Рациональность и унирациональность многообразий Фано над незамкнутыми полями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М В Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512 76

Зак Николай Федорович

Рациональность и унирациональность многообразий Фано над незамкнутыми полями

Специальность 01 01 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ163032

Москва - 2007

003163032

Работа выполнена в отделе теории чисел Математического Института имени В А Стеклова РАН

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Василий Алексеевич Исковских,

доктор физико-математических наук, профессор Юрий Геннадьевич Прохоров

Официальные оппоненты-

доктор физико-математических наук, профессор Михаил Анатольевич Цфасман,

кандидат физико-математических наук, Дмитрий Александрович Степанов

Ведущая организация.

Владимирский государственный университет

Защита диссертации состоится 9 ноября 2007 г в 16— на заседании диссертационного совета Д 501 001 84 в Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу Российская Федерация, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08 (Главное здание, 14 этаж)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 9 октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы Актуальность темы

Простейшими алгебраическими многообразиями являются проективные пространства Р", а их ближайшими родственниками — рациональные и унирациональные многообразия Многообразие уни-рационально над полем, если оно содержит открытое плотное подмножество, параметризуемое открытым подмножеством проективного пространства над этим полем, и рационально, если существует взаимно однозначная параметризация такого вида Ввиду простоты определения и богатства внутренней геометрии, рациональные и унирациональные многообразия всегда были в центре внимания алгебраических геометров и доставляли интересные примеры во многих областях математики В то же время, вопрос определения рациональности и унирациональности данного алгебраического многообразия, которому посвящена настоящая диссертация, все еще является очень мало изученным

Уже в 19 веке было известно, что всякое бирациональное отображение между (полными) неособыми кривыми продолжается до изоморфизма, поэтому алгебраическая кривая является рациональной (унирациональной) над алгебраически замкнутым полем тогда и только тогда, когда ее нормализация изоморфна проективной прямой Р1 Если же основное поле к не является алгебраически замкнутым, то гладкая кривая рациональна (унирациональна) над этим полем тогда и только тогда, когда на ней есть точка и она рациональна над алгебраическим замыканием поля к Действительно, антиканоническое вложение отображает такую кривую в плоскую конику с точкой, проекция из которой обеспечивает искомую параметризацию

Из критерия рациональности Кастельнуово следует, что над алгебраически замкнутым полем классы рациональных и унира-циональных поверхностей совпадают между собой Классификация гладких рациональных поверхностей над алгебраически за-

мкнутым полем получена в классических работах итальянских геометров начала 20 века все они изоморфны раздутиям проективной плоскости Р2 или рациональных линейчатых поверхностей F„ = Ppi(ö © Ö(n)), п ^ 0, п ф 1 С современной точки зрения, согласно программе минимальных моделей, всякое гладкое алгебраическое многообразие бирационально изоморфно либо минимальной модели, либо расслоению Мори1, слоем которого является многообразие Фано, то есть многообразие с обильным антиканоническим дивизором — Кх Проективная плоскость и поверхности Fn являются расслоениями Мори на двумерное и одномерные многообразия Фано, соответственно Минимальные модели рациональных поверхностей над совершенными полями были классифицированы В А Исковских2 В отличие от случая кривых, неизвестно, является ли условие наличия k-точки достаточным для k-унирациональности гладкой унирациональной поверхности Гипотетическим контрпримером считается поверхность Дель Пеццо степени один, имеющая точку над полем Q рациональных чисел Рациональность над к форм проективной плоскости, равно как и форм произвольных проективных пространств Р™ хорошо известна при условии наличия точки (теорема Севери-Брауэра)

Бирациональная геометрия трехмерных многообразий гораздо богаче бирациональной геометрии поверхностей В частности для них перестает выполняться утверждение теоремы Люрота В работе Исковских и Манина3 методом максимальных особенностей доказывается, что гладкая трехмерная гиперповерхность четвертой степени не является рациональной, в то время как еще Б Се-гре4 привел примеры гладких унирациональных квартик Ирак-

ом [Matl] К Matsuki Introduction to the Mon program, Springer, 2002, 478 pp

2[Iskl] Исковских В А Минимальные модели рациональных поверхностей над произвольными полями // Известия академии наук, серия математическая, 1979, том 43, No 1, 19-43

3[ИМ] Псковских В А , Мапин Ю И Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота // Мат Сборник, 1971, том 86, No 1, 140-166

4|Seg] В Segre Variazione continua ed omotopia m geometna aJgebnca // Ann mat pura ed appl, Ser IV, L, 1960, 149-186

тически в то же время Клеменс и Гриффите5 методом промежуточного якобиана доказали нерациональность гладкой трехмерной кубики (унирациональность кубик над произвольными полями при условии наличия точки хорошо известна6) Другие примеры унира-циональных, но не рациональных трехмерных многообразий приводятся в работе Артина и Мамфорда7

С развитием метода максимальных особенностей были получены многочисленные примеры нерациональных многообразий Фано8 и, в частности, гиперповерхностей степени N в Р^, N > 3, а также различных многомерных полных пересечений9 Тем не менее, до сих пор не известно, является ли рациональной общая многомерная кубика До недавнего времени примеры рациональных кубик в Pw, N > 3 были известны лишь для нечетных N В 2006 году М Мелла10 привел примеры рациональных кубик в P'v для всех N >7

В случае с унирациональностью ситуация еще более сложная До сих пор неизвестно ни одного примера неунирационального многообразия Фано В частности, неизвестно, существует ли неуни-рациональная гладкая трехмерная квартика Все известные нам примеры гладких унирациональных многообразий, не являющихся унирациональными над алгебраически незамкнутым полем к, доставляют многообразия, не имеющие к-точек11

5 [CG] Н Clemens, Р Griffiths The intermediate Jacobian of the cubic threefold // Annals of Mathematics 95, 1972, 73-100

6[Koll] J Kollar Umrationality of cubic hypersurfaces, preprint, alg-geom/0005146

7[AM] M Artm, D Mumford Some elementary examples of unirational varieties which are not rational // Proc London Math Soc 25, 1972, 75-95

8 Cm [Isk2] Псковских В А Бирациональные автоморфизмы трехмерных алгебраических многообразий // в сб "Итоги науки и техники современные проблемы математики", т 12, М ВИНИТИ, 1979 , 159-236,

[IPu] Псковских В А , Пухликое А В Бирациональные автоморфизмы многомерных алгебраических многообразий // в сб "Итоги науки и техники современные проблемы математики", т 19, М ВИНИТИ, Москва 2001 , 5-139

9См [Pu] Puhhhkov A Birationally rigid Fano complete intersections // J Reme Angew Math , 2001, No 541 , 55-79

10[Mel] Mella M Rational cubic hypersurfaces, unpublished

иСм [HT] J Hams, Yu Tschmkel Rational points on quartics // Duke Math Journal 104, 2000, 477-500,

[MT] Ю И Манип, M А Цфасман Рациональные многообразия алгебра, геометрия,

В работе [НМР]12 доказывается унирациональность произвольных гладких гиперповерхностей H¿ С Р™ степени d для достаточно большого п Поскольку соответствующие оценки на число п далеки от оптимальных, представляет интерес разработка других способов доказательства унирациональности гиперповерхностей Метод, используемый в [НМР], был впервые предложен У Морином13, использовавшим его для доказательства унирациональности общей гиперповерхности H¿ С Р" степени d для достаточно большого п Этот метод состоит в нахождении линейного пространства Lm С H¿ некоторой положительной размерности т и рассмотрении семейства гиперповерхностей С Lm+l, полученных пересечением всевозможных подпространств Lm+1 D Lm с H¿

В нескольких работах М Маркизио14 развивается другой метод доказательства унирациональности квартик, предложенный Б Се-гре в [Seg] Этот метод использует существование рациональной кривой на многообразии Фано прямых на квартике

Цель работы

Цель работы — исследование рациональности и унирациональности форм многомерных многообразий Фано (в частности, форм многомерных квартик, многообразий Сегре и трехмерных многообразий Фано) над алгебраически незамкнутыми полями

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 71 странице и состоит из пяти глав Библиография включает 47 наименований

арифметика // Успехи Математических Наук, 1986, т 41, выл 2(248), 43-94

12 [НМР] J Hams, В Mazur, R Pandhanpande Hypersurfaces of Low Degree // Duke Math Journal, 95, 1998, 125-160

13[Mor] U Morm Sull'unirationalita dell ipersurficie algébrica di qualunque ordine e dimensione suficientemente alta // Atti Secondo Congresso Un Mat Ital , Bologna, 1940 Ediziom Cremorense, Rome, 1942, 298-302

14 Cm [Mar] M Marchisio The umrationality of some quartic 4-folds // Atti Accad Sei Tormo CI Sei Fis Mat Natur 136 (2003), 17-22

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем (поле к предполагается произвольным полем характеристики нуль)

1 Всякая к-форма многообразия Сегре

5 = Г11 х хР" имеющая к-точку, рациональна над к

2 Всякая к-форма неособого гиперплоского сечения многообразия Сегре £ = Ра х Рь, имеющая к-точку, рациональна над к

3 Для всякого п ^ 8 существует неособая унирациональная над К гиперповерхность Н4 С Рп степени четыре, не содержащая определенных над К прямых

4 Пусть X — к-форма гладкого трехмерного многообразия Фано ^ Тогда X к-рациональна при условии наличия к-точки, если ^ не является одним из следующих многообразий

(a) Полное пересечение двух квадрик У4 С Р5, а также его раздутия, являющиеся многообразиями Фано, за исключением раздутия с центром в прямой Формы X многообразия Уц и его раздутий, являющихся многообразиями Фано, к-унирациональны при условии наличия к-точки15

(b) Многообразия У^Цв и Формы многообразий У\г и 1*18 рациональны над к при условии, что к-точки на них всюду плотны Это условие выполняется, в частности, для полей класса С\ при условии наличия к-точки

(c) Двойное накрытие ^ —> Р1 х Р2 с ветвлением в дивизоре бистепени (2,2) и его раздутие в неособом слое проекции ^ —> Р1 х Р2 —> Р2 Формы этих многообразий квазиуни-рациональны

15И, скорее всего, не всегда квазитривиальны

(d) Произведения Ed = P1 x где S¿ — поверхность Дель Пеццо степени d < 5 При d > 2 формы таких многообразий квазиунирациональны

Основные методы исследования

В диссертации используются методы проективной и бирациональ-ной алгебраической геометрии (в частности, программы минимальных моделей16) и арифметики алгебраических многообразий17 Кроме того, используется классификация трехмерных многообразий Фано18 и экстремальных стягиваний на этих многообразиях19

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории унирациональности многообразий Фано и арифметики алгебраических многообразий

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах

1 Семинар "Геометрия алгебраических многообразий" под руководством В А Псковских и Ю Г Прохорова в МГУ (2006 и 2007)

2 Семинар по алгебраической геометрии в МИАН им В А Стек-лова (2007)

16Сч [Matl] и [Так) Takeuchi К Some birational maps of Fano 3-folds // Compos Math , 1989, No 71, 265-284

17См [MT] и [EGA] A Grothendieck, J Dieudonne Elements de Geometrie Algebrique // Pub] Math IHES, 8 (1961), 11 (1961)

18Cm [IP] V A Iskovskikh, Yu G Prokhorov Fano varieties, Springer-Verlag, New York 1999

19Cm [Mat2] К Matsuki Weyl Groups and Birational Transformations among Minimal Models // Memoirs of the American Mathematical Societj, v 116 N 557, 1995

Публикации автора по теме диссертации

Основное содержание диссертации опубликовано в работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3]

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из пяти глав

Первая глава — введение В ней обсуждается история вопроса, дается обзор ранее известных результатов и формулируются основные утверждения, доказанные в диссертации

В главе 2 приведены необходимые определения и известные вспомогательные утверждения В частности, в разделе 2 2 вводятся и обсуждаются понятия к-рационалъности, к-унирациональности, квазитривиальности и квазиунирациональности форм алгебраических многообразий над алгебраически незамкнутым полем к Кроме того, в этом разделе формулируется утверждение 2 2 1, позволяющее при доказательстве квазитривиальности форм многообразий Фано оперировать со стандартными вложениями в проективное пространство В разделе 2 3 приводится классификация трехмерных гладких многообразий Фано, рациональность которых известна, а также даются необходимые сведения из программы минимальных моделей, в частности, конструкция элементарного рационального преобразования многообразий Фано

Утверждения главы 2 не доказываются, но снабжаются ссылками на источники

В главе 3 доказывается квазитривиальность форм многообразий Сегре 5 = РЯ1 х х Ра" и некоторых гиперплоских сечений соответствующих вложений Сегре В частности, в разделе 3 1 строится бирациональная проекция 7Г/, вложенного по Сегре многообразия 5 на проективное пространство с центром в подпространстве Ь, а в разделе 3 2 строится Галуа-инвариантный центр проекции Ь В разделе 3 3 доказывается квазитривиальность форм неособых гиперплоских сечений многообразий Сегре 5 = Р° х Рь и

5 = Р1 х Р1 х Р1 х Р1

В главе 4 предлагается метод доказательства унирациональности многомерных квартик, который, в отличие от ранее известных методов, не использует лежащих на них линейных подпространств В частности, приводится пример М-унирациональной квартики, не содержащей вещественных прямых Данная глава имеет следующую структуру В разделе 4 1 доказывается предложение 4 12, дающее достаточное условие к-унирациональности полных пересечений квадрики и кубики В разделе 4 2с помощью бирацио-нальной перестройки в пересечение квадрики и кубики с нужными свойствами, мы доказываем предложение 4 2 1 об унирациональности над к общих особых четырехмерных квартик, содержащих к-рациональную трехмерную квадрику с кратностью два В разделе 4 3 доказывается предложение 4 3 1 о к-унирациональности общих многомерных квартик, содержащих к-рациональную трехмерную квадрику с кратностью два В разделе 4 4 доказывается существование вещественных квартик, удовлетворяющих условию предложения 4 3 1 и не содержащих прямых, что завершает доказательство основной теоремы 4 0 1 о существовании К-унирациональных вещественных квартик, не содержащих вещественных прямых

В главе 5 исследуются вопросы квазитривиальности и квазиунирациональности гформ трехмерных рациональных многообразий Фано В частности, в разделе 5 1 изучаются формы многообразий Фано первого рода Среди этих многообразий наиболее сложными с точки зрения вопроса к-рациональности являются формы полного пересечения двух квадрик У4 с Р5 Мы показываем, что из квазитривиальности таких форм над функциональными полями следует рациональность общих неприводимых п-мерных кубик, содержащих плоскость, что гипотетически не должно иметь место В разделе 5 2 изучаются формы многообразий Фано, являющихся расслоениями на коники Для всех многообразий этого типа, за исключением форм двойного накрытия ^ Р1 х Р2 с ветвлением в дивизоре бистепени (2,2), удается установить их квазитривиальность В разделе 5 3 изучаются формы произведений двумерных

и одномерных многообразий Фано Здесь препятствием для квазитривиальности является неквазитривиальность форм некоторых поверхностей Дель Пеццо В разделе 5 4 изучаются формы многообразий Фано, являющихся раздутиями других многообразий Фано Для подавляющего большинства таких многообразий удается установить их квазитривиальность Итогом главы является теорема 5 4 1, в которой доказывается квазитривиальность форм большинства рациональных трехмерных многообразий Фано Кроме того, теорема 5 4 1 дает квазиунирациональность большинства форм, квазитривиальность которых установить не удалось

Благодарности

Я благодарю своих научных руководителей д ф -м н профессора В А Исковских за постоянное внимание к моей работе и д ф -м н профессора Ю Г Прохорова за постановку задачи и многочисленные полезные советы, к ф -м н К А Шрамова за многочисленные советы на всех этапах подготовки диссертации, а также аспирантов С С Галкина и С О Горчинского за полезные обсуждения

Список литературы

[1] Зак Н Ф Квазитривиальность форм многообразий Сегре // Успехи маг наук, 2007, т 62, N0 5, 153-154

[2] Зак Н Ф К вопросу унирациональности квартик над незамкнутыми полями // Депонировано в ВИНИТИ 28 09 07, N0 937-В2007, 9 страниц

[3] Зак Н Ф О квазитривиальности форм трехмерных многообразий Фано // Депонировано в ВИНИТИ, 28 09 07, N0 936-В2007, 29 страниц

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи ЗАК НИКОЛАЙ ФЕДОРОВИЧ

УДК 512.76

РАЦИОНАЛЬНОСТЬ И УНИРАЦИОНАЛЬНОСТЬ МНОГООБРАЗИЙ ФАНО НАД НЕЗАМКНУТЫМИ ПОЛЯМИ

01.01.06, математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук В. А. Исковских, доктор физико-математических наук Ю. Г. Прохоров

Москва, 2007

Оглавление

1 Введение

1.1 История вопроса.........................

1.1.1 Рациональные и унирациональные многообразия . . .

1.1.2 Многообразия Фано...................

1.2 Основные результаты диссертации...............

2 Основные понятия

2.1 Обозначения и соглашения...................

2.2 к-Формы алгебраических многообразий............

2.3 Трехмерные рациональные многообразия Фано........

2.3.1 Классификация трехмерных гладких многообразий Фано, рациональность которых известна .......

2.3.2 Программа минимальных моделей...........

2.3.3 Элементарные рациональные отображения......

3 Формы многообразий Сегре

3.1 Бирациональная проекция на проективное пространство . .

3.2 Построение инвариантного центра проекции . .........

3.3 Квазитривиальность форм гиперплоских сечений некоторых многообразий Сегре .......................

к-Унирациональные квартики, не содержащие прямых

4.1 к-унирациональные полные пересечения квадрики и кубики

4.2 к-унирациональные четырехмерные квартики .......

4.3 к-унирациональные многомерные квартики.........

4.4 Примеры неособых к-унирациональных квартик, не содержащих прямых.........................

Трехмерные многообразия Фано

5.1 Многообразия первого рода..................

5.2 Расслоения на коники.....................

5.3 Произведения..........................

5.4 Раздутия ............................

Публикации по теме диссертации

Глава 1 Введение

1.1 История вопроса

1.1.1 Рациональные и унирациональные многообразия

Простейшими алгебраическими многообразиями являются проективные пространства Рп, а их ближайшими родственниками — рациональные и унирациональные многообразия. Многообразие унирациопалъно над полем, если оно содержит открытое плотное подмножество, параметризуемое открытым подмножеством проективного пространства над этим полем, и рационально, если существует взаимно однозначная параметризация такого вида. Ввиду простоты определения и богатства внутренней геометрии, рациональные и унирациональные многообразия всегда были в центре внимания алгебраических геометров и доставляли интересные примеры во многих областях математики. В то же время, вопрос определения рациональности и унирациональности данного алгебраического многообразия, которому посвящена настоящая диссертация, все еще остается мало изученным.

Уже в 19 веке было известно, что всякое бирациональное отображение

между (полными) неособыми кривыми продолжается до изоморфизма, поэтому алгебраическая кривая является рациональной (унирациональной) над алгебраически замкнутым полем тогда и только тогда, когда ее нормализация изоморфна проективной прямой Р1. Если же основное поле1 к не является алгебраически замкнутым, то гладкая кривая рациональна (уни-рациональна) над этим полем тогда и только тогда, когда она рациональна над его алгебраическим замыканием и на ней есть к-точка. Действительно, антиканоническое вложение отображает такую кривую на плоскую конику с точкой, проекция из которой обеспечивает искомую параметризацию.

Из критерия рациональности Кастельнуово следует, что над алгебраически замкнутым полем классы рациональных и унирациональных поверхностей совпадают между собой. Классификация гладких рациональных поверхностей над алгебраически замкнутым полем получена в классических работах итальянских геометров начала 20 века: все они изоморфны раздутиям проективной плоскости Р2 или рациональных линейчатых поверхностей ¥п = РР1(0 е 0(п)), п > 0, п ф 1.

С современной точки зрения, согласно программе минимальных моделей, всякое гладкое алгебраическое многообразие бирационально изоморфно либо минимальной модели (определения минимальной модели и изложение программы Мори см., например, в [39]), либо расслоению Мори, слоем которого является многообразие Фано, то есть многообразие с обильным антиканоническим дивизором —Кх- Проективная плоскость и поверхности являются расслоениями Мори на двумерное и одномерные многообразия Фано, соответственно. Минимальные модели

1 Здесь и далее мы предполагаем характеристику поля нулевой.

рациональных поверхностей над совершенными полями были классифицированы В.АИсковских в работе [19]. В отличие от случая кривых, до сих пор не известно, является ли условие наличия к-точки достаточным для к-унирациональности унирациональной поверхности. Гипотетическим контрпримером считается поверхность Дель Пеццо степени один, имеющая точку над полем О рациональных чисел. Рациональность над к форм проективной плоскости, имеющих к-точку, равно как и форм произвольных проективных пространств Рп, имеющих к-точку, хорошо известна.

Бирациональная геометрия трехмерных многообразий гораздо богаче бирациональной геометрии поверхностей. В частности, для них перестает выполняться утверждение теоремы Люрота. В работе Исковских и Ма-нина [23] методом максимальных особенностей доказывается, что гладкая трехмерная гиперповерхность четвертой степени не является рациональной, в то время как еще Б. Сегре в работе [10] привел примеры гладких унирациональных трехмерных квартик. Практически в то же время Кле-менс и Гриффите в работе [30] методом промежуточного якобиана доказали нерациональность гладкой трехмерной кубики (унирациональность кубик над произвольными полями при условии наличия точки хорошо известна, см. [22]). Другие примеры унирациональных, но не рациональных трехмерных многообразий приводятся в работе [28].

С развитием метода максимальных особенностей были получены многочисленные примеры нерациональных многообразий Фано (см. [20] и [24]) и, в частности, гиперповерхностей степени N в Р^, N > 3 (см., например, [41] и [37]), а также различных многомерных полных пересечений (см. [41]). Тем не менее, до сих пор не известно, является ли рациональной

общая многомерная кубика. До недавнего времени примеры рациональных кубик в¥м} N > 3 были известны лишь для нечетных N. В 2006 году М. Мелла в [40] привел примеры рациональных кубик в Р^ для всех N>7.

В случае с унирациональностью ситуация еще более сложная. До сих пор неизвестно ни одного примера неунирационального многообразия Фа-но. В частности, неизвестно, существует ли неунирациональная гладкая трехмерная квартика. Все известные примеры гладких унирациональ-ных многообразий, не являющихся унирациональными над алгебраически незамкнутым полем к, доставляют многообразия, не имеющие к-точек (см. [14], [4]).

В работе [8] доказывается унирациональность гладких гиперповерхностей На С Рп степени с1 для достаточно большого п. Поскольку соответствующие оценки на число п далеки от оптимальных, представляет интерес разработка других способов доказательства унирациональности гиперповерхностей. Метод, используемый в [8], был впервые предложен У. Морином в [11] использовавшим его для доказательства унирациональности общей гиперповерхности Нц С Рп степени б, для достаточно большого п. Этот метод состоит в нахождении линейного пространства Ьт С На некоторой положительной размерности т и рассмотрении семейства гиперповерхностей Н^-1 С Ьт+1, полученных пересечением всевозможных подпространств Ьт+1 Э Ьт с На-

В нескольких работах М. Маркизио (см. [9]) развивается другой метод доказательства унирациональности квартик, предложенный Б. Сегре в [10]. Этот метод использует существование рациональной кривой на мно-

гообразии Фано прямых на квартике. 1.1.2 Многообразия Фано

В связи с развитием упомянутой выше программы минимальных моделей, а также ввиду интереса со стороны теоретической физики и других дисциплин, в последнее время большую роль в бирациональной геометрии стало играть изучение многообразий Фано.

Все одномерные многообразия Фано изоморфны проективной прямой Р1. Двумерные неособые многообразия Фано X называются также поверхностями Дель Пеццо степени с?, где (1 — (—Кх)2- Хорошо известно (см. [27]), что 1 ^ <1 ^ 9, причем поверхности Дель Пеццо степени девять изоморфны проективной плоскости Р2, а поверхности Дель Пеццо степени восемь изоморфны двумерной квадрике. Известно (см. [4]), что формы поверхностей Дель Пеццо Бл степени с1 ^ 5 рациональны над к при условии наличия на них к-точки. В случае с1 — 5 и = 7 на всегда есть к-точка.

Минимальные поверхности Дель Пеццо степени три (изоморфные двумерной кубике) и четыре (изоморфные полному пересечению двух квадрик в Р4) унирациональны над к при условии наличия к-точки, но не рациональны над к (см. [4]).

В работах [33], [34], [35], [36] Г. Фано изучал трехмерные гладкие многообразия, линейные сечения которых являются каноническими кривыми (в частности, антиканонический дивизор на таких многообразиях обилен). В. А. Псковских классифицировал гладкие трехмерные многообразия Фано основной серии, окончательная классификация гладких трехмерных многообразий Фано была получена Мори и Мукаем, см. [1]. Для боль-

шинства (но не для всех) трехмерных многообразий Фано установлено, являются ли они рациональными (унирациональными) над алгебраически замкнутым полем. Случай алгебраически незамкнутого поля, равно как и случай многообразий Фано высших размерностей, остается мало изученным.

1.2 Основные результаты диссертации

Диссертация в основном посвящена доказательству унирациональности и рациональности различных многообразий Фано над алгебраически незамкнутым полем к.

Как уже отмечалось выше, всякая форма X проективного пространства Рп квазитривиальна2, более того, теорема Севери-Брауэра утверждает, что из наличия к-точки на форме X проективного пространства Рп следует изоморфизм X Рп. Аналогичный теореме Север и-Брауэра результат неверен для произведений проективных пространств. Так, двумерная вещественная квадрика, заданная уравнением х^ + х^ + х^ = имеет точки, но не изоморфна произведению вещественных проективных прямых. Тем не менее, результат о квазитривиальности остается верным. В главе 3 мы докажем следующее утверждение.

Теорема (см. теорему 3.0.1). Всякая форма X многообразия Сегре

5 = Ра1х...хРв"

квазитривиальна.

2Определения см. в главе 2.

Метод доказательства состоит в нахождении Галуа-инвариантной бира-циональной проекции 5 на проективное пространство. Этот метод позволяет также доказывать квазитривиальность форм гиперплоских сечений некоторых многообразий Сегре (также являющихся многообразиями Фа-но):

Предложение (см. предложение 3.3.1). Всякая форма У неособого гиперплоского сечения

IV = Н П 5 С №аЬ+а+ъ~1

многообразия Сегре

С* _ ра х С

квазитривиалъна.

Предложение (см. предложение 3.3.2). Всякая форма У неособого гиперплоского сечения Т = Н Г) Б многообразия Сегре Б = Р1 х Р1 х Р1 х Р1 с Р15 квазитривиалъна.

В главе 4 мы развиваем метод доказательства унирациональности квар-тик, не использующий лежащих на них прямых, отвечая тем самым на один из вопросов, поставленных в упоминавшейся выше работе [8]. В разделе 1.2 статьи [8] авторы пишут, что им не известен ни один метод доказательства унирациональности неособых гиперповерхностей Н^ степени с? > 3, который не использует линейных подпространств положительной размерности, лежащих на На- В частности, не известен ни один пример неособой унирациональной над к гиперповерхности Н4 С Рге, не содержащей прямых. Метод Б. Сегре, развитый в работах М. Маркизио, использует существование прямых на квартике и не решает поставленной задачи.

Основной результат главы 4 состоит в следующем.

Теорема (см. теорему 4.0.1). Для всякого п ^ 8 существует неособая унирациональная над К гиперповерхность Н4 С Рп степени четыре, не содержащая определенных над М прямых.

В главе 5 мы исследуем вопрос к-рациональности трехмерных гладких рациональных многообразий Фано при условии наличия точки. Оказывается, что, в отличие от поверхностей Дель Пеццо, подавляющее большинство гладких трехмерных многообразий Фано квазитривиально. Тем не менее, некоторые классы трехмерных гладких рациональных многообразия Фано, такие как класс полных пересечений двух квадрик, по-видимому, не являются квазитривиальными, и мы предлагаем обоснования такой гипотезы. Задача доказательства неквазитривиальности таких классов представляется очень сложной. В большинстве случаев, мы показываем квазиунирациональность таких многообразий (см. определение 2.2.4). Основным итогом главы 5 является следующая

Теорема (см. теорему 5.4.1). Пусть X — к-форма гладкого трехмерного многообразия Фано Р. Тогда X квазитривиальна, если Р не является одним из следующих многообразий:

1. Полное пересечение двух квадрик У4 С 1Р5, а также его раздутия, являющиеся многообразиями Фано, за исключением раздутия с центром в прямой. Формы X многообразия У4 и его раздутий, являющихся многообразиями Фано, квазиунирационалънъ?.

3И, скорее всего, не всегда квазитривиальны.

2. Многообразия Vi2,Vi8 и Уы- Формы многообразий V\2 и Vis рациональны над к при условии, что к-точки на них всюду плотны. Это условие выполняется, в частности, для полей класса С\ при условии наличия к-точки.

3. Двойное накрытие F —> Р1 х Р2 с ветвлением в дивизоре бистепени (2,2) и его раздутие в неособом слое проекции F —> Р1 х Р2 —> Р2. Формы этих многообразий квазиунирациональны.

4. Произведения Е^ = Р1 х Sd, где Sd — поверхность Дель Пеццо степени d < 5. При d > 2 формы таких многообразий квазиунирациональны.

Результаты главы 3 в основном содержатся в работе (AI) (см. приложение А), результаты главы 4 в основном содержатся в работе (А2), результаты главы 5 в основном содержатся в работе (A3).

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям В. А. Псковских за постоянное внимание к его работе и Ю. Г. Прохорову за постановку задачи и многочисленные полезные советы, К. А. Шрамову и Ф. Л. Заку за многочисленные советы на всех этапах подготовки диссертации, а также С. С. Галкину и С. О. Горчинскому за полезные обсуждения.

Глава 2

Основные понятия

2.1 Обозначения и соглашения

Пусть X — многообразие, определенное над полем к характеристики нуль. Соответствующее многообразие X х ^ к над алгебраическим замыканием к поля к мы будем обозначать через X, говоря, что X является к-формой X и всех изоморфных ему над к многообразий. Группу Галуа мы обозначаем через С = Са1(к/к). В дальнейшем мы без дополнительных оговорок будем оперировать с естественным действием группы Галуа на многообразии X. Через О мы обозначаем алгебраическое замыкание О х^к объекта О (поля, многообразия или отображения), определенного над к. Все рассматриваемые нами многообразия по умолчанию предполагаются определенными над к. Мы называем многообразие X неособым, если неособо многообразие X. Группа Пикара многообразия X обозначается через Р1с(Х), а Галуа-инвариантная часть группы Пикара обозначается через Касательное пространство к многообразию X в точке х обозначается через Тх(Х), а касательный конус — через %х(Х). Грассманиан ш-мерных проективных подпространств в 1Р71 обозначается через (Б(т, п).

Над алгебраически замкнутым полем, множество особых точек многообразия X обозначается степень многообразия X обозначается с1е§Х, кратность особой точки х 6 X обозначается тиНж(Х); символ N8(0) (X), обозначает группу классов кривых на X по модулю численной эквивалентности тензорно умноженную на 0>, канонический класс многообразия X обозначается через Кх- Символ (£), С) = t■(D'1 С) обозначает индекс пересечения дивизора И С X и кривой С С X, где Б = £ • О', а V С X — дивизор Картье.

2.2 к-Формы алгебраических многообразий

В книге [3] можно найти доказательство следующего результата:

Утверждение 2.2.1. Пусть на многообразии X есть к-точка. Тогда имеет место изоморфизм групп

Р1с(Х) ~ Р'1С°(Х),

и всякая Галуа-инвариантная линейная система порождается дивизорами, определенными над к.

Кроме того, из эпиморфности отображения соответствующих колец функций следует, что Галуа-инвариантная часть очень обильной линейной системы задает вложение над к. Таким образом, можно считать, например, что имеющие точку формы многообразия Фано с очень обильной линейной системой, пропорциональной каноническому классу, вложены этой системой.

Определение 2.2.2. Многообразие X называется к-рациональным или

рациональным над к, если поле функций к(Х) является чисто трансцендентным расширением поля к. Многообразие X называется рациональным, если X рационально над к.

Ясно, что к-рациональное многообразие является рациональным. Обратное верно далеко не всегда. Если X — определенная над к рациональная кривая, то линейная система — Кх отображает ее на плоскую конику, определенную над к. Если на этой конике нет точек, то, очевидно, X не мо�