Исследование корректности одномерных течений вязкого газа с цилиндрической и сферической симметрией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Глобальная разрешимость уравнений баротроп-ного движения вязкого газа с немонотонной функцией состояния

§ I. Постановка задач

§ 2. Уравнения движения с плоскими волнами

§ 3. Уравнения симметричных течений

§ 4. Движение с переменной вязкостью . да

ГЛАВА П. Глобальная, разрешимость уравнений движения вязкого газа с осевой и сферической симметрией

§ I. Уравнения вязкого теплопроводного газа

§ 2. Обобщенные уравнения Бюргерса

Для описания движения сплошной среда часто используют системы дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрение таких моделей непосредственно вызывается потребностями практики,потребностями численных методов решения на основе ЭВМ. С другой стороны,многие математические задачи,возникающие при изучении проблем механики,представляют и самостоятельный научный интерес,поскольку их решение связано с дальнейшим развитием теории дифференциальных уравнений.

Среди моделей гидроаэродинамики важное место занимает система уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой жидкости - модель, учитывающая как сжимаемость и теплопроводность,так и вязкость среды. Эта система весьма сложна: она имеет составной тип,а уравнения,входящие в нее,нелинейны. Поэтому часто используются и другие,более простые,модели вязкого газа. В частности,если рассматривается баротропное движение,то уравнение для энергии отделяется,хотя и в этом случае система сохраняет основные особенности - нелинейность и составной тип.

Обзор исследований по вопросам корректности краевых задач для уравнений вязкого газа приведен в монографии С.А.Антонцева, А.В.Кажихова, В.Н.Монахова [I] • Началом математического изучения течений теплопроводного вязкого газа следует считать работу Дж.Серрина [2] ,в которой сформулированы основные постановки краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. В 1962 году Дж.Нэшем [3] была получена первая теорема существования. Им была показана локальная по времени разрешимость задачи Коши для гладких начальных данных. Повторение и дальнейшее развитие этот результат нашел в работах Н.Итая [4] и А.И.Вольперта, С.И.Худяева [5] ,где применялись несколько иные метода. Первые теоремы разрешимости в целом по времени получены Я.И.Канелем [б] ,который рассмотрел задачу Коши для модели баротропного движения вязкого газа с плоскими волнами.

Для смешанных начально-краевых задач теоремы существования и единственности в малом по времени доказаны В.А.Солонниковым [7] в случае баротропного движения и А.Тани [8] в случае теплопроводного вязкого газа. Существование решения задачи Коши и смешанной задачи в целом по времени изучалось А.Матсумурой и Т.Нишидой [9] , [ю] . Ими показана глобальная разрешимость общей системы уравнений вязкого теплопроводного газа,если только начальные данные близки к состоянию покоя.

В настоящее время нелокальная теория (без условий малости интервала существования решения или норм начальных данных) построена для модели'вязкого газа только в случае одномерного движения с плоскими волнами. В работах Н.Итая [il] и А.Тани [12] рассмотрены задачи Коши и первая начально-краевая задача для обобщенных уравнений Бюргерса - модели изобарического движения вязкого газа. Дальнейшие результаты по задаче Коши для течения, теплопроводного вязкого газа доказаны Я.И.Канелем [13] .

Существенное развитие нелокальная теория получила в работах А.В.Кажихова. Метод,разработанный в [14] для системы баротропного вязкого газа позволил: ему и другим авторам исследовать значительное число задач,в том числе и для общей модели с учетом теплопроводности. Для полной системы уравнений А.В.Кажиховым сначала установлена корректность задачи о разлете конечной массы газа в вакууме [15] сказавшейся в математическом смысле более простой. В дальнейшем им рассмотрены задачи для движения теплопроводного газа в фиксированной области при однородных[16] а затем и при неоднородных [17] условиях на боковых границах. Здесь же указано повышение гладкости сильного решения при гладних начальных данных. Кроме того,в [17] и [18] доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Вопросы стабилизации решений при различных постановках задач изучены в работах А.В.Кажихова [19] , [17] , А.В.Кажихова и В.В.Шелухина ществования периодических,почти-периодических и ограниченных по времени решений в разных модельных ситуациях.

Задачи протекания для уравнений Бюргерса,уравнений баротроп-ного движения и для полной модели вязкого теплопроводного газа изучены С.Я.Беловым в работах [26] - [29] ,где доказаны теоремы существования и единственности решения на произвольном конечном интервале времени. Тем же автором [30] показана разрешимость задачи оптимального управления процессом заполнения вакуума вязким газом,а также процессом протекания вязкого газа через ограниченную область.

Настоящая работа посвящена дальнейшему изучению корректности в целом по времени одномерных движений вязкого газа,в том числе течений с цилиндрической и сферической симметрией.

Диссертация состоит из введения,двух глав и шести параграфов, списка литературы,включающего 43 наименования и изложена на 89 страницах машинописного текста. Параграфы для удобства разбиты на пункты. Нумерация формул ведется отдельно в каждом параграфе . Нумерация теорем сквозная.

1. Канель Я.Н. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа.-Дифференц,уравнения,1968,т.4,№ 4,с.721-734.

2. Канель Я.И. 0 задаче Коши для уравнений газовой динамики с вязкостью.-Сиб.мат.журн.,1979,т.20,№ 2.с.293-306.

3. Кажихов А.В. Корректность "в целом" смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа.-В кн.:Течение жидкости со свободными границами.Новосибирск,изд.Ин-та гидродинамики СО АН СССР,1975,с.18-47.'(Динамика сплошной среды, вып.21).

4. Кажихов А.В. 0 глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа.-В кн.Динамика жидкости со свободными границами.Новосибирск,изд.Ин-та гидродинамики СО АН СССР,1976,с.45-61.(Динамика сплошной среды,вып.24).

5. Кажихов А.В. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости.-В кн.:Нестационарные проблемы гидродинамики. Новосибирск,изд.Ин-та гидродинамики СО АН СССР,1979,с.33-47.(Динамика сплошной среды,вып.38).

6. Кажихов А.В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа.-В кн.:Краевые задачи гидродинамики.Новосибирск,изд.Ин-та гидродинамики СО АН СССР,I981,с.37-62.(Динамика сплошной среды,вып.50).

7. Кажихов А.В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа.-Сиб. мат.журн.,1982,т.23,№ I,с.60-64.

8. Кажихов А.В. 0 стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости.-Дифференц.уравнения,1979,т.15,№ 4,с.662-667.

9. Кажихов А.В., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа.-Прикл.математика и механика,1977,т.412,с.282-291.

10. Шелухин В.В. Стабилизация решения одной модельной задачи о движении поршня в вязком газе.-В кн.:Некоторые проблемы математики и механики.Новосибирск,изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР,1978,с.134-146.(Динамика сплошной среды,вып.33).

11. Шелухин В.В. Периодические течения вязкого газа.-В кн.: Динамика неоднородной жидкости.Новосибирск,изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР,1979,с.80-102.(Динамика сплошной среды,вып.42) .

12. Шелухин В.В. Параболическая аппроксимация одной модели вязкого газа.-Численные методы механики сплошной среды:Математическое моделирование.Ин-т теорет.и прикл.механики.Новосибирск, 1979, т. 10,№ 5,с.111-126.

13. Шелухин В.В. Существование периодических решений обобщенной системы Бюргерса.-Прикл.математика и механика,1979,т.43,вып.б,с.992-997.

14. Шелухин В.В. Ограниченные,почти периодические решения уравнений вязкого газа.-В кн.:Динамика неоднородной жидкости. Новосибирск,изд.Ин-та гидродинамики СО АН СССР,1980,с.147-163.(Динамика сплошной среды,вып.44).

15. Белов С.Я. 0 неоднородных задачах для уравнений Навье-Стокса вязкого газа.-В кн.:Материалы ХП Всесоюзной научной студенческой конференции.Математика.Новосибирск:НГУ,1979,с.18-24.

16. Белов С.Я. Разрешимость "в целом" задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости.-В кн.:Краевые задачи для уравнений гидродинамики.Новосибирск,изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР,I981,с.3-14.(Динамика сплошной среды,вып.50).

17. Белов С.Я. 0 задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа.-В кн.гДинами-ка неоднородной жидкости.Новосибирск,изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР,1982,с.21-43.(Динамика сплошной среды, вып.56).

18. Белов С.Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом.-В кн.:Математические проблемы гидродинамики.Новосибирск, изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР,1983,с.23-38. (Динамика сплошной среды,вып.59).

19. Белов С.Я. Задачи оптимального управления течениями вязкого газа.-В кн.:Динамика жидкости со свободными границами.Новосибирск, изд-во Ин-та гидродинамики СО АН СССР,1983,с.34-50. (Динамика сплошной среды,вып.60).

20. Овсянников. Л.В. Введение в механику сплошных сред.Часть П.Новосибирск,изд-во Новосиб.ун-та,1977,70с.

21. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.-2-е изд.,перераб. и доп.-М.:Наука,1978,688с.

22. Яненко Н.Н., Березин 10.А., Кривопуцкий B.C. Гравитирующий газовый шар.-Численные методы механики сплошной среды/Ин-т теорет.и прикл.механики,Новосибирск,1978,т.9,№ 4,с.139-145.

23. Кожанов А.й., Ларькин Н.А., Яненко Н.Н. Об одной регуляризации уравнений переменного типа.-ДАН СССР,т.2523,1980, с.525-527.

24. Кожанов А.И., Ларькин Н.А., Яненко Н.Н. Смешанная задача для некоторых классов уравнений третьего порядка.-Препринт № 5, Новосибирск:ИТ и ПМ СО АН СССР,1980,36с.

25. Ларькин Н.А. 0 краевой задаче с ограничением для уравнения третьего порядка и ее применения в газовой динамике.-В кн.: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики.Новосибирск:ИМ СО АН СССР,1981,с.127-130.

26. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.-М.: Наука,1973,407с.

27. Николаев В.Б. 0 корректности краевых задач для уравнений вязкого газа с немонотонной функцией состояния.-В кн.Материалы ХУ Всесоюзной научной студенческой конференции.Математика.Новосибирск,изд.Новосибир.ун-та,1977,с.18-21.

28. Кажихов А.В., Николаев В.Б. К теории уравнений Навье-Стокса вязкого газа с немонотонной функцией состояния.-ДАН СССР, т.246,If 5,I979,c.I045-I047.

29. Кажихов А.В., Николаев В.Б. 0 корректности краевых задач для уравнений вязкого газа с немонотонной функцией состояния. -Численные методы механики сплошной среды/Ин-т теорет, и прикл. механики,Новосибирск,1979,т.10,№ 2,с.77-84.