Алгебры голономии лоренцевых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

□03052114

На правах рукописи

Галаев Антон Сергеевич

АЛГЕБРЫ ГОЛОНОМИИ ЛОРЕНЦЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ специальность 01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2007

003052114

Работа выполнена на кафедре геометрии Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Лосик Марк Вольфович

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор Аминова Ася Васильевна

доктор физико-математических наук, профессор Кириченко Вадим Федорович

Ведущая организация:

Ярославский Государственный Университет им. П. Г. Демидова

Защита состоится «29» марта 2007 г. в 12:30 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, Казанский государственный университет, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина.

Автореферат разослан «_» февраля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент сЛ/.^/Ч. /¿иы^г м. А. Малахальцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Понятие группы голономии впервые было введено в работах Э. Картана [11] и [13], в [12] он использовал группы голономии для классификации римановых симметрических пространств. Группа голономии может быть определена для произвольного главного или векторного расслоения со связностью.

В случае многообразия с линейной связностью, группа голономии является группой Ли и может быть отождествлена с подгруппой Ли группы Ли СЬ(п,Ш), где п - размерность многообразия. Соответствующая алгебра Ли называется алгеброй голономии. Группа голономии содержит информацию обо всех параллельных геометрических объектах на многообразии (например, о параллельных тензорных полях и распределениях). Значит, разным группам голономии соответствуют разные геометрии, поэтому возникает задача классификации групп голономии. Как правило, рассматривают связную компоненту единицы группы голономии. Это равносильно изучению алгебры голономии.

В 1965 году Дж.Хано и Х.Одзеки показали, что всякая связная линейная группа Ли С с С£/(п,К) может быть реализована как группа голономии пространства линейной связности [16]. Эта связность, как правило, имеет ненулевое кручение. Согласно теореме Амброза-Зингера, для алгебры голономии д С 0[(п, Е) многообразия с линейной связностью без кручения имеем Ь(Щд)) = 0, где

Щд) = {й£ Нош(Е" А К", 0)!Я(и А у)ш + Я(г> А -ш)и + Я(ги А = О

для всех и,г>,и> € Мп}

есть пространство тензоров кривизны типа д и

Ь{Щд)) = Брап{Я(иЛи)|Яе Щв),щу е К"} С 0.

Подалгебры 0 С 0[(п,Е), удовлетворяющие условию Ь(И(д)) = д, можно считать кандидатами в алгебры голономии. В 1955 году М.Берже привел (без подробного доказательства) список неприводимых подалгебр 0 С д((п,Е) (для произвольного п > 1), удовлетворяющих условию Ь(71(д)) = 0. Поэтому алгебры, удовлетворяющие этому условию, принято называть алгебрами Берже. Подробное доказательство (вместе с исправлениями ошибок в списке) дали недавно С. Меркулов и Л. Шваххофер, [25] и

[26] Заметим, что для пространств линейной связности переход от общего случая к случаю неприводимой алгебры голономии невозможен.

Алгебра голономии n-мерного риманова многообразия может быть отождествлена с подалгеброй алгебры Ли so(n). Классификация алгебр голономии римановых многообразий является хорошо известным классическим результатом. Теорема А. Бореля и А. Лихнеровича [9] сводит проблему классификации алгебр голономии римановых многообразий к случаю неприводимых алгебр голономии. В 1955 году М. Берже в [8] классифицировал возможные неприводимые алгебры голономии римановых многообразий. Лишь в 1987 году Р. Брайнт привел конструкции, показывающие существование римановых многообразий с каждой из специальных алгебр из этого списка [10], тем самым классификация алгебр голономии римановых многообразий была завершена. Римановы многообразия с каждой из возможных алгебр голономии представляли большой интерес геометров последние 50 лет, подробный обзор можно найти в [1, 5, 21].

Важно иметь также классификацию алгебр голономии для псевдори-мановых многообразий, и в первую очередь - для лоренцевых многообразий, поскольку последние важны в физике. Например, в последнее время в связи с теорией супергравитации появляются физические работы, в которых изучаются 11-мерные лоренцевы многообразия, допускающие параллельные спинорные поля. При этом используются группы голономии ([4, 14, 15, 17, 20]). В настоящее время полная классификация получена только для лоренцевых многообразий (об этом речь пойдет далее). Имеются частичные результаты для многообразий сигнатуры (2,п), [19], работы автора 3,5,6 и для многообразий сигнатуры (п,п), [7].

Рассмотрим лоренцево многообразие (М,д) сигнатуры (l,n 4- 1) (п > 0). Алгебра голономии многообразия (М,д) может быть отождествлена с подалгеброй алгебры Ли so(l, п + 1). Теорема Ш. Ву [27] сводит проблему классификации алгебр голономии лоренцевых многообразий к случаю слабо неприводимых алгебр голономии (слабо неприводимые подалгебры алгебры Ли $о(1,п +1) не имеют невырожденных собственных инвариантных подпространств в пространстве Минковского R1,n+1). В [8] М. Берже дал классификацию возможных неприводимых алгебр голономии для псев-доримановых многообразий. В частности, единственной неприводимой алгеброй голономии лоренцевых многообразий является яо(1,п + 1). Значит, необходимо получить классификацию слабо неприводимых, не являющихся

неприводимыми, алгебр голономии лоренцевых многообразий. Первый шаг к классификации сделали в 1993 JI. Берард-Бержери и А. Икемакхен, в [6] они классифицировали слабо неприводимые, не являющиеся неприводимыми, подалгебры д с so(l,n + 1).

Цель работы. Целью работы является получение классификации алгебр голономии лоренцевых многообразий.

Постановка задачи. С учетом вышесказанного, для решения проблемы классификации алгебр голономии лоренцевых многообразий необходимо решить следующие 2 задачи:

(А) Получить список слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр Берже в so(l, n + 1).

(Б) Для каждой подалгебры в с зо(1,п + 1) пункта (А) найти пример лоренцева многообразия с алгеброй голономии 0.

Методы исследования. В главе II используется векторная модель пространства Лобачевского и описание транзитивных групп подобия евклидовых пространств. В главе III используется классификация неприводимых представлений компактных алгебр Ли и методы линейной алгебры. В главе IV используются тензорные методы.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту являются новыми.

Результаты, выносимые на защиту:

1) Геометрическое доказательство результата Л. Берарда-Бержери и

А. Икемакхена о слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр д с яо(1 ,п + 1). Классификация связных групп преобразований подобия евклидовых пространств и классификация связных транзитивных групп движений пространств Лобачевского.

2) Описание пространств тензоров кривизны для слабо неприводимых, не

являющихся неприводимыми, подалгебр g С so(l,n+l). Сведение проблемы классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр Берже g с so(l,n + 1) к проблеме классификации неприводимых слабых подалгебр Берже f) с so(п). Классификация слабых подалгебр Берже Fj С so(n) для п < 9.

3) Конструкции метрик, показывающих, что подалгебры Берже 0 С 50(1, п + 1) являются алгебрами голономии лоренцевых многообразий.

Теоретическое и практическое значение работы. Результаты данной работы могут быть применены для дальнейшего исследования геометрии лоренцевых многообразий с каждой из возможных алгебр голономии, для нахождения локальных параллельных геометрических объектов на лоренцевых многообразиях. Результаты работы могут быть применены также в теоретической физике, например, в связи с общей теорией относительности и в теории супергравитации.

Апробация работы. Основные результаты докладывались:

1) На молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения "(Казань, 2002).

2) На ежегодной научной апрельской конференции механико-математического факультета Саратовского государственного университета в 2003, 2004, 2005 гг.

3) На семинаре по дифференциальной геометрии в университете Гумбольт-да под руководством проф. Хельги Баум (Берлин, июнь 2003, декабрь 2003, апрель 2005).

4) На летней школе-конференции, организованной IGK-870 'Arithmetic and Geometry' (Аскона, Швейцария, май 2004).

5) На летней школе-конференции, организованной IGK-870 'Arithmetic and Geometry' (Корин, Германия, май 2005).

6) В институте Ервина Шредингера (Вена, Австрия, ноябрь 2005).

7) На заседании кафедры геометрии Казанского государственного университета, декабрь 2005.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 91 странице машинописного текста и состоит из введения и четырех глав. Библиографический список содержит 57 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе I излагаются некоторые известные результаты о группах го-лономии псевдоримановых многообразий. В пункте 1.1 приводятся определения и основные факты, связанные с группами голономии псевдоримановых многообразий. Даны примеры и идеи доказательств некоторых теорем, показывающие технику применения групп голономии. В пункте 1.2 приводится классификация М.Берже связных неприводимых групп голономии римановых и псевдоримановых многообразий и ее следствия.

В пункте 1.3 излагается классификация слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр алгебры Ли so(l,n + 1) полученная в 1993 году Л. Берардом-Бержери и А. Икемакхеным в [6]. Они разделили слабо неприводимые, не являющиеся неприводимыми, подалгебры 0 С so(l,n + 1) на 4 типа и с каждой такой подалгеброй ассоциировали подалгебру fj с so(n), называемую ортогональной частью алгебры Ли д. Более подробно, обозначим через R1,n+l (п + 2)-мерное пространство Мин-ковского, то есть векторное пространство R"+2 с метрикой г] сигнатуры ( 1,п 4-1 ). Зафиксируем базисp,e\,...,e„,q пространства K1,n+I, относительно которого метрика г) имеет матрицу Грама формы ^о £„ о^. Обозначим через Е евклидово пространство, порожденное векторами ei,...,e„. Иногда вместо Е будем писать Rn. Обозначим через so(l,п + 1)rp подалгебру в so(l,n 4-1), сохраняющую изотропную прямую Mр В базисе p,ei, ...,en,q алгебра Ли so(l,n + 1)rp имеет следующий матричный вид

so(l,п + 1)цр = { (о ~л' xj a G R, X е К", А е so(n)} .

Всякая слабо неприводимая, не являющаяся неприводимой, подалгебра 0 С 5о(1, п +1) сохраняет некоторую изотропную прямую, поэтому g сопряжена некоторой слабо неприводимой подалгебре в so(l, n+1)rp. Напомним, что для всякой подалгебры fj С so(n) имеем fj = f)' ® j(fj), где f)' - коммутант ij и j(f)) - центр f). Л. Берард-Бержери и А.Икемакхен показали, что подалгебра g с so(l, n+1)rp является слабо неприводимой тогда и только тогда, когда g является алгеброй одного из следующих типов:

Тип 1. 01Л = | (о ~а х J | а е R, X е R", А 6 f)}, где t) С so(п) - подалгебра;

Тип 2. fl2'" = { (о "Т |)| X е К", А е ь};

Тип 3. = ( ( "о0 "а* х ) X 6 М", A G Л, где Ц С so(n) - по-I \ О О -<р(А) J )

далгебра с условием 3(F)) Ф {0} и ip : fj —> К - ненулевое линейное отображение со свойством ip\y — 0;

г /о-х'-шУ о \ 1

Тип4.б4« = Ш л 8 /А)] Хе№,АеЬ>, где т,

О < т < п - некоторое целое число, fj С so(m) - подалгебра с условием dim^f)) >п — т, aij) —» Kn-m - сюръективпое линейное отображение со свойством ip\y ~ О-

Доказательство этого результата было алгебраическим. В главе II приводится геометрическое доказательство этого результата. Рассматривается векторная модель (п + 1)-мерного пространства Лобачевского £п+1 (- ]gi,n+i и ег0 абсолют dLn+1, который диффеоморфен n-мерной единичной сфере. Имеем естественные изоморфизмы

0'( 1, n + 1) к Isom Ln+1 и 50(1, n + 1)Кр ~ Sim Е,

где (У(1,п + 1) С 0(1, n + 1) - подгруппа Ли, сохраняющая пространство Ln+1, Isom Ln+1 - группа всех движений пространства Ln+1, 50(1, n+l)^ -подгруппа Ли в 50(1, п+1), сохраняющая изотропную прямую Мр, и Sim Б - группа преобразований подобия Е. Множество 3Ln+1\{Rp} отождествляется с евклидовым пространством Е. Всякая подгруппа G С 50(1, п + 1)rp действует на Е, более того, G С Sim Е.

Теорема 1. Пусть G - связная подгруппа в 50(l,n + 1)rp. Тогда G действует слабо неприводимо в R1,n+1 тогда и только тогда, когда она действует транзитивно в евклидовом пространстве Е = ¿>L"+1\{Rp}.

Используя описание связных транзитивных подгрупп в Sim Е, данные в [2] и [3], мы доказываем следующую теорему.

Теорема 2. Связная подгруппа G С Sim Е транзитивна тогда и только тогда, когда G сопряжена группе одного из следующих типов:

Тип 1. G = (А х П) X Е, где А = — компонента единицы группы гомотетий Е с центром О, Я С SO(n) - связная подгруппа Ли и Е - группа сдвигов;

Тип 2. G = H А Е;

Тип 3. G — (Аф х Я) X Е, где Ф : А -» SO(n) есть гомоморфизм и А* = (Ф(о) • а\а еА} с 50(n) х А

- группа винтовых гомотетий Е;

Тип 4. G = (Я х /Уф) X W, где имеем ортогональное разложение Е = U ®W, H С SO{W), Ф : i/ -> 50(W) - гомоморфизм (U рассматриваем как группу переносов в Е на векторы из U), и

U* = {Ф(«) • и\и eU} С 50(Ж) х U

- группа винтовых движений Е.

Соответствующие подгруппы в 50(1, п + 1)rp при изоморфизме 50(1 , п + 1)rp cü Sim Е исчерпывают все связные слабо неприводимые подгруппы в SO(l,n + 1)нр и их алгебры Ли имеют тот же тип, определенный Л. Берардом-Бержери и А. Икемакхеным.

Одним из применений теоремы 2 является классификация транзитивных группы движений пространства Лобачевского Ln+1.

Теорема 3. Пусть G С 50(1, n + 1) - связная подгруппа, действующая транзитивно в пространстве Лобачевского Ln+l. Тогда, либо G = SO°(l,n + 1), либо G сохраняет изотропную прямую I с R1,n+1, и существует базис р,е\, ...,e„,q пространства К1'"1"1, как и выше, такой, что I = Мр и G является одной из следующих групп:

(1) (Ах H) А Е, где H с SO(n) - подгруппа;

(2) (Аф х H) А Е, где Ф : А —> 50(п) - нетривиальный гомоморфизм и

Аф = {Ф(о) • а\а е А} С SO(E) х А.

Более того, группы видаААЕ и АФАЕ исчерпывают все связные подгруппы в 50(1, п +1), которые действуют просто транзитивно в Ln+1.

Геометрическое доказательство результата Л. Берарда-Бержери и А. Икемакхена дает также идею для классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подгрупп в U{1, п+1) С 50(2,2п+2), для этого нужно использовать комплексное пространство Лобачевского (работы автора 3,5).

Перейдем теперь к рассмотрению проблемы (А). В главе III дано описание пространств 7£(д) для слабо неприводимых подалгебр 0 С so(l,n + 1)rp в терминах их ортогональной части fj С яо(п). Классификация слабо неприводимых подалгебр Берже g с so(l,n + 1)rp сводится к классификации неприводимых подалгебр fj с so(n), обладающих некоторым алгебраическим свойством (слабые алгебры Берже).

Более точно, для всякой подалгебры f) С so(n) определим пространство слабых тензоров кривизны типа f),

Т(Ь) = {Ре Eom{Rn,1))\t)(P{u)v,w) + t}(P(v)vj,u) + t](P(w)u,v) = о для всех u,v,w G R™}

и векторное подпространство

L(V{b)) = span{P(u)|P g V(b), и g R"} с ïj. Подалгебра ïj с so(n) называется слабой алгеброй Берже, если L("P(l))) = f). Теорема 4. Для всякой подалгебры I) с 5о(п) имеем:

(I) Щв1*) = тг(02-Ь) ® ЩЕ, Е) © тг(м, R);

(II) тг{в^) = щь)@ЩЕ,1))ФЩрАЕ), где

И(Е,Ж) ~ Hom(J5,R), изоморфизм имеет следующий вид: всякое линейное отображение L : Е —» R соответствует тензору кривизны, определяемому следующими условиями R1 g 1Z(E,M), RL(qAu) = L(u)pAq, Rl{apAq) = pAL*(a), Rl{pAu) = 0, RL(uAv) = 0 для всех a € R, и, v € E;

7£(R,R) ~ R, всякое Л g R соответствует тензору кривизны Rx g 72-(R,R), определяемому следующими условиями Rx{p A q) = XpAq, Rx{p Au) = 0, Rx{q A u) = 0, Rx(u Ati) = 0 для всех и, v € E;

ll(E,t)) ~ ~Р(Ь), всякий элемент P g соответствует тензору кривизны Rp G 7?.(£7, f)), определяемому следующими условиями Rp{q Au) = p(u)f RP(u A v) = -\{p A P*{u A t>)), Rp(p A q) = 0, Rp(pAu) — 0 для всех u, г) G E;

1Z(p A E) ~ S2(E), всякое линейное отображение T : E Е, такое что T* = Т, соответствует тензору кривизны RT g 1Z{p A E), onpe-

деляемому следующими условиями RT(qAu) = pAT(u), RT(uAv) — О, RT(p A q) = 0, RT(p Ли) = О для всех u,v е Е.

(III) Если з(Р|) ф {0}, то для любого линейного отображения условием =0 имеем

Л(Я®Л'*") = Щкепр) @H(E,t),(p) (В71(рЛЕ),

где

ЩЕ,$,1р) ~ Р(Ъ), произвольный элемент Р G V{1)) соответствует тензору кривизны Rp £ 1Z(E,\),ip), такому что Rp(q А и) = P(u) + <f{P(u))p Л g, Яя(и A v) = А Р*(« A v)), Rp(apAq) = -Ар Л Р*(у?*(а)), Rp(pAu) = 0 для всех а &Ж, u,v £ Е;

(IV) Если существует ортогональное разложение Е = Е\ © Е2, такое что \)(Е2) = {0} (т.е. fj с so(Ex)), dim3(f)) >п — тп, гдет = dim то для любого линейного сюръективного отображения ф •. \) Е2 с условием = 0 имеем

TZ(giM) = Щкегф) ф ЩЕЬЛ,Ф) Ф Щр A EJ,

где

Ti(E\,\),ip) ~ Tib), произвольный элемент Р G V(b) соответствует тензору кривизны Rp € Л(Ех,1),ф), такому что Rp(qAu1)=P(u1)+pA0(P(ui)), Rp(ulAvl) = -\{р А Р*{щ Av{)), Rp{p Л и2) = ~\р А Р*(ф*{и2)), Rp(p A q) = 0, Rp(jp Л «) = О, Rp(u2 А и) = 0 для всех Ui,vi е Ei, и2 € Е2, и € Е.

Следствие 1. Всякая слабо неприводимая подалгебра б С 5о(1,п+1^р является алгеброй Берже тогда и только тогда, когда ее ортогональная часть I) С so(n) является слабой алгеброй Берже.

Следствие 2. Всякая слабо неприводимая подалгебраg С 5o(l,n+l)Rp такая, что ее ортогональная часть f) С so(n) является алгеброй голоно-мии риманова многообразия, является алгеброй Берже.

Следствие 1 сводит проблему классификации подалгебр Берже G С 5o(l,n + 1)rp к проблеме классификации слабых алгебр Берже f) С so(n). Далее мы изучаем их свойства.

Теорема 5. (I) Для всякой слабой алгебры Верже f? с so(n) существует ортогональное разложение En — R"0 ф Ж"1 ф • • • ф R"r пространства R71 и разложение алгебры Ли t) в прямую сумму идеалов f) = {0} ф f)i Ф • • • ф f)r, при этом f),(R"J) = 0 при г ф j, \и с ео(щ) и представление i); неприводимо в R"1.

(II) Предположим что дана подалгебра I) С so(n), для которой существует ортогональное разложение R" = R"0 Ф R"1 Ф • • • © R"r пространства К" и разложение алгебры Ли f) в прямую сумму идеалов Ь = {0} ф fo ф • • • Ф Ьг, при этом fii(Knj) = 0 при i ф j, f); С so(nj) и представление I), неприводимо в К™'. Тогда имеет место равенство

Следствие 3. При тех же предположениях, что и в пункте (II) теоремы 5, f) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда алгебра f); является слабой алгеброй Берже при всех i = 1, ...,г.

Используя теорию представлений компактных алгебр Ли, мы получаем список неприводимых подалгебр f) с so(n) для п< 9. С помощью программы Mathematica 4.0 мы находим пространства Р(Ь) как решение системы линейных уравнений. Доказана следующая теорема.

Теорема 6. Для п < 9 неприводимая подалгебра I) С so(n) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда она является алгеброй голономии риманова многообразия.

Следующая теорема, доказанная Т. Лейстнером, обобщает этот результат для произвольных п.

Теорема (Т. Лейстнер). Всякая неприводимая подалгебра 1} С so(n) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда она является алгеброй голономии риманова многообразия.

Доказательство этой теоремы изложено более чем на 100 страницах, оно использует классификацию неприводимых представлений компактных алгебр Ли. В [22] эта теорема была доказана для i) с и(|) с so(n). Теорема 6 была получена независимо и помещена в математический архив (arXiv:math.DG/0304407). После этого появились работы [23] и [24], где Т. Лейстнер доказал свою теорему для простых Îj С so(n), ï) çt u(|), a потом для произвольных fj с so(n).

Решение проблемы (А):

Теорема 7. Подалгебра 0 С so(l,n + 1) является слабо неприводимой, не являющейся неприводимой, алгеброй Берже тогда и только тогда, когда 0 сопряжена одной из следующих подалгебр 01,,^02•^03''w^04,í,•m',,' С so(l,7i+ 1)rp, где [j С so(ri) - алгебра голономии риманова многообразия.

Глава IV посвящена решению проблемы (Б). Требуется для алгебры голономии f) С 5о(п) произвольного риманова многообразия построить ло-ренцевы многообразия с алгебрами голономии 02,fT, g3^'^ и (если

последние две алгебры существуют). Для алгебр 01,f> и д2^ эту задачу решили JI. Берард-Бержери и А. Икемакхен в [6]. В пункте 4.2 мы предлагаем единую конструкцию для алгебр всех четырех типов.

Рассмотрим произвольную алгебру голономии риманова многообразия f) С so{n). Будем исходить из того, что 1) является слабой алгеброй Берже, т.е. L(V{\))) = f). Имеем разложение R" = Rm° ф R"_mo, такое что f)(Rn~m°) = {0} и Rm° не содержит ненулевых подпространств, на которых действие f) тривиально. Значит f) С so (то). Выберем произвольные линейно независимые элементы Pi, Рдг £ P(f)), образы которых порождают I) как векторное пространство. Определим числа Р^» (Q = 1,___, iV,

i,j,k = l,...,m0) такие, что Pa(e,)ej = Рассмотрим следую-

щую метрику на R"+2:

п то

g = 2dx°dxn+1 + Y.idx*)2 + + f ■ (dxn+1)2,

¡=1 t=i

где

N тр 1

а / - некоторая функция.

Для алгебры Ли д3'^ (если она существует) определим числа = (а = 1, -, N, i = 1,..., m0).

Для алгебры Ли (если она существует) определим чис-

ла ipcàj (а = 1,...,ЛГ, г = 1,...,то, j = m + 1,...,п), такие что

Результат построения можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 8. Алгебра голономии ^о^ метрики д в точке 0 зависит от функции / следующим образом:

/ fjoto

BiA

X^mn+lO^7) g^

2*° £iv=i £Г=°1 ^А^Г1 + £ g3'^( если ¡(f)) ф {0})

g4,l),ro,V> (iесли dirndl}) > n — m)

Теорема 8 дает решение проблемы (Б). Теперь сформулируем основную классификационную теорему.

Теорема 9. Подалгебра g С 5о(1,п+1) является слабо неприводимой, не являющейся неприводимой, алгеброй голономии лоренцева многообразия тогда и только тогда, когда g сопряжена одной из следующих подалгебр 01'^02,^£lЗЛ'v^04'i''"м!, С so(l,n + 1)8р, где fj с so(n) - алгебра голономии риманова многообразия.

Согласно теореме By, всякая алгебра голономии лоренцева многообразия представима в виде f)i © • ■ ■ Ф tjr © 0, где fo,..., \)Г - неприводимые алгебры голономии римановых многообразий, 0 = so(l, А; +1) или 0 - слабо неприводимая, не являющаяся, неприводимой алгебра голономии лоренцева многообразия.

Методы этой работы были использованы в работах автора 3 и 5 для классификации алгебр голономии псевдокэлеровых многообразий сигнатуры (2,2п + 2) (эти алгебры голономии содержатся в ц(1,п + 1) С so(2,2п 4- 2)).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Галаев А. С. О группах голономии лоренцевых многообразий / А. С. Га-лаев // Труды матем. центра имени Н. И. Лобачевского. - Т. 18: Материалы международной молодежной научной школы - конференции "Лобачевские чтения - 2002", 28 ноября - 1 декабря 2002 г. - Казань: Каз.мат.общ-во, 2002. - С. 28.

2. Галаев А. С. Группы движений пространств Лобачевского, группы преобразования подобия евклидовых пространств и группы голономии ло-ренцевых многообразий / А. С. Галаев // Известия Сарат. ун-та: Математика. Механика. Информатика. - 2005. - Т. 5, Вып. 1. - С. 3-12.

3. Галаев А. С. Слабо неприводимые подгруппы в SU(l,n +1) / А. С. Галаев // Математика. Механика: Сб. науч. тр. - Саратов: Изд- во Сарат. ун-та, 2004. - Вып. 6. - С. 27-30.

4. Galaev A. S. The spaces of curvature tensors for holonomy algebras of Lorentzian manifolds / A.S. Galaev // Differential Geometry and its Applications. - 2005. - Vol. 22. - Pp. 1-18.

5. Galaev A.S. Classification of holonomy groups for pseudo-Kahlerian manifolds of index 2 [Электронный ресурс] / A.S. Galaev. - Режим доступа: http://arXiv:math.DG/0405098, свободный.

6. Galaev A. S. Remark on holonomy groups of pseudo-Riemannian manifolds of signature (2, n + 2) [Электронный ресурс] / A. S. Galaev. - Режим доступа: http://arXiv:math.DG/0406397, свободный.

7. Galaev A.S. Metrics that realize all Lorentzian holonomy algebras / A.S. Galaev // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. - 2006. - Vol. 3. - Nos. 5-6. - Pp. 1025-1045.

8. Галаев А. С. О классификации алгебр голономии лоренцевых многообразий / А. С. Галаев // Труды матем. центра имени Н. И. Лобачевского. - Т. 31: Материалы Четвертой молодежной научной школы - конференции "Лобачевские чтения - 2005", 16 - 18 декабря 2005 года. - Казань: Каз.мат.общ-во, 2005. - С. 36-38.

9. Галаев А.С. Алгебры голономии лоренцевых многообразий / А. С. Галаев // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2006. - №3, Вып. 1. - С. 5-9.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Алексеевский Д. В. Римановы пространства с необычными группами голономии / Д. В. Алексеевский // Функциональный анализ и его приложения. - 1968. - Т. 2., Вып. 2. - С. 1-10.

[2] Алексеевский Д. В. Однородные римановы многообразия отрицательной кривизны / Д. В. Алексеевский // Мат. сборн. - 1975. - К5 1. - С. 93-117.

[3] Алексеевский Д. В. Геометрия пространств постоянной кривизны / Д. В. Алексеевский, Э. Б. Винберг, А. С. Солодовников // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ. - Т. 29: Совр. пробл. мат. Фунд. напр. - М., 1988. - С. 5-146.

[4] Batrachenko A. Generalized holonomy of M-theory vacua [Электронный ресурс] / A. Batrachenko, M.J. Duff, J.T. Liu, W.Y. Wen. - Режим доступа: http://arXiv:hep-th/0312165, свободный.

¡5] Бессе А. Многообразия Энштейна / А. Бессе. - Пер. с англ. - Т. 2. - М.: Мир, 1990. - 384 с.

[6] Berard-Bergery L. On the Holonomy of Lorentzian Manifolds / L. Berard-Bergery, A. Ikemakhen // Proceeding of symposia in pure math. - 1993. -Vol. 54. - Pp. 27-40.

[7] Berard-Bergery L. Sur l'holonomie des variétés pseudo-riemanniennes de signature (n,n) / L. Berard-Bergery, A. Ikemakhen // Bull. Soc. Math. -France. - 1997. - Vol. 125. - F. 1. - Pp. 93-114.

[8] Berger M. Sur les groupers d'holonomie des variétés àconnexion affine et des variétés riemanniennes / Berger M. // Bull. Soc. Math. - France. - 1955. -Vol. 83. - Pp. 279-330.

[9] Borel A. Groupes d'holonomie des variétés riemanniennes / A. Borel, A. Lichnerowicz // C. R. Acad. Sci. - Paris. - 1952. - Vol. 234. - Pp. 279-300.

[10] Bryant R. Metrics with exceptional holonomy / R Bryant // Ann. of Math. - 1987. - Vol. 126(2). - Pp. 525-576.

[11] Caxtan E. Les groupes réels simples finis et continus / E. Cartan // Ann. Scient. Ecol. Norm. Sup. - 1914. - Vol. 31. - Pp. 263-355, ou Oeuvres complètes T. III. - Pp. 659-746 et Pp. 799-824.

[12] Cartan E. Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann / E. Cartan // Bull. Soc. math. - France, 1926. - Vol. 54. - Pp. 214-264, 1927. - Vol. 55. - Pp. 114 - 134, ou Oeuvres complètes T. I, Vol. 2. - Pp. 587-659.

[13] Cartan E. Les groupes d'holonomie des espaces généralisés / E. Cartan // Acta. Math. - 1926. - Vol. 48. - Pp. 1-42, ou Oeuvres complètes T.IIL, Vol. 2. - Pp. 997-1038.

[14] Figueroa-O'Farrill J. Maximal supersymmetric solutions of ten - and eleven - dimensional supergravity [Электронный ресурс] / J. Figueroa-O'Farrill, G. Papadopoulos. - Режим доступа: http: //arXiv:hep-th/0211089, свободный.

[15] Figueroa-O'Farrill J. Supersymmetry and homogeneity of M-theory backgrounds [Электронный ресурс] / J. Figueroa-O'Farrill, P. Meessen, S. Philip. - Режим доступа: http://arXiv:hep-th/0409170, свободный.

[16] Hano J. On the holonomy group of linear connections / J. Hano, H. Ozeki // Nagoya Math. J. - 1956. - Vol. 10. - Pp. 97-100.

[17] Hull C. Holonomy and symmetry in M-theory [Электронный ресурс] / С. Hull. - Режим доступа: http: //arXiv:hep-th/0305039, свободный.

[18] Ikemakhen A. Examples of indecomposable non-irreducible Lorentzian manifolds / A. Ikemakhen // Ann. Sci. Math. Québec. - 1996. - Vol. 20. -N 1. - Pp. 53-66.

[19] Ikemakhen A. Sur l'holonomie des variétés pseudo-riemanniennes de signature (2,2 + n) / A. Ikemakhen // Publ. Mat. - 1999. - Vol. 43. -no. 1. - Pp. 55-84.

[20] Sfetsos K. Supersymmetry and Lorentzian holonomy in various dimensions / K. Sfetsos, D. Zoakos // J. of High Energy Physics. - 2004. - Issue 9. -Pp. 10-27.

[21] Joyce D. Compact manifolds with special holonomy / D. Joyce. - Oxford University Press, 2000. - 480 p. •

[22] Leistner T. Berger algebras, weak - Berger algebras and Lorentzian holonomy / T. Leistner // Berlin, 2002. - sfb - 288. - Preprint, - no. 567.

[23] Leistner T. Towards a classification of Lorentzian holonomy Groups [Электронный ресурс] / T. Leistner - Режим доступа: http: //arXiv:math.DG/0305139, свободный.

[24] Leistner T. Towards a classification of Lorentzian holonomy groups. Part II: semisimple, non-simple weak - Berger algebras [Электронный ресурс] / T. Leistner - Режим доступа: http: //arXiv:math.DG/0309274, свободный.

[25] Merkulov S. Classification of irreducible holonomies of torsion - free affine connections / S. Merkulov, L. Schwachhöfer// Ann. Math. - 1999. - Vol. 150. - Pp. 77-149.

[26] Schwachhöfer L. On the classification of holonomy representations / L. Schwachhöfer // Habilitationsschrift, Mathematisches Institut der Universität Leipzig, 1999.

[27] Wu H. Holonomy groups of indefinite metrics / H. Wu // Pacific J. of Math. - 1967. - Vol. 20. - Pp. 351-382.

Галаев Антон Сергеевич

АЛГЕБРЫ ГОЛОНОМИИ ЛОРЕНЦЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

специальность 01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Подписано в печать 12.02.2007 г. Формат 60x84 1/16. Объём 1,25 п. л. Тираж 100 экз. Заказ №/•/

Типография Издательства Саратовского университета. 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

)

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Основные сведения.

1 1 Группы и алгебры голономии: определения и факш

1.2. Связные неприводимые группы голономии римановых и псевдоримановых многообразий

1 3 Результат Л Берарда-Бержери и А. Икемакхена

ГЛАВА II. Группы движений пространств Лобачевского, группы преобразования подобия евклидовых пространств и группы юло-номии лоренцевых многообразий.

2 1. Транзитивные группы преобразований подобия евклидовых пространств

2 2 Движения пространств Лобачевского.

2 3 Классификация 1ранзитивных групп преобразований подобия евклидовых пространств и геомефическое доказа1ельс!во результата Л Берарда-Бержери и А. Икемакхена

2 4 Транзитивные группы движений пространства Лобачевсксм о Ln+

ГЛАВА III Пространства тензоров кривизны и алгебры Берже

3 1 Предварительные сведения.

3 2 Структура пространсIB тензоров кривизны

3 3 Слабые алгебры Берже

3 4 Примеры

ГЛАВА IV Конструкции метрик и классификационная теорема

4 1 Координаты Валкера и примеры метрик Л Берарда-Бержери и

А Икемакхена

4 2 Конструкции метрик, реализующих все алгебры Берже

Актуальность темы. Понятие группы голопомии впервые было введено в работах Э Картана [22] и [24], в [23] он использовал группы голопомии для классификации римановых симметрических пространсхв

Группа голопомии может быть определена для произвольного главного или векторного расслоения со связнос1ью, для этого необходимо только по-ня!ие параллельного переноса. Рассмотрим произвольное n-мерное многообразие М с линейной связностью V Зафиксируем точку х G М Группа голопомии Holx для связности V в точке х е М есть под1 руппа Ли группы Ли GL(TXM) ~ GL(n) (все группы и алгебры Ли будем рассматривать над полем М), состоящей из параллельных переносов вдоль всех кусочно-гладких петель в точке х Соо1ветс1вующая алгебра Ли fjol^ С gl(TxM) ~ gf(n) называется алгеброй голопомии в точке х Для связного многообразия группы голономии и алгебры голопомии в различных точках изоморфны, и можно I оворить о группе и алгебре голономии многообразия

Важность группы голономии состоит в том, что группа голономии содержит информацию обо всех параллельных объектах на многообразии А именно, имеек'я взаимно-однозначное соответствие между параллельными тензорными полями типа (г, 5) на многообразии и тензорами типа (г, s), заданными на касательном пространстве в произвольной точке многообразия и сохраняемыми 1ензорным продолжением группы голономии А чакже существует взаимно-однозначное соответствие между параллельным распределениями ранга г на многообразии и подпространсптми касахельного пространства размерности г в некоторой точке многообразия, сохраняемыми 1руппой голономии Таким образом, если мы знаем группу голономии многообразия, то геоме1рическую задачу нахождения параллельных тензорных полей или параллельных распределений на многообразии можно свести к более простой алгебраической задаче нахождения инвариантных элементов или инвариашных подпространств для соответствующих представлений группы голономии Аналогично, алгебра i олономии содержит информацию обо всех параллельных объектах на многообразии, заданных локально

Поэтому возникает задача классификации групп голономии Прежде всего отметим, что для неодносвязного прос1ранства группа голономии может быть несвязной, и в зтом случае какие-либо результаты отсукчвукн По эюй причине будем рассматривать связную компонешу единицы группы голономии Это равносильно изучению алгебры iолономии В дальнейшем будем рассматривать только связные группы голономии

В 1965 году Дж Хано и X. Одзеки показали, что всякая связная линейная группа Jin G С GL(n) может быть реализована как группа голономии пространства линейной связности [37]. Эта связность, как правило, имеет ненулевое кручение. Значит для произвольных пространств линейной связности классификации групп голономии быть не можег и нужно вводить дополнительные условия. Таким условием является обращение тензора кручения в ноль, Тог = 0. В этом случае первое тождество Бьянки имеем вид

R{X, Y)Z + R{Y, Z)X + R{Z, X)Y = 0, для всех X,Y,Z G где R - тензор кривизны многообразия Для произвольной линейной алгебры g с g((n) рассмофим пространство тензоров кривизны типа д,

7г(д) = {R € Нош(Е" А Г\ д)|R{u A v)w + R(v A w)u + R(w A u)v = 0 для всех u,v,w G и векюрное иодпросчранство

L{1Z{q)) = span{R{u A v)\R G и, v G IT} с g.

Согласно теореме Амброза-Зингера (теорема F) алгебра голономии порождается значениями тензора кривизны в различных точках многообразия Значит для алгебры голономии t)olx С gl(ТХМ) многообразия с линейной связностью без кручения мы имеем L(7l(t)olx)) = t)olx Подалгебры g С g((n), удовлетворяющие условию L(1Z(q)) = g, можно считать кандидатами в алгебры голономии Отметим, что это условие является достаточно жесчким. В 1955 году М. Верже привел (без подробного доказательства) список неприводимых подалгебр g С g((ft) (для произвольного п > 1), удовлетворяющих условию L(1Z(q)) — g Поэтому алгебры, удовлетворяющие '-ному условию, принято называть алгебрами Верже. Подробное доказательство (вмесче с исправлениями ошибок в списке) дали недавно С Меркулов и Л.Шваххофер, [51] и [54]. Этот довольно технический результат основан па классификации неприводимых представлений редуктивных ajn ебр Ли (зная неприводимое представление g gl(n), можно проверить равенство L(R(g)) = g в терминах старшего веса представления) Заметим, что для пространств линейной связности переход от общего случая к случаю неприводимой алгебры голономии невозможен, и говорить о классификации в общем случае, видимо, нельзя.

Рассмотрим теперь римановы многообразия Классификация связных групп голономии римановых многообразий является хорошо известным классическим результатом. На всяком римановом многообразии (М, д) имеем связность Леви-Чивита, однозначно определенную условиями Vg = 0 и Тог = О В этом случае Holx С 0(ТхМ,дх) ~ 0(п) и t)olx С so(TxM,gx) ~ so(n). В 1952 году А. Ворель и А Лихиерович доказали, что всякое римапово многообразие локально является произведением римановыт многообразий с неприводимыми группами голономии, более того, ограниченная группа голономии риманова многообразия представима в виде прямого произведения неприводимых групп Ли, алгебры Ли которых удовлетворяют условию L(7£(g)) = g [12] Основная причина заключается в следующем: если подгруппа G С 0(п) сохраняет некоторое векторное иоднрос I ранство U С R™, то G сохраняет также его ортогональное дополнение U1, и мы имеем М" = U ф U1, те группа G вполне приводима В 1955 году М Верже классифицировал связные неприводимые подгруппы Ли G С SO(n), алгебры Ли g С so(n) которых удовлетворяют условию L(7Z(q)) — g. Результат состоит в следующем- либо G является группой голономии симметрического риманова пространства (эги пространства классифицированы в [23], их группа голономии совпадает с представлением изотропии), либо G является одной из следующих групп: SO(n), £/(§), S£/(§), Sp(*) - Sp( 1), Spm{7) (n = 8), G2 (n = 7). Последние 6 групп этого списка называются специальными группами голономии Список Верже представлял собой долгое время список кандидатов в группы голономии, лишь в 1987 году Р. Брайнт привел конструкции, показывающие существование римановых многообразий с каждой из специальных групп из этого списка ([16]) Эю завершает классификацию Римановы многообразия с группами голономии U(n), SU(n), Sp(n), Sp(n) • Sp( 1) являются кэлеровыми, специальными кэлеровыми (или многообразиями Калаби-Яу), кватернионно-кэлеровыми и гиперкэлеровыми cooiBeicrBeinio Многообразия с группами голономии SU(|), Sp^), Spin{l) и G2 допускают параллельные спинорные поля ([56]), а потому интересны для физиков Каждое из многообразий с особой группой голономии являе!ся многообразием Эйнштейна или Риччи-плоским Все эти римановы многообразия представляли большой интерес геометров последние 50 лет, подробный обзор можно найти в [7] и [46]. Важным результатом являются конструкции полных и компактных римановых многообразий со специальными группами голономии, полученные Р Брайнтом, С.Саламоном и Дж. Джойсом

Как показывает случай римановых многообразий, классификация связных групп голономии дает примеры различных важных классов многообразий. Поэтому важно иметь также классификацию связных групп ю-лономии для псевдоримановых многообразий, и в первую очередь - для ло-ренцевых многообразий, поскольку последние важны в физике Например, в последнее время в связи с теорией 11-мерной супергравитции имеются физические работы, в которых изучаются 11-мерные лоренцевы мпогообразия, допускающие параллельные спинорные поля. При этом используются группы голономии ([6, 35, 36, 39, 44]). В настоящее время полная классификация получена только для лорепцевых многообразий (об этом речь пойдет далее) Имеются частичные результаты для многообразий сигнатуры (2,п), [32, 33, 41] и сигнатуры (п,п), [9].

Рассмотрим псевдориманово многообразие (М, д) произвольной сигнатуры (г, 5). Как и в римаиовом случае, на (М,д) имеем связноеп> Леви-Чивита, теперь Holx С 0(ТхМ,дх) ~ 0(r,s) и f)olx С so(TxM,gx) ~ so(r,s). У1верждение теоремы Бореля-Лихнеровича неверно для псевдоримановых многообразий. Действительно, предположим, что подгруппа G С 0(r,s) сохраняет собственное вырожденное подпространство U С Mr's, тогда UCiU1 ф {0}, и мы не получаем ортогонального разложения Rr's в прямую сумму С-инвариантных подпространств. Подгруппа G С 0(r, s) называется слабо неприводимой, если она не сохраняет никакие невырожденные собственные подпространства в Mr's Теорема By утверждает, чю всякое псевдориманово многообразие локально является произведением псевдоримановых многообразий со слабо неприводимыми группами голономии, более того, ограниченная группа голономии пеевдориманова многообразия предста-вима в виде прямого произведения слабо неприводимых групп Ли, алгебры Ли которых удовлетворяют условию L(K(q)) = g [57] Если группа голономии ненриводима, то она слабо неприводима В [10] М Берже дал классификацию возможных связных неприводимых групп голономии для псевдоримановых многообразий. В частности, единственной связной неприводимой группой голономии лоренцевых многообразий является В [20] и [15] даны прямые доказательсчва эюго факта Итак, в случае псевдоримановых многообразий основная сложнос1ь связана с тем, что слабо неприводимые, не являющихся неприводимыми, подгруппы в 0(r, s) не являются редуктивными (или вполне приводимыми), и эти группы неизвестны

Цель работы. Целью работы является получение классификации ал-I ебр голономии лоренцевых многообразий. Постановка задачи.

С учетом вышесказанного, проблема классификации алгебр голономии лоренцевых многообразий сводится к проблеме классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, алгебр голономии лоренцевых мноюобразий Последняя проблема может быгь разделена на следующие 3 проблемы

1) Получи I ь список слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр g С so(l, п + 1).

2) Для подалгебр g С so(l,n + 1) пункта (1) проверить равенс1во L(R,(q)) = g, то есть получить список связных слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр Берже в so(l,n + 1)

3) Для каждой подалгебры g С so(l,n + 1) пункта (2) найти пример ло-ренцева многообразия с алгеброй голономии д.

Основные задачи, решенные в диссертации:

1) Получено геометрическое доказа1ельс1во результата JI Берарда

Бержери и А Икемакхена о слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подалгебр g С so(l,п + 1). Попупю получена классификация связных групп преобразований подобия евклидовых пространств и классификация связных транзитивных групп движений пространств Лобачевского.

2) Для слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подал!ебр g С so(l, 7i + 1) описаны пространства тензоров кривизны Проблема классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подал1ебр Берже g С so(l,n + 1) сведена к проблеме классификации неприводимых слабых подалгебр Берже f) С so (п). Для п < 9 получена классификация слабых подалгебр Берже f) С 50(п)

3) Посi роены метрики, реализующие все кандидаты в ал1ебры голономии лоренцевых mhoi ообразий.

Теоретическое и практическое значение работы. Резулыаш данной рабо i ы могут быть применены для дальнейшего исследования геометрии лоренцевых многообразий с каждой из возможных алгебр голономии, для нахождения локальных параллельных геометрических объекюв на лоренцевых многообразиях Результаты работы могут быть применены также в физике, например, в связи с общей теорией относительности и в теории супергравитации.

Содержание работы.

В главе I излатются некоторые известные результаты о группах голономии псевдоримановых многообразий. В пункте 1 1 приводятся определения и основные факты, связанные с группами голономии псевдоримановых многообразий. Даны примеры и идеи доказательств некоторых теорем, показывающие технику применения групп голономии В пункте 1.2 приводится классификация М.Берже связных неприводимых групп голономии римановых и псевдоримановых многообразий и ее следствия.

В пункте 1 3 излагается решение проблемы (1), полученное в 1993 юду Л. Берардом-Бержери и А. Икемакхеным ([8]) Они разделили слабо неприводимые, не являющиеся неприводимыми, подалгебры g С so(l,n + 1) на 4 типа и ассоциировали с каждой такой подалгеброй подалгебру I) С so(n), называемую ортогональной частью алгебры Ли g Более подробно, обозначим через M1,n+1 (п + 2)-мерное пространство Минковского, то есть векторное пространство Мп+2 с мефикой т] сигиатуры (1 ,п + 1). Зафиксируем базис р, е\,., еп, q пространства R1'"*1, относительно которого метрика г] имеет матрицу Грама формы 0

0 Еп 0

V1 0 °/ Обозначим через Е евклидово пространство, порожденное векторами е\, .,еп Иногда вместо Е будем писагь

R" Обозначим через so(l, п + 1)кр подалгебру в во(1, п + 1), сохраняющую изотропную прямую Шр. В базисе р, е\,., еп, q алгебра Ли $о(\,п + 1)rp имеет следующий мафичный вид 1 а -X1 0Х

50(1,П+ 1)Мр = <

I \

О АХ 0 0 -а аеШ,Хе Rn, А е зо(п)

Всякая слабо неприводимая, не являющаяся неприводимой, подалгебра g С so(l,n + l) сохраняет некоторую изотропную прямую, поэюму g сопряжена некоторой слабо неприводимой подалгебре в 5о(1, n-f- 1)rp Напомним, что для всякой подал1ебры f) С so(n) имеем (j = fj' ф 3(f)), где f)' - коммутант I) и 3(f)) - центр f). Л Берард-Бержери и А. Икемакхен показали, что подалгебра g С5о(1,гс+1)кр является слабо неприводимой тогда и только тогда, когда g является алгеброй одного из следующих типов:

U а -X1 0Х

Тип 1. д1^ = <

I \

- подалгебра;

0 АХ 0 0 -а а е R, X G Шп, А Е f) где f) С so(n)

Г / \ Q -X1 0 х

Тип 2. д2'^ = <

0 А X 0 0 0

Г /

I V

X ешп, А е\)

Тип 3. g3,f}^ = <

I V ip{A) -X1 0 0 А X 0 0 -ip{A)

X G Mn, A £t) где f) с so(ri)

- подалгебра с условием 3(f)) ф {0} и ip : f) отображение со свойством <р\у = 0; ненулевое лииеииое /О -X1 -ф{АУ о ^

Тип 4. 0

4 ,*),т,ф

I V

О А О О О О о о о ф(А) О

X <= IRm, А е ь где

О < т < п - некоторое целое число, f) С so(m) - подалгебра с условием dim^f)) > п — т, а ф : —> Mnm - сюрзективное линейное отображение со свойством ф\у = О

Подалгебра I) С so (/г), ассоциированная выше со слабо неприводимой подалгеброй g с so(l,n + называется ортогональной частью алгебры Ли д.

Доказательство этого результата было алгебраическим В главе II мы приводим геометрическое доказательство эюго результата. Мы рассматриваем векторную модель (п + 1)-мерного пространства Лобачевского

Ln+1 с Ri,n+i и его абсолют dLn+l, который диффеоморфен п-мерной единичной сфере. Имеем естественные изоморфизмы

0'( 1, п + 1) ~ I&om Ln+1 ~ Conf 8Ln+1 и 50(1, п + 1)Нр -г Sim Е, где 0'(1, n +1) есть подгруппа Ли в 0(1, n +1), сохраняющая пространство Ln+1, IsomL"+1 - группа всех движений пространства Ln+1, Conf<9L"+1 -группа коггформггых преобразований dLn+1, 50(1, п + 1)rp - подгруппа Ли в 0'(l,n + 1), сохраняющая изотропную прямую Шр, и Sim Е - группа преобразований подобия Е Мы отождествляем множество dLn+1\{Rp} с евклидовым пространством Е. Тогда всякая подгруппа G С 50(1, n + 1)rp действует па Е, более того, G С Sim Е Мы доказываем, чю связная подгруппа G С 50(1, п + 1)кр является слабо неприводимой тогда и только тогда, когда соответствующая подгруппа G С SlmE при изоморфизме 50(1, п+ 1)кр ~ Sim Е действует транзитивно в Е. Это дает взаимно однозначное соответствие между связными слабо неприводимыми подгруппами в 50(1, п + 1)кр и связными транзитивными подгруппами в SтЕ

Используя описание связных транзитивных подгрупп в SimЕ, данные в [2] и [3], мы доказываем следующую теорему.

Теорема 2. Связная подгруппа G С Sim Е транзитивна тогда и только тогда, когда G сопряжена группе одного из следующих типов

Тип 1. G = (А х Я) X Е, где А = - компонента единицы группы гомотетий Е с центром О, Я С SO(n) - святая подгруппа Ли и Е

- группа сдвигов;

Тип 2. G = Я X Е;

Тип 3. G = (Аф х Я) X Е, где Ф : А —» SO(n) есть гомоморфизм и {Ф(а) • а\а е А} С SO{n) х А

- группа винтовых гомотетий Е;

Тип 4. G = (Я х UX W, где имеем ортогональное разложение E = U®W, Н С SO(W), Ф : U SO(W) - гомоморфизм (U рассматриваем как группу переносов в Е на векторы из U), и

U* = {Ф(ад) • и\и eU] С SO(W) х U

- группа винтовых движений Е.

Соответствующие подгруппы в 50(1, п + 1)кр при изоморфизме SO(l,n + 1)кр ~ SimЕ исчерпывают все связные слабо неприводимые подгруппы в S0( 1, п + 1)ир и их алгебры Ли имеют тот же тип, определенный Л. Берардом-Бержери и А Икемакхеным.

Одним из применений теоремы 2 является классификация транзитных группы движений пространства Лобачевскою Ln+1

Теорема 3. Пусть G С 50°(l,n + 1) - связная подгруппа, действующая тпранзитивно в пространстве Лобачевского Ln+1. Тогда, либо G = 50°(l,n + 1), либо G сохраняет изотропную прямую I С IR1,rl+1, и существует базис р,е\, .,en,q пространства Е1'""1"1, как и выше, такой, что I = Шр и G является одной из следующих групп

1) (Ах Н) X Е, где Н С SO(n) - подгруппа;

2) (Аф х Я) X Е, где Ф : А —> SO(п) - нетривиальный гомоморфизм и

Аф = (Ф(а) • а\а Е А) С SO{n) х А.

Более того, группы вида АЛЕ и Аф X Е исчерпывают все связные подгруппы в SO°(l,n + 1), которые действуют просто транзитивно в Ln+1.

Геометрическое доказательство результата JI Берарда-Бержери и А. Икемакхена дает также идею для классификации слабо неприводимых, не являющихся неприводимыми, подгрупп в U(l,n+1) С SO(2,2n + 2), для этого нужно использован) комплексное пространство Лобачевского [26, 32) Перейдем теперь к рассмотрению проблемы (2). В главе III мы описываем пространства 7£(д) для слабо неприводимых подшиебр g С 5о(1, n + 1)rp в терминах их ортогональной части f) С so(n). Мы сводим классификацию слабо неприводимых подалгебр Верже g С во(1,п + 1)мр к классификации неприводимых подалгебр f) С во(п), обладающих некоторым алгебраическим свойством (слабые алгебры Верже)

Более точно, для всякой подалгебры f) С so(n) определим пространство

Щ) = {Ре Hom(En, f))| ri(P(u)v, w) + T]{P(v)w, и) + r]{P(w)u, v) = 0 для всех u,v,w G E"} и векторное подпространство

L{V(f))) = span{P(«)|P G P(f)), и G Ert} С J), порожденное тензорами P G V(l)) Мы называем V(§) пространством слабых тензоров кривизны типа fj Подалгебра I) С so(n) называется слабой алгеброй Берже, если L(V(t))) = f).

В следующей 1еореме мы даем описание пространсш шгеоров кривизны 7£(д) для алгебр каждою типа с произвольной ортогональной частью f) С 5о(п) в терминах пространства V{\})

Теорема 4. Для всякой подалгебры f) С so(n) имеемi) щ^) = я(д2>") е ще, Ж) © щш, щ,

II) тг(д2'") = П(Ъ) 0 ЩЕ, f)) ф Щр А Е), где

ЩЕ,Щ ~ Нот(.Е,Е), изоморфизм имеет следующий вид: всякое линейное отображение L : Е —> Е соответствует тензору кривизны, определяемому следующими условиями RL Е ЩЕ,Ш), RL(qAu) = L(u)pAq, RL(apAq) = pAL*(a), RL(pAu) = 0, RL(uAv) = О для всех а Е Е, и, v Е Е;

ЩЖ, Е) ^ Е, всякое А Е Е соответствует тензору кривизны Rx Е ЩЖ,Ш), определяемому следующими условиями R*(p a q) = \р A q, Rx{p А и) = 0, Rx{q А и) = О, ДА(и Л v) = 0 для всех и, v Е Е;

ЩЕ, I}) ~ 'P(f)); всякий элемент Р Е "Р(()) соответствует тензору кривизны Rp Е ЩЕ,1}), определяемому следующими условиями Rp(q Л и) = Р{и), Rp(u A v) = -Цр А Р*{и A v)), Rp{p A q) = 0, Rp(p Л и) = 0 для всех u,v Е Е;

Щр А Е) ~ S2(E), всякое линейное отображение Т : Е —> Е, такое что Т* = Т, соответствует тензору кривиз71ы R1 Е ЩрАЕ), определяемому следующими условиями RT(qAu)=pAT{u), Rr(uAv) = 0, RT(p A q) = 0; RT(p А и) = 0 для всех u,v Е Е.

III) Если з(()) ф {0}, то для любого линейного отображения ip : f) —> Е с условием ip\y = 0 имеем Щкег ip) ф ЩЕ, I), у) ф Щр А Е), где

ЩЕ, t),(p) ~ V{\}), произвольный элемент Р Е V(l)) соответствует тензору кривизны Rp Е И(Е, f), ip), такому что Rp{q Ли) = Р{и) + 4>{P{u))p Л q, Rp{u Л v) = -\{р Л Р*(и Л и)), Rp(apAq) = -\рЛ Р*((р*(а)), Rp(pAu) = 0 для всех а ЕШ, u,v е Е,

IV) Если существует ортогональное разложение Е = Е\ $ Е2, такое что 1){Е2) = {О} (те f) С so{E\)), dim^lj) >п — т, гдет = dim2?i, то для любого линейного сюръективного отобраэюения ф Е2 с условием ф |t)' = О имеем

4,W) = ^(ker ф) ф ЩЕи Ь,Ф)@ЩрА Ег), где

ЩЕ\,\),ф) ~ ^ib), произвольный элемент Р Е соответствует тензору кривизны Rp Е 7i(Ei, Ь,ф), такому что Rp{q Л щ) = Р{щ) +рЛ ф{Р{щ)), Rp{u 1 Л ы) = -\{р Л Р*{щ Л Vi)), RP(p А и2) = -\р Л Р*(ф*{и2)), Rp{p Л q) = О, Rp(p Л и) = О, Rp(u2 Л и) = О для всех щ, v\ Е Е\, и2 Е .Е^, и Е Е

Следствие 1. Всякая слабо неприводимая подалгебра 0 С во(1, п+1)кр является алгеброй Берже тогда и только тогда, когда ее ортогональная часть С so(rc) является слабой алгеброй Берже.

Следствие 2. Всякая слабо неприводимая подалгебра 0 С 5о(1, п + l)ip, такая что ее ортогональная часть f) С 5о(п) является алгеброй голономии риманова многообразия, является алгеброй Берже

Следствие 1 сводит проблему (2) к проблеме классификации слабых алгебр Берже f) С 5о(п). Далее мы изучаем их свойсхва

Теорема 5. (I) Для всякой слабой алгебры Берже f) с 5о{п) существует ортогональное разложение Rn = Жп° 0 МП1 ф • • • ф МПг пространства Мп и разложение алгебры Ли {) в прямую сумму идеалов

Ь = {0} Ф f)i ® •" Ф f)r; щи этом = 0 при г ф j, \)г с 5о{пг) и представление f)z неприводимо в Еп'

II) Предположим что дана подалгебра f) С so(n), для которой существует ортогональное разложение М™ = ф К"1 ф • • • ф Wlr пространства Rn и разложение алгебры Ли \) в прямую сумму идеалов f) = {0} Ф f)i ф • • • Ф i)r, при этом f)j(Rnj) = 0 при г ф j, I), С $о(пг) и представление \)г неприводимо в М"1. Тогда имеет место равенство

Следствие 3. При тех же предположениях, что и в пункте (II) теоремы 5, f) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда алгебра \)г является слабой алгеброй Берже при всех г — 1, .,г.

Используя теорию представлений компактных алгебр Ли, мы получаем список неприводимых подалгебр I) С so(n) для п <9. С помощью программы Mathematica 4 0 мы находим пространства V{\)) как решение системы линейных уравнений Доказываем следующую теорему

Теорема 6. Для п < 9 неприводимая подалгебра fy С so(n) является слабой алгеброй Берже тогда и только тогда, когда она является алгеброй голономии риманова многообразия.

Следующая теорема, доказанная Т Лейстнером, обобщает этот результат для произвольных п.

Теорема О. Всякая неприводимая подалгебра f) С so(n) является слабой алгеброй Берэюе тогда и только тогда, когда она является алгеброй голономии риманова многообразия.

Доказахельство этой теоремы изложено на более чем 100 страницах, оно использует классификацию неприводимых представлений компактных алгебр Ли В [47] эта теорема была доказана для f) С и(|) С so(n) Теорема б была получена независимо и помещена в математический архив (arXiv math DG/0304407,[30]) После эюго появились работы [48] и [49], где теорема О была доказана для простых () С во(n), f) <£. u(^), а поюм для произвольных f) С 50(п). Требуется получить более прямое доказательство этого результата Такого доказательства пока нет, но в замечании в конце главы IV говорится об одной из возможностей

Теперь решение проблемы (2) можно сформулировать следующим образом:

Теорема 7. Подалгебра g С so(l,п + 1) является слабо неприводимой, не являющейся неприводимой, алгеброй Берже тогда и только тогда, когда g сопряжена одной из следующих подалгебр gi.fj^g4,f),m,t/> с 50(1)П4- fj q so(n) - алгебра голономии риманова многообразия

1. Алексеевский Д В Римановы пространства с необычными группами голономии / Д В Алексеевский // Функциональный анализ и его приложения - 1968. - Т. 2., Выи 2-С. 1-10

2. Алексеевский Д В. Однородные римановы многообразия отрицательной криви-шы / Д В Алексеевский // Мат. сборн 1975. - N° 1 - С. 93-117

3. Алексеевский Д В Геометрия пространств постоянной кривизны / Д В Алексеевский, Э Б. Винберг, А. С. Солодовников // Итоги науки и техники / ВИНИТИ Т. 29. Совр. пробл. маг. Фунд напр - М., 1988 - С 5-146

4. Ambrose W A theorem on holonomy / W. Ambrose, I M Singer // Trans Amer. Math Soc 1953 - Vol. 79. - Pp. 428-443.

5. Астрахапцев В В О группах голономии чешрехмерных псевдоримановых пространств / ВВ. Астрахапцев / / Маг заметки. 1971 - Т 9 - № 1. - С 59-66

6. Batrachenko A Generalized holonomy of M-theory vacua Электронный ресурс] / A Batrachenko, M. J. Duff, J. T. Liu, W. Y Wen. Режим доступа. http://arXiv:hep-th/0312165, свободный

7. Becce А. Многообразия Эншгейна / A Becce Пер с англ. - Т. 2. - М Мир, 1990. - 384 с

8. Berard-Bergery L On the Holonomy of Lorentzian Manifolds / L. Berard-Bergery, A. Ikemakhen // Proceeding of symposia in pure math. 1993 -Vol 54. - Pp 27-40

9. Berard-Bergery L. Sur l'holonomic des varietes pseudo-riemannicnnes de signature (n,n) / L Berard-Bergery, A. Ikemakhen // Bull Soc Math France 1997 - Vol 125 - F.l. - Pp 93-114

10. Berger M. Sur les groupers d'holonomie des varietes acormexion affine et des varietes riemanniennes / Berger M. // Bull. Soc. Math. France - 1955 -Vol 83. - Pp 279-330.

11. Berger M. Les espace symetriques non compacts / Berger M // Ann Sci Ecole Norm. Sup 1957 - Vol. 74. - Pp. 85-177.

12. Borel A Groupes d'holonomie des varietes riemanniennes / A Borel, A. Lichnerowicz // C. R Acad. Sci. Paris. - 1952. - Vol. 234. - Pp. 279-300

13. Boubel Ch. Sur 1'holonomie des varietes pseudo-riemariniennes. / Ch Boubel PhD thesis Umversite Henri Poincare. - Nancy. - 2000. - 218 p

14. Boubel Ch On the holonomy of Lorentzian metrics / Ch. Boubel // Publication de TENS. Lyon. - 2004 - no 323. - 34 p.

15. Boubel Ch Dynamics of some Lie subgroups of 0(n, 1), applications / Ch Boubel, A Zeghib // Prepublication de TENS. Lyon. - 2003 - no 315

16. Bryant R Metrics with exceptional holonomy / R. Bryant // Ann. of Math. 1987 - Vol 126(2) Pp 525-576.

17. Bryant R Recent advances in the theory of holonomy / R. Bryant // Semmaire Bourbaki 51 eme annee. 1998 - 99. - no. 861 - 24 p

18. Винберг Э В Строение групп и алгебр Ли / Э. Б. Винберг, В. В. Гор-бацевич, А Л Онищик // Итоги науки и техники. / ВИНИТИ. Т. 41: Совр пробл мат Фунд напр - М., 1990. - С. 8-248

19. Винберг Э. Б. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам / Э Б Винберг, А Л Онищик М • УРСС, 1995 344 с

20. Di Scala A J. The geometry of homogeneous submamfolds of hyperbolic space / A J Di Scala, C. Olmos // Math. Z , 2001 Vol 237 - Pp 199209

21. Дьедонне Ж Линейная алгебра и элементарная геометрия / Ж. Дье-донне М Наука, 1972. - 336 с

22. Cartan Е Les groupes reels simples finis et contmus / E Cartan // Ann Scient Ecol Norm Sup 1914. - Vol. 31. - Pp 263-355, ou Oeuvres completes T III. - Pp 659-746 et Pp 799-824.

23. Cartan E. Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann / E Cartan // Bull Soc math France, 1926. - Vol. 54. - Pp. 214-264, 1927 - Vol 55 - Pp. 114 - 134, ou Oeuvres completes Т. I, Vol 2 - Pp 587-659

24. Cartan E. Les groupes d' holonomie des espaces generalises / E. Cartan // Acta. Math. 1926. - Vol. 48 - Pp. 1-42, ou Oeuvres completes T III, Vol 2 - Pp. 997-1038.

25. Галаев А. С. Слабо неприводимые подгруппы в SU(l,n +1) /АС Галаев // Матемахика Механика: Сб науч тр. Сараюв: Изд - во Сара г ун-та, 2004. - Выи.6. - С. 27-30.

26. Галаев А. С. Группы движений пространств Лобачевского, группы преобразования подобия евклидовых пространств и группы голономии лореицевых многообразий / А. С. Галаев // Известия Сарат ун-ia. Мате-машка. Механика Информатика 2005. - Т 5, Вып 1 - С. 3-12

27. Галаев А С Алгебры голономии лоренцевых многообразий /АС Галаев // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2006 - №3, Вып. 1. - С. 5-9.

28. Galaev A.S. The spaces of curvature tensors for holonomy algebras of Lorentzian manifolds / A.S. Galaev // Differential Geometry and its Applications 2005 - Vol. 22 - Pp. 1-18.

29. Galaev A S. Metrics that realize all Lorentzian holonomy algebras / A S Galaev // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. 2006 - Vol 3. - Nos. 5-6 - Pp. 1025-1045.

30. Galaev A S. Classification of holonomy groups for pseudo-Kahlerian manifolds of index 2 Электронный ресурс] / A. S. Galaev Режим доступа: http://arXiv:math.DG/0405098, свободный

31. Galaev A S Remark on holonomy groups of pseudo-Riemannian manifolds of signature (2, n + 2) Электронный ресурс] /AS Galaev Режим доступа: http: //arXiv:math.DG/0406397, свободный

32. Goldman W. M. Complex hyperbolic geometry / W M Goldman -Clarendon Press, Oxford, 1999 316 p

33. Figueroa-O'Farull J Maximal supersymmetnc solutions of ten and eleven- dimensional supergravity Электронный ресурс. / J. Figueroa-O'Farrill,G Papadopoulos. Режим доступа, http: //arXiv:hep-th/0211089, свободный

34. Figueroa-O'Farrill J Supersymmetry and homogeneity of M-theory backgrounds Электронный ресурс] / J. Figueroa-O'Farrill, P. Meessen, S Philip Режим доступа http'//arXiv:hep-th/0409170, свободный.

35. Hano J. On the holonomy group of linear connections / J. Hano, H Ozeki // Nagoya Math. J. 1956. - Vol. 10. - Pp. 97-100.

36. Helgason S Differential geometry and symmetric spaces / S. Helgason. -Academic Press New York and London, 1978. 487 p.

37. Hull C. Holonomy and symmetry in M-theory Электронный ресурс] / С. Hull. Режим доступа: http: //arXiv:hep-th/0305039, свободный

38. Ikemakhen A Examples of indecomposable non-irreducible Lorentzian manifolds / A Ikemakhen // Ann. Sci Math. Quebec. 1996. - Vol. 20. -N 1 - Pp 53-66

39. Ikemakhen A Sur l'holonomie des varietes pseudo-riemanniennes de signature (2,2 + n) / A Ikemakhen // Publ Mat 1999 - Vol 43. -no. 1. - Pp 55-84

40. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Т. 1,2. - М Наука, 1981. - Т. 1 - 334 е., Т. 2 -415 с.

41. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства / Б А. Розенфельд. М.: Наука, 1966. - 648 с

42. Sfetsos К Supersymmetry and Lorentzian holonomy in various dimensions / K. Sfetsos, D. Zoakos // J. of High Energy Physics 2004 - Issue 9 -Pp 10-27

43. Желобенко Д. P. Представления групп Ли / Д. Р. Желобенко, А И Штерн М : Наука, 1983. - 357 с.

44. Joyce D. Compact manifolds with special holonomy / D Joyce. Oxford University Press, 2000 - 480 p.

45. Leistner T Berger algebras, weak Berger algebras and Lorentzian holonomy / T Leistner // Berlin, 2002. - sfb - 288 - Preprint, - no 567

46. Leistner T Towards a classification of Lorentzian holonomy Groups Электронный ресурс] / T Leistner Режим доступа http. //arXiv math DG/0305139, свободный

47. Leistner T. Towards a classification of Lorentzian holonomy groups Part II: semisimple, non-simple weak Berger algebras Электронный ресурс] / T Leistner - Режим доступа: http. //arXiv.math DG/0309274, свободный

48. Leistner T Holonomy and parallel spmors in Lorentzian geometry / T Leistner PhD thesis, Humboldt - Universitat zu Berlin., 2003. - 173 p

49. Simons J On the transitivity of holonomy systems / J Simons // Annals of Math. September 1962 - Vol 76(2). - Pp 213-234

50. Schwachhofer L. On the classification of holonomy representations / L Schwachhofer // Habihtationsschrift, Mathematisches Institut der Universitat Leipzig, 1999

51. Walker A. G On parallel fields of partially null vector spaces /AG Walker // Quart J of Math September 1949 - Vol 20 - Pp. 135-145.

52. Wang M Y. Parallel spinors and parallel forms / M. Y Wang // Ann Global Anal Geom 1989 - Vol 7(1). - Pp 59-68

53. Wu H Holonomy groups of indefinite metrics / H Wu // Pacific J of Math. 1967. - Vol 20. - Pp 351-382.