Полные римановы метрики с группой голономии G2 на разрешениях конуса над S3 х S3 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Богоявленская Ольга Анатольевна

Полные римановы метрики с группой голономии С?2 на разрешениях конуса над б13 х й13

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-1 АВГ 2013 005531790

Новосибирск — 2013

005531790

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирском национальном исследовательском государственном университете».

Научные руководители:

д. ф.-м. н., профессор, академик РАН Тайманов Искандер Асанович д. ф.-м. н. Базайкин Ярослав Владимирович

Официальные оппоненты:

Панов Тарас Евгеньевич, д. ф.-м. н., доцент, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова», механико-математический факультет, кафедра высшей геометрии и топологии, профессор

Родионов Евгений Дмитриевич, д. ф.-м. н., профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный университет», математический факультет, кафедра математического анализа, профессор

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет».

Защита состоится «26» августа 2013 года в 12:30 на заседании диссертационного совета Д 003.015.03, созданного на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан « ^ » 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена построению и исследованию метрик со специальной группой голономии £?2-

Группа голономии - это инвариант риманова многообразия, несущий информацию о глобальных свойствах геометрии данного многообразия. Понятие группы голономии было введено Э.Картаном [6, 7, 8] и, кратко, заключается в следующем: фиксировав точку многообразия размерности п и рассмотрев всевозможные петли, начинающиеся и заканчивающиеся в выбранной точке, можно получить группу, состоящую из всех параллельных переносов вдоль таких петель - это и есть группа голономии, по своему определению лежащая в 0(п). Первые примеры специальных групп голономии связаны с понятием симметрического пространства, также изучавшегося Э.Картаном. Оказалось, что для симметрического пространства группа голономии совпадает с группой изотропии фиксированной точки, рассмотренной относительно группы трансвекций. В дальнейшем, Борель и Лихнерович [2] показали, что для односвязного многообразия (или для любого многообразия, но при рассмотрении лишь стягиваемых петель) группа голономии является подгруппой Ли в ортогональной группе. Теорема де Рама подчеркнула глобальный характер понятия голономии: оказалось, что если группа голономии (вместе со своим представлением на касательном пространстве в фиксированной точке) раскладывается в прямое произведение (т.е. приводима) , то само многообразие распадается в соответствующее прямое произведение римановых многообразий.

Следующий крупный шаг в понимании структуры групп голономии был сделан Берже [1]. В предположении, что римано-во односвязное многообразие неприводимо и не является симметрическим, он доказал, что группа голономии принадлежит списку кандидатов, конечному в каждой фиксированной размерности. Доказательство Берже было алгебраическим и не позволяло от-

ветить вопрос, существует ли риманово многообразие с данной группой голономии из списка. Возникла задача реализации групп голономии из списка Берже, которая поэтапно была решена положительно для всех кандидатов.

Диссертация посвящена случаю группы голономии Сч- Вместе с группой Брт(7) для нее не было примеров реализации римано-вым многообразием вплоть до 1987 года, когда Брайант и Сала-мон построили первое (некомпактное и даже не полное) риманово многообразие с группой голономии Сг и Зрт(7). В 1989 они же [5] построили первый пример полного пространства с данными группами голономии. Построение компактного пространства оказалось трудной задачей, и было сделано лишь Джойсом [15, 16] в 1996 году. После Джойса Ковалев [18] в 2003 году предложил новую конструкцию, которая привела к построению компактного риманова многообразия с группой голономии С?2- В обоих конструкциях центральную роль играет некоторая хирургия, склеивающая метрики с группой голономии, лежащей в причем эти метрики определены на некомпактных пространствах.

С другой стороны, интерес к некомпактным пространствам с группой голономии С2 стимулировался применением их в физике, а именно в М-теории. Риманово многообразие с группой голономии С?2 является автоматически Риччи-плоским, то есть построение метрики с группой голономии С2 дает решение уравнения Эйнштейна с нулевой космологической постоянной. Это привело к построению дополнительных примеров некомпактных римано-вых многообразий с группой голономии С*2 с интересными геометрическими и топологическими свойствами. При этом некомпактный случай позволяет либо явно выписать метрику в элементарных функциях, либо детально изучить ее свойства. Большинство некомпактных примеров строятся как деформации конусов над специальными пространствами.

Целями работы являются:

1. Исследование системы дифференциальных уравнений, эк-

Бивалентной существованию параллельной С^ структуры на разрешениях конуса над 5'3 х 5'3.

2. Изучение топологических и геометрических свойств рима-новых многообразий с группой голономии ¿?2, отвечающих решениям этой системы.

Основные результаты.

1. Полностью исследована система нелинейных дифференциальных уравнений, эквивалентная существованию параллельной бУструктуры на гладком разрешении конуса над произведением трехмерных сфер Б3 х ¿>3.

2. Доказано существование однопараметрического семейства метрик с группой голономии С?2, определенных на пространстве, диффеоморфном прямому произведению 53 х К4, это семейство содержит в себе в качестве частных случаев известные ранее примеры метрик с группой голономии С 23. Доказано существование однопараметрического семейства

метрик с группой голономии С?2, определенных на пространстве, диффеоморфном прямому произведению 53 х НА, где Я4 - это четвертая тензорная степень комплексного линейного тавтологического расслоения Н над Б2.

Методы исследований.

В диссертации использовались методы римановой геометрии (в частности метод внешних форм Картана) и качественные методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все результаты являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть использованы в дальнейшем для построения новых примеров метрик со специальными голономиями и другими геометрическими свойствами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

- на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» ИМ СО РАН под руководством академика РАН И.А. Тайманова,

- на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством академика РАН Ю.Г. Решетняка,

- на международной конференции «Четвертая геометрическая конференция, посвященная столетию А.Д. Александрова», проходившей летом 2012 года в Санкт-Петербурге.

Публикации. Результаты диссертации изложены в работах [27, 28, 29]. Часть результатов получена при сотрудничестве с Я.В. Базайкиным.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 59 страницах и состоит из введения и четырех глав, каждая из которых разбита на пункты. Библиография содержит 26 наименований.

Первая глава является вводной. В ней мы приводим основные определения и факты, необходимые для дальнейшего изложения. Параграф 1.1 касается групп голономии римановых многообразий; в параграфе 1.2 содержится определение С?2 структуры на римановом многообразии. Глава 1 содержит лишь необходимые нам утверждения и не претендует на какую-либо полноту.

Во второй главе мы приводим общую конструкцию, которая позволяет строить метрики с группой голономии С?2 по заданному 7-мерному многообразию М. Большинство некомпактных примеров строятся как деформации конусов над специальными пространствами.

Мы рассматриваем стандартную конусную метрику над пространством 53 х 53 и деформируем ее при помощи четырех функций, зависящих от переменной, меняющейся вдоль образующей конуса.

з з

йз2 = сИ2 + ^2 Мг)2 (VI + т? + £ ВД2 (% - т)2, (1)

¿=1 г=1

где т}{7 ?7г — эт0 стандартный корепер из 1-форм, а функции А^), В^Ь) задают деформацию конусной особенности.

Эта четверка функций задает размеры сечения конуса на данном уровне £. Условие принадлежности группе голономии при этом записывается как нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений на данную четверку функций ( лемма 2.1 главы 2 ).

<Мх <Й <М? (А\ А2Л И1 в$) (В1-А1+В1

<и - 2 1 у В1В2

А2 2 +в1-в\

<Й <Ш? 1 | а2в2 МЗ-вЗ+в?

Л - 2 1 1 А2Вг

(2)

+

в2)

Для того, чтобы решение системы (2) было определено на некотором римановом многообразии, необходимо выполнение дополнительных краевых условий в точке ¿о, которые обеспечивают разрешение конусной особенности. В диссертации рассмотрены два типа разрешения особенности, мы формулируем их в лемме 3.1 главы 3 и лемме 4.1 главы 4 соответственно.

Лемма 3.1. Для того, чтобы метрика ¿я2 продолжалась до гладкой метрики на Мь необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

(1) Ах(о) = л2(о) = о, и;(о)| = |а'2(о)| = ±;

(2) В1(0) = В2(0) Ф 0, В[{0) = В'2(0) = 0;

(3) функции А,, В1 знакоопределены на промежутке (0, оо).

Лемма 4.1. Для того, чтобы метрика с1з2 продолжалась до гладкой метрики на М-ч, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

(1) вт = о,\в[т = 2;

(2) Л2(0) = В2(0) Ф О, Л'2(0) = -В'2(0),

(3) Л1(0)^0,Л'1(0)=0;

(4) функции Ai,Bi знакоопределены на промежутке (0, оо).

Два различных типа разрешения особенности приводят к двум

различным топологическим типам пространств ЛЛ\ = 53 х К4 и М.2 = 53 х Н4, на которых определена соответствующая метрика с группой голономии (?2 (здесь Н4 — это четвертая тензорная степень комплексного линейного тавтологического расслоения Н над 52).

Основной целью главы 3 является доказательство теоремы 3.1.

Теорема 3.1. Для каждого параметра р < 0 существует полная риманова метрика вида (1) с группой голономии С? на в3 х М4, такая, что р = •

При í —> оо метрики данного семейства сколь угодно близко аппроксимируются прямым произведением 51 х С (Б2 х Б3), где С (Б2 х Б3) — конус над произведением сфер.

Изложение доказательства теоремы 3.1 построено следующим образом. Сначала находятся все стационарные и условно стационарные точки системы (2) (леммы 2.3 и 2.4), они определяют асимптотику соответствующих метрик (лемма 2.5). Далее выясняется, каким начальным точкам ¿¡о отвечают условия леммы 3.1, необходимые для гладкости метрики; доказывается, что из каждой такой точки выходит однопараметрическое семейство траекторий системы (2) (лемма 3.3). После этого остается установить, куда сходятся эти траектории. Для этого определяются инвариантные области П и Г системы (2) и устанавливаются полезные для дальнейшего доказательства дифференциальные соотношения вдоль траекторий системы (лемма 2.6); эти соотношения показывают монотонность специально подобранных функций вдоль траекторий, что позволяет точно определить их асимптотику (лемма 3.4).

Основной целью главы 4 является доказательство теоремы 4.1.

Теорема 4.1. Существует однопараметрическое семейство попарно негомотетичных полных римановых метрик вида йё2 с группой голономии С?2 на Н4 х 5"3, причем метрики можно па-

раметризоватъ набором начальных данных (j4i(0), ^(0), J5i(0), ß2(0)) = (Д,Л,0, Л), где X,fi > 0 и /х2 + Л2 = 1.

При t —> со метрики данного семейства сколь угодно близко аппроксимируются прямым произведением S1 х С(52 х S3), где C(S2 х S3) — конус над произведением сфер. При этом сфера S2 возникает как факторизация диагонально вложенной в S3 х S3 трехмерной сферы по действию окружности, соответствующей векторному полю +

Изложение доказательства теоремы 4.1 проводится аналогично доказательству теоремы 3.1 и построено следующим образом. Сначала находятся все стационарные и условно стационарные точки системы (2) (леммы 2.3 и 2.4), они определяют асимптотику соответствующих метрик (лемма 2.5). Далее выясняется, каким начальным точкам Sq отвечают условия леммы 4.1, необходимые для гладкости метрики; доказывается, что из каждой такой точки выходит ровно одна траектория системы (2) (лемма 4.2). После этого остается установить, куда сходятся эти траектории. Для этого определяются инвариантные области П и Г системы (2) и устанавливаются полезные для дальнейшего доказательства дифференциальные соотношения вдоль траекторий системы (лемма 2.6); эти соотношения показывают монотонность специально подобранных функций вдоль траекторий, что позволяет точно определить их асимптотику (лемма 4.3).

Список литературы

[1] Berger, M. Sur les groupes d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés Riemanniennes/ M. Berger.

— Bull. Soc. Math. France. — 1955,— V. 83. — P. 279-330.

[2] Borel, A. Groupes d'holonomie des variétés riemanniennes / A. Borel, A. Lichnerowicz. — C. R. Acad. Sei. Paris. — 1952.

- V. 234. - P. 1835-1837.

[3] Brandhuber, A. Gauge theory at large N and new G2 holonomy metrics / A. Brandhuber, J. Gomis, S. S. Gubser, S. Gukov. - Nucl. Phys. B. - 2001. - V. 611(1-3). - P. 179-204. — http://arxiv.org/abs/hep-th/0106034v2

[4] Brandhuber, A. G2 holonomy spaces from invariant three-forms / A. Brandhuber. - Nucl. Phys. B. — 2002. -V. 629(1-3). — P. 393-416. — http://arxiv.org/abs/hep-th/0112113v2

[5] Bryant, R. L. On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy / R. L. Bryant, S. Salamon. — Duke Math. J. - 1989. - V. 58(3). - P. 829-850.

[6] Cartan, E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée / E. Cartan. I & II // Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. - 1923. - V. 40. - P. 325-412. 1924. - V. 41.

— P. 1-25 ou Oeuvres complètes, tome III, P. 659-746 et P. 799-824.

[7] Cartan, E. La géométrie des espaces de Riemann / E. Cartan.

— Mémorial des Sciences Mathématiques. Paris, Gauthier-Villars. - 1925. - V. 5.

[8] Cartan, E. Les groupes d'holonomie des espaces généralisés / E. Cartan. // Acta Math. - 1926. - V. 48. - P. 1-42 ou Oeuvres complètes. Tome III. — V. 2. - P. 997-1038.

[9] Chong, Z.W. General metrics of G2 holonomy and contraction limits / Z. W. Chong, M. Cvetic, G. W. Gibbons, H. Lu, C. N. Pope, P. Wagner. // Nucl. Phys. B. - 2002.

— V. 638(3). — P. 459-482. - http://arxiv.org/abs/hep-th/0204064vl

[10] Cvetic, M. Cohomogeneity one manifolds of Spin(7) and G2 holonomy / M. Cvetic, G.W. Gibbons, H. Lu, C.N. Pope.

// Phys. Rev. D (3). - 2002. - V. 65(10). - 106004, 29 pp.

— http://arxiv.org/abs/hep-th/0108245v2

[11] Cvetic, M. Orientifolds and slumps in G2 and Spin(7) metrics / M. Cvetic, G.W. Gibbons, H. Lu, C.N. Pope // Ann. Phys. - 2004. - V. 310(2). - P. 265-301. -http://arxiv.org/abs/hep-th/0111096v2

[12] Cvetic, M. A G2 unification of the deformed and resolved conifolds / M. Cvetic, G.W. Gibbons, H. Lu, C.N. Pope // Phys. Lett. B. - 2002. - V. 534(1-4). - P. 172-180. -http://arxiv.org/abs/hep-th/0112138v3

[13] Gibbons, G.W. Einstein Metrics on S3, R3, and R4 bundles / G. W. Gibbons, D. N. Page, C. N. Pope // Commun. Math. Phys. - 1990. - V. 127(3). - P. 529-553.

[14] Gray, A. Weak holonomy groups / A. Gray // Math Z. V. — 123(1971). - P. 290-300.

[15] Joyce, D. D. Compact Riemannian 7-manifolds with holonomy G2 / D. D. Joyce. I and II // J. Differentional Geometry. — 1996. — V. 43(2). — P. 291-375.

[16] Joyce, D. D. Compact 8-manifolds with holonomy Spin(7) / D. D. Joyce // Inv. Math. — 1996. — V. 123. — P. 507-552.

[17] Joyce, D. D. Compact manifolds with special holonomy / D. D. Joyce. - Oxford, 2000.

[18] Kovalev, A. Twisted connected sums and special Riemannian holonomy / A. Kovalev // J. Reine Angew. Math. — 2003.

— V. 565. - P. 125-160.

[19] de Rham, G. Sur la reductibilité d'un espace de Riemann / G. de Rham // Comm. Math. Helv. — 1952. — V. 26. — P. 328-344.

[20] Wilking, В. On compact Riemannian manifolds with noncompact holonomy groups / B. Wilking //J. Diff. Geom. - 1999. - V. 52(2). - P. 223-257.

[21] Базайкин, Я. В. О новых примерах полных некомпактных метрик с группой голономии Spin(7) / Я. В. Базайкин // Сибирский математический журнал. — 2007. — Т. 48(1). — С. 11-32.

[22] Базайкин, Я. В. Некомпактные римановы пространства с группой голономии Spin(7) и 3-сасакиевы многообразия / Я. В. Базайкин // Тр. МИАН. - 2008. - Т. 263. - С. 6-17.

[23] Базайкин, Я. В. Spin(7)-структуры на комплексных линейных расслоениях и явные римановы метрики с группой голономии SU(4) / Я. В. Базайкин, Е. Г. Малькович // Матем. сб. - 2011. - Т. 202(4). - С. 3-30.

[24] Бессе, А. Многообразия Эйнштейна. / А. Бессе. — М.: Мир, 1990.

[25] Каждан, Д. JL Функции-кривизны для открытых двумерных многообразий / Д. JI. Каждан, Ф. У. Уорнер // Сб. Исследования по метрической теории поверхностей. — М.: Мир, 1980. - С. 60-80.

[26] Малькович, Е.Г. О новых явных римановых метриках с группой голономии SU(4) / Е. Г. Малькович // Сибирский математический журнал. — 2011. — Т. 52(1). — С. 95-99.

Список работ автора по теме диссертации

[27] Богоявленская, O.A. Полные римановы метрики с группой голономии G'2 на деформациях конусов над S'3 х S3 /

Я. В. Базайкин, О. А. Богоявленская // Матем. заметки. - 2013. - Т. 93(5). - С. 645-657.

[28] Богоявленская, О. А. Об одном новом семействе полных римановых метрик с группой голономии G2 на S3 х R'1 / О. А. Богоявленская // Сибирский математический журнал. - 2013. — Т. 54(3). - С. 551-562.

[29] Богоявленская, О. А. Полные римановы метрики с группой голономии G2 на деформациях конусов над S3 х S3 / О. А. Богоявленская // Материалы международной конференции "Fourth geometry meeting dedicated to the centenary of A.D.Alexandrov". — СПб.: BBM, 2012. — C. 39.

Подписано в печать 17.07.2013 г. Печать цифровая. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2 Тираж 100 экз. Заказ № 167.

Отпечатано в типографии «Срочная полиграфия» ИП Малыгин Алексей Михайлович 630090, Новосибирск, пр-т Академика Лаврентьева, 6/1, оф.104 Тел. (383) 217-43-46, 8-913-922-19-07

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новосибирский национальный исследовательский государственный университет

На правах рукописи

Богоявленская Ольга Анатольевна

Полные римановы метрики

с группой голономии на разрешениях конуса над 53 х 53

01.01.04 — геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

доктор физико-математических наук,

академик РАН, профессор

Тайманов Искандер Асанович

доктор физико-математических наук Базайкин Ярослав Владимирович

Новосибирск — 2013

Содержание

Введение 3

1 Определения 10

1.1 Группа голономии............................................10

1.2 Сг-структура на многообразии..............................13

2 (^-структура на конусе над 53 х 53 15

2.1 Семейство новых решений..................20

2.2 Начальные условия............................................28

3 Метрики на 53 х М4 с группой голономии Сг 30

4 Метрики на 53 х НА с группой голономии 6?2 44

Введение

Диссертация посвящена построению и исследованию метрик со специальной ГруППОЙ ГОЛОНОМИИ Сг2-

Группа голономии - это инвариант риманова многообразия, несущий информацию о глобальных свойствах геометрии данного многообразия. Понятие группы голономии было введено Э.Картаном [6, 7, 8] и, кратко, заключается в следующем: фиксировав точку многообразия размерности п и рассмотрев всевозможные петли, начинающиеся и заканчивающиеся в выбранной точке, можно получить группу, состоящую из всех параллельных переносов вдоль таких петель - это и есть группа голономии, по своему определению лежащая в О(п). Первые примеры специальных групп голономии связаны с понятием симметрического пространства, также изучавшегося Э.Картаном. Оказалось, что для симметрического пространства группа голономии совпадает с группой изотропии фиксированной точки, рассмотренной относительно группы трансвекций. В дальнейшем, Борель и Лихне-рович [2] показали, что для односвязного многообразия (или для любого многообразия, но при рассмотрении лишь стягиваемых петель) группа голономии является подгруппой Ли в ортогональной группе. Случай неодносвязного пространства оказался сложнее: как показал Вилкинг [20], группа голономии неодносвязного риманова многообразия может не быть замкнутой подгруппой Ли в 0(п). Теорема де Рама [19] подчеркнула глобальный характер понятия голономии: оказалось,

что если группа голономии (вместе со своим представлением на касательном пространстве в фиксированной точке) раскладывается в прямое произведение (т.е. приводима), то само многообразие распадается в соответствующее прямое произведение римановых многообразий.

Следующий крупный шаг в понимании структуры групп голономии был сделан Берже [1]. В предположении, что риманово односвязное многообразие неприводимо и не является симметрическим, он доказал, что группа голономии принадлежит списку кандидатов, конечному в каждой фиксированной размерности. Доказательство Берже было алгебраическим и не позволяло ответить вопрос, существует ли риманово многообразие с данной группой голономии из списка. Возникла задача реализации групп голономии из списка Берже, которая постепенно была решена положительно для всех кандидатов.

Для нас особый интерес представляет группа голономии Вместе с группой 5ргп(7) для нее не было примеров реализации римано-вым многообразием вплоть до 1987 года, когда Брайант и Саламон [5] построили первое (некомпактное и даже не полное) риманово многообразие с группой голономии и Брт{7). В 1989 они же построили первый пример полного пространства с данными группами голономии. Построение компактного пространства оказалось трудной задачей, и было сделано лишь Джойсом [15, 16] в 1996 году. После Джойса Ковалев [18] в 2003 году предложил новую конструкцию, которая привела к построению компактного риманова многообразия с группой голономии

Для объяснения мотивации данной диссертации, схематично опишем конструкции Джойса и Ковалева. Джойс рассмотрел специальное действие дискретной группы на плоском торе размерности 7, особенности факторпространства рассмотренного действия имеют окрестности, изометричные Т4 х С2/^. Произведя хирургию Джойс при-

клеил вместо каждой такой окрестности пространство Т3 х Т*Б2, где на кокасательном расслоении рассмотрена метрика Эгучи-Хансона с группой голономии 5'С/(2). После этого было показано, что результирующая метрика на полученном семимерном компактном многообразии может быть деформирована в метрику с группой голономии Сг-Ковалев рассмотрел некомпактное многообразие с группой голономии 5С/(3) с цилиндрическим концом и специальным образом склеил два таких пространства, умноженных на окружность (мы здесь опустили многие детали). Опять, на полученном пространстве существует ри-манова метрика с группой голономии . В обоих конструкциях центральную роль играет некоторая хирургия, склеивающая метрики с группой голономии, лежащей в £2, причем эти метрики определены на некомпактных пространствах.

С другой стороны, интерес к некомпактным пространствам с группой голономии Сг2 стимулировался применением их в физике, а именно в М-теории. Дело в том, что риманово многообразие с группой голономии является автоматически Риччи-плоским, то есть построение метрики с группой голономии дает решение уравнения Эйнштейна с нулевой космологической постоянной. Это привело к построению дополнительных примеров некомпактных римановых многообразий с группой голономии 6?2 с интересными геометрическими и топологическими свойствами. При этом некомпактный случай позволяет либо явно выписать метрику в элементарных функциях, либо детально изучить ее свойства. Большинство некомпактных примеров строятся как деформации конусов над специальными пространствами.

Диссертация изложена на 60 страницах и состоит из введения и четырех глав, каждая из которых разбита на параграфы. Библиография содержит 26 наименований.

Первая Глава является вводной. В ней мы приводим основные опре-

деления и факты, необходимые для дальнейшего изложения. Параграф 1.1 касается групп голономии римановых многообразий; в параграфе 1.2 содержится определение G2 структуры на римановом многообразии. Глава 1 содержит лишь необходимые нам утверждения и не претендует на какую-либо полноту.

Во второй Главе мы приводим общую конструкцию, которая позволяет строить метрики с группой голономии (?2 по заданному 7-мерному многообразию М. Мы рассматриваем стандартную конусную метрику над пространством 53 х 53 и деформируем ее при помощи четырех функций, зависящих от переменной, меняющейся вдоль образующей конуса.

з з

ds2 = dt2 + J2 Mt)2 fa. + m? + £ A(t)2 (Г7г - fjt)2 , (1)

i=l г=1

где г)г, г]г — это стандартный корепер из 1-форм, а функции Аг(£), Д (¿) задают деформацию конусной особенности.

Эта четверка функций задает размеры сечения конуса на данном уровне t. Условие принадлежности группе голономии G2 при этом записывается как нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений на данную четверку функций ( Лемма 2.1 Главы 2

)•

dAi _ I (А\ _ А\\ dt 2 VÂ% ~Щ) dM 1 (Bl-Al+Bl _ АЛ

dt 2 ^ ВХВ2 А2 ) /«ч

dB± A\+Bl-B\ dt А2В2

dBz _ 1 (Al-BÎ+B* , ¿Л dt — 2 \ A2Bi "T" B2 )

Для того, чтобы решение системы (2) было определено на некотором римановом многообразии, необходимо выполнение дополнительных краевых условий в точке to, которые обеспечивают разрешение конусной особенности. В диссертации рассмотрены два типа разреше-

ния особенности, мы формулируем их в Лемме 3.1 Главы 3 и Лемме 4.1 Главы 4 соответственно.

Лемма 3.1. Для того, чтобы метрика (й2 продолжалась до гладкой метрики на Л4, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

(1) Л!(0) = Л2(0) = 0,1^(0)1 = |^(0)| = |;

(2) 51(0) = В2(0) ф 0, £1(0) - В'2{0) = 0;

(3) функции Аг, Вг знакоопределены на промежутке (0, сю).

Лемма 4.1. Для того, чтобы метрика с/й2 продолжалась до гладкой метрики на Л4, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

(1) В1(0)=0,1^(0)1 = 2;

(2) Л2(0)=Б2(0)^0,А'2(0) = -^(0),

(3) Л1(0)^0,Л'1(0)=0;

(4) функции Вг знакоопределены на промежутке (0, сю).

Два различных типа разрешения особенности приводят к двум различным топологическим типам пространств, на которых определена соответствующая метрика с группой голономии £2.

Основной целью Главы 3 является доказательство Теоремы 3.1.

Теорема 3.1. Для каждого параметра р < 0 существует полная риманова метрика вида (1) с группой голономии С2 на 53 хМ4, такая,

что р = 512(о)(Л»/}о)-^"(о))"

При £ —>■ оо метрики данного семейства сколь угодно близко аппроксимируются прямым произведением З1 х С {Б2 х 53), где С (Б2 х 53) — конус над произведением сфер.

Изложение доказательства Теоремы 3.1 построено следующим образом. Сначала находятся все стационарные и условно стационарные точки системы (2) (Леммы 2.3 и 2.4), они определяют асимптотику

соответствующих метрик (Лемма 2.5). Далее выясняется, каким начальным точкам 5о отвечают условия Леммы 3.1, необходимые для гладкости метрики; доказывается, что из каждой такой точки выходит однопараметрическое семейство траекторий системы (2) (Лемма 3.3). После этого остается установить, куда сходятся эти траектории. Для этого определяются инвариантные области П и Г системы (2) и устанавливаются полезные для дальнейшего доказательства дифференциальные соотношения вдоль траекторий системы (Лемма 2.6); эти соотношения показывают монотонность специально подобранных функций вдоль траекторий, что позволяет точно определить их асимптотику (Лемма 3.4).

Основной целью Главы 4 является доказательство Теоремы 4.1.

Теорема 4.1. Существует однопараметрическое семейство попарно негомотетичных полных римановых метрик вида ей2 с группой голономии Сг2 на НА х Б3, причем метрики можно параметризовать набором начальных данных (Ах(0), ^(О), -Вх(О), -¿^(О)) = (/л, Л, 0, А), где А, д > 0 и ¡л2 + Л2 = 1.

При £ —> оо метрики данного семейства сколь угодно близко аппроксимируются прямым произведением Б1 х С(52 х 53); где С(5'2 х 53) — конус над произведением сфер. При этом сфера 52 возникает как факторизация диагонально вложенной в б13 х 53 трехмерной сферы по действию окружности, соответствующей векторному полю

е+1.

Изложение доказательства Теоремы 4.1 проводится аналогично доказательству Теоремы 3.1 и построено следующим образом. Сначала находятся все стационарные и условно стационарные точки системы (2) (Леммы 2.3 и 2.4), они определяют асимптотику соответствующих метрик (Лемма 2.5). Далее выясняется, каким начальным точкам 5о отвечают условия Леммы 4.1, необходимые для гладкости

метрики; доказывается, что из каждой такой точки выходит ровно одна траектория системы (2) (Лемма 4.2). После этого остается установить, куда сходятся эти траектории. Для этого определяются инвариантные области П и Г системы (2) и устанавливаются полезные для дальнейшего доказательства дифференциальные соотношения вдоль траекторий системы (Лемма 2.6); эти соотношения показывают монотонность специально подобранных функций вдоль траекторий, что позволяет точно определить их асимптотику(Лемма 4.3)

Глава 1 Определения

1.1 Группа голономии

Пусть Мп - риманово многообразие с метрикой д. Тогда на ТМ существует и единственна связность V, симметричная и согласованная с этой метрикой д.

Наличие связности в касательном расслоении позволяет определить операцию параллельного переноса вдоль путей, лежащих в Мп. Пусть 7 : [0,1] —»■ Мп - произвольный кусочно-гладкий путь, такой что 7(0) = х и 7(1) = у для некоторых х,у € Мп. Тогда для любого вектора г>о Е ТХМ существует единственное гладкое векторное поле у({), такое что \7^)г>(£) = 0 и г>(0) = г^, и говорят, что г>(1) получен из г>о параллельным переносом вдоль пути 7(£).

Параллельный перенос вдоль замкнутых путей (петель), т.е. таких 7(£), что 7(0) = 7(1) = х, порождает линейное преобразование Р1 касательного пространства ТХМ. Множество всех таких преобразований Р7 образует группу Но1х(Мп), которая называется группой голономии многообразия Мп\

Но1х{Мп) = {Р7 : 7(0) = 7(1) - х} С О(п)

Известно, что если многообразие Мп - связно, то группа голономии Но1х(Мп) не зависит от фиксированной точки ж, а именно, группы Но1х(Мп) и Но1у(Мп) для различных х и у сопряжены в 0(п).

Группа голономии является подгруппой Ли в 0(п), как замкнутая подгруппа группы Ли.

Естественным образом возникает задача классификации римано-вых групп голономии: какие группы могут быть группами голономии риманова многобразия?

Риманово многообразие (М, называется (локально) приводимым, если у каждой точки существует окрестность, изометричная ри-манову произведению (Р х (^,(182Р + (1з2о). М неприводимо, если оно не является локально приводимым. Очевидно, что если риманово многообразие приводимо, то Но1(М) — Но1(Р) х Но1((5). В случае, если риманово многообразие является полным, то верно и обратное утверждение:

Теорема: Пусть М - полное риманово многообразие, группа голономии С которого является произведением двух групп и С2, а представление голономии группы С? раскладывается в сумму представлений С1 и С2- Тогда М изометрично прямому произведению двух римановых пространств Р и ф, где Но1{Р) — и Но1((д) — а представления групп Сх и Сг2 совпадают с представлениями голономии Р и ф.

Таким образом, в силу теоремы разложения де Рама можно сразу ограничиться полными неприводимыми римановыми многообразиями.

Одним из важных примеров таких многообразий являются симметрические пространства.

Односвязное многообразие М называется симметрическим пространством, если для любой точки х существует изометрия (движе-

ние) вх, для которой точка х является изолированной неподвижной точкой и такая, что все касательные векторы в точке х испытывают отражение: V переходит в —V. Это преобразование зх называется "симметрией1^ точке х.

Теорема: Пусть М - симметрическое пространство и С - группа Ли изометрий М, порожденная всеми отражениями, переворачивающими геодезические. Предположим, что Н С С? - группа изотропии М относительно выбранной точки. Тогда М — О/Н, и группа голо-номии Но1(М) совпадает с Н, а представление голономии совпадает с представлением изотропии С/Н.

Список всех односвязных римановых симметрических пространств был получен Картаном.

Следющая теорема была доказана Берже:

Теорема: Пусть М - односвязное неприводимое риманово многообразие размерности п, не являющееся симметрическим пространством. Тогда имеет место один из следующих случаев:

1) Но1(М) = 50(п) - общий случай,

2) п = 2т, где т > 2 и Но1(М) = £/(т) С 50(2т) - кэлеровы многообразия,

3) п = 2т, где т > 2 и Но1(М) = 311(т) С 50(2т) - специальные кэлеровы многообразия,

4) п — 4т, где т > 2 и Но1(М) = Бр{т) С 80(4т) - гиперкэле-ровы многообразия,

5) п = 4т, где т > 2 и Но1{М) - 5р(т)5р( 1) С 50(4т) -кватернионно-кэлеровы многообразия,

6) п - 7 и Но1(М) = С 50(7),

7) п = 8 и Но1(М) = 5рт(7) С 50(8).

Таким образом, только группы из списка могут быть римановыми

группами голономии. Действительно ли каждая из них может быть реализована как группа голономии некоторого риманова многообразия? Утвердительный ответ для групп и 5рт(7) был получен только в 1989 году Брайантом.

Римановы многообразия (М,д) с Но1(М) С и (га) называются кэлеровыми многообразиями. Многообразия (М, д) с Но1(М) С Зи(т) называются многообразиями Калаби-Яу. Многообразия с группой голономии Зр(т) называются гиперкэлеровы-ми. Метрики Калаби-Яу и гиперкэлеровы метрики являются риччи-плоскими. Многообразия с группой голономии 3р(т)3р(1) называются кватернионно-кэлеровыми и являются эйнштейновыми. Последние два случая - исключительные метрики - также являются риччи-плоскими.

Группа 5рт(7) - это двулистное, односвязное накрытие группы 50(7). Группа - это группа автоморфизмов алгебры октав Кэли С а.

1.2 Сг-структура на многообразии

Пусть {е1}, г — 0,1, 2,..., 7 - ортонормированный базис из 1-форм на стандартном евклидовом пространстве М7. Положив ег°к = ег А е3 А ек, рассмотрим следующую 3-форму Фо на Е7:

ф0 = е564 + е527 + е513 + е621 + е637 + е432 + е417_

Дифференциальная 3-форма Ф на ориентированном римановом 7-мерном многообразии (М, д) задает (?2~структуру, если в окрестности каждой точки р Е М существует сохраняющая ориентацию изометрия фр : ТрМ —» К7, такая, что 0*Фо = Ф|р. При этом форма Ф определяет единственную метрику дф, такую, что = (фру,фрги) для у,ъи Е ТРМ. Если форма Ф параллельна (УФ = 0), то группа голоно-

мии риманова многообразия М будет содержаться в Параллельность формы Ф эквивалентна ее замкнутости и козамкнутости [14]:

¿ф = 0,с2* Ф = 0.

Глава 2

(^-структура на конусе над 53 х

Рассмотрим группу Ли в = 5С7(2) = {( а_ М , \а\2 + |6|2 = 1}

\-Ь а/

со стандартной биинвариантной метрикой

(Х,У) = -Ьт (ХУ), где X, У € ви(2). На С рассмотрим три киллинговых векторных поля:

Нетрудно посчитать, что они удовлетворяют соотношениям

[е,е+1] = 2е+2,

где индексы I = 1,2,3 приводятся по модулю 3. Действительно,

Пусть 771,772,^3 ~~ двойственный базис из 1-форм, т.е. 77г(^) = 83г. Тогда из формулы Маурера-Картана

<Ь{Х, У) = ± {Х{и;(У)) - У(со(Х)) - и({Х, У]))

для левоинвариантных векторных полей X, У имеем:

<1и;(Х,У) = -1-со([Х,У}).

Поэтому значение формы (¿771 (X, У) = —^г}\{[Х,У]) отлично от нуля только при X = &, У = £з, действ