Решение автомодельных и неавтомодельных задач о сильном сжатии сферических и цилиндрических объемов газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ВалнсвХарис Фаритович

РЕШЕНИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫХ И НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ О СИЛЬНОМ СЖАТИИ СФЕРИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЪЕМОВ ГАЗА

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4858327

- 3 НОЯ 2011

Москва 2011

4858327

Работа выполнена в Центральном институте авиационного моторостроения имени П.И. Баранова

Научный руководитель: докгор физико-математических наук,

профессор Крайко Александр Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Брушлинский Константин Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Чернов Игорь Алексеевич

Ведущая организация: Институт гидродинамики

им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится 23 ноября 2011 года в с час (ЗО мин на заседании диссертационного совета Д 212.156.08 при Московском физико-техническом институте по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., Д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института.

Автореферат разослан октября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.156.08 к. ф.-м. н.

В.П. Коновалов

Введение. Интерес к задачам о цилиндрически и сферически симметричном нестационарном сжатии стимулирует ряд приложений, включая проекты реализации инерциальпого управляемого термоядерного синтеза [1-6].

В связи с ограниченными возможностями традиционной энергетики и постепенным исчерпанием разведанных запасов топлива, на повестку дня выходит управляемый термоядерный синтез (УТС). Согласно современным представлениям, звезды светят благодаря стационарной термоядерной реакции. А неконтролируемый термоядерный процесс в земных условиях удалось реализовать с помощью водородной бомбы.

D лабораторных условиях УТС реализуется, но, к сожалению, пока цена ядерной энергии слишком высока. Иными словами, затраты энергии превышают энергетический выигрыш.

Проблема термоядерного синтеза состоит в решении двух задач: нагрева вещества до необходимых температур и его удержания на достаточное для "сжигания" заметной части термоядерного топлива время определяемое критерием Лоусона [7]: пт > const

где т - время удержания высокотемпературной плазмы в системе, п - концентрация ее частиц, константа зависит от реакции. В таком виде критерий удобен для перспективных реакторов непрерывного действия.

УТС с инерционным удержанием, или инерциальный УТС, основан на возможности получения положительного энергетического эффекта в реакторах импульсного типа. В инерциальном УТС небольшая масса, миллиграммы, термоядерного топлива (дейтериево-тритиевой смеси) сжимаются оболочкой, ускоряемой за счет реактивных сил, возникающих при испарении оболочки с помощью мощного облучения. Облучение термоядерной мишени осуществляется лучами лазера, пучками ионов или электронов [1-4, 8, 9]. Энергия выделяется в виде микровзрыва, когда в процессе сжатия в плазме мишени достигаются необходимые условия для термоядерного горения. Время жизни такой плазмы определяется инерционным разлетом смеси и поэтому критерий Лоусона для инерционного удержания принято записывать в терминах произведения рг, где р - плотность реагирующей смеси и г — радиус сжатой мишени. Для того, чтобы за время разлета смесь успела выгореть, нужно, чтобы рг >/.,/.- 0.1 - 3 г/см2 [7]. Для субмиллиметровых мишеней

это отвечает плотностям в сотни г/см3, т.е. плотность термоядерного вещества должна увеличиться в тысячи и более раз.

Попытки реализовать термоядерное горение с помощью взрывчатых веществ, или газодинамический термоядерный синтез, на данный момент не увенчались успехом [10]. К настоящему времени энергоэффективную реакцию удалось получить в водородной бомбе. Она состоит из взрывателя - атомной бомбы и термоядерного топлива, дейтерида лития-6 LiD, которое советские оружейники назвали «Лидочкой» [11].

Взрыв термоядерной бомбы доказал возможность синтеза с инерционным удержанием.

Недавно в Ливерморе (США) заработала мощная лазерная установка National Ignition Facility с энергией импульса до 1.8 МДж [12]. Лазерные лучи со всех сторон направляют на мишень, содержащую термоядерное топливо. Под действием светового давления и реактивной силы от испаряющегося с поверхности вещества происходит одновременно сильное сжатие и нагрев мишени. Использование лазеров с энергией порядка 1 МДж в установках Laser Mcgajoule. Бордо, Франция и National Ignition Facility, Ливермор, США, должно обеспечить условие термоядерного зажигания и энергоэффективные режимы УТС [7].

Взрыв полноценной водородной бомбы - неуправляемый термоядерный синтез, при котором выделяется слишком много энергии, что делает его непригодным для энергетических целей.

Предложен метод получения ядерной энергии путем взрывов атомных зарядов, инициирующих DD-реакцию. Согласно ему предлагается производить в камере котла вспышечного сгорания термоядерные взрывы большой мощности (а не микровзрывы, как в инерциальном термояде) с целью получения энергии. [13]. Проблема реализации реактора типа котла вспышечного сгорания состоит в большой мощности взрыва, а значит и большой опасности такого реактора, а также том, что все атомные взрывы, даже подземные, сейчас запрещены.

Сильное сжатие предполагает неограниченный рост давления, а при очень больших давлениях вещества ведут себя подобно газам. Например, горные породы при прохождении через них сильной ударной волны ведут себя как идеальный газ с показателем адиабаты у = 3, так называемый газ Ландау-Сташоковича. Для замагни-

ченной плазмы используется уравнение состояния идеального газа с показателем адиабаты 2.

Вследствие пространственного усиления из-за уменьшения сечений трубок тока некоторые параметры но мере приближения к центру симметрии неограниченно возрастают, это приводит к тому, что начальные значения этих параметров перестают влиять на течение, т.е. «забываются», а само течение выходит на автомодельный режим. Так происходит в задачах о схождении ударной волны к центру или оси симметрии и схлопывании пустой полости, в которых из всех параметров вначале неавтомодельного течения не ((забываются» только начальная плотность перед волной и начальная энтропия соответственно.

Негазообразные вещества при меньших давлениях можно приближенно заменить идеальным газом с большим эффективным показателем адиабаты, вплоть до у = оо [17].

В диссертации рассмотрены 4 задачи о сжатии цилгащрических и сферических объемов газа:

1. Автомодельная задача о сходящейся к центру симметрии сильной ударной волне для показателей адиабаты от 1.001 до 3 (задача Гудерлея).

2. Неавтомодельная задача о быстром сильном сжатии, предполагающем одновременное получение сколь угодно больших температур и плотностей для показателей адиабаты от 1.001 до 3. К особой характеристике задачи Гудерлея примыкает пучок волн сжатия, сфокусированный на конечном расстоянии от центра симметрии. Рост температуры обеспечивается интенсивностью сходящейся ударной волны, а рост плотности происходит за ней в центрированной волне сжатия.

3. Автомодельная задача о сходящейся к центру симметрии сильной ударной волне с изменением показателя адиабаты на фронте отраженной ударной волны.

4. Автомодельная задача о схлопывающейся к центру симметрии пустой сферической полости с изменением показателя адиабаты на фронте ударной волны.

Автомодельная задача о схлопывающейся полости, впервые рассмотренная в [14] в сферически симметричном случае, позже рассматривалась как отдельно [15, 16], так и совместно [17, 18] с одной из основных газодинамических задач атомного проекта - задачей о схождении ударной волны к центру симметрии и отражении от него, впервые рассмотренной Г. Гудерлеем [19].

В литературе отсутствовало полное решение задачи Гудерлея для показателей адиабаты от 1 до 3.

Задача о быстром сильном сжатии была сформулирована А.Н. Крайко, и решена для нескольких показателей адиабаты, 6/5, 7/5 и 5/3 [20]. Позже оказалось, что построенное решение годится для показателей адиабаты, не превышающих 1.9.

Третья и четвертая задачи ранее в литературе пе рассматривались.

Актуальность. Вопросы, рассмотренные в диссертации - возможность достижения больших плотностей с помощью одной ударной волны, а также с помощью следующей за сходящейся ударной волной непрерывной волны изэнтропического сжатия; построение траектории поршня, осуществляющего близкое к оптимальному сжатие с одновременным получением сколь угодно больших плотностей и температур; влияние изменения показателя адиабаты на отраженной ударной волне на картину течения - являются важными для проблемы инерциального УТС. Все вышеуказанные вопросы рассмотрены для широкого диапазона показателей адиабаты. Эти вопросы являлись предметом внимания многих исследователей в последние годы. Можно считать, что и в будущем они также окажутся важными в проблеме реализации инерциального УТС.

Результаты диссертации применимы в численном моделировании сильного сферически или цилиндрически симметричного сжатия газа, а также схлопывания пустой сферической полости в газе, как для сравнения полученных решений с автомодельной асимптотикой, так и для разрешения особенности около центра или оси симметрии (далее - центра симметрии), возникающей в момент прихода ударной волны или границы полости в него.

Цель и предмет исследований. В диссертации исследуются процессы автомодельного схождения ударной волны к центру симметрии в сферически и цилиндрически симметричном случаях как в постановке с постоянным показателем адиабаты во всем поле течения, так и в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на отраженной ударной волне; схлопывания пустой сферической полости в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра

симметрии; построение дополнительной к сходящейся ударной волне неавтомодельной изэнтропической волны сжатия, сфокусированной вблизи центра симметрии.

Тема диссертации была предложена А.Н. Крайко. Под его руководством были выполнены все этапы работы. Первоначально планировалось рассмотреть сжатие газа сходящимися ударными волнами и дополнительного сжатия в центрированной волне сжатия, сфокусированной вблизи центра симметрии. Позже было принято решение рассмотреть также задачу о схлопывании пустой сферической полости в газе в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра симметрии, как близкую к задаче о схождении ударной волны к центру симметрии по физическим и математическим особенностям.

1. В работах [21, 24] построено полное решение автомодельной задачи о схождении ударной волны к центру симметрии для показателей адиабаты от 1.2 до 3. Цель построения полного решения состоит в том, чтобы проверить возможность достижения условий, необходимых для реализации инерциалыгаго УТС, с помощью сжатия сходящейся ударной волной большой интенсивности, а также в использовании полученного решения для построения траектории поршня, обеспечивающего одновременное достижение сколь угодно больших температур и плотностей.

2. В работах [22, 25, 26, 28, 30-34, 38-40] рассмотрено цилиндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального совершенного газа с показателями адиабаты от 1.001 до 3. При быстром сильном сжатии одновременно достигаются сколь угодно большие плотности и температуры за время, много меньшее времени пробега звуковой волны через несжатый объем газа. Цель такого рассмотрения состоит в том, чтобы показать возможность достижения чисто газодинамическими средствами условий, необходимых для реализации инерциалыюго УТС.

3. В работах [23, 27, 29, 35-37] рассмотрены автомодельные задачи о схождении ударной волны к центру симметрии в сферически и цилиндрически симметричных случаях и о схлопывании пустой сферической полости с изменением показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра симметрии. Цель такого рассмотрения состоит в том, чтобы выяснить поведение вышеуказанных нестационарных течений совершенного газа при изменении показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра симметрии. Уменьшение показателя адиабаты приближенно моделирует раз-

личные физико-химические процессы (например, ионизацию и диссоциацию), а в задаче о схлопывании полости - фазовый переход (превращение жидкости в пар).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 137 страниц, 41 рисунок. Список литературы включает 128 наименований.

Основные результаты работы, выносимые на защиту.

1. Комплекс программ и решение с его помощью задачи о сферической или цилиндрической сильной ударной волне, сходящейся к центру или оси симметрии соответственно (задачи Гудерлея) для показателей адиабаты у от 1.001 до 3.

2. Комплекс программ определения траектории поршня, реализующего быстрое (за время, много меньшее времени пробега звуковой волны через несжатый объем газа) сжатие со сколь угодно большим ростом температуры (в основном в идущей к центру симметрии ударной волне) и с ростом плотности в тысячу раз в центрированной неавтомодельной волне непрерывного сжатия. Программа расчёта неавтомодельной центрированной волны сжатия методом характеристик составлена с использованием средства аналитических вычислений «Математика».

3. Постановка новых автомодельных задач об отражении от центра симметрии сильной ударной волны и границы схлопывающейся пустой сферической полости с изменением показателя адиабаты на «отражённой» ударной волне.

4. Обнаружение неизвестных ранее качественных особенностей в задачах с допущением изменения показателя адиабаты на отражённой ударной волне: запрет увеличения показателя адиабаты, ударные волны конечной интенсивности, движущиеся по газу перед ними со скоростью звука и другие.

Новизна результатов диссертации. Следующие результаты получены впервые:

1. Построено течение, реализующее быстрое сильное сжатие с ростом плотности в тысячу раз в волне непрерывного сжатия, примыкающей к особой характеристике сходящейся сильной ударной волны, для показателей адиабаты у от 1.001 до 3.

2. Решены задачи о сходящейся к центру симметрии ударной волне большой интенсивности и схлопывающейся пустой полости в постановке, допускающей изме-

нение показателя адиабаты па ударной волне, идущей от центра симметрии. Обнаружена возможность существования особых режимов течения газа, при которых ударная волна конечной интенсивности идет со скоростью звука в газе перед ней.

Практическая ценность результатов диссертации. В связи со строительством экспериментальных установок для исследования инерциального УТС, таких как National Ignition Facility в Ливерморе, США и Laser Mégajoule в Бордо, Франция, результаты работы могут служить теоретическим обеспечением проводимых на подобных установках работ

Достоверность результатов диссертации подтверждается согласием с результатами других работ по рассматриваемой тематике.

Достоверность решения неавтомодельной задачи быстрого сильного сжатия также подтверждается выходом полученного численного решения па найденные асимптотики при больших интенсивностях волны сжатия.

Личный вклад. В диссертации непосредственно использованы результаты работ [21—40], выполненных автором лично или в соавторстве с А.Н. Крайко и другими. Все программы, использовавшиеся для расчетов, приведенных в диссертации, написаны автором лично.

Случаи использования в диссертации результатов других авторов отмечены необходимыми ссылками.

Апробация работы. Результаты работ по диссертации докладывались и обсуждались па 50-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (МФТИ, 2007), 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (МФТИ, 2008), 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (МФТИ, 2009), XXXIII Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2008), конференции «Высокопроизводительные вычисления в задачах механики и физики», посвященной памяти A.B. Забродина, международной конференции «IX Харитоновские научные чтения» (Саров,

Россия, 2007), IX международной конференции «Забабахинские научные чтения» (Снежинск, Россия, 2007), X международной конференции «Забабахинские научные чтения» (Снежинск, Россия, 2010), XXIV международной конференции «Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter» (п. Эльбрус, Кабардино-Балкарская Республика, Россия, 2009), XXV международной конференции «Equations of State for Matter» (п. Эльбрус, Кабардино-Балкарская Республика, Россия, 2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической механики (Нижний Новгород, 2011).

Содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении приведен краткий обзор работ по тематике диссертации, сформулированы цели диссертации, кратко пересказаны содержание и основные результаты, сформулированы положения, выносимые на защиту, изложены новизна результатов, их практическое применение, перечислены аргументы, указывающие на достоверность результатов, описан личный вклад диссертанта в достижение результатов.

В главе 1 построено полное автомодельное решение задачи о сходящейся к центру или оси симметрии (далее - центра симметрии) соответственно сферически или цилиндрически симметричной ударной волне - задачи Гудерлея, Решение задачи Гудерлея для обоих видов симметрии построено для показателей адиабаты у от 1.001 до 3.

Сильная ударная волна (IS на рисунке 1, сокращение от initial shock) идет по холодному несжатому покоящемуся газу к центру симметрии. Момент прихода ударной волны в центр симметрии примем за начало отсчета времени t. Тогда времени до прихода ударной волны в центр симметрии отвечают значения / < 0. Расстояние до центра симметрии обозначим через г. Ищется автомодельное решение задачи с неизвестным заранее показателем автомодельности, который

Рисунок 1. Траектория волн и частиц

определяется условием существования решения задачи.

Пусть у = 2и\' = 3в цилиндрическом и сферическом случаях соответственно, Т - абсолютная температура, .г и /г = срТ— удельные энтропия и энтальпия, ср — константа (удельная теплоемкость при постоянном давлении) и г; - скорость газа. В уравнениях Эйлера

¿/р Эи , к . ¡/« 1 Эр „ с/А 1 аЬ а! д д ...

—+р— + (у-1)р—= 0, —+—- = 0, Г—=----— = 0, — =—— (1)

Л дг г Ш рдг си Л р ¡Л Л й! 5/-

производится замена т = | (|, и = из^еп/.

Введем искомые функции согласно определениям

и = п-и<К), а = ^ = р0 Л5),Р = Р1Щ

АГт" т т ^ т^

(2)

у-1 У 1 \ р Й©

Здесь К- произвольный множитель.

После подстановки выражений для автомодельных функций (2) уравнения Эйлера (1) примут вид

„ „.¿1пЛ аи .. , сИпя <а 22(1/п-и)

(1 -и)---=у и, (ч-\)2---= —----

¿щ ¿1пЕ, ¿к ащ 1 -и

у аПЦ а Iп^ у а 1пс; у

Независимая переменная £ входит в эти уравнения только в виде дифференциала <Лп с;. Поэтому за счет выбора множителя К в определении £ на траектории сходящейся ударной волны можно положить £15 = 1.

Отношение производных с12/сйп^ и сИЛсйп^ приводит к уравнению, связывающему Ун2

<12 2 1>(2, г/)

Л/ 1 —.....-...........<3)

Здесь

Р(2,и) = 2-(1-и)\ в(2, Щ = [V и - 2(1 - и) / (пу)]2 - -1/)(\ / п - V) Уравнения для определения ¡; и й имеют вид

¿М- Г1 = уГ/ (4)

с/и в(2,иу ' <1рсзд

\ 2 2

\

\ \ IIS. /

Движению газа к центру отвечают положительные и и U(Q. Переменная Ъ, пробегает все значения от некоторого значения !;ls на приходящей ударной волне до оо на оси г. Соответственно, граничные условия для функций R, U, Z должны быть поставлены при ^ = ^IS-

Выражения (2) можно переписать в виде

Ha оси г, где ^ = та. значения а и и при г > 0 конечны. Соответствующие условия для

автомодельных переменных с учетом выражений (5) имеют вид: Z(oo) = ¡7(оо) = О

Интегральная кривая, соединяющая точки, соответствующие и ^ = 00 в координатах U, Z, должна пройти через разделяющую их звуковую линию, в выбранных переменных являющуюся параболой (штрихпунктир на рисунке 2). При переходе через звуковую параболу функция F{Z,U) меняет знак. Для монотонности автомодельной переменной Е, с учетом выражений (4) функция G(ZJJ) так же должна поменять знак, иными словами переход через звуковую параболу возможен через особую точку. Уравнение (3) в интервале 0<C/<1,0<Z<1 имеет 2 особые точки на звуковой параболе, которые могут совпадать. Для выбранного на рисунке 2 случая переход осуществляется через седловую особую точку SP (сокращение от saddle point). При более высоком положении начальной точки IS возможен переход через верхнюю узловую особую точку NP (сокращение от node point).

Показатель автомоделыюсти п определяется условием прохождения интегральной кривой в координатах 11, Z через особую точку на звуковой параболе, эта точка

0.5 (; 1

Рисунок 2. Интегральные кривые задачи Гудерлея

при у от 1 до у. - седло, у. к 1.90921 при V = 2 и у ~ 1.86977 при V = 3, а при у > у -узел. Вышеуказанная особая точка соответствует особой СГ-характернстике, приходящей в центр симметрии одновременно со сходящейся ударной волной. На рисунке 1 особая ¿"-характеристика показана сплошной толстой линией, траектория поршня показана штриховой линией. Стрелки на интегральных кривых на рисунке 2 показывают направление увеличения переменной £

После отражения ударной волны (Яв на рисунке 1) при /• = 0 и (> 0 давление р ограничено, скорость и - 0, а сохраняющаяся в частице газа энтропийная функция р/рт остается такой же, как непосредственно за отраженной ударной волной в момент ее отражения т = 0. Поскольку показатель автомодельное™ п < 1 и

Р УР

при т 0, энтропийная функция всюду па оси г бесконечна.

При конечном давлении это возможно лишь при р(0, / > 0) = 0. Отсюда получаются граничные условия при с -- 0 г(0) = ю, |[/(0)|<оо

Интегральная кривая может попасть в конечную точку {/(0), 2(0), только испытав разрыв. Этот разрыв соответствует отраженной от центра симметрии ударной волне конечной интенсивности.

На рисунке 2 отраженной волне соответствует скачок от состояния перед волной ЛЭ- к состоянию за волной 118+. Конечной точке [/(0), 2(0) соответствует точка БР на оси 5 , 5 а 1/7 = 0 (2 = оо) в правой части рисунка 2- особая точка типа седла.

После того, как найдена интегральная кривая в координатах II, 2, остальные параметры газа определяются интегрированием соответствующих уравнений вдоль этой кривой. Таким способом найдены распределения за отраженной волной КЗ скорости газа, плотности, давления, отношения кинетической энергии газа к его внутренней энергии, а также величины, обратной скорости звука. Построено поле плотности в координатах п в сферически симметричном случае для показателей адиабаты у - 4/3, 5/3 и 2. Найдены значения плотности на особой СГ-характеристике, на оси г, перед отраженной ударной волной и за ней, а также другие параметры течения, представленные в виде двух таблиц.

В главе 2 рассмотрена задача о быстром сильном, т.е. сжатии, при котором одновременно достигаются сколь угодно большие температуры и плотности, цилиндрически или сферически симметричном сжатии идеального (невязкого и нетеплопроводного) совершенного газа показателями адиабаты от 1.001 до 3. Быстрое сильное сжатие достигается объединением сходящейся к центру симметрии сильной ударной волны (1Э на рисунке 3) с примыкающей к ее особой ^"-характеристике непрерывной волны изэнтронического сжатия, которая является пучком ^-характеристик.

Рисунок 3. Схема волн и траектория «поршня»

Построенное в главе 1 автомодельное решение было использовано при построении неавтомодельного пучка волн сжатия. Для всех рассмотренных в

главе 1 показателей адиабаты с использованием массовой лагранжевой переменной т методом характеристик построены решения с фокусировкой волны сжатия на цилиндре или сфере исчезающе малого радиуса г/, в момент прихода на них особой С0"-характеристики (нижняя часть рисунка 3) или отраженной ударной волны ИЗ задачи Гудерлея (верхняя часть рисунка 3). Решены возникающие при такой фокусировке задачи о распаде разрыва в точке / При фокусировке на отраженной волне 118 разрыв параметров в фокусе распадается либо на две ударные волны с контактным разрывом между ними, либо на ударную волну и центрированную волну разрежения, идущую вправо от контактного разрыва. Величина т в точке фокусировки т/< )0~16, за траекторию поршня принята линия с т = 1.

На рисунке 3 точка / соответствует радиусу цилиндра или сферы, на которых производилась фокусировка. Двойным штрихнунктиром в верхней части рисунка схематически показана траектория частиц, условно принимаемая за траекторию «поршня». Ударные волны, а также участок особой С0~-характеристики до точки фокусировки схематично показаны сплошными толстыми линиями, крупными штрихами показаны траектории контактных разрывов, мелкими - пучки волн разрежения, тонкими линиями показаны центрированные волны сжатия. Мнимый участок особой

11)"- 10'* 10 1 г° 1 Рисунок 4 . Плотность газа на «поршне» для разных показателей адиабаты у в цилиндрическом (слева) и сферическом (справа) случае

10"5

410'-

4•!0-,

Рисунок 5. Траектория «поршня» для разных показателей адиабаты у в цилиндрическом (слева) и сферическом (справа) случае

сжимающем «поршне» от временной координаты т° для разных показателей адиабаты у показана на рисунке 4, а соответствующие траектории поршня - на рисунке 5. Масштабы на рисунках 4 и 5 выбраны так, что в начальный момент на поршне т°—л = р = 1.

Полученные зависимости в логарифмическом масштабе близки к линейным, а значит сами зависимости близки к степенным. Как показывают расчеты, при больших значениях переменной т|, постоянной на

каждой из

С "-характеристик пучка и характеризующей его интен-

Со~-характеристики (ее продолжение в отсутствие фокуса на ней) показан штрихпунктиром. Зависимость плотности на

сивность (большим значениям г| соответствует больший рост параметров в пучке), производные

dl n р d In т

_ = -v + /(v>Y,n), _ = z.sx + /l(v>y,n)

x=i+lziv

стремятся к постоянным показателям степени, т.е. добавочные функции/ 2(v,у,л) 0.

Значения Хи» на последней характеристике пучка волн сжатия показаны на рисунке б сплошной толстой линией, а асимптотические '/ - штриховой линией. При показателях адиабаты у, близких к 3. значения %. вышли на асимптотику, а при значениях у, близких к 1, -нет. Это неудивительно, поскольку рост плотности в 1000 раз при больших значениях у соответствует очень большой интенсивности пучка, очень большому росту-давления, а при малых у такой рост плотности достигается в пучке сжатия гораздо меньшей интенсивности.

В главе 3, в отличие от классических постановок, в автомодельных задачах о схлопывании пустой сферической полости и в задаче Гудерлея об отражении ударной волны от центра симметрии допускается изменение в распространяющейся от центра симметрии («отраженной») ударной волне отношения удельных теплоемкостей (показателя адиабаты) совершенного газа у. Показатель адиабаты перед (за) «отраженной» волной обозначим через у. (у+) Начало отсчета времени и расстояния выбираются аналогично главам 1 и 2. В обеих задачах при малых временах / > 0, в решениях с увеличивающимся показателем адиабаты (у,. > у_) энтропия на отраженной ударной волне уменьшается (в момент отражения энтропийная функция х si>/pr ~ до нуля, р -давление, р - плотность). По этой причине в данных задачах допустимо только уменьшение показателя адиабаты у. Как уже отмечалось, в задаче Гудерлея уменьшение значения у приближенно моделирует различные физико-химические процессы (например, ионизацию и диссоциацию), а в задаче о схлопывании полости - фазовый переход (превращение жидкости в пар).

Рисунок 6. Значения у_. на последней характеристике пучка волн сжатия

теля адиабаты у+ не достигло

претерпевает качественных изменений, что схематически показано на рисунке 7, а. Траектория ударной волны, либо

некоторого порога у+«(у_, v), зависящего от у_ и от индекса

симметрии v = 2 и 3, структура автомодельного решения не

Пока уменьшение показа-

Рисунок 7. Траектории волн и границы полости

границы полости в зависимости от задачи, показана сплошной линией 1, особая характеристика - штриховой линией 2, траектория «отраженной» ударной волны ЯБ -сплошной линией 3.

При превышении указанного порога автомодельное решение возможно, если с момента отражения из центра симметрии по специальному закону будет расширяться цилиндрический или сферический поршень (рисунок 7, б). К изображенным на рисунке 7, а траекториям добавляется траектория поршня - сплошная линия 4.

В задаче о схлопывающейся полости при отсутствии характерной плотности (в полости р = 0) известна начальная величина «энтропийной функции» Х- = р/РУ~> сохраняющаяся до ударной волны. С учетом этого вводятся автомодельные функции и получаются начальные условия для них:

ЩС,н) = I АЫ^Щ») = = О

Здесь С, - автомодельная переменная, на границе полости равная Q,. При подстановке

автомодельных функций в уравнения Эйлера (1) получаются дифференциальные

уравнения перед «отраженной» ударной волной, идущей от центра симметрии:

dA Al2 + (у. + п-3-Зу_n)U + 2уjiU2 -2пА2] dU ~ 2{(\-U)(\-nU)-3nA2}U+2a(\-n)A2

u = n-U[Q,a = n-A(Q, а1 = п2^A2(Q, р = xAk(Q / / г г /

I 2

и за ней:

й52 .. 52 (у+ -1)/ -1)С/][(1-{/)г53-1]

сЮ (1-Ц) [(1-?/)(А'-С/)й: - У\и + а(£-1)у_/у+ ' А

Автомодельные уравнения для задачи о сходящейся, ударной волне по форме совпадают с дифференциальными уравнениями в задаче Гудерлея, за исключением того, что перед отраженной ударной волной у заменяется на у_, а за ней — на у+.

Аналогично классической постановке, показатель автомодельное™ в обеих задачах определяется условием перехода интегральной кривой из начальной точки в начало координат через особую точку на звуковой линии, а потому не зависит от показателя адиабаты за отраженной ударной волной, т.е. совпадает с показателем авто-модельности в классической постановке.

Начальные условия в задаче об отражении ударной волны от центра симметрии такие же, как и в классической постановке.

Граничные условия на оси г в обеих задачах такие же, как в задаче Гудерлея. Граничные условия на оси г, а при наличии «поршня» - на нем, в обеих задачах для переменных А, и, Я определяются по аналогии с задачей Гудерлея: А = оо, |С/|<®, Я = 0 (6)

Пройдя через начало координат, интегральная кривая движется к звуковой линии, пересечь которую без разрыва не может. Реализуется отраженная ударная волна наименьшей интенсивности. Для значений у+, меньших порогового, интегральная кривая не доходит до звуковой линии и испытывает разрыв. После этого она устремляется к седдовой особой точке с ординатой А = <» (5 = 0), абсцисса в задаче о схлопывающей-ся полости 11 = ау_(А-1)/(Зу+), а в задаче о сходящейся ударной волне £/ = 2(£-1)/(уу+). При значениях у+, превышающих пороговое, интегральная кривая не может попасть в седловую особую точку, поэтому попадает в узел 1}~ 1, 5 = 0. При этом разрыв минимальной интенсивности начинается на звуковой линии, который в переменных г/ соответствует (^-характеристике. В этом случае область течения не доходит до оси/. Поэтому для реализации такого решения необходимо наличие расширяющегося от центра симметрии «поршня» с траекторией £ = Ср, соответствующей значению Ср, при котором достигаются граничные условия (6).

Сказанное выше иллюстрирует рисунок 8, построенный для задачи о схлопы-вающейся пустой сферической полости и отвечающий при у. = 7.0 восьми разным

1 < < 7.0. Интегральная кривая I в плоскости НА выходит го точки М, соответствующей начальным условиям па границе пустой полости, проходит через особую точку N на штриховой звуковой линии, далее идет в начало координат О, соответствующее условиям на оси г. Затем переходит на участок кривой, приходящий в граничную точку, соответствующую либо условиям на оси либо условиям на расширяющемся из центра, симметрии поршне. Переход осуществляется скачком, показанным стрелкой - «отраженной» от центра симметрии ударной волной ЯЗ. Для у+ = 7.0 и 5.11 реализуются решения без поршня, причем у+ = 5.11 чуть больше «порогового» значения у+.(7.0). При меньших значениях у+ реализуются решения с поршнем, в которых отраженная ударная волна конечной интенсивности движется по газу перед ней со скоростью звука. Между номерами кривых и величинами у+ установлено соответствие: у+ = 7.0 (2), 5.11 (3), 3.2 (4), 2.0 (5), 5/3 (6), 7/5 (7), 6/5 (8) и 1.0 (9). В последнем случае (у+ = 1) интегральная кривая за «отраженным» скачком ИЗ становится вертикалью и = 1, 0йЛ<:°о. При этом в силу закона сохранения массы на ударной волне КЗ отношение плотностей р+/р_ = со, хотя по газу перед ней эта удар-

ная волна движется со скоро-

стью звука.

При нулевой плотности температура газа на поршне бесконечна («граничные» частицы проходят через ударную волну в начале координат, где энтропия за волной бесконечна). Из-за этого давление на поршне - отличная от нуля, монотонно убывающая функция времени. При отсутствии поршня течение за отраженной волной становится неавтомодельным.

-0.5

Рисунок 8. Интегральные кривые задачи о схлопы-вании полости для разных у+

В некоторый конечный момент времени 1=1. энтропии

за отраженной ударной волной 5+ и перед ней оказываются равными, а при I > и в автомодельном решении отношение становится меньше единицы, что физически недопустимо. После этого (при г > /,) набирающая интенсивность, но остающаяся локально изэнтропической (хЛ. = 1) отраженная ударная волна становится причиной нарушения автомодельпости. Этим условием определяется область существования автомодельного решения после возникновения «отраженной» ударной волны.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, которые сводятся к следующему:

Рассмотрены четыре задачи о сжатии цилиндрических и сферических объемов газа. Для двух из них, рассматривавшихся ранее, решение в более широком диапазоне параметров, в частности, для показателей адиабаты 1.001 <7 < 3. Другие две задачи рассмотрены впервые.

1) Получено полное решение задачи о схождении ударной волны к центру или оси симметрии для показателей адиабаты 1.001 < у < 3 с шагом, не превышающим 0.1. Расчеты показали, что основное изменение плотности, внутренней энергии, а, следовательно, и температуры за отраженной ударной волной происходит в малой окрестности центра или оси симметрии. Большой рост плотности (более чем в тысячи раз) при сжатии сходящейся ударной волной реализуется только для газов с показателем адиабаты, близким к 1. Всюду за отраженной ударной волной кинетическая энергия газа составляет малую долю от его внутренней энергии. Изменение по радиусу давления за отраженной ударной волной не превышает 1.5 раза.

2) Рассмотрена задача о быстром сильном сжатии в цилиндрически и сферически симметричном случаях. Для показателей адиабаты 1.001 < у < 3 построены решения со сферически и цилиндрически симметричными неавтомодельными пучками волк сжатия с фокусировкой вблизи центра симметрии на особой характеристике и на отраженной ударной волне задачи Гудерлея. Установлено, что зависимости радиуса сжимающего поршня и плотности на нем от времени близки к степенным.

3) Показано, что для всех рассмотренных показателей адиабаты у чисто газодинамическими средствами возможно получение плотностей и температур, необходимых для реализации управляемого инерциального термоядерного синтеза.

4) Рассмотрены задачи о схождении ударной волны к центру или оси симметрии и о схлопывании пустой сферической полости в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на фронте ударной волны, идущей от центра симметрии. Эти задачи обнаружили ряд неожиданных, интересных и важных моментов, возникающих в модели с изменением показателя адиабаты на ударной волне. В построенных решениях самые слабые («звуковые») ударные волны, которые при уменьшении показателя адиабаты на фронте ударной волны движутся по газу перед ними со скоростью звука, имеют конечную интенсивность. Более того, при у+ = 1 на такой звуковой ударной волне при небольшом (всего двукратном) повышении давления отношение плотностей, как на сильной ударной волне, бесконечно. Скорость ударных волн меньшей интенсивности дозвуковая, из-за чего они, будучи неэволюционными, запрещены.

5) В задачах о схождении ударной волны к центру или оси симметрии и схлопывании пустой сферической полости автомодельные решения с повышением показателя адиабаты на фронте ударной волны, идущей от центра или оси симметрии, запрещены из-за уменьшения энтропии. Типичны ситуации, в которых сохранение автомодельности возможно только при введении поршня, расширяющегося от центра симметрии. При его отсутствии течение за отраженной ударной волной становится неавтомодельным с момента отражения.

Благодарности. В течение всего времени работы над диссертацией автор ощущал поддержку со стороны научного руководителя диссертации доктора физико-математических наук, профессора А.Н. Крайко, которому выражает свою глубокую благодарность.

Работы, в которых опубликованы основные результаты диссертации. По

теме диссертации опубликовано 20 работ [21-40], из них 4 статьи - в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях. Они выделены жирным шрифтом.

Литература

1. Nuckolls J., Wood L., Thiessen A. et al. Laser compression of matter to superhigh densities: thermonuclear (CTR) applications II Nature, 1972. - V. 239. - No. 5368. -P. 139-146.

2. Clarke J.S.. Fisher H.N., Mason R.J. Laser-driven implosion of spherical DT targets to thermonuclear burn conditions // Physics Review Letters, 1973. - V. 30. - No. 3. -P. 89-92.

3. Kidder R.E. Theory homogeneous isentropic compression and its application to laser fusion//Nucl. Fusion, 1974,-V. 14.-No. l.-P. 53-60.

4. Nuckolls J.H. The feasibility of inertial-confmement fusion // Physics Today, 1982. - V. 35. - №9. - P. 24-31 = Наюсолс Дж.Г. Осуществимость инерциально-термоядерного синтеза. Успехи физических наук, 1984. - Т. 143. - № 3. - С. 467-482.

5. Долголева Г.В., Забродин А.В. Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия // М.: Физматлит, 2004. - 70 с.

6. Баско М.М., Гуськов С.Ю., Диденко А Н. и др. Ядерный синтез с инерционным удержанием. Современное состояние и перспективы для энергетики / под ред. Б.Ю. Шаркова. М.: Физматлит, 2005. - 262 с.

7. Фортов В.Е. Экстремальные состояния вещества на Земле и в космосе. - М.: Физматлит, 2008. - 264 с.

8. Nakai S., Takabe Н. Principles of inertial confinement fusion - physics of implosion and the concept of inertial fusion energy // Reports on progress in physics, 1996. -V. 59.-P. 1071-1131.

9. Anderson M.H., Puranik B.P., Oakley J.G. et al. Shock tube investigation of hy-drodynamic issues related to inertial confinement fusion // Shock waves, 2000. - V. 10. -P. 377-387.

Ю.Попов H.A., Щербаков В.А., Минеев B.H. и др. О термоядерном синтезе при взрыве сферического заряда (проблема газодинамического термоядерного синтеза) // Успехи физ. наук. 2008. - Т. 178. - Вып. 10. - С. 1087-1094.

Н.Киселев Г.В. Участие Л.Д. Ландау в советском Атомном проекте (в документах). // Успехи физических наук, 2008. - Т. 178. -№ 9. - С. 947-990.

12. https://lasers.llnl.gov/science_technology/

13.Иванов Г.А., Волошин Н.П., Танеев А.С. Взрывная дейтериевая энергетика -Снежинок: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2004. -288 с.

14.Hunter С, On the collapse of an empty cavity in water.// Journal of Fluid Mechanics, 1960. - V. 8. - Pt. 2. - P. 241-263 = Хантер К. О захлопывании пустой полости в воде // Механика. Иностранная литература, 1961. -№ 3 (67). -С. 77-100.

15. Кожанов B.C., Чернов И.Л. Задача о схлопывании пустой цилиндрической полости // Математика. Механика: Сб. науч. тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. -Вып. 9.-С. 136- 139.

16. Кожанов B.C., Чернов И.А. К автомодельной задаче о схлопывании пустой каверны / Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. - Саратов, 2007. - 28 е., ил., библ. 4. - Рус. - Дсп. в ВИНИТИ РАН 20.11.2007, № 1080-В2007.

17.Брушлинский К.В., Каждан Я.М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики // Успехи математических наук. 1963. — Т. 18. — Вып. 2. -С. 3-23.

18.Lazarus R.B. Self-similar solutions lor converging shocks and collapsing cavities // SIAM Journal ofNumerical Analysis, 1981.-V. 18.-No. 2.-P. 316-371.

19.Guderley G. Starke kugelige und zylindrische VerdichtungsstoBe in der Nahe des KugeImittelpunktes bzw. dcr Zylinderachse // Luftfartforschung, 1942. - Bd 19. - Lfg. 9. -S. 302-312

20.Крайко А Н. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа // Прикладная математика и механика, 2007. - Т. 71. — Вып. 5. -С. 744-760.

21.Валиев Х.Ф. Отражение ударной волны от центра или оси симметрии при показателях адиабаты от 1.2 до 3 И Прикладная математика и механика, 2009. - Т.73. - Вып. 3. - С. 397-^107.

22. Валнев Х.Ф., Крайко А.Н.Цшшндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального совершенного газа с показателями адиабаты от 1.001 до 3 // Прикладная математика и механика, 2011. - Т.75. - Вып. 2. -С. 314-326.

23. Валнев Х.Ф., Крайко А.Н. Автомодельные нестационарные течения совершенного газа с измененнем показателя адиабаты на «отраженной» ударной волне // Прикладная математика и механика, 2011. - Т.75. - Вып. 6. - С. 961-982.

24.Валиев Х.Ф. Отражение ударной волны от центра и оси симметрии при разных показателях адиабаты / под ред. С.Ю. Крашенинникова II Сб. Теоретическая и прикладная газовая динамика. Т. 2. - М.: Торус-Пресс, 2010. - 416 с.

25.Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Цилиндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального совершенного газа / под ред. С.Ю. Крашенинникова // Сб. Теоретическая и прикладная газовая динамика. Т. 2. - М.: Торус-Пресс, 2010. -416 с.

26.Kraiko A.N., Valiyev Kh.F. Cylindrical and spherical fast intense compression of ideal gas with the adiabatic exponents from 1.2 to 3 // Physics of Extreme States of Matter -2009. - Chernogolovka: Inst. ofProbl. of Chem. Phys. RAS, 2009. - P. 152-154.

27. Kraiko A.N., Valiyev Kh.F. Attainment of extreme temperatures and densities in compression by a shock wave and non-self-similar centered wave and a collapse of an empty spherical cavity with change behind the reflected shock wave of medium properties // Physics of Extreme States of Matter - 2010. - Chernogolovka: Inst, of Probl. of Chem. Phys. RAS, 2010.-P. 101-103.

28. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Быстрое сильное сжатие идеального газа // Сб. «Высокопроизводительные вычисления в задачах механики и физики». - М.: Изд-во ин-та прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН, 2009. - С. 45-49.

29.Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Быстрое сильное сжатие при любых показателях адиабаты и схлопывание пустой сферической полости с изменением на отраженной ударной волне свойств среды // Международная конференция «Забабахинские научные чтения», http://www.vniitf.ru/images/zst/2010/secl/l-20.pdf

30. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н., Тшшяева Н.И. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа // Международная конференция «IX Харитоновские научные чтения». Сб. тезисов «Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны». Саров, 2007. - С. 281.

31. Валиев Х.Ф., Ермолова Е.В. Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Быстрое сильное сжатие идеального газа и ударные волны в среде с лучистой теплопроводностью // Международная конференция «Забабахинские научные чтения». Тезисы. - Изд-во РФЯЦ - ВНИИТФ, Снежинск, 2007. - С. 25-26

32. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Быстрое сильное сжатие при любых показателях адиабаты и схлопывание пустой сферической полости с изменением на отраженной ударной волне свойств среды // Международная конференция «Забабахинские научные чтения». Тезисы. Изд-во РФЯЦ- ВНИИТФ, Снежинск, 2010. -С. 32.

33. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Цилиндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального газа с показателями адиабаты ог 1.2 до 3 И ХХХШ Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток, 2008. - С. 192-193.

34.Kraiko A.N., Valiyev Kh.F. The cylindrical and sphcrical fast intense compression of ideal gas with the adiabatic exponents from 1.2 to 3 II Book of Abstracts. XXIV International Conference «Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter». -Chernogolovka: Inst. ofProbl. of Chem. Phys. RAS, 2009. -P. 131-132.

35. Kraiko A.N., Valiyev Kh.F. Attainment of extreme temperatures and densities in compression by a shock wave and non-self-similar centered wave and a collapse of an empty spherical cavity with change behind the reflected shock wave of medium properties // Book of Abstracts. XXV International Conference «Equations of State for Matter». - Chernogolovka'. Inst, of Probl. of Chem. Phys. RAS, 2010. - P. 83-84

36. Kraiko A.N., Valiyev Kh.F. Shock wave convergence to the centre of symmetry and a collapse of an empty spherical cavity with substance compressibility change on the reflected shock wave U Book of Abstracts. XXVI International Conference «Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter». - Chernogolovka: Inst, of Probl. of Chem. Phys. RAS, 2011.-P. 85-86

37. Валиев Х.Ф., Крайко А.Н. Особенности нестационарных автомодельных, стационарных осссимметричных и двумерных конических течений с ударными волнами II Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. -№ 4-4. 3. - С. 670-672.

38. Валиев Х.Ф. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа // Тр. 50 Научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Ч. 6. Аэродинамика и летательная техника. М.-Жуковский: МФТИ. 2007. С. 11-12

39.Валиев Х.Ф. Решение задачи об отражении ударной волны от оси и центра симметрии и создание газодинамическими средствами условий, необходимых для реализации УИТС // Тр. 51 Научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Ч. 6. Аэродинамика и летательная техника. М.-Жуковский: МФТИ. 2008. - С. 15-18.

40.Валиев Х.Ф. Цилиндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального совершенного газа с разными показателями адиабаты // Тр. 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва, 2009. Ч. б. Аэродинамика и летательная техника. М.-Жуковский: МФТИ, 2009.-С. 119-120

Подписано в печать: 20.10.2011

Заказ № 6075 Тираж -100 экз. Печать трафаретим. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autorefcrat.ru

Список использованных сокращений

Введение

Глава 1. Отражение ударной волны от центра или оси симметрии при показателях адиабаты от 1.001 до

Введение

1.1. Автомодельная задача об отражении ударной волны от центра или оси симметрии. Качественный анализ уравнений

1.2. Особенности численного решения и результаты расчета 58 Заключение к главе

Глава 2. Цилиндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального совершенного газа с показателями адиабаты от 1.001 до

Введение

2.1. Решения с фокусировкой волны сжатия в центре симметрии или вблизи него

2.2. Результаты расчета 81 Заключение к главе

Глава 3. Автомодельные нестационарные течения совершенного газа с изменением показателя адиабаты на фронте «отраженной» ударной волны

Введение

3.1. Схлопывание пустой сферической полости с образованием ударной волны

3.2. Отражение ударной волны от оси или центра симметрии задача Гудерлея)

3.3. Разгон и ударное торможение газа

3.4. Еще о допустимых и запрещенных решениях 118 Заключение к главе

Интерес к задачам о цилиндрически и сферически симметричном нестационарном сжатии стимулирует ряд приложений, включая проекты реализации инерциального управляемого термоядерного синтеза [1—6].

В связи с ограниченными возможностями традиционной энергетики и постепенным исчерпанием разведанных запасов топлива, на повестку дня выходит управляемый термоядерный синтез (УТС). Согласно современным представлениям звезды светят благодаря стационарной термоядерной реакции, и неконтролируемый термоядерный процесс удалось реализовать с помощью водородной бомбы.

В лабораторных условиях УТС реализуется, но, к сожалению, пока цена ядерной энергии слишком высока. Иными словами, затраты энергии превышают энергетический выигрыш.

Проблема термоядерного синтеза состоит в решении двух задач: нагрева вещества до необходимых температур и его удержания на время, достаточное для "сжигания" заметной части термоядерного топлива. Это время определяется критерием Лоусона [7]: лт > const где г — время'удержания высокотемпературной плазмы в системе, п — концентрация её частиц, константа зависит от реакции. В таком виде критерий удобен для перспективных реакторов непрерывного действия.

УТС с инерционным удержанием, или инерциальный УТС, основан на возможности получения положительного энергетического эффекта в реакторах импульсного типа. В инерциальном УТС небольшая масса, миллиграммы, термоядерного топлива (дейтериево-тритиевой смеси) сжимаются оболочкой, ускоряемой за счет реактивных сил, возникающих при испарении оболочки с помощью мощного облучения. Облучение термоядерной мишени осуществляется лучами лазера, пучками ионов или электронов [1-4, 8, 9]. Энергия выделяется в виде микровзрыва, когда в процессе сжатия в плазме мишени достигаются необходимые условия для термоядерного горения. Время жизни такой плазмы определяется инерционным разлетом смеси и поэтому критерий Лоусона для> инерционного удержания принято записывать в терминах произведения рг, где р — плотность реагирующей смеси и г — радиус сжатой мишени. Для того, чтобы за время разJ лета смесь успела выгореть, нужно, чтобы рг >/*,/* ~ 0.1 — 3 г/см [7]. Для о субмиллиметровых мишеней это отвечает плотностям в сотни г/см , т.е. необходимо достичь, плотности .термоядерного вещества, в тысячи и более раз превышающую плотность твёрдого дейтерия.

Из критерия Лоусона следует, что чем меньше масса, сжигаемой мишени, тем сильнее надо ее сжать. Поэтому реализация неуправляемого термоядерного синтеза требует во много раз меньшей степени сжатия вещества по сравнению с управляемым.

Попытки'реализовать, термоядерное горение с помощью взрывчатых веществ, или газодинамический термоядерный синтез, на данный момент не увенчались успехом-[10].

К настоящему времени энергоэффективную реакцию удалось получить в водородной бомбе. Она состоит из взрывателя - атомной* бомбы и термоядерного топлива, дейтерида лития-6 LiD, которое советские оружейники назвали «Лидочкой» [11].

Взрыв термоядерной бомбы доказал возможность синтеза с инерционным удержанием.

Недавно в Ливерморе (США) заработала мощная лазерная установка National Ignition Facility с энергией импульса до 1.8 МДж [12]. Лазерные лучи со всех сторон направляют на мишень, содержащую термоядерное топливо. Под действием светового давления и реактивной силы от испаряющегося с поверхности вещества происходит одновременно сильное сжатие и нагрев мишени. Использование лазеры с энергией порядка 1 МДж в установках Laser Megajoule, Бордо, Франция и National Ignition Facility, Ли-вермор, США, должно обеспечить условие термоядерного зажигания и энергоэффективные режимы УТС [7].

Взрыв полноценной водородной бомбы — неуправляемый термоядерный синтез, при котором выделяется слишком много энергии, что делает его непригодным для энергетических целей.

Предложен метод получения ядерной энергии путём взрывов атомных зарядов, инициирующих DD-реакцию. Согласно ему предлагается производить в камере котла вспышечного сгорания термоядерные взрывы большой мощности (а не микровзрывы, как винерциальном термояде) с целью получения энергии. [13]

Проблема реализации реактора типа котла вспышечного сгорания* состоит в большой мощности взрыва, а значит и большой опасности такого реактора, а также том, что все атомные взрывы, даже подземные, сейчас запрещены.

Сильное сжатие предполагает неограниченный^ рост давления, а при очень больших давлениях для вещества становится применимо уравнение состояния'идеального газа. Например, горные породы* при< прохождении через них сильной ударной, волны ведут себя как- идеальный газ с показателем адиабаты у = 3, так называемый газ Ландау-Станюковича. Для замагниченной плазмы используется уравнение состояния' идеального газа с показателем адиабаты 2.

Вследствие пространственного усиления^ из-за уменьшения сечений трубок тока некоторые параметры по мере приближениям центру симметрии неограниченно возрастают, это приводит к тому, что начальные значения этих параметров перестают влиять на течение, т.е. «забываются», а само-те-чение выходит на автомодельный режим. Так происходит в задачах о схождении ударной волны к центру симметрии и схлопывании пустой полости, в которых из всех параметров вначале неавтомодельного течения не «забываются» только начальная плотность перед волной и начальная энтропия соответственно.

Негазообразные вещества при меньших давлениях можно приближенно заменить идеальным газом с большим эффективным показателем адиабаты, вплоть до у = оо.

В диссертации рассмотрены 4 задачи о сжатии цилиндрических и сферических объемов газа:

1) Автомодельная задача о сходящейся к центру симметрии сильной ударной волне для показателей адиабаты от 1.001 до 3 (задача Гу-дерлея)

2) Неавтомодельная задача о быстром сильном сжатии,.предполагающем одновременное получение сколь угодно больших температур и плотностей для показателей адиабаты.от 1.001 до 3. К особой характеристике задачи Гудерлея примыкает пучок волн сжатия, сфокусированный на- конечном расстоянии от центра симметрии. Рост температуры обеспечивается интенсивностью сходящейся ударной волны, а рост плотности происходит за ней в центрированной волне сжатия.

3) Автомодельная задача о сходящейся к центру симметрии сильной ударной волне с изменением показателя адиабаты на фронте отраженной ударной волны.

4) Автомодельная задача о схлопывающейся к центру симметрии пустой сферической полости с изменением показателя адиабаты, на фронте ударной волны.

Автомодельная задача о схлопывающейся полости, впервые рассмотренная в [14] в сферически симметричном случае, позже рассматривалась как отдельно [15, 16, 17], так и совместно [18, 19] с одной из основных газодинамических задач атомного проекта - задачей о схождении ударной волны к центру симметрии? и отражении от него, впервые рассмотренной Г. Гудерлеем [20].

В литературе отсутствовало полное решение задачи Гудерлея для показателей адиабаты от 1 до 3.

С помощью сжатия сходящейся ударной волной^ или ударного сжатия; теоретически можно достичь сколь угодно высоких температур, определяемых интенсивностью ударной: волны. При этом критерий Лоусона для микромишеней термоядерного/ синтеза не будет удовлетворен, требуется больший рост плотности: Изэнтропическое или. безударное сжатие может дать сколь угодно высокую плотность [5, 21-24]. При. выполнении критерия; Лоусона уровень температуры будет недостаточным для реализации У ТС [25].

Основные классические задачи о сжатии рассмотрены в обзоре [24].

По вышеуказанным причинам для достижения условий, необходимых для реализации энергоэффективного УТС, нужно объединить ударное сжатие с безударным.Для¡минимизации, диссипативных эффектов-.сжатие должно быть как можно более быстрым [25].

Задача о быстром сильном сжатии была сформулирована А.Н. Крайко• „ и решена для нескольких показателей адиабаты, 6/5, 7/5 и 5/3 [26]. Быстрое-сильное сжатие получается присоединением центрированной волны.сжатия к особой характеристике задачи Гудерлея, приходящей в центр симметрии одновременно со сходящейсяударнош волной: Позже оказалось, что » построенное решение го дитсяшоказателей'адиабаты, не превышающих Г.9.

Третьяш четвертая задачшранее в литературе не рассматривались.

Обзор литературы по теме диссертации

Автомодельная задача о схлопывающейся сферически симметричной полости в газе исторически не представляла большого самостоятельного интереса, поэтому ей посвящено относительно небольшое количество работ.

Будучи очень близкой по физическим и математическим особенностям, она рассматривалась совместно с задачей о схождении ударной волны к центру симметрии, рассмотренной Г. Гудерлеем [20] в 1942 г. Немецкий физик в то время занимался кумулятивными снарядами и побочно пришел к идее взрыва во внутрь (имплозии). В дальнейшем идея имплозии была подхвачена физиками-ядерщиками, участвовавшими в атомном проекте [27].

В работе [14] рассмотрена задача о схлопывающейся сферической полости в жидкости с эффективным показателем адиабаты у = 7. Рассмотрена движущаяся от центра симметрии ударная волна, считающаяся» гомоэнтро-пичной, - энтропия газа в ударной волне остается* неизменной. Возможно, такой подход упрощает решение уравнений газовой динамики, но не отражает сути явления. Поэтому от такого подхода следует отказаться.

В работе [28] рассмотрены возможные типы автомодельных течений, описывающих симметричное* течение жидкости в пустую сферическую полость, при показателях адиабаты Г < у < 7. Установлено, что автомодельные течения, при которых жидкость ускоряется в полость, существуют при показателях адиабаты у > 3/2. При* меньших значениях у существует решение с постоянной скоростью границы.

Подробное исследование особых точек и вопроса о количестве возможных автомодельных решений приведено в работе [18]. При этом отмечается, что, в соответствии с гипотезой Гельфанда [29], в случае, когда через особую точку на звуковой линии — узел - можно теоретически пройти неединственным способом по аналитической кривой без разрыва производных любого порядка во всех точках, практически реализуется единственное, особое решение с минимально* возможным показателем автомодельности. Интегральная кривая при этом является отдельным усом вышеупомянутой узловой особой точки. В работе [30] показано, что при выборе особых начальных условий может реализоваться альтернативное, неособое решение, при котором показатель автомодельности совпадает с найденным в [18] и интегральная кривая является усом общего направления особой точки на звуковой линии.

В работе Лазаруса [19] для множества показателей адиабаты от нижней границы существования особого решения до 100 приведены показатели ав-томодельности с точностью до 10 знака после запятой, проведено исследование особых точек, построены графики основных параметров, а также построены примеры решений с разрывом производных на особой характеристике. Позже выяснилось, что такие решения нестабильны относительно симметричных (одномерных) возмущений [31]. Основные результаты работ [19, 31] подтверждаются численным моделированием [32] перехода схлопывания полостей в автомодельный режим. При этом для значений У < У er, Jcr ~ 3/2 действительно реализуется решение с практически постоянной скоростью границы полости, с точностью до 0.3%. А при больших значениях у, вплоть до 2, область существования автомодельного решения с непостоянной скоростью границы полости составляет порядка 1% от начального радиуса полости.

Исследование [33] показало, что учет неавтомодельных эффектов на последней стадии схлопывания пустой полости в воде, хотя и меняет распределение параметров, практически не сказывается на траектории границы полости. Показано, что схлопывание полости сопровождается очень высокими давлениями при относительно высокой скорости коллапса.

В работе [34] построено глобальное аналитическое решение в области между поверхностью полости и звуковым фронтом в виде бесконечных рядов. Решение существует вплоть до момента схлопывания полости при у < 5/3 в сферическом, и у < 2 в цилиндрическом случаях, при больших значениях у ряды расходятся, начиная с определенного момента времени. Результаты работы находятся в соответствии с выводами [33]: при значении у « 2 граница полости вначале движется с постоянной скоростью, а затем выходит на автомодельный режим [19].

Обзор некоторых последствий, связанных со схлопыванием пустых полостей, а также возможности применения этого явления для зажигания взрывчатых веществ, можно найти в работе [35].

Как уже отмечалось, ключевая газодинамическая; проблема в термоядерном синтезе - задача о сходящейся к центру или оси симметрии ударной волне большой интенсивности; Еудерлей опубликовал решение в сферическом случае для; показателя адиабаты, у — 7/5: [20]. Плотность перед сходящейся волной? в классической постановке1 считается^ постоянной. Согласно этому решению интенсивность.волны.по мере движения к.центру симметрии увеличивается, а после отражения ударной волны в центре симметрии температура бесконечна! В" СССР" этой, задачей занимались. Лі Д. Ландау, К.ГГ. Станюкович [36] и ряд других ученых.

Исследователи^ занимающиеся задачей Гудерлея, сталкиваются?; с: множеством- сложностей: Для полного решения необходимо- соединить- качественный1. анализ: обыкновенных дифференциальных уравнений^ с численным исследованием их поведения: Ключевой; параметр автомодельной задачи. Гу-дерлея— показатель, автомодельности — является трансцендентным числом и . определяетсяшщроцессе решенияї Значения показателя;автомодельности для-различных показателей адиабаты.приведены в работе [19] с точностью до 10 знака после запятой. Віработе [37], рассмотрена^ задача со степеннымшрофи-лем плотности. В этой постановке: задачи для; основных показателей . адиабаты в диапазоне от: 1.1 до оо приведены-показатели; автомодельности с точностью; до; 15-го знака после запятой, а в задаче с постоянной плотностью- при у = 1.4 для сферического и цилиндрического случая аж до 30-го знака1 после запятой; Помимо этого- построены графики распределеншгг параметров> за сходящейся ударной волной до момента ее прихода в центр симметрии.; Дополнительные сведения'о вкладе начального степенного профиля в решение приведены в работах [38, 39].

Приближенный метод вычисления показателя автомодельности (с точностью до нескольких знаков после запятой), основанный на мнимом устранении сингулярности на звуковой линии с помощью алгебраических преобразований, приведен в [40].

Большая часть научных публикаций по задаче Гудерлея затрагивает решение задачи до момента фокусировки ударной волны в центре симметрии, оставляя вопрос о проходящих после этого процессах открытым. В некоторых работах приводятся качественные сведения о том, что происходит после фокусировки ударной волны в центре симметрии [36]. Работа Лазаруса [19] содержит довольно подробное исследование задачи Гудерлея, включая отраженную ударную волну. В этой работе, помимо множества других графиков, для значений показателя адиабаты у = 7/5, 5/3, 2, 3, 6 приведены гра

Рисунок 0.1. Сравнение показателей автомодельности, вычисленных Лазару-сом [19], сферический случай отвечает сплошной линии, цилиндрический -пунктиру, и Фуджимото и Мишкином [46, 47], показаны крестиками в сферическом и плюсиками в цилиндрическом случае. Рисунок из работы [45] фики основных параметров газа за отраженной ударной волной. Графики построены в абсолютных масштабах, что несколько затрудняет их сравнительное исследование. Также приведены неаналитические решения (с разрывом производных на особой характеристике), вопрос о стабильности оставлен для будущих исследований. Выполненное позднее исследование стабильности автомодельных сходящихся течений [31]. показало нестабильность неаналитических решений и в. случае сходящейся ударной волны.

Математически строгий способ решения задачи Гудерлея предполагает исследование особых точек в плоскости безразмерных скорости газа - скорости звука (или квадрата скорости звука) [18, 19] и должен обеспечивать прохождение интегральной кривой'через определенную особую точку. Также имеются приближенные методы решения задачи Гудерлея-, самым известным из которых, является метод Чиснелла-Честера-Уизема, известный также как. метод СС"^ по первым английским буквам, фамилий авторов, разработавших его [41-43]. К сожалению, известные приближенные методы не дают инфорг мации о течении после отражения ударной волны от центра симметрии. Помимо этого, имеются работы с т.н. аналитическим решением' задачи Гудерлея, где за1 «довольно- точное» или даже точное значение показателя' автомодельности берется-его первое приближение, используемое при итерационном вычислении показателя автомодельности [44]. При некоторых показателях адиабаты оно близко к истинному, при других далеко (см. рисунок 0.1 из работы [45]). И приводятся «доказательства» применимости такого подхода, основанные не на глубоком анализе проблемы перехода, через особую точку на звуковой линии, а на основе гипотезы, о максимуме давления, [46-49]. Работа [46] рассматривает цилиндрически, а.[47] - сферически симметричный случай. Лазарус отверг такой подход [50], но Мишкин не согласился с приведенными доводами [51]. Более подробная' критика взглядов Мишкина и Фуджимото содержится в работах [44, 45], поддержка - в,[52].

В- некотором диапазоне показателей адиабаты задача Гудерлея, как и задача о схлопывающейся сферической полости, допускает неединственное решение без разрыва производных [18], но согласно гипотезе Гельфанда [29] реализуется решение с наименьшим показателем автомодельности. Это подтверждается результатами исследования [53], в котором решение построено в виде многочлена 40-го порядка от времени.

Вопросы устойчивости схождения ударной волны рассматривались разными авторами [31, 54]. Сферическая сходящаяся ударная волна оказалась неустойчивой относительно радиальных возмущений [54]. А решения с разрывом производных на звуковой характеристике, примеры которых приведены в [19], оказались неустойчивыми относительно колебаний, направленных вдоль радиуса, т.е. безусловно неустойчивыми, а потому нереализуемыми в общем, случае [31]. Области устойчивости относительно различных колебаний найдены,в численном исследовании [55]'. В работе [56] исследована стабильность сходящейся ударной волны как линеаризованных уравнений метода Чиснелла, так и в нелинейном случае. Некоторые моды колебаний, стабильные для линеаризованных уравнений, оказались нестабильными в нелинейном. случае. Рост возмущений, оказался не экспоненциальным, а степенным. Рост амплитуды» не зависит от моды. При достаточно большой амплитуде возмущения форма волны испытывает излом, и это ведет к потенциальным потерям энергии сходящейся ударной волны.

В обзорной работе [24], в частности, приведены полные качественные решения как задачи Гудерлея со степенным профилем плотности перед ударной волной, так и задачи о схлопывающейся полости. Скорость звука на границе полости ошибочно считается бесконечной, что приводит к отличному от других авторов решению. Приведены некоторые количественные данные.

Анализ неавтомодельного схождения ударной волны методом интегральных соотношений [57], методами характеристик, случайной выборки, и конечноразностным второго порядка с искусственной вязкостью [58] показал, что течение приближается к автомодельному, но никогда не выходит на истинно автомодельный режим. Скорость приближения оказалась ниже, чем предполагалось. Приближение к автомодельному решению, особенно профиля плотности, быстрее при большей начальной энергии, вызвавшей сходящуюся ударную волну (рисунок 0.2 из [57]). "\Уо - энергия инициирования Ш

Рисунок 0.2. Распределение безразмерной скорости Г частиц около оси симметрии [57] сходящейся ударной волны, £ - безразмерное расстояние, пройденное фронтом ударной волны. Начальной точке соответствует значение Е, = 0, моменту прихода волны на ось симметрии отвечает Е, = 1, г — расстояние до оси симметрии, Кз - радиус ударной волны.

Решение неавтомодельной задачи методом характеристик [59] показывает постепенный выход течения на автомодельный режим.

В одной из первых отечественных публикаций по задаче Гудерлея, в книге [60], задача рассматривается качественно, приводятся приближенные количественные оценки параметров задачи, в частности значения показателя автомодельности для нескольких показателей адиабаты.

В работе [61] течение со сходящейся к центру симметрии ударной волной рассчитано методом конечных разностей Лакса, для конечности давления на оси симметрии введена искусственная диффузия. Найдено, что рассчитанные параметры газа находятся в хорошем соответствии с расчетами по методу Чиснелла.

В работе [62] рассмотрена фокусировка ударной волны с учетом лучистой теплопроводности, определена ширина зоны прогрева. Показано, что при лучистом теплообмене неограниченная кумуляция не исчезает, а видоизменяется. Вместо конечной плотности и бесконечной температуры получается конечная температурами бесконечная плотность. Численное исследование процесса превращения автомодельного решения Гудерлея в изотермическую волну под действием электронной теплопроводности [63] показало, что теплопроводность очень сильно влияет на максимальные значения параметров в центральной области, но качественная картина течения остается неизменной. Сходящаяся ударная волна, если и вырождается в движущуюся с постоянной скоростью изотермическую волну вследствие влияния теплопроводности, то существует в настолько незначительной области, что попытки ее обнаружить не увенчались успехом. Этот результат дает подтверждение выводу работы [62] о неограниченной кумуляции возмущений, идущих к центру в теплопроводном газе.

При особой геометрии экспериментальной установки можно получить сверсферическую кумуляцию, при которой интенсивность сходящейся ударной волны нарастает быстрее, чем в сферическом случае [64].

Работа [65], в частности, рассматривает вклад в автомодельное решение задачи Гудерлея возмущений, связанных с противодавлением и однородным тепловыделением.

В работе [66] рассмотрено схождение ударных волн конечной интенсивности с помощью приближенного квазиавтомодельного метода Ошимы. Показано, что течение асимптотически приближается к автомодельному решению задачи Гудерлея, и в пределе совпадает с ним. Обнаружено хорошее соответствие результатов метода Ошимы с результатами других приближенных методов.

В работе [67] рассмотрена начальная стадия схлопывания цилиндрической или сферической волны. Получено аналитическое решение с точностью до членов четвертого порядка по пространству. Классическое автомодельное решение является нулевым приближением полученного решения. Исследование дает отличный способ выбора подходящих начальных условий для численного расчета. Работа [68] дополняет [67] в области, где результаты последней работы неприменимы, совпадая с ее результатами возле цилиндрической стенки. Исследование [69] показало, что учет двух последующих членов к решению Гудерлея-существенно расширяет область справедливости разложения-по сильным ударным волнам.

Схождение сильных ударных волн по среде, состоящей из газа и твердых несжимаемых частиц, рассмотрено * без учета, теплопроводности [70-72], при конечной теплопроводности [73] и при очень большой, так что течение1 заударной волной можно считать изотермичным [74, 75].

В работе [76] дано автомодельное представление для уравнений радиационной газовой динамики со сферической симметрией, подходящее для широкого разнообразия законов излучения. Построены численные решения для сходящейся ударной волны с радиационными потерями в оптически толстом пределе. Более подробно схождение ударной волны в излучающем газе рассмотрено в [77].

В работе [78] рассмотрено схождение ударной волны с гомотермичным течением за' ее фронтом. Показатель автомодельности, как и в задаче Гудерлея, определяется в процессе решения. Проведено сравнение пространственных распределений параметров в этой задаче и в задаче Гудерлея. Полная энергия в автомодельной области убывает более быстро, чем в изэнтропиче-ской постановке. При этом задача имеет единственное решение при у < 3 и неединственное при больших показателях адиабаты у [79].

В работе [80] проведен анализ оптимизированных имплозий сферических дейтерий-тритиевых мишеней, инициируемых импульсами лазера и ведущих к эффективному термоядерному горению. Получены параметры оптимального импульса для мишеней массой от 40 нг до 250 мкг.

В работе [81] исследовано влияние плотной оболочки термоядерных мишеней на имплозию. Рассмотрены мишени как со»сферической полостью в центре, так и без нее.

В работе [82] модифицированным методом Уизема теоретически исследован процесс генерации и. схождения, ударных волн произвольной формы.

В работе [83] экспериментально получена сходящаяся детонация в ацетилен-кислородной смеси. В пределе сильно пересжатая детонация приближается к ударной волне. Измеренные экспериментально значения давления детонации находятся в хорошем* соответствии с теоретически предсказанными^ по методу Чиснелла. Опыты со сходящимися ударными волнами, приведенные в [84] так же показали соответствие с теоретическими предсказаниями, в частности, радиусы сходящейся и отраженной ударной волны, измеренные по шлирен-фотографиям, являлись функциями времени, близкими1 к степенным.

В работе [85] обсуждается возможность получения условий'термоядерного горения- с помощью лазеров. Оценен требуемый энерговклад. Для начальной температуры за сходящейся ударной волной^ получена оценка в 7x106 К.

В работе [86] экспериментально получена цилиндрическая сходящаяся детонация в ацетилен-кислородной смеси, а так же описан метод получения цилиндрической имплозии в бомбе, а в работе [87] исследования продолжены. Из-за отсутствия вихревой крупномасштабных вихрей за отраженной ударной волне имплозия признана устойчивой. После отражения ударной волны от центра симметрии спектроскопические наблюдения зафиксировали температуру в 1.89х105 К.

В работе [88] описано получение технических алмазов в имплозийной камере иТ1А8 из графита с помощью взрывчатых веществ.

В работе [89] приведены результаты спектроскопических измерений имплозии в водород-кислородной смеси. Зафиксирована температура в 4500-6000К и давление примерно 12500 атм при начальном давлении в 7 атм. В опыте не наблюдалось никаких больших неустойчивостей или нарушений

Рисунок 0.3. Процесс развития нестабильности 4-й моды. После отражения ударной волны в центре области остаются вихри [92] симметрии.

В работе [90] представлен экспериментальный способ получения сходящихся цилиндрических волн. Усиление волн в эксперименте оказалось в хорошем соответствии с предсказаниями метода Чиснелла. Эксперименты [91] показали, что сходящаяся цилиндрическая ударная волна с возмущением сохраняет симметрию вплоть до малого радиуса, при котором в кривизне ударной волны внезапно появляется излом. Искусственно вызванные возмущения ведут к такому типу нестабильности. Во всех случаях нестабильность

Рисунок 0.5 Меридиональные сечения обжатых металлических шаров [96]

Рисунок 0.6. Образование пустой полости в точке фокусировки сходящейся ударной волны в стальном шаре [97] проявляется в наличии вихревых пар за отраженной волной.

Экспериментальное исследование стабильности сходящихся цилиндрических ударных волн [92] показало, что развивается нестабильность 4-й моды (см. рисунок 0.3).

В экспериментах [93] в детонационной камере с размером волн поряд

7 8 ка 500 мм наблюдалась температура от 10 до 10 К, плотность ионов при этом была от 1019 до 1021 см'3, что предполагает возможность реализации термоядерного синтеза в камере в 3 раза большего размера.

В ряде экспериментов по ударно-волновому или взрывному нагруже-нию металлических шаров наблюдается интересное явление: увеличение размеров образца после нагружения. При этом в центре образца наблюдается сферическая полость [94-97] (см рисунки 0.5-0.7). Также ссылки на другие подобные эксперименты можно найти в обзоре [10].

При этом в случае, когда точка фокусировки не совпадает с центром шара, образуются две полости, одна в точке фокусировки, другая в центре шара (см. рисунок 0.7).

Рисунок 0.7. Меридиональные сечения обжатых шаров [95]

Актуальность

Вопросы, рассмотренные в диссертации — возможность достижения условий реализации инерциального УТС с помощью одной ударной волны, а также с помощью следующей за сходящейся'ударной волной непрерывной волны изэнтропического сжатия; построение траектории поршня, осуществляющего близкое к оптимальному сжатие с одновременным получением сколь угодно больших плотностей и температур; влияние изменения показателя адиабаты на отражённой ударной волне на картину течения - являются важными, для проблемы инерциального УТС. Все вышеуказанные вопросы рассмотрены для широкого диапазона показателей адиабаты. Эти вопросы являлись предметом внимания многих исследователей в последние годы. Можно считать, что. и в будущем они также окажутся важными, в проблеме реализации инерциального УТС.

Результаты диссертации применимы в численном, моделировании сильного сферически или цилиндрически симметричного сжатия газа, а также схлопывания пустой сферической полости в газе, как для сравнения полученных решений с автомодельной асимптотикой, так и для. разрешения особенности около центра, или оси симметрии (далее - центра симметрии), возникающей в момент прихода ударной волны или границы*полости в него.

Цель и предмет исследований

В диссертации исследуются процессы автомодельного схождения ударной волны к центру симметрии в сферически и цилиндрически симметричном случаях как в постановке с постоянным показателем адиабаты во всём поле течения, так и в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на отражённой ударной волне; схлопывания пустой сферической полости в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра симметрии; построение дополнительной к сходящейся ударной волне неавтомодельной изэнтропической волны сжатия, сфокусированной в центре симметрии.

Тема диссертации была предложена А.Н. Крайко. Под его руководством были выполнены все этапы работы. Первоначально планировалось рассмотреть сжатие газа сходящимися ударными волнами и дополнительного сжатия в центрированной волне сжатия, сфокусированной в центре симметрии. Позже было-принято решение рассмотреть также задачу о схлопыва-нии пустой сферической полости в газе в постановке, допускающей изменение показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра1 симметрии, как близкую к задаче о схождении ударной волны к центру симметрии по физическим и математическим особенностям.

1. Вфаботах [98, 101] построено полное решение автомодельной задачи о схождении ударнот волны к центру симметрии, для показателей адиабаты от 1.2 до 3. Цель построения1 полного решения состоит в том, чтобы проверить возможность достижения условий; необходимых для реализации инер-циального УТС, с помощью сжатия сходящейся ударной-волной большой интенсивности; а также в использовании' полученного решения для построения траектории поршня, обеспечивающего одновременное достижение сколь угодно больших температур и плотностей.

2. В-работах [99, 102, 103, 105, 107-111, 115-117] рассмотрено цилиндрически и сферически симметричное быстрое сильное сжатие идеального совершенного газа с показателями адиабаты от 1.001 до 3. При быстром сильном сжатии одновременно достигаются сколь угодно большие плотности и температуры за время, много меньшее времени пробега звуковой волны через несжатый объем газа. Цель такого рассмотрения состоит в том, чтобы показать возможность достижения чисто газодинамическими средствами условий, необходимых для реализации инерциального УТС.

3. В работах [100, 104, 106, 112—114] рассмотрены автомодельные-зада-чи о схождении ударной волны к центру симметрии в сферически и цилиндрически-симметричных случаях и о схлопывании пустой сферической полости с изменением показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра симметрии. Цель такого рассмотрения состоит в том, чтобы выяснить поведение вышеуказанных нестационарных течений совершенного газа при-изменении показателя адиабаты на ударной волне, идущей от центра симметрии. Уменьшение показателя адиабаты приближенно моделирует различные физико-химические процессы (например, ионизацию и диссоциацию), а в задаче о схлопывании полости — фазовый переход (превращение жидкости в пар).

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, трёх, глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации 137 страниц, 41 рисунок. Список литературы включает 128 наименований.

Заключение

Рассмотрены четыре; задачи о сжатии цилиндрических и сферических объемов газа; Для двух, из них рассматривавшихся: ранее, решение в более широком диапазоне параметров, в частности, для показателей адиабаты 1.001 < у < 3. Другие две задачи рассмотрены впервые.

1) Получено полное решение задачи о схождениигударной волны-к центру или оси симметрии для показателей адиабаты. 1.001 < у < 3 с шагом, непревышающим 0:1. Расчеты показали, что1 основное изменение: плотности, внутренней энергии, а, следовательно, и температуры за отраженной ударной волной происходит в малой окрестности центра или оси симметрии. Большой рост плотности? (более: чем-, в; тысячи раз)? при? сжатии, сходящейся ударной волной5 реализуется; только для газов- с показателем адиабаты, близким- к 1. Всюду за. отраженной? ударношволной! кинетическая« энергия-газа составляет малую ? долю от его? внутренней? энергии; Изменение; по5радиусу давления за> отраженной ударной волной не превышает 1.5 раза.

2) Рассмотрена задача о быстром сильном сжатии в цилиндрически и сферически симметричном! случаях. Для показателей' адиабаты 1.001 < у < 3 построены- решения со сферически, и цилиндрически- симметричными иеав-томодельными-пучками воли сжатиях фокусировкой вблизи центра симметрии на особой характеристике и на отраженной ударной волне задачи Гудер-лея. Установлено, что зависимости радиуса сжимающего поршня и плотности на^нем.от времени близки к степенным.

3) Показано, что для всех рассмотренных.показателей(адиабаты,у чисто газодинамическими средствами возможно ¡ получение плотностей» и температур; необходимых для реализации управляемого инерциальнош термоядерного синтеза. .

4). Рассмотрены задачи о схождении ударной волны к центру или оси симметрии и о схлопывании пустой сферической полости в постановке, допускающей изменение показателя-адиабаты на фронте ударной волны, идущей от центра симметрии. Эти задачи обнаружили ряд неожиданных, интересных и важных моментов, возникающих в модели с изменением показателя адиабаты на ударной волне. В построенных решениях самые слабые («звуковые») ударные волны, которые при уменьшении показателя адиабаты на фронте ударной волны движутся по газу перед ними со скоростью звука, имеют конечную интенсивность. Более того, при у+ = 1 на такой звуковой ударной волне при небольшом (всего двукратном) повышении давления отношение плотностей, как на сильной ударной волне, бесконечно. Скорость ударных волн меньшей интенсивности дозвуковая, из-за чего они, будучи неэволюционными, запрещены.

5) В задачах о схождении ударной волны к центру или оси симметрии и схлопывании пустой сферической полости автомодельные решения с повышением показателя адиабаты на фронте ударной волны, идущей от центра или оси симметрии, запрещены из-за уменьшения энтропии. Типичны ситуации, в которых сохранение автомодельности возможно только при введении поршня, расширяющегося от центра симметрии. При его отсутствии течение за отраженной ударной волной становится неавтомодельным с момента отражения.

1. Nuckolls J. Laser compression of matter to super-high densities: thermonuclear (CTR) applications / Nuckolls J., Wood L., Thiessen A., Zimmerman G. // Nature, 1972. -V. 239. - No. 5368. - P. 139-146.

2. Clarke J.S. Laser-driven implosion of spherical DT targets to thermonuclear burn conditions / Clarke J.S., Fisher H.N., Mason RJ.// Physics Review Letters, 1973. -V. 30. No. 3. - P. 89-92.

3. Kidder R.E. Theory homogeneous isentropic compression and its application to laser fusion//Nucl. Fusion, 1974. -V. 14. No. 1. - P. 53-60.

4. Nuckolls J.H. The feasibility of inertial-confinement fusion // Physics Today, 1982. V. 35. - № 9. - P. 24-31 = Накколс Дж.Г. Осуществимость инерциально-термоядерного синтеза. Успехи физических наук, 1984. -Т. 143.-№3.-С. 467-482.

5. Долголева Г.В. Кумуляция энергии в слоистых системах и реализация безударного сжатия / Долголева Г.В., Забродин А.В. // М.: Физматлит, 2004. 70 с.

6. Фортов В.Е. Экстремальные состояния вещества на Земле и в космосе. М. : Физматлит, 2008. - 264 с.

7. Nakai S. Principles of inertial confinement fusion physics of implosion and the concept of inertial fusion energy / Nakai S., Takabe H. // Reports on progress in physics, 1996.-V. 59.-P. 1071-1131.

8. Anderson M.H. Shock tube investigation of hydrodynamic issues related to inertial confinement fusion / Anderson M.H., Puranik B.P., Oakley J.G., Brooks P.W., Bonazza R. // Shock waves, 2000. V. 10. - P. 377-387.

9. Ю.Попов H.A. О термоядерном синтезе при взрыве сферического заряда (проблема газодинамического термоядерного синтеза) / Попов Н.А., Щербаков В.А., Минеев В.Н., Зайдель P.M., Фунтиков А.И. // Успехи физ. наук, 2008.-Т. 178.-Вып. 10.-С. 1087-1094.

10. Киселев Г.В. Участие Л.Д. Ландау в советском Атомном проекте (в документах). // Успехи физических наук, 2008. — Т. 178. № 9. — С. 947-990.12.https://l asers.llnl.gov/sciencetechnology/

11. З.Иванов Г.А. Взрывная дейтериевая энергетика / Иванов Г.А., Волошин Н.П., Танеев А.С. Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2004. - 288 с.

12. Hunter С. On the collapse of an empty cavity in water // Journal of Fluid Mechanics, 1960. V. 8. - Pti 2. - P. 241-263 = Хантер К. О захлопывании пустой полости в воде // Механика. Иностранная литература, 1961. - № 3 (67). — С. 77-100.

13. Кожанов B.C. Задача о схлопывании пустой цилиндрической полости / Кожанов B.C., Чернов И.А. // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та; 2007. — Вып. 9. G. 136-139.

14. Кожанов'В.С. К автомодельной задаче о схлопывании пустой каверны / Кожанов B.C., Чернов И.А. / Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. Саратов, 2007. - 28 е., ил., библ. 4. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ РАН 20.11.2007, № 1080-В2007.

15. Кожанов B.C. Расчёт отражённых ударных волн в задаче о схлопывании пустой полости // Известия Саратовского университета. Новая серия 2010. Серия Математика. Механика. Информатика. — № 1. — С. 44-54.

16. Брушлинский К.В. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики / Брушлинский К.В., Каждан Я.М. // Успехи математических наук. 1963. Т. 18. - Вып. 2. - С. 3-23.

17. Крайко A.H. Автомодельное сжатие идеального газа плоским, цилиндрическим или? сферическим поршнем / Крайко А.Н., Тилляева Н.И. // Теплофизика высоких температур. 1998:- Т. 36; — №1. G. 120-128.

18. Meyer-ter-Vehn J. Selfsimilar, spherical > compression waves ; in gas dynamics/ Meyer-ter-Vehn J., Schalk С. II Zeitschrift fur naturforschung A, 1982. Bd. 37a. H. 8. - S. 955-969.

19. C17 Крайко A.I I. Сферически и цилиндрически симметричное нестационарное сжатие идеального газа- // Труды VII Забабахинских научных чтений. Снежинск, Россия, 2003. — http.7/www.vniitf.ru/rig/konfer/7zst/reports/s6/6-l.pdf.

20. Крайко A.l I. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа // Прикладная.математика и механика, 2007. Т. 71. - Вып. 5. - С. 744-760.

21. Белоконь В.А. Последние взрывы второй мировой. //Время новостей. №142. 08 сент. 2005 г. http://www.vremya.ru/2005/r42/13/131551.html.

22. Hunter С. Similarity solutions for the flow into a cavity // Journal of fluid mechanics, 1963.-V. 15. P. 289-305.

23. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи математических наук, 1959. Т. 14. - Вып. 2(86). - С. 87-158.

24. Совалов М.С. О схлопывании сферических полостей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1968. Т. 8. - № 3. -С. 707-710

25. Lazarus R.B. One-dimensional stability of self-similar converging flows // Physics of fluids, 1982. V. 25. - No. 7. - P. 1146-1155.

26. Thomas L.P. A numerical study on the transition to self-similar flow in collapsing cavities / Thomas L.P., Pais V., Gratton R., Diez J. // Physics of fluids, 1986. V. 29. - No. 3. - P. 676-679.

27. Akinsete V.A. Nonsimilar effects in the collapsing of an empty spherical cavity in water / Akinsete V.A., Lee J.H.S. // Physics of fluids, 1969. V. 12. -No. 2. - P. 428-434.

28. Sachdev P.L. Global solutions describing the collapse of a spherical or cylindrical cavity / Sachdev P.L., Ahluwalia D.S.// Zeitschrift fur angewandte mathematik und physik, 1992. V. 43. - P. 856-874.

29. Bourne N.K. On the collapse of cavities // Shock waves, 2002. V. 11.— P. 447-455.

30. Ландау JI Д. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика / Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. М.: Физматлит, 2003. - 731 с.

31. Hafner P. Strong convergent shock waves near the center of convergence. A power series solution // SIAM journal on applied mathematics, 1988. V. 48. -No. 6.-P. 1244-1261.

32. Sharma V.D. Strong converging shock waves in a radiating gas / Sharma V.D., Radha Ch.D. // Zeitschrift fur angewante mathematik und mechanic, 1995.-V. 75. P. 847-859.i i i

33. ToqueN. Self-similar implosion of a continuous stratified medium // Shockwaves, 2001.-V. 11.-P. 157-165.

34. GretlerW. On the eigenvalue problem of imploding shock waves/ GretlerW., HirschlerT. // Zeitschrift fur angewandte mathematik und physic, 2001.-V. 52.-P. 151-166.

35. Chester W. The quasi-cylindrical shock tube // Philosophical Magazine, 1954.-V. 45.-P. 1293.

36. Chisnell R.F. The motion of a shock wave in a channel-, with application to cylindrical and spherical shock waves // Journal of fluid mechanics, 1957. -V. 2.-P. 286-298.

37. Wang J.C.T. On the theory of imploding shocks // Zeitschrift fur angewandte mathematik und physik, 1982. — V. 33. — P. 53-62.

38. Mishkin E.A. Analysis of cylindrical imploding shock wave / Mish-kin E.A., Fujimoto Y. // Journal of fluid mechanics, 1978. V. 89-1. - P.-61-78.

39. Mishkin E.A. Analysis of spherically imploding shocks / Mishkin E.A., Fujimoto Y.//Physics of fluids, 1978. V. 21.-No. 11.-P. 1933-1938.

40. Chisnell R.F. An analytic description of converging shock waves // Journal of fluid mechanics, 1998. -V. 354. P. 357-375.

41. Vishwakarma J.P. An analytic description of converging shock waves in a gas with variable density / Vishwakarma J.P., Vishwakarma S. // Physica Scripta. 2005.-V. 72.-P. 218-223.

42. Lazarus R.B: Comments on "Analysis of spherical imploding shocks" // Physics of fluids, 1980. -V. 23. P. 844.

43. Mishkin E.A. Reply to the comments by Roger B. Lazarus // Physics of fluids, 1980. V. 23. - P. 844-845.s

44. Sachdev P.L. Shock waves and explosions. — Chapman&Hall/CRC. 2004. 274 p.

45. Van Dyke M. The converging shock wave from a spherical or cylindrical piston / Van Dyke M., GuttmannA.J. // Journal of fluid mechanics, 1982. -V. 120.-P. 451-462.

46. Брушлинский K.B. Неустойчивость сходящейся сферической ударной волны // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1982. Т. 22. -№ 6. - С. 1468-1479.

47. Fong К. Stability of converging shock waves / Fong K., Ahlborn B. // Physics of fluids, 1979.-V. 22.-No. 3.-P. 416-421.

48. Gardner J.H. Stability of imploding shocks in the CCW approximation / Gardner J.H., BookD.L., Bernstein I.B. // Journal of fluid mechanics, 1982. -V. 114.-P. 41-58.

49. Matsuo H. Cylindrically converging shock and detonation waves.// Physics of fluids, 1983.-V. 26.-No. 7.-P. 1755-1762.

50. Matsuo H. Numerical simulation of cylindrically converging shock waves / Matsuo H., Ohya Y., Fujiwara K. // Journal of computational physics, 1988.-V. 75.-P. 384-399.

51. Nakamura Y. Analysis of self-similar problems of imploding shock waves by the method of characteristics // Physics of fluids, 1983. — Vol. 26. -No. 5.-P. 1234-1239.

52. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды: М.: Гостехиздат, 1955. 804-с.

53. Welsh R.L. Imploding shocks and detonations // Journal of fluid mechanics, 1967. V. 29-1. - P. 61 -79.

54. Lee B.H.K. Nonuniform propagation of imploding shocks and detonations //AIAA Journal, 1967. -V. 5. No. 11. -P. 1997-2003.

55. Bach G.G. Initial propagation of impulsively generated converging cylindrical and spherical shock waves / Bach G.G., Lee J. H. // Journal of fluid mechanics, 1969. -V. 37-3. P. 513-528.

56. Matsuo H. Converging shock waves generated by instantaneous energy release over cylindrical surfaces // Physics of fluids, 1979. V. 22. - No. 9. -P. 1618-1622.

57. Ponchaut N.F. On imploding cylindrical and spherical shock waves in a perfect gas / Ponchaut N.F., Hornung H.G., Pullin D.I., Mouton C.A. // Journal of fluid mechanics, 2006. -V. 560. P. 103-122.

58. Gretler W. Similarity solution for laser-driven shock waves in a particle-laden gas / Gretler W., Regenfelder R. // Fluid dynamic research, 2001. — V. 28. — P. 369-382.

59. Hirschler T. A self-similar solution for the implosion problem in a dusty gas / Hirschler Т., Steiner H. // Fluid dynamic research, 2003. V. 32. - P. 61-67.

60. Hirschler T. A self-similar solution of a shock propagation in a dusty gas / Hirschler Т., Steiner H. // European journal of mechanics В/ fluids, 2002. V. 21. -P. 371-380.

61. Gretler W. Similarity solution for laser-driven shock waves in a dustladen gas with internal heat transfer effects / Gretler W., Regenfelder R. // Fluid dynamic research, 2002. V. 30. - P. 293-313.

62. Gretler W. Similarity solution for variable energy shock waves in a dusty gas under isothermal flow-field condition / Gretler W., Regenfelder R. // Fluid dynamic research, 2003. V. 32. - P. 69-84.

63. Gretler W. Strong shock waves generated by a piston moving in a dustladen gas under isothermal condition / Gretler W., Regenfelder R. // European Journal of Mechanics B/Fluids, 2005. V. 24. - P. 205-218.

64. NiCastro J.R. Similarity analysis of radiative gasdynamics with spherical symmetry // Physics of fluids, 1970. V. 13. - P. 2000-2006.

65. Gretler W. Similarity analysis of strong converging spherical shock waves in radiating gas / Gretler W., HirschlerT. // Acta mechanica, 2002. -V. 154.-P. 159-177.

66. Sachdev P.L. Converging spherical and cylindrical shocks with zero-temperature gradient in the-rear flow field / Sachdev P.L., Ashraf S. // Zeitschrift ftir angewandte mathematik und physik, 1971. V. 22. - P. 1095-1102.

67. Levin V.A. Propagation of converging and diverging shock waves under isothermal condition / LevinV.A., Zhuravskaya T.A. // Shock waves, 1996. V. 6. -P. 177-182.

68. Mason R.J. Hydrodynamics and burn of optimally imploded deuteriumtritium, spheres / Mason R.J., Morse R.L. // Physics of fluids, 1975. V. 18. -No. 7.-P. 814-828.

69. Fraley G.S. Implosion characteristics of deuterium-tritium pellets-surrounded by high density shells // Physics of fluids, 1976. V. 19. - No: 10. -P. 1495-1500.

70. Apazidis N. On generation and convergence of polygonal-shaped shock waves / Apazidis N., Lesser M.B. // Journal of fluid mechanics, 1996. — V. 309. -P. 301-319.

71. Lee J.H. Cylindrical imploding shock waves / Lee J.H., Lee B.H.K. // Physics of fluids, 1965.-V. 8.-No. 12.-P. 2148-2152.

72. Eliasson V. Focusing of strong shocks in an annular shock tube / Elias-son V., Apazidis N., Tillmark N., Lesser M.B. // Shock waves, 2006. V. 15. -P. 205-217.

73. Daiber J.W. Laser-Generated Implosions / Daiber J.W., Hertzberg A., Wittliff C.E. //Physics of fluids, 1966. -V. 9. P. 617-619.

74. Knystaustas R. Spark initiation of converging detonation waves / Knys-taustas R., Lee J.H.//AIAA Journal, 1967.-V. 5.-No. 6.-P. 1209-1211.

75. Knystaustas R. Diagnostic experiments on converging detonations / Knystaustas R., Lee B.H.K., Lee J.S.H. // Physics of fluids supplement I, 1969. — P. 1-165—1-168.

76. Glass I.I. Production of diamonds from graphite using explosive-driven implosions / Glass I.I., Sharma S.Pi // AIAA journal, 1976. V. 14. - No. 3. -P. 402-404.

77. Roig R.A. Spectroscopic study of combustion-driven implosions / Roig R.A., Glass I.I. //Physics of fluids, 1977. -V. 20. -No. 10. -P. 1651-1656.

78. Wu J.H.T. Experimental studies of the production of converging cylindrical shock waves / Wu J.H.T., Neemeh R.A., Ostrowski P.P. // AIAA Journal, 1980.-V. 18.-No. 1.-P. 47-48.

79. Wu J.H.T. Experiments on the stability of converging cylindrical shock waves / Wu J.H.T., Neemeh R.A., Ostrowski P.P. // AIAA Journal, 1981. V. 19. -No. 3.-P. 257-258.r

80. Watanabe M. Stability of converging cylindrical shock waves / Wata-nabe M., Takayama K. // Shock waves, 1991. V. 1. - P. 149-160.

81. Валиев:Х.Ф: Отражение ударной.волны.от центра или оси симметрии при показателях адиабаты от 1.2 до 3 // Прикладная математика и-механика, 2009. Т.73. - Вып. 3. - С. 397-407.

82. Валиев Х.Ф. Цилиндрически-и сферически, симметричное быстрое сильное сжатие идеального совершенного газа- с показателями адиабаты от 1.00 Г до 3 / ВалиевХ.Ф., Крайко А.Н. // Прикладная математика и механика, 2011-. Т.75. - Вып. 2. - С. 314-326.

83. ВалиевХ.Ф. Автомодельные нестационарные течения совершенного газа с изменением показателя адиабаты на «отражённой» ударной волне / ВалиевХ.Ф., Крайко А.Н. // Прикладная математика и механика, 2011. -Т.75.-Вып. 6.-С. 961-982.

84. Валиев Х.Ф. Отражение ударной волны от центра и оси симметрии при разных показателях адиабаты / Под ред. С.Ю. Крашенинникова // Сб. Теоретическая и прикладная газовая динамика. Т. 2. М.: Торус-Пресс, 2010. -416 с.

85. Валиев Х.Ф. Быстрое сильное сжатие идеального газа / Валиев Х.Ф., Край ко А.Н. // Сб. . «Высокопроизводительные вычисления , в задачах механики и физики». — М.: Изд-во ин-та прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН, 2009. С. 45-49.

86. Валиев Х.Ф; Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа / Валиев Х.Ф., Крайко А.Н.,. Тилляе-ва Н.И. // Международная конференция «IX Харитоновские научные чтения».

87. Сб. тезисов-«Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны». Саров, 2007. С. 281.

88. Kraiko A.N. Time-dependent compression of cylindrical or spherical ideal gas volumes // Zababakhin Scientific Talks-2005 / Ed; by E.N. Avrorin and V.A. Simonenko. // AIP Conference Proceedings, 2006. V. 849; - P. 74-81.

89. Крайко A.H. Краткий курс теоретической газовой динамики. -М.: МФТИ, 2007.-299 с.

90. Крайко А.Н. Теоретическая' газовая динамика: классика и современность.-М.: Т©РУС-ПРЕС€, 2010:- 440 с.

91. Крайко А.Н; Проблемы, парадоксы и особенности течений с ударными; волнами // Сб. «Проблемы и достижения прикладной; математики и механики». Новосибирск. СО РАН. ИТПМ им; С.А. Христиановича, 2010. -С. 223-231.

92. Тарнавский Г.А. Ударные волны в газах с различными показателями адиабаты до и . после фронта скачка // Вычислительные методы и программирование, 2002. Т. 3. —С. 222-236.1. С. 18-20:1996.-Т. 60.-Вып. 6.- С. 1000-1007.

93. Григорян С.С. Предельные автомодельные одномерные неуста