Лоренцева функция расстояния и причинность тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

1. Лоренцева функция расстояния и причинность

1.1. Основные понятия и определения.

1.2. Незамкнутые множества причинной структуры

1.3. Условия причинности и функция расстояния.

2. Бесконечные расстояния в пространстве-времени

2.1. Примеры пространств с бесконечными расстояниями.

2.2. Классификация причин возникновения бесконечных значений функции расстояния.

2.3. Пространства лоренцева типа.

2.4. Наглядные образы и физические отождествления

3. Отображения пространства-времени, сохраняющие его причинную структуру

3.1. Необходимые сведения

3.2. Гладкие и хронологические отображения пространств

3.3. Физические интерпретации

Диссертация посвящена изучению причинной структуры так называемых пространственно-временых (лоренцевых) многообразий, а так же изучению поведения лоренцевой функции расстояния как на некоторых конкретных типах лоренцевых многообразий (а именно, на цилиндрах) , так и на пространственно-временных многообразиях произвольного типа. Особое внимание обращено на выявление связей между поведением лоренцевой функции расстояния и причинной структурой лоренцевого многообразия. В связи с этим наиболее подробно рассмотрено влияние такого свойства лоренцевой функции расстояния, как ее конечность во всем классе конформных друг другу метрик на причинную структуру этого лоренцего многообразия. Кроме того в диссертации изучены вопросы, касающиеся условий, которые необходимо налагать на отображение двух лоренцевых многообразий, а так же на причинную структуру этих многообразий с тем, чтобы можно было делать утверждение о гладкости упомянутого отображения.

Результаты данных исследований можно отнести прежде всего к лоренцевой геометрии. Лоренцева геометрия, как самостоятельный раздел современной математики, насчитывает относительно небольшой срок существования. Одним из фундаментальных трудов, заложившим основы формирования этого предмета, без сомнения можно считать книгу С. Хокинга и Дж. Эллиса [2]. Именно в этой работе были систематизированы известные к тому времени результаты, касающиеся математических моделей пространства-времени, а так же был разработан новый математический аппарат, в рамках и с помощью которого были получены некоторые интересные результаты. Вторым фундаментальным трудом по этой тематике является книга Дж. Бима и П. Эрлиха [1], в которой изложение результатов ещё в большей степени систематезировано. Основной мотив этой работы заключается в геометризации исследуемых про-блемм. Здесь следует отметить, что изначально проблеммы, исследуемые в лоренцевой геометрии, относились скорее к прикладным вопросам теории пространства-времени и космологии и были тесно связаны с некоторыми разделами теоретической физики. Строгий подход с точки зрения геометрии к упомянутым вопросам и представляет собой предмет исследования в лоренцевой геометрии.

Можно считать, что теория причинности является самостоятельным предметом, однако так или иначе она пронизывает все разделы лоренцевой геометрии, являясь для всех исследуемых здесь проблемм как бы основным фоном.

Лоренцева функция расстояния, построенная для лоренцевых многообразий по аналогии с римановой функцией расстояния для римановых многообразий, представляет собой универсальное средство для исследования в лоренцевой геометрии вообще в теории причинности в частности и, соответственно, находит здесь широкое применение.

Вопросами, касающимися теории причинности в разное время занимались А. Д. Александров [б], Р. И. Пименов [7], Г. Буземана [8], Е. Кронхеймер [9], Б. О'Нейл [10], С. Хокинг [2], Р. Пенроуз [3], [13], Дж. Бим [1], Д. Маламент [5] и другие. Исследования, касающиеся связи причинной структуры пространства-времени с поведение лоренцевой функции расстояния, проводились,например, Дж. Бимом, П. Эрлихом [1], С. Мизнером [16]. Проблеммами, связанными с замкнутыми причинными кривыми, занимались С. Хокинг [2], С. Мизнер [16], [18]. Отображения одного пространства-времени на другое, определенным образом сохраняющие причинную структуру, изучали Д. Маламент [5], Дж. Бим [14], У. Вайс и Дж. Аколиа [15], А. Левичев [11]. Кроме того, подобные вопросы затрагиваются в работах [12], [27], [28].

В диссертации выделен некоторый класс пространств, для которого установлена связь между причинной структурой пространства-времени и его топологическим строением; найден критерий, устанавливающий условия, когда причинное пространство-время является глобально гиперболическим; найдено условие, определяющее непрерывность лоренцевой функции расстояния, определенной на причинном пространстве-времени. Далее, выделены основные типы пространств,являющихся цилиндрами, на которых лоренцева функция рассстояния может принимать бесконечные значения. Кроме того, получены новые условия, налагаемые на причинную структуру двух пространств и на свойства отображения этих пространств, достаточные для того, чтобы это отображение являлось гладким конформным преобразованием.

Диссертация состоит из введения и трёх глав. Теоремы нумеруются цифрами, первая из которых - номерглавы, вторая - номер теоремы внутри главы. Аналогично нумеруются леммы, следствия и примеры.

1. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир, 1985.

2. Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977.

3. Пенроуз Р. Структура пространств а-времени. М.: Мир, 1972.

4. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М.: Мир, 1981.

5. Malament D. В. The class of continuous timelike curves determines the topology of spacetime // J. Math. Phys. 1977. V. 18, N 7. P. 1399-1404.

6. Александров А. Д. Отображения упорядоченных пространств // Тр. МИАН им. В.А.Стеклова. 1972. Т.128. С.3-21.

7. Пименов Р. И. Пространства кинематического типа // Записки научных семиаров ЛОМИ. 1968. Т.6. С.3-496.

8. Busemann Н. Time-like spaces // Dissertationes mathematicae. 1967. N 53. P.5-50.

9. Kronheimer E. H., Penrose R. On the structure of causal Spaces // Proc. Camb. Phil. 63 (1967), P. 481-501.

10. О'Neil B. Semi-riemannian Manifolds // Academic Press. New York, 1967.

11. Левичев А. В. Задание конформной геометрии лоренцева многообразия его причинной структурой // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, N 6. С. 1301-1305.

12. Kim J. Н. Homothetic maps of distinguishing space-times // Bull. Austral. Math. Soc., V. 42 (1990), P. 483-486.

13. Penrose R. Techniquess of differential topology in relativity // Philadelphia: SI AM Publication, 1972.

14. Beem J. K. Homothetic maps of the space-times distance function and differentiability // Gen. Relativity Gravitation, V. 9 (1978), P. 793-799.

15. Vyas U. D., Akolia G. M. Chronal isomorphism ( Gen. Relativity Gravitation, V. 16 (1984), P. 1045-1051.

16. Misner C. W. Taub-NUT space as counterexample to almost anything in Relativity and Astrophysics // Amer. Math. Soc. ed. J. Ehlers, (1967), P. 160-169.

17. Шаламова H. Л. Однородные порядки в аффинном пространстве. Омск: ОмГУ, 1995.

18. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж., Гравитация: В 3 Т. М.: Мир, 1977.

19. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология: математические образы в реальном мире. М: МГУ, 1992.

20. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М: МГУ, 1980.

21. Дубровин Б. Н., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М: Наука, 1979.

22. Рабинович Б. В. О гомотетических отображениях лоренцева многообразия // Мат. заметки. 1990. Т. 48, N 1. С. 149-151.

23. Романов А. Н. Лоренцева функция расстояния и причинность // Вестник Омского Униврситета. 1997. N 1. С. 20-22.

24. Романов А. Н. Гладкие струкруры пространств а-времени // Международная конференция по анализу и геометрии, посвященная 70-летию академика Ю. Г. Решетняка. Тезисы докладов. Новосибирск, 1999. С. 24-25.

25. Романов А. Н. Хронология и лоренцева функция расстояния II Математические структуры и моделирование. 1999. Омск: ОмГУ. Вып. 4. С. 63-68.

26. Романов А. Н. Лоренцево расстояние и нарушение причинности II Вестник Омского Униврситета. 1999. N 4. С. 29-31.

27. Романов А. Н. Бесконечные лоренцевы расстояния в теории причинности // Международная конференция Геометрия и приложения. Тезисы докладов. Новосибирск, 2000. С. 76.

28. Романов А. Н. Лоренцева функция расстояния на цилиндрических многообразиях // Математические структуры и моделирование. 2001. Омск: ОмГУ. Вып. 8. С. 15-17.

29. Романов А. Н. Лоренцева функция расстояния на цилиндрах Международный конгресс женщин-математиков. Тезисы докладов. Красноярск, 2002. С. 54.

30. Романов А. Н. Функция расстояния на многообразиях лоренцева типа // Четвертый Конгресс по прикладной и индустриальной математики "ИНПРИМ-2000" . Тезисы докладов. Новосибирск, 2000. С.73.

31. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: В 2 Т. М.: Наука, 1981.

32. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ М.: Наука, 1967.

33. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1982.

34. Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: Физматгиз, 1962.

35. Hicks N. J. Notes of Differential Geometry. M.: Мир, 1982.