Квазиклассические методы в квантовой космологии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

НЛУЧИО-ИССЛЕДОПЛТЕЛЬСКИН ЦЕНТР ПО ИЗУЧЕНИЮ С130ПСТВ ПОВЕРХНОСТИ II ВАКУУМА

•Г 5 ОД

На правах рукописи

_ ц рс"

О $ , и» 4 4 {. . . ;

УДК 530.12:530.51-530.145 МИШАКОВ Игорь Владимирович

КВАЗПКЛАССПЧЕСКПБ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ КОСМОЛОГИИ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москпа 1994

Работа выполнена на кафедре физики для естественных факультетов Московского педагогического государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. II. ПОНОМАРЕВ

О ф и ц и а л ьиые 01111011с и т ы:

доктор физико-математических паук, профессор Д. В. ГАЛЬЦОВ,

кандидат физико-математических наук В. Д. ИВАЩУК

Ведущая организация: Томский Государственный Университет.

Защита состоится 1994 г. в ^ча-

сов на заседании специализированного совета К 041.07.02 при 11ИЦ11В н:о адресу: г. Москва, ул. М. Ульяновой, д. 3, ¡корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПИЦПВ.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук М. И. КАЛИНИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы. Волновая функция Вселенной является основным объектом изучения квантовой космологии. Она удовлетворяет эволюционному уравнению Уилера-ДеВитта и определяет квантовую динамику Вселенной как целого. Наибольший интерес представляет основное квантовое состояние, для конкретной форма которого в последнее десятилетие был сделан ряд, предположений /Хокинг 1982, Хартл и Хокинг 1983; Внле-нкщ 1982/.

Хартл и Хокинг предположили рассматривать основное еос- • тояние Вселенной в форме континуального интеграла по компактным евклидовым многообразиям без границы и по всем рэгуля]^ jfflM материальным полям от exp I), где I евклидово действие -, теории. Анализ такой волновой функции в рамках ВКБ приближения показывает, что она описывает семейство инфляционных ' вселенных, квантовые материальные поля в которых стартуют из области космологического туннелирования в состоянии евклидова вакуума /Лафлаш 1987/ и далее в процессе эволюции приводят к современному состоянию Вселенной /Халливелл и Хокинг 1985/.

Несмотря на всю привлекательность этой схемы, волновая функция Хартла-Хокинга имеет в своей оригинальной трактовке ряд принципиальных трудностей /Вайнберг 1989/. Таковой является ее ненормируемость в квазиклассическом приближении /Хокинг 1984/, что свидетельствует об отсутствии надежной вероятностной интерпретации предложенной теории.

Барвинским /1993/ был предложен унитарный подход к квантовой космологии, где квантовая динамика Вселенной рассматривается на основе динамики физических (АДМ) переменных теории в пространстве-времени с лоренцевой сигнатурой. Органическое соединение такого подхода со схемой Хартла-Хоквдг^ позволило получить /Барвинский и Каменщик 1990/ космологическую Функцию распределения, удовлетворяющую критериям унитарности в лоренцевом секторе теории и ковариантности в классически запрещенном евклидовом секторе /Барвинский й Ка-

монщик 1993/. Процесс роадения лорвнцвва мира описывается математичоски с помощью процедуры аналитического продолжения из евклидовой в лоренцову область. Необходимость такого аналитического продолжения следует из существования каустики (огибающей) семейства классически евклидовых экстремалей.

Выражение для одаопотловой функции распределения тупшли- ' рущих геометрий, удовлетворяющих граничным условиям Хяртла-Хокинга /Барвинский, Камонщик 1990/ било шлучено для вощэст-веннозначных половых функций, что значительно су »пот класс применимых к такой схеме космологических моделей.

Целью работа является обобщение результата Барвинского-* Каменщика /11590/ на случай комплексных геометрий с соответствующей модификацией закона аналитического продолжения. В качество приложения рассматривается модель хаотической инфляции, управляемой массивным самодействующим скалярным полом с неминимальной связью. Проводятся однопотлевно вычисления для физических поремошшх материальных полей, трактуемых как возмущения на овклидовом компактном многообразии с краем, представляющие как чисто математический интерес, так и имеющих важное значение для проверки критерия нормирумости и наличия инфляционного пика в модели хаотической инфляции.

Научная новизна. Получен закон двойного аналитического продолжония 1юмплексшх гоомотрий из евклидова в лоренцев сектора квантовой гравитации и вычислены соответствующий поправки к квантовой функции распределения вещественных reo• метрий.

В модели хаотической mjjimum с массивным самодойстьуи-ыим скалярным иолом с неминимальной связью получены приближенны о (в р.')М!<чх построенной по обратным стогпням скалярного поля теории возмущений) р»иония евклидовых уравнений двию -ния, удовлетворяемо краевым условиям Хяртлп Хокинга. Подробно исследованы свойства каустики в мипис^юрлрогтранстпи и показано, что нарушение БКП приближения на ней окпикалонт но присутствию грибовских копий. Напучены критерии Hojwi'pye мости и наличия инфляционного пика, определяемы" не толы;->

параметрами теории, но и материальным содержанием Вселенной. Исследованы нерегулярные особенности гравитационного ин-стантона - 4-сфоры, возникающие в окрестности экватора в результате скачка первых производных материальных полей, приводящего к необходимости комплексификации экстремалей в евклидовой области путем аналитического продолжения в комплексную плоскость начального значения скалярного поля, которое является параметром конгруэнции этих экстремалей. Такая ком-плексификация является логическим следствием закона двойного аналитического продолжения и позволяет гладко сшить комплексные евклидовы экстремали на каустике с комплексными лорен-цевыми экстремалями, полученными в результата аналитического продолжения параметра евклидова времени в комплексную плоскость.

-Вычислены значения С(0) для физических компонент материальных полой методом Оазисных функций /Барвинский, Камен- , щик, Кармазин 1992/ на многообразии представляющем собой часть четырехмерной сферы, ограниченной 3-сферой. Полученные результаты представляют собой обобщение многочисленных результатов других авторов /Шляйх 1985, Лоуко 1988 и др./ наi случай искривленного многообразия с краем. Обсуждается irpotfv лема несоответствия полученных результатов с ковариагегашш результатами Брансона и Дкилки /1990/, Мосса и Полетти /1990/. Данная проблема разрешается для дираковских спиноров с ненулевой массой на многообразии, представляющее- собой часть плоского пространства, ограниченного двумя кшпдантри-ческими сферами.

Практическая ценность. Полученные в диссертаилззнвой ра-Ооте результаты могут быть применены в поиске наиболее вероятных параметров, обуславливающих инфляционную- дшамику Вселенной. Несомненный интерес представляет их сразнеиив с экспериментальными данными инфляционной космологии, полученными в сяэте недавнего открытия анизотропии реликтового излучения.

Результаты представляют также теоретич^гкуп ценность в разработке новых методов в квантовой гравитации.

-а -

Основные положония, выносимые на защиту.

1. Для описания Тшантового рождения лоренцевой Вселенной из состояния евклидова вакуума необходимо применять закон двойного аналитического продолжения, состоящего в продолжении в комплексные плоскости временного параметра и полевых переменных.

2.Получащиеся в результате такого аналитического продолжения шише добавки к классическим вещественным экстремалям дают вклад в квантовую функцию распределения в виде положительно определенной квадратичной формы, взятой со знаком минус в показателе экспоненты.

3.Волновая функция Хартла-Хокинга в представлении фши-ческих степеней свободы однородных мод является нормируемой и обладает максимумом в модели хаотической инфляции.

4.Огибающая евклидовых классических экстремалей

а Соответствует поверхности квантового рождэния лоренцевой Вселенной из евклидовой области;

б)является линией в минисуперпространстве, на которой гладко сшиваются комплексифицированные с помощью закона двойного аналитического продолжения лоренцевы и евклидовы экстремали;

в)на ней нарушается ВКБ-приближение;

г)представляет собой место присутствия проблемы Грибова.

5.Полученные значения С(0) для материальных полей на

части 4-сферы, ограниченной 3-сферой совпадают в плоском пределе с результатами, полученными ранее другими авторами

6.Одной из причин несовпадения полученных результатов с ковариантными результатами является сингулярное поведение (3+1)-разбиения в окрестности начала координат для многообразий, рассматриваемых в евклидовой квантовой гравитации.

Аппробация работы. Основные результата диссертационной работы доложены на семинаре по квантовой гравитации на кафедре теории относительности и гравитации Казанского Государственного Университета, Всероссийской гравита;шонной конференции /Пущюю,1993/, научном семинаре НИЦПВ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано Б печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация, состоящая из введения, трех глав и заключения, изложена на 123 страницах компьтерного текста и графики, содержит 7 рисунков. Список цитируемой литературы содержит НО наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

■ ~ -Во введении обоснована актуальность избранной темы, сформулирована основная цель работы и ее практическая цен- . ность, а такта положения, выносимые на защиту, дана краткая характеристика отдельных глав диссертации. Проведен краткий обзор рэСот по квантовой гравитации и космологии, близких к теме диссертации.

В первой главе получен вклад мнкмых поправок к классическим евклидовым и лоронцевым экстремалям в квантовую функцию распределения, полученной из волновой функции Хартла-Хоккнга в представлении физических степеней свобода, которые расщеплены на коллективные однородные моды, описнвапцне классический фон и неоднородные моды, рассматриваемые как возмущения на зтом фоне. Получен закон двойного аналитического продолжешт, позволяющий гладко сшить комплекснозначше евклидовы и лоренвдвы экстремали.

На примера модели хаотической инфляции, управляемой массивным сямодействущим скалярным полом с неминимальной связью проведет! конкретные (в рамках построенной теории возмущений) вычисления. Получены критерии нормируемости волновой функции и наличия шгфляциогатого пота. Подробно исследованы свойства каустики евклидовых траекторий.

В первом ппрпгртфо получено оддапетяовов выражение для

-в -

функции Хартла-Хокинга в представлении АДМ переменных. Используя метод коллективны* координат, предложенный .еще Бэнксом /1973/ и развитый в работах Халливелла и Хокинга /1985/ и Барвинского и Каменщика /1990/, разделена зависимость волновой функции от коллективных и неоднородных мод. В рамках однопетлевого приближения неоднородные моды входят лишь в показатель экспоненты в виде положительно определенной квадратичной формы со знаком минус, что позволяет, в коночном счете, проводить по ним гауссово интегрирование. При вычислении однопетлевого префактора используются редукционные методы для функциональных детерминантов, предложенные Барвинским /1993/.

Если продолжить евклидовы классические экстремали как регулярные вещвствешюзначные решения евклидовых уравнений движения, удовлетворяющих граничным условиям Хартла-Хокинга в комплексную плоскость времени по закону т= % + И, то мы получим вещественнозначные лоронцевы экстремали лишь при выполнении следующих условий: внешняя кривизна поверхности отделения^ т=т; или 1=0) и нормальные прозводные материальных полей на этой поверхности должны быть равны нулю (Гиббоне, Хартл /1990/). В общем случае для аналитического сшивания евклидовых и лоранцевых экстремалей на поверхности отделения необходима комплексификация евклидовых вещественнозначных экстремалей, которая может быть достигнута единственным путем - выходом в комплексную плоскость полевых переменных. В этом состоит предложенный закон двойного аналитического продолжения.

При комплекснозначных евлидовых и лоранцевых экстремалях понятие туннельного перехода теряет смысл, поскольку комплексные поля генерируют комплекснозначную метрику. Однако, методом комплексных функций Гамильтона-Якоби (Маслог /1973/) показано, что евклидово-лоренцево разбиение полно} квантовой эволюции все-таки имеет смысл в рамках петлевогс разложения. Для этого построена теория возмущений по мнимы» частям комплексных полей и продемонстрировано, что рвзложо-

ния по степеням мнимых добавок эквивалентно разложеш!» по степеням постоянной Планка. В результате мнимые мода входят а волновую функции как положительно определенная форма со: знаком ищу с в показателе экспоненты.

В последнем пункте первого параграфа приведена однопет-_ левпя функция Барвинского-Каменщика с учетом вклада мнимых мод. Она обладает свойством унитарности в лоренцевом секторе теории, что заложено в префакторе, представлящем собой нормирований детерминант однородной лоренцевой мода и свойс-вом явной ковариантности в евклидовом секторе, что заложено в однопетлевом эффективном действии на полном инстантоне." Такой инстантон представляет собой замкнутое компактное евклидово многообразие, гомеоморфов 4-сфере и получается склейкой евклидова сектора эволюции со своим зеркальным отражением вдоль поверхности отделения.

Во втором параграфе полученные результаты аппробируются на модели хаотической инфляции (Линде /1990/). Для нахождения классических евклидовых экстремалей построена • теория возмущений по обратным степеням начального значения скалярного поля, которое принимает в рамках инфляционной космологии очень большие значения. В качестве низшего приближения взята метрика 4-сферы радиуса 1/Н{<ре), где Н - эффективная постоянная Хаббла, определяемая из урвнения связи на. коорда-. наты микисуперпространства (<р,а), где а - масштабный фактор. В низшем приближении каустикой (огибающей) евклидовых траекторий является гипербола а = oonat/^f¡ и выполняются условия вещественного туннелирования. С учетом поправок к низшему приближению траектории ведут себя иначе; они сначала достигают масксимума, а затем уже касаются каустики. Наличие ненулевой скорости в точкй каустш® тл приводит к необходимости применять двойное аналитическое продолжение, которое в данном случае состоит в кимплосификации <р„. Показано, что задание вещественных крэовых условий в • лоренцевом секторе позволяет определить но только величину комплексной сдвижки скалярного ноля в евклидовом секторе», яо и момент .лоренцева

времени, при котором скалярное поле становится ьащественно-эначным.

В рамках теории возмущений исследованы свойства каустики и показано, что на ней детерминант Паули-вал СЬлеко-Цоратт обращается в бесконечность, что соответствует нарушению ВКБ-приблмхония. Обнаружено такта, что каустика суть множество точек в мзпшсуперпространстве где якобиан преобразования координат (а,(р)-»(а,ф4)) вырожден, что соответствует грибовским копям в квантовой гравитации (Барвинсккй /1990/). Обсуадает-ся отличие каустики в минисуперпространстве и в редуцированном конфигурационном пространстве теории.

Вследствие ненулевой скорости на каустике гравитационный кнстантон, однопатлевое аффективное действие которого входит в квантовую функцию распределения иаеет нерегулярную особенность типа "ребра" в экваториальной области, что делает неприменимыми стандартные метода расчета аффективного действия.

В рамках теории возмущений получен критерий норгафуе-шста волновой фу^псщш с учетом мнимых мод и значение скалярного поля, при котором наиболее ыроятно рсадэниа инфляционной лореицевоЗ Вселенной. От совпадают с результа-теш Борвщюкого-Кашнщкка/1990/ для вещественных тушюдц-рунцих геометрий.

Во второй главе модифицируется метод базисных ФункцаД. впервые предложенный Барышоким, Каменщиком п Кьр;..!ззшт:.; 71992/ для вычисления обобщенной £-функции Римана на компактном многообразна с краем. Проводятся вычисления значений С(0) для физических компонент скалярного, векторного и тензорного полой, представляидио собой квантовые возмущения на части дескттеровой сферы, ограниченной 3-сфарой. Полученные результаты совпадай с результатами других работ, полученных тазскм £0 нвкоЕпришшшм обрсзоы в пределе плоского пространства.

В третьей главе проводятся аналогичные вычисления для .спкноршх шлей для двух совераешю различных типов граничных условии : спектральных и локальных.

В заключении третьей главы исследуется проблема несоот-ветспия получениях результатов результатам, полученным в рамках явно ковариантной техники Швингера-ДеВитта для многообразий с крае« (Брайтон, ДшшгаГ /1990/; Масс, Полеття /1990/). Предположено, что причина несоответствия двух формализмов лежит в топологии многообразия евклидовой сигнатуры: именно для полной 4-сферы,.части 4-сферы, ограниченной 3-сферой и части плоского пространства, ограниченного 3-сфе-рой (3+1)-разбиение, существенно используемое в АДУ процедуре нерегулярно в точке начала координат. . .

Для подтверждения этой гипотезы' рассмотрено массивное дираковское спинорное поле на многообразии, допускапаем глобально-регулярное. (3+1Ьразбиение - часть плоского пространства, ограниченного двумя концентрическими 3-сферами. Найдено, что результаты в ковариантном и нековариантном формализмах совпадают.

Обсуждаются также пути решения данной проблемы к для калибровочных полей. '

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Г ВЫВОДЫ

1. Рождения лоренцевых геометрий из евклидова вйкуума математически описывается двойным аналитическим продолжением..

2. Получен вклад мнимых мод в квантовую функцию распределения туннелируяцих геометрий.:.

3. В рамках модели хаотической* инфляции, порождаемой массивным скалярным полем с; самодействием к неминимальной связью:

а) построена теория возмущений Для нахождения евклидовых классических экстремалей,.близких, к инфляционным-

б) найдена огибающая семейства евклидовых траекторий и показано, что на; ней нарушается. ВКБ-приближение. и: она' соответствует присутствию грибовских копий,

в) проведена ДЛЯ процедура выделения, фгаических

степеней свободы в мшшсуперпространстве.

г) вычислена функция распределения и получены критерии нормируемости и наличия инфляционного пика.

4. С помощью метода базисных функций получены значения

i(0) для физических компонент материальных полей, рассматриваемых как квантовые возмущения на части 4-сфоры, ограниченной 3-сферой для различных типов граничных условий.

5.Устранено несоответствие мевду результатами одаопет-левых вычисления в рамках ковариантного и нековариантного формализмов для массивного дираковского поля, удовлетворяющем локальным краевым условиям на многообразии, представляющем собой часть плоского пространства, ограниченного двумя концентрическими сферами.

Основные результаты диссертации изложены' в следующих работах:

1.Мяшаков И.В. Квазиклассические методы для волновой функции Хартла-Хокинга в модели хаотической инфляции //Самара, 1993. .

-Лэс. ( Пр^л^ам« с ПГЦ nC'S Т:

2.Barvinsky Ж.О., Kamenshohik A.Yu., Karmazin I.P., Mishakov X.Y. 1-loop quantum ooemology: the contributions of matter . fields to the wave funotion of the Universe //Claim. Quantum Grav.-1992. -v. 9. -N. 2. -p.L27-L32.

3.Kamenshohik А.Уи., Miehakov I.V. C-iunotion technique for quantum ooemology: the contributions of matter fields to the Hartle-Hawking wave funotion of the Universe //Intern. J. Mod. Phyo. A.-1992.-v.?.-N.16.-p.3713-3746.

4.Kamenshohik A.Yu., Mishakov I.V. Ferraions in one-loop quantum ooemology //Phye.Rev.D.-1993.-v.47.-N.4.-p.l3QO-1390

5.Kamenshohik A.Yu., Mishakov I.V. Permione in one-loop quantumooamology.il.The problem of correspondence between

oovariant and non-oovariant rormaliema //Phys.Rev.D.-1994.-v.49«-N.2.-p.8l6-823-