Квазиклассические методы описания динамического туннелирования в моделях теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ _ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА_

Направахрукописи

Левкое Дмитрий Геннадиевич

Квазиклассические методы описания динамического туннелирования в моделях теории поля

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2005

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ _ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА_

На правах рукописи

ЛевкоеДмитрий Геннадиевич

Квазиклассические методы описания динамического туннелирования в моделях теории поля

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2005

Рабоы выполнена в Отделе теоретической физики Института ядерных исследований Российской академии наук и на Кафедре квантовой статистики и теории ноля физического факультета Московскою государственного университета им М В Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико математических наук

академик РАН В А Рубаков

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук В Д Новиков

доктор физико математических наук А О Барвинский

Ведущая организация:

Лаборатория теоретической физики им Н Н Боюлюбова Объединенною института ядерных исследований

на заседании Диссертационного совега Д 002 119 01 Института ядерных исследований РАН (117312 Москва, проспект 60 летия Октября дом 7а С диссертацией можно ознакомился в библиотеке Института ядерных исследований РАН

Автореферат разослан < 2005 г

Защита состоится «

1 в.

час

Ученый секретарь

Диссертационого совета

кандидат физико математических наук

Б А Тулупов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Развитие физики элементарных частиц за последнее время в значительной степени связано с исследованием непер-турбативных свойств квантовополевых моделей. Широкий класс непер-турбативных явлений связан с процессами туннельных переходов между состояниями, разделенными потенциальными барьерами; к таким процессам относятся распад ложного вакуума в теориях скалярного поля и переход с изменением топологического числа в калибровочных теориях. Известно, что характерный масштаб энергий для туннельных переходов задается высотой Ег потенциального барьера, разделяющего начальные и конечные состояния. При Е Еь туннелирование в теории со слабой связью описывается действительным евклидовым решением уравнений ноля, которое называется «отскоком» и «инстантоном» в случаях скалярных и калибровочных теорий, соответственно. Вероятность перехода в этом случае подавлена фактором вида ехр (—йв/д2), где д- - малая константа связи, а £е/<72 — евклидово действие инстантона или отскокового решения. Ясно, что процессы вакуумного туннелирования происходят с малой вероятностью и не играют сколько-нибудь существенной роли в теориях со слабой связью. Таким образом, имеет смысл искать ситуации, в которых переходы полевой системы через потенциальный барьер не подавлены.

Квантовомеханическая интуиция подсказывает, что экспоненциальное подавление процесса перехода исчезает, как только полевая система приобретает энергию, сравнимую с высотой потенциального барьера. Так действительно происходит в процессах при высокой температуре, при большой плотности фермионов, или при наличии тяжелых частиц в

начальном состоянии Имеется, однако, ситуация, которая являвтся исключением из этого правила Это — туннелирование индуцированное столкновениями высокоэнергичных частиц

Вопрос об индуцированном туннелировании возник около пятнадца ти лет назад в контексте задачи о нарушении фермионною (бариопно-го и леи тонного) числа в электрослабой теории Стандартная модель элекфослабых взаимодействий — это калибровочная [еория с группой SU(2) х Щ1) которая, как и любая неабелева калибровочная теория обладает дискретным набором физически эквивалентных вакуумов Известно, чш переходы между различными вакуумами сопровождаются несохрапеиием фермионных чисел явлением, которое может бьпь в принципе обнаружено экспериментально Достижимые на современных ускорителях энергии сравнимы с высоюи потенциального барьера в электрослабой теории Еь ~ 4тгМи'/У ~ 8 ТэВ, поэтому интересен вопрос о том, можно ли обнаружить явление несохранения фермионных чисел экспериментально в сюлкновениях высоких энер!ий

В paбoтax А Рингвальда, О Эспинозы (1990 г) с помощью теории возмущений на фоне инстантона было показано, чю верояшос1ь процесса туннелироваиия индуцированного столкновением частиц, растет экспоненциально с ростом энергии столкновения по крайней мере при малых значениях последней

Здесь экспонента подавления F — убывающая функция энергии столкновения Е Теория возмущений на фоне инстантона становится непри менимои, однако в наиболее интересной об мсти энергий

В работах А Н Кузнецова, В А Рубакова, П Г Тинякова, Д Т Шо-

на (КРТШ) 1990-95 п был предложен и реализован численно квазиклас-

сический метод, позволяющий вычислять вероятность процесса индуцированного туннелирования при энергиях, сравнимых с высотой потенциального барьера1 Основным препятствием на пути квазиклассического описания индуцированного туннелирования служит то, что начальное состояние процесса, содержащее лишь две частицы, не является квазиклассическим Поэтому квазиклассический метод необходимо дополнить удобным способом регуляризации начального состояния Центральной величиной метода КРТШ является инклюзивная вероятность туннелирования из состояний с фиксированными энергией Е и начальным числом частиц N

Здесь ^ обозначает 5-ма]рицу, а Ре, Рц — проекторы на состояния с фиксированными энергией и числом частиц Предполагается, что состояния и являются пертурбативными возмущениями над различными вакуумами теории Если энергия и начальное число частиц велики,

может быть вычислена квазнклассически Ответ имеет экспоненциальный вид

Можно предположить, что предел N 0 многочастичной экспоненты совпадает с экспонентой подавления процесса индуцированного

'Следует отметить, что подобные методы применитесь задолго до работ 90-х годов по теории поля К примеру, еще в 30-х годах Л Д Ландау использовал похожий квазиклассический метод для вычисления матричных элементов операторов между высоко возбужденными уровнями В 60-х годах нестационарный вариант метода применялся А М Переломовым, В С Поповым, М В Терен-тьеным и В Т Кузнецовым для вычисления вероятности ионизации атомов в неременном электромагнитном поле В работах В Миллера, Т Джорджа (1970-72 гг) подобные методы использовались для расчета вероятностей химических реакций

вероятность многочастичного туннелирования (2)

(3)

туннелирования:

Р{Е) = Цщ Р(Е, ЛО .

Л'->0

Предположение (4) подтверждено вычислениями в нескольких порядках теории возмущений на фоне инстантона в калибровочной теории, а также при всех энергиях в кваптовомеханической модели с двумя степенями свободы.

Квазиклассическое вычисление многочастичной вероятности (2) основано на нахождении комплексных классических решений уравнений по- Рис. 1. Контур в комплексном времени ля вдоль контура ЛВСБ в комплексном времени (рис. 1), которые удовлетворяют определенным краевым условиям в асимптотических прошлом и будущем (части Л и Б контура). Описанная краевая задача называется «Т/в задачей», а ее решения «О инетантонами». Многочастичная экспонента подавления определяется из значения функционала действия, вычисленного на решении.

За последние годы были разработаны и апробированы численные методы решения задачи, которые позволили получить функцию при Е ~ Е% для нескольких моделей, включая Стандартную модель электрослабых взаимодействий. Однако, при энергиях, превышающих некоторую критическую энергию Ес > Е, встречается проблема, которая оказывается общей для задач, решаемых с помощью квазиклассического метода.

Известно, что в общем случае квазиклассическая краевая задача обладает бесконечным дискретным набором решений, только одно из ко-

торых является физически значимым. В одномерной квантовой механике все решения могут быть легко расклассифицированы. Однако, уже в квантовомеханических системах с несколькими степенями свободы такая классификация оказывается трудна, если вообще возможна, и поиск физически значимого решения представляет серьезную проблему.

Проблема выбора правильного решения стоит наиболее остро вблизи точек бифуркации, где ветвь физически значимых решений пересекается с ветвью нефизических решений. Именно такая ситуация возникает в задачах индуцированного туннелирования при благодаря че-

му становится невозможным получать правильные решения в наиболее интересной области Е > Ес.

Одной из задач диссертации является разработка и проверка метода, позволяющего автоматически выбирать физически значимую ветвь квазиклассических решений при Е > Ес.

Следует отметить недостаток прямых численных методов поиска решений квазиклассичсской краевой задачи. Дело в том. что характерная частота изменения решения быстро растет с ростом энергии столкновения, поэтому область значений энергии, в которой возможно применение численных методов, ограничена шагом доступной решетки. К примеру, в задаче о нарушении барионного числа в электрослабой теории найденные решения покрывают область Таким образом, численные

методы не позволяют исследовать процессы индуцированного туннелиро-вания при энергиях, значительно превышающих высоту потенциального барьера, не говоря уж о пределе Для получения надежных

результатов в этой области необходимо рассмотрение простых моделей, в которых задача может быть решена при всех энергиях.

В диссертации приведено квазиклассическое исследование процесса индуцированного туннелирования при высоких энергиях

на примере упрощенной теоретико -полевой модели с целью разработки метода вычисления экспоненты подавления при высоких энергиях в других моделях.

В экзотических случаях динамические эффекты могут быть существенны уже при описании вакуумного туннелирования. Такая ситуация возникает в моделях квантовой космологии при изучении процесса туннельного рождения замкнутой вселенной из «ничто», предложенного в работах А. Виленкииа (1982 г.). Отличительной чертой тупнелирования в квантовой космологии служит то, что кинетический член масштабного фактора а и туннельный потенциал V(a) входят в полный гамильтониан системы с отрицательным знаком. В связи с сохранением полной энергии, возбуждение материальных степеней свободы (рождение частиц) приводит к увеличению вероятности туннелирования. Таким образом, динамика туннельного процесса зависит от параметров модели: если подавление процесса рождения частиц оказывается слабее туннельного подавления, системе оказывается выгодно произвести достаточное количество частиц материи, полная энергия которых равна высоте потенциального барьера, и возобновить классическую эволюцию в области вблизи вершины барьера. Такая возможность обсуждалась на качественном уровне в работе В. А. Рубакова (1984 г.)

Одной из целей диссертации является последовательное численное исследование процесса рождения частиц в квантовой космологии посредством решения уравнения Уилера-Де Витта в приближении минисупер-пространства для вселенной, наполненной массивным скалярным полем

с конформной связью.

Цель работы состоит в разработке квазиклассических методов описания процессов индуцированного туннелирования в теоретико-полевых моделях при высоких энергиях, а также в исследовании процесса катастрофического рождения частиц при туннелировании в моделях квантовой космологии.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации впервые предложен метод регуляризации квазиклассической краевой задачи, позволяющий автоматически выбирать правильное решение вблизи точек бифуркации, где ветвь физически значимых решений пересекается с ветвью отражающихся решений. Метод применен для вычисления вероятности перехода связанной системы через потенциальный барьер в квантовой механике и проверен явным сравнением вычисленной квазиклас-сически экспоненты подавления процесса с экспонентой, полученной в результате численного решения уравнения Шредингера.

Впервые в теоретико полевой модели вычислена квазиклассически экспонента подавления процесса индуцированного туниелирования при всех энергиях. Для рассмотренной модели показано, что процесс индуцированного туннелирования остается экспоненциально подавлен при Е -»■ +оо.

Новым является метод инстантонов действительного времени, который позволяет для любой конкретной модели вычислить экспоненту подавления процесса индуцированного туннелирования при высоких энергиях, вплоть до бесконечных энергий. Метод применен для расчета экспоненты подавления в простой теоретико-полевой модели.

Впервые показано квазиклассически, что при энергиях, превышаю-

щих некоторое оптимальное значение Е, процесс индуцированного тун-нелирования происходит следующим образом: система излучает избыток энергии (Е — Е), а затем туннелирует с энергией, эффективно равной

Е,

Впервые проведено численное непертурбативиое исследование рождения частиц материи при туннелировании вселенной, наполненной массивным скалярным нолем с конформной связью. Показано, что катастрофическое рождение частиц происходит в широком диапазоне значений параметров модели.

Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на научных семинарах ИЯИ РАН, Бостонского университета, университета Тафтса г. Кембридж (США), Брюссельского университета, на Международных семинарах «Кварки-2002» (Валдай), «Кварки -2004» (Пушкинские горы), на Международной школе «Частицы и космология» (Приэльбрусье, 2003 г.), на Международной конференции «Квантовая гравитация и еуперструны-2002» (Дубна).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 7 работ.

Объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав основного текста, Заключения и двух приложений, содержит 137 страниц машинописного текста, в том числе 22 рисунка и список литературы из 109 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждается общий квазиклассический метод комплексных траекторий, его достоинства и возможность применения для описания процессов динамического туииелирования в моделях теории поля.

Обсуждается принципиальная возможность экспериментального обнаружения процессов индуцированного туннелирования в ускорительных экспериментах. Изложен вариант метода комплексных траекторий (метод КРТШ), который позволяет вычислять квазиклассически экспоненту подавления процесса индуцированного туинелирования в теоретико-полевых моделях. Перечислены основные методы поиска решений. Кратко изложено содержание диссертации.

В Главе 1 рассматривается проблема выбора физически значимой комплексной траектории из дискретного набора решений квазиклассической краевой задачи. В частности, рассматривается часто встречающаяся ситуация, когда при определенной энергии Е = Ес ветвь физически значимых решений пересекается в ветвью отражающихся решений. Разработанный в этой главе метод е-регуляризации был успешно применен к исследованию процесса индуцированного нарушения барионного числа в Стандартной модели электрослабых взаимодействий [3].

В разделе 1.1 рассмотрена задача о переходе связанной системы через потенциальный барьер, на примере которой в последующих главах исследуются бифуркации квазиклассических решений. Для простоты рассматривается квантовомеханическая модель с двумя степенями свободы, гамильтониан которой имеет вид

Здесь Х- координата центра масс системы, у— внутренняя координата.

Последний член функции Гамильтона (5) играет роль потенциального

барьера, разделяющего асимптотические области свободного

движения осциллятора частоты вдоль координаты центра масс.

В разделе 1.2 приведен вывод квазиклассической задачи, исполь-

зуемой для вычисления вероятностей переходов из состояний с определенными значениями полной энергии Е и начального числа заполнения внутреннего осциллятора N Метод основан на нахождении семейства комплексных решений классических уравнений движения вдоть кот ура ABCD в плоское!и комплексного времени (см рис 1) ( оиределнными граничными условиями, наложенными в областях А и D КОШура

Раздел 1 3 посвящен анализу классических надбарьерных переходов Показано, что переходы из широкого класса состояний клас

сически запрещены и, (ледователыно, должны быть экспоненциально подавлены

В разделе 1 4 получены численные решения задачи при низких энергиях Показано, что при достижении иекоюрой критической энер гии решения, полученные с помощью стандартных чис-

ленных методов, отражаются от потенциального барьера Это означает, что при ветвь физически значимых решений задачи

пересекается с ветвью отражающихся решений Также показано что в асимптическом будущем —+оо) квазиклассичес кие траектории с о 01ветсгвующие линии описывают финитные нестабильные

осцилляции в области вблизи вершины барьера

Техника е регуляризации квазиклассической краевой задачи изложена в разделе 1 5 Регуляризация классических уравнений движения до-снижается с помощью добавления мнимою члена к действию модели

где малый параметр а функция исчезает в начальной и конечной асимпнмических областях конфигурациоиного пространства и положительна в области вблизи вершины барьера В целом, добавленный

функционал оценивает время которое система проводит

в области вблизи вершины барьера, и равен бесконечности для решении, соответствующих осцилллциям вблизи вершины барьера при Показано что все решения регуляризованной задачи полученные с помощью метода малых деформаций из физически значимою решения, описывают переходы через потенциальный барьер но также являкнея физически значимыми В пределе восстанавливаются только фи-

зически значимые решения исходной задачи Проведен анализ решений, получающихся после снятия регуляризации при Показано

что все такие решения описываю тунельный переход на вершину потенциальною барьера, после чею система скатывается в конечную асим птотическую область с вероятноетью порядка 1

Раздел 1 б посвящен проверке метода регуляризации С этой целью найдены численные решения стационарного уравнения Шредигера и проведено сравнение вычисленной квазиклассически экспоненты подав чения процесса перехода с «точной» экспонептой, полученной из решений уравнения Шрединюра Совпадение результатов подтверждает правильность метода

В разделе 1 7 показано как с чомощью меюда е регуляризации получать классические надбарьерные решения Полученные в этом разделе результаты подтверждают внутреннюю непротиворечивость метода для всех начальных состояний (Е,И), переходы из которых не подавлены, оказывается возможным построить соответствующие классические решения, описывающие надбарьерные переходы

В Главе 2 проведено исследование процесса индуцированного тунне-лирования на примере модели, описывающей свободное скалярное поле

в (1 + 1)— мерном пространстве времени на полупрямой х > 0 Действие модели имеет вид

Второй член соответствует локализованному на границе х = 0 взаимо-дсйс1вию характерный энергетический масштаб которого равен ц Масса т введена в качестве инфракрасного регулятора, предполаыегся чю ее значение мало по сравнению с масштабом ц В рамках этои модели изучается туннелыюе рождение солигоноподобных состояний при столк-новеиии высокоэнергичной частицы с границей При этом удае ся найти все физически значимые решения задачи

Рассматриваемая теоретико нолевая модель введена в разделе 2 1 Показано, что модель обладает набором сопитопных решений вида

локализованных вблизи пространственной границы, массы коюрых пропорциональны массе поля которая считается малой Вместе с тем, эти состояния отделены от вакуума потенциальным барьером

Следуя терминологии калибровочных 1еорий мы называем решение соответствующее седловои ючке функционала статической энергии сфа, лероном Эпергия сфалерона = 2уи/с?2 равна высою потенциальною барьера она пропорциональна масштабу граничного взаимодействия В конце раздела обосновывается применение квазиклассических меюдов для описания процессов индуцированною рождения солитоно подобных состояний при малых значениях константы связи

Квазиклассическии метод КРТШ в применении к рассматриваемой модели изложен в разделе 2 2 В частности в подразделе 2 21 приведена

общая формулировка метода Как и в I иве 1 квазикласс и1 еская краевая задача формулируется на контуре в комплексном времени изображен ном на рис 1 во внутренних точках которого должны удовлетворяться уравнения поля (продолженные в комплексную область значений поля ф) Краевые условия на конечном уастк^ контура (тасть О) яв шются уповиями асимптотической дсйсп ителыюсти ноля а условия в асим птогичсском прошлом (часть А контура) связывают потожительно и отрицательно тасготпые компоненты тюля

При этом инклюзивная вероятность (2) переход! из состоянии с энер Iней Е и числом час тин, N вы тисляется по формуле (3) с -же попетой подавления

1де S,\bcd~~ неремасшгабированнос действие на контуре ABCD а Т в вспомогательные параметры связанные с энертией и начальным числом частиц

В подразделе 22 2 общая Т/9 задача перс форму шруется в тиде удобном для поиска решений в рассматриваемой модели Ключевым на б тюдением здесь является то чю харак серные тастотт т изменения реше ний пропорциональны iраничном/ масштабу fi и следовательно чкла дом < ытаемот пропорционального т2 в классические уравнения по ля можно пренебречь Следовательно при х > 0 эволюция поля о 1И-сывается уравнением Даламбера общее решение которою в (1 1) ном пространстве времени имеет вид

h = е 9 дк

(G)

F{E, N) = 2lmSABCD - N6 - 2Г7

(7)

<f>[t,x) + + 15

Это простое наблюдение позволяет переписать Т/в задачу в терминах волновых пакетов ф/ А именно, эти функции связаны дифференци альным уравнением

где за z обозначен (вообще творя комплексный) api умен I функций фг, ф¡ Вылетающий пакет должен быть дейетвите гьным вследствие краевою условия при t +00 Начальное ^-условие (б) записывается в 1ерминах образа Фурье ф(к) налегающею волновою пакела фг

В раздело 2 3 parcwd фиваются частные р е ш е н й!/йа д ач и соог векчнующис в = 0 Такие решения называклея периодическими инстан-гонами, так как они периодичны в евклидовом времени Можно показать что экспонента (7), найденная в случае периодических ипстантопов рав на минимальной экспоненте подавления процесса перехода из всех состояний в фиксированной энергией Е Получена простая формула

которая в частости означает, что при нулевой энергии переход через потенциальный барьер не происходит а при существуют со-

стояния, переход из которых через потенциальный барьер не подавлен Следует отметить чго при т = 0 все периодические инстантоны соответствуют переходам из состояний, содержащих бесконечное число ча стиц Переходы из таких состояний рассматривались и ранее, в пределе д —> О полученный в разделе 2 3 результат совпадает с результатом ра боты П Фендли X Салера, Н П Варнера (1994 г)

Л

—_ п III

1 -

I 5

2 5 Е0

Рис. 2. Экспонента подавления процесса индуцированного туннелирова-ния для модели главы 2.

Раздел 2.4 посвящен поиску решений Т/В задачи при конечных значениях параметра 9. В подразделе 2.4.1 решение краевой задачи получено с помощью подстановки для налетающего волнового пакета фи после чего вылетающий пакет ф/ находится из уравнений поля. Исследованный в этом подразделе процесс можно назвать «прямым туннелирова-нием», так как все соответствующие ему решения содержат солитон при I +00. Получено аналитическое выражение для действия, вычисленного на туннельных решениях при конечных значениях параметров Т, в. В пределе N 0 получена аналитическая формула для экспоненты подавления процесса индуцированного туннелироваиия (см рис. 2, область

I):

Р(Е) = 4тг1п

7Г Е,

Е

Е<Е,

(8)

Если бы формула (8) сохранялась при высоких энергиях, мы могли бы

сделать вывод, что подавление процесса исчезает при энергии Однако, как показано в подразделе 2.4.2, эта формула неверна при энергиях, превышающих некоторое критическое значение так как в этом случае все решения для функции получаемые из уравнений поля, не содержат солитона при т.е. соответствует отражению от потенциального барьера. Следовательно, при подстановка подраздела 2.4.1 становится неприменима.

В разделе 2.5 Т/в задача решена численно при N = 0. Е > Е<:. В частности, в подразделе 2.5.1 краевая задача переписана в виде, позволяющем получать решения при N = 0 (в — +оо). Получены формулы для экспоненты подавления Е, начальной и конечной энергий Е} применимые при N — 0. В подразделе 2.5.2 полученная краевая задача решена численно; найдены решения в широком диаиозопе значений энергии: Ес< Е < 2.3 Ец. При росте энергии частота изменения физически значимых решений быстро растет, что не позволяет получать решения численно в области высоких энергий. Полученные в этом подразделе значения экспоненты подавления Е показаны на рис. 2, область И. Следует отметить, что все решения, полученные в области II, содержат сфалерон при таким образом, они описывают изученный в главе 1 процесс туннелирования с образованием состояния, близкого к вершине барьера (сфалерона).

Раздел 2.0 посвящен поиску решений в области Е > 2.3Е$. В подразделе 2.6.1 отмечено, что уменьшение параметра Т соответствует росту энергии Е. Таким образом, при высоких энергиях и е"^ = 0 решения могут быть представлены в виде степенного ряда по параметру Т. Разработана теория возмущений, которая выглядит следующим образом. Выде-

лякнся две области просфанства-времепи, «жесткая», где ¡¿|, |х| l//i, и «мягкая», в коюрой |i|, |х| > Г Решения в различных областях полу чены nepiyp6aiHBHO в виде разложения но нарамефу Т, коэффициенты разложении найдены из условия сялсики в области Т -С ¡i|, |х| <С 1/fi В подразделе 2 61 получено предельное решение соо1ьсгсгвующее точке в = |-оо Т — 0 Это решение соо1ве]сгвует конечному значению энергии Еа = 2 7Еь которое мы называем оптимальном энергией Экспонснга по давления процесса индуцированною 1уппелировапия при оптимальной энергии рав id

F(E = Е0) =-10 27

В подразделе 2 G 2 найдены поправки к предельному решению, что позволяет вычислить экспоненту подавления процесса индуцированною тун полирования в окрес1ноаи точки Е — Е0 Потученные формулы полю ляю1 наи!и функцию F(E) в области 2 iEr < Е < Еа (см рис 2) При Е — 2 3Е1, полученный в этом разделе резульш совпадает с числснным резульгаюм раздела 2 5с ючносгыо 0 5%

При энер1иях превышающих оптимальную энср!ию, гладких peine ний Т/в задачи не существус] Следоваюльно квазиклассический меюд KPTUI следует дополнип-> методом нахождения экспоненты подавления при Е > Еп

В Главе 3 предложен и апробирован общий метод нахождения экспо нен 1 ы подавления при высоких энер! иях Метод ос новин на наблюдении что при некоторой энер1ии Е = Е0 называемой оптимальной энср1ией дос.игается минимум экспоненты подавления, т с увеличения вероятности перехода с россом энср1ии при Е > Е0 не происходиi

F(E) = Fm, Е>Е0 (9)

Для рассмотренной в главе 2 модели экспонента подавления при ошпи-мальной энергии получена с помощью разложения по схепеням параметра Т Получено, что Ет — •Р(-Ео) « 10 27 Чтобы вычислить минимальное значение экспоненты подавления в дру1их моделях, можно применять специальный квазиклассический метод разработанный в главе 3

В разделе 3 1 рассматривается инклюзивная вероятность тунпелиро-вания из состояний с фиксированным числом частиц N и любой (в том числе сколь уюдно большой) энергией (ср с выражением (2))

величина (10) может бьть вычислена квазиклассически с помощью на хождения семейства комплексных классических решений, удовлетворяющих определенной краевой задане А именно, классические уравнения поля должны бьнь выполнены при конечных £ € К, решение должно быть действительно при а в асимптотическом прошлом должно быть выполнено условие (б) связи положительно- и отрицательно частотных компонент решения Мы называем физически значимые решения описанной краевой задачи «инстаитонами действительного времени» Нетрудно видеть, что иниантоны дейстигельною времени являются частными решениями Т/в краевой задачи с Т = 0 Соответственно, экспонента подавления для величины (10) вычисляется по той же формуле (7), а классическая энергия вычисленная на инстантонах действительного времени, равна оптимальной энергии при которой достигается минимум многочастичной экспоненты подавления при фиксированном Согласно предположению ми-

(10)

Показано что при параморически большом числе частиц

,2

нимяльное подавление процесса индуцированною гуннелирования Рт и оптимальная энергия Е0 могут бьиь получены в пределе N -> 0 Таким образом, с помощью описанного метода можно наити величины Е0 (см формулу (9)) для любой конкретной модели

В разделе 3 2 меюд инехангочов действительною времени применен к модели 1лавы 2 С помощью численного итерагивного меюда получено семейсию инс1ан]онов действительною времени, и следовательно функции Ет(М) и Е„(М) В пределе N —> 0 получены уже известные значения ошимальнои энергии Е0 = 2 7Е^ и минимальною значения экспоненты подавления = 10 27 Таким образом, д я модели главы 2 показано, чю процесс индуцированною х^ннслирования экспоненциально подавлен при всех энерг иях

Раздел 3 3 посвящен описанию процесса перехода через пошщиаль-ный барьер при Е > £0(ЛГ) При этом рассма1риваюня квазиклас си ю-ски переходы и ) фиксированных когерентных состоянии, отличающихся от сос юяния, нас ыщающего инклюзивный переход при £ — £0(ЛГ) до бавлением малого числа час1иц несущих значительную энер1 ию Пока зано, что экспонента подавления процесса перехода из таких состояний раина экспоненте перехода при оптимальной энергии, г е форму та (9) выполнена В часгноыи, показано, что при Ь > Е0 процесс индуциро ванно1 о туннслировагшя вьилядгп гчедующим образом Система излучает избыюк энергии (Е — Е0), испустив несколько высокоэнергичных час гиц, так что последующее I у итерирование происходит с энергией эф фективно равной оптимальной энергии Огмегим что механизм тунне-лирования, обнаруженный нами при Е > Е0, совпадает с мехагшзмом, предложенным в работе М Б Волошина в 1994 году

Глава 4 посвящена изучению процесса катастрофическою рождения частиц на примере модели минисуперпространства для замкнутой все ленной, заполненной массивным скалярным полем с конформной связью В разделе 4 1, который НОСИТ вводный характер, обсуждается про цесс туннельного рождения вселенной в моделях квантовой космологии и граничные условия которым должна удовлетворять волновая функция вселенной Приведена рассмагриваемая впоследствии модель замкнутой вселенной ( космологической постоянной наполненной массивной

скалярной материей с конформной связью Уравнение Уилера—Де Витта получено в приближении минисуперпростраиства в котором рассматри ваются только пространственно однородные конфгуурации нолей При ведены качественные соображения, показывающие, что туннельное ро ЖДНИЕ вселенной должно сопровождаться процессом катастрофическо го рождения частиц материи

В разделе 4 2 эффективное уравнение Уилера- Де Випа решено численно для нескольких типов модельных потенциалов и функций харак теризующих взаимодействие между материальными и гравитационными степенями свободы Численные результаты подтверждают, что процесс катастрофическою рождения частиц происходит в широком диапозонс значений параметров модели Показано, что рождение частиц оказывает существенное обратное влияние на туннельный процесс

В разделе 4 3 рассмотрен случай малых значений космологической постоянной Л В квантовомеханической модели этот случай соответствовал бы области применимости квазиклассического описания Показано, что при малых Л величина волновой функции вселенной в области за потенциальным барьером экспоненциально мала Однако, эта величина

экспоненциально превышает величину волновой функции полученную в случае пустой вселенной

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в дис сертации

В приложении А метод регуляризации квазиклассических решений проиллюарирован на примере квашовомеханичес кой модели с одной оепенью свободы Показано что в одномерном случае техника е рсчуляризации позволяет гладко соединшь вони ¡униельных и классических надбарьерных решении Полученные резульшш показываю!, что перс течение пешей фишчески шачимых и (сражающихся решении должно происходить в кван ювомс ханичеоких (Mieviax общею положе ния

В приложении В рассмогрены периодические инсганюны, полученные для модели скатарною ноля со взаимодеис i вис м на границе при ненулевой массе Показано что введение ненулевой массы peí уляризует начальное чисто чаиип которое toiарифмически расходная и пределе m -4 0 в ю время как формулы для эиерти и экспоненты подавления процесса остаются справедливы с точноеíbio до поправок порядка т/ц

Для защиты выдвшаютс я етедуюшис результаты, полу юнные в дис еерыции

1 Сформулирован и обоснован меюд p^i утяризации квазикласеиче ской краевой задачи, позволяющий получать физически значмые решения вблизи точек бифуркации где ветвь решений описываю щих переходы системы через потенциальный барьер пересекается с ветвью отражающихся решений Показано чю все решения регу ляризованной задачи соответствуют переходам на другую сторону

погенциально1 о барьера а физически значимые решения исходной задачи восстанавливаются в пределе, ко1да параметр регуляризации стремится к нулю Досгоинс1вом метода является простота

численной реализации что позволяет получать правильные ква зиклассические решения в сложных системах

2 С помощью метода регуляризации решена квазиклассически задача о неупругих переходах с вязанной системы через потенциальный барьер в квантовомеханической модели с двумя степенями свобо ды Экспонента подавления процесса перехода получена для всех начальных состояний системы переход из которых экспонещиаль но подавлен (включая состояния полная энергия которых превышает высоту барьера) С целью проверки метода проведено явное сравнение вычисленной квазиклассически экспоненты подавления с «точной» экслонечюй полученной в результате численною реше ния уравнения Шредингера Совпадение результатов подтвержда ет правильность метода

3 На примере модели скалярного поля с локализованным на границе пространства взаимодействием проведен квазиклассический расчет экспоненты подавления процесса индуцированного гуннелиро-вания при всех энергиях стоткновения Показано, что решения квазиклассической задачи образуют две ветви, соответствующие случаям прямого туннелирования при низких энергиях и туннели рования с образованием состояния около вершины потенциальною барьера (сфалерона) при энергиях, превышающих некоторое критическое значение Ес (которое в свою очередь превышает энер1 ию сфалерона) Показано, что решения квазиклассическои Т/9 задачи

соответствуют переходам с энергиями, не превышающими некоторого оптимального значения Еь > Еи при Е > Е0 инклюзивный процесс индуцированного перехода через потенциальный барьер не может бьпь описан квазикласс и гески

4 Предложен обший квазикласс ичес кий метод расчета минимально! о значения экс поненгы подавления процесса индуцированпот о тунне тироватшя и оптимальном энергии Е0 при которой это значение достигается Метод осьован на получении «инстангонов дейс твитель ного времени» нового класса комплексных решений, удовлсгво ряющих определенной квазиклассической краевой задаче Показа но что жепонента подавления опается постоянной при Е > Е0 Меюд применен для расчет экспоненты подавления в георегико нолевой модели, для коюрои показано, чхо процесс индуцирован ною туннелироваиия ос ]ас кя экспоненциально подавлен при нссх энергиях

5 Показано, чю при энергиях столкновения, превышающих оши мальную энергию Е0 процесс индуцированного перехода нолевой системы через потенциалыгыи барьер происходи г следующим обра зом полевая система освобождает изб. лток энергии (Е-Е0) исиус кая ггесколько высокоэнергичных чаоиц а загем туннелируег на вершину барьера (сфалерон) с энергией эффективно равной онги мальггой энергии Е0 Процесс завершается раеггадом сфалерогтното с ос гояния

6 Показагго, чю при туннельном рождении замкнутой вселенной за полненной массивным скалярным полем с конформной связью про исходит катастрофическое рождение частиц материи Результаты

получены численно с помощью решения уравнения Уилера Де Вит-га для модели минисуперпространства Показано, что в широком диапозоне значений параметров модели полная энергия рожденных частиц примррно равна высоте потенциального барьера

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1 F Bezrukov D Levkov Dynamical tunneling of bound systems through a potential barnei complex way to the top // -ЖЭТФ 2004 -125 -C 938-955

2 F L Bezrukov, D G Levkov Transmission of Bound Systems Through a Potential Barrier Complex Way to the Top // Труды 12 й международной школы «Частицы и космология» Баксанское ущелье, Кабардино-Балкария, Российская Федерация, Анр'ль 21 26, 2003 i -ИЯИ РАН, Москва -2004 -С 173-188

3 F Bezrukov, D Levkov, С Rebbi, V Rubakov, P Tmvakov Semiclassical study of baryon and lepton number violation m high energy electroweak collisions // -Phys Rev -2003 -D68 -p 036005

4 D G Levkov, S M Sibiryakov Induced tunneling in QFT Sohton creation in collisions of highly energetic particles // -Phys Rev -2005 -D71 -p 025001

5 D G Levkov, S M Sibiryakov Sohton production in high-energy collisions A toy model // Труды 13-го международною семинара «Кварки-2004», Пушкинские горы, Российская Федерация, Май 2430, 2004 i -ИЯИ РАН, Москва -2005 -С 59-79

6 D Levkov, S Sibiryakov Real-time instantons and suppression of colhsion-mduccdtunneling // -Письма в ЖЭТФ -2005 -81 -С 60 64

7 D Levkov, C Rebbi, V A Rubakov Tunneling in quantum cosmology Numerical study of particle creation // -Phys Rev -2002 -D66 -p 083516

Ф-т 60x84/8. Уч-изд.л 1,2 Зак. №21440 Тираж 100 экз Бесплатно

Отпечатано на компьютерной издательской системе Издательский отдел Института ядерных исследований Российской академии наук 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а

ow

Введение

Глава 1. Квазиклассическое описание переходов при конечных энергиях

1.1 Переходы связанной системы через потенциальный барьер.

1.2 Вычисление вероятности перехода.

1.3 Классические надбарьерные переходы.

1.4 Туннелирование при низких энергиях.

1.5 Регуляризация туннельных решений.

1.6 Проверка квазиклассического метода сравнением с точным кванщ товомеханическим результатом.

1.7 Регуляризация классических надбарьерных решений.

Глава 2. Индуцированное туннелирование в квантовой теории поля при высоких энергиях

2.1 Модель скалярного поля со взаимодействием на границе.

2.2 Т/9 задача.

2.2.1 Общая формулировка.

2.2.2 Использование особенностей модели.

2.3 Периодические инстантоны.

2.4 Прямое туннелирование при низких энергиях

2.4.1 Решения при произвольных 9.

2.4.2 Аналитическое доказательство существования критической энергии

2.5 Туннельное образование сфалерона при энергиях выше критической

2.5.1 Предел AT —> 0.

2.5.2 Численное решение

2.6 Предел Т

2.6.1 Предельное решение.

2.6.2 Решения при малых Т.

Глава 3. Метод инстантонов действительного времени

3.1 Общая формулировка.

3.2 Пример применения.

3.3 Квазиклассическое описание туннелирования при энергиях выше оптимальной.

Глава 4. Особенности туннелирования в моделях квантовой космологии

4.1 Модель туннельного рождения замкнутой вселенной.

4.2 Численное решение уравнения Уилера—Де Витта.

4.3 Предел А 0.

В настоящее время основным методом расчета вероятностей процессов рассеяния в теориях со слабой связью является теория возмущений, в которой амплитуда рассеяния Л представляется в виде асимптотического ряда по степеням малой константы связи д. Теория возмущений не работает, однако, если амплитуда рассматриваемого процесса не может быть приближена степенным рядом в окрестности точки д = 0. В этом случае процесс является непертурбативным, для его описания неоходимо привлекать специальные методы.

Из числа непертурбативных процессов следует выделить процессы туннельных переходов между состояниями, разделенными потециальными барьерами. Как правило, асимптотика д —»• 0 туннельной амплитуды может быть найдена с помощью квазиклассического метода, который состоит в следующем. Амплитуда перехода представляется в виде

Л = eiS^2 , (1) после чего вычисляются коэффициенты степенного разложения экспоненты S(g2) = So + g2S\ +В квантовомеханических задачах первый коэффициент разложения, So, может быть получен из решения 5(q) уравнения Гамильтона-Якоби [1]. Стандартный пример применения квазиклассического метода — приближение ВКБ к задаче о туннелировании частицы через одномерный потенциальный барьер. В этом случае решения уравнения Гамильтона-Якоби являются чисто мнимыми в классически запрещенной области, поэтому функция S(q) может быть найдена как функционал действия, вычисленный на действительной траектории q(r) — решении уравнения движения в евклидовом времени, t = — гт, с действительным евклидовым действием Se = —iS.

Такая простая картина туннелирования не верна уже для квантовоме-ханических систем с несколькими степенями свободы, где, вообще говоря, решения 5(q) уравнения Гамильтона-Якоби не являются чисто мнимыми в классически запрещенной области (см. недавнее обсуждение этого вопроса в работах [2, 3]). Всвязи с этим вводят понятие «смешанного» туннелирования, противопоставленного туннелированию «чистому», для которого функция 5(q) — чисто мнимая. Ясно, что «смешанное» туннелирование не может быть описано с помощью действительной траектории. Однако, ему можно поставить в соответствие комплексную траекторию. Как только такая траектория найдена, функция S(q), а, следовательно, и экспоненциальная часть амплитуды перехода, вычисляется как функционал действия на этой классической траектории.

Особенно сложная ситуация возникает при рассмотрении переходов системы с достаточно сильным взаимодействием между степенями свободы, квантовые числа которой сильно меняются в процессе перехода. В таком случае методы, основанные на адиабатическом разложении вблизи действительной «туннельной траектории», не работают, в отличие от метода комплексных траекторий, который позволяет получить правильный результат.

Вариант метода комплексных траекторий, пригодный для вычисления амплитуд рассеяния, был сформулирован и проверен численно в работах1 [7-9], см. также обзор [10]. Дальнейшие исследования [11-16] показали, что метод может быть применен также для вычисления туннельных волновых функций и вероятностей туннелирования, расщепления уровней в двухъямных потен

1 Следует отметить, что подобные методы применялись задолго до работ В. Миллера, и Т. Джорджа. К примеру, еще в 30-х годах Л.Д. Ландау использовал комплексные траектории для вычисления квазиклассических матричных элементов [4]. В 60-х годах нестационарный вариант метода применялся для вычисления вероятности ионизации атомов в переменном электромагнитном поле [5, б]. циалах, а также вероятностей распада метастабильных состояний. Основным достоинством метода комплексных траекторий является то, что он легко обещается на системы с большим, или даже бесконечным (теория поля) числом степеней свободы, в отличие, скажем, от методов, использующих решения уравнений Гамильтона-Якоби [1-3], или методов квазиклассических симуляций в представлении начальных данных [7, 17-21].

Туннельные процессы встречаются во многих теоретико-полевых моделях, самые известные из них — распад ложного вакуума в теориях скалярного поля [22-24] и переход с изменением топологического числа в калибровочных теориях [25-27]. Туннелирование в теории поля во многом подобно квантовомеханическому туннелированию. Характерный масштаб энергий для туннельных переходов задается высотой Ев потенциального барьера, разделяющего начальные и конечные состояния, в рассмотренных выше примерах высоты барьеров равны энергиям критического пузыря [24] и сфалеро-на [28, 29] соответственно. При Е Es процесс туннелирования описывается действительным решением евклидовых уравнений поля, которое называется «отскоком» и «инстантоном» в случаях скалярных и калибровочных теорий. Соответствующая вероятность перехода подавлена фактором вида ехр(—2Se/<72), гДе /я2 ~ евклидово действие инстантона или отскокового решения. Процессы вакуумного туннелирования происходят с малой вероятностью и не играют сколько-нибудь существенной роли в теориях поля со слабой связью2, поэтому многообещающе выглядят такие ситуации, в которых переходы полевой системы через потенциальный барьер не подавлены.

Можно ожидать, что экспоненциальное подавление процесса перехода исчезает, если полевая система имеет энергию, сравнимую с высотой потенци

2Возможное исключение составляют задачи космологии [30]. алыюго барьера. Так действительно происходит в процессах при высокой температуре [31-38], при большой плотности фермионов [39-43], или при наличии тяжелых частиц в начальном состоянии [44-46]. Имеется, однако, ситуация, которая является исключением из этого правила. Это — туннелирование, индуцированное столкновениями высокоэнергичных частиц.

Вопрос об индуцированном туннелировании возник около пятнадцати лет назад в контексте задачи о нарушении барионного числа в электрослабой теории. Дело в том, что Стандартная модель электрослабых взаимодействий — это калибровочная теория с группой SU(2) х U( 1), которая, как и любая неабелева калибровочная теория, обладает дискретным набором физически эквивалентных вакуумов [26, 47]. Более того, известно, что переходы между различными вакуумами сопровождаются несохранением барионного и леп-тонного чисел [48, 49] — явлением, которое может быть обнаружено экспериментально. Достижимые на современных ускорителях энергии сравнимы с энергией сфалерона в электрослабой теории Es ~ АжMw/g1 ~ 8 ТэВ, поэтому интересен вопрос, можно ли обнаружить явление несохранения фермионных чисел экспериментально в столкновениях высоких энергий.

В работах [50, 51] с помощью теории возмущений на фоне инстантона было показано, что сечение процесса индуцированного туннелирования растет экспоненциально с ростом энергии столкновения, по крайней мере, при малых значениях последней. Дальнейшие исследования [52-55] показали, что вероятность процесса имеет экспоненциальный вид (см. также обзоры [5658]):

Т{Е) « e-WW , (2) где экспонента подавления F — возрастающая функция энергии столкновения Е. Предэкспоненциальный множитель зависит от константы связи степенным образом, и, следовательно, относительно мало существенен. Теория возмущений вокруг инстантона становится неприменимой, однако, в наиболее интересной области энергий Е > Es.

Предложено несколько методов оценки качественного характера поведения функции F(E/E3) при высоких энергиях. Так, в работах [59, 60] проведен анализ надбарьерных переходов. Все полученные в этих работах классические конфигурации содержат параметрически большое число частиц в начальном состоянии, поэтому был сделан вывод, что процесс индуцированного туннелирования должен оставаться экспоненциально подавленным при всех энергиях. К такому же выводу можно прийти из соображений унитарности [61-63]. Однако, с помощью перечисленных методов невозможно исключить ситуацию, когда функция F(E/E3) стремится к нулю асимптотически при Е/Е3 —> оо. Также следует отметить, что в практических задачах, таких как задача о нарушении барионного числа в электрослабой теории, недостаточно знать лишь качественный характер поведения туннельной экспоненты при E/Es ~ 1, необходимо уметь вычислять по крайней мере порядок величины вероятности процесса.

Форма выражения (2) предполагает, что должна существовать определенная квазиклассическая процедура вычисления вероятности индуцированного туннелирования при высоких энергиях. Модификация метода комплексных траекторий, подходящая для решения этой задачи, была предложена и реализована численно в работах А. Н. Кузнецова, В. А. Рубакова, П. Г. Тиня-кова, Д. Т. Шона (метод КРТШ) [64-67]. Основным препятствием на пути квазиклассического описания индуцированного туннелирования служит то, что начальное состояние процесса, содержащее лишь две частицы, не является квазиклассическим. Поэтому метод комплексных траекторий должен быть дополнен удобным способом регуляризации начального состояния. Центральной величиной метода КРТШ является инклюзивная вероятность туннели-рования из состояний с фиксированными энергией Е и начальным числом частиц N:

V(E1N) = Yt\(f\SPEPN\i)\2 ■ (3) i,f

Здесь S обозначает 5-матрицу, а Ре, Pn — проекторы на состояния с фиксированными энергией и числом частиц. Предполагается, что состояния |г) и |/) являются пертурбативными возмущениями над различными вакуумами теории. Если энергия и начальное число частиц квазиклассически велики, Е = Е/д2, N = N/д2, вероятность многочастичного туннелирования (3) может быть вычислена с помощью метода комплексных траекторий. Ответ имеет экспоненциальный вид:

V(E, N) ос . (4)

Используя результат (3), можно вычислить экспоненту индуцированного туннелирования F(E/ES). Во-первых, ясно, что вероятность туннелирования из многочастичных состояний V(E, N) всегда выше, чем двухчастичная вероятность V(E). Действительно, любое начальное двухчастичное состояние может быть превращено в многочастичное с помощью добавления требуемого количества частиц, которые не влияют на процесс туннелирования. Вследствие этого выполнено неравенство F(E) > F(E,N). Более того, можно предположить [64], что предел N —> 0 многочастичной экспоненты F(E, N) совпадает с экспонентой подавления двухчастичного процесса:

F(E) = lim F(E, N) . (5) 0

А dm t Т

В

D Ret

С

Рис. 1. Контур в комплексном времени, используемый в квазиклассической краевой задаче.

Соотношение (5) основано на утверждении, что туннельная экспонента не зависит от деталей начального состояния, пока число содержащихся в нем частиц не становится параметрически большим [64. 68, 69]. Это предположение проверено вычислениями в нескольких порядках теории возмущений на фоне инстантона в калибровочной теории [65, 70], а также явно при всех энергиях в квантовомеханической модели с двумя степенями свободы |15, 16, 71, 72].

В роли комплексной траектории, используемой для вычисления многочастичной вероятности (3) в полевых моделях, выступает комплексное решение классических уравнений поля, найденное вдоль контура ABCD в комплексном времени [66] (рис. 1). Комплексную динамику вдоль контура ABCD можно условно понимать следующим образом. Части АВ и CD контура соответствуют эволюции системы до и после туннелирования, которое представлено евклидовой частью ВС контура. Классические уравнения поля дополнены определенными условиями, наложенными в начале и в конце квазиклассической эволюции (части А и D контура). Описанная краевая задача называется «Т/9 задачей», а ее решения — «6 инстантонами».

При разных значениях энергии столкновения необходимо использовать различные методы для решения Т/9 задачи. При низких энергиях решение может быть приближено цепочкой инстантонов и антиинстантонов [66, 7375]. При Е ~ Es, когда расстояние между инстантонами и антиинстантонами становится порядка их размера, низкоэнергетическое приближение перестает работать, и задачу приходится решать численно [16, 67, 76, 77]. При энергиях, превышающих Es, встречается проблема [16, 67, 77], которая оказывается общей для задач, решаемых с помощью метода комплексных траекторий.

Известно, что в общем случае квазиклассическая краевая задача обладает бесконечным дискретным набором решений, только одно из которых является физически значимым. В одномерной квантовой механике все решения могут быть легко расклассифицированы. Однако, уже в квантовомеханических системах с несколькими степенями свободы такая классификация оказывается трудна, если вообще возможна. Если число степеней свободы невелико (например, Л/* = 2), можно прямым перебором найти решение, соответствующее максимальной вероятности туннелирования [7, 13, 14]. В системах с большим или бесконечным числом степеней свободы поиск физически значимого решения представляет серьезную проблему.

Проблема выбора правильного решения стоит наиболее остро в случаях, когда свойства физически значимой комплексной траектории различны при различных энергиях системы. Именно такая ситуация возникает в задачах индуцированного туннелирования при высоких энергиях. Качественное изменение поведения квазиклассических решений связано с тем, что при Е > Es классический надбарьерный переход через потенциальный барьер запрещен динамически, в отличие от случая низких энергий, где отсутствие надбарьер-ных решений гарантировано законом сохранения энергии. Экспоненциально подавленный процесс перехода, происходящий при энергиях, превышающих высоту потенциального барьера, называется динамическим туннелировани-ем.

Примеры динамического туннелирования хорошо известны в теории рассеяния [7], туннелирование такого вида может происходить между квазивырожденными дискретными уровнями [78]. Именно динамическое туннелирование является предметом рассмотрения в настоящей диссертации.

В работах [71, 72, 79] обнаружено, что процесс индуцированного туннелирования при энергиях, превышающих определенную критическую энергию Ес > Es, происходит следующим образом: система туннелирует с образованием состояния, близкого к вершине потенциального барьера, откуда и возобновляется классическая эволюция. С физической точки зрения этот процесс совсем не похож на потенциальное туннелирование при низких энергиях. Тем не менее, переходы остаются экспоненциально подавленными3, так как для того, чтобы оказаться на вершине барьера, системе необходимо претерпеть существенную перестройку внутреннего состояния. Энергия Е = Ес соответствует бифуркации решений Т/в задачи, где ветвь физически значимых решений встречается с нефизическими решениями. Таким образом, для вычисления экспоненты подавления процесса индуцированного туннелирования при Е > Ес необходимо решить проблему выбора физически значимых решений.

В работах [71, 72, 83] (глава 1 настоящей диссертации) изучается описанная выше проблема в задаче о переходах связанной системы через потенциальный барьер. Для простоты рассматривается квантовомеханическая модель с двумя степенями свободы. На примере этой системы разрабатывается метод регуляризации, позволяющий автоматически выбирать правиль

3 Подобный экспоненциальный фактор возникает в многочастичных процессах в тривиальном секторе [62, 80-82]. ную ветвь решений при Е > Ес. В предлагаемом методе краевая задача регуляризуется таким образом, что пересечения различных ветвей решений регуляризованных уравнений не происходит. В пределе, когда параметр регуляризации е стремится к нулю, восстанавливаются только физически значимые решения исходной краевой задачи. Метод проверен явным сравнением с точным квантовомеханическим результатом, полученным в результате численного решения уравнения Шредингера.

Замечательно то, что метод б-регуляризации легко обобщается на модели теории поля, включая калибровочные теории. В работе [79] метод был применен к задаче о переходах с изменением топологического числа в электрослабой модели, что позволило найти решения Т/в задачи в области высоких энергий. Полученые результаты [79, 84] показали, что процесс несохранения барионного числа остается экспоненциально подавленным вплоть до крайне высоких энергий Е ~ 30Es = 250 ТэВ.

Следует отметить недостаток прямых численных методов поиска решений Т/в задачи. Дело в том, что характерная частота изменения решения быстро растет с ростом энергии столкновения, поэтому область значений энергии, в которой возможно применение численных методов, ограничена шагом доступной решетки. К примеру, в задаче о нарушении барионного числа в электрослабой теории найденные решения покрывают область 0 < Е < 2.ЪЕа. Таким образом, численные методы не позволяют исследовать процессы индуцированного туннелирования при энергиях, значительно превышающих высоту потенциального барьера, не говоря уж о пределе Е —> оо. Для получения надежных результатов в этой области необходимо рассмотрение простых моделей, в которых задача может быть решена при всех энергиях.

В работе [85] (глава 2 диссертации) рассмотрена модель свободного ска

20

15

U,

10 8 0

0.5 I Ec 1.5 2 2.5 E0 3

E/Es

Рис. 2. Экспонента подавления процесса индуцированного туннелирования для модели главы 2. лярного поля ф(х, t) на полупрямой х > 0, взаимодействие которого локализовано на границе (х = 0). В рамках этой модели изучается туннельное рождение солитоноподобных состояний при столкновении высокоэнергичной частицы с границей. При этом удается найти все физически значимые решения Т/в задачи. Полученная зависимость туннельной экспоненты F от энергии столкновения Е приведена на рис. 2. Как и в главе 1, мы выделяем две области энергий (области I и II рисунка), в которых свойства решений качественно отличаются. При энергиях столкновения ниже критической энергии Ес & 1.2Es (область I) происходит обычное потенциальное туннелирование, когда подбарьерпая эволюция системы заканчивается прямо в солитонном секторе. Этот режим может быть назван «прямым туннелированием». Экспонента подавления в этой области вычисляется по простой формуле:

Е < Ес . (6)

Формула (6), будучи продолжена в область Е > Ес, показала бы исчезновение подавления при энергии Е = 7гЕ3. Однако, эта формула неверна при Е > Ес, так как описывающие прямое туннелирование решения не существуют при энергиях выше критической. В области II рисунка физически значимые решения описывают туннелирование с образованием состояния, близкого к вершине барьера (сфалерона), которое затем распадается, производя солитон в конечном состоянии. Этот процесс происходит вплоть до энергии Е0 « 2.7Es, которую мы называем оптимальной энергией. При Е > Е0 гладких решений Т/в задачи не существует.

Рассмотренная в главе 2 модель показывает, что метод КРТШ должен быть дополнен квазиклассическим методом нахождения туннельной экспоненты при Е > Е0. Такой метод предложен в работе [86] (глава 3). Метод основан на наблюдении, что при оптимальной энергии достигается минимум экспоненты подавления, т.е. рост энергии столкновения при Е > Е0 не приводит к увеличению вероятности туннелирования. Таким образом, в области III на рис. 2 имеем:

F(E) = Fm, Е> Е0. (7)

Для рассмотренной в главе 2 модели Fm = F(E0) « 10.27. В других, более сложных моделях, минимальное значение Fm экспоненты подавления, а также оптимальная энергия Е0, при которой это значение досигается, могут быть вычислены квазиклассически, используя новое семейство комплексных классических решений. Мы называем эти решения «инстантонами действительного времени», так как они определены в действительном времени, в от

F(E) = 4тг1п

7TEs Е личие от обычных инстантонов, которые следует искать на евклидовой оси. Эти конфигурации насыщают инклюзивную вероятность туннелирования из состояний с фиксированным числом частиц N и любой (в том числе сколь угодно большой) энергией (ср. с выражением (3)):

В главе 3 также исследован механизм перехода при Е > Е0. Показано, что в этой области системе выгодно излучить избыток энергии (Е — Е0), испустив несколько высокоэнергичных частиц, так что последующее туннелирование происходит с энергией, эффективно равной оптимальной энергии. Так как вероятность пертурбативного испускания частиц подавлена по константе связи лишь степенным образом, экспонента описанного выше процесса совпадает с туннельной экспонентой, найденной при оптимальной энергии. Механизм туннелирования, обнаруженный нами при Е > Е0, совпадает с механизмом, предложенным в работе [87].

В экзотических моделях динамические эффекты могут быть существенны уже при описании вакуумного туннелирования. Такая ситуация возникает в моделях квантовой космологии при изучении процесса туннельного рождения замкнутой вселенной из «ничто» [88-93]. Отличительной чертой туннелирования в квантовой космологии служит то, что кинетический член масштабного фактора а и туннельный потенциал V(a) входят в полный гамильтониан системы с отрицательным знаком. В связи с сохранением полной энергии, возбуждение материальных степеней свободы (рождение частиц) приводит к увеличению вероятности туннелирования. Как правило, вероятность рождения частиц в адиабатически медленно расширяющейся вселенной экспоненциально мала. С другой стороны, процесс туннелирования через потенци

8) альный барьер также экспоненциально подавлен. Таким образом, динамика туннельного процесса зависит от параметров модели: если экспоненциальное подавление процесса рождения частиц оказывается слабее туннельного подавления, системе оказывается выгодно произвести достаточное количество частиц материи, полная энергия которых равна высоте потенциального барьера, и возобновить классическую эволюцию в области вблизи вершины барьера. Такая возможность обсуждалась на качественном уровне в работе [92].

В работе [94] (глава 4 диссертации) изучается процесс катастрофического рождения частиц на примере модели минисуперпространства для замкнутой вселенной, наполненной массивным скалярным полем с конформной связью. Эффективное уравнение Уилера- Де Витта решается численно для нескольких типов модельных потенциалов и функций, характеризующих взаимодействие между материальными и гравитационными степенями свободы. Численные результаты подтверждают, что процесс катастрофического рождения частиц происходит в широком диапозоне значений параметров модели. Показано, что рождение частиц оказывает существенное обратное влияние на туннельный процесс. В частности, при малых значениях космологической постоянной величина волновой функции вселенной в области за потенциальным барьером получается экспоненциально больше, чем в случае пустой вселенной.

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и двух приложений.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

1. Сформулирован и обоснован метод регуляризации квазиклассической краевой задачи, позволяющий получать физически значимые решения вблизи точек бифуркации, где ветвь решений, описывающих переходы системы через потенциальный барьер, пересекается с ветвью отражающихся решений. Показано, что все решения регуляризованной задачи соответствуют переходам на другую сторону потенциального барьера, а физически значимые решения исходной задачи восстанавливаются в пределе, когда параметр регуляризации стремится к нулю. Достоинством метода является простота численной реализации, что позволяет получать правильные квазиклассические решения в сложных системах.

2. С помощью метода регуляризации решена квазиклассически задача о неупругих переходах связанной системы через потенциальный барьер в квантовомеханической модели с двумя степенями свободы. Экспонента подавления процесса перехода получена для всех начальных состояний системы, переход из которых экспоненциально подавлен (включая состояния, полная энергия которых превышает высоту барьера). С целью проверки метода проведено явное сравнение вычисленной квазиклассически экспоненты подавления с «точной» экспонентой, полученной в результате численного решения уравнения Шредингера. Совпадение результатов подтверждает правильность метода.

3. На примере модели скалярного поля с локализованным на границе пространства взаимодействием проведен квазиклассический расчет экспоненты подавления процесса индуцированного туннелирования при всех энергиях столкновения. Показано, что решения квазиклассической Т/в задачи образуют две ветви, соответствующие случаям прямого туннелирования при низких энергиях и туннелирования с образованием состояния около вершины потенциального барьера (сфалерона) при энергиях, превышающих некоторое критическое значение Ес (которое в свою очередь превышает энергию сфалерона). Показано, что решения квазиклассической Т/в задачи соответствуют переходам с энергиями, не превышающими некоторого оптимального значения Е0 > Ес\ при Е > Е0 инклюзивный процесс индуцированного перехода через потенциальный барьер не может быть описан квазиклассически.

Предложен общий квазиклассический метод расчета минимального значения экспоненты подавления процесса индуцированного туннелирования и оптимальной энергии Е0, при которой это значение достигается. Метод основан на получении «инстантонов действительного времени» — нового класса комплексных решений, удовлетворяющих определенной квазиклассической краевой задаче. Показано, что экспонента подавления остается постоянной при Е > Е0. Метод применен для расчета экспоненты подавления в теоретико-полевой модели, для которой показано, что процесс индуцированного туннелирования остается экспоненциально подавлен при всех энергиях.

Показано, что при энергиях столкновения, превышающих оптимальную энергию Е01 процесс индуцированного перехода полевой системы через потенциальный барьер происходит следующим образом: полевая система освобождает избыток энергии (Е — Е0), испуская несколько высокоэнергичных частиц, а затем туннелирует на вершину барьера (сфале-рон) с энергией, эффективно равной оптимальной энергии Еа. Процесс завершается распадом сфалеронного состояния.

6. Показано, что при туннельном рождении замкнутой вселенной, заполненной массивным скалярным полем с конформной связью, происходит катастрофическое рождение частиц материи. Результаты получены численно с помощью решения уравнения Уилера—Де Витта для модели минисуперпространства. Показано, что в широком диапозоне значений параметров модели полная энергия рожденных частиц примерно равна высоте потенциального барьера.

В заключение автор хотел бы выразить искреннюю благодарность научному руководителю В. А. Рубакову за постоянное внимание к работе и критические замечания. Автор благодарен Ф. Б. Безрукову, К. Ребби, П. Г. Тинякову, С. М. Сибирякову за плодотворное сотрудничество и ценные обсуждения на разных этапах работы, а также всем сотрудникам и аспирантам ИЯИ РАН за творческую атмосферу и доброжелательность.

1. В. П. Маслов, М. В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений классической механики. -М: Наука, 1976.

2. Z. Huang, Т. Feuchtwang, P. Cutler, Е. Kazes. Wentzel-Kramers-Brillouin method in multidimentional tunneling // -Phys. Rev. -1990. -A41. -p.32.

3. S. Takada, H. Nakamura. Wentzel-Kramers-Brillouin theory of multidimensional tunneling: General theory for energy splitting // -J. Chem. Phys. -1994. -100. -p.98.

4. Jl. Д. Ландау, E. M. Лифшиц. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. -4-е издание. -М.: Наука, 1989.

5. А. М. Переломов, В. С. Попов, М. В. Терентьев. Ионизация атомов в переменном электрическом поле // -ЖЭТФ. -1966. -50. -С.1393.

6. В. С. Попов, В. Т. Кузнецов, А. М. Переломов. Квазиклассическое приближение для нестационарных задач // -ЖЭТФ. -1967. -53. -С.331.

7. W. Miller. Classical S-matrix: Numerical application to inelastic collisions // -J. Chem. Phys. -1970. -53. -p.3578.

8. W. Miller, T. George. Semiclassical Theory of Electronic Transitions in Low Energy Atomic and Molecular Collisions Involving Several Nuclear Degrees of Freedom // -J. Chem. Phys. -1972. -56. -p.5637.

9. T. George, W. Miller. Classical 5-matrix Theory of Reactive Tunneling: Linear H + H2 Collisions // -J. Chem. Phys. -1972. -57. -p.2458.

10. W. Miller. Classical-limit quantum mechanics and the theory of molecular collisions // -Adv. Chem. Phys. -1974. -25. -p.69.

11. M. Wilkinson. Tunneling between tori in phase space // -Physica. -1986. -21D. -p.341.

12. M. Wilkinson, J. Hannay. Multidimensional tunneling between excited states 11 -Physica. -1987. -27D. -p.201.

13. S. Takada. Multidimensional tunneling in terms of complex classical mechanics: Wave functions, energy splittings, and decay rates of nonintegrable systems // -J. Chem. Phys. -1996. -104. -p.3742.

14. S. Takada, P. Walker, M. Wilkinson. Transfer-matrix approach to tunneling between Kolmogorov- Arnold- Moser tori // -Phys. Rev. -1995. -A52. -p.3546.

15. G. F. Bonini, A. G. Cohen, C. Rebbi, V. A. Rubakov. Tunneling of bound systems at finite energies: Complex paths through potential barriers // -quant-ph/9901062.

16. G. F. Bonini, A. G. Cohen, C. Rebbi, V. A. Rubakov. The semiclassical description of tunneling in scattering with multiple degrees of freedom // -Phys. Rev. -1999. -D60. -p.076004.

17. N. Makri, W. Miller. Monte Carlo path integration for the real time propogator // -J. Chem. Phys. -1988. -89. -p.2170.

18. K. Thompson, N. Makri. Influence functionals with semiclassical propogators in combined forward- backward time // -J.Chem.Phys. -1999. -110. -p. 1343.

19. K. Kay. Semiclassical tunneling in the initial value representation // -J.Chem.Phys. -1997. -107. -p.2313.

20. N. Maitra, E. Heller. Barrier tunneling and reflection in the time and energy domains: The battle of the exponentials // -Phys.Rev.Lett. -1997. -78. -p.3035.

21. W. Miller. The semiclassical initial value representation: A potentially practical way for adding quantum effects to classical molecular dynamics simulations // -J. Phys. Chem. -2001. -A105. -p.2942.

22. М. В. Voloshin, I. Y. Kobzarev, L. B. Okun. Bubbles in metastable vacuum // -Sov. J. Nucl. Phys. -1975. -20. -p.644-646.

23. S. Coleman. The fate of the false vacuum. 1. Semiclassical theory // -Phys. Rev. -1977. -D15. -p.2929-2936.

24. S. R. Coleman. The uses of instantons // Erice Subnucl. -1977.

25. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Shvarts, Y. S. Tyupkin. Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations // -Phys. Lett. -1975. -B59. -p.85-87.

26. R. Jackiw, C. Rebbi. Vacuum periodicity in a Yang-Mills quantum theory // -Phys. Rev. Lett. -1976. -37. -p.172-175.

27. А. И. Вайнштейн, В. И. Захаров, В. А. Новиков, М.А. Шифман. Инстан-тонная азбука // -УФН. -1982. -136. -С.553-591.

28. N. S. Manton. Topology in the Weinberg-Salam theory // -Phys. Rev. -1983. -D28. -p.2019.

29. F. R. Klinkhamer, N. S. Manton. A saddle point solution in the Weinberg-Salam theory // -Phys. Rev. -1984. -D30. -p.2212.

30. A. H. Guth. The inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems // -Phys. Rev. -1981. -D23. -p.347-356.

31. V. A. Kuzmin, V. A. Rubakov, M. E. Shaposhnikov. On the anomalous electroweak baryon number nonconservation in the early universe // -Phys. Lett. -1985. -155B. -p.36.

32. P. Arnold, L. McLerran. Sphalerons, small fluctuations and baryon number violation in electroweak theory // -Phys. Rev. -1987. -D36. -p.581.

33. P. Arnold, L. McLerran. The sphaleron strikes back // -Phys. Rev. -1988. -D37. -p.1020.

34. А. I. Bochkarev, М. Е. Shaposhnikov. Anomalous fermion number nonconservation at high temperatures: Two-dimensional example // -Mod. Phys. Lett. -1987. -A2. -p.991.

35. S. Y. Khlebnikov, M. E. Shaposhnikov. The statistical theory of anomalous fermion number nonconservaton // -Nucl. Phys. -1988. -B308. -p.885-912.

36. A. N. Kuznetsov, P. G. Tinyakov. Periodic instanton bifurcations and thermal transition rate // -Phys. Lett. -1997. -B406. -p.76-82.

37. K. L. Frost, L. G. Yaffe. From instantons to sphalerons: Time-dependent periodic solutions of SU(2)-Higgs theory // -Phys. Rev. -1999. -D60. -p.105021.

38. G. F. Bonini, S. Habib, E. Mottola, C. Rebbi, R. Singleton, P. G. Tinyakov. Periodic instantons in SU(2) Yang-Mills-Higgs theory // Copenhagen 1998, Strong and electroweak matter. -1999. -p. 173-182.

39. V. A. Rubakov, A. N. Tavkhelidze. Stable anomalous states of superdense matter in gauge theories // -Phys. Lett. -1985. -B165. -p. 109-112.

40. V. A. Rubakov. On the electroweak theory at high fermion density // -Prog. Theor. Phys. -1986. -75. -p.366.

41. В. А. Матвеев, В. А. Рубаков, A. H. Тавхелидзе, В. Ф. Токарев. Несохранение фермионных чисел в холодной и плотной фермионной среде в V-A калибровочных теориях // -ТМФ. -1986. -69. -С.961-976.

42. V. A. Matveev, V. A. Rubakov, А. N. Tavkhelidze, V. F. Tokarev. Fermion number nonconservation and cold neutral fermionic matter in (V-A) gauge theories // -Nucl. Phys. -1987. -B282. -p.700-726.

43. D. Diakonov, V. Y. Petrov. Instability of dense baryon matter and baryon number nonconservation at high-energies // -Phys. Lett. -1992. -B275. -p.459-464.

44. V. A. Rubakov. Electroweak nonconservation of the baryon number in the decay of heavy particles // -JETP Lett. -1985. -41. -p.266-268.

45. J. Ambjorn, V. A. Rubakov. Classical versus semiclassical electroweak decay of a techniskyrmion // -Nucl. Phys. -1985. -B256. -p.434.

46. V. A. Rubakov, В. E. Stern, P. G. Tinyakov. On the electroweak decay of a technibaryon in the soliton model // -Phys. Lett. -1985. -160B. -p.292.

47. C. G. Callan, R. F. Dashen, D. J. Gross. The structure of the gauge theory vacuum // -Phys. Lett. -1976. -B63. -p.334-340.

48. G. 't Hooft. Symmetry breaking through Bell-Jackiw anomalies // -Phys. Rev. Lett. -1976. -37. -p.8-11.

49. G. 't Hooft. Computation of the quantum effects due to a four- dimensional pseudoparticle // -Phys. Rev. -1976. -D14. -p.3432-3450. erratum: ibid., -1978, -D18. -p.2199.

50. L. McLerran, A. Vainshtein, M. Voloshin. Electroweak interactions become strong at energy above approximately 10-TeV // -Phys. Rev. -1990. -D42. -p.171-179.

51. S. Y. Khlebnikov, V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Instanton induced cross-sections below the sphaleron // -Nucl. Phys. -1991. -B350. -p.441-473.

52. L. G. Yaffe. Scattering amplitudes in instanton backgrounds // Santa Fe Workshop on Baryon Violation at the SSC, Santa Fe, NM, Apr 27-30, 1990. -1990. -p. 46-63.

53. Р. В. Arnold, M. P. Mattis. Baryon violation at the SSC? Recent claims reexamined // -Phys. Rev. -1990. -D42. -p.1738-1743.

54. M. P. Mattis. The riddle of high-energy baryon number violation // -Phys. Rept. -1992. -214. -p.159-221.

55. P. G. Tinyakov. Instanton like transitions in high-energy collisions // -Int. J. Mod. Phys. -1993. -A8. -p. 1823-1886.

56. V. A. Rubakov, M. E. Shaposhnikov. Electroweak baryon number non-conservation in the early universe and in high-energy collisions // -Usp. Fiz. Nauk. -1996. -166. -p.493-537.

57. V. A. Rubakov, D. T. Son. Instanton-like transitions at high-energies in (1+1)- dimensional scalar models. 2. Classically allowed induced vacuum decay // -Nucl. Phys. B. -1994. -424. -p.55.

58. C. Rebbi, R. Singleton. Numerical studies of instanton induced baryon decay // -Nucl. Phys. Proc. Suppl. -1995. -42. -p.587.

59. V. I. Zakharov. Unitarity constraints on multiparticle weak production // -Nucl. Phys. -1991. -B353. -p.683-688.

60. G. Veneziano. Bound on reliable one instanton cross-sections // -Mod. Phys. Lett. -1992. -A7. -p.1661-1666.

61. M. Maggiore, M. A. Shifman. Nonperturbative processes at high-energies in weakly coupled theories: Multi instantons set an early limit // -Nucl. Phys. -1992. -B371. -p.177-190.

62. V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Towards the semiclassical calculability of high-energy instanton cross-sections // -Phys. Lett. -1992. -B279. -p.165-168.

63. P. G. Tinyakov. Multiparticle instanton induced processes and В violation in high-energy collisions // -Phys. Lett. -1992. -B284. -p.410-416.

64. V. A. Rubakov, D. Т. Son, P. G. Tinyakov. Classical boundary value problem for instanton transitions at high-energies // -Phys. Lett. -1992. -B287. -p.342.

65. A. N. Kuznetsov, P. G. Tinyakov. False vacuum decay induced by particle collisions // -Phys. Rev. -1997. -D56. -p.1156-1169.

66. V. A. Rubakov, D. T. Son, P. G. Tinyakov. Initial state independence of nonperturbative scattering through thin wall bubbles in (l+l)-dimensions // -Phys. Lett. -1992. -B278. -p.279.

67. V. A. Rubakov, D. T. Son, P. G. Tinyakov. An example of semiclassical instanton like scattering: (l+l)-dimensional sigma model // -Nucl. Phys. -1993. -B404. -p.65-90.

68. A. H. Mueller. Comparing two particle and multiparticle initiated processes in the one instanton sector // -Nucl. Phys. -1993. -B401. -p.93-115.

69. F. Bezrukov, D. Levkov. Transmission through a potential barrier in quantum mechanics of multiple degrees of freedom: Complex way to the top // -quant-ph/0301022.

70. F. Bezrukov, D. Levkov. Dynamical tunneling of bound systems through a potential barrier: complex way to the top // -ЖЭТФ. -2004. -125. -C.938-955.

71. S. Y. Khlebnikov, V. A. Rubakov, P. G. Tinyakov. Periodic instantons and scattering amplitudes // -Nucl. Phys. -1991. -B367. -p.334.

72. D. T. Son, V. A. Rubakov. Instanton like transitions at high-energies in (1+1)- dimensional scalar models // -Nucl. Phys. -1994. -B422. -p.195-226.

73. Ф. Безруков, Д. Левков. 9 инстантоны в теории SU(2) с механизмом Хиггса // -ТМФ. -2004. -138(3). -С.397-406.

74. А. N. Kuznetsov, P. G. Tinyakov. Numerical study of induced false vacuum decay at high energies // -Mod. Phys. Lett. -1996. -All. -p.479-490.

75. F. Bezrukov, C. Rebbi, V. A. Rubakov, P. Tinyakov. Instanton-like processes in particle collisions: A numerical study of the SU(2)-Higgs theory below the sphaleron energy // -hep-ph/0110109.

76. M. Davis, E. Heller. Quantum dynamical tunneling in bound states // -J.Chem.Phys. -1981. -75. -p.246.

77. F. Bezrukov, D. Levkov, C. Rebbi, V. Rubakov, P. Tinyakov. Semiclassical study of baryon and lepton number violation in high-energy electroweak collisions // -Phys. Rev. -2003. -D68. -p.036005.

78. T. Banks, G. Farrar, M. Dine, D. Karabali, B. Sakita. Weak interactions are weak at high-energies // -Nucl. Phys. -1990. -B347. -p.581-595.

79. V. I. Zakharov. High-energy production of scalar bosons in weak coupling theories // -Phys. Rev. Lett. -1991. -67. -p.3650-3653.

80. V. A. Rubakov. Non-perturbative aspects of multiparticle production // Proc. of the 2nd Rencontres du Vietnam, Ho Chi Minh City, Vietnam. -Gif-sur-Yvette: Editions Frontieres. -1995. -p. 435-448.

81. F. L. Bezrukov, D. G. Levkov. Transmission of Bound Systems Through a Potential Barrier: Complex Way to the Top // Труды 12-й международной школы «Частицы и космология», Приэльбрусье. -2004. -С. 173-188.

82. F. Bezrukov, D. Levkov, С. Rebbi, V. Rubakov, P. Tinyakov. Suppression of baryon number violation in electroweak collisions: Numerical results // -Phys. Lett. -2003. -B574. -p.75-81.

83. D. G. Levkov, S. M. Sibiryakov. Induced tunneling in QFT: Soliton creation in collisions of highly energetic particles // -Phys. Rev. -2005. -D71. -p.025001.

84. D. Levkov, S. Sibiryakov. Real-time instantons and suppression of collision-induced tunneling 11 -Письма в ЖЭТФ. -2005. -81. -C.60-64.

85. M. В. Voloshin. Catalyzed decay of false vacuum in four-dimensions // -Phys. Rev. -1994. -D49. -p.2014-2018.

86. A. Vilenkin. Creation of universes from nothing // -Phys. Lett. -1982. -B117. -p.25.

87. A. Vilenkin. Quantum creation of universes // -Phys. Rev. -1984. -D30. -p.509-511.

88. L. P. Grishchuk, Y. B. Zeldovich. Complete cosmological theories // M. Duff, C. Isham, editors, Quantum Structure of Space and Time. -Cambridge Univ. Press. -1982. -p. 409-422.

89. A. D. Linde. Quantum creation of the inflationary universe // -Nuovo Cim. Lett. -1984. -39. -p.401-405.

90. V. A. Rubakov. Quantum mechanics in the tunneling universe // -Phys. Lett. -1984. -B148. -p.280-286.

91. A. Vilenkin. Boundary conditions in quantum cosmology // -Phys. Rev. -1986. -D33. -p.3560.

92. D. Levkov, C. Rebbi, V. A. Rubakov. Tunneling in quantum cosmology: Numerical study of particle creation // -Phys. Rev. -2002. -D66. -p.083516.

93. D. G. Levkov, S. M. Sibiryakov. Soliton production in high-energy collisions: A toy model // Труды 13-го международного семинара «Кварки-2004», Пушкинские горы. -2005. -С. 59-79.

94. С. Rebbi, R. Singleton. Computational study of baryon number violation in high- energy electroweak collisions // -Phys. Rev. -1996. -D54. -p. 1020-1043.

95. C. L. Kane, M. P. A. Fisher. Transport in a one-channel Luttinger liquid // -Phys. Rev. Lett. -1992. -68. -p.1220.

96. R. Fazio, К. H. Wagenblasta, С. Winkelholza, G. Schon. Tunneling into one-dimensional Josephson chains and Luttinger liquids // -Physica. -1996. -B222. -p.364.

97. C. G. Callan, I. R. Klebanov. Exact С = 1 boundary conformal field theories // -Phys. Rev. Lett. -1994. -72. -p.1968-1971.

98. C. G. Callan, I. R. Klebanov, A. W. W. Ludwig, J. M. Maldacena. Exact solution of a boundary conformal field theory // -Nucl. Phys. -1994. -B422. -p.417-448.

99. J. Polchinski, L. Thorlacius. Free fermion representation of a boundary conformal field theory // -Phys. Rev. -1994. -D50. -p.622-626.

100. P. Fendley, H. Saleur, N. P. Warner. Exact solution of a massless scalar field with a relevant boundary interaction // -Nucl. Phys. -1994. -B430. -p.577-596.

101. И. С. Градштейн, И. M. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М: Физматгиз, 1963.

102. С. Rebbi, J. Singleton, Robert. Numerical approaches to high energy electroweak baryon number violation above and below the sphaleron barrier // Trieste 1996, High energy physics and cosmology. -1996. -p. 479-522.

103. V. A. Rubakov, D. T. Son, P. G. Tinyakov. An example of semiclassical instanton like scattering: (l+l)-dimensional sigma model // -Nucl. Phys. -1993. -B404. -p.65-90.

104. B. S. DeWitt. Quantum theory of gravity. 1. The canonical theory // -Phys. Rev. -1967. -160. -p. 1113-1148.

105. J. B. Hartle, S. W. Hawking. Wave function of the universe // -Phys. Rev. -1983. -D28. -p.2960-2975.

106. A. Strominger. A Lorentzian analysis of the cosmological constant problem 11 -Nucl. Phys. -1989. -B319. -p. 722.

107. V. A. Rubakov. Quantum cosmology // Structure Formation in the Universe. -1999. -p. 59-79.