рассмотрении системы Стокса состоит в следующем функция давления рассматривается в качество "дополнительной" неизвестной по отношению к компонентам вектора скорости -"основным" компонентам решения, а уравнение неразрывности рассматривается в качестве 'сравнения замыкания" задачи Затем задача рассматривается как обратная задача (или задача оптимального управления) и включается в семейство задач оптимального управления, зависящих от регуляризирующего члена. Далее исследуются задачи оптимального управления и дтя их решения применяются классические численные методы с применением подходов теории сопряженных уравнений В последующем распространение данных подходов к построению численных алгоритмов и их формулировке для стилем онера горных уравнений было выполнено в монографии Агошкова В И. (2003). Однако было актуальным и представляло как теоретический, так и практический интерес исследование данной

методологии в применении к классу задач геофизической гидродинамики, таких как нестационарная система Стокса, возмущенная ограниченным кососимметрическим оператором, и система уравнений динамики приливов в декартовых и сферических координатах. Отмстим, что в отношении системы уравнений динамики приливов дополнительные сложности возникают в силу сингулярности сферической системы координат в точках "полюса" на сфере, и исследование поведения гладких решений системы уравнении динамики приливов в окрестности ''полюсных точек" представляет особый интерес. Знание асимптотического разложения гладких решений в окрестности этих точек позвонило бы предложить различные способы уточнения численных решений исходных уравнений. Изложенное выше было принято в качестве целей исследований в диссертационной рабоге и обуславливает их актуальность

Цель работы - разработка и исследование новых алгоритмов решения класса задач геофизической гидродинамики (возмущенных уравнений Стокса, задач динамической теории приливов в декартовых и сферических координатах) на основе методологии нх построения, базирующейся на подходах теории оптимального управления и сопряженных уравнений.

Научная новизна работы. Представленные в диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем-

• Разработан, обоснован и численно реализован новый метод решения нестационарной системы Стокса, возмущенной кососимметрическим оператором, базирующийся на теории оптимального управления и сопряженных уравнений

• Разработан, исследован и численно реализован новый метод решения системы уравнений динамики приливов в прямоугольной области и на сфсре. Предложенный мсгод базируется на совместном применении схемы расщепления и подходов теории оптимального управления и сопряженных уравнений.

• Получены оценки для границ спектра "оператора давления" на сфсре Выписаны асимптотические представления гладких решений в окрестности точек полюса на сфсре до третьего порядка малости Предложены формулы, увеличивающие точность численною решения в окрестности точек полюса на сфере.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость

диссертационной работы состоит в развитии методологии построении новых .мгоритыоп решения к пасса чадам геофизической I идродинамики, базирующейся па теории оптимального управления и (оиряженных уравнении, а также в систематическом исследовании и обосновании предлагаемых алгоритмов Практическая "значимость заключается в возможности использования полученных оценок спектров рассматриваемых в работе операторов для ускорения еходнмоеш итерационных шноритмов. Кроме тою, нредло/кепиые в работе (формулы уточнения численных решении в окрестности "поносных точек" на сфере могут найти применение при численном решении более широкого класса задач геофизической гидродинамики - общей циркуляции океана

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах Института вычислительной ма!ематики РАН, Вычислительного центра РАН, кафедры Вычислительной математики Механико-математического факультета МГУ им Ломоносова

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Тихонов и современная матемашка" (Москва, 2006'), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 2007), конференции "Тихоновские чтения" (Москва, 2007), Международной конференции "Ломоносов-2008" (Москва. 2008), Международной конференции ЕСи Сепс1а1 АаьсшЫ) (Вена, 2008).

Публикации. По лсме диссертации опубликовано 4 еппьи в рецензируемых журналах (из них |1,5,7] - в журналах, рекомендованных- ВАК дня защиты кандидатских диссертаций) и 3 работы в сборниках тезисов

Личный вклад автора. Во всех работах, подготовленных в соавторстве, диссертант совместно осуществлял теоретическое исследование задач, самостоятельно проводил обоснования итерационных процессов, планирование численных экспериментов, выполнял все расчеты и осуществлял анализ результатов

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 89 названий, содержит 20 рисунков и 21 таблицу. Объем диссертации составляет 131 страницу.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждаются рассматриваемые в работе задачи н существующие методы их решения Описывается структура диссертации, кратко формулируются основные полученные результаты

В первой главе, состоящей из двух разделов, рассматривается методология конструирования новых методов решения класса задач, задаваемого системой операторных уравнений

Ьф = } + Ви, Сф = h + Du, (1)

где f, h - заданные элементы, ф,и - неизвестные, L,B,C,D - линейные операторы. Суть э 1 oil методолог пи заключается в следующем' компоненты всего исходного вектора неизвестных (вектора решения) разбиваются на две группы, при -пом первая из них (обозначается ф) у словно называется "основной" составляющей решения, а вторая (обозначается и) - "дополнительной" (пли "управлением") Полная система уравнений задачи (если она заранее не представлена в форме (1)) записывается в виде системы двух операторных уравнении (1) Затем вся задача сводится к задаче оптимального управления с регуляризирующим слагаемым найти ф = ф(и) и управление и такие, что

Ьф = f + Ви, Ми,ф(и))= iiif Ja(vJ(v)), (2)

v£D(B)

где

Jn(v, ф(ь)) = f ||„ - ис\\2Нс + ¡\\Сф - Л - Dv\ Щь) = f + Bv, а 2 О, Uc заданный элемент, Нс,Н0ь - гильбертовы пространства. Далее выписываются необходимые условия эксгремума функционала (2). которые можно записать в виде вариационного уравнения au + А'Аи = A'f, где А - некоторый оператор, который в общем случае не является самосопряженным, а А* - сопряженный к А оператор. Отметим, что это уравнение является основным объектом исследования в теории обратных задачах с помощью методов регуляризации А Н Тихонова Именно к нему применяются классические итерационные методы и доказывается сходимость последовательности приближений к решению задачи (1) Однако при рассмотрении конкретных задач исходные уравнения в ряде случаев удается записать таким образом, что А = А*. В этом случае становится возможным применение к решению рассматриваемого уравнения алгоритмов, базирующихся на теории М М Лаврентьева решения обратных и некорректных задач К этому классу откосится

метод, сформулированный в раздело 1.2 данной главы. Отмстим, что благодари симметричности исходною оператора при реализации рассматриваемого в раздело 1.1 алгоритма нет необходимости решать сопряженные задачи. Это позволяет уменьшить время расист по сравнению с соответствующими алгоритмами из раздела 1.1.

Во второй главе проведено исследование изложенной в главе 1 методологии в применении к нестационарной системе Стокса, возмущенной ограниченным кососнмметрпческнм оператором.

В разделе 2.1 формулируется постановка задачи' пантп функции ф : П х [О,Г] —> R" и р (1 х [0,Г] —» R, где П ограниченная область в R", такие, что

фь - а&ф + 1 хф + Ьф = f-Vp в !!х (О, Т) ее Qt,

А\уф = 0 в QT, ф\ =0 Vte(0,T), ф\ = ф0, (<п

Ir li=o v'

J р (in = 0 Vi, !i

1дс ф=(ф1,. ,ф„), 1 х ф = (—1ф2,1фх, 0,. ,0), л, b, 1 = const, а > 0, Ь^О Далее, вводятся необходимые функциональные пространства и сформулируется обобщенная постановка (3) Затем, согласно нсслед)смой методологии, мы переходим к рассмотрению семейства задач оптимального управления с регуляризнрущим слагаемым

иР,ф) = \а\\р\\12{(}1) + i||div^||iaWl) + I||div*| 1=Г|ЦЛ!!) — inf, ф1 - аАф + 1 х ф + Ьф = f ~Vp, а = const ^ 0

Если ф,р есть решение системы уравнений (3), то оно будет решением (4) при а = 0

В разделе 2.2 для решения (4) выписываются необходимые условия экстремума функционала Ja(p,0) в виде вариационного уравнения

ар + А'Ар = А'д, где А = CL~XB, д = -Ci-1/, (5)

а операторы L, В, С определяются с помощью билинейных форм (Ьф,ф) = (ф, -ф,) + (а^ф, Vф) + (bфЛ)H-lф2Л^)LЛQI) + {lфuФ2)LAQr) + (Ф{T)Жт))lLm)^ (. ) — (*i ))". (Bp, Ф) S (р, div$)LMrh (Сф, р) = (diУф, р)!.М1)УФ, Ф е W, Ур, Р е Не,

Hc = {feL2(Qr) Jjcin = 0 V/, е [0,Г]}, Н = (Я)", Н = L2(QT), п

Y = L2(U,T;0^ (П))", W = {0eY:||0||w = (IM|2 . + ¡|0||^),/2 < оо}. Ошоеительно разрешимости уравнения

Ар = д Ьф = f + Bp, Сф = 0 (С)

справедлива следующая

Теорема 1. Уравнение Ар = д однозначно и плотно разрешгхмо Если задача (3) имеет "классическое'' решение ф,р (например, ф € С2((}Т),р € С'^т)), то пара ф,р удовлетворяет (6).

Следствие 1. Пусть ф,р есть решение задачи (3) (классическое или обобщенное), а ф(а),р(ос) - есть компоненты решенья задачи (4) при а > 0 Тогда

|Ь(а) - Икс + - <Я1н - 0, ||сЬ-0(а)||„ 0 при а - +0

В разделе 2.3 рассматривается итерационный процесс для решения уравнений (5) В "классической" форме записи он имеет вид если рМ задано, то последующее приближение находим, решая системы

ф\к) - аАф(к) + 1 х ф{к) + Ьф{к] = / - Ур(к\ = 0 уг € (0, Г), ^>1 = ф0 (7)

~ц[к) - аАцМ - 1 х цМ + = -ЧАпфЮ, ч«| = 0Уге(0,Г), =0, (8)

1г 1(=Г

р(<-н) = р(*) _ Тк{ар{к) + сь-ц«), (9)

где q('г' н .. ,Чп]), тк > 0, а > 0 - параметры.

Из теории экстремальных задач следует, что если известна величина 3, = шГ 3(и) > —оо (а в задаче (4) имеем Л = 0 в силу теоремы 1), то для ускорения сходимости итерационного процесса (7)-(9) параметры {тд,} можно вычислять по следующей формуле.

¡¡\АпфМ\ЧПсИ _ ~ 1 и п

^к —--^--

/ [

о а

В разделе 2.4 предложены некоторые способы уточнения приближений для р. Первый способ состоит в следующем Функцию $ е (¿г(П))2 представим в виде f — д®11, где д = УР,Р 6 И^', а /г удовлетворяет условиям сЬу/г = 0 и ш = 0 Справедливо следующее уравнеиие

ДР = с1К'/ в $2, = п ■ /, / Р<1х = 0. ап 1г ,/

и

Вводя р = р— Р переходим к решению задачи'

ф1 - аАф + 1 х ф + Ьф — 1г - Ур в С}т,

, с]1\'0 = О в Ят,ф\ =0 Ше(0,Т), ф\ =ф0, 1г 1(=1)

¡р(1П = 0Ш ■ п

Искомая функция р есть р = р+Р. Второй способ заключается в формулировке и решении "специальной задачи для р" после окончания итерационного процесса при найденном ф. Пример. Если П з (О, Л) х (О,В), то "специальная задача" есть

ду\у=о,в дхду Ох 1х=о,л Оуаг

где ф = (и,у) Результаты расчетов показывают, что применение методов уточнения приближенного решения к функции давления р уменьшает значение относительных ошибок для р

В разделе 2.5 приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие основные выводы по данной главе

В третьей гласе рассматривается применение общей методологии совместно с классическими методами расщепления к построению численного метода решения системы сравнений динамики приливов в декартовых координатах и области прямоугольной формы В разделе 3.1 приводится постановка задачи в С]г н П х (О, Г), П = [О, Л] х [О, В]

о

требуется найти функции и = (и, у) £ (£2(£?г))2,С € т) такие, что и, и 6 £2(0, Т, (И^1

о

(П))2), £ Ь2(0,Т; (1У2' 11 удовлетворяющие следующей системе уравнений

и, - Бп-^Уи) + КV + дНЧС = Г, С< + <Ь-и = О,

4* = °. иц = и(»>. си = с(о),

где и,Н> 0 в П, Н,д = сопзЬ, сЬи = ^ +

,К =

(10)

Й|и| -I I £|й|

, 7* = соп^ > 0,

и = (и, у) - заданная вектор-функция, компоненты которой являются достаточно гладкими Компоненты всктор-функцпн и имеют физический смысл составляющих полного потока, £ - отклонение поверхности океана относительно "поверхности равновесия". Н -глубина Оксана, г* и V - коэффициенты придонного и горизонтального турбулентного трепня, I - параметр Корполиса.

В разделе 3.2 рассматривается метод расщепления для аппроксимации (10) по времени Вводится сетка = ] } = 0,1,..., Ит, = Т/№г и па каждом отрезке (¿3-ь применяется схема расщепления вида

ТТ(1) ТГ(1) , гг

3 I?'-1 - 5Пп-(,у(иу» + и('_\)) + ^ V«, + с-о =

(п)

^'д^-1 + + ují\) = O.U« = U<", (12)

где

= /í(U,-i), uf=U(0), Cu = C(t))> J = l, ■

Реализация (12) может быть осуществлена по явным формулам, а (11) сводится к решению задач типа

-Div(aVU) + Ш + cV< = F, cdivV + d( = G, U|8f¡ = 0. (13)

В разделе 3.3 доказывается корректная разрешимость стационарной задачи (13) в соответствующих функциональных пространствах.

В разделе 3.4 формулируется задача оптимального управления, включающая обобщенную постановку для (13) Выписываются необходимые условия экстремума функционала в виде системы вариационных уравнений. Относительно оператора

А = —div(~Div(aVU) + bU)~'V + di, A: L¿{Л) -> ¿2(Л), D(A) = L2(Í1)

- 'оператора давления", справедливо Предложение 1. Sp(A'A) с [C0,Ci], где

\лш есть минимальное собственное значение задачи —ДС = Clt»í¡ = 0> 1 > (imm > 0 - минимальное собственное значенье задачи clivA-,VC = /(£.

В разделе 3.5 исследуется итерационный процесс решения (13). На основе (14) изучены оценки его скорости сходимости Предложен алгоритм вычисления параметров рассматриваемого итерационного процесса для ускорения сходимости.

В разделе 3.6 приведены результаты численных экспериментов и основные выводы по главе 3

Четвертая глава посвящена применению исследуемой методологии совместно с классическими методами расщепления к построению численного метода решения системы уравнений динамики приливов на сфере

В разделе 4.1 постановка задачи динамической теории приливов рассматривается в сферических координатах в,Х,г, А € [0, 2тг], в 6 [0,7г], где г полагается равным среднему радиусу Земли Я, и выписана в терминах "средних" скоростей и снмметрнзованном виде Область Л соответствует поверхности Мирового океана на "сферической Земле" или некоторой се части. В QT — Л х (0, Т), Т < оо требуется найти функции U = (u,v) 6

(¿2(Qt))2,С £ L¿(Qr) такие, что удовлетворяют следующей системе уравнений

ЯU, - vApTJ + KU + gHV( = f, (,+ divfíU = /3,

UL = °> UL = U«»> CU=C(0)

Здесь

A0V = (Av,Av) + /3DU, /?€[0,1], Д = divV,

\Яьш0оА Н üü ,

, тт 1 ди 1д{уьтв) _,TI 1 / Ли п 3(Л

divU е; ---- + - Z7U = —-j— -« + 2cosí»—, -v - 2eos0— ,

Я sin Од A R sin 0 30 Л2 ып 0 \ 3 А ЗА /

A'U = (r*|U|u — /г), lu + r*|Ü|w),

и Я £ I = —2и eos 0, и - угловая скорость вращения Земли, остальные функции и

коэффициенты были определены рапсе В приводимых нише обозначениях круглые скобки ( , ) определяют всктор-ф}пкцшо Отдельной проблемой, которая обсуждается в данной главе, становится постановка задачи в сферической система координат в силу наличия сингулярности в полюсных точках.

Как п в предыдущей главе, сначала для задачи (15) применяется аналогичная (11)-(12) схема расщепления, которая рассматривается в разделе 4.2 Реализация неявного этапа этой схемы расщепления своди 1ся к решению стедующеч! стационарной задачи

-аА0U + ЬЯи + c.HVС = F, cdivffU + dC,-G, U|r,n = О, J <;<1П = 0, (16)

n

; 1 <9

где а = и, Ь — —, с = а, а = —

A t J At

В разделе 4.3 вводятся соответствующие функциональные пространства, в которых стационарная задача (1С) корректно разрешима Особенность рассматриваемых функциональных пространств заключается в том, что принадлежащие им гладкие функции U = (и, v) удовлетворяют условиям

ди ди „

— - а = 0, v + — = 0 при 0 = 0

& п & , * (17)

— + U = О, V - — = 0 при в = 7Г.

ЗА ЗА

Также доказывается устойчивость схемы расщепления при г* = 0.

В разделе 4.4 формулируется задача оптимального управления (2), соответствующая (16), н доказывается се корректная разрешимость Относительно операторною уравнения, зквиваленпюго системе (16),

ЛС = / в L2(fi), (18)

[ДО А = -—di\'Я(Дл + ^-/Г'ЯУ + имеет место

IV ¡/Ai Ai

Теорема 2. Пусть H = const, /3 = 1, точка 0 = 0 яр принадлежит. П Точка в = 7Г лю-

э/cem принадлежать П, но в этом случае предполагается, что U = (и, г;) удовлетворяет

условию вида

2тг

/ ((и2 + )/2) - - «är)]iZA = 0 "Р" б = тт.

J OA Ол

0

Тогда tri¡юведливы следующие утверждения

(а) Операторы А, А*А являются самосопряженными и положительно определенными

(б) Sp{A) € VQ], 5р(ЛМ) 6 [Со, С,], где

где А„Ш1 есть минимальное собственное значение задачи —А] С = А^, С|ап = 0, а р.,тп -нгжняя граница спектра оператора divi Д71 Vi и /i,„,„ < 1 fej Задача (IS) корректно и плотно разрешима

В разделе 4.5 исследуются итерационные процессы решения (16) С учетом свойств оператора А здесь могут быть использованы алгоритмы из раздела 1 2 Например, двухслойный итерационный процесс будет выглядеть следующим обраюм Для заданного Ç0 вычисляем невязку, решая ciicieuy

i -aAiU0 + bffU0 = F - c#V£°, U°|.)n = 0, I r° = cdivtfU0 + c/Ç0-G. Затем последовательно при k = 0,1,. .N реализуем итерационный процесс вида'

( -аД,'Vм + bHYul = -cHVr\ Vk+1|ön = 0, I гиш = cdivtfV*+l + drk

(20)

* = ф$Гу С- = С - г- = rk - (21)

Для нахождения приближения UN решаем эллиптическую задачу

—аД|идг + bHUN = F - cHV(tN^ U"|9n = 0 (22)

Теорема 3. Пусть приближения {U1} относятся к классу решений, удовлстворяюи^их условиям (17)- Тогда, если Н = const и параметры {fk} выбираются согласно (21), то последовательности {Ufc}, {С^} сходятся соответственно к U, С - обобщенному решению исходной задачи, причем с,п}швсдлива оценка

[UA - U] + IK* - С|[адп) « СЧ\ 12

где

— ^ g е- — ^тш^тшп _

4 ~ 1 - е + х' £ " А„,„ + ЯЛ2/Aiu Х ~ AtgH2' а постоянная С > 0 не зависит от к,

Следствие 2. £Ъш е« 1, а Д(< 2v/(gH2), то х > 1 и Я — --< ^

1 -Ь х ^

Отмегпм, что при выполнении условии следствия можно ожидать высокой скорости сходимости рассма1рнвасмыч итерационных алюрнгмов

В разделе 4.G исследуется поведите гладких решении задач (15), (16) при /3 = 0 и 0 = 1.

Теорема 4. Пусть существует достаточно гладкое решение (и, задачи (15) при [5 = 0 в сферических координатат в области i2, еодерэ/еащей подобласть П0 = [0,27г] х [0, (?оЬ где Од = const, > 0 и 0ц - достаточно мало Тогда при 0 < 9и справедливы cooimtouieiiux

u(\,e,t) = va(t) + 0(e), v(X,e,t) = 0(B), (23)

где Uo(t) некоторая функция, независящая от Х,9

Замечание 1. Решение исходной задачи при (5 = 0 в окрестности точек в = 0 и в = 7г может, задавать непрерывное векторное, поле U = (и, v), касательное к сфере, только в той случае, если и(Х, 0) = г>(А, 0) = и(Х, 7г) = и(А, 7г) = О VA 6 [0, 2тг]

Исследуется и приводится асимптотическое представления гладких решений задачи (16) в окрестности лочек полюса на сфере при /3 = 1 до третьего порядка малости. На основе этих разложении предложены формулы для определения функции скорости в полюсных точках но правой части, а также формулы, увеличивающие точность численного решения в окрестности лих точек

Пятая глава посвящена систематическому не следованию численных аспектов рас смеренных в четвертой главе алгоритмов

В разделе 5.1 численно исследуется стационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором До в сферическом слое Результаты расчетов показывают, что итерационный процесс сходится достаточно быстро Уменьшение шагов сетки, а также уменьшение отступа от полюсных точек требует дополнительных ограничений, таких как введение регулярпзируеющего слагаемого н уменьшение временного шага.

В разделе 5.2 численно исследуется нестационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором Д0 на сфере Результаты расчетов показывают, что для повышения точности численного решения требуется применение специального вида сглаживания в окрестности полюсных точек.

В разделе 5.3 численно исследуется нестационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором Д1 на сфере Результаты расчетов показывают, что рассматриваемый в разделе 4 5 итерационный процесс сходится достаточно быстро При этом иаб подастся периодичность по времени численной ошибки. Сеточные функции также обладают периодом по времени

В разделе 5.4 исследуются ошибки при замене оператора Д1 в исходных уравнениях динамики приливов на сфере на оператор До, широко используемый в геофизической гидродинамике. Численные расчеты показывают, что при увеличении коэффициента диффузии разница между решениями при использовании операторов (До)"1 и (Дстановится существенной. И при "больших" коэффициентах диффузии (1> = 101-) применение оператора (Дд1)-1 вместо (Д'/)~' приводит к большим ошибках в численном решении не ютько в окрестности полюсных точек, но и во всей расчетной области

В разделе 5.5 исследуется влияние специальных условий для функции скорости в "понос пых точках", полученных на основе приведенных в разделе 4 0 асимптотических разложений. Результаты расчетов показывают, что применение специальных условий и алгоритмов уточнения численного решения в окрестности "полюсных точек" на тестовом примере приводит к таким же по порядку численным ошибкам, как и при задании значений в по люсах точного решения. Таким образом, можно предположить, что данный способ будет эффективен при расчете с реальными данными.

В разделе 5.6 численно исследуется нелинейная нестационарная система уравнений динамики приливов па сфере. Результаты численных экспериментов подтверждают сходимость рассматриваемых итерационных процессов и схемы расщепления

В разделе 5.7 кратко описывается способ задания приливного потенциала с помощью основных приливных гармоник и приводятся расчеты в акватории Мирового океана с реальной функцией рельефа дна и приливных сил, при этом для решения задач применялись исследуемые в диссертации методы Численные результаты подтверждают эффективность не следуемых мел одпк.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы

В приложении изложены некоторые возможные направления для развития исследуемой методологии применительно к построению алгоритмов решения системы уравнений Навье-Стокеа без детального изучения рассматриваемых алгоритмов и их численной проверки.

Основные результаты работы

Основной результат - на основе методологии, базирующейся на подходах теории оптимального управления и сопряженных уравнений, разработаны и исследованы новые алгоритмы решения класса задач геофизической гидродинамики (возмущенных уравнении Стокса, задач динамической теории приливов в декартовых и сферических коордшкиах) Этот результат состоит в следующем

• Разработан, обоснован н численно реализован новый метод решения нестационарной системы Сюкса, возмущенной кососпмметрнчсским оператором

• Разработан, исследован и численно реализован новый метод решения системы уравнении динамики приливов в прямоугольной обласш и па сфере Предложенный метод базируется на совместном применении схемы расщепления и подходов теории оптимального управления и сопряженных уравнений На основе исследуемой методоло! пи разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы решения полученных после схемы расщепления стационарных задач

• Получены оценки для границ спектра "оператора давления" на сфере и, па их основе, доказаны оценки скорости сходимости итерационных процессов. Выипсапы асимптотические представления гладких решений в окрестности точек полюса па сфере до третьего порядка малости Предложен алгоритм вычисления параметров рассматриваемых итерационных процессов для ускорения их сходимости.

• Проведено численное исследование изложенных в работе итерационных алгоритмов Предложены формулы, увеличивающие точность численного решения в окрестности точек полюса на сфере Проведены численные эксперименты с рсальион акваторией, функцией рельефа дна и приливным потщналом Численные результаты подтверждают эффективность исследуемых методик

Публикации по теме диссертации

[1] Агонтков ВН, Богвиновский ЕА Численное решение нестационарной систем],I Стокса методами теории сопряженных уравнений и оптимального управления /7 ЖВМиМФ. - 2007. - Т. 47. - №7. - с 1192-1207

[2] Агошков В II , Ботвиновский Е.А Численное решение нестационарной системы

Стокса методами теории оптимального управления и сопряженных уравнения, Международная конференция 'Тихонов и современная математика" Тезисы докладов секции №3 - М.. Издательский отдел ф-та ВМиК, 200S - С 14-15

[3] Ботвиновский Е. А Исследование одного метода решения гнперболо-параболнчсской системы на сфере. Международная конференция "Ломоносов-2008". Сборник тезисов секции "Вычислительная малематика и кибернетика" - М : Издательский отдел ф-та ВМиК, 2008. - С 20-21

[4] Agoshkov V I., Botvinovsky Е A. Numerical Solution of a Hypcibolic-Parabolic System by Splitting Methods and Optimal Contiol Appioachcs // Computational Methods m Applied Mathematics - 2007. - V. 7 - No. 3 - P.193-207.

[51 Agoshkov V I, Botvmovsku E A Investigation of a method foi solving a hyperbolic-paiabohc system on a spheic/'/'Russ J Numci Anal Math Modelling - 2008 - V. 23 - No 2 - P. 107-134.

[G] Agoshkov V., Botvmo\sky E , Gusev A , Lcbedev S , Paimuzm E . Shutyacv V. Vanational data assimilation system INM-T1 // Geophysical Rcscaich Abstiacts - 2008 -V 10 - EGU2008-A-08220

[7] Botvmovsku E A. An algonthm foi the solution of a tidal dynamics pioblcm on a sphcie //Russ J Numci Anal. Math Modelling - 2008 - V 23 - No. 6 - P. 523-53G.

1G

Заказ № 62/11/08 Подписано в печать 07 11 2008 Тираж 70 экз Уел п л 1

-ООО "Цифровичок", тел (495) 797-75-76, (495) 778-22-20 >/; \vw\v cfr.ru ; е-таН:info@cfr.ru

Введение.

1 Основные положения методологии построения алгоритмов решения одного класса систем операторных уравнений

1.1 Основы общей методологии.

1.2 Случай симметричного оператора А.

2 Численное решение нестационарной системы Стокса, возмущенной кососимметрическим оператором

2.1 Постановка задачи для нестационарной системы Стокса и переформулировка ее как задачи оптимального управления

2.2 Вариационные уравнения.

2.3 Итерационные процессы.

2.4 Методы уточнения приближенного решения

2.5 Численные эксперименты.

3 Численное решение системы уравнений динамики приливов в декартовых координатах

3.1 Постановка задачи.

3.2 Схема расщепления

3.3 Решение стационарной системы.

3.4 Задача оптимального управления

3.5 Итерационный процесс решения задачи.

3.6 Результаты численных экспериментов.

4 Численное решение системы уравнений динамики приливов на сфере

4.1 Постановка задачи.

4.2 Схема расщепления

4.3 Решение стационарной системы.

4.4 Задача оптимального управления

4.5 Итерационные процессы.

4.6 Некоторые свойства гладких решений.

5 Численное исследование итерационных процессов на сфере

5.1 Стационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором До : сферический слои.

5.2 Нестационарная линейная система уравнении динамики приливов с оператором До : сфера.

5.3 Нестационарная линейная система уравнений динамики приливов с оператором Дх : сфера.

5.4 Численное исследование ошибок алгоритма от замены оператора Дх на оператор До.

5.5 Численное исследование влияния специальных условий в "полюсных точках".

5.6 Численные эксперименты для тестовых решений.

5.7 Численные эксперименты с реальными данными.

Большое количество физических процессов динамики океана описывается моделями, использующими различные модификации и упрощения классических задач гидродинамики, таких как система уравнений Навье-Стокса [16, 29, 31, 41, 15, 36, 30, 82].

Исследование и численное решение системы уравнений Навье-Стокса - одна из наиболее сложных задач вычислительной математики и гидродинамики, методы решения которой активно разрабатывались в течение последних 50 лет. Количество работ, опубликованных ыа эту тему, не поддается исчислению, отметим лишь малую часть монографий [24, 43, 37, 4, 45, 70, 71]. Большинство этих работ посвящено развитию численных методов решения уравнений Навье-Стокса и различных их модификаций. Трудности при решении этих задач связаны с недостаточной информацией о точных решениях (почти все найденные точные решения не несут в себе специфики нелинейной задачи). Дополнительные сложности возникают при учете реальных физических данных (геометрия области, разброс значений коэффициентов, специфика поведения решений, размерность задачи, расчет на долгий интервал по времени, ограниченные ресурсы ЭВМ и многое другое). Существующая, в то же время, большая востребованность решения данных задач при моделировании физических процессов гидродинамики оставляет актуальным вопрос о разработке эффективных методов решения в каждом конкретном случае.

Одним из подходов конструирования новых алгоритмов решения задач математической физики (в том числе и задач гидродинамики) является методология их построения, базирующаяся на методах теории оптимального управления. Вероятно, впервые эти подходы были предложены в работе [52] в применении к решению классической стационарной системы Стокса. Идея построения таких методов при рассмотрении системы Стокса состоит в следующем: функция давления рассматривается в качестве "дополнительной" неизвестной по отношению к компонентам вектора скорости - "основным" компонентам решения, а уравнение неразрывности рассматривается в качестве "дополнительного уравнения" и относится к уравнению замыкания задачи. Затем задача рассматривается как обратная задача (или задача оптимального управления) и включается в семейство задач оптимального управления, зависящих от регуляризирующего члена. Далее исследуются задачи оптимального управления и для их решения применяются классические численные методы. В последующем распространение данных подходов к построению численных алгоритмов и их формулировке для систем операторных уравнений было выполнено в [1].

В настоящей работе проведено исследование данной методологии в применении к нестационарной системе Стокса, возмущенной ограниченным ко-сосимметрическим оператором и системе уравнений динамики приливов, а также предложены направления развития этой методологии для решения нелинейных уравнений Навье-Стокса.

Приведем описание рассматриваемых в данной работе задач и обзор методов их решения.

Нестационарная система уравнений Стокса является линеаризацией уравнений Навье-Стокса. С физической стороны она описывает движения вязкой несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса (т.е. при малых скоростях, большой вязкости или малых размеров рассматриваемой области), и в этом случае решение уравнений Стокса хорошо приближают решения соответствующих уравнений Навье-Стокса. Кроме того, она часто возникает в качестве одного из этапов решения уравнений Навье-Стокса, например, при дискретизации по времени конвективного слагаемого с предыдущего слоя.

Помимо упомянутой выше методологии для решения задачи Стокса существует большое количество методов. Приведем обзор этих методов по разным направлениям, цитируя работу [20]. Это алгоритмы типа Узавы-сопряженных градиентов [56, 73, 43, 65, 70, 77, 63, 33, 81], методы релаксации [56, 65, 43, 48, 21, 62], методы, основанные на идеях симметризации и предобусловливания [46, 47, 5, 61, 66, 84, 85], многосеточные и многоуровневые алгоритмы [49, 60, 66, 87, 88, 89, 83], расщепление граничных условий для давления [34, 35], итерирование граничных условий для скорости [64], метод фиктивных областей [6, 58], использование гармонической составляющей скорости [86]. Рассматриваемый в диссертации алгоритм решения нестационарной задачи Стокса является новым по отношению к перечисленным. Из особенностей алгоритма можно отметить отсутствие жесткого требования удовлетворения условию divw = 0 последовательности приближенных решений, а также требования симметричности оператора задачи (в большинстве из перечисленных выше алгоритмов по существу используется свойство симметричности) .

Одной из возможных постановок для задачи динамической теории приливов является рассматриваемая в работе "гиперболо-параболическая" система уравнений [82, 30], которая относится к классу систем уравнений теории "мелкой воды" [13] и является упрощением уравнений Навье-Стокса. Отметим некоторые особенности этой системы. Она содержит "слабую" нелинейность, кососимметричный и "диффузионный" (диссипативный) операторы. При устремлении коэффициента диффузии к нулю и постановке соответствующих граничных условий система принимает "чисто" гиперболический вид. Специальная подобная система (без нелинейного слагаемого) исследовалась Соболевым C.JI. в работе [42], которая явилась основополагающей для нескольких направлений в исследованиях задач математической физики. Также системы подобного вида исследовались в работах [68, 76]. В отличи е от [42], в настоящей работе рассматриваются услови51 "прилипания" на границе, а коэффициент диффузии считается положительным. Ряд результатов по существованию и единственности решения подобных задач приведен, например, в [30].

Для численного решения системы уравнений модели динамики приливов можно использовать HN-метод (сокращение от английского Hydrodynamic Numerical Method) [72], метод дробных шагов [79], метод конечных элементов [78] и др. Если функция рельефа дна Н является константой и отсутствует нелинейное слагаемое, то задача принимает вид классической задачи газовой динамики, описывающей движения вязкого слабосжимаемого газа. В этом случае можно предположить, что большое число способов исследования и решения такого рода задач (см. [40, 18]), разработанных в классической теории газодинамики, могут найти здесь применение. Однако нас будет интересовать случай сферической системы координат и реальной топографии дна. Здесь по существу возникают сложности, связанные с: а) аппроксимацией области, соответствующей акватории Мирового океана, и поведением решений возле границы этой области; б) реальной функцией рельефа дна, являющейся "сильно негладкой"; в) нелинейностью некоторых коэффициентов системы и специфическим их поведением в различных частях области, в которой решается задача, а также другими особенностями системы уравнений динамики приливов и её решений. Кроме того, можно предположить, что в России на сегодняшний день отсутствует национальная гидродинамическая глобальная модель приливов.

Это побудило автора к исследованию и разработке новых алгоритмов решения задачи динамики приливов с использованием исследуемой в данной работе методологии, уделяя особое внимание поведению гладкого решения в окрестности "полюсных точек" и проблеме аппроксимацпи исходных уравнений на равномерных сетках в сферической системе координат.

Цель работы - разработка и исследование новых алгоритмов решения класса задач геофизической гидродинамики (возмущенных уравнений Сток-са, задач динамической теории приливов в декартовых и сферических координатах) на основе методологии их построения, базирующейся на подходах теории оптимального управления и сопряженных уравнений.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Далее кратко рассмотрим содержание работы по главам.

Основные выводы. Изложены направления для развития исследуемой в диссертационной работе методологии в применении к системе уравнений Навье-Стокса. В параграфе §П.2 предложен итерационный алгоритм решения этой системы, реализация которого сводится к численному решению нелинейного уравнения Бюргерса. В §П.З общая методология применяется к дискретизованным по времени уравнениям Навье-Стокса. Обоснована сходимость итерационного процесса в применении к стационарной системе Стокса и получены оценки для скорости сходимости.

Заключение

Основной результат - па основе методологии, базрфующейся на подходах теории оптимального управления и сопряженных уравнений, разработаны и исследованы новые алгоритмы решения класса задач геофизической гидродинамики (возмущенных уравнений Стокса, задач динамической теории приливов в декартовых и сферических координатах). Этот результат состоит в следующем:

• Разработан, обоснован и численно реализован новый метод решения нестационарной системы Стокса, возмущенный кососимметрическим оператором.

• Разработан, исследован и численно реализован новый метод решения системы уравнений динамики приливов в прямоугольной области и на сфере. Предложенный метод базируется на совместном применении схемы расщепления и подходов теории оптимального управления и сопряженных уравнений. На основе исследуемой методологии разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы решения полученных после схемы расщепления стационарных задач.

• Получены оценки для границ спектра "оператора давления" на сфере и, на их основе, доказаны оценки скорости сходимости итерационных процессов. Выписаны асимптотические представления гладких решений в окрестности точек полюса на сфере до третьего порядка малости. Предложен алгоритм вычисления параметров рассматриваемых итерационных процессов для ускорения их сходимости.

• Проведено численное исследование изложенных в работе итерационных алгоритмов. Предложены формулы, увеличивающие точность численного решения в окрестности точек полюса на сфере. Проведены численные эксперименты с реальной акваторией, функцией рельефа дна и приливным потенциалом. Численные результаты подтверждают эффективность исследуемых методик.

Алгоритмы решения уравнений Навье-Стокса

1. Агошков В.И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. - М.: ИВМ РАН, 2003.

2. Агошков В.И., Ботвиновский Е.А. Численное решение нестационарной системы Стокса методами теории сопряженных уравнений и оптимального управления // ЖВМиМФ, Т. 47, N0.7, 2007, с. 1192-1207.

3. Андерсон Д., Тоннехилл Д., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990.

4. Аристов П. П. Об ускорении сходимости одного итерационного метода решения задачи Стокса // Известия вузов. Математика. 1994, N 9, с. 3 10.

5. Бахвалов Н.С. Эффективный итерационный метод решения уравнений Ламе для почти несжимаемых сред и уравнений Стокса // ДАН СССР. 1991, Т.319, N 1, с. 13 17.

6. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

7. Василевский Ю.В., Ольшанский М.А. Краткий курс по многосеточным методам декомпозиции области. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007.

8. Василевский Ю.В., Прокопенко A.B. Факторизация сеточного лапласиана на последовательностях сеток: экспериментальные оценки вычислительной работы // Методы и технологии решения больших задач: Сборник научных трудов. М.: ИВМ РАН, 2004.

9. Власов В.И. Метод решения краевых задач для уравнения Лапласа в областях с конусами // Доклады академии наук, Т. 397, No. 5, 2004, с. 586-589.

10. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М: Наука, 1984.

11. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р.В. Основные океанологические задачи теории мелкой воды. Л: Гидрометеоиздат, 1968.

12. Гончаров А.Л., Девдариани М.Т., Простомолотов А.И., Фрязинов И.В. Аппроксимация и численный метод решения трехмерных уравнений Навье-Стокса на ортогональных сетках // Математическое моделирование, 1991, Т. 3, No. 5, с. 89-109.

13. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. М.: Мир, 1986.

14. Динамика океана. Под ред. Доронина Ю.П. Л: Гидрометеоиздат, 1980.

15. Дуванин А.И. Приливы в море. Л: Гидрометеоиздат, 1960.

16. Жуков К.А., Попов A.B. Исследование экономичной разностной схемы для нестационарного движения вязкого слабосжимаемого газа // ЖВМ и МФ, Т. 45, No.4, 2005, с. 701-717.

17. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

18. Каргин Алексей Владимирович Методы с итерированием краевых условий для решения уравнений типа Стокса : Дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.07 : М., 2006 107 е., 61:06-1/816.

19. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991, вып. 8, с. 204 236.

20. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

21. Лавреньтев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

22. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

23. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 4. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

24. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика.- М.: Физматлит, 2005.

25. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

26. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989.

27. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. -Л.: Гидрометеоиздат, 1987.

28. Марчук Г.И., Каган Б.А. Океанские приливы. Л: Гидрометеоиздат, 1977.

29. Марчук Г.И., Саркисян A.C. Математическое моделирование циркуляции океана. М.: Наука, 1988.

30. Марсден Дж.Е., Чорин А. Математические основы механики жидкости.- М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004.

31. Ольшанский М.А. Об одной задаче типа Стокса с параметром // ЖВМ и МФ, 1996, Т. 36, N. 2, с. 75 86.

32. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с неполным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса // Матем. сб., 1994, Т. 185, No. 4, с. 101 -150.

33. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с полным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса // Матем. сб., 1994, Т. 185, No. 9, с. 109 -138.

34. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. М.: Мир, 1984.

35. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

36. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1982.'

37. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

38. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992.

39. Саркисян A.C. Моделирование динамики океана. JL: Гидрометеоиз-дат, 1991.

40. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1954, т. 18, с. 3-50.

41. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

42. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.

43. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1991.

44. Чижонков Е.В. О сходимости одного алгоритма для решения задачи Стокса // Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1995, N 2, с. 12 17.

45. Чижонков Е.В. К оптимизации алгоритмов решения задачи Стокса // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1995, N 6, с. 93 -96.

46. Чижонков Е.В. Релаксационные методы решения седловых задач. М.: ИВМ РАН, 2002.

47. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.

48. Япенко Н.Н. О слабой аппроксимации систем дифференциальных уравнений // Сиб. Матем. Ж., 1964, Т. V, No. 6.

49. Agoshkov V.I. Estimates of spectrum bounds for some operators in geophysical hydrodynamics // Russ. J. Numer. Analys. and Math. Modelling. V. 23, No. 4, 2008, pp. 305-328.

50. Agoshkov V.I., Bardos C., Buleev S.N. Solution of the Stokes problem as an inverse problem. Preprint No. 9935. Centre Math. Leuers Applic. Cachan: E.N.S. de Cachan, 1999.

51. Agoshkov V.I., Botvinovsky E.A. Numerical Solution of a Hyperbolic-Parabolic System by Splitting Methods and Optimal Control Approaches // Computational Methods in Applied Mathematics, Vol.7(2007), No.3, pp. 193-207.

52. Agoshkov V.I., Botvinovskii E.A. Investigation of a method for solving a hyperbolic-parabolic system on a sphere // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. V. 23, No. 2, 2008, pp. 107-134.

53. Agoshkov V., Botvinovsky E., Gusev A., Lebedev S., Parmuzin E., Shutyaev V. Variational data assimilation system INM-T1 // Geophysical Research Abstracts, Vol. 10, EGU2008-A-08220, 2008.

54. Arrow K.J., Hurwicz L., Uzawa H. Studies in Linear and Nonlinear Programming. Stanford: Stanford University Press, 1958.

55. Ill-posed problems in natural sciences // Nauka, Moscow, VSP BV, Netherlands, 1992.

56. Bakhvalov N.S. Solution of the Stokes nonstatonary problem by the fictitious domain method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, T.10, N 3, p. 163 172.

57. Botvinovskii E.A. An algorithm for the solution of a tidal dynamics problem on a sphere // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. V. 23, No. 6, 2008, pp. 523-536.

58. Braess D, Sarazin R. An efficient smoother for the Stokes problem // Appl. Numer. Math. 1997, V.23, p. 3 19.

59. Bramble J.H., Pasciak J.E. A Preconditioning Technique for Indefinite Systems Resulting from Mixed Approximations of Elliptic Problems // Mathem. Comput. 1988, V. 50, N 181, p. 1 17.

60. Bychenkov Yu.V., Chizhonkov E.V. Optimization of one three-parameter method of solving an algebraic system of the Stokes type // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1999, V. 14, N 5, p. 429 440.

61. Cahouet Ch.H., Chabard J.P. Some fast 3D finite element solvers for the generalized Stokes problem // Int. J. Numer. Methods Fluids, 1988, v.8, p. 869 895.

62. Chizhonkov E. V., Kargin A.V.On solution of the Stokes problem by iteration of boundary conditions // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2006, Vol. 21, № 1, p. 21 38.

63. Crouzeix M. Etude d'une methode de linearisation. Resolution des equations de Stokes stationaries. Application aux equations 104 des Navier-Stokes stationares // Cahiere de 1'IRIA. 1974, N 12, p. 139 244.

64. Elman H.C. Multigrid and Krylov Subspace Methods for the Discrete Stokes Equations //J. Numer. Methods Fluids. 1996, V.22, p. 755 770.

65. Data Announcement 88-MGG-02, Digital relief of the Surface of the Earth. NOAA, National Geophysical Data Center, Boulder, Colorado, 1988.

66. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Comm. Pure and Appl. Math., 7, 1954.

67. Gunzburger M. Finite element methods for viscous incompressible flow: a guide to theory, practice and alghorithms. Boston: Academic Press, 1989.

68. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Berlin: Springer, 1986.

69. Glowinski R. Finite element methods for incompressible viscous flows. Handbook of Numerical Analysis. V. 9. Amsterdam: North-Holland, 2003.

70. Hansen W. The reproduction of the motion in the sea by means of Hydrodynamical Numerical Methods // Mitt. Inst. Meereskunde Univ. Hamburg, N 5, s. 1-57, 1966.

71. Hestenes M.R., Stiefel E. Methods of conjugate gradients for solving linear systems //J. Res. Nat. Bur. Standarts Sect. B. 1952, V. 49, p. 409 436.

72. James W. Demmel, Stanley C. Eisenstat, John R. Gilbert, Xiaoye S. Li, Joseph W. H. Liu. A supernodal approach to sparse partial pivoting, SIAM J. Matrix Analysis and Applications, 1999, 20, 3, pp. 720-755.

73. Kobelkov G.M., Olshanskii M.A. Effective preconditioning of Uzawa type schemes for a generalized Stokes problem // Numer. Math., 86, 2000, pp. 443-470.

74. Kreiss H. Uber die approximative Losung von linearen partiellen Differentialgleichungen mit Hilfe von DifFerenzengleichungen // Trans. Roy. Inst. Tech. Stockholm, No. 128.

75. Langer U., Queck W. On the convergence factor of Uzawa's algorithm // J. Сотр. Appl. Math. 1986, V.15, p. 191 202.

76. Le Provost C., Genco M.L., Lyard F., Vincent P., and Canccil P. Tidal spectroscopy of the world ocean tides from a finite element hydrodynamic model // J. Geophys. R., 99, C12, 24.777-24.798, 1994.

77. Marchuk G.I., Gordeev R.G., Rivkind V.Y., Kagan B.A. A numerical method for the solution of tidal dynamics equations and the results of its application // J. Comut. Phys. V.13, N 1, pp. 15-34, 1973.

78. Numerical methods used in atmospherical models, Vol.11 GARP Publication Series No 17, WMO/ICSU, 1979.

79. Ol'shanskii M.A. On numerical solution of nonstationary Stokes equations // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, v.10, N 1, p. 81 92.

80. Platzman G.W. Ocean tides and related waves. Lectures in Applied Mathematics, 14.

81. Sarin V., Samen A. An efficient iterative method for the generalized Stokes problem // SIAM J. Sci. Comput. 1998, V.19, N 1, p. 206 226.

82. Silvester D.J., Wathen A.J. Fast iterative solution of stabilized Stokes systems. Part H: using general block preconditioners // SIAM J. Numer. Anal. 1994, V.31, N 5, p. 1352 1367.

83. Silvester D.J., Wathen A.J. Fast iterative solution of stabilized Stokes systems. Part I: using simple diagonal preconditioners // SIAM J. Numer. Anal. 1993, V.30, N 3, p. 630 649.

84. Valedinsky V.D., Chizhonkov E.V. Structure of Solution to Stokes Problem and an Efficient Numerical Method // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1990, V.5, N 4/5, p. 419 423.

85. Verfurth R. A combined conjugate gradient-multigrid algorithm for the numerical solution of the Stokes problem // IMA J. Numer. Anal. 1984, V.4, p. 441 455.

86. Verfurth R. A multylevel algorithm for the mixed problem // SIAM J. Numer. Anal. 1984, V.21, p. 264 271.

87. Wittum G. Multi-grid methods for the Stokes and Navier-Stokes equations // Numer Math. 1989, V.54, p. 543 564.