Применение разностных методов к решению внутренних задач динамики вязкого газа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ Стр. п.1. Актуальность темы и цель работы п.2, Краткое содержание работы

ГЛАВА I. ЖТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

§1. Обзор теоретических и экспериментальных работ п.1. Экспериментальные исследования п.2. Аналитические решения п.З. Численные решения

§2. Краткая характеристика разностных схем и сеток, применяемых для решения полных уравнений

Навье-Стокса

§3. Общая постановка задачи п.1. Исходные уравнения п.2. Преобразование исходных уравнений

ГЛАВА П. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ

§1. Постановка задачи и конечно-разностный метод решения

§2. Анализ численных результатов

ГЛАВА Ш. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ

§1. Конечно-разностная схема для решения полных уравнений Навье-Стокса

§2. Анализ устойчивости схемы для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса

§3. Результаты методических расчетов

§4. Анализ результатов расчетов двумерной задачи о резонансной трубе

п.1. Актуальность темы и цель работы.

При исследовании некоторых проблем аэродинамики возникает ряд задач, связанных с моделированием сложных течений газа внутри закрытых областей. .Наряде с натурными экспериментами все большее значение в последние годы приобретает так называемый вычислительный эксперимент, позволяющий рассматривать более широкий диапазон изменений основных определякщих параметров (например, чисел Маха и Рейнольдса). Для ряда внутренних задач газодинамики очень важен учет эффектов вязкости и теплопроводности газа, так как он позволяет проследить изменение трения и тепловых потоков на границах области, а это имеет существенное значение для получения реальной картины течения.

Одной из интересных и актуальных внутренних задач газовой динамики является задача о резонансной трубе.

В начале 50-х годов Спренгер [i] экспериментально обнаружил эффект сильного нагрева газа (до Ю00°К и выше) в цилиндрической полости.при натекании на нее сверхзвуковой недорасширенной струи воздеха. Устройство, в котором недорасширенная струя возбуждает. . колебания рабочего газа в цилиндрической полости, ось которой совпадает с осью струи, называют трубой или резонатором Гартмана -Спренгера (трубой ГС). Исследования движения газа в резонаторе. ГС представляет интерес как в теоретическом аспекте, так и с точки зрения различных практических приложений, например, в области физической химии и в ракетостроении. Так, возможность использования трубы ГС для воспламенения горячих смесей рассмотрена в [l3j , для создания плазмы в [l4] , а в работе [25] описывается метод, измерения скорости абсорбции в газах с помощью резонансной трубы.

Из первых экспериментальных работ стало известно, что характерной чертой движения газа в цилиндрической полости является нестационарный ударно-волновой процесс. От колеблющейся поверхности, разделяющей газ струи и рабочий газ в трубе (контактной поверхности), внутрь полости распространяются волны сжатия и разрежения, которые многократно отражаются от дна трубы и взаимодействуют между собой. Точное рассмотрение такого процесса представляет собой сложную задачу, поэтому полного аналитического решения она пока не имеет. В том случае, когда проникновение струи в полость резонатора незначительно, и контактная поверхность колеблется с малыми амплитудами (что соответствует небольшому различию давления торможения струи и давления в резонаторе), с целью моделирования поверхность раздела можно заменить твердым поршнем, колеблющимся у открытого конца трубы с заданной амплитудой. Такая упрощенная модель резонансной трубы позволяет получить ориентировочную оценку ожидаемых эффектов. Задача о резонансной трубе с поршнем ранее рассматривалась численно только в одномерной постановке, причем эффекты вязкости и теплопроводности не учитывались.

Основной целью диссертационной работы является численное исследование более полной математической модели движения газа в резонансной трубе с поршнем, а именно, рассмотрение двумерной постановки задачи с учетом важных реально существующих эффектов вязкости и теплопроводности сжимаемого газа на основе полных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Задача решается конечно-разностным методом по схеме второго порядка точности по пространству и первого порядка точности по времени. п. 2. Краткое содержание работы.

Первая глава диссертации посвящена математической постановке задачи о резонансной трубе с поршнем. В § I дается обзор аналитических, экспериментальных и численных решений задачи о резонаторе Гартмана-Спренгера и о трубе с поршнем. В § 2 приводится обзор некоторых работ, посвященных разностным методам и сеткам, применяемым для решения полных уравнений Навье-Стокса. Особый интерес представляли методы с использованием различных преобразований координат, позволяющих сгущать разностные сетки в области больших градиентов функций. В § 3 описывается двумерная постановка задачи о резонансной трубе с поршнем, колеблющимся по гармоническому закону. Приводится исходная система дифференциальных уравнений душ плоского и осесимметрического случаев, описывается преобразование координат, которое позволяет сгущать разностную сетку вблизи границ и делает область интегрирования постоянной, не зависящей от временной координаты. Формируются граничные условия в новых переменных.

Вторая глава посвящена решению одномерной задачи о резонансной трубе с поршнем. В § I описывается постановка и алгоритм численного решения этой задачи. Система дифференциальных уравнений интегрируется конечно-разностным методом с помощью схемы с расщеплением по физическим процессам. Схема имеет второй порядок точности по пространству и первый порядок по времени, а также обладает полной апроксимацией и реализуется скалярными прогонками на каждом дробном шаге. В одномерном случае учитываются только эффекты диссипации в ударных волнах, возникающих и движущихся вдоль трубы. Трением газа о стенки пренебрегаем. Рассчитаны варианты с дорезонансной и резонансной частотой колебаний поршня. Численные результаты сравниваются с экспериментальными данными [18] и с численными расчетами [4б] , проведенными для идеального газа в такой же одномерной постановке. Исследование одномерной модели позволило, во-первых, оценить порядки искомых величин, что послужило основой для построения численного алгоритма решения двумерной задачи. Во-вторых, сравнение решения одномерной вязкой задачи с численными расчетами для идеального газа и с последующими расчетами по двумерной модели для вязкого газа дало возможность корректно оценить влияние вязкости и теплопроводности газа, с одной стороны, и, с другой стороны, влияние трения газа о стенки на тепловые процессы в трубе.

В третьей главе излагается методика численного решения двумерной задачи о резонансной трубе с поршнем. В § I приводится трехслойная неявная конечно-разностная схема расщепления по координатам и по физическим процессам, обладающая вторым порядком точности по пространству и первым порядком точности по времени. В § 2 исследуется устойчивость схемы на примере модельной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Доказано, что в этом случае схема условно устойчива, получен критерий устойчивости. В § 3 описываются методические расчеты, которые проводились с целью апробации численного алгоритма. В качестве тестовых примеров были рассмотрены две плоские двумерные задачи: о течение газа в каверне и задача о "тепловой волне". С помощью численных экспериментов выяснялась устойчивость разностной схемы для нелинейного случая, точность численного решения на конечных сетках, а также зависимость численного решения от основных параметров задачи. В § 4 проведен анализ численных результатов двумерной задачи. Рассмотрены дорезонансные, резонансные и послерезонансные частоты колебаний поршня. Изучалась зависимость течения в трубе от теплового режима на границах.

Получены следующие основные результаты вычислительного эксперимента.

1. С приближением частоты колебаний скорости поршня к первой собственной частоте столба газа в трубе заметно возрастают амплитуды колебаний давления и температуры. Формы профилей колебаний давления по t и численные значения амплитуды хорошо согласуются с экспериментальными данными [l8] .

2. Численно подтверждено впервые наблюдавшееся в эксперименте [29] появление ударных волн при частоте возбуждения, вдвое меньшей первой собственной частоты столба газа.

3. В рассмотренном диапазоне определяющихся параметров и при выбранных граничных условиях не обнаружено заметного нагрева дна трубы (примерно за 10000 шагов по времени).

4. Обнаружено, что в исследованном диапазоне частот колебаний поршня нагревается горизонтальная стенка трубы, причем неравномерно: сильнее около поршня и дна трубы. Аналогичные выводы можно сделать из экспериментальных данных [ie] .

5. С увеличением числа Рейнольдса амплитуды колебаний давления и температуры на дне трубы увеличиваются.

Автор выражает большую благодарность научному руководителю Павлову Б.М. за помощь и постоянное внимание к работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Впервые в рамках полных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа проведено численное исследование задачи о движении и теплообмене газа в резонансной трубе с поршнем, колеблющимся по гармоническому закону, в одномерной и двумерной постановках.

2. Для решения одномерной задачи построен алгоритм, опирающийся на неявную двухслойную разностную схему расщепления по физическим процессам, имеющую второй порядок точности по К и первый порядок по t . Исследовано влияние частоты колебаний поршня и чисел Рейнольдса на процессы в трубе. В случае резонансных частот учет вязкостных эффектов позволил получить результаты, лучше согласующиеся с экспериментальными данными, чем численные результаты "невязкой" одномерной задачи. При приближении частоты колебаний поршня к первой собственной частоте наблюдалось увеличение амплитуды колебаний давления и температуры на дне трубы. При выходе из "резонанса" (при малых амплитудах колебания поршня) замечен небольшой нагрев газа в трубе.

3. Для численного решения задачи в двумерной постановке построена неявная трехслойная схема с использованием расщепления как по физическим процессам, так и по пространственным направлениям. Схема имеет первый порядок точности относительно шага по времени и второй порядок относительно пространственных шагов разностной сетки.

Для частного случая двумерной линеаризованной системы Навье-Стокса исследована устойчивость предложенной схемы. Проведена серия методических расчетов на ЭВМ с целью апробации схемы на двух модельных задачах и на задаче с реальными условиями. Экспериментально изучены сходимость и устойчивость численных решений на конечных сетках.

4. Проведено параметрическое исследование волновых процессов в цилиндрической трубе на основе численного решения двумерной осе-м симетричной задачи. Варьировались: числа Рейнольдса, тепловой режим на стенках трубы, частота колебаний поршня. Проведено сравнение численных решений с экспериментами. Получено согласие (в пределах 5 %) расчетных (в двумерной постановке) и измеренных значений амплитуды колебаний давления на дне трубы. Расчетами одномерной и двумерной "вязких" задач и сопоставлением с экспериментами [l8*], [29] показано, что в резонансной области частот преобладающее влияние на волновые процессы в трубе имеют трение и теплопередача на горизонтальных стенках трубы (двумерные факторы) по сравнению с влиянием только вязкостных эффектов на интенсивность возникающих ударных волн. Как и во всех экспериментах [l8] - [З?] , проведенных для закрытых труб с колеблющимся поршнем, так и при решении двумерной задачи (в рассмотренном спектре характерных параметров) не удалось обнаружить сильного нагрева дна трубы, что наблюдается в открытых резонаторах типа Гартмана- Спренгера.

ЖГЕРАТУРА

I. Sp.-Len.ger И. Uber ttiermiscke Efacte in fcesonanzrohren. Milt, a us dem Dristltut fur AerootyrmmiK, E.T.H. Zurich, 1954,6,21, g .18-35.

2. Hece M, Berry С. 1 On the Heating Efiect La Hesoaaace

3. Sliapiro A. H. Shock Waves and. DusLpatioa in a Hesoaaace Tube. 1 Aero/Space Set., 1959, v. 26 , JsTlO , pp. 684-685.

4. Saenger R.A., Hudson G-.E. Periodic Shock Waves in Resonating Gas G-olumns. J.Acoust. Sec. Amer., 1960, v. 32, N8, pp.961-970.

5. Sibulkin M. Experimental. Investigation oj. Energy dissipation in a Resonance Tube . Z. Angew. Math. Phys., 1963, v. 14, ti6}pp.695-703.

6. Thompson P.A. Resonance Tube. Sc. 3).Thesis Massachusetts Inst. o^. Technology , 1961.

7. Томпсон П.А. Резонансная труба с возбуждением.от струи , газа. Ракетная техника и космонавтика, 1964, т.2, IP 7, стр.85-89.

8. Temkin 5. Nonlinear Gas Oscillation in a Resonant Tube. Phys. Fluids, 1968, v. 11, N5, pp. 960-963. i

9. Coppens А.В., Sanders J.V. Finite AmpI'tbde Standing Waves in Rigin -Walled Tubes. J. Acoust. Soc. Amer., 1968^.437 Nl3, pp. 516 -529.

10. Brocher E., Maresca C., Bournay M.H. Fluid Dynamics oj. the Resonance Tube. J. Fluid Mech.,1970,v.43, M2,pp.369 - 384

11. Елисеев Ю.Б., Черкез А.Я. Об эффекте повышения температуры торможения при обтекании газом глубоких полостей, Изв.АН СССР, МЖГ, 1971, РЗ, стр.8-18.

12. CruikshanK D. Experimental Investigation of Finite-Amplitude Acoustic Oscillations in a Closed Tube. J.Acoust. Soc. Amen, 1972, v. 52, N3, pp. №24 -1036.

13. Marchese V. P., RakowsKy E.L.} Bement L.J. Fiuidic Sounding

Rocket Motor Ignition System. J. Spacecraft and Rockets, 1973, v. 10, N11 , pp. 731-734.

14. Brocher E., Maresca C. Etude des phenomenes termigues dans un tube de Hartmann-Sprenger. Int.J. Heat Mass Transfer, 1973, v. 16, N3, pp. 529-548.

15. Sturtevant B. Nonlinear Gas Oscillations in Pipes. PartZ. Experiment. J. Fluid Mecb., 1574, v. 63, Nf, pp. 97-120,

16. By, Островски, Нимех, Ли. Экспериментальные исследования цилиндрического резонатора. Ракетная техника и космонавтика, 1974, т. 12, №8, стр.89-93. . .

Г7. Брочер Е. Нагрев рабочего газа в трубе Гартмана-Спингера.

Ракетная техника и космонавтика, 1975, №10, т.13, стр.12-14. У

18 Merkli P. Thomann Н. Thermoacoustic Effects in a Resonance 'Tube. J. Fluid Mech.,1975, v.70, pp. 161-177.

19.MercLi P.Thomann H.Trasition to Turbulence in Osciitailing Pipe Flow. J. FLuid Mech., 1975, v. 68, N3, pp. 567 - 575.

20.Макэлеви III, Павлак. Конические резонансные трубы: некоторые эксперименты. Ракетная техника и космонавтика, 1970, т.8, № 3, стр. 233-234.

21. Пширембель С.Э.Г., Флетчер Л.С. Исследование газодинамических и тепловых характеристик простой резонансной трубы. Ракетная техника и космонавтика, 1977, т.15, /Я, стр.115-119.

22. Пширембель С.Э.Г., Флетчер Л.С. Теплофизические характеристики резонансных труб прямоугольного сечения с тупыми кромками. Ракетная техника и космонавтика, 1977, т.15, №7, стр.12-14.

23. Пширембель С.Э.Г., Флетчер Л.С. Теплофизические характеристики резонансных труб, работающих на дозвуковых струях. Ракетная техника и космонавтика, 1978, т.16, 118, стр.П7-П9.

24. Пширембель С.Э.Г., Некоторые теплофизические характеристики осесимметричной резонансной трубы. Ракетная техника и космонавтика, 1980, т.18, №9, стр.139-141.

25. Zuckerwar.A.J,, Grijjin W.A. Resonant Tube for Measurement oj. Sound Absorption in Gases at Low Freguency/Pres-sure Ration. J. Acoust. Soc. Amer., 1980, v. 68, N1, pp. 218-226.

26. Купцов B.M., Остроухова С.И., Филиппов К.Н. Пульсации давления и нагрев газа при зтекании сверхзвуковой струи в цилиндрическую плоскость. Изв. АН СССР, MKT, 1977, №5, стр.Ю4-Ш.

27. Купцов В.М., Филиппов К.Н. Пульсации давления и нагрев газа при втекании сверхзвуковой струи в коническую полость. Изв. АН СССР, ШГ, 1981, 123, стр.167-170.

28. Архаров A.M., Бовдаренко В.Л., Десятов А.Т., Пронько В.Г. Эффект охлаждения при волновом адиабатном расширении газа. Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, 1981, $2, стр.139-142.

29. Галиев Ш.У., Ильрамов М.А., Садыков А.В. 0 периодических ударных волнах в газе. Изв. АН СССР, МВТ, 1970, JS2, стр.57-66.

30. Зарипов Р.Г. Нелинейные колебания газа в открытой трубе. Акуст. ж., 1977, т.23, вып.З, стр.378-383.

31. Betchow R. Nonlinear Oscillations of Column of &as.Phys. Fluids, 1958> v. i^pp. 205 -212

32. Wilson J.,Resler E.L.A Mechanism oj Resonance Tu6es.J. Aero/Space Sci., 1959, v. 26, N7, pp. 461-462.

33. Shapiro Д.Н. On the Maximum Attainable Temperature in Resonance Tubes. J. Aero/Space Sci., I960, v. 27, N1, pp. 66-67.

34. Chester W. Resonant Osci ILations in Closed Tubes. J. Fluid Mech., 1964, v. 18, N1, pp. 44-64.

35. Temkin S. Propagating and Standing Sawtooth Waves. J. Acoust. Soc. Amen, 1969,v.45, N1, pp. 224-227.

36.MorteL'M.P. Resonant Thermal Acoustic Oscillations.Int. J. Eng. Sci., 1971, v. 9, N1, pp. 175-192.

37. Jimenez J. Nonlinear Gas Oscillations in Pipes. J> Fluid Mech., 1973,v. 59, N1,pp. 23-46.

38.RottH.The Heating Effect Connected With Nonlinear Oscillations in a Resonance Tube. Z. Angew. Math.Phys., 1974, v.25, N5,pp. 619 -634.

39. Keller J. Subharmonic Nonlinear /Acoustic Resonances in Closed Tubes. Z. Angew. Math. Phys., 1975, v. 26, N 4, pp. 395-405.

40. KelLer J. Resonant Oscillations in Closed Tubes : the Solution oj Chester's Egnation. J. Fluid Mech.} 1916, v. 77, N2, pp. 279 -304.

41.Keller J.Third Order Resonances in Closed Tubes.Z. Angew. Math. Phys., 1976, v. 27, N3? pp. 303-323.

42.Keller J. Subharmonie Nonlinear Acoustic Resonances in Open Tubes. Part 1. Theory. Z. Andew. Hath. Phys.?/977, v. 28, N3, pp. 419-431.

43. Keller J. Resonant OscilLations in Open Tubes with a Mean Flom. Z. Angew. Math . Phys., 1975, y.29} N1}pp 85-91.

44. Kawahashi M.Sasaki S.?Anzai Hi,Suzuki M.Unsteady One-dimensional Flow in Resonance Tube. BuLletin the JL5ME, 1974, v. 17, N114, pp. 1555-1563.

45. Думнов I.E., Теленин Г.Ф. Нелинейные волновые явления в закрытой трубе. Изв. АН СССР, МВТ, 1978, JS3, стр.173-176.

46. Думнов Г.Е. Колебания газа в трубах под воздействием периодически меняющегося давления. Изв. АН СССР, МИГ, 1978, №5, стр.177-180.

47. Павлов Б.М., Романова Т.Н. Численное решение одномерной задачи о движении вязкого наза в резонансной трубе. В сб. Численные методы в аэродинамике, МГУ, 1980, стр.32-45.

48. Толстых А.И. О методе численного решения уравнений Навье.-Стокса сжимаемого газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса. ДАН СССР, 1973, т.210, Ж, стр.48-51.

49. Толстых А.И. О неявных разностных схемах третьего порядка точности дня многомерных задач. ШМ и МФ, 1976, т.16, §5, стр.1182-1190.

50. Толстых А.И. О сгущении узлов разностных сеток в процессе решения и о применении схем повышенной точности при численном исследовании течений вязкого газа. ЖВМ и Ш, 1978, т.18, №1, стр.139-153.

51. Яненко Н.Н., Фролов В.Д., Неуважаев В.Е. О применении метода расщепления для численного расчёта движений теплопроводного газа в криволинейных координатах. Изв. СО АН СССР, 1967, JEB, вып.2, стр.74-82.

52. Неуважаев В.Е., Фролов В.Д., Яненко Н.Н. Уравнения движения теплопроводного газа в смешанных эйлеро-тлагранжевых координатах. В сб. Численные метода механики сплошной среды, 1972, т.З, Ж, стр.90-96.

53. Лисейкин В.Д., Яненко Н.Н. Метод подвижных координат в газовой динамике. В сб. Численные методы механики сплошной среды, 1976, т.7, JB, стр.75-82.

54. Яненко Н.Н., Данаев Н.Т., Лисейкин В.Д. О вариационном методе построения сеток. В сб. Численные методы механики сплошной среды, 1977, т.8, М, стр.157-163.

55. Данаев Н.Т. Об одном способе построения криволинейных сеток, сгущающихся в области больших градиентов. В сб. Численные методы механики сплошной среды, 1979, т.10, стр.60-74.

56. Годунов С.К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., Наука, 1976у - 400 с.

57. Мещеряков Ю.П., Шапеев В.П. Некоторые геометрические методы построения разностных сеток в областях с криволинейными границами. В сб. Численные методы механики сплошной среда, 1978, т.9, Л2, стр.91-103.

58. Мещеряков Ю.П. О геометрическом мв$оде построения разностных сеток. Новосибирск, 1978, (Препринт ИТПМ СО АН СССР, 12).

59. КовеняВ.М., Яненко Н.Н. Разностная схема на подвиж-. ных сетках для решения уравнений вязкого газа. ЖВМ и МФ, 1979, т.19, И, стр. 174-188.

60. Ковеня В.М. Численный метод расчёта, стационарных уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа. В сб. Численные методы механики сплошной среды, 1970, т.1, 153, с тр. 75-83.

61. Березин Ю.А., КовеняВ.М., Яненко М.Н. Об одной неявной схеме расчёта течения вязкого теплопроводного газа. В сб. Численные методы механики сплошной среды, 1972, т.З, М, стр.3-18.

62. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Разностные схемы для решения многомерных уравнений газовой динамики. ДАН СССР, 1977, т.232, №, с тр. 1273-1276.

63. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А. Метод решения пространственных уравнений газовой динамики. В сб. Численные методы механики сплошной среды, 1978, т.9, Ж, стр.65-83.

64. Яненко Н.Н. Метод дроюных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, Наука, 1966,-225с.

65. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики, Новосибирск, Наука, 1981,-304с.

66. Полежаев В.И. Численное решение системы двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого таза. Изв. АН СССР, МВТ, 1967, Jg2, стр.ЮЗ-III.

67. Васин В.Г., Полежаев В.И. Неявные схемы для уравнений конвекции сжимаемого газа. В сб. Численные методы механики сплошной среды, 1977, т.8, ЖЗ, стр.49-67.

68. Махвиладзе Г.М., Щербак С.Б. Численный метод исследования нестационарных пространственных движений сжимаемого газа. Инж.-Физ. Журн., 1980, т.38, ЖЗ, стр.528-537.

69. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. М.: МГУ, 1980, -548 с.

70. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980,616с.

71. Потапова Н.А., Русаков С.В. Построение неравномерных разностных сеток с помощью кубических сплайнов. В сб. Численные методы в аэродинамике, МГУ, 1981, стр.22-30.

72. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Разностная схема на подвижных сетках для решения уравнений вязкого газа, ЖВМ и МФ, 1979, т.19, & I, стр.174-188.

73. Романова Т.Н. 0 численном решении двумерной задачи о резонансной трубе с учетом вязкого эффекта. В сб. Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ, МГУ, 1981, стр.5-7.

74. Романова Т.Н. Численное решение двумерной нестационарной задачи о резонансной трубе. В сб. Численные методы в аэродинамике, МГУ, 1981, стр.53-71.

75. Браиловская И.Ю. Разностный метод численного решения двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа. В сб. Вычислительные методы и программирование, МГУ, 1967, вып.УЛ., стр.3-15.

76. Лойцянский Л.С. Механика жидкостей и газа. М.: Наука, 1978, -731с.

77. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974,

- 712 с.

78. Самарский А.А. Теория разностны схем. М.: Наука, 1977,

- 655 с.

79. Крайко А.Н., Ни А.Л. в приближении нелинейной акустики в задачах о колебаниях газа в трубах. Прикладная математика и механика, 1980, т.44, вып.1, стр.77-88.

80. Павлов Б.М., Романова Т.Н. Численное исследование движения вязкого газа в резонансной трубе. В сб.Библиотека программ по аэрогидродинамике (методы и алгоритмы), МГУ, 1983 (в печати).

81. Толстых А.И. о неявных схемах повышенной точности для систем уравнений. ЖВМ и МФ, 1981, т.21, №2, стр.339-354.

82. Мазуров А.П., Толстых А.И. расчет течения вязкого газа около хвостовой части мотогондолы с имитатором реактивной струи.

В сб. Численные методы механики сплошной среды, 1983, т.14, № I, стр.95-112.