Некомпактные римановы и лоренцевы многообразия со специальными группами голономии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Базайкин Ярослав Владимирович

НЕКОМПАКТНЫЕ РИМАНОВЫ И ЛОРЕНЦЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ ГРУППАМИ ГОЛОНОМИИ

01.01.04 — геометрия и топология

2 2 ОПТ 2003

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

003480302

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный консультант:

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Тайманов Искандер Асанович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Берестовский Валерий Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор Бураго Юрий Дмитриевич,

доктор физико-математических наук, профессор Родионов Евгений Дмитриевич

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

Защита состоится 12 ноября 2009 г. в 15°° на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С.Л.Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН.

Автореферат разослан . 3 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А. Е.

Общая характеристика работы

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию геометрических и топологических свойств римановых и лоренцевых многообразий со специальными группами голономии.

Постановка задач и актуальность темы диссертации. Первое упоминание о голономии (а именно, использование термина «голоном-ные» и «неголономные» связи в классической механике) датируется 1895 годом и принадлежит Герцу [27, 37]. В математических работах понятие голономии впервые возникло в 1923 году у Э. Картана [16, 17, 19] применительно к римановым многообразиям, и уже имело современный смысл. Кратко говоря, группа голономии Но1(М) С 0(п) римано-ва многообразия Мп порождается операторами параллельных переносов относительно связности Леви — Чивита вдоль путей, начинающихся и заканчивающихся в фиксированной точке р 6 М. Если рассмотреть только стягиваемые петли, то мы получим ограниченную группу голономии Но1°(М), которая является связной компонентой единицы в группе Но1(М). Везде в диссертации многообразия предполагаются односвяз-ными, и поэтому Но1(М) = Но1°(М). Интуитивно ясно, что если Но1(М) не будет совпадать с максимально возможной группой изометрий 50 (п) касательного пространства ТРМ, то это должно свидетельствовать о наличии ограничений на геометрию риманова многообразия. И действительно, каждой специальной группе голономии отвечает та или иная специальная геометрия.

Глобальный характер группы голономии риманова многообразия подчеркивается теоремой де Рама о разложении. Очевидно, что если рима-ново многообразие М является прямым произведением римановых многообразий М\ и М.2, то Но1(М) = Но1(Мх) х Но1(Мг) (вместе с соответствующим разложением представления группы голономии). В случае, если риманово многообразие полно, то верно обратное:

Теорема [36]. Пусть М — полное риманово многообразие, группа голономии О которого является произведением двух групп (?1 «бг, а представление голономии группы С? раскладывается в сумму представлений и С-2. Тогда М изометрично прямому произведению двух римановых пространств М\ и М^, где Но1(М\) = £?1 и Но1(М2) = (?2, а, представления групп бх и 62 совпадают с представлениями голономии Мх и М2.

Естественным образом возникает задача классификации римановых

групп голономии: какие группы могут быть группами голономии ри-манова многообразия?

При решении этой задачи можно сразу ограничиться полными неприводимыми римановыми многообразиями, т.е. такими, представление голономии которых не обладает инвариантными подпространствами в ТРМ. В силу теоремы разложения де Рама такие многообразия не раскладываются в прямое произведение, и обратно, любое полное риманово многообразие раскладывается в произведение неприводимых.

Важный пример римановых многообразий со специальными группами голономии дают симметрические пространства:

Теорема [19]. Пусть М" — симметрическое пространство и С — группа Ли изометрий М, порожденная всеми отражениями, переворачивающими геодезические. Предположим, что Н С б - группа изотропии М, относительно выбранной точки. Тогда М — С/Н, и группа голономии Но1(М) совпадает с Н, а представление голономии совпадает с представлением изотропии в/Н.

Картаном [18] задача описания односвязных римановых симметрических пространств была сведена к теории групп Ли, и им был получен список всех таких пространств. Следующее важное продвижение в задаче классификации было сделано Берже:

Теорема [7]. Пусть М — односвязное неприводимое риманово многообразие размерности п, не являющееся локально симметрическим. Тогда имеет место один из следующих случаев.

1) Но1(М) — 50(тг) — общий случай,

2) п — 2т, где т > 2 и Но1{М) - Е/(т) С 50(2т) -

кэлеровы многообразия,

3) п - 2т, где т > 2 и Но1{М) = 5С/(т) с 50(2т) -

специальные кэлеровы многообразия,

4) п - 4т, где т > 2 и Но1{М) = Зр{т) С 50(4т) -

гиперкэлеровы многообразия,

5) п = 4т, где тп > 2 и Но1{М) = 5р(т)5р(1) С 50(4т) -

кватернионно-кэлеровы многообразия,

6) п = 7 и Но1(М) = С?2 С 50(7),

7) п = 8 и Но1(М) = 5ртп(7) С 50(8).

В оригинальном списке Берже присутствовал также случай п = 16 и Но1(М) = 5рт(9) С 50(16). Однако в [1, 11] было доказано что в этом

случае М является симметрическим и (локально) изометрично проективной плоскости Кэли СаР2.

Таким образом, для решения задачи классификации нужно понять какие из групп списка Берже могут быть реализованы как группы го-лономии полных римановых многообразий. При этом возникают два аспекта задачи классификации: доказательство того, что группа Берже реализуется как группа голономии (неполной) локально определенной римановой метрики; нахождение полной римановой метрики с данной группой голономии. Вторая задача, особенно в случае построения римановой метрики на замкнутом многообразии является существенно более трудной. С другой стороны, построение полной метрики кажется разумным требованием, в силу глобального характера группы голономии (нельзя потенциально исключить случай, что петли, которые могут уходить «достаточно далеко» от фиксированной точки окажут решающее влияние на группу голономии). Далее мы пройдемся кратко по списку Берже и прокомментируем каждый случай.

Кэлеровы пространства хорошо изучены, и примеров кэлеровых пространств с группой голономии и(т) можно приводить очень много [4, 5].

Римановы многообразия, группа голономии которых содержится в Би(т) называются многообразиями Калаби — Яу (название связано с теоремой Калаби — Яу, цитированной ниже), или специальными кэле-ровыми многообразиями. Можно показать, что специальные кэлеровы многообразия являются Риччи-плоскими [5, 2]. Уже из этого факта ясно, что построение таких многообразий является трудной задачей. Первый пример полной римановой метрики с группой 5С/(т) был построен Калаби [15].

Существование специальных кэлеровых метрик на компактных многообразиях стало возможным показать после доказательства Яу гипотезы Калаби [39]: компактное кэлерово многообразие с нулевым первым классом Чженя допускает специальную кэлерову метрику, кэле-рова форма которой когомологична исходной кэлеровой форме. Первым и наиболее известным примером такого многообразия является К3-поверхность, которую, пользуясь конструкцией Куммера можно представить следующим образом.

Рассмотрим инволюцию плоского тора Т4, возникающую из центральной симметрии евклидова пространства Е4. После факторизации получаем орбифолд с 16 особыми точками, окрестности которых устроены как С2/г2. Выполнив раздутие полученного орбифолда в окрестности каждой особой точки, мы получаем двумерное комплексное многообра-

зие — ЛГЗ-поверхность. Поскольку ее первый класс Чженя равен нулю, то на К3 по теореме Калаби — Яу существует специальная кэлерова метрика. Более того, пространство модулей таких метрик имеет размерность 58.

Геометрическое объяснение этой размерности, также как и «качественное» описание специальных кэлеровых метрик на КЗ было дано Пэйджем [35]. Центральную роль в конструкции Пэйджа играет метрика Эгучи — Хансона [21]. Эта метрика является метрикой с группой голономии Би{2) на Т*Б2 и асимптотически выглядит как плоская метрика на С2/2г- Топологически конструкция раздутия особой точки вида С2/Й2 в Т4Д2 устроена так: надо выколоть особенность и отождествить ее окрестность с пространством шарового расслоения в Т*52 без нулевого слоя 52. Пэйдж предложил рассмотреть на Т*5'2 метрику, гомотетичную метрике Эгучи — Хансона с достаточно малым коэффициентом гомотетии, так что на границе приклеиваемого шарового расслоения метрика становится сколь угодно близка к плоской. После этого надо слегка деформировать метрику на торе так, чтобы получить гладкую метрику на /СЗ-поверхности с голономией 5С/(2). Простой подсчет степеней свободы при выполнении этой операции показывает, что таким образом получается 58-мерное семейство метрик, что совпадает с известными результатами о размерности пространства модулей таких метрик [39].

Гиперкэлеровы многообразия также являются многообразиями Калаби — Яу, но их группа голономии меньше, чем 5£/(2т) и совпадает с 5р(т). Теорема Калаби — Яу также может быть использована для их построения, и более того, построение гиперкэлеровых многообразий оказалось более легким, чем специальных кэлеровых. Детали можно найти в [30]. Отметим, что первая полная риманова гиперкэлерова метрика была найдена Калаби [15].

Кватернионно-кэлеровы многообразия интересны тем, что являются эйнштейновыми (не являясь вообще говоря кэлеровыми). Классическим примером являются кватернионные проективные пространства ШРп, являющиеся симметрическими. Есть гипотеза (до сих пор не доказанная), что этими пространствами исчерпываются компактные кватернионно-кэлеровы многообразия. В некомпактном случае, существует много однородных кватернионно-кэлеровых пространств, классифицированных в [1, 20].

Наконец, оставшиеся последними в списке Берже случаи Но1 = 62 и Но! = 5ргп(7) представляют особый интерес с позиций диссертации.

Эти две группы голономии принято называть исключительными группами голономии. Довольно долго не было известно ни одной римановой метрики с исключительными группами голономии. Только в 1987 году примеры неполных (локально определенных) метрик с группами голономии 5ргп(7) и 0-2 были построены Брайантом в [12]. Затем в 1989 году Врайантом и Сэламоном [14] были построены первые примеры полных римановых метрик с исключительными голономиями на некомпактных пространствах. И лишь в 1996 году Джойс [28, 29] при помощи конструкции, восходящей к Пэйджу и довольно тонкого анализа смог доказать существование компактных примеров. Систематическое изложение результатов Джойса можно найти в [30]. Ковалёв построил новые примеры компактных многообразий с группой голономии 02, отличные от примеров Джойса, при помощи конструкции связной суммы используя трехмерные поверхности Фано [33]. На данный момент вопрос о существовании римановых метрик с группами голономии 5ргп(7) и О о на тех или иных многообразиях (компактных или некомпактных) остается до конца неясным.

Новый интерес к некомпактным примерам возник относительно недавно со стороны математической физики. Было предложено использование некомпактных метрик с группами голономии Брт{7) в так называемой М-теории. В работах [23, 24, 25, 26, 31, 32] был построен ряд новых полных примеров, часть которых является не многообразиями, а орби-фолдами. Все эти метрики автоматически являются Риччи-плоскими и асимптотически ведут себя либо как конусы, либо как произведения конусов на окружности. Все построенные примеры представляют собой метрики кооднородности один, т.е. расслаиваются на однородные семимерные слои.

Некомпактные римановы многообразия со специальными группами голономии (а именно этому случаю посвящена диссертация) занимают свое собственное положение в теории групп голономии римановых пространств, и важность их изучения мотивируется следующими причинами. Теорема Калаби — Яу хотя и дает исчерпывающий ответ на вопрос о существовании специальных кэлеровых метрик, но вопрос о строении таких метрик остается неясным. Нет речи о сколь-нибудь явном построении метрик Калаби — Яу на замкнутых многообразиях; однако и «качественное» строение таких метрик теорема Калаби — Яу не проясняет. Пожалуй единственный подход связан с описанным выше методом Пэй-джа для построения метрик Калаби — Яу на КЗ-поверхности: действительно, в этом случае мы можем достаточно точно понять как устрое-

на метрика с группой голономии 5£/(2) (по крайней мере вблизи особой плоской метрики на Т4/^)- При этом в методе Пэйджа принципиальное значение играет явный вид метрики Эгучи — Хансона на некомпактном многообразии Т*Б2. Этот пример является в определенном смысле модельным: Джойс, при построении своих метрик использовал именно эту идею. В цитированной выше работе Ковалёва также используется конструкция связной суммы двух некомпактных многообразий, имеющих специальные группы голономии.

Итак, резюмируя, мы можем сказать, что для качественного понимания метрик со специальными группами голономии, метрики на некомпактных многообразиях полезны, поскольку: во-первых, уравнения для них существенно проще и решаются либо явно, либо существует хорошее качественное описание решений; во-вторых, можно моделировать при помощи них метрики на компактных многообразиях (например в духе конструкции Пэйджа); в-третьих, с точки зрения математической физики представляют интерес именно метрики на некомпактных многообразиях (или орбифолдах).

Другая «логическая» часть диссертации посвящена группам голономии некомпактных лоренцевых многообразий. Отметим, что в этом случае рассмотрение компактных лоренцевых многообразий вообще вряд ли является осмысленным (по крайней мере с точки зрения физических приложений), поскольку можно доказать, что любое ориентированное во времени компактное лоренцево многообразие содержит замкнутую вре-мениподобную кривую (образно говоря, «существует петля времени») [3].

Что касается групп голономии псевдоримановых многообразий, по отношению к классическому риманову случаю, то здесь ситуация осложняется наличием неразложимых групп голономии, не являющихся неприводимыми. Более подробно, пусть (М,д) — псевдориманово многообразие с группой голономии в = Но1р(Аг), р £ N. Представление голономии называется разложимым, если существует (^-инвариантное разложение

ТРЫ = И7! ф ... ф 1¥г,

такое что г > 2 и И^ ^ О для всех г = 1,..., г. В противном случае представление называется неразложимым. Представление голономии называется неприводимым, если не существует нетривиального собственного б-инвариантного подпространства Ш С ТРЫ. Теорема де Рама обобщенная на псевдориманов случай утверждает следующее [36, 38]: псевдориманово многообразие с разложимым представлением голономии локаль-

но изометрично произведению (Ш^1,51) х ... х (Жк",дг), где к{ = сНтИ^ и Но1р(ДГ) = Н\ х ... х Нг. Более того, если N односвязно и геодезически полно, то изометрично (N1,51) х ... х (Иг,дг), где Hi — группа

голономии (./У,,^), г = 1,... ,г.

В работах [7, 13] был получен список кандидатов в неприводимые группы голономии псевдоримановых многообразий, и в [13] все эти группы были реализованы как группы голономии псевдоримановых пространств. При анализе списка из [7, 13] видно, что в лоренцевом случае не может быть неприводимых групп голономии, кроме 30(п + 1,1). Таким образом, задача классификации специальных групп голономии лоренцевых пространств сводится к исследованию неразложимых представлений голономии, не являющихся неприводимыми.

В [8] были изучены алгебры голономии неразложимых лоренцевых многообразий, не являющихся неприводимыми. С каждой такой алгеброй % С во (п + 1,1) была ассоциирована ее ортогональная часть Ь С во(п), причем для данной ортогональной части существуют ровно четыре типа алгебры g, которые потенциально могут быть алгебрами голономии лоренцева многообразия:

а е м,х е R", л е h с so(n)

(/О X 0 \ )

g2 h = ^ о А -ХТ I |Х 6 R", Л GhC so(n) > ;

IV 0 0 0 / J

( / ф(А) X 0 \ )

g3,h,Ф _ J ! 0 A _хт |x б К", Л G h С so(n) } ,

l\ 0 о -ф(А) j J

где центр Z(h) алгебры h нетривиален и ф : h -> M — ненулевое линейное отображение, такое что ф\ъ> = 0 (через h' мы обозначаем коммутант алгебры Ли h);

g4,h,т,ф _

'fox ф(А) О

О о о -№Т llxeR™,Aehcso(m)}, \ о о о о

где 0 < тп < п, dim Z{ h) > п — тиф :h—> Жп_т — сюръективное линейное отображение, такое что j/>|h' = 0. Этим алгебрам отвечают четыре

группы Ли С1'11, С*'"'* и , зависящие от ортогональной

части Н — группы Ли, отвечающей алгебре Ли Ь.

В [34] было доказано, что если g С зо(тг-Ы, 1) является алгеброй голо-номии неразложимого лорендева многообразия, не являющегося неприводимым, то ее ортогональная часть Ь является алгеброй голономии ри-манова многообразия. В работе [8] часть этих типов алгебр были, также локально, реализованы как алгебры голономии локально определенных лоренцевых метрик, в работе [22] были реализованы (локально) алгебры всех четырех типов.

Однако вопрос о глобальном строении лоренцевых метрик со специальными голономиями до сих пор до конца не ясен. Более того, даже постановка задачи осложнена неоднозначностью понимания «полноты» в лоренцевой геометрии. В работе [6] была предложена задача построения глобально гиперболических лоренцевых многообразий для каждого специального типа группы голономии. Кратко говоря, глобально гиперболическое лоренцево пространство — это пространство обладающее про-странственноподобной гиперповерхностью, с которой любая непродол-жаемая непространственноподобная кривая пересекается ровно в одной точке [3]. Это одно из самых сильных условий причинности, наиболее полезное для математической физики. В [6] часть специальных групп голономии (а именно тип 2) был реализован глобально гиперболическими лоренцевыми многообразиями.

Основные результаты диссертации.

1. Предложен метод, позволяющий строить метрики с группами голономии 5ргп(7) и С?2 по произвольному семимерному 3-сасакиеву многообразию. При помощи данного метода построены новые полные римановы метрики с группой голономии 5рт(7) на некоторых некомпактных гладких многообразиях (в том числе однопа-раметрические семейства таких метрик), и с группами голономии Яргп(7) и (г2 на некомпактных орбифолдах.

2. В явном виде найдены Риччи-плоские римановы метрики с группой голономии Б и (2) на кокасательных расслоениях к взвешенным комплексным проективным прямым, обобщающие метрику Эгу-чи — Хансона. При помощи построенных метрик получено описание пространства модулей метрик с группой голономии 31/(2) на /ГЗ-поверхности в окрестности предельной плоской метрики на

Т4/23.

3. Доказано, что на каждом односвязном компактном четырехмерном Т^-многообразии существует рнманова метрика положительной кривизны Риччи, инвариантная относительно данного действия Г2.

4. Для каждой группы голономии лоренцева пространства (за исключением тех, ортогональная часть которых содержит в качестве прямого слагаемого группу изотропии кэлерова симметрического пространства ранга большего один) доказано существование глобально гиперболического лоренцева многообразия с данной группой голономии.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

Все основные результаты диссертации являются новыми, снабжены доказательствами и своевременно опубликованы.

Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в Институте математики СО РАН, Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, Петербургском отделении Математического института РАН, Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, Санкт-Петербургском, Новосибирском, Омском, Алтайском и других государственных университетах.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории групп голономии (псевдо)римановых пространств. Задача построения метрик с группой голономии Ярт(7) и (7 2 сводится к исследованию некорректно определенной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений на функции, определяющие метрику. При исследовании пространства модулей метрик с группой голономии 5С/(2) на КЗ-поверхности использованы методы, развитые Джойсом для построения римановых метрик с исключительными группами голономии. Теория четырехмерных Г2-многообразий использовалась для исследования метрик голономии 811(2) на взвешенных проективных комплексных прямых и для построения метрик с положительной кривизной Риччи. Для построения глобально гиперболических лоренцевых многообразий используется методы теории причинности в лоренцевой геометрии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на различных международных и всероссийских конференциях: на международной конференции «Нелинейные методы в топологических задачах», проходившей в Бедлево в 2006, на Международном математическом конгрессе, проходившем в Мадриде в 2006, на международной кон-

ференции, посвященной 95-летию со дня рождения А. Д. Александрова, проходившей в С.-Петербурге в 2007, на Всероссийской конференции, проходившей в Челябинске в 2006 и других; на семинарах «Геометрия, топология и их приложения» (рук. И. А. Тайманов) Института математики СО РАН и «Алгебраическая топология и ее приложения» (рук. В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов) Механико-математического факультета МГУ и др.

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК [40, 41, 42, 43, 44, 45, 46]. Две работы являются совместными: статья [43] выполнена совместно с Е. Г. Мальковичем и статья [46] — совместно с И. В. Матвиенко. Эти работы получены в процессе неразделимой творческой деятельности авторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Она изложена на 165 страницах текста, библиография содержит 91 наименование.

Автор выражает признательность научному консультанту И. А. Тай-манову за многочисленные полезные обсуждения на всем протяжении работы над темой диссертации.

Содержание диссертации.

Введение. Во введении дается обзор современного состояния теории групп голономии римановых и лоренцевых пространств, а также описываются результаты, составляющие основное содержание диссертации.

Глава 1. Данная глава посвящена изложению используемых в диссертации сведений о группах голономии и связанных вопросов, и состоит из трех параграфов.

В параграфе 1.1 приводятся основные результаты о группах голономии римановых пространств, подробно описываются геометрии из списка Берже.

Параграф 1.2 посвящен изложению теории 3-сасакиевых многообразий, необходимых для конструкции метрик с исключительными группами голономии.

В параграфе 1.3 приведены сведения о специальных группах голономии лоренцевых пространств, указаны алгебры и группы из списка Бержери — Икемахена, являющегося аналогом списка Берже для ло-ренцевой геометрии.

Глава 2. В этой главе, состоящей из шести параграфов, описана конструкция, позволяющая строить метрики с группами голономии 5ргп(7)

и С?2 по произвольному семимерному 3-сасакиеву многообразию М.

Параграф 2.1 начинается с обсуждения двух возможностей гладкого разрешения конусной особенности пространства М = (0, оо) х М с метрикой dt2 + t2g, где д — 3-сасакиева метрика на М. Пространство М.\ получается при затягивании на «уровне» t = О каждого трехмерного слоя 3-сасакиева слоения М в точку, при этом сечение {t} х М кол-лапсирует при t — 0 в кватернионно-кэлерово пространство О = M/S3. Показывается, что М.\ является пространством расслоения над О с общим слоем Ж4 либо M4/Z2 (в зависимости от М), ассоциированным с главным расслоением М -> О.

Аналогично, если при t — О затянуть в точку каждую окружность, соответствующую одному характеристическому полю М, скажем то получается пространство М.2- При этом каждое сечение {¿} х М коллап-сирует при t = 0 в твисторное пространство Z = M/S1, где действие S1 порождается киллинговым полем Показывается, что М.2 является пространством векторного расслоения над Z со слоем R2, ассоциированным с главным расслоением М —> Z. Получающиеся таким образом пространства М\ и М.ч в общем случае являются орбифолдами, однако при М = RP7,57,5'i7(3)/{7(l)i)i гладким восьмимерным многообразием является пространство M-i/^r (при любом г), а при М = S7 — пространство .Mi.

Далее рассматривается риманова метрика

з

g = dt2 + ^Mt)2vf+B(t)2g\n, (2.1)

i=i

на М — (0, оо) х М, зависящая от функций Ai(t), A2(t), Лз(£), B(t), определяющих «размеры» М в зависимости от переменной t (здесь формы щ двойственны к характеристическим сасакиевым полям а Н — касательное распределение, ортогональное этим полям). Задается Spin(7)-структура на М, согласованная с метрикой (2.1) при помощи структурной 4-формы Ф. Метрика (2.1) является деформацией стандартной конусной метрики на М, получающейся при Ai = В — t, i = 1,2,3 и имеющей группу голономии Sp(2) С Spin(7) С S0(&). После деформации группа голономии вообще говоря увеличивается, и ставится задача найти условия, при которых группа голономии метрики (2.1) останется в Spin(7). Доказывается, что эти условия равносильны следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений на функции Ai, В

(лемма 2.1):

,, _ (Лг-Л3)2-А

л1 - -Ж + Л^й

А' - Щ. + (Аз~А ■

2 - В2 ^ А!Ах ' ('О 31

Л' - Щ 4- 1 '

лз - -Ж + А1А2

Р>1 — А1+А2+Ая

п — в ■

Далее формулируются краевые условия для системы (2.3), при выполнении которых метрика (2.1) является гладкой либо на пространстве М\, либо на пространстве Л^г/^г (леммы 2.2 и 2.3):

-гладкость на пространстве равносильна условиям Ах (0) = Аг(0) = А3(0) = 0,|л;(0)| = \А'2(0)\ = \А'3(0)\ = 1,5(0) ф 0,В'(0) = 0 и функции знакоопределены на промежутке (0,оо);

- гладкость на пространстве Л1г/2Г равносильна условиям Лх(0) = 0, И!(0)1 = 4,л3(0) = -Лз(0) ф 0,^(0) = А№),В(0) ф 0,В'(0) = 0 и функции А\ (¿), Лз(<), ,В(£) знакоопределены на промежутке (0, оо), причем г = 2 или г = 4 в зависимости от того, равен общий слой 3-сасакиева слоения либо ЕР3, либо 53.

В заключение параграфа приводятся известные ранее частные решения системы (2.3).

В параграфе 2.2 формулируется и доказывается один из основных результатов Главы 2 — Теорема 2.1, описывающая все решения системы уравнений (2.3) с краевыми условиями, определяющими метрику на пространстве Мъ^т'-

Теорема 2.1 [42]. Пусть М — 7-мерное компактное 3-сасакиево многообразие, и положим р = 2 или р = 4 в зависимости от того, равен общий слой Ъ-сасакиева слоения М либо 50(3), либо 5р( 1). Тогда на орбифолде существуют следующие полные регулярные римановы метрики д вида (2.1) с группой голономии Н С Бр1п(7):

1) если Лх(0) = 0, — 0) = Лз(0) = 5(0) > 0, то метрика д имеет группу голономии 31/(4) С 5ргп(7) и совпадает с АК-метрикой (2.7);

2) для каждого набора начальных значений А1 (0) = 0, 0 < —А2 (0) = Лз(0) < В(0) существует регулярная АЛК-метрика д с группой голономии Зргп(7). На бесконечности эти метрики стремятся к произведению конуса над твисторным пространством 2 и окружности 51.

Более того, любая полная регулярная метрика на пространстве /2, вида (2.1) с параллельной 5ргп(7)-структурой, задаваемой формой Ф изометрична одной из указанных выше.

Чтобы исключить гомотетичные метрики можно ввести параметр ц = Аз(0)/В(0), 0 < /х < 1. Таким образом, теорема 2.1 доказывает существование однопараметрического семейства (0 < /х < 1) попарно негомотетичных полных римановых метрик с группой голономии 5ргп(7). Упоминаемая в теореме метрика (2.7) с группой голономии 57/(4), получающаяся при ц = 1, изометрична метрике Калаби [15].

Для доказательства теоремы 2.1 производится редукция системы (2.3) к автономной системе дифференциальных уравнений на трехмерной сфере, находятся все стационарные (лемма 2.6) и условно стационарные (лемма 2.7) точки редуцированной системы. Доказывается, что стационарные и условно стационарные точки редуцированной системы отвечают асимптотически (локально)-коническим метрикам на М\ и (лемма 2.8). Доказывается, что для каждой начальной точки, отвечающей краевым условиям леммы 2.3 редуцированной системы существует единственная траектория, выходящая из этой точки (лемма 2.9). В лемме 2.11 выясняется, как асимптотически ведут себя траектории редуцированной системы, и в лемме 2.12 завершается доказательство теоремы 2.1 доказательством того, что полученные полные метрики имеют группу голономии £рт(7).

В параграфе 2.3 формулируется и доказывается теорема 2.2, описывающая все решения системы уравнений (2.3) с краевыми условиями, определяющими метрику на пространстве М\. Теорема 2.2 дополняет теорему 2.1 и вместе с ней полностью завершает исследование решений системы (2.3), удовлетворяющих условиям регулярности.

Теорема 2.2 [44]. Пусть М — 7-мерное компактное 3-сасакиево многообразие. Тогда существует двупараметрическое семейство попарно негомотетичных римановых метрик на М1 вида (2.1) с группой голономии, содержащейся в 5ргп(7), удовлетворяющих начальным условиям:

Л 1(0) = А2(0) = Л3(0) = О, Л1(0)=Л2(0) = Л3(0) = -1, В(0) > 0,В'(0) = 0.

Семейство метрик параметризуется тройкой чисел Аз < А2 < Аз < 0, таких что А^ + А2 + А§ = е2 для достаточно малого е > 0: для каждой такой тройки существует значение переменной £ = ¿о, при котором траектория (А\, А2, Аз) проходит через эту тройку, т.е.

Л(г0) = Аь А2(г0) = А2, Л3(«о) = А3.

При А1 = А2 = Аз метрика (2.1) является полной римановой метрикой с группой голономии Зргп(7) и асимптотически ведет себя как конус над М; при Хх ф А2 = Аз мы также получаем семейство полных метрик с группой голономии Брт(7), асимптотически ведущих себя как произведения конуса над твисторным пространством М и окружности постоянного радиуса. Наконец, в остальных случаях метрики полными не являются.

Любая другая полная регулярная метрика вида (2.1) с параллельной 5ргп(7)-структурой, заданной формой Ф на М.\ совпадает с одной из метрик описанного семейства, с точностью до перестановок индексов переменных.

Отметим, что полные метрики, описанные в этой теореме были найдены в [23] для случая М — 57.

Для доказательства теоремы 2.2 осуществляется раздутие трехмерной сферы в точке, отвечающей начальному краевому значению в лемме 2.3. Редуцированная автономная система поднимается на раздутую сферу и доказывается, что существует двупараметрическое семейство ее решений (лемма 2.14). В лемме 2.16 выясняется, как асимптотически ведут себя траектории редуцированной системы, что завершает доказательство теоремы 2.2.

В параграфе 2.4 приводятся строгие доказательства лемм 2.2 и 2.3, формулирующих условия регулярности построенных метрик на пространствах М1 и Л^г/^г-

В параграфе 2.5 описанная выше конструкция используется для построения метрик с группой голономии 62 на семимерных пространствах Л/", связанных с М. Рассматривается гладкое разрешение N стандартного конуса (0,оо) х 2 над твисторным пространством 2 = М/51. При этом 2 расслаивается над О со слоем 53/5Х = 52, поэтому каждый слой Б2 коллапсирует в точку, а сечение {£} х 2 коллапсирует при Ь — 0 в О. Получающиеся пространство Я является векторным расслоением над О со слоем К2.

На (0, об) у. 2 рассматривается риманова метрика д = М2+ А(1)2(Ч1 + VI) + В{1)2(тй + %2) + С(*)2(%2 + т?2), (2.19)

зависящая от трех функций А, В, С, задающих деформацию конусной метрики. При помощи структурной 3-формы Фх задается (^-структура, согласованная с метрикой (2.19) (формы щ, щ, щ, т]7 порождают горизонтальное распределение Н). При этом Сг-структура для общего М

определена только при В = С, а при В ф С нужно потребовать дополнительно, чтобы О было кэлеровым.

Далее формулируется и доказывается основная теорема параграфа и оставшейся части главы:

Теорема 2.3 [43]. Если О обладает кэлеровой структурой, то метрика (2.19) на ЛГ является гладкой метрикой с группой голономии С-2, заданной формой Фх тогда, и только тогда, когда функции А, В, С, определенные на промежутке [¿о, оо) удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

А! _ 2а2-В2-С2 ВС '

В' = с Г2 , (2.20)

— С2 — 2$ — В2 ° ~ -АВ-

с начальными условиями

(1)А(1 о) = 0, М («о) 1 = 2;

(2) В(10),С(10) ф 0, £'(*„) = С\1 о) = 0;

(3) функции А,В,С знакоопределены на промежутке (¿о, оо).

Система (2.20) имеет единственное решение, удовлетворяющее вышеприведенным условиям регулярности, и это решение отвечает следующей метрике с группой голономии :

<*Г 2 Л

9 =-;т + г2 1 -

1-й V

(%2 + 4) + 2г2 (ту2 + 4 + %2 + т?2). (2.21)

Метрика, описанная в теореме 2.3 была впервые найдена в [14] при М = 57,5[/(3)/{7(1)1д. Чтобы подробнее исследовать новые примеры, в параграфе 2.6 в качестве 3-сасакиева многообразия М берется пространство Эшенбурга, получающееся как фактор-пространство 311(3) по следующему действию 51:

2 £ й1 : А Н ¿Пае (гР1 ,гР2,гРз) • А ■ сШщ (1,1,г-п~Р*-р*)т

Тогда на орбифолде М, отвечающем пространству Эшенбурга, по теореме 2.3 существует метрика с группой голономии £?2, и в конце параграфа 2.6 выясняется топологическое строение этого орбифолда:

Следствие. Орбифолд N диффеоморфен самосопряженной части внешней степени А\г} двумерного комплексного расслоения г] над СР2(д1, д2) Яз) стабильно эквивалентного © £42 ® .

Здесь £ — универсальное комплексное линейное расслоение над взвешенной комплексной проективной плоскостью (СР{с[\, <72, Чз) = О (где <7; = (рг+1 +Рг+г)/2, если все рг нечетны, и сц = (рг+1 +^¿+2) в противном случае).

Примеров семимерных 3-сасакиевых многообразий, определяющих описанные в главе 2 конструкции существует много [9, 10]. Таким способом можно получить много различных орбифолдов, однако многообразия могут получаться (как уже отмечалось выше) только при М = 57, КР7, Би (3)/и (1) 1,1. Отметим также, что в рассмотренной конструкции многообразие М может не быть однородным, в общем случае коод-нородность М равна четырем.

Глава 3. Данная глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена специальным кэлеровым метрикам на пространствах линейных комплексных расслоений и их приложению к исследованию геометрии КЪ-поверхности.

В параграфе 3.1 описывается класс римановых метрик вида

с^2 = /(ф2 + йв2) + дцсЫв/х1, (3.3)

где зависят от только от р, в, а переменные х1, х2 определены на двумерном прямоугольном торе Г2. Таким образом, метрика (3.3) инвариантна относительно действия тора Г2. Далее, вычисляется тензор кривизны Риччи метрики (3.3). Находится явное решение уравнения Эйнштейна Л^- = 0 искомого вида:

йв2 - (сЬр - асоБ0) {йр2 + ¿в2) + ^^ (^ + созвйф)2 + {айф + сЪрйф)2 (3'6)

Метрика (3.6) зависит от вещественного параметра а, причем при а = 0 метрика (3.6) изометрична метрике Эгучи — Хансона. Далее, для пары взаимно-простых целых чисел к, I описывается некомпактное пространство Мк,1, являющееся конусом естественной проекции линзового пространства ¿(-1, к + I) на сферу 52(Л, I) = Ь{—1,к + /)/5'1 (являющуюся двумерным орбифолдом с двумя особыми точками вида Ж2 ¡Ъ^ и Е2/2;). Основным результатом параграфа является следующая теорема:

Теорема 3.1 [40]. г) Метрика (3.6) является гладкой полной рима-новой метрикой нулевой кривизны Риччи кооднородности два на Ма = при — 1 < а = | < 1, а ^ 0 где р, д — пара взаимно простых целых

чисел, <7 > 0 и

( к = 9 — р, I = д + р, если ц ± р нечетно, I к = I = &£,если ц ±р четно.

И) При а = О метрика (3.6) является полной римановой метрикой нулевой кривизны Риччи кооднородпости один на Мхд и совпадает с метрикой Эгучи — Хансона.

В параграфе 3.2 доказывается, что определенное выше пространство Мк,1 можно отождествить с кокасательным расслоением Т'СР1 (к, I) к взвешенной комплексной проективной прямой СР1(к,1). Устанавливается следующее свойство метрики (3.6).

Теорема 3.2 [41]. Пространство М^ = Т*Б'1{к,1) с метрикой (3.6) является специальным кэлеровым орбифолдом.

Таким образом, Т*СР1 (к, I) с метрикой (3.6) имеет группу голономии 5С/(2), и в параграфе 3.3 изучаются приложения построенной метрики к исследованию пространства модулей Б римановых метрик с группой голономии Би{2) на /ГЗ-поверхности. Описываются конструкции Кум-мера и Пэйджа, доказывается, что из всех групп Ър с простым р, только 1*2 и Ъг могут действовать изометриями на Т4 с изолированными неподвижными точками, окрестности которых моделируются орбифолдами С2/2Р.

Далее описывается конструкция, аналогичная конструкции Пэйджа. Рассматривается пространство <?з плоских метрик с группой голономии 31/(2) на орбифолде X = Т4/2з. Окрестность каждой из девяти особых точек вида С2/2з плоского орбифолда X заменяется на экземпляр М1 >2 с метрикой (3.6), умноженной на достаточно малую константу. После этого возникают девять особых точек типа С2/^2, окрестность каждой из которой также разрешается при помощи Мхд с метрикой (3.6). В итоге мы получаем гладкое многообразие X' с некоторой гладкой метрикой с1ё2. Вся конструкция зависит от трех малых констант <5, и —> 0, задающих размер окрестностей особых точек, масштабную константу метрики (3.6) при приклейке М\,2 и масштабную константу метрики (3.6) при последующей приклейке . Далее формулируется один из основных результатов главы.

Теорема 3.3 [41]. Поверхность X' является КЗ-поверхностью, и, следовательно, ¿>з является предельным для ¿>. Достаточно малая окрестность ¿>з в £ состоит из 58-мерного семейства метрик, получающих-

ся малой деформацией семейства метрик ds2, построенных описанным выше способом при S,t,u 0.

Теорема 3.3 доказывается в параграфе 3.4. При этом используется конструкция мульти-инстантонов, связанная с метрикой (3.6) и доказательство проводится схожим с [30] образом.

Глава 4. В данной главе, состоящей из двух параграфов, методы исследования кривизны Риччи четырехмерных многообразий, развитые в предыдущей главе применены для построения Т2-инвариантных ри-мановых метрик положительной кривизны Риччи на односвязных Т2-многообразиях.

В параграфе 4.1 приводится конструкция универсального Тт-мно-гообразия Nm размерности m + 2. Для каждого односвязного четырехмерного Т2-многообразия M (у которого многогранник М/Т2 имеет m сторон) существует тор Тт~2 С Тт такой, что Nm/Tm~2 эквивариант-но гомеоморфен Г2-многообразию М. Эта конструкция используется в параграфе 4.2 для построения метрики на M: сначала строится метрика

m ¿=1

на Nm с подходяще выбранными функциями fi (здесь ds^ некоторая метрика на М/Т2, a — координаты на торе Тт). Эта метрика опускается на М/Т2 при помощи римановой субмерсии Nm ->1и исследуется ее тензор Риччи. Основным результатом главы является следующая теорема, доказываемая в параграфе 4.2:

Теорема 4.1 [46]. На каждом односвязном четырехмерном

Т 2

-многообразии существует риманова метрика положительной кривизны Риччи, относительно которой Т2 действует изометриями.

Глава 5. Глава 5, состоящая из трех параграфов, посвящена доказательству существования глобально гиперболических лоренцевых многообразий со специальными группами голономии.

В параграфе 5.1 рассматривается класс лоренцевых метрик на многообразии M х R2 следующего вида

g = 2dTi(d£ + efdri + 2£A) + g, (5.1)

где (М,д) — риманово многообразие размерности n, г/ — координаты на плоскости R2, / — функция на JV, А — 1-форма на M, е > 0

— вещественный параметр. Основным результатом параграфа является доказательство следующей теоремы.

Теорема 5.1 [45]. Пусть Н — группа голономии риманова пространства, представление голономии которой не содержи в качестве прямого множителя группу изотропии кэлерова симметрического пространства ранга большего один. Тогда существует лоренцево многообразие с метрикой вида (5.1), группа голономии которого совпадает с любой из групп в1'11, в2'н, в3'"'* и

В параграфе 5.2 приводятся необходимые для дальнейшего сведения по теории причинности лоренцевых многообразий. В параграфе 5.3 формулируется и доказывается следующая теорема, вместе с теоремой 5.1 составляющая основной результат главы.

Теорема 5.9 [45]. Лоренцевы многообразия с группами голономии с1'11, с2'н, и построенные в теореме 5.1 являются

глобально гиперболическими при подходящем выборе /, А и е.

Литература

[1] Алексеевский Д. В. Римановы многообразия с необычными группами голономии // Функциональный анализ и его приложения. 1968. Т. 2, № 2. С. 1-10.

[2] Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

[3] Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир, 1985.

[4] Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982. Т. 1,2.

[5] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1,2.

[6] Baum H., Muller О. Codazzi Spinors and Globally hyperbolic Lorentzian manifolds with special holonomy I // Preprint ESI 1757, 2005.

[7] Berger M. Sur les groupes d'holonornie des variétés à connexion affine et des variétés Riemanniennes // Bull. Soc. Math. France. 1955. V. 83. P. 279-330.

[8] Berard-Bergery L., Ikemakhen A. On the holonomy of Lorentzian manifolds // In: Differential Geometry: Geometry in Mathematical Physics and Related Topics., Proc. Sympos. Pure Math. 1993. V. 54. P. 27-40.

[9] Boyer C., Galicki K. 3-Sasakian manifolds // Surveys in differential geometry: essays on Einstein manifolds, Surv. Differ. Geom., VI, Int. Press, Boston, MA. 1999. P. 123-184.

[10] Boyer C. P., Galicki K., Mann B. M. The geometry and topology of 3-Sasakian manifolds //J. Reine angrew. Math. 1994. V. 455. P. 183-220.

[11] Brown R., Gray A. Riemannian manifolds with holonomy group Spin(9) // In: S. Kobayashi et al., editors, Differential Geometry (in honour of Kentaro Yano), Kinokuniya, Tokiyo, 1972. P. 41-59.

[12] Bryant R. Metrics with exceptional holonomy // Ann. of Math. (2). 1987. V. 126, N 3. P. 525-576.

[13] Bryant R. Classical, exceptional and exotic holonomies: a status report // Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle en l'Honneur de Marcel Berger . Collection SMF Séminaires and congrès 1 (Soc. math, de France), 1996, P. 3-166.

[14] Bryant R. L., Salamon S. L. On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy // Duke Math. J. 1989. V. 58, N 3. P. 829-850.

[15] Calabi E. Metriques kahleriennes et fibres holomorphes // Ann. Ecol. Norm. Sup. 1979. V. 12. P. 269-294.

[16] Cartan E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée. I & II // Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. 1923. V. 40. P. 325-412 et 1924. V. 41. P. 1-25 ou Oeuvres complètes, tome III, P. 659-746 et P. 799-824.

[17] Cartan E. La géométrie des espaces de Riemann // Mémorial des Sciences Mathématiques. Paris: Gauthier-Villars, 1925. V. 5.

[18] Cartan E. Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann // Bull. Soc. Math. France. 1926. V. 54. P. 214-264, 1927. V. 55. P. 114-134 ou Oeuvres complètes, tome I, V. 2. P. 587-659.

[19] Cartan E. Les groupes d'holonomie des espaces généralisés // Acta Math. 1926. V. 48. P. 1-42 ou Oeuvres complètes. Tome III. V. 2. P. 997-1038.

[20] Cortés V. Alekseevskian spaces // Diff. Geom. Appl. 1996. V. 6. P. 129-168.

Eguchi T., Hanson A. J. Asymptotically flat self-dual solutions to euclidean gravity // Physics Letters B. 1978. V. 74, N 4. P. 49-251.

Galaev A. Metrics that realize all types of Lorentzian holonomy algebras // arXiv:mathDG/0502575, 2005.

Cvetic M., Gibbons G. W., Lu H., Pope С. N. New Complete Non-compact Spin(7) Manifolds // Nucl. Phys. B. 2002. V. 620, N 1-2. P. 29-54.

Cvetic M., Gibbons G. W., Lu H., Pope С. N. New Cohomogeneity One Metrics With Spin(7) Holonomy //J. Geom. Phys. 2004. V. 49, N 3-4. P. 350-365.

Cvetic M., Gibbons G. W., Lu H., Pope С. N. Cohomogeneity One Manifolds of Spin(7) and G{2) Holonomy // Phys. Rev. D. 2002. V. 65, N 10. 29 p.

Gukov S., Sparks J. M-Theory on Spin( 7) Manifolds //Nucl. Phys. B. 2002. V. 625, N 1-2. P. 3-69.

Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik, in neuen Zusammenhängen dargestellt. 1895. — Русский перевод: Герц Г. Р. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд. АН СССР, 1959.

Joyce D. D. Compact Riemannian 7-manifolds with holonomy GV I and II // J. Differentional Geometry. 1996. V. 43, N 2. P. 291-328. P. 329-375.

Joyce D. D. Compact 8-manifolds with holonomy Spin(7) // Inv. Math. 1996. V. 123. P. 507-552.

Joyce D. Compact manifolds with special holonomy. Oxford Science Publications, 2000.

Kanno H., Yasui Y. On Spin(7) holonomy metric based on SU{3)/U(1) // J. Geom. Phys. 2002. V. 43, N 4. P. 293-309.

Kanno H., Yasui Y. On Spin(7) holonomy metric based on SC/(3)/[/(l): II // J. Geom. Phys. 2002. V. 43, N 4. P. 310-326.

Kovalev A. Twisted connected sums and special Riemannian holonomy //J. Reine Angew. Math. 2003. V. 565. P. 125-160.

[34] Leistner T. On the classification of Lorentzian holonomy groups // Jour. Diff. Geom. (to appear).

[35] Page D. N. A physical picture of the КЗ gravitational instanton // Physics Letters B. 1978. V. 80, N 1-2. P. 55-57.

[36] de Rham G. Sur la reductibilité d'un espace de Riemann // Comm. Math. Helv. 1952. V. 26. P. 328-344.

[37] Schwachhôfer L. J. Holonomy. Review, 2008.

[38] Wu H. On the de Rham decomposition theorem // Illinois. J. Math. 1964. V. 8. P. 291-311.

[39] Yau S.-T. On the Ricci curvature of a compact Kâhler manifold and the complex Monge-Ampère equations //I. Communications on pure and applied mathematics. 1978. V. 31. P. 339-411.

Работы автора по теме диссертации.

[40] Базайкин Я. В. О некоторых метриках нулевой кривизны Риччи кооднородности два на комплексных линейных расслоениях // Сибирский математический журнал. 2004. Т. 45, № 3. С. 497504.

[41] Базайкин Я. В. Специальные кэлеровы метрики на линейных комплексных расслоениях и геометрия /СЗ-поверхностей // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 6. С. 1235-1247.

[42] Базайкин Я. В. О новых примерах полных некомпактных метрик с группой голономии Spin(7) // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 1. С. 11-32.

[43] Базайкин Я. В., Малькович Е. Г. Метрики с группой голономии (?2, связанные с 3-сасакиевым многообразием // Сибирский математический журнал. 2008. Т. 49, № 1. С. 3-7.

[44] Базайкин Я. В. Некомпактные римановы пространства с группой голономии Spin{7) и 3-сасакиевы многообразия // Геометрия, топология и математическая физика. I, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН. 2008. Т. 263. С. 6-17.

[45] Базайкин Я. В. Глобально гиперболические лоренцевы пространства со специальными группами голономии / / Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50, № 4. С. 721-736.

[46] Базайкин Я. В., Матвиенко И. В. О четырехмерных Т2-многообразиях положительной кривизны Риччи // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 5. С. 973-979.

Базайкин Ярослав Владимирович

Некомпактные римановы и лоренцевы многообразия со специальными группами голономии

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 28.07.09. Формат 60x84 1/16.

Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ №110

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6

Введение

1 Основные сведения о группах голономии и связанных с ними геометрических структурах

1.1 Группы голономии римановых пространств.

1.2 З-Сасакиевы многообразия.

1.3 Группы голономии лоренцевых пространств.

2 Римановы пространства с группой голономии Spin(7) и (

2.1 Римановы пространства со Spin(7)-структурой, связанные с 3-сасакиевым многообразием.

2.2 Метрики на пространстве M.i.

2.3 Метрики на пространстве

2.4 Обоснование условий регулярности.

2.5 Конструкция римановой метрики с группой голономии (?

2.6 Примеры.

3 Специальные кэлеровы метрики на комплексных линейных расслоениях и .ЙТЗ-поверхности

3.1 Конструкция эйнштейновых метрик на одномерных комплексных расслоениях.

3.2 Специальная кэлерова структура на Мщ.

Диссертация посвящена исследованию геометрических и топологических свойств римановых и лоренцевых многообразий со специальными группами голономии.

Первое упоминание о голономии (а именно, использование термина «голономные» и «неголономные» связи в классической механике) датируется 1895 годом и принадлежит Герцу [59? 82]. В математических работах понятие голономин впервые возникло в 1923 году у Э. Картана [42, 43, 45] применительно к римановым многообразиям, и уже имело современный смысл. Кратко говоря, группа голономии Но1(М) С 0{п) риманова многообразия Мп порождается операторами параллельных переносов относительно связности Леви — Чивита вдоль путей, начинающихся н заканчивающихся в фиксированной точке р 6 М. Если рассмотреть только стягиваемые петли, то мы получим ограниченную группу голономии Но1°(М), которая является связной компонентой единицы в группе Но1(М). Везде в диссертации многообразия предполагаются од-носвязными, и поэтому Hol(M) = Hol°(M). Интуитивно ясно, что если Но1(Л/) не будет совпадать с максимально возможной группой изометрий SO(n) касательного пространства ТрМ, то это должно свидетельствовать о наличии ограничений на геометрию риманова многообразия. И действительно, каждой специальной группе голономии отвечает та или иная специальная геометрия.

Глобальный характер группы голономии риманова многообразия подчеркивается теоремой де Рама о разложении. А именно, очевидно, что если риманово многообразие М является прямым произведением рима-новых многообразий Мх и М2, то Hol(M) = Hol(Mi) х Но1(М2) (вместе с соответствующим разложением представления группы голономии). Оказывается, что в случае, если риманово многообразие полно, то верно обратное (более точная формулировка теоремы разложения де Рама приведена в главе 1, теорема 1.2.):

Теорема [77] («теорема де Рама о разложении»). Пусть М — полное риманово многообразие группа голономии которого G является произведением двух групп G\ и G2, а представление голономии группы G раскладывается в сумму представлений G\ и G2. Тогда М изометрич-но прямому произведению двух римановых пространств Mi и М2, где Hol(Mi) = G\ и Hol(M2) = G2, й представления групп G\ и G2 совпадают с представлениями голономии М\ и М2.

Естественным образом возникает задача классификации римановых групп голономии: какие группы могут быть группами голономии рима-нова многообразия?

При решении этой задачи можно сразу ограничиться полными неприводимыми римановыми многообразиями, т.е. такими, представление голономии которых не обладает инвариантными подпространствами в ТРМ. В силу теоремы разложения де Рама такие многообразия не раскладываются в прямое произведение, и обратно, любое полное риманово многообразие раскладывается в произведение неприводимых.

Важный пример римановых многообразий со специальными группами голономии дают симметрические пространства:

Теорема [45]. Пусть Мп — симметрическое пространство и G — группа Ли изометрий М, порожденная всеми отражениями, переворачивающими геодезические. Предполоэ1сим, что Н С G — группа изотропии М, относительно выбранной точки. Тогда М — G/H, и группа голономии Hol(M) совпадает с Н, а представление голономии совпадаem с представлением изотропии.

Картаном [44] задача описания односвязных римановых симметрических пространств была сведена к теории групп Ли, и им был получен список всех таких пространств. Доказательство Картана и полный список односвязных римановых симметрических пространств обсуждается в [23, 14].

Следующее важное продвижение в задаче классификации было сделано Берже:

Теорема [31]. Пусть М — односвязное неприводимое риманово многообразие размерности п, не являющееся симметрическим. Тогда имеет место один из следующих случаев.

1) Hol(M) = SO(n) — общий случай,

2) п = 2т, где т > 2 и Hol{M) = U(m) С 50(2771) кэлеровы многообразия,

3) п = 27п, где то > 2 и Hol{M) = SU(m) С 50(2то) специальные кэлеровы многообразия,

4) п = 4т, где то > 2 и Но1{М) = 5р(т) С SO{4т) гиперкэлеровы многообразия,

5) п = Am, где то > 2 u Hol{M) = Sp(m)Sp{ 1) С 50(4т) кватернионно-кэлеровы многообразия,

6) п = 7 и Hol{M) = G<2 С 50(7),

7) ?г = 8 и Но1(М) = 5рт(7) С 50(8).

В оригинальном списке Берже присутствовал также случай п = 16 и Hol(ilf) = Spin(9) С 50(16). Однако в [1, 37] было доказано что в этом случае М является симметрическим и изометрично проективной плоскости Кэли СаР2 = Spin(Q)/Spin(7).

Таким образом, для решения задачи классификации нужно понять какие из групп списка Берже могут быть реализованы как группы го-лонохмии полных римановых многообразий. При этом возникают два аспекта задачи классификации: доказательство того, что группа Берже реализуется как группа голономии (неполной) локально определенной римановой метрики; нахождение полной римановой метрики с данной группой голономии. Вторая задача, особенно в случае построения римановой метрики на замкнутом многообразии является существенно более трудной. С другой стороны, построение полной метрики кажется разумным требованием, в силу глобального характера группы голономии (нельзя потенциально исключить случай, что петли, которые могут уходить «достаточно далеко» от фиксированной точки окажут решающее влияние на группу голономии). Далее мы пройдемся кратко по списку Верже и прокомментируем каждый случай (точные определения, относящиеся к каждой геометрии из списка Берже можно найти в Главе 1).

Кэлеровы пространства хорошо изучены, и примеров кэлеровых пространств с группой голономии U(m) можно приводить очень много [18, 20].

Римановы многообразия, группа голономии которых содержится в SU(m) называются многообразиями Калаби — Яу (название связано с теоремой Калаби — Яу, цитированной ниже), или специальными кэлеро-выми многообразиями. Можно показать, что специальные кэлеровы многообразия являются Риччи-плоскими [20, 14]. Уже из этого факта ясно, что построение таких многообразий является трудной задачей. Первый пример полной римановой метрики с группой SU(m) был построен Калаби [41]: d2 = + р2 / 1\ {dr 2А)2 + p4s2 (1) 1 р2п \ Р /

Здесь ds2 — метрика Фубини — Штуди на комплексном проективном пространстве СPn1, А — 1-форма интегрирующая кэлерову форму на СPn~l, р> 1 и г — угловая переменная на окружности. Можно показать, что метрика (1) является гладкой глобально определенной специальной кэлеровой метрикой па га-ой тензорной степени комплексного линейного расслоения Хопфа над СPn1. Отметим, что форма (1) метрики Калаби была найдена в [75], схожий подход к построению этой метрики был использован в [32].

Существование специальных кэлеровых метрик на компактных многообразиях стало возможным показать после доказательства Яу гипотезы Калаби [91]: компактное кэлерово многообразие с нулевым первым классом Чженя допускает специальную кэлерову метрику, кэлерова форма которой когомологична исходной кэлеровой форме. Первым и наиболее известным примером такого многообразия является if 3-поверхность, которую, пользуясь конструкцией Куммера можно представить следующим образом.

Рассмотрим инволюцию плоского тора Т4, возникающую из центральной симметрии евклидова пространства R4. После факторизации получаем орбифолд с 16 особыми точками, окрестности которых устроены как C2/Z2. Выполнив раздутие полученного орбифолда в окрестности каждой особой точки, мы получаем двумерное комплексное многообразие — /СЗ-поверхность. Поскольку ее первый класс Чженя равен нулю, то на К3 по теореме Калаби — Яу существует специальная кэлерова метрика. Более того, пространство модулей таких метрик имеет размерность 58. Геометрическое объяснение этой размерности, также как и «качественное» описание специальных кэлеровых метрик на КЗ было дано Пэйджем [74]. Центральную роль в конструкции Пэйджа играет метрика Эгучи — Хансона [48], которая получается из (1) при п = 2: ds2 = + г2 (1 - {dip + cos дйф)2 + г2 (d92 + sin2 ed<f) (2) здесь в, ф — сферические координаты). Эта метрика является метрикой с группой голономии SU(2) на T*S2 и асимптотически выглядит как плоская метрика на С2 /Z2. Топологически конструкция раздутия особой точки вида C2/Z2 в T4/Z2 устроена так: надо выколоть особенность и отождествить ее окрестность с пространством шарового расслоения в T*S2 без нулевого слоя S2. Пэйдж предложил рассмотреть на T'S2 метрику, гомотетичную метрике Эгучи — Хансона с достаточно малым коэффициентом гомотетии, так что на границе приклеиваемого шарового расслоения метрика становится сколь угодно близка к плоской. После этого надо слегка деформировать метрику на торе так, чтобы получить гладкую метрику на ^З-поверхности с голономией SU(2). Простой подсчет степеней свободы при выполнении этой операции показывает, что таким образом получается 58-мерное семейство метрик, что совпадает с известными результатами о размерности пространства модулей таких метрик [91].

Гиперкэлеровы многообразия также являются многообразиями Ка-лаби — Я у, но их группа голономии меньше, чем SU(2m) и совпадает с Sp(m). Теорема Калаби — Яу также может быть использована для их построения, и более того, построение гиперкэлеровых многообразий оказалось более легким, чем специальных кэлеровых. Детали можно найти в [65]. Отметим, что первая полная риманова гиперкэлерова метрика была найдена Калаби [41].

Кватернионно-кэлеровы многообразия интересны тем, что являются эйнштейновыми (не являясь вообще говоря кэлеровыми). Классическим примером являются кватернионные проективные пространства ELP'1, являющиеся симметрическими. Есть гипотеза (до сих пор не доказанная), что этими пространствами исчерпываются компактные кватернионно-кэлеровы многообразия. В некомпактном случае, существует много однородных кватернионно-кэлеровых пространств, классифицированных в [1, 46].

Наконец, оставшиеся последними в списке Берже случаи Hoi = G? и Hoi = Spin(7) представляют особый интерес с позиций нашей диссертации. Эти две группы голономии принято называть исключительными группами голономии. Довольно долго не было известно ни одной римановой метрики с исключительными группами голономии. Только в 1987 год\' примеры неполных (локально определенных) метрик с группами голономии Spin(7) и G2 были построены Брайантом в [38]. Затем в

1989 году Брайантом и Сэламоном [40] были построены первые примеры полных римановых метрик с исключительными голономиями на некомпактных пространствах. И лишь в 1996 году Джойс [63, 64] при помощи конструкции, восходящей к Пэйджу и довольно тонкого анализа смог доказать существование компактных примеров. Систематическое изложение результатов Джойса можно найти в [65]. Ковалёв построил новые примеры компактных многообразий с группой голономии G2, отличные от примеров Джойса, при помощи конструкции связной суммы используя трехмерные поверхности Фано [68].

На данный момент вопрос о сзчцествованип римановых метрик с группами голономии Spin(7) и G2 на тех или иных многообразиях (компактных или некомпактных) остается до конца неясным, например, работы Джойса и Ковалёва дают конечное (хотя и довольно большое) число компактных многообразий, допускающих метрики с исключительными группами голономии, и до сих пор неизвестно даже может ли число топологических типов таких многообразий быть бесконечным.

Новый интерес к некомпактным примерам возник относительно недавно со стороны математической физики. Было предложено использование некомпактных метрик с группами голономии Spin{7) в так называемой М-теории. В работах [53, 54, 55, 57, 66, 67] был построен ряд новых полных примеров, часть которых является не многообразиями, а орбифолда-ми. Все эти метрики автоматически являются Риччи-плоскими и асимптотически ведут себя либо как конусы, либо как произведения конусов на окружности. Все построенные примеры представляют собой метрики кооднородности один, т.е. расслаиваются на однородные семимерные слон.

Некомпактные римановы многообразия со специальными группами голономии (а именно этому случаю посвящена диссертация) занимают свое собственное положение в теории групп голономии римановых пространств, и важность их изучения мотивируется следующими причинами. Теорема Калаби — Яу хотя и дает исчерпывающий ответ на вопрос о существовании специальных кэлеровых метрик, но вопрос о строении таких метрик остается неясным. Нет речи о сколь-нибудь явном построении метрик Калаби — Яу на замкнутых многообразиях; однако и «качественное» строение таких метрик теорема Калаби — Яу не проясняет. Пожалуй единственный подход связан с описанным выше методом Пэй-джа для построения метрик Калаби — Яу на ТГЗ-поверхности: действительно, в этом случае мы можем достаточно точно понять как устроена метрика с группой голономии £77(2) (по крайней мере вблизи особой плоской метрики на T4/Z2). При этом в методе Пэйджа принципиальное значение играет явный вид метрики Эгучи — Хансона (2) на некомпактном многообразии T*S2. Этот пример является в определенном смысле модельным: Джойс, при построении своих метрик использовал именно эту идею. В цитированной выше работе Ковалёва также используется конструкция связной суммы двух некомпактных многообразий, имеющих специальные группы голономии.

Итак, резюмируя, мы можем сказать, что для качественного понимания метрик со специальными группами голономии, метрики на некомпактных многообразиях полезны, поскольку: во-первых, уравнения для них существенно проще и решаются либо явно, либо существует хорошее качественное описание решений; во-вторых, можно моделировать при помощи них метрики на компактных многообразиях (например в духе конструкции Пэйджа); в-третьих, с точки зрения математической физики представляют интерес именно метрики на некомпактных многообразиях (или орбифолдах).

Другая «логическая» часть диссертации посвящена группам голономии некомпактных лоренцевых многообразий. Отметим, что в этом случае рассмотрение компактных лоренцевых многообразий вообще вряд ли является осмысленным (по крайней мере с точки зрения физических приложений), поскольку можно доказать, что любое ориентированное во времени компактное лоренцево многообразие содержит замкнутую вре-мениподобную кривую (образно говоря, «существует петля времени») [16].

Что касается групп голономии псевдоримановых многообразий, по отношению к классическому риманову случаю, то здесь ситуация осложняется наличием неразложимых групп голономии, не являющихся неприводимыми. Более подробно, пусть (N, д) — псевдориманово многообразие с группой голономии G = Holp(iV), р G N. Представление голономии называется разлоэюимым, если существует G-инвариантное разложение

TPN = Wi® .®Wr, такое что г > 2 и Wi Ф 0 для всех г — 1,., г. В противном случае представление называется неразложимым. Представление голономии называется неприводимым, если не существует нетривиального собственного G-инвариантного подпространства W С TpN. Теорема де Рама обобщенная на псевдориманов слз^чай утверждает следующее [77, 90]: псевдориманово многообразие с разложимым представлением голономии локально изометрично произведению (Rkl,gi) х . х (Rfcr,#r), где ki = dim Wi и Holp(iV) = Hi х . х Нг. Более того, если N односвязно и геодезически полно, то (N,g) изометрично (N\,gi) х . х (Nr,gr), где Hi — группа голономии (iVj,gi), г = 1,. ,г.

В работах [31, 39] был получен список кандидатов в неприводимые группы голономии псевдоримановых многообразий, и в [39] все эти группы были реализованы как группы голономии псевдоримановых пространств. При анализе списка из [31, 39] видно, что в лоренцевом случае не может быть неприводимых групп голономии, кроме SO{n + 1,1). Таким образом, задача классификации специальных групп голономии лоренцевых пространств сводится к исследованию неразложимых представлений голономии, не являющихся неприводимыми.

В [33] были изучены алгебры голономии неразложимых лоренцевых многообразий, не являющихся неприводимыми. С каждой такой алгеброй g С so(n + 1,1) была ассоциирована ее ортогональная часть h С so(n), причем для данной ортогональной части существуют ровно четыре типа алгебры g, которые потенциально могут быть алгебрами голономии лоренцева многообразия. Более подробно все четыре типа алгебр, а также соответствующие им группы описаны в Главе 1.

В [70] было доказано, что если g С so(n+l, 1) является алгеброй голономии неразложимого лоренцева многообразия, не являющегося неприводимым, то ее ортогональная часть h является алгеброй голономии ри-манова многообразия. В работе [33] часть этих типов алгебр были, также локально, реализованы как алгебры голономии локально определенных лоренцевых метрик, в работе [50] были реализованы (локально) алгебры всех четырех типов.

Однако вопрос о глобальном строении лоренцевых метрик со специальными голономиями до сих пор до конца не ясен. Более того, даже постановка задачи осложнена неоднозначностью понимания «полноты» в лоренцевой геометрии. В работе [27] была предложена задача построения глобально гиперболических лоренцевых многообразий для каждого специального типа группы голономии. Кратко говоря, глобально гиперболическое лоренцево пространство — это пространство обладающее про-странственноподобной гиперповерхностью, с которой любая непродол-жаемая непространственноподобная кривая пересекается ровно в одной точке [16]. Это одно из самых сильных условий причинности, наиболее полезное для математической физики. В [27] часть специальных групп голономии (а именно тип 2) был реализован глобально гиперболическими лоренцевыми многообразиями.

Описание результатов, полученных в диссертации. В диссертации разработаны методы построения римановых метрик с группами голономии Spin(7), G2 и SU(2) на некомпактных многообразиях, и также исследованы приложения некоторых из этих метрик (с группой голономии SU(2)) к построению римановых метрик со специальными голономиями на компактных многообразиях; разработанные методы применяются для исследования четырехмерных многообразий положительной кривизны Риччи. Сделано существенное продвижение в задаче классификации лоренцевых метрик со специальными группами голономии: для каждой такой группы, кроме содержащих слагаемое принадлежащее одному из трех фиксированных симметрических типов, доказано существование глобально гиперболического многообразия с данной группой голономии. Далее следует подробное описание этих результатов.

В работах [4, 6] автор диссертации предложил общую конструкцию, которая позволяет строить метрики с группой голономии Spin(7) по заданному 3-сасакиеву 7-мерному многообразию М. Идея состоит в следующем. Если выбрать 3-сасакиево многообразие М, то конус над М будет гиперкэлеровым, т.е. будет иметь группу голономии Sp(2) С Spin(7). Мы деформируем конусную метрику так, чтобы разрешить особенность в вершине конуса и получить метрику, группа голономии которой останется в Spin(7). При этом за деформацию отвечают функции Ai(t), Aztf), As(t), B(t), зависящие от радиальной переменной t, меняющейся вдоль образующей конуса.

Более подробно, рассмотрим 3-сасакиево расслоение М —> О с общим слоем, диффеоморфным S3 либо 50(3), над кватернионно-кэлеровым орбифолдом О. С этим расслоением молено ассоциировать два векторных расслоения со слоем Ни С, пространства которых мы обозначаем М\ и Л42, соответственно. Пространства ЛЛ\ и М.2 позволяют осуществить разрешение конусной особенности двумя топологически различными способами. При этом метрика на М.\, М.2 выглядит следующим образом: + (2) г=1 где д — метрика на З-сасакиевом многообразии М, % — касательное к М распределение горизонтальных векторов, т]г — базис 1-форм, аннулирующих Условие исключительности группы голономии метрики (3) сводится тогда к следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений: л i (а2-л3)2-л» да "Т" А2Д, j 2А| {a3-a,f~al

В2 -Г А А , /дЧ

А - , w

В2 + Л^г ' о А1±А2+А& и — Б

Чтобы получить регулярные асимптотически локально конические (AJIK) метрики надо поставить некоторую краевую задачу для системы (4): условие на одном краю должно разрешать конусную особенность; условие на другом должно гарантировать нужное асимптотическое поведение.

Примеры метрик с голономиями Spin(7) на A4i для некоторых частных случаев выбора М были построены в [53, 54, 57, 66, 67]. В статье [55] сообщается о численном анализе, который позволяет предполагать существование метрик на М.^/^4 для М = S7. Аналогично, в [67] приводится численный анализ, свидетельствующий о возможном существовании метрик на .М2/Й2 при М = SU(3)/Sl. В диссертации в числе прочего, строго доказывается существование этих метрик. Точнее, результаты полученные при исследовании системы (4) можно представить в следующем виде.

Теорема (2.1 и 2.2 Гл. 2)[4, 6]. Пусть М — 7-мерное компактное Ъ-сасакиево многообразие, и положим р — 2 илир — 4 в зависимости от того, равен общий слой 3-сасакиева слоения М либо SO(3), либо Sp(l).

1) Существует двупараметрическое семейство попарно негомотетичных гладких римановых метрик на Л4\ вида (3) с группой голономии, содержащейся в Spin{7), удовлетворяющих начальным условиям:

Л1(0)=Л2(0)=А3(0) = 0, Л(0) = Л2( 0) = А3(0) = -1, В(0) > 0,В'(0) = 0.

Семейство метрик параметризуется тройкой чисел А3 < Л2 < Лз < О, таких что Af + А2 + Л| = е1 для достаточно малого е > 0: для каждой такой тройки существует значение переменной t = to, при котором траектория Л2, As) проходит через эту тройку, т.е.

Arito) = Ах, A2(t0) = А2, Az(to) = А3.

2) Существует однопараметрическое семейство попарно негомотетичных гладких римановых метрик на .M2/Zp вида (3) с группой голономии, содержащейся в Spin{7), удовлетворяющих начальным условиям:

Л1(0) = 0,-Л2(0)-Л3(0)>0, i1(0) = -4,i2(0) = i3(0), В (О) > О, В'(0) = О.

Семейство метрик параметризуется отношением [л = Лз(0)/5(0).

Метрика семейства 1) при — А2 — Аз является полной римано-вой метрикой с группой голономии Spin{7) и асимптотически ведет себя как конус над М; при Ai ф А2 = Аз метрики также являются полными с группами голономии Spin(7) и асимптотически ведут себя как произведения конуса над твисторным пространством М и окружности постоянного радиуса. Наконец, в остальных случаях метрики семейства 1) полными не являются.

Метрики семейства 2) являются полными при (л < 1; при fj, < 1 группа голономии метрик семейства 2) совпадает с Spin{7) и асимптотически метрики ведут себя как произведения конуса над.твисторным пространством М и окружности; при ц — 1 группа голономии равна SU(4) С Spin(7) и метрика асимптотически ведет себя как конус над М. Наконец, при ц, > 1 метрики семейства 2) полными не являются.

Любая другая полная гладкая метрика вида (3) с группой голономии, содержащейся в Spin(7) и с такой же Spin(7)-структурой на М.\ и АЛ2/Ъц гомотетична одной из метрик указанных семейств с точностью до перестановок индексов переменных.

Существует много примеров 3-сасакиевых 7-мерных многообразий [34]. Пространства A^/Zp, в общем случае являющиеся орбифолдами, будут многообразиями, если М — регулярное 3-сасакиево многообразие. Это имеет место лишь при М = S7, М = MP7, М = SU(3)/Sl.

В случае Л/ = S7 или М = MP7 мы получаем одинаковые метрики, поэтому из предыдущей теоремы непосредственно вытекает

Следствие. Существует однопараметрическое семейство полных римановых метрик вида (3) с группой голономии Spin(7) на следующих многообразиях:

1) на пространстве комплексно?о линейного расслоения, являющегося четвертой степенью канонического комплексного линейного расслоения над CP3; при этом асимптотически метрика является произведением S1 на конус над CP3;

2) на пространстве комплексного линейного расслоения, являющегося четвертой степенью канонического комплексного линейного расслоения над комплексным многообразием F3 флагов в С3; при этом асимптотически метрика является произведением S1 на конус над Р3.

Стоит отметить, что система уравнений (4) появлялась в работах [55], [67] как результат независимых вычислений в различных алгебрах Ли; совпадение уравнений, конечно, объясняется с позиций диссертации наличием в обоих случаях 3-сасакиевой структуры на однородных сечениях.

Автор диссертации совместно с Е. Г. Мальковичем применил описанную выше конструкцию для исследования римановых метрик с группой голономии (?2- Также как и в случае Spin(7) рассматривается произвольное компактное семимерное 3-сасакиево многообразие М и исследуется вопрос о том, существует ли гладкое разрешение конусной метрики над твисторным пространством Z, связанным с М.

А именно, с каждым 3-сасакиевым многообразием М тесно связано твисторное пространство определяемое как фактор-пространство М 1 по действию окружности, соответствующему полю Известно, что Z орбифолд, обладающей метрикой Кэлера — Эйнштейна [34]. Мы рассматриваем метрики, являющиеся естественными разрешениями стандартной конусной метрики над Z\ g = dP + A(t)\v22 + vl) + ВЦШ + li) + C{tY{nl + r$), (5) где т]2, щ — как и ранее, характеристические 1-формы М, а щ, т]5, т/6. г/7 формы, аннулирующие 3-сасакиево слоение на М, и А,В,С — вещественные функции.

Одним из основных результатов статьи [5] является конструкция (в случае кэлеровости M/SU(2)) (^-структуры, параллельность которой относительно метрики (5) равносильна следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений: л/ 2а2-в2-с2

Л — во ' в, = (6) г" — с2-2ай-в2 ° ~ АВ •

Таким образом, метрика (5) при условии (6) имеет группу голономии G2 и, в частности, является Риччи-плоской. Ранее система (6) была получена в [55] в частном случае М = SU(3)/S1.

Для того, чтобы решение системы (6) было определено на некотором орбифолде либо многообразии, необходимо дополнительное выполнение краевых условий в точке to, которые мы формулируем. Эти условия не могут быть выполнены, кроме случая В — С, который приводит нас к функциям, дающим решения, найденные впервые в [40] в специальном случае М = S7 и М = SU(3)/S1. В случае В = С метрика (5) определена на тотальном пространстве М3-расслоения N над кватернионно-кэлеровым орбифолдом О. Отметим, что при В = С условие кэлеровости О не является необходимым. Если суммировать все полученные (совместно с Е. Г. Мальковичем) результаты, то из них непосредственно вытекает следующее утверждение.

Следствие (Теорема 2.3, Гл. 2) [5]. Существует единственная с точностью до гомотетии гладкая метрика g на N7 с группой голономии G2, отвечающая рассмотренной Gi-структуре:

У = ^ГТ + г2 (i - 0/2 + vl) + 2Г2 (r)l + vl + v! + Vr) ■

Отметим здесь, что 3-сасакиевы многообразия в общем случае являются неоднородными, поэтому построенные в диссертации метрики с группами голономии Spin(7) и G2 в общем случае имеют кооднородность равную 5, в отличие от всех известных ранее некомпактных примеров, имеющих кооднородность 1.

В диссертации также было предпринято изучение римановых метрик кооднородности 2 на четырехмерных некомпактных многообразиях. Это означает, что искомые метрики должны быть инвариантны относительно действия двумерного тора Т2, т.е. являются инвариантными метриками на Т2-многообразнях. В результате исследования структуры кривизны Риччи таких метрик, была найдена следующая риманова метрика, обобщающая метрику Эгучи — Хансона [2, 3]: ds2 = (г2-a cos в) + dB2) + и-+cos m2+йё* +•

Здесь параметр а пробегает рациональные значения и при а = 0 мы получаем метрику (2).

Чтобы понять, на каком пространстве определена метрика (7) рассмотрим обобщение стандартной двумерной сферы — взвешенную комплексную прямую <CP1(k,l) = S2(k,l), являющуюся комплексным орби-фолдом с двумя особыми точками, имеющими тип C2/Zfc и C2/Z;.

Теорема (3.1 и 3.2, Гл.З) [2, 3]. Метрика (7) является гладкой Т2-инвариантной специальной кэлеровой метрикой на кокасателъном расслоении к взвешенной комплексной прямой M^j = T*<CPl(k,l), где а = щ. При к = I метрика (7) является SU {2)-инвариантной и совпадает с метрикой Эгучи — Хансона (2) на Мхд = T*S2.

Асимптотически, метрика (7) ведет себя следующим образом. На бесконечности метрика стремится к евклидовой метрике на <C2/Zk+i, а в окрестности каждой из двух особых точек — к евклидовым метрикам на C'2/Zk и C2/Z;, соответственно. Поэтому, имея в виду идею Пейджа, мы предлагаем использовать метрики на для раздутия особенностей вида C2/Zp на орбифолдах с группой голономии SU(2) в несколько шагов: мы последовательно заменяем каждую особенность на две меньшего порядка, приклеивая пространство Mkj с построенной метрикой; в итоге можно «убрать» все особые точки.

В качестве приложения мы рассматриваем представление КЗ-поверхности как раздутие особенностей орбифолда Т4/Zp при простом р ф 2. Оказывается, что единственный возможный случай — это р = 3, где надо раздуть 9 особых точек вида C2/Z3. Это делается в два шага: сначала при помощи М\о мы получаем 9 особых точек вида C2/Z2 и затем убираем их при помощи М1Д == T*S2. Каждый раз мы слегка деформируем метрику на «сшитом» пространстве, и получаем некоторую гладкую метрику на КЗ-поверхности. Простой подсчет степеней свободы нашей конструкции показывает, что размерность полученного семейства равна 58, и мы получаем следующий результат.

Теорема (3.3, гл. 3) [3]. Описанная конструкция позволяет получить семейство метрик, задающих в пространстве модулей специальных кэлеровых метрик на КЗ-поверхности некоторую окрестность предельной плоской метрики на T4/Z3.

Здесь же стоит отметить, что методы, разработанные для построения метрики (7), а также для исследования топологического типа многообразий на котором метрика (7) является гладкой, удалось применить для исследования римановых метрик положительной кривизны Риччи.

В [84] доказано, что любая связная сумма конечного числа экземпляров S2 х S2, CP2 и —CP2 обладает римановой метрикой положительной кривизны Риччи. С другой стороны, любая такая связная сумма допускает эффективное действие тора Т2, т. е. является Т2-многообразием. В [73] доказано, что верно и обратное: любое односвязное Т2-многообразие гомеоморфно одной из указанных связных сумм. При этом в каждом классе гомеоморфизма Т2-многообразия существует вообще говоря бесконечное число эквивариантно различных Т2-многообразий. Поскольку конструкция в [84] не позволяет строить Т2-инвариантные метрики, то до сих пор оставался неисследованным вопрос о том, существует ли римано-ва метрика положительной секционной кривизны Риччи в каждом Т2-эквивариантном классе односвязных четырехмерных Т2-многообразий. В работе [8] (совместно с И. В. Матвиенко) дается положительный ответ на этот вопрос:

Теорема (4.1, Гл. 4) [8]. На каждом односвязном четырехмерном Т2-многообразии существует риманова метрика полоэ/сительной кривизны Риччи, относительно которой Т2 действует изометриялш,.

При построении метрики мы используем конструкцию, представляющую М как фактор-пространство некоторого универсального Тт-мно-гообразия Nm по свободному действию тора Тт~2. Мы строим метрику на Nm н пользуясь римановой субмерсией Nm —У М получаем требуемую метрику на М. Отметим, что аналог универсального пространства Nm строится в любых размерностях, и было бы интересным обобщить доказанную теорему на случай любого квазиторического многообразия в смысле книги [17]. Отметим также, что в [17], как и в других работах по квазиторическим многообразиям вместо используемого в диссертации термина «универсальное Гт-многообразие» принято использовать термин «комплекс момент-угол».

В части исследования специальных групп голономии лоренцевых пространств, в диссертации продолжено изучение задачи построения глобально гиперболических лоренцевых многообразий со специальными группами голономии, предложенной в [27]. А именно, основным результатом статьи является следующая теорема.

Теорема (5.1 и 5.6, Гл, 5)[7]. Пусть Н — группа голономии рима-нова пространства, представление голономии которой не содержит в качестве прямого множителя представление изотропии кэлерова симметрического пространства ранга большего один. Тогда для любой специальной лоренцевой группы голономии G с ортогональной частью Н существует глобально гиперболическое лоренцево многообразие с группой голономии G.

Таким образом, в задаче классификации лоренцевых групп голономии, оставшиеся неисследованными случаи соответствуют Н = U(n) х Я', либо Н = S(U(p) х U(q)) х Я', max{p, q} > 2, отвечающие симметрическим пространствам SO(2n)/U(n), Sp(n)/U(n) и SU(p + q)/S{U(p) х U(q)), max {p. q] > 2. Отметим, что в этих случаях представление группы Н не является стандартным, и может быть представлением голономии только указанных симметрических пространств.

Описание диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы.

1. Алексеевский Д. В. Римановы многообразия с необычными группами голономии // Функциональный анализ и его приложения. 1968. Т. 2, № 2. С. 1-10.

2. Базайкин Я. В. О некоторых метриках нулевой кривизны Риччи кооднородности два на комплексных линейных расслоениях // Сибирский математический журнал. 2004. Т. 45, N2 3. С. 497-504.

3. Базайкин Я. В. Специальные кэлеровы метрики на линейных комплексных расслоениях и геометрия КЗ-поверхностей // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 6». С. 1235-1247.

4. Базайкин Я. В. О новых примерах полных некомпактных метрик с группой голономии Spin(7) // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 1. С. 11-32.

5. Базайкин Я. В., Малькович Е. Г. Метрики с группой голономии С?2, связанные с 3-сасакиевым многообразием // Сибирский математический журнал. 2008. Т. 49, № 1. С. 3-7.

6. Базайкин Я. В. Глобально гиперболические лоренцевы пространства со специальными группами голономии // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50, № 4. С. 721-736.

7. Базайкин Я. В., Матвиенко И. В. О четырехмерных Т2-многообразиях положительной кривизны Риччи // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 5. С. 973-979.

8. Белинский В. А., Халатников И. М. Общее решение уравнений гравитации с физической особенностью // ЖЭТФ. 1969. Т. 57, вып. 6(12). С. 2163-2175.

9. Белинский В. А., Захаров В. Е. Интегрирование уравнений Эйнштейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных решений // ЖЭТФ. 1978. Т. 75, вып. 6(12). С. 1953-1971.

10. Белинский В. А., Захаров В. Е. Стационарные гравитационные солитоны с аксиальной симметрией // ЖЭТФ. 1979. Т. 77, вып. 1(7). С. 3-19.

11. Берестовский В. Н., Никоноров Ю. Г. Об однородных по Клиффорду-Вольфу римановых многообразиях // Доклады РАН. 2008. Т. 423, № 1. С. 7-10.

12. Берестовский В. Н., Никоноров Ю. Г. Киллинговы векторные поля постоянной длины на римановых многообразиях // Сибирский математический журнал. 2008. Т. 49, № 3. С. 395-407.

13. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990.

14. Бессе А. (под ред.) Четырехмерная риманова геометрия. М.: Мир, 1985.

15. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир 1985.

16. Бухштабер В. М., Панов Т. Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. М.: МЦНМО, 2004.

17. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир. 1982, 1, 2 том.

18. Каждан Д. Л., Уорнер Ф. У. Функции-кривизны для открытых двумерных многообразий // Сб. Исследования по метрической теории поверхностей. М.: Мир, 1980. С. 60-80.

19. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981, 1,2 том.

20. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии. М.: ИЛ, 1960.

21. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М.: Мир, 1972.

22. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

23. Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977.

24. Alekseevsky D., Isabel Dotti, Ferraris С. Homogeneous Ricci positive 5-manifolds // Pacific Journal of Mathematics. 1996. V.175, N. 1. P. 1-12.

25. Ambrose W., Singer I. M. A Theorem on holonomy // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. V. 75, N. 3. P. 428-443.

26. Baum H., Muller 0. Codazzi Spinors and Globally hyperbolic Lorentzian manifolds with special holonoiny I // Preprint ESI 1757, 2005.

27. Berestovskii V. N., Nikonorov Yu. G., Clifford-Wolf Homogeneous Riemannian manifolds // J. Differ. Geom. (to appear).

28. Berestovskii V. N., Nikonorov Yu. G. Killing vector fields of constant length on locally symmetric Riemannian manifolds // Transform. Groups. 2008. V. 13, N 1. P. 25-45.

29. Berestovskii V. N., Nikonorov Yu. G. Regular and quasiregular isometric flows on Riemannian manifolds // Siber. Adv. Math. 2008. V. 18, N. 3. P. 153-162.

30. Berger M. Sur les groupes d'holonomie des varietes a connexion affine et des varietes Riemanniennes // Bull. Soc. Math. France. 1955. V. 83. P. 279-330.

31. Berard-Bergerv L. Sur de nouvelles varietes riemanniennes d'Einstein // Publications de l'Institut E. Cartan. 1982. N 4 (Nancy). P. 1-60.

32. Berard-Bergery L., Ikemakhen A. On the holonomy of Lorentzian manifolds // In: Differential Geometry: Geometry in Mathematical Physics and Related Topics., Proc. Sympos. Pure Math. 1993. V. 54. P. 27-40.

33. Boyer C., Galicki K. 3-Sasakian manifolds // Surveys in differential geometry: essays on Einstein manifolds, Surv. Differ. Geom., VI, Int. Press, Boston, MA. 1999. P. 123-184,

34. Boyer C. P., Galicki K., Mann В. M. The geometry and topology of 3-Sasakian manifolds // J. Reine angrew. Math. 1994. V. 455. P. 183-220.

35. Borel A., Liehnerowicz A. Groupes d'holonomie des varietes riemanniennes // C. R. Acad. Sci. Paris. 1952. V. 234. P. 1835-1837.

36. Brown R., Gray A. Riemannian manifolds with holonomy group Spin(9) // In S. Kobayashi et al., editors, Differential Geometry (in honourof Kentaro Yano), P. 41-59, Tokiyo,1972. Kinokuniya.

37. Bryant R. Metrics with exceptional holonomy // Ann. of Math. (2). 1987. V. 126, N. 3. P. 525-576.

38. Bryant R. Classical, exceptional and exotic holonomies: a status report // Actes de la Table Ronde de Geon^trie Differentielle en l'Honneur de Marcel Berger . Collection SMF S6minaires and congres 1 (Soc. math, de France), 1996, P. 93-166.

39. Bryant R. L., Salamon S. L. On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy // Duke Math. J. 1989. V. 58, N. 3. P. 829-850.

40. Calabi E. Metriques kahleriennes et fibres holomorphes // Ann. Ecol. Norm. Sup. 1979. V. 12. P. 269-294.

41. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. I & II // Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. 1923. V. 40. P. 325-412 et 1924. V. 41. P. 1-25 ou Oeuvres completes, tome III, P. 659-746 et P. 799-824.

42. Cartan E. La geometrie des espaces de Riemann // Memorial des Sciences Mathematiques. Paris, Gauthier-Villars. 1925. V. 5.

43. Cartan E. Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann // Bull. Soc. Math. France. 1926. V. 54. P. 214-264, 1927. V. 55. P. 114-134 ou Oeuvres completes, tome I, V. 2. P. 587-659.

44. Cartan E. Les groupes d'holonomie des espaces generalises // Acta Math. 1926. V. 48. P. 1-42 ou Oeuvres completes. Tome III. V. 2. P. 997-1038.

45. Cortes V. Alekseevskian spaces // Diff. Geom. Appl. 1996. V. 6. P. 129-168.

46. Davis M. W., Januszkiewicz T. Convex polytopes, coxeters orbifolds and torus actions // Duke Math. J. 1991. V. 62, N. 2. P. 417-451.

47. Eguchi Т., Hanson A. J. Asymptotically flat self-dual solutions to euclidean gravity // Physics Letters B. 1978. V. 74, N. 4. P. 249-251.

48. Eschenburg J. H. Inhomogeneous spaces of positive curvature // Diff. Geom. Appl. 1992. V. 2, N. 2. P. 123-132.

49. Galaev A. Metrics that realize all types of Lorentzian holonomy algebras // arXiv:mathDG/0502575, 2005.

50. Geroc R. P. Domain of dependence // J. Math. Phys. 1970. V. 11. P. 437-449.

51. Gibbons G. W., Hawking S. W. Gravitational multi-instantons // Physics letters B. 1978. V. 78, N. 4. P. 430-432.

52. Cvetic M., Gibbons G. W., Lu H., Pope C. N. New Complete Non-compact Spin{7) Manifolds // Nucl. Phys. B. 2002. V. 620, N. 1-2. P. 29-54.

53. Cvetic M., Gibbons G. W., Lu H., Pope C. N. New Cohomogeneity One Metrics With Spin(7) Holonomy // J. Geom. Phys. 2004. V. 49, N. 3-4. P. 350-365.

54. Cvetic M., Gibbons G. W., Lu H., Pope C. N. Cohomogeneity One Manifolds of Spin(7) and G(2) Holonomy // Phys. Rev. D. 2002. V. 65, N. 10. 29 p.

55. Gray A. Weak holonomy groups // Math. Z. 1971. V. 123. P. 290300.

56. Gukov S., Sparks J. M-Theory on Spin(7) Manifolds // Nucl. Phys. B. 2002. V. 625, N. 1-2. P. 3-69.

57. Hawking S. W. The existence of cosmic time functions // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1968. V. 308. P. 433-435.

58. Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik, in neuen Zusammenhangen dargestellt. 1895. — Русский перевод: Герц Г. Р. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд. АН СССР, 1959.

59. Hitchin N. J. Polygons and gravitons // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1979. V. 85. P. 465-476.

60. Iwamoto H. On the structure of Riemannian spaces whose holonomy fix a null system // Tohoku Math. J. 1950. V. 1. P. 109-135.

61. Jensen G. R. Homogeneous Einstein spaces of dimension 4 // J. Differential Geom. 1969. V. 3. P. 309-349.

62. Joyce D. D. Compact Riemannian 7-manifolds with holonomy g2- I and II // J. Differentional Geometry. 1996. V. 43, N. 2. P. 291-328. P. 329-375.

63. Joyce D. D. Compact 8-manifolds with holonomy Spin(7) // Inv. Math. 1996. V. 123. P. 507-552.

64. Joyce D. Compact manifolds with special holonomy. Oxford Science Publications, 2000.

65. Kanno H., Yasui Y. On Spin(7) holonomy metric based on SU(3)/U(1) // J. Geom. Phys. 2002. V. 43, N. 4. P. 293-309.

66. Kanno H., Yasui Y. On Spin(7) holonomy metric based on SU(3)/U{1): II // J. Geom. Phys. 2002. V. 43, N. 4. P. 310-326.

67. A. Kovalev. Twisted connected sums and special Riemannian holonomy // J. Reine Angew. Math. 2003. V. 565. P. 125-160.

68. LeBrun C., Singer M. A Kummer-type construction of self dual 4-manifolds // Mathematische Annalen. 1994. V. 300. P. 165-180.

69. Leistner T. On the classification of Lorentzian holonomy groups // Jour. DifF. Geom. (to appear).

70. Newlander A., Nirenberg L. Complex analytic coordinates in almost complex manifolds // Ann. of Math. 1957. V. 65. P. 391-404.

71. Rodionov E. D. Einstein metrics on a class of 5-dimensional homogeneous spaces // Comm. Math. Univ. Carolinae. 1991. V. 32, N. 2. P. 389-393.

72. Salamon S. M. Quaternionic Kaler manifolds // Inventiones mathematical 1982. V. 67. P. 143-171.

73. Salamon S. M. Quaternion-Kaler geometry // In C. LeBrun and M. Wang, editors, Essays on Einstein manifolds, Vol. V of Surveys in Differential Geometry, International Press. 2000. P. 83-122.

74. Satake I. The Gauss-Bonnet theorem for F-manifolds // J. Math. Soc. Japan. 1957. V. 9, N. 4. P. 464-476.

75. Schwachhofer L. J. Holonomy. Review, 2008.

76. Seifert H.-J. The causal boundary of space-times // Zs. f. Naturforsche. A. 1967. V. 22. P. 1356-1360.

77. Sha J., Yang D. Positive Ricci curvature on compact simply connected 4-manifolds // Differential geometry. Part 3: Riemannian geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. Proc. Symp. Pure Math. 1993. V. 54, Part 3. P. 529-538.

78. Topiwala P. A new proof of the existence of Kahler-Einstein metrics on КЗ. I // Inventiones mathematicae. 1987. V. 89. P. 425-448.

79. Wakakuwa H. Holonomy groups. Public. Study Group of Geometry, 6 Okayama Univ., Okayama, 1971.

80. Wang M. Einstein metrics from symmetry and bundle constructions // Surveys in differential geometry, VI: essays on Einstein manifolds, Int. Press, Boston, MA, 1999. P. 287-325.

81. Wang M., Ziller W. Einstein metrics on principal bundles // J. Differential Geom. 1990. V.31. P. 215-261.

82. Wilking В. On compact Riemannian manifolds with noncompact holonomy groups // J. Diff. Geom. 1999. V. 52, N. 2. P. 223-257.

83. Wu H. On the de Rham decomposition theorem // Illinois. J. Math. 1964. V. 8. R 291-311.

84. Yau S.-T. On the Ricci curvature of a compact Kahler manifold and the complex Monge-Ampere equations //I. Communications on pure and applied mathematics. 1978. V. 31. R 339-411.