Математическое обоснование расщепления спектра и билокализации состояний при координатном и импульсном туннелировании в одномерных квантовых системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Выборный Евгений Викторович

Математическое обоснование расщепления спектра и билокализации состояний при координатном и импульсном туннелировании в одномерных квантовых системах

Специальность 01.01.03 — Математическая физика (физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 3 МАЯ 2015

Москва — 2015

005569058

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Научный руководитель: Карасев Михаил Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор.

Официальные оппоненты: Смолянов Олег Георгиевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВО "Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова", профессор кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета.

Федотов Александр Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВО "Санкт-Петербургский государственный университет", профессор кафедры высшей математики и математической физики физического факультета.

Ведущая организация: ФГБУН "Институт проблем механики имени

А. Ю. Ишлинского РАН".

Защита состоится 2 июня 2015 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 212.048.17, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», по адресу: 123458, Москва, ул. Таллинская, д. 34, зал заседаний ученого совета (к.501).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» по адресу: 101000, Москва, ул. Мясницкая, д.20, и на сайте http ://www.hse.ru/sci/diss/.

Автореферат разослан _

Ученый секретарь диссертационного Шнурков

совета, к.ф.-м.н., доцент Петр Викторович

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Туннельный эффект является одним из базовых квантово-механических эффектов и играет существенную роль в различных областях современной физики, в том числе в квантовой теории поля, спектроскопии молекул, а также в квантовой химии и некоторых вопросах биологии. Задача об аналитическом описании туннельных эффектов для различных квантово-механических моделей имеет богатую историю, которая берет свое начало с момента становления квантовой механики. Детальный обзор классических результатов и приложений изложен, например, в книгах Разави1, Гольданского2 и др. Современный рост интереса к изучению квантового туннелирования связан также с прогрессом в наноэлектронике, где возникает возможность использования квантовых эффектов для качественно новых технологий, например, туннелирование в управляемом двуямном потенциале часто используется как модель построения кубитов.

Одним из проявлений туннельного эффекта является проникновение квантовой частицы через потенциальный барьер, разделяющий две области классического движения в конфигурационном пространстве, — так называемое координатное туннелирование. Например, в симметричном двуямном потенциале туннелирование через потенциальный барьер приводит к малому расщеплению энергетических уровней и двойной локализации волновых функций стационарных состояний квантовой частицы.

Другим важным проявлением туннельного эффекта является надбарьерное отражение квантовой частицы, которое также можно рассматривать как туннелирование через классически запрещенную область (барьер) в импульсном представлении. Одним из проявлений импульсного туннелирования является малое расщепление спектра оператора Шредингера квантовой частицы, движущейся в потенциальном поле по окружности в роторном режиме, то есть с энергией, превышающий максимум потенциала.

1 М. Razavv. Quantum Theory of Tunneling. Singaporc: World Scientific Publishing Co. Pl.e. Ll.d. 2003. 51'J p.

2 В. И. Гольданскин, Л. И. Трахтенберг, В. Н. Флеров. Туннельные явления в химическом физике. М.: Наука, 1986. 296 с.

\

Координатное и импульсное туннелирование являются частными случаями общего эффекта туннелирования между двумя траекториями в фазовом пространстве — так называемого динамического туннелирования. Динамическое туннелирование возникает в различных квантовомеханических моделях и активно изучается в последнее время.

Поскольку точное аналитическое описание туннельных эффектов удается построить только в простых модельных случаях, для исследования данного круга задач в случае общих потенциалов применяются асимптотические методы.

В настоящей диссертационной работе туннельный эффект анализируется для одномерного оператора Шредингера с действительным потенциалом:

в квазиклассическом приближении по малому параметру h > 0. В качестве основных моделей рассматривается координатное туннелирование частицы в двуямном потенциале на прямой (х € Ш) и импульсное туннелирование частицы в потенциальном поле на окружности (х € S).

Степень разработанности научной проблемы

Задача о построении квазиклассической асимптотики для туннельных эффектов в одномерном симметричном двуямном потенциале является одной из базовых, хорошо изученных задач квантовой механики. Фундаментальные результаты в задаче о туннельном расщеплении энергий для симметричного двуямного потенциала были получены в работах Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшица, С. Ю. Славянова, В. П. Маслова, С. Ю. Доброхотова, а также Д. М. Деннисона (D. М. Dennison), Е. М. Харрелла (Е. М. Harrell), К. Херринга (С. Herring), Б. Саймона (В. Simon) и многих других. В случае симметричного двуямного потенциала известны и строго доказаны асимптотические формулы для расщепления высоких и нижних энергетических уровней, а также формула для туннельного расщепления энергии основного состояния в многомерном двуямном потенциале.

С физической точки зрения большой интерес представляет также случай несимметричного потенциала. Тогда задача существенно усложняется, однако примеры,

рассмотренные численно, по-прежнему демонстрируют возможность возникновения резонансного туннелирования и малого расщепления соответствующего энергетического уровня при определенных настройках потенциала.

Одной из основных задач диссертационной работы является построение и строгое обоснование асимптотики спектра и стационарных состояний оператора Шре-дингера H с несимметричным двуямным потенциалом и определение условий возникновения туннельного резонанса в этом случае.

Некоторые строго обоснованные результаты о величине расщепления были получены в работах Саймона3, Хелффера4 и Шестранда5. С другой стороны, важный вопрос об асимптотике соответствующих стационарных состояний оставался открытым. Подробное изложение известных результатов и открытых проблем в случае несимметричного двуямного потенциала приведено в главе 1 диссертации.

Заметим, что при рассмотрении туннелирования в несимметричном двуям-ном потенциале особую важность приобретает строгое обоснование полученных результатов, поскольку некоторые работы, опубликованные ранее в физической литературе, содержат противоречивые выводы. Например, в работе Сонга6 были предложены необходимые и достаточные условия возникновения резонансного туннелирования, и построены квазиклассические формулы для соответствующих энергетических уровней и стационарных состояний, но эта работа не согласуется с результатами, представленными и строго доказанными ранее в работах Хелффера и Шестранда. В диссертации показано, что работа Сонга содержит существенные ошибки, которые приводят к неверному результату.

В задаче о квантовой частице на окружности в роторном режиме также возникает малое расщепление энергетических уровней дискретного спектра оператора Я, связанное с импульсным туннелированием от состояния, отвечающего дви-

3 В. Simon. Semiclassical analysis of low lying eigenvalues. II: Tunneling // Annals of mathematics. 1984. T. 120. №. 1. C. 89-118.

4 B. Helffer. Semi-classical analysis for the Schrodinger operalor and applications. Lecture notes in mathematics, vol. 1336. Berlin: Springer, 1988.110 c.

5 B. Helffer, J. Sjostrand. Puits multiples en limite semi-classique. II: Interaction moléculaire. Symétries. Perturbation // Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique. 1985. T. 42. N>. 2. C. 127-212.

6 D. Y. Song Tunneling and energy splitting in an asymmctric double-well potential // Annals of Physics. 2008. T. .323. №. 12. C. 2991-2999.

жению частицы по окружности в одном направлении, в состояние, отвечающее движению в противоположном направлении. Задача о вычислении туннельного расщепления эквивалентна известной задаче о вычислении ширины лакун — промежутков между зонами в блоховском спектре оператора Шредингера на прямой с периодическим потенциалом. Данная задача является одной из классических задач математической физики, современное состояние вопроса изложено, например, в книге Брауна7.

В этой задаче асимптотические формулы для величины расщепления известны для ряда частных случаев. Базовым примером является квантовый маятник У{х) = соз(а;), тогда соответствующее уравнение Шредингера эквивалентно уравнению Матье. В более общем случае, когда потенциал аналитический и топология линий Стокса имеет вид, как при У(х) = соз(х), асимптотика ширины лакун была построена в работе Дыхне8, полное строгое доказательство и разбор еще нескольких случаев представлен в работе Симоняна9. Существует также ряд глубоких результатов о связи гладкости потенциала со скоростью убывания ширины лакун при росте энергии. Например, известно, что ширина лакун экспоненциально убывает в случае аналитического потенциала10.

Цели диссертации

Целью диссертационного исследования является построение математического обоснования квазиклассического расщепления спектра и билокализации стационарных состояний при координатном и импульсном туннелировании для одномерного оператора Шредингера в случае потенциалов общего вида (не симметричных, не типа Матье).

7 В. M. Brown, M. S. P. Eastham, K. M. Schmidt. Periodic differential operators. Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 228. Springer, 2012. 216 c.

8 A. M. Дыхне. Квазиклассическая частица в одномерном периодическом потенциале // Журим экспериментальной и теоретической физики. 1961. Т. 40. С. 1423-1426.

9 С. Г. Симонян. Асимптотика ширины лакун в спектре оператора Штурма-Лиувилля с периодическим аналитическим потенциалом // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. С. 1265-1272.

10 Е. TVubowitz. The inverse problem for periodic potentials // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1977. T. 30. №. 3. C. 321-337.

Научная новизна

В настоящей диссертации представлен ряд существенно новых научных результатов в задачах о координатном и импульсном туннелировании для одномерного уравнения Шредингера в квазиклассическом приближении.

Положения, выносимые на защиту:

1. В работе проведено исследование туннельного резонанса в несимметричном двуямном потенциале, получен критерий билокализации состояний и найдена асимптотика величины туннельного расщепления энергий.

2. Доказана формула связи двойной локализации волновых функций и величины туннельного расщепления энергий для оператора Шредингера с двуям-ным потенциалом. Найдено явное выражение амплитуды величины расщепления в случае высоких энергетических уровней и в случае энергий, близких к невырожденным минимумам потенциала.

3. Дано описание динамики состояния в двуямном потенциале при резонансном туннелировании и рассмотрены примеры резонансного туннелирования в несимметричных двуямных потенциалах.

4. Рассмотрен эффект туннельного захвата состояния в случае, когда исходная потенциальная яма является гладкой финитной функцией, а пробная потенциальная яма является прямоугольной. Представлены явные аналитические формулы для резонансных значений ширины пробной потенциальной ямы.

5. Доказано, что метод построения квазиклассического приближения для несимметричного потенциала, предложенный в работе Сонга, приводит к принципиально неверным результатам. Построен соответствующий контрпример.

6. В задаче, возникающей при рассмотрении эффекта "блоха на слоне", найдена асимптотическая формула для амплитуды туннельного расщепления энергий. Также получено обобщение описания данного эффекта на случай деформаций несимметричного потенциала.

7. В общем случае туннелирования между симметричными траекториями в фазовом пространстве (динамическое туннелирование) предложен операторный метод вычисления квазиклассической асимптотики величины туннельного расщепления энергий. В качестве примера рассмотрена задача о координатном туннелировании в симметричном и несимметричном двуямном потенциале.

8. Применяя предложенный операторный метод, для частицы на окружности в случае произвольного достаточно гладкого потенциала получена новая асимптотическая формула для величины туннельного расщепления энергий, связанного с надбарьерным отражением. В качестве примера применения этой формулы подробно рассмотрена задача о квантовом маятнике и показано, что в этом примере предложенная формула переходит в известную формулу Дыхне-Симоняна.

Достоверность полученных результатов обусловлена используемыми строгими математическими методами исследования. Все новые научные результаты в данной диссертационной работе строго доказаны.

Методы исследования

В диссертационной работе применялись следующие математические методы:

1. Методы функционального анализа и теории линейных операторов.

2. Асимптотические методы и методы теории возмущений.

3. Аналитические методы классического математического анализа и теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость

Математические методы, развитые в диссертационном исследовании, могут быть использованы для анализа различных моделей в квантовой механике, включающих резонансное туннелирование. Подобные модели встречаются в различных областях современной физики, например, в задачах молекулярной спектроскопии,

8

моделях квантовых вычислений и в наноэлектронике. Особый интерес представляют задачи, в которых присутствует внешний варьируемый параметр. Для таких задач критерий резонансного туннелирования, построенный в диссертационной работе, позволяет определить зависимость состояния системы при изменении внешнего параметра, и, в том числе, определить значения внешнего параметра, при которых возникает туннельный резонанс. Новые асимптотические формулы, полученные для задачи о резонансном туннелировании в несимметричном двуям-ном потенциале, позволяют выявить связь величины расщепления энергий и вида соответствующих стационарных состояний, а также получить описание динамики системы вблизи точек туннельного резонанса.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы были представлены на следующих российских и международных научных конференциях и семинарах.

1. Ежегодная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ и МИЭМ НИУ ВШЭ 2011 - 2015 годов.

2. 2-я Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов и молодых ученых по тематическому направлению деятельности национальной нанотехнологи-ческой сети "Функциональные наноматериалы для космической техники", МИЭМ, Москва, 2011.

3. Международная конференция посвященная 110-ой годовщине И. Г. Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара им. И. Г. Петровского), МГУ, Москва, 2011.

4. Международная школа-семинар «Взаимодействие математики и физики: новые перспективы» для студентов, аспирантов и молодых исследователей, Математический институт Стеклова РАН, Москва, 2012.

5. Семинар лаборатории "Математические методы естествознания", НИУ ВШЭ, Москва, 2014.

6. Семинар профессора О. Г. Смолянова, мехмат МГУ, Москва, 2015.

7. Семинар лаборатории "Механика природных катастроф", Институт проблем механики РАН, Москва, 2015.

Публикации

Основные результаты диссертации были получены соискателем лично и опубликованы в 3 работах соискателя, две из которых опубликованы в журналах, входящих в утверждённый ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы результаты кандидатских диссертаций. Еще одна статья и один препринт, содержащие обсуждение и примеры применения основных результатов, были опубликованы соискателем совместно с научным руководителем в изданиях, не входящих в упомянутый Перечень. Список публикаций приведён в конце настоящего реферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 110 наименований. Объём диссертации 120 стр.

Содержание работы

В главе 1 представлен детальный обзор литературы, изложены известные результаты и основные методы исследования, а также представлено описание открытых задач, решению которых посвящена настоящая диссертация.

Одной из базовых моделей туннелирования является движение частицы в симметричном двуямном потенциале. Хорошо известно, что в этом случае энергетические уровни, расположенные существенно ниже вершины потенциального барьера, являются квазивырожденными, и в спектре оператора Шредингера Я возникают пары экспоненциально близких (при П 0) собственных значений. Квазиклассическая формула для величины туннельного расщепления энергий имеет

Д = Е2 - Ег = ^ ехр ^ ^ у/2(У(х) - Е)йх^ [1 + ОЩ . (1)

Соответствующие волновые функции являются симметричными и антисимметричными, то есть локализованы сразу в двух потенциальных ямах.

С физической точки зрения большой интерес представляет также случай несимметричного потенциала. Одной из основных задач, рассматриваемых в диссертационной работе, является построение и строгое обоснование асимптотики спектра и стационарных состояний оператора Шредингера Н с несимметричным двуям-ным потенциалом, и определение условий, при которых эти состояния являются билокализованными. Задача состоит в построении аналога формулы (1) для величины туннельного расщепления энергетических уровней при квазивырождении в несимметричном двуямном потенциале, а также в определении вида соответствующих стационарных состояний. В диссертационной работе рассмотрен случай высоких и низких (вблизи дна потенциальных ям) энергетических уровней.

В главе 2 представлены новые научные результаты, полученные автором, в задаче о координатном туннелировании в несимметричном двуямном потенциале. Для задачи о резонансном туннелировании в несимметричном двуямном потенциале построено математически строгое описание спектра и стационарных состояний, доказан критерий двойной локализации стационарных состояний и получена асимптотическая формула для туннельного расщепления энергетических уровней. Также в этой главе представлены новые научные результаты в задачах описания эффектов «блоха на слоне» и туннельного захвата состояния.

В разделе 2.1 рассматривается задача о резонансном туннелировании в несимметричном двуямном потенциале для высоких энергетических уровней.

Рассмотрим спектр оператора Шредингера Н вблизи некоторой фиксированной энергии Е, для которой потенциал У(х) можно считать двуямным. Предположим, что энергия Е больше, чем минимумы двуямного потенциала, и меньше, чем вершина потенциального барьера, уравнение У{х) = Е имеет 4 простых кор-

11 Л. Д. Ландау, Е. М. Лнфшиц Квантовая механика: Нсрелятивисгская теория. Теоретическая физика. Т. 3. Издание 1-е. Л.: Гос. изд-во РСФСР, 1948. 567 с.

ня — точки поворота, и У(х) > Е + е при достаточно больших х и некотором е > 0. Пусть между точками поворота и хг находится потенциальный барьер, разделяющий потенциальные ямы, то есть У(х) > Е при х1 < х < хт.

Определим точку с из равенства

[ \р(х)\сЬ= [ \р{х)\<&, (2)

Jc

где р(х) = у/2(Е - У(х)) — классический импульс частицы. Точка с является центром потенциального барьера с точки зрения инстантонного действия. Пусть точки а и Ь выбраны так, что Х[ < а < с <Ъ < хт.

Введем два гладких потенциала Ц(х) и Уг(х), удовлетворяющих следующим двум условиям:

1. Потенциал Щх) = У(х) при х < Ъ, а Ут(х) = У{х) при х > а.

2. Потенциал Ц{х) > Е+е при х > Ь, а Ут(х) > Е + е при х < а, для некоторого е > 0.

Определим соответствующие операторы Шредингера с потенциалами Ц(х) и К(х):

л & & Нг = ~ + г = 1'г-

Пусть Е{ — точка дискретного спектра оператора ^ (г = 1,г), а — соответствующая действительная нормированная собственная функция.

Операторы Н1<г, фактически, описывают левую и правую потенциальную яму исходного оператора Я в отдельности. Несложно показать, что спектр оператора Я вблизи Е может быть получен с экспоненциальной точностью при объединении спектров операторов Йг, г = 1,г. При таком объединении может возникнуть квазивырождение энергетических уровней, когда энергия Е1 оказывается экспоненциально близка к энергии Ег. Если квазивырождения не происходит, то в качестве приближенной собственной функции оператора Я можно взять функцию или трг. С другой стороны, в случае квазивырождения энергетических уровней в спектре оператора Я присутствует пара экспоненциально близких точек спектра, а собственные функции приближенно имеют вид линейных комбинаций щ и Фт-

12

Пусть ф — нормированная собственная функция оператора Н. Определим вероятности обнаружить частицу в левой и правой потенциальной яме, как интегралы от квадрата модуля ф(х) при х < с для левой ямы и при х > с для правой ямы. Следовательно, в качестве величины, которая показывает, где сосредоточена волновая функция, можно взять, например, отношение вероятности РТ{П) к Р^Н).

Будем говорить, что волновая функция ф билокализована, если существует число ц > 0 такое, что

= м2 + о(Л).

т

Тогда обе вероятности Р;(Й) и РГ{К) обнаружить частицу как в левой, так и в правой потенциальной яме существенно отличны от нуля и для них справедливы асимптотические формулы:

1

1 +>

Л(Л)=Р/ + 0(Й) = тт-5 + 0(Й),

2 (3)

РАН) = Рг + о (К) = + 0{П).

1 + /Л''

Определим величину 5(Й):

6(П) = П

йфт <1ф1 --

ах ах

(4)

Величина <5(Й) является характерным масштабом экспоненциальной малости для туннельных эффектов в двуямном потенциале. Для высоких энергетических уровней получаем:

5(П) = Гг^рехр £ №*)[! + 0(Л)], (5)

где Ш{ — частота классических колебаний в потенциальной яме для энергии Е.

В диссертационной работе доказана следующая теорема, которая является критерием резонансного туннелирования и устанавливает связь между расщеплением энергетических уровней Д, двойной локализацией волновых функций и расстоянием между £/ и Ет.

Теорема 2.1 (Критерий резонансного туннелирования). Для фиксированного неотрицательного •числа А следующие три условия эквивалентны:

1. Вблизи энергии Е у оператора Н существует билокализованная собственная функция, для которой

А1 = + А2 ± А. (6)

2. Вблизи энергии Е в спектре оператора Н существует пара экспоненциально близких точек, расстояние между которыми задается асимптотической формулой:

Д = \/Г+А2 6 (К) [1 + 0{К)]. (7)

3. Вблизи энергии Е в спектре оператора Я, существует точка Е{ (г = I, г) такая, что верна асимптотическая формула:

\ЕГ ~ £/| = 5{К) [А + 0{К)}. (8)

Данная теорема обобщает результаты, известные для случая симметричного потенциала. Очевидно, что в случае симметрии потенциала выполнены все три условия теоремы при А = 0. В этом случае из (5) и (7) получается асимптотическая формула Ландау-Лифшица (1):

Д

шН ( \ ГТ \ — ехр \р\с1ху\ + 0{П)}.

В общем случае число А, как и д, количественно характеризует двойную локализацию волновых функций стационарных состояний.

Следствие 2.1. Если выполнены условия теоремы 2.1, то для собственных значений Е\ 2 и соответствующих волновых функций ф1<2 оператора Н с экспоненциальной точностью при П 0 справедливы следующие приближенные формулы:

„ Е1 + Ег 1 ,-

---х/№-^)2 + <52!

„ Е, + ЕГ 1 ,--(9)

Ь* - —у— + 2 ~ Ег)2 + <5'2'

ф\ соъ{а)Ф[ + вш(а)фТ.

ф2 ^ - зт{а)ф1 + соэ(а)фг, 14

где

а € (0, 7Г/2) .

Следствие 2.2. Для величины расщепления энергетических уровней справедлива формула:

Формула (12) позволяет определять характер локализации собственных функций по величине расщепления соответствующих энергетических уровней. Из (12) следует, что с ростом расщепления Д быстро исчезает двойная локализация собственных функций, то есть одна из вероятностей р1<Т становится близка к 0. При этом минимальное расщепление Д = ¿(Л)[1 + О(й)] соответствует максимальной билокализации с р; = рг = 1/2.

В разделе 2.2 диссертационной работы рассмотрена задача о резонансном туннелировании для случая энергий, близких к невырожденному минимуму потенциала, а в разделе 2.3 проведено сравнение полученных формул для высоких и низких энергетических уровней. Сформулируем основные результаты, полученные для нижних энергетических уровней.

Теорема 2.1 справедлива и для случая нижних энергетических уровней, где необходимо только изменить величину 5(К) в соответствии с (4). Следует разделять случаи, когда оба локальных минимума потенциала У(х) соответствуют одной энергии и когда значения У(х) в локальных минимумах не совпадают. Рассмотрим случай совпадения значений У(х) в точках локальных минимумов. Пусть

- координаты двух невырожденных локальных минимумов гладкого двуямно-го потенциала У{х). Будем считать, что

У{Ь + х) = '^х2{\+0{х)), г = 1..Т. (13)

В диссертационной работе доказана следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть п-ый энергетический уровень оператора Н1 близок кт-ому энергетическому уровню оператора НТ с точностью 0{Гг). Тогда для величины

15

6(й) справедлива формула:

/2\ 2 л+1/2 тт+1/2

ехрГ-- Л л/2У(х)дх] [1 + ОЩ , (14)

ехр

где

(15)

В разделе 2.4 диссертационной работы рассмотрена динамика частицы в дву-ямном потенциале при резонансном туннелировании.

В диссертационной работе показано, что если частица в начальный момент времени сосредоточена только в одной яме, для определенности в левой, и имеет место резонансное туннелирование, то максимальная вероятность обнаружить частицу в правой яме имеет вид:

Следовательно, Ргта1 может быть близка к единице, если Д ~ 5{К). В этом случае частица совершает туннельные колебания между ямами, практически полностью переходя из одной ямы в другую и обратно.

В разделе 2.5 приведены конкретные примеры несимметричных двуямных потенциалов, для которых возникает резонансное туннелирование, и применение теоремы 2.1 позволяет найти величину расщепления Д и вероятность Р™1.

В разделе 2.6 приведено детальное описание эффекта туннельного захвата состояния. Рассматривается специальный вид двуямного потенциала, который является суммой произвольной "физически заданной" ямы и прямоугольной "пробной" потенциальной ямы. Предположим, что потенциал физической ямы является финитной гладкой функцией, а параметры прямоугольной пробной ямы, такие как глубина, ширина и положение, являются внешними варьируемыми параметрами. Для определенности будем считать, что пробная яма расположена справа от физической ямы.

(16)

Рассматривается динамика состояния, локализованного в начальный момент времени в левой потенциальной яме. Если параметры правой ямы выбраны случайно, то состояние останется все время локализованным в левой яме с экспоненциальной точностью по П -> 0, но для ряда специальных (резонансных) значений параметров ситуация меняется: состояние туннелирует из физической ямы в пробную потенциальную яму, затем туннелирует обратно в физическую яму, и так далее. Эффект возникновения резонансного туннелирования при специальной настройке пробной ямы называют туннельным захватом состояния. Задача состоит в определении параметров пробной ямы, при которых происходит туннельный захват состояния.

Пусть потенциал V является суммой двух отрицательных финитных функций Ц и Уг с непересекающимися носителями. Физическая (левая) потенциальная яма V, является гладкой функцией, Ц(х) = 0, при х > а, и для фиксированной энергии Е < 0 потенциал Ц можно считать одноямным, а пробная потенциальная яма Уг является прямоугольной:

Ширина и: пробной потенциальной ямы является варьируемым параметром.

Предположим, что начальное состояние Ф0 локализовано в физической потенциальной яме и имеет энергию, близкую к отрицательному значению Е. Для определенности, пусть Ф0 совпадает со стационарным состоянием V/, которое соответствует энергии Е1 оператора Шредингсра Я, с потенциалом Ц, то есть Ф0 является стационарным состоянием при выключенном пробном потенциале.

Будем говорить, что происходит туннельный захват состояния, если вероятность р;па* не стремится к нулю при П -> 0. В диссертационной работе доказана следующая теорема.

Теорема 2.5. Пусть пробная потенциальная яма V,. находится достаточно далеко от физической ямы:

) х < Ь, х > Ь + - V Ь < х < Ь + т.

и ширина пробной потенциальной ямы и> совпадает с одним из резонансных значений:

Тогда состояние Фо, локализованное в начальный момент в физической яме, совершает туннельные переходы между ямами, и максимальная вероятность обнаружить состояние в пробной яме Р™ах = 1 + 0{К) при Й —» 0.

Следовательно, если пробная яма настроена специальным образом, а именно, если ее ширина совпадает с и)*к при некотором к, то пробная яма «захватывает» состояние с энергией Е[ из исходной ямы.

Таким образом, в диссертационной работе получены явные аналитические условия возникновения туннельного захвата для рассматриваемого класса потенциалов.

В разделе 2.7 рассматривается задача построения асимптотики возмущения энергетического уровня Ео оператора Шредингера Но с одноямным потенциалом У{х) при добавлении к нему возмущающего потенциала /(ж), который полностью сосредоточен вне области движения классической частицы. Предполагается, что при добавлении возмущения потенциал остается одноямным. Очевидно, что возмущение спектра окажется экспоненциально малым при Н 0 даже для возмущающей функции / порядка единицы, поскольку изменение потенциала в классически запрещенной области оказывает влияние на спектр только за счет туннельных эффектов. Задача состоит в получении главного члена асимптотики экспоненциально малого смещения энергетического уровня Ео-

Для определенности, предположим, что эирр/ = [а, 6] расположен справа от области классического движения в потенциальной яме V для энергии Ео.

В диссертационной работе доказана следующая теорема.

Теорема 2.6. Пусть функция / непрерывна на отрезке [а, Ь], /(а) = 0 и /(х) не меняет знак в некоторой окрестности точки х = а. Тогда для энергии Е из спектра оператора Н = Но + /(.т) справедлива асимптотическая формула

Щ =

1

— агс1ап

7Г

А: = 0,1,2,... (18)

при h —> 0:

Е-Ео= (1Фо,Фо) [1 + о(1)],

(19)

где ф0 нормированная собстпвенная функция исходного оператора Но. Следствие 2.3. Справедлива оценка:

где S действие по инетантону от точки поворота до носителя функции /.

Оценка (20) была получена ранее в знаменитой работе Иона-Лазинио12 при помощи вероятностных методов. Формула (19) позволяет не только получить известную оценку для показателя экспоненты (20), но и полностью вычислить главный член асимптотики величины возмущения энергии Е0.

Как следует из теоремы 2.6, изменение потенциала в классически запрещенной области приводит к экспоненциально малому возмущению спектра. Данные поправки представляют интерес, если в исходной задаче присутствует экспоненциальное квазивырождение спектра, поскольку тогда малое возмущение энергий может привести к существенному изменению стационарных состояний, а следовательно, и динамики системы. Простейшей подобной системой является двуямный потенциал.

Эффект разрушения двойной локализации при деформации потенциального барьера симметричного двуямного потенциала называют эффектом "блоха на слоне"13. Известно, что при деформации одной стороны потенциального барьера расщепление энергий возрастает и становится экспоненциально больше, чем расщепление в исходном симметричном двуямном потенциале. Для величины расщепления в деформированном двуямном потенциале справедлива оценка (20). Поскольку деформация одной стороны потенциального барьера влияет на одну из потенциальных ям сильнее, чем на другую, то для нахождения величины расщепления в задаче "блоха на слоне" можно применить теорему 2.С.

12 G. Jona-Lasinio. F. Martinelli, Е. Scoppola New approach to the sciniclassical limit of quantum mechanics // Communications in Mathematical Physics. l'Ml. T. 80. .V». 2. C. 22.1-254.

1J B. Simon Semiclassical analysis of low lying eigenvalues. IV. The flea on the elephant // Journal of functional analysis. 1985. T. 6.3. .V». 1. C. 123-136.

(20)

Используя результаты теорем 2.1 и 2.6, в диссертационной работе получена новая асимптотическая формула для величины расщепления энергий для эффекта "блоха на слоне":

А = {/ф,,фг) [1+о(1)],

где i = I или г, если возмущение /(х) расположено ближе к левой или правой яме соответственно. Полученная формула позволяет вычислять главный член асимптотического разложения для экспоненциально малой величины расщепления, а не только известный ранее показатель экспоненты.

Новые асимптотические формулы, полученные в диссертационной работе, для эффекта "блоха на слоне" позволяют провести критический анализ предложенных ранее моделей описания резонансного туннелирования в несимметричном двуям-ном потенциале. Так, в разделе 2.8 показано, что метод, предложенный в работе Сонга, приводит к неверным результатам, и построен соответствующий контрпример.

В главе 3 настоящей диссертации предложен общий операторный метод вычисления туннельного расщепления в задачах динамического туннелирования и рассмотрена задача об импульсном туннелировании частицы на окружности.

Основой предложенного метода является некоторая алгебраическая, коммутаторная формула, которая является операторным обобщением известной формулы Херринга:

Д = Л2^,(0)^(0)[1 + 0(/1)],

применяемой в случае координатного туннелирования в симметричном двуямном потенциале.

Пусть Е\, Е2 — пара точек дискретного спектра оператора Я, а ф\ и ф2 — соответствующие собственные функции. Пусть а — некоторый самосопряженный оператор такой, что {аф\, ф2) ф 0. Тогда для величины расщепления А = Е2 — Е\ справедлива формула:

д = (2.)

где [Н,а\ — коммутатор операторов Я и а.

Общая формула (21) при соответствующем выборе оператора а позволяет выразить величину расщепления Д через асимптотику волновых функций стационарных состояний VI и тр2- Для получения явных асимптотических формул для величины расщепления в конкретных задачах необходимо также построить достаточно точные асимптотики состояний ^1,2 в "туннельных" областях фазового пространства.

В разделе 3.1 показано, как, применяя предложенный метод, можно провести анализ туннелирования в симметричном и несимметричном двуямном потенциале (т.е. в задаче, рассмотренной ранее в главе 2 диссертации).

Далее рассматривается совершенно другая ситуация, в которой эффективно работает формула (21), а именно надбарьерное отражение, или импульсное тун-нелирование квантовой частицы. В качестве основной модели импульсного туннелирования рассматривается задача о малом расщеплении дискретного спектра оператора Шредингера Я для частицы, движущейся по окружности в потенциальном поле У{х), если ее энергия существенно больше максимума потенциала.

В разделах 3.2 и 3.3 изложены хорошо известные результаты об общей структуре спектра оператора Я, а также о связи спектральной задачи для оператора Шредингера на окружности и блоховского спектра оператора Шреденгера с периодическим потенциалом на прямой.

В разделе 3.4 при помощи предложенного операторного метода получена новая асимптотическая формула для величины туннельного расщепления энергий в задаче о динамическом туннелировании частицы на окружности. Доказана следующая теорема.

Теорема 3.3. Пусть — пара близких с точностью 0{Ь2) собственных значений оператора Я, отвечающих роторному режиму. Пусть соответствующие собственные функции -01,2 выбраны действительными и нормированы так,

что

Тогда для расщепления энергий справедлива асимптотическая формула:

Полученная асимптотическая формула (23) применима как в случае аналитического потенциала, так и для потенциалов конечной гладкости.

В разделе 3.5 рассмотрена старая модельная задача о квантовом маятнике У(х) — соз(х) и показано, что для этого примера из общей формулы для расщепления (23) следует известная формулу Дыхне-Симоняна.

В диссертационной работе проведен детальный анализ туннелирования в несимметричном двуямном потенциале. Доказаны необходимые и достаточные условия двойной локализации волновых функций и найдена асимптотические формулы для величины расщепления соответствующих энергетических уровней. Построенный критерий позволил установить существенную связь билокализации стационарных состояний и амплитуды величины туннельного расщепления соответствующих энергетических уровней. В работе построены асимптотические формулы для величины расщепления в случае высоких энергетических уровней и для энергий, близких к невырожденному минимуму потенциала, а также представлено описание динамики частицы в случае резонансного туннелирования и приведен ряд примеров туннельного резонанса для несимметричных потенциалов. Критерий туннельного резонанса, доказанный в диссертационной работе, позволил получить явные аналитические условия возникновения эффекта туннельного захвата состояния.

Полученные результаты хорошо согласуются с известными результатами для случая симметричного потенциала и являются их нетривиальным обобщением при отсутствии симметрии.

Применение строгих математических методов позволило обнаружить ряд существенных неточностей в существующих моделях туннелирования в несиммет-

Основные результаты работы

ричном двуямном потенциале. В частности, в диссертации показано, что формулы, полученные в работе Сонга, дают неверный результат, и построен соответствующий контрпример.

В диссертационной работе получены новые асимптотические формулы для расщепления энергий в задаче «блоха на слоне». Доказанная формула позволяет легко находить главный член асимптотического разложения величины экспоненциально малого смещения энергетических уровней при деформации потенциала в классически запрещенных областях.

В работе также рассмотрена задача о расщеплении энергий при динамическом туннелировании, когда резонансное туннелирование происходит между двумя периодическими траекториями классического движения в фазовом пространстве. Предложен общий операторный метод получения асимптотических формул для величины туннельного расщепления энергии, в качестве примеров рассмотрены частица в симметричном и несимметричном двухъямном потенциале и задача о надбарьерном отражении частицы, движущейся по окружности.

Для частицы на окружности предложенный метод позволил получить общую, неизвестную ранее асимптотическую формулу для величины туннельного расщепления, применимую как в случае аналитического потенциала, так и для потенциала конечной гладкости. В частности, с помощью этого общего метода дан новый вывод хорошо известной асимптотической формулы для модельной задачи о квантовом маятнике.

Работы автора по теме диссертации

Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Выборный Е.В. Туннельное расщепление спектра и бнлокализация собственных функций в несимметричной двойной яме '/Теоретическая и математическая физика. — 2014. — Т. 178. — №1. — С. 10S -131. — 1,1 а.л.

2. Выборный Е.В. Об энергетическом рапцеплеипн при динамическом туннелировании //Теоретическая и математическая физика. — 2014. — Т. 181. —

23

№2. — С. 337-348. — 0,5 а.л.

Работы, опубликованные в других изданиях:

3. Выборный Е.В. Туннельное расщепление спектра и билокализация собственных функций в несимметричной двойной яме //Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. — 2012. — Т. 7. — №2. — С. 5-16. — 0,5 а.л.

4. Выборный Е. В., Карасев М. В. Эффект туннельного захвата //Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. — 2014. — Т. 11. — №1. — С. 27-36. — 0,4 а.л. (личный вклад автора 0,2 а.л.).

5. Karasev М., Vybornyi Е. Tunnel catch from potential wells and energy detection //Working papers by Cornell University. Series math-ph "arxiv.org". — 2014. — arXiv:1411.4436 [math-ph], — 0,4 а.л. (личный вклад автора 0,2 а.л.).

Лицензия ЛР №020832 от «15» октября 1993 г. Подписано в печать «¿?6 ь^а/эга 20^г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л._.

Тираж 1с?О экз. Заказ №

Типография издательства НИУ ВШЭ, 125319, г. Москва, Кочновский пр-д., д. 3.