Аналитическое и численное исследование процессов сильного сжатия идеального газа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Двумерное взаимодействие волн сжатия Римана

1.1. Постановка задачи.

1.2. Согласованное двумерное взаимодействие неавтомодельных волн сжатия Римана.

1.3. Асимптотика роста газодинамических величин

1.4. Оценка величины оптической толщины для фиксированных направлений

1.5. Несогласованное взаимодействие автомодельных волн Римана.

Глава 2. Оценки величины оптической толщины для некоторых трехмерных автомодельных процессов неограниченного сжатия газа.

2.1. Автомодельное сжатие тетраэдра.

2.2. Процесс конического сжатия.

2.3. Сравнение энергетических затрат при получении больших величин оптической толщины.

Глава 3. Исследование одного класса трехмерных неавтомодельных режимов сжатия.

3.1. Постановка задачи

3.2. Конфигурация течения.''

3.3. Оценки газодинамических величин.

3.4. Оценка величины оптической толщины.

Качественный анализ процессов неограниченного сжатия идеального газа представляет интерес в связи с исследованием возможных подходов к решению проблемы получения большой плотности вещества, достаточной для возникновения и протекания термоядерной реакции [1, 11, 29, 36, 53, 54]. Постановки задач, рассматриваемых в диссертации, и методы их исследования находятся в рамках идеологии и методологии академика А.Ф. Сидорова.

Для обоснования актуальности темы исследования следует дать пояснения, касающиеся предположения об идеальности газа, требования безударности и неограниченности сжатия газа.

Применение модели идеального (невязкого и нетеплопроводного) политропного газа для исследования процессов сильного сжатия является, естественно, упрощением реальной задачи, основанием для ее использования являются следующие рассуждения. Рассматриваемая простая модель является наиболее хорошо изученной, для нее известно существенно больше классов точных решений по сравнению с более сложными моделями. На основе точных решений уравнений движения идеального газа удалось получить различные законы движения сжимающего поршня, обеспечивающие неограниченный рост плотности газа без образования в нем ударных волн, и аналитически исследовать свойства течений, возникающих в результате такбго сжатия. Для более сложных моделей основным методом исследования являются численные расчеты, которые как для вязкого так и для идеального газа сталкиваются с различными трудностями: большие градиенты газодинамических величин, малые расстояния и промежутки времени [13]. Для таких расчетов нужны хорошие аналитические тесты.

При реальном сжатии, естественно, можно достичь только конечной величины плотности (или любых других газодинамических величин).

Однако, такие процессы имеют следующие характерные особенности: размеры сжатого объема будут существенно меньше исходных начальных размеров, плотность и другие газодинамические величины в финальный момент времени на много порядков превосходят соответствующие значения для начальных параметров. Это позволяет рассматривать математическую задачу о сжатии конечного объема газа в точку (линию или поверхность) и достижения, таким образом, неограниченного роста плотности. Далее будем считать, что сжимающий поршень может принимать любую нужную форму и может обеспечивать неограниченный рост давления на своей поверхности и неограниченный рост скорости движения. Естественно, можно ставить задачу о конечном, достаточно сильном сжатии.

По мнению некоторых авторов (например, [11, 37]), существенную роль при инициировании термоядерного синтеза могут сыграть режимы безударного сжатия - в течении, вызванном движением поршня, отсутствуют ударные волны (имеется в виду, что ударных волн нет до момента окончания процесса). Такие способы сжатия представляют интерес, в частности, с точки зрения снижения затрат энергии при получении больших плотностей вещества. Кроме того, в этих процессах нет преждевременного разогрева вещества. При ударном сжатии значительная часть работы внешних сил идет на повышение температуры вещества и давления. В рамках модели идеального политропного газа было показано, что ударная волна любой интенсивности обеспечивает увеличение плотности не больше, чем в фиксированное конечное число раз [34, 50].

В дальнейшем, если не оговорено иначе, газ будем считать идеальным и политропным. Несмотря на упрощения, такая модель представляет определенный интерес, хотя надо помнить о том, что влияние реальных факторов (вязкость, теплопроводность и др.) могут ослабить те эффекты, которые были обнаружены для идеального газа.

Обзор работ начнем с одномерных режимов сжатия, к этому классу предлагается отнести процессы, в которых газодинамические величины зависят от одной пространственной переменной, в том числе сжатие плоского, цилиндрического и сферического слоев газа.

С математической точки зрения наиболее простой способ получения неограниченного роста плотности - процесс, в котором газ, в начальный момент времени покоящийся в плоском слое конечной ширины, за конечный промежуток времени сжимается в плоскость без образования ударных волн. Для построения течения, возникающего в результате движения плоского сжимающего поршня, использовано точное решение уравнений газовой динамики - автомодельная волна Римана [И, 50].

Позже были получены различные обобщения этого решения, в том числе процессы сжатия цилиндра и сферы [11, 12, 33]. Введение автомодельной переменной позволило свести задачу о нахождении специальных классов течений с цилиндрической или сферической симметрией к интегрированию одного обыкновенного нелинейного уравнения. Анализ поведения интегральных кривых этого уравнения вблизи особых точек показал, что искомому течению, в котором возникает неограниченный рост плотности, соответствует интегральная кривая, соединяющая две особые точки разных типов. Получены приближенные законы движения сжимающего поршня и оценки порядка роста газодинамических величин. Ценность таких режимов сжатия заключается, в частности, в том, что они проще с точки зрения физической реализации.

Класс решений типа неавтомодельных волн Римана был использован [55] для построения процессов одномерного сжатия данного плоского слоя в плоский слой меньших размеров. При этом на поверхности поршня локальная плотность растет неограниченно, а затраты энергии на такое сжатие могут быть конечны.

Исследование различных одномерных режимов сжатия проводилось также в работах [15, 18, 19, 22]. В работе [22] по аналогии с [11] при исследовании задач о сжатии плоского, цилиндрического или сферического слоев рассматривались автомодельные решения уравнений газовой динамики, что позволило свести решение к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе анализа поведения интегральных кривых, соединяющих две особые точки, было получено приближенное решение задачи о переводе газа из одного состояния покоя в другое состояние покоя с большей плотностью. Такой режим сжатия интересен тем, что работа поршня целиком идет на повышение внутренней энергии газа.

Обратимся теперь к вариационным задачам, связанным с одномерными процессами. В [36, 39, 40, 41] была рассмотрена следующая задача: в начальный момент однородный идеальный газ покоится внутри плоского, цилиндрического или сферического слоя. Заданы начальное и конечное положения поршня и момент окончания процесса сжатия - в этот момент поршень приходит в заданное конечное положение). Требуется, чтобы до финального момента времени в газе не возникли ударные волны и работа поршня, осуществляющего такое сжатие, была минимальна. Рассматривался баротропный (в том числе политроп-ный) газ. В момент окончания процесса газ занимает заданный объем, здесь не происходит сжатия некоторой массы газа в точку, плотность газа конечна.

Установлено существование точки переключения управления: сначала поршень движется по закону, обеспечивающему неограниченное сжатие слоя баротропного газа, потом, происходит так называемое "до-жатие" с постоянной скоростью движения поршня. Заметим, что вопрос об изменении "традиционного" закона движения поршня [11] на заключительной стадии сжатия исследовался также в [18, 19]. Для плоского случая задача решена в точной постановке. Цилиндрический и сферический случаи были рассмотрены с использованием некоторых упрощающих предположений, в том числе в качестве приближенного решения уравнений газовой динамики использовался отрезок характеристического ряда.

Кроме того, показано [36], что закон движения поршня, обеспечивающий неограниченное сжатие плоского слоя, является решением задачи быстродействия.

Задача о нахождении закона движения поршня из заданного начального в заданное финальное положение за фиксированный промежуток времени, при котором работа, совершенная поршнем, будет минимальна рассматривались также в [21]. Построение оптимального закона движения сводится к численному решению нескольких задач одномерной газовой динамики методом характеристик [4].

В ряде работ (например, [11, 36, 37]) рассматривались режимы сжатия, для которых время движения сжимающего поршня равнялось времени прохождения слоя газа звуковым возмущением, вызванным движением поршня в изначально покоящемся газе. В [20] существенно используется тот факт, что поршень может продолжать сжимать газ после прохождения звуковой характеристикой всего объема газа (о целесообразности такого подхода говорилось также в [39]). Был сделан вывод о том, что такие процессы сжатия требуют меньших затрат энергии для перевода поршня в заданное конечное положение. Для качественного анализа и сравнения разных конфигураций течения использовались методы решения вариационных задач газовой динамики [20].

Как уже отмечалось, в случае симметричного сжатия газового слоя, цилиндра или сферы газодинамические величины фактически зависят от одной пространственной переменной. Первые действительно многомерные процессы безударного неограниченного сжатия были предложены А.Ф. Сидоровым. Решения задач о плоскопараллельном сжатии призмы и о пространственном сжатии тетраэдра были построены [37, 38] в классе автомодельных течений с вырожденным годографом, которые ранее применялись для решения задач об истечении газа в вакуум [35, 51]. За счет неравномерности сжатия по различным направлениям в новых режимах сжатия были получены более высокие степени кумуляции газодинамических величин - газодинамические величины при временах, близких к финальному моменту времени, имеют степенную асимптотику роста, эти показатели степени называются степенями кумуляции соответствующих величин. Исследование отношения плотности газа к величине затраченной энергии показало, что новые многомерные режимы сжатия могут быть более экономичными по сравнению с традиционным одномерным сжатием (с точки зрения затрат энергии при получении больших плотностей вещества).

В связи с упомянутыми выше сложностями, связанными с численным моделированием процессов сильного сжатия, большое значение имеет полученное в работе [37] точное решение задачи о неограниченном безударном сжатии идеального газа и строгое обоснование факта образования кумулятивных струй, обладающих в некотором смысле хорошими свойствами.

А.Ф. Сидоров высказывал предположение о повышенной устойчивости данных режимов сжатия, что, по его мнению, связано со сменой знаков кривизн поверхности сжимаемого поршня (в отличие от цилиндрического или сферического поршня выпуклость поршня в данном случае направлена внутрь сжимаемого объема). О неустойчивости сферического сжатия говорится, в частности, в [2].

Специфика решений, предложенных в [37], заключается в том, что начальная геометрия сжимаемого объема не является произвольной, она однозначно определяется величиной показателя адиабаты газа.

В работе [43] была отмечена следующая проблема, затрудняющая физическую реализацию предложенных в [37] процессов: в сжимаемых объемах присутствуют неподвижные непроницаемые стенки. С этой точки зрения представляет интерес изучение осесимметричных конфигураций сжимаемого объема. Введение автомодельных переменных и рассмотрение осесимметричных течений [42, 43, 44, 47] позволило свести задачу о получении классов решений уравнений трехмерной нестационарной газовой динамики к интегрированию одного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными (уравнение для автомодельного потенциала скорости).

Было бы естественно попробовать использовать такого вида решения для построения так называемой "замкнутой" геометрии сжимаемого объема [43]. Замкнутость в данном случае означает, что сжатие осуществляется "со всех сторон", хотя и неравномерно по различным направлениям, но без неподвижных стенок и так, что на сжимающем поршне нет перепада от высокого давления до давления невозмущенного газа. Однако уравнение для автомодельного потенциала скорости обладает рядом особенностей: обращение в бесконечность на оси симметрии коэффициента при первой производной; наличие линии параболического вырождения уравнения; неаналитичность решения в окрестности угловой точки поршня. Исследование особенностей решений уравнения для автомодельного потенциала проводилось в [43].

В окрестности особых точек рассматривались линеаризованные уравнения, для которых, получено точное решение краевых задач. Предполагается, что эти решения можно использовать при численном решении исходного уравнения для того, чтобы отойти от особенностей.

Численные методики построения процессов сжатия замкнутых осесимметричных конфигураций сжимаемого объема описываются, в частности, в [5]. На основе предварительного качественного анализа известных точных решений был предложен закон управления сжимающим поршнем, обеспечивающий достаточно сильное сжатие газа и несущественный рост энтропии. Сделан вывод о том, что возникающие на заключительной стадии сжатия ударные волны могут не только не ухудшать свойства процесса, но и играть положительную роль, повышая температуру сжимаемого вещества.

В [42] были получены однопараметрические классы плоскопараллельных и осесимметричных точных решений уравнений газовой динамики. Отметим, что с точки зрения задачи о сжатии эти решения имеют смысл только для моментов времени, достаточно близких к финальному. Показано, что степень кумуляции газодинамических величин может быть выбрана как угодно близкой к —1.

Осесимметричные и плоскопараллельные решения задачи о неограниченном сжатии исследовались также в [44]. Рассматриваемая начальная конфигурация: тело вращения с треугольной образующей, либо призма с треугольным сечением. Для части сжимаемого объема решение строится точно, в оставшейся части - численно методом характеристик. Получен однопараметрический класс точных решений (произвольный параметр - величина угла треугольника). Для предложенного класса течений задача интегрирования уравнений газовой динамики сводится к интегрированию одного обыкновенного нелинейного уравнения второго порядка с особыми точками. Для случая, когда начальная геометрия согласована с показателем адиабаты, удается получить решение, в явном виде, в остальных случаях обыкновенное уравнение интегрировалось численно. Проведены,численные расчеты течений для всего сжимаемого объема. В согласованном случае для области точного решения получены асимптотические оценки роста плотности и затрат энергии.

С точки зрения физической реализации существенное значение имеет вопрос об устойчивости процессов сжатия. Ввиду большой сложности этой проблемы, на данный момент известны только некоторые решения, причем для не самых трудных постановок. В рамках этих исследований устойчивость предлагается понимать как сохранение noil рядков роста газодинамических величин при возмущении исходного режима сжатия.

Интересный эффект - так называемое "явление частичного коллапса" - исследовался в работах [23, 46, 47]. Остановимся подробнее на классе процессов плоскопараллельного сжатия призматических мишеней. В классе неавтомодельных течений с вырожденным годографом построено [45] точное решение задачи о двумерном взаимодействии одномерных неавтомодельных волн Римана, обеспечивающих неограниченный рост плотности на поверхности сжимающего поршня [55]. Автомодельное сжатие призмы [37] является частным случаем данного класса решений. В предложенных неавтомодельных процессах не происходит сжатия всего исходного объема в линию так, как это было в автомодельном случае. Качественный анализ, проведенный для двух-параметрического подкласса решений, показал [23, 46], что некоторая конечная масса газа в финальный момент времени "расплющивается" по поверхности поршня (частичный коллапс), при этом локальный рост плотности в угловой точке поршня такой же как при автомодельном сжатии. Грубо говоря, течение вблизи этой точки носит автомодельный характер, хотя закон движения поршня может существенно отличаться от автомодельного. Это позволяет говорить о частичной устойчивости рассмотренного класса течений по отношению к рассматриваемым возмущениям [10].

Методы согласования асимптотических разложений [16] были использованы для исследования устойчивости процесса неограниченного сжатия плоского слоя [8, 9]. Рассматривается двумерное возмущение исходного одномерного течения: на известный закон движения сжимающего поршня накладывается синусоидальное возмущение, амплитуда возмущения - малый параметр. Согласно терминологии, используемой в [16], эта задача является бисингулярной (невозможно построить одно асимптотическое разложение решения для всей области). Для данной задачи достаточно рассмотреть два разложения: внешнее разложение описывает начальную стадию процесса, внутреннее разложение используется для моментов времени, близких к финальному. Найдены первый член внешнего разложения (нулевой член внешнего разложения - решение невозмущенной задачи) и приближенное решение для нулевого члена внутреннего разложения. Показано, что отношение формального асимптотического приближения плотности в возмущенной задаче к плотности в невозмущенной задаче является ограниченной величиной, равномерной как по малому параметру, так и по независимым переменным. В этом смысле невозмущенное течение является устойчивым.

Также проводилось исследование асимптотики (малый параметр стремится к нулю) решения задачи о сжатии плоского слоя нетеплопроводного газа с малой вязкостью [17, 30] (при этом закон движения поршня такой же как при сжатии идеального газа). Вопрос о влиянии малой вязкости на поведение решения вблизи сжимающего поршня для моментов времени близких к финальному в указанных работах не рассматривался.

Проблема физической реализации математических решений является достаточно сложной и на данный момент остается открытой. Остановимся подробнее на одном из возможных подходов к реализации сильного сжатия [7], который, цо-видимому, можно считать нетрадиционным.

Сжимаемый объем (мишень) представляет собой плоский слой или цилиндр и состоит из слоев различных сжимаемых или расширяющихся веществ, разделенных тяжелыми несжимаемыми перегородками. (Аналогичная задача исследовалась в [6].) В один из слоев осуществляется равномерное по слою энерговложение (подвод тепла), в результате он начинает расширяться и сжимать слой газа. Энерговложение прекращается в некоторый момент, близкий к финальному. К этому времени система обладает большой кинетической энергией, что обеспечивает продолжение обжатия слоя газа. Существенное значение здесь имеют тяжелые перегородки, накапливающие значительный импульс к моменту окончания подвода тепла.

Исследования проводились на основе полной системы уравнений движения невязкого нетеплопроводного газа (уравнения движения, неразрывности и энергии). По аналогии с [32] использовалось упрощающее предположение о распределении скорости в сжимающихся (расширяющихся) слоях. До момента окончания энерговложения закон, по которому осуществляется подвод энергии, подбирается так, чтобы течение в слое газа соответствовало задаче о неограниченном сжатии плоского или цилиндрического слоя [И]. Для оболочечных конструкций различного вида проведена серия численных расчетов, приведена сравнительная таблица величин затраченной энергии, энергии, выделившейся в результате горения, и процент выгорания дейтерия.

Библиография работ, связанных с сильным сжатием достаточно обширна, в данном кратком обзоре упомянуты работы, имеющие непосредственное отношение, к теме данной диссертации. Некоторые математические вопросы, связанные с задачами о сжатии идеального газа, рассматривались и в работах других авторов, например, в [3].

Цели исследования. Одна из основных задач данной работы -качественное исследование свойств многомерных процессов сжатия, для которых известно точное решение хотя бы для части сжимаемого объема. В частности, для моментов времени, близких к финальному, необходимо определить оценки газодинамических величин (скорости, плотности, внутренней энергии) и так называемой "оптической толщины". Этот термин используется в соответствии с [45]. Для некоторых рассмотренных процессов уже известны все асимптотические оценки кроме оценок величины оптической толщины. В работе будет показано, что даже при наличии точного решения свойства режимов сжатия могут быть заранее неочевидны.

Величина оптической толщины в момент времени t определяется следующим образом: где р - плотность газа, точки Т находятся на границе области Q, (t), занятой газом, точка S - внутри области, интеграл берется по отрезку ST. Точка S называется оптическим центром.

Для протекания термоядерной реакции необходимо, чтобы величина оптической толщины достигала некоторого порогового значения. Следует сказать, что такая терминология, по-видимому, не является стандартной и устоявшейся. Так, например, в [7] аналогичное условие называется "критерий рАг". Возможно название оптическая толщина выбрано по аналогии с задачами о поглощении света [14].

В задаче о двумерном "несогласованном" взаимодействии волн Римана планируется построить численное решение, описывающее течение газа до момента возникновения градиентной катастрофы.

Для задачи о сжатии тетраэдра со специальной начальной геометрией предполагается обосновать выбранный вид решения и установить свойства этого течения.

Методы исследования. В работе используется методология и понятия газовой динамики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Применяются методы приближенных вычислений, в частности, численное решение уравнения двойных волн (уравнение с частными производными) получено методом характеристик. max mm / Se(i(t) TedSi(t) Jst pds

Теоретическая и практическая ценность. Научная новизна.

Проведенный анализ классов решений уравнений газовой динамики, описывающих течения, возникающие в некоторых процессах сильного сжатия позволил определить качествественные свойства траекторий частиц газа и установить оценки газодинамических величин, затрат энергии и величины оптической толщины. С теоретической точки зрения проведенные аналитические исследования позволили обнаружить новые эффекты в рамках рассматриваемой модели. Практическая ценность работы связана со следующим обстоятельством. Характерные черты данных задач - малые промежутки времени и большие градиенты газодинамических величин - существенно затрудняют численное исследование. Полученные в работе точные решения и проведенный качественный анализ задач о сильном безударном сжатии идеального газа имеют важное значение при разработке тестов, необходимых для численных методик. Результаты работы являются новыми.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и пяти приложений. Объем работы составляет 128 страниц. Библиография включает 56 названий работ.

1. Арцимович J1.A. Управляемые термоядерные реакции. М., Физ-матгиз, 1961. 468 с.

2. Анисимов С.И., Иногамов Н.А. Развитие неустойчивости и потеря симметрии при изэнтропическом сжатии сферической капли // Письма в ЖЭТФ. Т. 20. Вып. 3. С. 174-176.

3. Баутин С.П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. Новосибирск: Наука, 1997. 160 с.

4. Березин И.С., Н.П. Жидков. Методы вычислений. М: Физмат-гиз,1962, т. 2. 639 с.

5. Гао Я. М. Рассчетная реализация безударного сжатия и термоядерного горения двумерных (цилиндрических и осесимметрич-ных) конфигураций DT-газа // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН 2000. N 21.

6. Долголева Г.В., Забродин А.В. Построение последовательности приближенных решений для определения величины кумулирую-щейся энергии при схождении слоистой системы оболочек // Изв. Акад. наук. Механика жидкости и газа. 1999. N 2. С. 115-123.

7. Долголева Г.В., Забродин А.В. Воспроизведение безударного сжатия в оболочечных конструкциях микромишенией // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 1999. N 53.

8. Емельянов К.В. Об устойчивости в задачи о безударном сжатии плоского слоя газа // Докл. РАН. 1999. Т. 364. N 4. С. 471-474.

9. Емельянов К.В. Об асимптотике решения возмущенной задачи о безударном сжатии плоского слоя газа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. Т. 39. N 9. С. 1571-1580.

10. Емельянов К.В., Кукушкин В.А., Сидоров А.Ф., Хайруллина О.Б. Исследования устойчивости некоторых процессов неограниченного безударного сжатия газов / / Докл. между нар. конф. "V Заба-бахинские научные чтения". Снежинск. РФЯЦ-ВНИИТФ. 1998. С. 14.

11. Забабахин Е.И., Забабахин И.Е. Явления неограниченной кумуляции. М: Наука, 1988. 172 с.

12. Забабахин И.Е., Симоненко В.А. Сферическая центрированная волна сжатия // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 3. С. 573-574.

13. Забродин А.В., Плинер JI.A., Северин А.В. Численные расчеты некоторых режимов безударного сжатия // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН 1996. N 4.

14. Зельдович Я.П., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных плазменных явлений. М.: Наука, 1966. 686 с.

15. Змитриенко Н.В., Курдюмов С.П. N- и S- режимы сжатия конечной массы плазмы и особенности режимов с обострением // Журнал прикладной механики и технической физики. 1977. N 1. С. 3-23.

16. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

17. Ильин A.M., Неудачин Д.И. О влиянии малой диссипации на решения гиперболической системы, имеющей слабый разрыв // Докл. РАН. 1996 Т. 351. N 5. С. 583-585.

18. Каждан Я.М. К вопросу об адиабатическом сжатии газа под действием сферического поршня // Журнал прикладной механики и технической физики. 1977. N 1. С. 23-30.

19. Каждан Я.М. Адиабатическое сжатие под действием цилиндрического поршня // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН 1980. N 56.

20. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979.

21. Крайко А.Н. Вариационная задача об одномерном изэнтропиче-ском сжатии идеального газа // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 5. С. 3551.

22. Крайко А.Н. О неограниченной кумуляции при одномерном нестационарном сжатии идеального газа // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 6. С. 1000-1007.

23. Кукушкин В.А., Сидоров А.Ф. Явление частичного коллапса // Тезисы докладов Сибирской школы-семинара "Математические проблемы механики сплошных сред". Новосибирск. 1997.

24. Кукушкин В.А. О двумерном взаимодействии волн сжатия Рима-на // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 3. С. 431-443.

25. Кукушкин В.А. Об одной модификации метода характеристических рядов // Труды 31-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 2000. С. 44-45.

26. Кукушкин В.А. Неавтомодельное сжатие тетраэдра // ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2001. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 20.02.2001. N 422-В2001.

27. Накколс Дж. Г. Осуществимость инерциально-термоядерного синтеза // Успехи физ. наук. 1984. Т. 143. N 3. С. 467-482.

28. Неудачин Д.И. О влиянии малой диссипации на решении задачи о безударном сжатии плоского слоя газа // ЖВМиМФ. 1999. Т. 39. N 2. С. 332-340.

29. Рубина Л.И. Приближенный метод рассчета одной задачи об истечении в вакуум с помощью характеристических рядов // Тр. Ин-та математики и механики УНЦ АН СССР. 1978. Вып. 25. С. 47-51.

30. Седов Л.И. Об интегрировании уравнений одномерного движения газа // Докл. АН СССР 1953. Т. 90. N 5. С. 735.

31. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981. 448 с.

32. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с.

33. Сидоров А.Ф. О точных решениях уравнений газовой динамики типа простой волны // Докл. АН СССР 1970. Т. 194. N 4. С. 782785.

34. Сидоров А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев // Докл. АН СССР 1990. Т. 313. N 2. С. 283-287.

35. Сидоров А.Ф. Некоторые оценки степени кумуляции энергии при плоском и пространственном безударном сжатии газа / / Докл. АН СССР 1991. Т. 318. N 3. С. 548-552.

36. Сидоров А.Ф. О взаимодействии сильных волн разрежения и сжатия // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318. N 3. С. 548-552.

37. Сидоров А.Ф. Безударное сжатие баротропного газа // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 5. С. 769-779.

38. Сидоров А.Ф. Письмо в редакцию // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 4. С. 698.

39. Сидоров А.Ф. Оптимальное адиабатическое сжатие сферических слоев газа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 1. С. 204-212.

40. Сидоров А.Ф. Оценки предельных степеней кумуляции энергии при безударном сжатии газа // Докл. РАН. 1993. Т. 329, N 4. С. 444-448.

41. Сидоров А.Ф. Исследование особенностей нестационарных конических течений газа // Докл. РАН. 1994. Т. 335, N 6, С. 732-735.

42. Сидоров А.Ф., Хайруллина О.Б. Процессы безударного конического сжатия и разлета газа // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 81-92.

43. Сидоров А.Ф. Кумуляция энергии в двумерных процессах безударного сжатия идеального газа // Докл. РАН. 1997. Т. 352. N 1. С. 41-44.

44. Сидоров А.Ф. Двумерные процессы неограниченного безударного сжатия газа // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 5. С. 812-821.

45. Сидоров А.Ф. Новые режимы неограниченного безударного сжатия газа // Докл. РАН. 1999. Т. 364, N 2, С. 199-202.

46. Сидоров А.Ф. Хайруллина О.Б. О точных решениях краевых задач газовой динамики в классах двойных и тройных волн // Тр. Ин-та математики и механики УНЦ АН СССР. 1978. Вып. 25. С. 52-66.

47. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск:Наука, 1984. 272 с.

48. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Гостехиздат, 1955. 804 с.

49. Сучков В.А. Истечение в вакуум на косой стенке // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 4. С. 739-740.

50. Clarke J.S., Fisher H.N., Mason R.J. Laser-driven implosion of spherical DT target to thermonuclear burn condition // Phys. Rev. Lett. 1973. Vol. 30. N 3.

51. Kidder R.E. Theory of homogenious isentropic compression and its applications to laser fussion // Nuclear fussion. 1974. Vol. 14. N 1.

52. Nuckolls J., Wood L., Thiessen A., Zimmerman G. Laser compression of matter to supper-high densities thermonuclear applications // Nature. 1972. V. 239. N 5368. P. 139-142.

53. Sidorov A.F. Mathematical modelling of the processes of unshocked gas compression // Russ. J. Numer. Analysis and Math. Modelling. 1995. V 10. N 3. P. 255-276.

54. Sidorov A.F. Application of characteristic series to the solution of three-dimensional problems in gas dynamics // Numerical methods in gas dynamics. M.: Mir, 1984. P. 184-205.