Полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЧНЬ

Мещеряков Евгений Александрович

ПОЛНЫЕ ПЛОСКИЕ СТРОГО ПРИЧИННЫЕ ЛОРЕНЦЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ

01 01 04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

РГБ ОД

2 £ АВГ 2008

Омск - 2008

Работа выполнена на кафедре моделирования сложных систем Омского филиала института математики им С Л. Соболева СО РАН.

Научный руководитель- кандидат физико-математических наук,

доцент Гичев Виктор Матвеевич

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук,

доцент Нихоноров Юрий Геннадьевич

кандидат физико-математических наук Базайкин Ярослав Владимирович

Ведущая организация: Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 4 сентября 2008 г в 15 00 на заседании диссертационного совета Д 003 015 03 при Институте математики им С Л Соболева СО РАН по адресу 630090, г. Новосибирск, пр Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С Л Соболева СО РАН

Автореферат разослан 4 августа 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А.Е

Общая характеристика работы Актуальность темы

Полные плоские лоренцевы многообразия могут быть определены в терминах дифференциальной геометрии как геодезически полные лоренцевы многообразия с нулевыми кривизной и кручением Все многообразия этого класса могут быть реализованы в виде М — М„/Г, где М„ — п-мерное пространство-время Минковского и Г — дискретная подгруппа группы Пуанкаре Vn, действующая свободно и собственно разрывно В этом случае Г = -ki(M) Фиксируя начало координат о, можно отождествить Мп с набором {V,£), где V — вещественное векторное пространство, £ — лоренцева форма сигнатуры (-Ь, —, ., —).

Рассматриваемый класс многообразий лежит в пересечении двух довольно хорошо изученных областей геометрии полных аффинных многообразий (см обзоры Абеля1 и Чаретти2) и структур причинности в лоренцевых многообразиях, главным стимулом к изучению последних является общая теория относительности (см книги Бима3 и Эллиса, Хокинга и Эрлиха 4). К их общей части относятся некоторые работы хроногеометрической школы А Д Александрова (ссылки можно найти в статье Гуца5), а также статьи Барбо6, Фрида7, Гичева и Морозова8

Полные аффинные многообразия изучались в 60-х годах в связи с вопросом Ауслендера верно ли, что фундаментальная группа полного плоского компактного аффинного многообразия является виртуально разрешимой7 В общем случае вопрос остался без ответа, но при некоторых условиях на многообразия ответ положительный. Если М неком-

1 Abels Н Properly Discontinuous Groups of Affine Transformations //A Survey, Geometnae Dedicata, vol 87, 2001, p 309-333

1Charette V, Drumm, T, Goldman, W and Morill M Complete Flat Affine and Lorentzian Manifolds // Geometnae Dedicata, vol 97, 2003, p 187-198

3Beem, J К and Ehrlich, PE Global Lorentzian geometry Monographs and Textbooks ш Pure and Applied Mathematics, 2nd ed , vol 202, Marcel Dekker, New York, 1996

4EUis G and Hawking S The large scale structure of space-tune // Cambridge Monographs on Mathematical Physics, No 1, Cambridge University Press, London, New York, 1973

'Guts А К Semigroups in foundations of geometry and axiomatic theory of space-tune // m Semigroups m Algebra, Geometry and Analysis, (editors К -H Hofmann, J D Law son, E В Vmberg), Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1995, p 56-76

6Barbot T Globally hyperbolic flat space-times // Journal of Geometry and Physics №53, 2005, p

123-165

'IVied D. Flat Spacetimea // J Diff. Geom , vol 26,1987, p. 385-396.

'Gichev VM and Morozov OS On Flat Complete Causal Lorentzian Manifolds // Geometnae Dedicata, vol 116,2005, p 37-59

пактно, то я! (М) может быть свободной неабелевой Пример был построен Маргулисом11

В статье Гичева и Морозова были описаны, с точностью до конечных накрытий, полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия Точнее, в этой работе была дана конструкция группы Г, позволяющая построить любое такое многообразия с точностью до конечного накрытия Условимся для краткости называть полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия с унипотентной группой голономии унипо-тентными В той же работе было показано, что произвольное полное плоское строго причинное лоренцево многообразие, с точностью до конечных накрытий, представляет собой топологически тривиальное расслоение над унипотентным многообразием, слой которого — евклидово пространство (нетривиальность возникает уже на уровне аффинной структуры) Поэтому изучение унипотентных многообразий указанного класса представляет собой естественный следующий шаг.

Цель работы

Цель работы состоит в описании полных плоских строго причинных унипотентных лоренцевых многообразий, их накрытий и вложений, а также в изучении причинной структуры таких многообразий Кроме того, исследуется вопрос о возможности реализации такого многообразия в виде Я/Г, где Н — подгруппа группы Пуанкаре, действующая просто тран-зитивно на пространстве Минковского

Научная новизна

Основные результаты данной работы являются новыми и состоят в следующем

1 Показано, что полное плоское строго причинное лоренцево многообразие может быть реализовано с помощью предложенной в работе12 конструкции (без использования конечных накрытий) тогда и только тогда, когда ее группа голономии унипотентна

"Margulis G FVee properly discontinuous groups of afBne transformations // Dokl Akad Nauk SSSR, vol 272,1983, p 937-940

llGichev VM and Morozov OS On Flat Complete Causal Lorentzian Manifolds // Geometnae

Dedicata, vol 116, 2005, p 37-59

2 Каждому такому многообразию сопоставлены сигнатура (четыре натуральных числа) и кривая в конусе положительно определенных матриц (парабола, которая может вырождаться в луч или точку) На этой основе получена частичная классификация таких многообразий (с точностью до почти причинной изометрии)

3 Описаны вложения и накрытия многообразий этого класса

4 Исследованы причинные структуры в таких многообразиях, точнее, описаны существенные прошлое и будущее произвольной точки

5 Охарактеризованы (в терминах инвариантов многообразия) полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия, допускающие реализацию вида Я/Г, где Н — подгруппа группы Пуанкаре, действующая просто траизитивно на пространстве Минковского, а Г — ее дискретная подгруппа

Методы исследования

В диссертации используются различные методы геометрии В четвертой

главе используется теория левосимметричных алгебр

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа носит теоретических характер Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях лоренцевых многообразий

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались

• на заседании кафедры математического анализа ИМИТ ОмГУ им Ф М Достоевского,

• на семинаре отдела анализа и геометрии под руководством академика

Ю Г.Решетняка, ИМ СО РАН г Новосибирск;

• на семинаре лаборатории МСС ОФИМ СО РАН,

• на 38-ая Региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, УрО РАН, 2007

• на международной конференции "Математика в современном мире", 17-23 сентября 2007, Новосибирск

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приводится в конце автореферата

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, 4-х глав и списка литературы (32 наименования) Общий объем диссертации составляет 115 страниц

Краткое содержание работы

Во введении кратко изложены история вопроса и содержание диссертации

Первая глава содержит определения и предварительные сведения по строению полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий.

Вторая глава посвящена геометрии таких многообразий В ней приводится конструкция, по которой могут быть построены все унипотент-ные (тес унипотентной группой голономии) полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия, а также дается частичная их классификация. Кроме того, описываются накрытия и вложения многообразий рассматриваемого класса

Геометрия

Полное плоское лоренцево многообразие может быть реализовано как фактор-пространство М„/Г, где Мп — п-мерное пространство Минков-ского, а Г — подгруппа группы Пуанкаре Тп, действующая свободно и собственно разрывно Следующая конструкция была предложена в уже упомянутой работе Гичева и Морозова

Выбор некоторой точки о € Мп позволяет отождествить М„ с вещественным векторным пространством V, на котором задана лоренцева форма t сигнатуры (+,—, , —) Неравенство i(y,v) > 0 задает пару замкнутых выпуклых круглых конусов в V Пусть С — один из них Группа Г действует в V свободно и собственно разрывно аффинными преобразованиями, линейные части которых сохраняют £ и С Через к обозначим отображение факторизации V —> У/Г

Пусть vo, vi € дС удовлетворяют условию t(vo, гц) = 1 Положим

L = R«o, W = L±, N = WHvt, (1)

I0(v) = £(v, D0)

Пусть T — линейное подпространство N Пусть Г — решетка в Т и а — ¿-симметричное линейное отображение

а T-+N,

e(ax,y) = t(x,ay), х,у€Т (2)

Определим линейное отображение А(х) . V -* V, где х € Г, а также аффинное действие 7 векторной группы Т в V формулами

A(x)u = v + lo(v)ax — ах) + ^ lo(v)£(ax, ax)J vq, (3)

т(х) = x - ^ £(ax, x)vQ, (4)

7x(v) = А(х)г; + т(х) (5)

Следующее условие необходимо и достаточно для того, чтобы действие Т было свободным, а действие Г — свободным и собственно разрывным ker(7 + sa) = 0 для всех sG®, (6)

где I — тождественное отображение

Теорема 2.1. Плоское полное строго причинное лоренцево многообразие допускает реализацию из основной конструкции тогда и только тогда, когда ее группа голономии унипотентна

Любое ¿-симметричное отображение Т N имеет очевидную структуру. если а удовлетворяет ¿(ах, у) = £(х,ау) для всех х, у € Т, то существует единственное разложение

а = а' + а", (7)

где а' ■ Т —>Т — самосопряженное преобразование Т, соответствующее симметрической билинейной форме £(ах, у) относительно отрицательно определенной на Т формы £(х, х)

е(ах, у) = е(а?х, у) = £(х, а'у), х,у€Т,

а" — произвольное линейное отображение

а" Т-+ТХПЛГ

Положим R — а"Т

Для любых рёМ И1б 7Г1 (М,р) существует единственная реализация петли в виде отрезка прямой линии в М Положим

qv{x) = -Íbx{v) - v, 7x(t>) - t») (8)

Это функция на группе (М,р) — Г Подставляя (3) и (4) в (8), прямыми вычислениями получаем

qv{x) = qs(x) = -¿((1 + sa)x, (1 + sa)x), (9)

где s = l0{v)

Таким образом, {q0 v € V} — однопараметрическое семейство квадратичных форм на Т Так как t отрицательно определена на Т, то все формы qs положительно определены на Т благодаря (6) Это задает кривую в конусе положительно определенных квадратичных форм на Т, параметризованную s — l0(v) Согласно (8) и (9), перенос начала координат в точку о влечет сдвиг параметра

s > s — soi so = ¿o(ó) (10)

Замена на ít'o, v\/t (соответственно) при любом t > 0 приводит к тем же формулам с Üq, a/t вместо lo, а Это соответствует замене

s —► ts (И)

параметра s Если t < 0, то время обращается Поэтому мы будем рассматривать кривую s —► qs с точностью до сохраняющей ориентацию аффинной замены переменной s

Фиксируем отождествление Г = Rm и Г = Z'" Точнее, выберем линейный изоморфизм i Rm —» Т такой, что iZm = Г Пусть ( , ) —

стандартное скалярное произведение в Rm Согласно (9), форма qs квадратична по s Записывая стандартным образом отвечающую ей форму на Мт, получаем

qs(x) = ((A + 2sB + s2C)z,z) для всех 2 е R"\ (12)

где х = lz € Т

и А, В, С — некоторые симметрические m-матрицы Условимся записывать условие положительной определенности матрицы 5 неравенством S > 0, причем S > 0 будет означать неотрицательную определенность S Обозначим через Рт множество положительных матриц размера т Это однородное пространство группы GL(т, К), действующей в Рт по правилу

S-*XTSX, X е GL(m,R),

где т обозначает операцию транспонирования Инволюция S —► S~l определяет в Рт структуру симметрического пространства Условие

Q(s) = А + 2sB + s2C> 0 для всех s € К (13)

необходимо (но не достаточно) для того, чтобы матричный квадратичный полином Q удовлетворял (12) Из него следует, что А > О, С > О (отметим, что В = С = 0, если а = 0) Поскольку любая пара квадратичных параметризаций параболы связана аффинной заменой переменной, тем самым мы получаем геометрический объект — характеристическую кривую М

Линейная замена переменной z € К"1, заданная вещественной т-матрицей X € CL(m, R), индуцирует ее перемещение в симметрическом пространстве Рт

Q(s) - XTQ(s)X (14)

Будем называть Q(s) характеристическим полиномом М и обозначать через Qm, считая его определенным с точностью до аффинной замены переменной s Будем говорить, что многообразия М = V/T и М ~ К/Г почти изометричны, если М/Г и М/Г изометричны Положим

п = dim М, т = dimT, г = dim R, (15)

k = dim ker а

Набор (п, тп, г, к) будем называть сигнатурой М Можно показать, что сигнатура не зависит от реализации М в форме (1)-(4) Очевидно, эти числа удовлетворяют неравенствам

т + г + 2<п, г + к <т

Следующая теорема показывает, что полное плоское строго причинное унипотентное многообразие, с точностью до причинной изометрии, определяется своей сигнатурой и характеристической параболой

Теорема 2.2. Многообразия М и М, удовлетворяющие условиям теоремы 2 2, причинно изометричны тогда и только тогда, когда их сигнатуры совпадают и

<2м(*) = ХТ<2Й(аз + 13)Х (16)

для некоторых X € вЦш, Щ, а > 0, /3 € К

Замена включения X е СЦт,2) на включение X € ОЬ(тп, Е) дает критерий почти причинной изометричности многообразий рассматриваемого класса

Следующий этап — описание квадратичных полиномов, которые задают характеристическую параболу некоторого многообразия Это проделано за два шага сначала проблема сводится к случаю сигнатуры вида (п, т,г, 0), а потом дается ответ на поставленный вопрос для этой сигнатуры.

Предложение 2.3. Пусть многообразие М имеет сигнатуру (га, т, г, к) Предположим, что к > 0 Тогда матрицу С}м можно преобразованием вида (Ц) сделать блочно-диагональной с блоками размеров к х к и (т — к) х (т — к), где к-блок не зависит от в, а (тп — к)-блок является характеристическим полиномом для многообразия М сигнатуры (га — к, т. — к, г, 0), при этом М почти причинно изометрично произведению М и плоского к-тора Кроме того,

т —к —тапкС (17)

Теорема 2.4. Полином (¿(в) из (18) задает характеристическую кривую некоторого полного плоского строго причинного лоренцева многообразия М сигнатуры (п, т,г, 0) тогда и только тогда, когда п > т + г + 2, выполняется (13) и

Если т = г, то (13) можно заменить более слабым условием А > 0

В силу теоремы 2 2, многообразие однозначно определяется сигнатурой и характеристической кривой Поэтому мы будем классифицировать характеристические кривые, а точнее, квадратичные полиномы, удовлетворяющие условиям (13), (18) и (19), согласно теореме 2 4 Мы опишем квадратичные полиномы с точностью до сопряжения матрицами из СЬ(т,К), что соответствует описанию многообразий рассматриваемого класса с точностью до почти причинной изометрии Это описание, в частности, позволяет найти размерность пространства модулей многообразий с фиксированной сигнатурой а Обозначим последнее через

Теорема 2.5. Пусть а = (п,т,г,0), тг = т + г + 2, г > 0, матрица В имеет вид diag(6j, • ,Ьт), где 0 = &i < < bm = 1 (если т = 1, то bi — 0), a F неотрицательна, положительно определена на любом собственном подпространстве В и rank F = г Каждой такой паре (F, В) соответствует единственное (с точностью до почти причинной изометрии) многообразие М сигнатуры а, имеющее характеристический многочлен

На плотном открытом подмножестве множества пар таких матриц одному и тому же многообразию отвечает лишь конечное число (не более 2п) многочленов вида (20) В частности,

С - В А'1 В > 0, г = rank(C - В А'1 В)

(18) (19)

Ма

Qm(s) = (В2 + F)s2 + 2 sB + I

(20)

dim М.а = mr — — + т — 2

(21)

Накрытия и вложения

Поскольку рассматриваемые нами многообразия имеет естественную аффинную структуру, мы будем рассматривать только аффинные накрытия и вложения Кроме того, для каждой точки определен конус будущего (и, тем самым, ее будущее) Требование, чтобы при накрытиях (вложениях) будущее сохранялось, приводит к необходимости рассмотрения локально конформных накрытий и вложений Имеют место следующие теоремы

Теорема 2.7. Любое локально конформное накрытие и М\ -+ Мг полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий локально гомотетично

•Ц1

Теорема 2.10. Любое конформное вложение и Му-* Мз полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий гомотетично

Очевидно, что любое гомотетичное накрытие (вложение) можно представить в виде композиции изометричного накрытия (вложения) и гомотетии Поэтому задача описания аффинных локально конформных накрытий (вложений) сводится, с помощью теорем 2 7 и 2 10, к задаче описания локально изометричных накрытий (вложений)

Теорема 2.8. Пусть и М' —* М — локально изометрическое накрытие полных плоских лоренцевых строго причинных многообразий Если М = М(Г) = У/Г, то существует подгруппа Г7 С Г такая, что М' изометрично М(Г') = У/Г'

Следствие 2.3. Если существует локально изометрическое конечно-листное накрытие М\ —> Мг, то М\ и Мг почти причинно изомет-ричны

Теорема 2.11. Пусть М = М(«о.«1,Г,а,Г,£) = У/Г, а и М' М — гомотетичное вложение в М полного плоского строго причинного лоренцева многообразия М' Тогда М' может быть реализовано в виде

М' = М (зд,+«/ - ¿¿Ы, 1>>о,г', 1а|г, г',= У/Г

где с — коэффициент гомотетии, Г' — подгруппа в Г, 7" — алгебраическое замыкание Г', у' € (Т' + аТ')х и V' подпространство У такое, что Кад, 1(^1 + г/), Т, аТ С У

Обратное, вообще говоря, неверно, те выбор произвольной подгруппы Г* группы Г и подпространства V', с соблюдением всех условий теоремы, не гарантирует, что естественное отображение V'/Г' —» V/Г, будет вложением (не всегда есть взаимная однозначность)

Третья,глава посвящена описанию причинных структур на полных плоских строго причинных лоренцевых многообразиях Задать причинную структуру — значит определить для каждой точки ее прошлое и будущее

Определение 1.2. Множества

Рр — к(у-С), Fp — k(v + С), где v е к~1(р), будем называть прошлым и будущим (соответственно) точки р € М

Очевидно, Рр и Fp не зависят от выбора точки v б Диффе-

ренциал к проектирует на многообразие М поле параллельных конусов в М„

Ср = dvn(v + С) С ТРМ, v е к-1(р)

Мы опишем некоторые свойства причинной структуры, в частности, дадим ответ на вопрос когда точка многообразия имеет замкнутое прошлое или будущее'

Обозначим через Г алгебраическое замыкание группы Г Согласно предложению 2 9, группа Г изоморфна векторной группе Т Через М обозначим многообразие V/T Теорема 1 2 позволяет рассматривать многообразие М = V/Г, V = R" и Г = tti(M) как расслоение над векторным пространством М со слоем Т/Г Обозначим через ж естественную проекцию 7Г V/Г -> V/T

Определение 3.1. Множества, определенные равенствами

Fp = 7t(F9), Рр = 7Г(Р9) где n{q) = р,

будем называть существенным будущим (соответственно, прошлым) точки р G V/T

Как правило, из текста ясно, рассматриваем ли мы тотальное пространство

М = V/Г или базу расслоения М = V/T Поэтому обычно мы будем

опускать крышку в обозначениях существенных прошлого или будущего Будем считать, что многообразие М — М(уо, ,Т,а, Г) имеет сигнатуру (п,т,г,к)' Выберем в пространстве V базис ео, , еп_1 так, что ьо = ео, VI — е„_1 и лоренцева форма ^ имеет вид

где и = (мо,. ,и„_1) Кроме того, мы можем считать, что Т — линейная оболочка векторов е\, , ето и что Я — линейная оболочка векторов ет+1, , ет+£ Конус будущего в точке v € V — один из двух конусов, заданных неравенством £(ь — и, V — и) > 0 Гиперплоскость ип~\ = уп-\ разделяет два конуса Будем считать, что конус будущего С равен замыканию в V множества {и € V £(и — v, и — у) > 0, ггп_1 > 1^-1}

Следующее предложение следует непосредственно из определений существенных будущего и прошлого

Предложение 3.1. 2Ъчка р 6 М(М) принадлежит будущему (существенному будущему) точки д тогда и только тогда, когда существует х € Г (соответственно, Т) такое, что 7г(у) е и + С, где к(ь) = р, к(и) — д (соответственно (ж о к)(и) — р, (ко к)(и) = д)

Определим подмножества в V

Предложение 3 1 позволяет рассматривать (существенное) будущее не в многообразии М (М), а в пространстве V Очевидно, будущее (существенное будущее) точки и в пространстве V — это Г-орбита (соответственно, Т-орбита) конуса будущего с вершиной в точке и € V.

Группа Т сохраняет гиперплоскости

Точка V принадлежит (существенному) будущему точки и тогда и только тогда, когда « 6 РиП Поэтому описание (существенного) будущего точки и сводится к описанию пересечений Ри П

1=1

Ж, - {у € V : *„(») = «П-1 = 5}

Замечание. Условия вырождения характеристической кривой могут быть представлены следующим образом

С > О, В = О характеристическая кривая — луч,

С — О, В = 0 характеристическая кривая — точка

Случай С — О, В Ф 0 невозможен, так как Qm(s) > 0 для всех s € К

Теорема 3.1. Если характеристическая кривая многообразия M не точка, то существует такое < 0, что для всех точек и, из условия lo(u) > flo(u) < 0J следует незамкнутость будущего (соответственно, прошлого)

Для всех точек и таких, что 1о(и) > 0 (Iq(u) < ) существенное будущее (соответственно, прошлое) замкнуто

Если характеристическая кривая не вырождена, то < 0, если она луч, то — О

В частности, для четырехмерного многообразия характеристическая кривая может быть лишь лучом или точкой (последнее соответствует эллиптическому случаю) Поэтому в неэллиптическом полном плоском строго причинном унипотентном многообразии всегда существует гиперплоскость Wo, характеризующаяся следующим свойством точка имеет замкнутые прошлое и будущее

В четвертой главе дается ответ на вопрос когда полное плоское строго причинное лоренцево многообразие M может быть реализовано в виде G/Г, где G — просто транзитивная группа автоморфизмов Mn, а Г — ее дискретная подгруппа? Ответ довольно прост если (n, m, г, к) — сигнатура многообразия М, то реализация M в указанном виде возможна тогда и только тогда, когда m = r+к Вопрос сводится к следующему когда группу Г можно вложить в унипотентную просто транзитивную группу автоморфизмов Для этого необходимо описание унипотент-ных просто транзитивных действий на пространстве Мп

Унипотентные просто транзитивные действия на пространствах Минковского

Все просто транзитивные группы Ли автоморфизмов М4 были описаны в работе Фрида10 Мы дадим описание просто транзитивных действий

10Fried D Flat Spacetimes // J Diff Geom , vol 26, 1987, p 38S-396

нильпотентных групп Ли на пространствах Минковского всех размерностей9, что позволит ответить на последний вопрос

К изучению локально просто транзитивных аффинных действий приспособлен аппарат левосимметричных алгебр

Определение 1.13. Алгебра g называется левосимметричной, если для всех

х, у, z € g выполняется соотношение

(x,y,z) = (y,x,z), (22)

где (х, у, z) обозначает ассоциатор элементов х, у, z £ g

(х, у, г) = {xy)z - ar(y.z)

Из (22) следует, что для коммутатора [х, у] = ху—ух выполняются аксиомы алгебры Ли, те g Ли-допустима Будем обозначать эту алгебру Ли так же, как и левосимметричную алгебру, при необходимости уточняя, о чем идет речь Левосимметричные алгебры соответствуют локально просто транзитивным аффинным действиям связных групп Ли Каждому такому действию отвечает реализация соответствующей алгебры Ли g аффинными векторными полями

Fx{y) = ху + х,

где произведение в первом слагаемом берется в левосимметричной алгебре Условие (22) равносильно тому, что семейство полей {Fx : х е д} образует алгебру Ли относительно обычной скобки Ли (поэтому последнее можно считать еще одним определением левосимметричной алгебры) Орбита нуля под действием соответствующей группы G (те отвечающей g связной подгруппы группы Ли Aff(g) аффинных преобразований д), очевидно, открыта в д, а стабилизатор дискретен Геодезическая полнота орбиты как многообразия с индуцированной g аффинной структурой, очевидно, равносильна глобальной транзитивности действия

Определение 1.14. Будем говорить, что левосимметричная алгебра g полна, если группа Ли О действует транзитивно на g

'После того, как это описание было получено, автору стало известно о работе Guediri М Compact flat spacetunes // Differential Geometry and its Applications, vol 21, Issue 3, 2004, p 283-295 , в которой другими методами были получены близкие результаты, в частности, теорема 4 2 и, в других терминах, предложение 4 2

Так как д односвязна, то в этом случае С? односвязна и стабилизатор тривиален, т е действие свободно Условие изометричности действия относительно симметричной билинейной формы £ дает дополнительное ограничение операторы левого умножения должны быть ¿-кососимме-тричными

Определение 1.15. Будем называть £-алгеброй левосимметричную алгебру, в которой все операторы левого умножения кососимметричны относительно £

Определение 1.16. Будем называть левосимметричную алгебру 0 ниль-потентной, если в д есть базис, в котором все операторы Ь(х), х £ д, строго верхпетреугольны, условимся называть д абелевой, если Ь = О

Левосимметричные нильпотентные ¿-алгебры находятся во взаимно однозначном соответствии с унипотентными просто транзитивными действиями на пространствах Минковского

Пусть д — вещественное векторное пространство, в котором задана лоренцева форма £ сигнатуры (+, —, , —)

1 Фиксируем изотропный вектор г>о € 0 и вектор г>1 € д такие, что €(г>о, их) = 1 Обозначим

I) - (Его ® )\{х) = £{у0, х)

Из выбора ад и щ следует, что £ отрицательно определена на {)

2 Выберем любой вектор г^ € Ь и произвольный линейный оператор р Ъ —> Ь такой, что р2 — О Пусть я- — ортогональный проектор на Р) в д (он определен корректно, так как £ иевырождена на К^о Ф Шь}) Определим оператор р д —> 1) так

рх = рпхх + \{х)к2

3 Зададим умножение в 0 формулой ху ~ А(у)рх — £(рх, у)ьо

Теорема 4.1. Все алгебры, заданные приведенной выше конструкцией, являются полными нилъпотентными левосимметричными £-алгебрами Любая нилъпотентная левосимметричная I-алгебра полна и может быть построена с помощью этой конструкции

Полные плоские строго причинные унипотентные лоренцевы многообразия вида С/Г

Пусть М = У/Г — полное плоское строго причинное лоренцево многообразие Группа Г унипотентна Вопрос о представлении М в виде б/Г очевидным образом сводится к вопросу о вложимости Г в какую-нибудь просто транзитивно и аффинно действующую на У группу С — подгруппу группы Паункаре Можно считать, что (7 — унипотентная алгебраически замкнутая группа Описание полных нильпотентных лево-симметричных ¿-алгебр (теорема 4 1) позволяет найти все унипотентные просто транзитивные на пространствах Минковского группы Ли <7; зная их, можно ответить на вопрос о возможности вложения Г в какую-нибудь просто транзитивную группы Ли

Теорема 4.4. Полное плоское строго причинное унипотентное лоренцево многообразие М сигнатуры (п,т,г,к), может быть реализовано в виде С/Г тогда и только тогда, когда т = г + к

Благодарности

Автор благодарен своему научному руководителю Гичеву Виктору Матвеевичу за постановку задач, а также постоянные интерес и внимание к работе

Работы автора по теме диссертации

[1] Мещеряков Е А. Классификация плоских полных строго причинных лоренцевых многообразий // Вестн Ом ун-та , №3, 2007, с. 6-9.

[2] Мещеряков Е А Накрытия полных плоских строго причинных лрен-цевых многообразий // Вестн. Ом. ун-та, №2, 2008, с. 11-16.

[3] Мещеряков Е А О плоских полных строго причинных лоренцевых многообразиях / / Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2007, ISBN 5-7691-1490-8. С 50-54

[4] Гичев В М и Мещеряков Е.А О геометрии плоских полных лоренцевых строго причинных многообразий // Сиб матем журнал, т. 48, №1,2007, с 75-88 (Мещерякову Е А принадлежит половина результатов)

Результаты разделов 2 2, 2 3 и 4 1 получены совместно с В М Гиче-вым при равном вкладе участников

Лицензия ЛР № 020074 Подписано в печать 23 07 08 Формат 60x84/16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 1,25 Уч -изд л 1,08 Тираж 100 экз Заказ 318 07 08

Издательство ОмГПУ, 644099, Омск, наб Тухачевского, 14, к 254

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия.

1.2 Левосимметричные алгебры.

2 Геометрия

2.1 Основная конструкция.

2.2 Характеристическая кривая.

2.3 Классификация с точностью до почти причинной изометричности

2.4 Классификация маломерных многообразий

2.5 Накрытия и вложения.

3 Причинные структуры и порядок

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Четырехмерный случай.

3.3 Случай произвольной размерности.

4 Аффинные просто транзитивные действия на пространствах Мин-ковского

4.1 Просто транзитивные унипотентные действия на пространствах Мин-ковского.

4.2 Нильпотентные левосимметричные ^-алгебры как алгебры Ли.

4.3 Полные плоские строго причинные унипотентные лоренцевы многообразия вида С/Г

Полные плоские лоренцевы многообразия могут быть определены в терминах дифференциальной геометрии как геодезически полные лоренцевы многообразия с нулевыми кривизной и кручением. Они характеризуются тем, что имеют атлас, в котором отображения перехода принадлежат группе Пуанкаре "Рп. Полнота означает, что любое аффинное отображение отрезка I в М, где I С Ж, продолжается до аффинного отображения М —М. Другими словами, это полные аффинные многообразия с согласованной лоренцевой метрикой. Все многообразия этого класса могут быть реализованы в виде М — Мп/Г, где — п-мерное пространство-время Минковского и Г — дискретная подгруппа группы Пуанкаре Тп (группа аффинных автоморфизмов М„), действующая свободно и собственно разрывно. В этом случае Г = (М). Фиксируя начало координат о, можно отождествить Мп с набором (V, £), где V — вещественное векторное пространство, £ — лоренцева форма сигнатуры (+,-,.,-).

В статье [15] были описаны, с точностью до конечных накрытий, полные плоские причинные лоренцевы многообразия, удовлетворяющие следующему условию: прошлое и будущее любой точки р & М замкнуто в некоторой окрестности этой точки. Следуя [15], будем называть такие многообразия строго причинными. Точнее, в [15] была дана конструкция группы Г, позволяющая построить все такие многообразия с точностью до конечных накрытий. В частности, было показано, что У допускает разложение У — Уо 0 У\ такое, что Г действует на Уо линейными ортогональными преобразованиями, £ отрицательно определена на Уо, а У\/Г — полное плоское строго причинное лоренцево многообразие. При этом Г содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную Zn, а ортогональное представление Г в Уо можно выбирать произвольно. Таким образом, задача сводится к случаю Уо = 0, что и предполагается в дальнейшем.

Как показано в настоящей работе, случай Vo = 0, с точностью до конечных накрытий, характеризуется свойством унипотентности группы голономии М (теорема 2.1). При этом упомянутое выше действие группы Г можно построить, зная лишь группу голономии. Условимся для краткости называть полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия с унипотентной группой голономии унипотентными. В дальнейшем по умолчанию предполагается, что М унипотентно.

Унипотентному многообразию сопоставляется набор четырех неотрицательных целых чисел (сигнатура) и кривая (парабола, которая может вырождаться в луч или точку), расположенная в конусе неотрицательных матриц. Показано, что многообразие можно задать этим набором (парабола рассматривается с точностью до некоторых преобразований конуса). Описаны накрытия и вложения унипотентных многообразий. Исследуется причинная структура на них, т.е. прошлое и будущее точек многообразия. Охарактеризованы унипотентные многообразия, допускающие реализацию в виде Н/Т, где Н — группа Ли, действующая просто транзитивно на пространстве Минковского. Для этого описаны просто транзитивные действия нильпотентных групп Ли на пространствах Минковского.

Рассматриваемый класс многообразий лежит в пересечении двух довольно хорошо изученных областей геометрии: полных аффинных многообразий (см. обзоры [4] и [12]) и структур причинности в лоренцевых многообразиях; главным стимулом к изучению последних является общая теория относительности (см. например [9, 13]). К их общей части относятся некоторые работы хроногеометрической школы А.Д. Александрова (ссылки можно найти в [19]), а также статьи [8, 14, 15].

Полные аффинные многообразия изучались в 60-х годах в связи с вопросом Ауслендера: верно ли, что фундаментальная группа полного компактного плоского аффинного многообразия является виртуально разрешимой? В общем случае вопрос остался без ответа, но при некоторых условиях на многообразия ответ положительный (см. [4, 12]). Если

М некомпактно, то 7Гх(М) может быть свободной неабелевой. Пример был построен Маргулисом в [21].

В работе Фрида [14] вопрос Ауслендера рассматривался для лорен-цевых компактных многообразий размерности четыре; в [14] описаны двухконцовые причинные многообразий, которые могут быть реализованы в виде Н/Г, где Н — подгруппа группы Пуанкаре, действующая просто транзитивно на Мп, а Г — её дискретная подгруппа.

Причинные многообразия из работы [14] не являются строго причинными. С другой стороны, нетривиальные строго причинные полные плоские лоренцевы многообразия не являются глобально гиперболическими. Последний класс многообразий довольно хорошо изучен. К тематике этой работы ближе всего статья Барбо [8], где исследовались плоские лоренцевы (не обязательно полные) глобально гиперболические многообразия. Из полученных в ней результатов (как и из [15]), следует, что нетривиальных полных плоских лоренцевых глобально гиперболических многообразий не существует. Таким образом, среди плоских лоренцевых многообразий рассматриваемый в данной работе класс — строго промежуточный между классами причинных и глобально гиперболических многообразий.

В статье [15] приведен простейший из всех возможных нетривиальный пример строго причинного полного плоского лоренцева многообразия М = МЦ/Г, где Г = Оно обладает следующим свойством. М представляется в виде дизъюнктного объединения М+ и М° и М~, где М+ и М~ открыты, а М° замкнуто (более того, М° — аффинная гиперплоскость). Для любой точки р Е М+ её будущее Ер замкнуто, а прошлое Рр не замкнуто и содержит светоподобную прямую. Кроме того, М допускает обращающий время инволютивный автоморфизм, переставляющий М+ и М~ (таким образом, будущее точки из М~ не замкнуто). Для точек из прошлое и будущее замкнуты и не содержат светоподобных прямых.

В работе [15] показано, что фундаментальная группа строго причинного полного плоского лоренцева многообразия виртуально абелева. Поэтому М допускает конечное накрытие произведением тора и евклидова пространства. Накрывающее пространство может быть реализовано как топологически тривиальное векторное расслоение над М^/Г, где к < п и пространство Минковского М& вложено в Мп как аффинное Г-инвариантное подпространство, Г унипотентна в М/-, а группа голо-номии определяет линейное представление Г в слое. Это позволяет редуцировать проблему к случаю унипотентной группы Г. С точностью до конечных накрытий есть два типа многообразий: эллиптические и параболические. Первый состоит из многообразий, допускающих рима-нову метрику с аффинными картами. Другими словами, линейные части преобразований из Г сохраняют некоторую положительно определенную квадратичную форму; тогда Г содержит подгруппу конечного индекса, которая действует параллельными переносами на пространственно-подобные векторы. Для многообразий второго типа (параболических), Г — решетка в векторной группе Т, действие которой в Мп свободно и квадратично на Т.

Данная работа продолжает исследования, начатые в [15], а также содержит более полную информацию по многообразиям рассматриваемого класса. Она состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Первая глава содержит определения и предварительные сведения по строению полных плоских строго причинных лоренцевых многообразий.

Вторая глава посвящена геометрии таких многообразий. В ней приводится конструкция, по которой могут быть построены все унипотентные (т.е. с унипотентной группой голономии) полные плоские строго причинные лоренцевы многообразия, а также дается частичная их классификация. Каждому многообразию сопоставляется набор из четырех натуральных чисел, называемый сигнатурой, и парабола в конусе положительно определенных матриц определенного размера (парабола может вырождаться в луч или точку). Дается также полная классификация многообразий с точностью до почти причинной изометрии. Для малых размерностей (четыре или пять) приводиться алгоритм, позволяющий сказать когда два многообразия причинно изометричны. Любое конечнолистное аффинное накрытие многообразий рассматриваемого класса индуцируется накрытием торов. Доказано, что произвольное конформное аффинное накрытие является гомотетичным. Каждое гомотетичное накрытие можно представить в виде композиции гомотетии и изометричного накрытия. Таким образом, классификация конформных аффинных накрытий сводится к описанию изометричных накрытий. Если М = У/Г — полное плоское строго причинное многообразие, которое локально изометрично накрывается многообразием М', то М' = У/Г', где Г' — подгруппа Г. Аналогична ситуация с вложениями: произвольное конформное вложение гомотетично. Если М' —> М — гомотетичное вложение, то многообразие М' может быть реализовано в виде У/Г', где V' — подпространство У и Г' — подгруппа Г (впрочем, Г' — не произвольная подгруппа). Основные результаты этой главы были опубликованы в [30, 32].

Третья глава посвящена описанию причинной структуры полного плоского строго причинного лоренцева многообразия. Понятие причинной структуры вводится в [9]. Не вдаваясь в подробности, можно считать, что задание причинной структуры на многообразии — это определение прошлого и будущего произвольной точки. В главе вводится понятие существенных прошлого и будущего и описывается их строение. Был получен критерий замкнутости (существенных) прошлого и будущего (оказалось, что, как правило, хотя бы одно из них не замкнуто). Установлена связь между характеристической кривой многообразия и свойством (существенного) будущего (прошлого) быть незамкнутым: если характеристическая парабола не вырождена, то для любой точки многообразия либо (существенное) прошлое, либо (существенное) будущее не замкнуто. Если характеристическая кривая вырождается в луч, то существует аффинная гиперплоскость, точки которой характеризуются наличием замкнутых прошлого и будущего; если она вырождается в точку, то все точки многообразия имеют замкнутые прошлое и будущее (эта ситуация отвечает эллиптическим многообразиям).

Основная цель четвертой главы состоит в ответе на вопрос: когда многообразие рассматриваемого класса можно представить в виде однородного пространства Н/Т, где Н — просто транзитивная на подгруппа группы Пуанкаре? Для этого в ней приводиться описание просто транзитивные действия нильпотентных групп Ли на пространствах Минков-ского. Приведенное описание было получено независимо от работы [16], где были описаны просто транзитивные действия всех групп Ли на пространствах Минковского, в том числе и нильпотентных. Поэтому в работу включено полученное описание. При построении описания использовался аппарат левосимметричных алгебр. Понятие левосимметричной алгебры и этот термин были введены Винбергом в статье [27] в связи задачей классификации выпуклых однородных конусов (задача была сведена к описанию аффинных просто транзитивных действий групп Ли на таких конусах); согласно обзору [10], эквивалентный алгебраический аппарат определялся многими авторами (включая Кэли в 1890 году). Лево-симметричные алгебры находятся во взаимно однозначном соответствии с аффинными действиями групп Ли, для которых орбита точки общего положения открыта, а ее стабилизатор дискретен. Просто транзитивные группы отвечают алгебрам, в которых все операторы правого умножения нильпотентны (их называют полными). Сохранение группой лоренцевой формы равносильно кососимметричности операторов левого умножения. В монографии Вольфа [3] приведена классификация просто транзитивных действий на лоренцевых многообразиях размерности три (см. также [7]). В размерности четыре все такие действия описаны Фридом в работе [14], в произвольной размерности это сделано Гуедири в работе [16]. В четвертой главе охарактеризованы полные левосимметричные алгебры, отвечающие нильпотентным группам, в которых операторы левого умножения кососимметричны относительно лоренцевой формы. Это позволяет дать критерий возможности реализации полного плоского строго причинного многообразия в упомянутом выше виде Н/Г.

Автор благодарен своему научному руководителю Гичеву Виктору Матвеевичу за постановку задач, а также за постоянный интерес и внимание к работе.

1. Винберг Э.Б., Горбацевич В.В. и Онищик A. JL Строение групп Ли и алгебр Ли // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления, том 41, 1989, с. 5-258

2. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. Москва: Наука, 1982, 480 с.

3. Abels Н. Properly Discontinuous Groups of Affine Transformations // A Survey, Geometriae Dedicata, vol. 87, 2001, p. 309-333.

4. Andersson L., Barbot Т., Benedetti R., Bonsante F., Goldman W. M., Labourie F., Scannell K. P. and Schlenker J. M. Notes on a paper of Mess // Geometriae Dedicata vol 126, №1, 2007, p. 47-70.

5. Auslander L. Simply transitive groups of affine motions // American Journal of mathematics, vol. 99. №4, p. 809-826.

6. Auslander L. and Markus L. Flat Lorentz 3-manifolds // Amer. Math. Soc. Memoir, 1969.

7. Barbot T. Globally hyperbolic flat space-times // Journal of Geometry and Physics №53, 2005, p. 123-165.

8. Beem, J.K. and Ehrlich, P.E. Global Lorentzian geometry // Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 2nd ed., vol. 202, Marcel Dekker, New York, 1996.

9. Bürde D. Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics // CEJM, №4(3), 2006, p. 323-357.

10. Burde D. Simple left-symmetric algebras with solvable Lie algebra // Manuscripta mathematica, vol. 95. 1998, p. 397-411.

11. Charette V., Drumm, T., Goldman, W. and Morill M. Complete Flat Affine and Lorentzian Manifolds // Geometriae Dedicata, vol. 97, 2003, p. 187-198.

12. Ellis G. and Hawking S. The large scale structure of space-time // Cambridge Monographs on Mathematical Physics, No. 1, Cambridge University Press, London, New York, 1973.

13. Fried D. Flat Spacetimes // J. Diff. Geom., vol. 26, 1987, p. 385-396.

14. Gichev V.M. and Morozov O.S. On Flat Complete Causal Lorentzian Manifolds // Geometriae Dedicata, vol. 116, 2005, p. 37-59.

15. Guediri M. Compact flat spacetimes // Differential Geometry and its Applications, vol. 21, Issue 3, 2004, p 283-295.

16. Guediri M. On the geodesic connectedness of simply connected Lorentz surfaces // Annales de la faculté des sciences de Toulouse Ser. 6, vol. 6, №3, 1997, p. 499-510.

17. Guediri M. On the geodesic connectedness of simply connected Lorentz surfaces // Annales de la faculté des sciences de Toulouse Ser. 6, vol. 10, №1, 2001, p. 33-34.

18. Guts A.K. Semigroups in foundations of geometry and axiomatic theory of space-time // in: Semigroups in Algebra, Geometry and Analysis, (editors K.-H. Hofmann, J.D. Lawson, E.B. Vinberg), Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1995, p. 56-76.

19. Helmstetter J. Radical et grouppe formel d'une algebre symetrique a gauche // Ann. Inst. Fourier., Grenoble, vol. 29, 1979, p. 17-35.

20. Margulis G. Free properly discontinuous groups of affine transformations // Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 272, 1983, p. 937-940.

21. Margulis G. Complete affine locally flat manifolds with a free fundamental group //J. Soviet Math., vol. 134, 1987, p. 129-134.

22. Mess G. Lorentz spacetimes of constant curvature // Geometriae Dedicata, vol 126, №1, 2007, p. 3-45.

23. Milnor J. On fundamental groups of complete affinely flat manifolds // Adv. in Math., vol. 25, 1977, p. 178-187.

24. Romero A. and Sanchez M. Projective Vector Fields on Lorentzian Manifolds // Geometriae Dedicata vol 93, №1, 2002, p. 95-105.

25. Segal Dan. The structure of complete left-symmetric algebras // Math. Ann., vol. 293, 1992, p. 569-578.

26. Vinberg E.B. Convex homogenous cones // Transl. Moscow Math. Soc., vol. 12, 1963, p. 340-403.

27. Wolf, J.A Spaces of constant curvature // University of Californnia, Berkley, California, 1972.Публикации по теме диссертации:

28. Мещеряков Е.А. Классификация плоских полных строго причинных лоренцевых многообразий // Вестн. Ом. ун-та., №3, 2007, с.

29. Мещеряков Е.А. Накрытия полных плоских строго причинных лренцевых многообразий // Вестн. Ом. ун-та., №2, 2008, с. 11-16.

30. Мещеряков Е.А. О плоских полных строго причинных лоренцевых многообразиях // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2007, ISBN 5-7691-1490-8. С. 50-54.

31. Гичев В.М. и Мещеряков Е.А. О геометрии плоских полных лоренцевых строго причинных многообразий // Сиб. матем. журнал, т. 48, №1, 2007, с. 75-88.6.9.