Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий

Людковский, Сергей Викторович

Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Людковский, Сергей Викторович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий»

Автореферат диссертации на тему "Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий"

804609902

На правах рукописи

Людковский Сергей Викторович

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВПОЛНЕ НЕСВЯЗНЫХ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НЕАРХИМЕДОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

" 7 ОКТ 2010

Москва - 2010

004609902

Работа выполнена на кафедре прикладной математики факультета информационных технологий Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета) МИРЭА

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Михалёв Александр Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Вечтомов Евгений Михайлович доктор физико-математических наук, профессор Захаров Валерий Константинович доктор физико-математических наук, профессор Кожухов Игорь Борисович

Ведущая организация: Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого

Защита состоится "......"............2010 г. в.....часов на заседании Диссертационного

совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета но адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пиротвская, Д. 1.

Автореферат разослан "......"...............2010 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Муравьёва О.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одним из важнейших разделов современной алгебры является топологическая алгебра, которая берёт своё начало с работ С. Ли 1880-х годов о топологических группах и работ о неархимедовых полях, например, р-адических чисел впервые введённых К. Гензелем в 1899 г. Всевозможные локальные поля возникающие из поля рациональных чисел с помощью пополнений по мультипликативным нормам были описаны А. Островским в 1935 году.

Данная работа посвящена построению новых классов вполне несвязных нелокально компактных групп преобразований над бесконечными полями с неархимедовыми нетривиальными мультипликативными нормами. В ней исследуется их структура и изучаются их представления. Для этого используется и развивается вспомогательный аппарат теории квазиинвариантных мер. Более того, выяснены специфические особенности таких объектов и исследуются новые классы некоммутативных неассоциативных алгебр на последовательностях таких вложенных подгрупп. Исследуемые группы относятся к классу групп Ли, так как они имеют структуру многообразий, а групповые операции в них непрерывны или дифференцируемы в зависимости от различных классов гладкости.

Часть топологической алгебры, посвященная структуре, и представлениям локально компактных групп хорошо разработана. Этим вопросам были посвящены многочисленные статьи и книги. При этом активно использовались (неотрицательные) меры Хаара на локально компактных группах, которые инвариантны при левых или правых сдвигах, порожденных элементами группы. Это послужило основой для теории С*-алгебр или вполне регулярных коммутативных колец, которые использовались в теории унитарных представлений. При изучении представлений локально компактных групп С*-алгебры возникают как алгебры операторов ассоциированные с унитарными представлениями. Также широко используются банаховы *-алгебры или банаховы симметричные кольца как алгебры функций ¿'(б, С) со значениями в поле комплексных чисел С относительно свёртки на локально компактной группе б

с нетривиальной (неотрицательной) мерой Хаара р или С*-алгебры на пространстве 1/2(С?, С) для локально компактной абелевой группы или компактной группы [16, 6].

Однако, согласно теореме А. Вейля [23], существование нетривиальной неотрицательной меры, лево (или право) квазиинвариантной относительно всей топологической группы, влечет ее локальную компактность. Это означает, что на топологической не являющейся локально компактной группе б мера может быть лево (или право) квазиинва.риантной лишь относительно собственной подгруппы С, С ф С?. Это препятствует применению традиционных С*-алгебр для исследования представлений групп, так как алгебры, ассоциированные с квазиинвариаптпыми мерами топологических не являющихся локально компактными групп, обладают гораздо более бедной структурой: они некоммутативны и неассоциативны. Таким образом, для топологических не являющихся локально компактными групп эта область была менее разработанной.

Имеются существенные различия в теории представлений локально компактных групп и не локально компактных топологических групп. Далее рассматриваются Хаусдорфовы топологические группы, что не является сильным ограничением, так как аксиома отделимости Го для топологической группы влечёт выполнение аксиомы Т3.5 в силу примера 8.1.17 и теоремы 8.1.20 [9]. Так каждое сильно непрерывное неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно и, следовательно, сильно непрерывно. При этом групповой гомоморфизм Т : б? —► и(Н) называется унитарным представлением, то есть, Тд/ = ТдТ/ для любых д, / € С, Тд-1 = Т* - эрмитово сопряженный унитарный оператор, Те — I - единичный оператор на Я для единичного элемента с. £ С, где и(Н) - унитарная группа, а Я - гильбертово пространство над полем комплексных чисел С.

Определение. Представление Т топологической группы б в унитарную группу 11(Н) называется непрерывным (сильно непрерывным), если Т непрерывен относительно топологии в и(Н) индуцированной операторной нормой (сильной операторной топологией соответственно).

Для локально компактных абелевых (то есть, коммутативных) групп

непрерывное унитарное представление всегда одномерно, то есть является характером. Тогда как для нелокально компактных абелевых групп могут быть бесконечномерные топологически неприводимые сильно непрерывные унитарные представления [3, 21]. Для некоммутативных локально компактных групп сильно непрерывные топологически неприводимые унитарные представления могут быть бесконечномерными.

Для классических некомпактных локально компактных групп Ли бесконечномерные унитарные представления были построены в работах И.М. Гельфанда и М.А. Наймарка, например, для группы аффинных преобразований прямой, йХ(п,И), ¿'¿(п,С), 50(п, С) при п > 2, 5(/(п,т), 50(п, т) при пт > 2. Они использовали в своих работах лево или пра-воинвариантные меры Хаара на этих группах. Конечномерные группы Ли обладают тем преимуществом, что они ещё удовлетворяют, по крайней мере локально, формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа, устанавливающей биективное соответствие между локальной группой и отвечающей ей алгеброй Ли. В случае бесконечномерных групп Ли формула Кэмпбелла-Хаусдорфа не обязана выполняться даже локально.

Интерес к топологическим (в особенности, не являющимся локально компактными) группам объясняется как развитием самой математики, так и естественно возникающими потребностями в них теоретической и математической физики, например, квантовой механики на многообразиях, теории суперструн, квантовой гравитации, калибровочной теории и даже в такой традиционной области как гидродинамике. Среди них наиболее важны группы диффеоморфизмов и геометрические группы обёрток многообразий (как семейств эквивалентности отображений / : М —» N одного многообразия М в другое N, сохраняющих отмечен-

ные точки в0 € М и з/о € АГ, /(в0) = Уо).

С другой стороны, значительная часть топологической алгебры посвящена топологическим нолям, теории чисел и неархимедову анализу. Более того, теория топологических полей исторически послужила отправной точкой развития топологической алгебры. В отличии от классического анализа (то есть над полями И вещественных чисел и С комплексных чисел) неархимедов анализ сравнительно молод, многие из его разделов разработаны недостаточно.

Имеются принципиальные различия между классическим и неархимедовым анализами. Многообразия над неархимедовыми полями вполне несвязны. Нормированное пространство X над неархимедовым полем можно представить в виде дизъюнктного объединения шаров, и каждая пара шаров в X либо не пересекается, либо один их них содержится в другом. При этом замкнутый шар положительного радиуса в X также открыт, то есть открыто-замкнут в X. В классическом случае большую роль играют гильбертовы пространства над И или С, но в неархимедовом случае билинейная форма на линейном пространстве над не может дать нормы.

Для неархимедовых метрических пространств (X, с1) вместо неравенства треугольника выполняется более сильное ультраметричсское неравенство:

¿(х,г) < тах(с1(х,у),й(у,г)) для любых х,у,г € X, где й - ультраметрика на X. Равномерное пространство становится ульраравномерным с соответствующим ультра неравенством в терминах окружений диагонали. Для равномерных пространств X. Фрейденталь, Дж. Р. Исбелл и И. М. Козловский [17, 5] развили теорию их полиэдральных разложений в виде пределов обратных спектров, где полиэдры брались в банаховых или нормированных пространствах над полем вещественных чисел Г1, но оставалась проблема содержательных разложений для ультраравномерных пространств. В диссертации также представлено решение этой проблемы с полиэдрами в банаховых или нормированных пространствах над неархимедовыми локально компактными полями. Это послужило также для изучения структур групп преобразований неархимедовых многооб-

разий и самих многообразий в качестве равномерных пространств.

В классическом случае при определённых условиях бесконечномерное многообразие над II можно вложить в соответствующее линейное пространство над К в качестве открытого подмножества [18]. В диссертации был доказан специфический неархимедов вариант о вложении вполне несвязного бесконечномерного многообразия М над неархнмедовым полем К при определённых условиях в качестве открыто-замкнутого подмножества в бесконечномерное линейное пространство X над К, например, для банахова многообразия М и банахова пространства X. Это существенно упрощает рассмотрение вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий.

Пространства непрерывных функций на вполне несвязных компактах со значениями в неархимедовых полях полных как равномерные пространства имеют локальные разложения в ряды по базисным многочленам, введенным Амис в 1960-х годах [10]. Аналитические функции на поле р-адических чисел С}р даже при г £ С)р, где г2 = —1, имеют отличные свойства от комплексных голоморфных функций. Теорема Лиувил-ля о комплексно голоморфных функциях для них не выполняется, так как существуют аналитические функции / : С}р —► С}р ограниченные и отличные от постоянных [22].

До работ В.Х. Шикова [22] главным образом использовались пространства аналитических функций р-адических чисел, что полезно в теории жёсткой геометрии, теории гомологий и когомологий неархимедовых аналитических многообразий и математической физике [2], но является довольно ограничительным. Несколькими годами позже В.Х. Шиков исследовал неархимедовы функции классов гладкости С" типа Гёльдера. Для их корректного определения он использовал не только операторы дифференцирования, но также операторы разделённых разностей для функций и непрерывные продолжения этих операторов, когда они существуют. При этом получается, что пространство Сп+1([/, С^р) вкладывается компактным оператором в Сп(1/, С2Р) аналогично классическому случаю над нолем действительных чисел, тогда как при использовании одного лишь дифференцирования над <Зр получается обратное включе-

ние, где С/ - компактное открыто-замкнутое подмножество в п € N. Он работал с конечномерными линейными пространствами над неархн-медовыми нолями. Эти ноля могут быть локально компактными или не локально компактными.

Напомним, что под локальным полем понимается коммутативное недискретное локально компактное поле. В дальнейшем рассматриваются поля нулевой характеристики, если не оговорено иное.

В неархимедовом анализе для функций из поля р-адических чисел С}р в поле действительных чисел И используется понятие псевдодифферен-цируемости, которое было перенесено с классического случая на неархимедов в [2]. Это связано с тем, что кроме локально постоянных функций не существует дифференцируемых функций из открытого подмножества в <3р в К. Это послужило мотивацией для исследования в диссертации наряду с квазиинвариантностью также пссвдодиффсрснцирусмости мер на неархимедовых банаховых пространствах X со значенмяи в Л или локальном поле отличном от неархимедова поля над которым задано X.

Другое отличие имеется в теории меры: так теоремы Лебега о сходимости интегралов и Радона-Никодима для интегралов и мер со значениями в неархимедовых полях не выполняются. Вместо них имеются весьма специфические неархимедовы аналоги. При этом пространства интегрируемых функций также имеют особые свойства.

Основы теории мер и интегрирования со значениями в неархимедовых полях заложили преимущественно А.П. Монна., Т.А. Спрингер, А.С.М. ван Роой и В.Х. Шиков в 1960-1970-х годах [20]. Но ни они, ни другие авторы не изучали в достаточной степени квазиинвариантные меры со значениями в ноле действительных чисел или неархимедовом на бесконечномерных банаховых пространствах или многообразиях над неархи-

медовыми полями. Так, например, не было теорем о квазиинвариантности или исевдодифференцируемостн мер на бесконечномерных банаховых пространствах над неархимедовым полем относительно линейных и нелинейных операторов, удовлетворяющих определенным условиям. Поэтому стояла проблема развития такой теории квазиинвариантных мер на бесконечномерных банаховых пространствах и многообразиях над неархимедовыми полями. Это было необходимо для построения квазиинвариантных мер и стохастических процессов на нелокально компактных группах преобразований.

В неархимедовом случае теория операторных алгебр также весьма, специфична. Под С*-алгебрами над неархимедовыми полями имеются в виду другие объекты по сравнению с операторными алгебрами над полем комплексных чисел, а теорема Гсльфанда-Мазура для неархимедовых алгебр не выполняется в общем случае [20).

В частности, не были изучены группы обёрток и группы диффеоморфизмов неархимедовых многообразий, а также квазиинвариантные меры даже на неархимедовых банаховых пространствах. Для классических многообразий М группы петель были исследованы лишь для римано-вых многообразий и только для М, являющейся единичной окружностью 51. Эти группы не удовлетворяют даже локально формуле Кэмпбслла-Хаусдорфа. Для многообразий отличных от окружности или сферы петлевая интерпретация теряется, поэтому они названы группами оберток. Известны группы, называемые также группы петель, но под ними имеют в виду группы Сп-отображений многообразия М в локально компактную группу Ли с поточечной операцией умножения, поэтому эти группы удовлетворяют локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа.

Впервые группы петель для отображений из окружности в локально компактные римановы многообразия были введены С. Лефшецем в 1940-х годах. Для многообразий над неархимедовыми полями они ранее не изучались. Для общих многообразий отличных от окружности и сферы петлевая интерпретация уже теряется, поэтому их обобщения названы группами обёрток. Необходимо отметить, что для многообразий над неархимедовыми полями их конструкция и топологизация в диссер-

тации принципиально отличны от случая римановых многообразий.

Несмотря на то, что группы диффеоморфизмов и обёрток могут быть сами снабжены структурой гладкого многообразия с дифференцируемыми груниовыми операциями, они не удовлетворяют ни в какой окрестности единичного элемента (локально) формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. Поэтому их исследование существенно отличается от групп Ли, локально удовлетворяющих формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа.

Проблема об исследовании стохастических процессов и квазиинвариантных переходных мер на топологических, возможно, не являющихся локально компактными, группах Ли, не удовлетворяющих локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа и об отыскании для группы (7 ее плотной подгруппы С, относительно которой мера квазиинвариантна обсуждалась и ставилась Макки, Кирилловым и Гельфандом в их статьях в конце 50-х и в 60-х годах 20 века. В неархимедовом случае эта проблема практически не рассматривалась ранее.

Для построения представлений вполне несвязных групп преобразований многообразий над неархимедовыми нолями стояла ассоциированная проблема в построении квазиинвариантных мер с помощью теории стохастических процессов на неархимедовых банаховых пространствах и многообразиях. Поскольку данный предмет не является главным в диссертации, то это описывается лишь кратко и подробно дано в опубликованных статьях автора, приведенных в списке литературы. Эта задача имела специфические особенности: необходимо было исследовать алгебраические стохастические процессы на пространствах функций (непрерывных или интегрируемых) из линейного пространства X над локальным полем К в линейное пространство У над К и распространить затем эту теорию на случай соответствующих равномерных пространств отображений из многообразия М в многообразие N над К и далее на вполне несвязные группы, которые могут быть нелокально компактными.

Развитие теории представлений нелокально компактных вполне несвязных групп потребовало от автора исследования квазиинвариантных мер, но теория меры не является главным предметом диссертации. С другой стороны, полученные результаты тоже представляют значительный ин-

терес. В частности, был сформулирован и доказан неархимедов аналог теоремы Колмогорова о продолжении цилиндрического распределения со значениями в неархимедовом ноле до меры. Эта проблема была сформулирована А.С.М. паи Роой около двенадцати лет тому Назад [26, 24]. Практически в диссертации была решена более общая проблема для проективной системы пространств с мерами, включающей в себя также впервые сформулированный и доказанный нерахимедов аналог теоремы Прохорова, откуда, в частности, был выведен неархимедов аналог теоремы Колмогорова. Это естественным образом индуцирует изометричные представления в неархимедовом банаховом пространстве, как описано в статьях автора.

При изучении унитарных представлений как правило используются непрерывные или дифференцируемые представления. Изучение дифференцируемое™ представлений важно, так как позволяет, например, с помощью представлений групп Ли строить представления соответствующих алгебр Ли. Поэтому вопрос дифференцируемое™ представлений тоже рассматривался в диссертации.

Реже изучаются разрывные представления. Впервые для локально компактных групп Бихтелер [14] доказал существование разрывных представлений. Однако вопрос о существовании неизмеримых представлений топологических групп является более тонким и ранее не исследовался.

К этому вопросу тесно примыкает также другая проблема о восстановлении унитарного представления группы по ее ограничениям на подгруппу. Хорошо известна теория Фробениуса-Макки об индуцированных представлениях для локально компактных групп [13]. В ней используется мера Хаара. Для топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп теория индуцированных представлений с помощью квазиинвариантных мер была практически неразработанной. С другой стороны, важно знать имеет ли данная подгруппа нетривиальные унитарные представления. Топологическая группа, не имеющая непрерывных нетривиальных унитарных представлений, называется экзотической. Такие группы почти не были исследованы и впервые были введены в 1975 году [19]. В статьях автора диссертации эта тема была

также продолжена для подгрупп топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп, таких как группы петель [8|.

Эта тема исследований обсуждалась диссертантом также с академиком, доктором физико-математических наук Гельфапдом Израилем Моисеевичем летом 1996 года на математическом отделении международного института теоретической физики (1СТР) в г. Триесте в Италии. Гельфанд И.М. отметил, что это направление исследований интересно, актуально, является новым и важным как для теории представлений, так и для неархимедова анализа. Более того, Гельфанд И.М. предложил развить его теорию, опубликованную совместно с Вершиком и Граевым в Успехах математических наук в 1975 году, о пуассоповых мерах на конфигурационных пространствах и унитарных представлениях групп диффеоморфизмов римановых многообразий на новый случай групп диффеоморфизмов неархимедовых многообразий.

Таким образом, данная область топологической алгебры является актуальной, как для развития математики, так и для развития теоретической и математической физики.

Целью работы является:

1) Определение и исследование топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп преобразований неархимедовых многообразий, в частности, групп диффеоморфизмов и групп обёрток.

2) Изучение групповой и топологической структуры топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп преобразований многообразий.

3) Развитие в неархимедовом случае вспомогательного инструмента теории квазиинвариантных мер. Построение и исследование квазиинвариантных мер на топологических (возможно, не являющихся локально компактными) группах преобразований неархимедовых многообразий и на ассоциированных конфигурационных пространствах.

ванных представлений, изучение существования экзотических и неэкзотических подгрупп топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп.

Научная новизна Основные результаты диссертации следующие:

1) Определены группы диффеоморфизмов и группы обёрток многообразий на банаховых пространствах над неархимедовыми полями. При этом для этих групп рассмотрены как конечномерные, так и бесконечномерные многообразия над соответствующими полями. Для групп диффеоморфизмов и групп обёрток исследована их групповая и также топологическая структура. Доказано, что эти группы вполне несвязны и не удовлетворяют локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. В пеархи-медовом случае по сравнению с классическим найдены принципиальные отличия в их строении.

2) Построены квазиинвариантные меры на этих группах относительно плотных подгрупп. В неархимедовом случае это потребовало развития теории квазиинвариантных и псевдодифференцируемых мер на неархимедовых банаховых пространствах. При этом в неархимедовом случае построены как аналоги гауссовых мер, так и более широкие классы мер.

3) С помощью предыдущих результатов диссертации также построены вспомогательные квазиинвариантные меры пуассонова типа на соответствующих конфигурационных пространствах.

4) Построены регулярные сильно непрерывные унитарные представления плотных подгрупп вполне несвязных групп, в частности, групп диффеоморфизмов и групп обёрток, ассоциированные с квазиинвариантными мерами как на группах, так и на соответствующих конфигурационных пространствах. Исследованы условия, накладываемые на меры и группы, при которых такие унитарные представления топологически неприводимы.

5) С использованием квазиинвариантных мер построены неассоциативные некоммутативные гильбертовы алгебры, для них доказан аналог теоремы Гельфанда-Мазура. Показано, что, в частности, для локально компактных групп эти алгебры сводятся к С*-алгебрам, но в общем случае топологических групп, не являющихся локально компактными, структу-

ра. этих неассоциативных некоммутативных гильбертовых алгебр иная.

6) Исследованы индуцированные представления топологических групп с помощью квазиинвариантных мер на топологических группах. Рассмотрен вопрос о существовании экзотических и неэкзотических подгрупп топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп.

7) Доказано существование неизмеримых представлений и автоморфизмов топологических групп, а также соответствующее исследование проведено для общих локально компактных групп.

Все основные результаты глав 1-5 получены автором диссертации и являются новыми. Тем самым в пунктах (1 — 5) решена проблема И.М. Гельфанда об унитарных представлениях не локально компактных групп, в пунктах (1,3) решена проблема Макки-Кириллова-Гельфанда о мерах на не локально компактных группах, в пункте (2) решена проблема А.С.М. ван Роой о неархимедовых мерах на банаховых пространствах, в пункте (6) решена проблема об индуцированных представлениях топологических, возможно, не являющихся локально компактными, групп (как развитие ио сравнению со случаем локально компактных групп соответствующей теории Макки), в пункте (7) решена обобщенная проблема Вихтелера о существовании неизмеримых унитарных представлений.

Более подробно формулировки теорем основных результатов приведены далее.

Общие методы исследования В диссертации используются методы топологической алгебры, а именно, методы неархимедова анализа, метод алгебр проекционных операторов в теории представлений групп, метод квазиинвариантных мер на группах и ассоциированных конфигурационных пространствах, С*-алгебры и также неассоциативные алгебры.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в топологической алгебре, в частности, в неархимедовом анализе, теории представлений нелокально компактных групп, алгебрах мер и алгебрах функций, стохастическом анализе на топологических (возможно, не являющихся локально компактными) группах, а также в теоретической и математической физике, в частности, в калибровочной теории, теории суперструн,

квантовой гравитации, гидродинамике и т.д.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

1) "Groups'97"B университете г. Ват (Англия) в августе 1997 г.;

2) "Italian-Spanish conference on general topology and applications "в университете г. Триест (Италия) в 1999 г.;

3) "Workshop on measure theory and real analysis'^ университете г. Гори-ция (Италия) в 1999 г.;

4) "p-Adic analysis'^ университете г. Векшё (Швеция) в 2Ü01 г.; на семинарах:

5) теоретического отдела института Общей физики РАН в 1997 г.;

6) отдела математической физики Математического института им. В.А. Стсклова РАН в 1998 и 2010 г.г.;

7) лаборатории чистой математики университета г. Клермон-Ферран (Франция) в 1999 г.;

8) математического отделения университета г. Триеста (Италия) в 1999

9) математического отделения университета г. Слепа (Италия) в 2000 г.;

10) факультета прикладной математики университета г. Эльче (Испания) в 2000 г. и в 2001 г.;

11) математического отделения Фламандского университета ULB г. Брюсселя (Бельгия) в 2004 г.;

12) кафедры дифференциальной геометрии математического факультета Валлонского университета VUB г. Брюсселя (Бельгия) в 2004 г.;

13) математического отделения университета г. Антверпена (Бельгия) в 2004 г.;

14) математического отделения университета г. Падова (Италия) в 2004 г-;

15) математического отделения университета г. Милана (Италия) в 2005 г-;

16) математического факультета университета г. Дармштадта (Германия) в 2006 г.;

17) кафедры высшей математики Московской государственной академии

приборостроения и информатики в 2005 г.;

18) кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета в 2009 г.;

на семинарах Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова:

20) П.С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии в 19972002 годах;

21) кафедры высшей алгебры в 2000, 2001, 2003, 2004, 2007 и 2009 годах;

22) кафедры высшей геометрии и топологии в 1998-2000 и 2004 годах;

23) кафедры теории функций и функционального анализа в 2002, 2003 и 2007 годах.

Публикации Результаты по теме диссертации опубликованы в работах автора 11]-[52]. Все результаты диссертации опубликованы в журнальных статьях.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 5 глав и 19 параграфов. Полный объем диссертации - 314 страниц (в том числе оглавление и введение -19 страниц), приложение занимает 57 страниц. Библиография включает 173 наименования и занимает 16 страниц.

Содержание работы

Рассматриваемые в I главе группы являются вполне несвязными ультраравномерными пространствами, поэтому в нервом параграфе приводятся результаты исследования ультраравномерных пространств. В первом параграфе главы I в пункте 2 рассматриваются предварительные сведения и вводятся определения и обозначения. В пункте 3 даются теоремы о разложении полных ультраметрических и ультраравномерных пространств. В пункте 4 даются теоремы о спектральном разложении неполных пространств и рассматриваются абсолютные полиэдральные разложения.

Определения. Топологическая группа (3 называется (топологиче-

ски) простой, если она не имеет замкнутых нормальных подгрупп отличных от всей С и от тривиальной группы {е}, где е - единичный элемент вв.

Коммутантом [С, б] группы С называется минимальная подгруппа в (2, порожденная всевозможными коммутаторами <?-1/_1<?/ сс элементов 6 С. Автоморфизм ф группы С называется внутренним, если существует фиксированный элемент д € С? такой, что ф(х) = д~1хд для любого 1; £ б. Топологическая группа (? называется (топологически) совершенной, если её коммутант плотен в С и любой ее непрерывный автоморфизм является внутренним (хотя в некоторых статьях последнее условие не рассматривается).

Точка х топологического пространства X называется точкой накопления (предельной точкой) множества А в X, если х € с1х(А \ {х}), где с1хЯ обозначает замыкание множества Б в X. Множество точек накопления множества А называется производным множеством множества А и обозначается Лл. Если А С то множество А в X называется плотным в себе. Подмножество А топологического пространства X называется совершенным, если оно плотно в себе и замкнуто в X.

Топологическое пространство X называется компактным (счетно компактным), если для каждого открытого покрытия {[/„ : в € 5} (для счетного 5, соответственно) пространства X существует конечное множество {а'ь ...,54} С 5, такое, что X — 17,, и... и и„к. (В старой терминологии компактные пространства назывались бикомпактными, а счетно компактные пространства назывались компактными).

1.1.3.1. Теорема. Каждое полное ультраравномерное пространство (У, Р) является пределом обратного спектра абсолютных окрестност-ных равномерных ретрактов У}, где У} вложены в полные локально Ь-выпуклые пространства.

1.1.3.18. Теорема. Пусть (X, Р) - полное ультраравномерное пространство и Ь - локально компактное поле. Тогда существует неприводимое нормальное разложение (X, Р) в предел обратного спектра 5 = {Рп,/^,Е} равномерных полиэдров Рп над Ь, причем Ит 8 равномерно изоморфен (X, Р); в частности, для ультраметрического {Х,р) спектр

S является обратной последовательностью.

В параграфе 1.2 изучаются вложения неархимедовых многообразий в неархимедовы банаховы пространства, так как рассмотренные далее группы также имеют структуру многообразий.

Параграф 1.3 посвящен исследованию структуры групп диффеоморфизмов неархимедовых многообразий.

Существуют много принципиальных отличий между классическим и неархимедовым функциональным анализом [20, 22]. Вот почему неархимедовы группы диффеоморфизмов отличаются во многих отношениях от классических групп диффеоморфизмов. Детально результаты параграфа 1.3 опубликованы также в [42, 18, 39].

В пункте 1.3.2 даны определения, обозначения и предварительные результаты. Для топологического многообразия М через Нотп(М) обозначим группу его гомеоморфизмов относительно композиции отображений. Для открытого подмножества U в банаховом пространстве X над F, где F - поле с неархимедовой мультипликативной нормой, через C(t, U —♦ F) или С'(Г/, F) обозначается пространство всех непрерывных функций / с непрерывными частными разделенными разностями Ф1'/ до порядка t включительно. С помощью этих пространств определены соответствующие классы гладкости С1 многообразий М и N, и равномерные пространства C(t, М —* N) всех отображений / : М —> N класса гладкости С1. В пункте 1.3.3 изучается структура групп диффеоморфизмов Diff{t, М), где Diff(t, М) := Нот(М) П C(t, М М), C{t, М N) - многообразие C(t)-отображений из многообразия М в многообразие N над тем же нолем F.

Кроме классов гладкости С1 рассмотрены также классы Сд, характеризуемые свойством существования разложений С4 функций по орто-нормированному относительно С4-нормы базису и сходимости к нулю последовательностей коэффициентов разложений по такому базису. Если dim^M > No, тогда C(t, М —► М) - несепарабельного типа над F, но Co(t, М —* М) - сепарабельного типа над F, когда (ИгпцМ < Н0. Такие группы G(t,M) := Hom(M) П Co(t,M —► М) рассматриваются при построении сг-конечных квазиинвариантных мер. Группы диффеоморфиз-

мов исследованы ниже как топологические группы и как многообразия. Доказало, что Diff(t,M) просты и плотны в себе (смотри теорему 3.2). Их структура как многообразий изучена и доказано, что группа диффеоморфизмов является группой Ли (смотри теоремы 3.4). Для многообразий М на локально выпуклых пространствах X над F (в отличии от X над R) доказано существование открыто-замкнутой подгруппы W в Diff(t, М), так что для каждого д £ W существует однопараметриче-ская подгруппа < gz : z £ F >, которой принадлежит д. Тем не менее, доказано, что в Diff(t, М) каждая нетривиальная локальная (открытая) подгруппа не удовлетворяет формуле Кэмнбелла-Хаусдорфа. В пункте 1.3.3 также построены семейства компактных подгрупп {G"K} группы G(t, М), так что Un,u,K к плотно в G(t, М). В частности, в случае локального поля F = К такие подгруппы имеют следующее свойство: К-линейная оболочка span^ Uu{TcG"K) касательного пространства TeG"K (которое корректно определено ниже) плотна в TeG(t,M). Это является важным отличием от случая М на X над R или С, потому что максимальная компактная подгруппа в G(t, М) в классическом случае может быть только конечномерной для конечномерного многообразия X. Вложения классических групп в группы диффеоморфизмов также обсуждается, потому что, например, Sp(2n,F) очень важна для симплсктических структур ассоциированных с гамильтонианами в квантовой механике.

1.3.3.1. Теорема. Пусть группы G = Diff(t, М) и G = G(t, М) те же, что и в §2.4, где I < t < оо, или t = anr, или t = la.

(1). Если М смоделировано на полном пространстве X, тогда существует замкнутая подгруппа W в G такая, что каждый элемент g € W принадлежит соответствующей однопараметрической подгруппе. Эта подгруппа W открыто-замкнута в G, когда М задано на банаховом пространстве.

(2). Diff(t,M), G(t,M) и GC(t,M) не имеют нетривиальных локальных подгрупп, которые удовлетворяют формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа.

Напомним, что группа называется топологически совершенной, если она совпадает с замыканием своего алгебраического коммутанта.

1.3.3.2. Теорема. Пусть группы G := Diff(t, М) и G := G(t, М) да-

ютпся определением 1.3.2.4■ Тогда (3 топологически совершенна и плотна в себе.

В параграфе 1.4 рассмотрены группы и полугруппы обёрток. Полугруппы обёрток являются факторпространствами семейств отображений / из одного неархимедова многообразия М в другое N с Цтг_Яо Ф"/(х) = О для 0 < г> < £ по соответствующим отношениям эквивалентности, где

и Уо = 0 - отмеченные точки в М и N соответственно, М — М \ {в0}, Ф"/ - непрерывное продолжение частных разделенных разностей Ф"/. Кроме локально компактных многообразий, рассмотрены также топологические (возможно, не являющиеся локально компактными) банаховы многообразия М и N.

Более интересны группы обёрток которые строятся с по-

мощью процедуры (использованной также Гротсндиком в абстрактном случае не связанном с данными конкретными моноидами) индуцирования абелевой группы из абелева моноида со свойством сокращения. В отличии от построенных в диссертации групп обёрток, название группа путей в классическом случае отображений отрезка в риманово многообразие не отражает полностью ее сущности, так как композиции путей определены не для всех элементов, но только для некоторых из них удовлетворяющих дополнительным условиям.

1.4.3.2. Предложение. Пространство Ь^М^) из §1.4-3.1 - полная сепарабелъная абелева хаусдорфова топологическая группа; она не дискретна, плотна в себе и имеет мощность с.

В §1.5 исследуются р-адические комиактификации групп диффеоморфизмов и групп обёрток неархимедовых многообразий. В случае группы диффеоморфизмов р-адическая компактификация дает проективную топологию р-адического разложения на ней, относительно которой она остается топологической группой. В случае группы обёрток р-адическая компактификация дает новую топологическую группу V, в которую исходная группа W алгебраически вложена в качестве плотной подгруппы, причем V ф Топология индуцированная на IV из V не сравнима с исходной. Для компактного многообразия М в случае группы диффеоморфизмов р-адическая компактификация ]У дает проконечную груи-

пу. Для локально компактных многообразий M к N в случае группы обёрток Lt(M, N) р-адическая компактификация W дает алгебраическое вложение в QPN. В неархимедовом случае приведенные ниже компакти-фикации групп диффеоморфизмов и групп оберток замечательны тем, что онн дают тополого-групповые структуры.

Во второй главе построены широкие классы квазиинвариантных мер на неархимедовых банаховых пространствах со значениями в поле действительных чисел R, а также в неархимедовых полях. В частности, в §11.1 обсуждается аналог гауссовых мер на банаховом пространстве X. Далее везде К обозначает неархимедово локально компактное бесконечное поле характеристики char(К) = 0 и с нетривиальным нормированием. В §1 меры на банаховом пространстве X принимают значения в R. Многие приводимые там определения и теоремы и их доказательства существенно отличаются от классических результатов.

II.1.22. Теорема. Пусть X -сепарабельное банахово пространство над локально компактным полем К Э Qp. Тогда существуют вероятностные меры ц на X, так что ц - квазиинвариантная мера относительно плотного линейного подпространства Jц.

II.1.25. Пусть оператор U на банаховом пространстве X над локально компактным полем К удовлетворяет следующим условиям:

(г) U(x) и U~1(x) € С( 1, Х^ХУ,

(И) (U'(x) — I) компактен для любых х 6 X;

(ш) (ж — U"l(x)) и (а; — U(x)) 6 J у, для ц — почти всех х £ X;

(iv) для /х-почти всех х пары (х — U(x)\x) и (х — U~^{x)]x)

содержатся в области определения p(z,x), причем р(х — U~l(x),x) ф О, р(х — U(x), х) ф 0 (mod ц)\

(V) n(S') = 1 , где S' := ([г : p(z, х) определена для z е L

и непрерывна по z}) для любого конечномерного L с J/,

(vi) существует S с fj.(S) = 0 и для любого х G X \ S и любого z,

для которого существует р(г,х) выполнено условие: \\тп^,00р(Рпг,х) — р[г,х) и сходимость равномерна для любого конечномерного Ь С но 2 в Ь П [ж 6 ^ : | х |< с], где с > 0, Рп := Р£п : X Ьп (смотри §2);

(ип) существует п для которого при всех ] > п и х € X отображения

х) := х + Р^(и~1(х) — х) и и{], х) := х + Р/(£/(х) — х) обратимы и \щ | сЫ и'и, х) |=| (М и'(х) |, Ит, | det УЦ, х) |= 1/ | det и\х) |.

Теорема. Мера и{А) := ц(1]~1(А)) эквивалентна ц и

(4) и{йх)1ц{йх) =| с^ и\и~1(х)) |к р(х - ¿Г'(я), х).

Также введено понятие псевдодифференцируемости мер и развиваются соответствующие критерии, так как для функций / : К —> II нет понятия дифференцируемое™ (не существует таких линейных нетривиальных /). В классическом случае банахова пространства над полем И, большую роль в теории квазиинвариантных мер играют ядерные операторы, а в неархимедовом случае рассмотрение квазиинвариан^ных мер опирается на компактные операторы, что вызвано ультраметрическим неравенством, которому удовлетворяет норма на неархимедовом банаховом пространстве.

Хорошо известно, что действительнозначная мера т на локально компактной Хаусдорфовой вполне несвязной топологической абелевой группе С называется мерой Хаара, если

(Я) т(х + А) = т(А) для любого х е б и любого борелевского подмножества Авб.

Для «-свободной группы С мера т со значениями в Кк удовлетворяет условию (Н) только для алгебры открыто-замкнутых подмножеств Л, где поле К8 является конечным алгебраическим расширением поля (Зз. В самом деле, в последнем случае если мера локально конечна и сг-аддитивна на борелевской алгебре группы С, то она является чисто атомической с атомами равными одноточечным подмножествам, поэтому она не может быть инвариантной на всей борелевской алгебре (смотри главы 7-9 в [20]).

В §11.2.2 даны неархимедовы аналоги слабых распределений, характеристических функций мер, их свойства определены и исследованы. В §11.2.3 рассмотрены произведения мер вместе с их функциями плотности. Исследован иеархимедов аналог теоремы Какутапи. В данном параграфе определены и построены широкие классы квазиинвариантных мер. Доказаны теоремы о квазиинвариантности мер при определенных линейных и нелинейных преобразованиях U : X —» X. В §11.2.4 введено понятие псевдодифференцируемых мер. Это необходимо, так как для функций / : К —> R или / : К —> Qe с ^ р нет понятия дифференцируемости (не существует таких линейных нетривиальных /), где К - поле такое, что К D Qp. Приводятся критерии псевдодифферепцируемости.

В главе III строятся квазиинвариантные и псевдодифференцируемые меры на группах G диффеоморфизмов и обёрток неархимедовых многообразий относительно плотных подгрупп G', а также с помощью стохастических процессов на них с использованием результатов глав I и II. Для этого также построены (всюду) плотные подгруппы G' специального вида и специфические операторы антидифференцирования.

111.1.2.5. Замечание. Пусть Q,^k\M,N) - то же подмоноид, что и в §1.3.5 [42], так что с > 0 и d > 0. Тогда он генерирует группу обёрток G' := L^(M,N) как в §2.1 Н[42], так что G' - плотная подгруппа в G = LS(M, N).

111.1.2.6. Теорема. На группе G = L^(M,N) из §1.4 и для любого b е С существуют вероятностные квазиинвариантные и псевдодифференцируемые порядка Ъ меры fi со значениями в R и Kq для любого простого числа q, так что q ф р относительно плотной подгруппы G'.

III.2.3.6. Теорема. Группы Gi := G(t, М) и G2 := G{t,M\h) из §11.2.3.5 для любых 0 < t € R или t = апг и У 6 С имеют квазиинвариантные и псевдодифференцируемые порядка V меры ß со значениями в [0, оо) и Qq (для простых чисел q ф р) относительно плотных подгрупп G'v для 1) — 1,2. Если М компактно, то G'n D G(t', М) П G^ при t' = t + s для 0 < t £ R, s > 2; также G'v D G(anR, М) П Gn при t = апГ с R > г > 0.

III.3.2. Теорема. Пусть G - группа диффеоморфизмов или груп-

па обёрток и плотная подгруппа G' для многообразий над локальным неархимедовым полем Кр такие же, как и в [18, 42] или §1.3, 1.4, тогда существует стохастический процесс £(i, ш) на G который индуцирует квазиинвариантную неотрицательную или Позначную с s ф р переходную меру Р на G относительно G' и Р псевдодифферснцирусмую относительно G' порядка b для любого Ь 6 С такого, что Re(b) > 0.

В IV главе исследуются представления вполне несвязных групп с помощью квазиинвариантных мер. Для этого имеется несколько подходов, которые описаны ниже. Наряду с представлениями вполне несвязных групп для более полной картины даются сведения и о представлениях связных групп.

В четвертой главе берется Н := L?(G,[i, С) гильбертово пространство классов эквивалентности с квадратично интегрируемыми |/| (по ¡i) функций / : G —* С, где р, - неотрицательная <7-аддитивная мера на топологическом тихоновском пространстве G. Обозначим через U(H) -унитарную группу на Н в топологии индуцируемой из банахова пространства L(H, ff) всех непрерывных линейных операторов на Н снабженного операторной нормой, где Н - гильбертово пространство над С. Рассматривается пара не локально компактных топологических групп G и G' с топологиями гиг' соответственно, причем G' является всюду плотной подгруппой в С. В первом параграфе предполагается, что фактор квазиинвариантности p(z, g) непрерывен на G' х G или на G' х IV с: ß(G \ W) = 0.

IV. 1.2.8. Теорема. Пусть G - группа обёрток или группа диффеоморфизмов с действительной вероятностной квазиинвариантной мерой fi относительно плотной подгруппы G' (смотри теоремы III. 1.2.6, III. 2.3.6). Тогда fi может быть выбрана, так что ассоциированное регулярное унитарное представление (смотри §1.2.7) группы G' топологически неприводимо.

IV.1.2.9. Теорема. На группе обёрток G = L^(M,N) (смотри §1.4) существует семейство непрерывных характеров {Е}, которые различают точки в G.

IV.1.2.14. Теорема. На группах диффеоморфизмов и группах обёр-

ток £7 существуют стохастические процессы, которые дают переходные квазиинвариантные меры ¡л относительно плотных подгрупп й' (смотри теоремы III. 3.2 и [45, 33], так что ассоциированные регулярные унитарные представления Т11: С —> С/(Ь2(С, ц, С)) топологически неприводимы.

Помимо подхода с мерами на группах из §1У.1 другой подход из §ГУ.2 для групп диффеоморфизмов неархимедовых и римановых многообразий состоит в использовании мер на многообразиях М и мерами на определенных И или К-унитальных подмножествах в Мы.

Теорема 1У.2.1.2. Пусть М - аналитическое многообразие с Л С N из §1.3.2.4 и X - сепарабелъное банахово пространство над локальным полем К, 1 < £ < оо. Тогда существует <т-конечная мера /х на М, так что она квазиинвариантна относительно М).

1У.2.1.13. Предложение. Представления определенные в §§1У.2.1.11, 12 Т^-.С-* и{Н(Т)) иТ^-М-* 75(Я(Е)) сильно непрерывны.

1У.2.1.21. Теорема. Представления Т^ и ?£ группы б = (?С(£, М) с 1 < £ < оо описанные в §§1У.2.1.3-6 и IV.2J.11, 12 на банаховых пространствах Я(Е) и Я(£) соответственно топологически неприводимы.

Далее в §1У.2.2 построены унитарные представления групп диффеоморфизмов римановых многообразий М с помощью унитальных подмножеств в МN.

Другой подход из §1У.З основан на использовании пуасеоновых мер на конфигурационных пространствах в М^. Это дает новые серии топологически неприводимых представлений но сравнению с предыдущими параграфами. Пуассоновы меры строятся также на подпространствах и для этого используются квазиинвариантные меры на (7. При этом рассмотрено несколько групп: групп диффеоморфизмов и групп обёрток неархимедовых многообразий над локальными полями. Кроме этих случаев исследованы также их представления ассоциированные с пуассо-новыми мерами на конфигурационных пространствах Гд/ содержащихся в произведениях многообразий М^. В данном параграфе исследованы также случаи банаховых многообразий М неархимедовых локально ком-

пактных и не являющихся локально компактными банаховых многообразий. Для этого рассмотрены квазиинвариантные меры неотрицательные на М относительно группы диффеоморфизмов Ог//(М) из предыдущих параграфов (смотри также [39, 38]).

Необходимо отметить, что теория представлений топологических, не являющихся локально компактными, групп значительно отличается от случая локально компактных групп. Например, неприводимые унитарные представления локально компактных абслевых групп одномерны, то есть, характеры. Но для топологических, не являющихся локально компактными, абелевых групп существуют бесконечномерные топологически неприводимые унитарные представления, которые даже могут быть регулярными представлениями.

IV.3.2.9. Теорема. Существуют квазиинвариантные а-консчные меры т на X относительно групп С с т(Х) = оо и удовлетворяющие условию (и) из §IV.3.2.8. Для такой т пуассонова мера Рт на Гд-эргодична.

IV.3.3.4. Теорема. Пусть X и £)г//'(X, т) те же, что и в §№.3.3.3. Тогда ограничение представления из §№.3.3.1 на Diffí(X,m) топологически неприводимо.

ГУ.З.3.6. Теорема. Представления из §IV.3.3.1 и §№.3.3.5 в случае X — б эквивалентны, в случае конечномерного X = М над Ь для группы диффеоморфизмов действующей на М представление 11гп 0 эквивалентно с 11%от1 где д - представление симметрической группы Еп■

IV.3.3.8. Теорема. Пусть Рт - эргодическая пуассонова мера на Г* как в §§№.3.2.4, IV.3.2.9 ид- неприводимое представление симметрической группы £„ ^ — I для X — С и может быть нетривиальным для X — М конечномерным над соответствующим полем Ь и группы, диффеоморфизмов С многообразия М). Тогда существуют т такие, что представления из §№.3.3.1 топологически неприводимы.

IV.3.3.9. Теорема, (а). Если существует ограниченный оператор Т : Ь2{Гх, Рт,С)®№ - Ь2{Тх,Рт,,С)®Н< (№ = {0} и Рт из теоремы 3.3.8 для X = С бесконечномерного X = М над соответствующим

полем L, так что L2 ® {0} := L2) удовлетворяющий условиям (а,Ъ):

(а) ТЩ^-ф) = ul,T для любого V- е G',

(б) существует ф € Нч, так что Т(1 ® ф) ф 0, тогда Рт и Рт> эквивалентны.

(ß). Если существует ограниченный оператор V : L2(G,fi, С) —► L2(G,fj.',C), так что УТ»{ф) = T»'{ip)V для любого тр 6 G', где р квазиинвариантная мера на G относительно G' и Tß - ассоциированное регулярное представление группы G' из теоремы IV.1.2.4, тогда р и р! эквивалентны.

IV.3.3.12. Теорема, (а). Если Рт и Рт> эквивалентны, п = п', унитарные представления q и с? или Е„ и £„< эквивалентны (в случае Diff{M) действительного многообразия М с дополнительным условием dim-цМ > 1; Ня = {0} и q — I для X = G или для бесконечномерного многообразия X = М над полем LJ. Тогда унитарные представления Ujb и Urf эквивалентны.

(/3). Если р, и р! из теоремы VI. 1.2.4 - это эквивалентные квазиип-вариантные меры на G относительно G', то регулярные унитарные представления Т*' и Т'*' эквивалентны.

В §IV.4 исследуются индуцированные представления нелокально компактных групп, а также разложение представлений на топологически неприводимые компоненты. При этом активно используются квазиинвариантные меры на них относительно плотных подгрупп.

В §IV.5 даются результаты о непрерывности унитарных представлений в свете существования или отсутствия экзотических подгрупп. Доказана теорема о построении экзотических групп для неметризуемых пространств. Показано, что экзотические группы образуют полную подкатегорию категории топологических групп. Доказано, что путем их факторизации по замкнутым нормальным подгруппам можно получить либо не экзотические группы, либо абелевы сильно экзотические группы. Впервые доказана теорема о построении неабелевых сильно экзотических групп.

Теорема IV.5.3. Предел G = dir — lim S прямого спектра S = {G(a); q(a, Ь,.); А} является сильно экзотической группой, если все G(a)

- сильно экзотические группы.

IV.5.4. Теорема. Пусть для борнологического пространства Е = dir — lim S каждое нормированное пространство Е{а) бесконечномерно, где S = {E(a);q(a, b, х)]А) - прямой спектр, А - направленное множество, q(a, b, х) : Е(а) —> Е(Ь) - непрерывные линейные отображения тождественные при а = b, q(b,c,q(a,b,x)) = q(a,c,x) при любых а<Ь<с из Aux из Е(а). Тогда в Е имеется замкнутая подгруппа К, так что Е/К - сильно экзотическая группа.

В §IV.6 даются результаты исследования непрерывности и измеримости представлений топологических групп G, которые являются очень важными.

IV.6.1.5. Теорема. Пусть G группа такая, что (а) каждый ее характер измерим и G коммутативна и компактна, или (Ь) каждое топологически неприводимое унитарное представление слабо измеримо и G локально компактна. Тогда группа G является дискретной.

IV.6.2.1. Теорема. Пусть группа G полна по Чеху делима и абелева с весом w(G) = Ко и каждый ее характер X измерим по Борелю. Тогда G дискретна.

§IV.7 посвящен исследованию проблемы о соотношениях между измеримостью и непрерывностью автоморфизмов топологических групп G в зависимости от типа групп, что тесно связано с проблемой измеримости и непрерывности унитарных представлений. Очевидно, что семейство всех алгебраических автоморфизмов g группы G является группой, которая обозначается Aut(G), а автоморфизмы характеризуются тем, что g(ab) = g(a)g(b) для любых a,b € G.

IV.7.2.(3). Теорема. Пусть G - сепарабельная нетощая топологическая группа и автоморфизм g обладает свойством Бэра, тогда g непрерывно на G.

IV. 7.4. Теорема. Существуют (1) нсметризуемые компактные группы с мерами Хаара ц и (2) не локально компактные сепарабельные метризуелше полной метрикой группы G с квазиинвариантиыми мерами [х относительно плотных подгрупп G' такие, что они имеют fi-измеримые разрывные автоморфизмы.

V глава посвящена исследованию неассоциативных алгебр, порожденным квазиинвариантными мерами. Теоремы, приведенные в V главе, показывают массу различий между локально компактными и топологическими, пе являющимися локально компактными, группами в этом отношении. Группы рассмотренные ниже предполагаются имеющими структуру банаховых многообразий над соответствующими полями.

У.14. Определение и замечание. Пусть {С, : г £ N0} - последовательность топологических групп такая, что б = (?о, С б; и 1 плотно в для любых г € N0 и их топологии обозначаются Тг, причем г;|с(+1 С т,+1 для любого г, где Лг0 := {0,1,2,...}. Предположим, что эти группы снабжены действительными вероятностными ксазшшва-риантными мерами /л1 на относительно С!+1. Пусть ¿£.+1(С;,/ЛС) обозначает подпространство в Ь2(С;,/х',С) как в §У.7.1(Ь). Такие пространства банаховы, но в общем не гильбертовы. Пусть

:= Я; обозначает подпространство в С) элементов / таких, что

11/11?:= [|1/И£2(с<,алС) + Н/11'<]/2 < 00; где

Очевидно, Н{ - гильбертовы пространства в силу тождества параллелограмма. Пусть

Г+1 * Пх) /С(+1 Г+1{у)Пу-'х),^\йу)

обозначает свертку элементов /' € Я;.

У.16. Определение. Пусть : г € N0}) =: Я - гильбертово

пространство состоящее из элементов / = (/':/'€ Я,-, г € N0), для которых

Н/112:=£ 11/41? <00.

¿=0

Для элементов / и д 6 Я их свертка определяется по формуле: /★<? := /г с /г* := /1+1 * <?' для любых г 6 N0. Пусть * : Я —» Я - инволюция, так что /' := (/>Л : ] е N0), где 13'ЧУз) ■= Жу/') Для любого ад е <7^, / := (Я : 3 € N0), г обозначает комплексно сопряженное 2 € С.

V.19. Определение. Пусть 12(С) - стандартное гильбертово пространство над полем С рассматриваемое как гильбертова алгебра со сверткой а * ß — 7, так что 71 := a,+iß\ где а := (а1 : а1 £ С, i £ N0), а, ß и 7 £ k(C).

V.21. Теорема. Если F - максимальный собственный левый или правый идеал в Н, то H/F изоморфна как неассоциативная некоммутативная алгебра над С с 12(C).

Список литературы

[1] Вершик A.M., Гельфанд И.М., Граев М.И. Представления группы диффеоморфизмов // Успехи матем. наук. - 1975.- Т. 30.- № 5.- С. 3-50.

[2] Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленов Е.И. р-адический анализ и математическая физика. - Москва: Наука, 1994.

[3j Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анализа. Обобщенные функции. - Т. 4.- Москва: Физ.-Мат. Лит., 1961.

[4] Кириллов A.A. Элементы теории представлений. - Москва: Наука, 1978.

[5] Козловский И.М. Абсолютные полиэдральные разложения метрических пространств // Труды Моск. матем. общества.. - 1979,- Т. 40.- С. 83-119.

[6] Наймарк М.А. Нормированные кольца. - Москва: Наука, 1968.

[7] Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. - Москва: Наука, 1984. *8

[8] Прессли Э., Сигал Г. Группы петель. - Москва: Мир, 1990.

[9] Энгелькинг Р. Общая топология. - Москва: Мир, 1986.

[10] Amice Y. Interpolation p-adique // Bull. Soc. Math. France. - 1964.- V. 92,- P. 117-180.

11] Banaszczyk W. Additive Subgroups of topological vector spaces. - Berlin: Spinger-Verlag, 1991.

12] Banaszczyk W. On the existence of exotic Banach-Lie groups // Math. Annal. - 1983,- V. 264,- № 4,- P. 485-493.

13] Barut A.O., Raczka R: Theory of groups representations and applications. - Warszawa: Polish Scient. Publ., 1977. *8

14] Bichteler K. On the existence of noncontinuous representations of locally compact groups // Invent,. Math. - 1968.- V. 6,- P. 159-162.

15] Diarra B. Ultraproduits ultrametriques de corps values // Ann. Sei. Univ. Clermont II, S€r. Math. - 1984.- V. 22,- P. 1-37.

16] Fell J.M.G., Doran R.S. Representations of *-algebras, locally compact-groups, and Banach *-algebraic bundles. - Boston: Acad. Press, 1988.

17] Freudenthal H. Entwicklungen von Räumen und ihren Gruppen // Compositio Mathem. - 1937,- V. 4,- № 2.- P. 145-234.

18] Henderson D.W. Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space // Topology. - 1970,- V. 9.- P. 25-35.

19] Herer W., Christensen J. On the existence of pathological submeasures and the construction of exotic topological groups // Mathem. Annal. -1975,- V. 213.- № 3,- P. 203-210.

20] Rooij A.C.M. van. Non-Archimedean functional analysis. - New York: Marcel Dekker Inc., 1978.

21] Rooij A.C.M. van, Schikhof W.H. Group representations in non-Archimedean Banach spaces // Bull. Soc. Math. France. Memoire. -1974,- V. 39-40,- P. 329-340.

22] W.H. Schikhof. Ultrametric calculus. - Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1984.

23] Weil A. L'integrtion dans les groupes topologiques et ses applications. Actual. Scient. et Ind. - V. 869.- Paris: Herman, 1940.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Людковский C.B. Компактные соотношения между инвариантами унитарных групп U(п) и степеннными суммами // Теоретическая и математическая физика. - 1988. - Т. 75. -№2.-С. 316-320. - 0,47 п.л.

[2J Людковский C.B. Матрицы, представляющие канонические элементы универсальных обертывающих классических алгебр Ли в базисе Гелъфанда-Цетлина // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. - 1989. - № 5. - С. 73-76.

- 0,38 п.л.

[3] Людковский C.B. Базисы неприводимых представлений классических алгебр Ли // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. - 1990. - № 5. - С. 18-25. -0,75 п.л.

[4] Людковский C.B. Тензорные операторы алгебр Ли u(n) и o{v) // Теоретическая и математическая физика. - 1990. - Т. 82. -№ 3. - С. 474-479. - 0,47 п.л.

[5J Людковский C.B. Компактные соотношения между инвариантами классических групп Ли и элементарными симметричными полиномами // Теоретическая и математическая физика. -1991. - Т. 89. - № 3. - С. 380-387. - 0,75 п.л.

[6] Людковский C.B. Классификация некоторых типов локально компактных групп по их унитарным представлениям // Успехи математических наук. - 1992. - Т. 47. - № 5. - С. 185-186.

- 0,25 п.л.

[7] Людковский C.B. Непрерывность представлений топологических групп // Успехи математических наук. - 1993. - Т. 48. -№ 6. - С. 157-158. - 0,25 п.л.

[8] Людковский C.B. Измеримость представлений локально компактных групп // Математический сборник. - 1995. - Т. 186.

- № 2. - С. 83-92. - 1,1 п.л.

[9] Людковский C.B. Экзотические группы и факторгруппы групп петель // Математический сборник. - 1995. - Т. 186. - № 9.

- С. 87-96. - 1,1 п.л.

[10] Людковский C.B. Меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых банаховых многообразий // Успехи математических наук. - 1996. - Т. 51. - № 2. - С. 169-170. - 0,25 п.л.

[11] Людковский C.B. Измеримость представлений бесконечномерных групп // Успехи математических наук. - 1996. - Т. 51. -№ 3. - С. 205-206. - 0,25 п.л.

[12J Людковский C.B. Квазиинвариантные меры на неархимедовых полугруппах петель // Успехи математических наук. - 1998.

- Т. 53. - № 3. - С. 203-204. - 0,25 п.л.

[13] Людковский C.B. Вложения неархимедовых банаховых многообразий в банаховы пространства // Успехи математических наук. - 1998. - Т. 53. - № 5. - С. 241-242. - 0,25 п.л.

[14] Людковский C.B. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравномерных пространств // Успехи математических наук. - 1999. - Т. 54. - № 5. - С. 163-164. - 0,25 п.л.

[15] Людковский C.B. Измеримость автоморфизмов топологических групп II Математические заметки. - 2000. - Т. 68. - JV5 1. - С. 105-112. - 1,1 п.л.

[16] Людковский C.B. Представления топологических групп, порожденные пуассоновыми мерами // Успехи математических наук.

- 2001. - Т. 56. - № 1. - С. 169-170. - 0,25 п.л.

[17] Людковский C.B. Гауссовы меры на свободных пространствах петель // Успехи математических наук. - 2001. - Т. 56. - № 5. - С. 183-184. - 0,25 п.л.

[18] Людковский C.B. Меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых многообразий, представления групп и их применения // Теоретическая и математическая физика. - 1999. - Т. 119. -№ 3. - С. 381-396. - 1,5 п.л.

[19] Людковский C.B. Квазиинвариантные меры на неархимедовых банаховых пространствах // Успехи математических наук. -2003. - Т. 58. - 2. - С. 167-168. - 0,25 п.л.

[20] Людковский C.B. Структура групп диффеоморфизмов неархимедовых многообразий // Успехи математических наук. - 2003. - Т. 58. - № 6. - С. 155-156. - 0,25 п.л.

[21] Людковский C.B. Топологические группы преобразований многообразий над неархимедовыми полями, их представления и квазиинвариантные меры // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2006. - Т. 18. - С. 5-100. - 13,8 п.л.

[22] Людковский C.B. Измеримость автоморфизмов топологических групп II Математические заметки. - 2008. - Т. - 83. № 4. - 480. - 0,05 п.л.

[23] Людковский C.B. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравномерных пространств // Фундаментальная и прикладная математика. - 2000. - Т. 6. - № 2. - С. 455-475. - 2,3 п.л.

[24] Людковский C.B. Стохастические процессы на группах диффеоморфизмов и петель действительных, комплексных и неархимедовых многообразий. // Фундаментальная и прикладная математика. - 2001. - Т. 7. - № 4. - С. 1091-1105. - 1,64 п.л.

[25] Людковский C.B. Квазиинвариантные и псевдодифферещируе-мые действительнозначные лкры на неархимедовом, банаховом пространстве // Analysis Mathematica. - 2002. - T. 28. - С. 287316. - 2,5 п.л.

[26] Khrennikov A., Ludkovsky S.V. On infinite products of non-Archimedean measure spaces, j / Indagationes Mathematical. -2002. - T. 13. - JV« 2. - C. 177-183. - (авторский вклад 50 %). - 0,78 п.л.

[27] Людковский С.В. Неархимедовы свободные банаховы пространства // Фундаментальная и прикладная математика. - 1995.

- Т. 1. - JY« 4. - С. 979-987. - 0,98 п.л.

[28] Людковский С.В. Топологические группы и их к-метрики // Успехи математических наук. - 1993. - Т. 48. - № 1. - С. 173-174. - 0,25 п.л.

[29] Людковский С.В. Квазиинвариантные и псевдодифференцируе-мые лгеры со значениями в неархимедовых полях на неархимедовых банаховых пространствах // Фундаментальная и прикладная математика. - 2005. - Т. 9. - № 1. - С. 149-199. - 5,35 п.л.

[30] Людковский С.В. Квазиинвариантные меры на группах петель римановых многообразий / / Доклады Академии наук. - 2000.

- Т. 370. - № 3. - С. 306-308. - 0,5 п.л.

[31] Людковский С.В. Нормальные семейства функций и группы псевдоконформных диффеоморфизмов кватернионных и октонион-ных переменных // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2006. - Т. 18. - С. 101-164. - 9,20 п.л.

[32] Ludkovsky S.V. Topological transformation groups of manifolds over поп-Archimedean fields, their representations and quasi-invariant measures. / // Journal of Mathematical Sciences. - 2007. - V. 147. -№ 3. P. 6703-6846. - 22,5 п.л.

[33] Ludkovsky S.V. Stochastic processes on geometric loop groups, diffeomorphism groups of connected manifolds, and associated unitary representations 11 Journal of Mathematical Sciences. - 2007. - V. 141. -№ 3. - P. 1331-1384. - 8,43 п.л.

[34] Ludkovsky S.V. Differentiability of functions: approximate, global and differentiability along curves over non-archimedean fields // Journal of Mathematical Sciences. - 2009. - V. 157. - № 2. - P. 311-366. - 8,75 îut.

[35] Ludkovsky S.V. Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures with values in non-Archimedean fields on a non-Archimedean Banaeh space // Journal of Mathematical Sciences. - 2004. - V. 122. - № 1. - P. 29492983. - 5,46 II.JI.

[36| Ludkovsky S.V. Generalized geometric loop groups of complex manifolds, Gaussian quasi-invariant measures on them and their representations // Journal of Mathematical Sciences. - 2004. - V. 122. - № 1. - P. - 29843011. - 4,37 II.JI.

[37| Ludkovsky S.V. Infinite dimensional unitary representations of dense subgroups of exotic groups // Far East Journal of Mathematical Sciences.

- 2009. - V. 32. - № 2. - P. 169-180. - 0,9 II.JI.

[38J Ludkovsky S.V. Irreducible unitary representations of a diffeomorphisms group of an infinite-dimensional real manifold // Rendiconti dell'Istituto di Matemica dell'Università di Trieste. Nuova Serie. - 1998. - V. 30. - P. 21-43. - 1,77 II.JI.

[39] Ludkovsky S.V. Irreducible unitary representations of non-Archimedean groups of diffeomorphisms // Southeast Asian Bulletin of Mathematics.

- 1998. - V. 22. - № 3. - P. 419-436. - 4,27 n.Ji.

[40] Ludkovsky S.V. Quasi-invariant measures on a group of diffeomorphisms of an infinite-dimensional real manifold and induced irreducible unitary representations // Rendiconti dell'Istituto di Matemica dell'Università di Trieste. Nuova Serie. - 1999. - V. 31. - P. 101-134. - 2,61 II.ji.

[41] Ludkovsky S.V. Properties of quasi-invariant measures on topological groups and associated algebras // Annales Mathématiques Blaise Pascal.

- 1999. - V. 6. - № 1. - P. 33-45. - 1,17 n.Ji.

[42j Ludkovsky S.V. Quasi-invariant measures on non-Archimedean groups и semigroups of loops и paths, their representations. I, II // Annales Mathématiques Blaise Pascal. - 2000. - V. 7. - № 2. - P. 19-53, 55-80. -5,49 п.ji.

[43] Ludkovsky S.V. Poisson .measures for topological groups and their representations // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. - 2002. -V. 25. - № 4. - P. 653-680. - 3,15 пл.

[44] Ludkovsky S., Diarra B. Profinite and finite groups associated with loop and diffeomorphism groups of non-Archimedean manifolds // Internatinal Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. - 2003. - V. 2003. - № 42. - P. 2673-2688. - (авторский вклад 50 %). - 1,6 п.л.

[45] Ludkovsky S.V. Semidirect products of loops and groups of diffeomorphisms of real, complex and quaternion manifolds, and their representations. Focus on Groups Theory Research. Editor Ying L.M. - P. 59-136.- New York: Nova Science Publishers, Incorporation, 2006. - 10,96 п.л.

[46] Ludkovsky S.V. Groups of diffeomorphisms and wraps of manifolds over non-archimedean fields. Lie Groups. New Research. Editor Canterra A.B. - P. 563-600.- New York: Nova Science Publishers, Incorporation, 2009. - 4,81 п.л.

[47] Ludkovsky S.V. Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures in Banach spaces. - New York: Nova Science Publishers, Incorporation, 2009. - 28,41 п.л.

[48] Ludkovsky S.V. Stochastic processes on totally disconnected topological groups // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. - 2003. - V. 2003. - № 48. - P. 3067-3089. - 2,3 п.л.

[49] Ludkovsky S.V., Diarra B. Spectral integration and spectral theory for non-Archimedean Banach spaces // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. - 2002. - V. 31. - № 7. - P. 421-442. - (авторский вклад 50 %). - 2,2 п.л.

[50] Ludkovsky S.V. A structure and representations of diffeomorphism groups of non-Archimedean manifolds // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. - 2003. - V. 26. P. 975-1004. - 3,37 iiji.

(51| Ludkovsky S.V. Stochastic processes on non-Archimedean Banach spaces // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. -2003. - V. 2003. - № 21. - P. 1341-1363. - 2,30 n.ji.

[52] Ludkovsky S.V. Stochastic antiderivational equations on non-Archimedean Banach spaces // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. - 2003. - V. 2003. - № 41. - P. 2587-2602. -1,6 n.Ji.

Подп. к печ. 08.09.2010 Объем 2.25 п.л. Заказ №81 Тир 100 экз.

Типография MILL У

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Людковский, Сергей Викторович

I ГЛАВА. Неархимедовы группы диффеоморфизмов и обёрток.стр. 21.

§1. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравномерных пространств. . стр. 21.

§1.1. Введение. . стр. 21.

§1.2. Обозначения и предварительные сведения. . стр. 21.

§1.3. Полиэдральные разложения. . стр. 32.

§1.4. Абсолютные полиэдральные разложения и их применения. . стр. 36.

§2. Вложения неархимедовых банаховых многообразий в неархимедовы банаховы пространства. . стр. 37.

§3. Неархимедовы группы диффеоморфизмов. . стр. 38.

§3.1. Введение, стр. . 38.

§3.2. Топологии неархимедовых групп диффеоморфизмов. стр. 38.

§3.3. Структура групп диффеоморфизмов. . стр. 49.

§4. Неархимедовы группы обёрток. . стр. 67.

§4.1. Введение. . стр. 67.

§4.2. Моноиды обёрток. . стр. 67.

§4.3. Группы обёрток. . стр. 82.

§5. Проконечные и конечные группы ассоциированные с неархимедовыми группами диффеоморфизмов и обёрток. . стр. 84.

§5.1. Введение. . стр. 84.

§5.2. р-адические компактификации групп диффеоморфизмов. . стр. 84.

§5.3. р-адические компактификации групп обёрток. . стр. 90.

II ГЛАВА. Квазиинвариантные меры на неархимедовых банаховых пространствах. . стр. 98.

§1. Действительнозначные квазиинвариантные меры. . стр.

§2. Квазиинвариантные и псевдодифференцируемые меры со значениями в неархимедовых полях на неархимедовых банаховых пространствах. . стр. 123.

§2.1. Введение. . стр. 123.

§2.2. Слабые распределения и семейства мер. . стр. 125.

§2.3. Квазиинвариантные меры. . стр. 132.

§2.4. Псевдодифференцируемые меры. . стр. 143.

§3. Неархимедовы стохастические процессы на неархимедовых банаховых пространствах. . стр. 146.

III.

ГЛАВА. Квазиинвариантные меры на группах диффеоморфизмов и обёрток неархимедовых многообразий. . стр. 151.

§1. Квазиинвариантные и псевдодифференцируемые меры на группах обёрток. . стр. 151.

§1.1. Введение. . стр. 151.

§1.2. Меры на полугруппах и группах обёрток. . стр. 152.

§2. Меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых многообразий. . стр. 162.

§2.1. Введение. . стр. 162.

§2.2. Специфические изоморфизмы пространств. . стр. 162.

§2.3. Квазиинвариантные и псевдодифференцируемые меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых многообразий. . стр. 167.

§3. Стохастические процессы на вполне несвязных группах. . стр. 174.

IV. ГЛАВА. Представления групп с помощью квазиинвариантных мер. Непрерывность и измеримость представлений. . стр. 175.

§1. "Унитарные представления групп с помощью квазиинвариантных мер. . стр. 175.

§1.1. Введение. . стр. 175.

§1.2. Регулярные унитарные представления групп с помощью квазиинвариантных мер. . стр. 175.

§2. Представления с помощью мер на многообразиях. . стр.

§2.1. Представления неархимедовых групп диффеоморфизмов. . стр. 188.

§2.2. Представления групп диффеоморфизмов действительных банаховых многообразий. . стр. 199.

§3. Представления с помощью пуассоновых мер на конфигурационных пространствах. . стр. 206.

§3.1. Введение. . стр. 206.

§3.2. Пуассоновы меры. . стр. 207.

§3.3. Унитарные представления ассоциированные с пуассо-новыми мерами. . стр. 216.

§4. Индуцированные представления с подгрупп и разложения представлений. . стр. 234.

§5. Непрерывность представлений топологических групп. . стр. 242.

§6. Измеримость представлений топологических групп. . стр. 256.

§6.1. Локально компактные группы. . стр. 257.

§6.2. Абелевы группы. . стр. 271.

§6.3. Группы петель и их обобщения. . стр. 271.

§6.4. Группы Банаха-Ли и ядерные группы Ли. . стр. 273.

§7. Измеримость автоморфизмов топологических групп. . стр. 275.

Введение диссертация по математике, на тему "Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий"

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одним из важнейших разделов современной алгебры является топологическая алгебра, которая берёт своё начало с работ С. Ли о топологических группах 1 и работ о неархимедовых полях, например, р-адических чисел впервые введённых К. Гензелем 2. Всевозможные локальные поля возникающие из поля рациональных чисел с помощью пополнений по мультипликативным нормам были описаны А. Островским 3.

Часть топологической алгебры, посвященная структуре, и представлениям локально компактных групп хорошо разработана. Этим вопросам были посвящены многочисленные статьи и книги. При этом активно использовались (неотрицательные) меры Хаара на локально компактных группах, которые инвариантны при левых или правых сдвигах, порожденных элементами группы. Это послужило основой для теории С*-алгсбр или вполне регулярных коммутативных колец, которые использовались в теории унитарных представлений. При изучении представлений локально компактных групп С*-алгебры возникают как алгебры операторов ассоциированные с унитарными представлениями. Также широко используются банаховы *-алгебры или банаховы симметричные коль

1S. Lie, Math. Ann. 16 (1880), 441-528.

2K. Hensel, Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 6: 1 (1899), 83-88

3A. Ostrowski, Math. Zeit. 39 (1935), 269-404. ца как алгебры функций ¿^(С?, С) со значениями в поле комплексных чисел С относительно свёртки на локально компактной группе (7 с нетривиальной (неотрицательной) мерой Хаара /1 или С*-алгебры на пространстве Ь2{в, /х, С) для локально компактной абелевой группы или компактной группы [72, 28].

Однако, согласно теореме А. Вейля [120], существование нетривиальной неотрицательной меры, лево (или право) квазиинвариантной относительно всей топологической группы, влечет ее локальную компактность. Это означает, что на топологической не являющейся локально компактной группе С? мера может быть лево (или право) квазиинвариантной лишь относительно собственной подгруппы С, С ф С. Это препятствует применению традиционных банаховых *-алгебр или С*-алгебр для исследования представлений групп, так как алгебры, ассоциированные с квазиинвариантными мерами топологических не являющихся локально компактными групп, обладают гораздо более бедной структурой: они некоммутативны и неассоциативны. Таким образом, для топологических не являющихся локально компактными групп эта область была менее разработанной.

Имеются существенные различия в теории представлений локально компактных групп и не локально компактных топологических групп. Далее рассматриваются Хаусдорфовы топологические группы, что не является сильным ограничением, так как аксиома отделимости То для топологической группы влечёт выполнение аксиомы Т3.5 в силу примера 8.1.17 и теоремы 8.1.20 [46]. Так каждое сильно непрерывное неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно и, следовательно, сильно непрерывно. При этом групповой гомоморфизм Т : (? —» и(Н) называется унитарным представлением, то есть, 7};/ = ТдТ/ для любых 5,/бС1, Тд-\ —Т*- эрмитово сопряженный унитарный оператор, Те = I - единичный оператор на Н для единичного элемента е £ С, где 17(Н) - унитарная группа, а Н - гильбертово пространство над полем комплексных чисел С.

Определение. Представление Т топологической группы С в унитарную группу II (Н) называется непрерывным (сильно непрерывным), если

Т непрерывен относительно топологии в U(H) индуцированной операторной нормой (сильной операторной топологией соответственно).

Для локально компактных абелевых (то есть, коммутативных) групп непрерывное унитарное представление всегда одномерно, то есть является характером. Тогда как для нелокально компактных абелевых групп могут быть бесконечномерные топологически неприводимые сильно непрерывные унитарные представления [13, 51]. Для некоммутативных локально компактных групп сильно непрерывные топологически неприводимые унитарные представления могут быть бесконечномерными.

Для классических некомпактных локально компактных групп .Пи бесконечномерные унитарные представления были построены в работах И.М. Гельфанда и М.А. Наймарка, например, для группы аффинных преобразований прямой, SX(n,R), SL(n, С), 50(п, С) при п > 2, SU(n,m), SO(n,m) при nm > 2 4. Они использовали в своих работах лево или правоинвариантные меры Хаара на этих группах. Конечномерные группы Ли обладают тем преимуществом, что они ещё удовлетворяют, по крайней мере локально, формуле Кэмнбелла-Хаусдорфа, устанавливающей биективное соответствие между локальной группой и отвечающей ей алгеброй Ли. В случае бесконечномерных групп Ли формула Кэмпбелла-Хаусдорфа не обязана выполняться даже локально.

Еще в шестидесятых годах прошлого века один из основоположников теории представлений локально компактных групп И.М. Гельфанд сформулировал проблему о построении унитарных представлений топологических (не являющихся локально компактными) групп с помощью квазиинвариантных мер на них или соответствующих конфигурационных пространствах. Возможные подходы к решению этой проблемы построения унитарных представлений с помощью квазиинвариантных мер обсуждали A.A. Кириллов и У. Макки хотя У. Макки занимался главным образом индуцированными представлениями локально компактных групп. Частные случаи над полем вещественных чисел рассматривали

4М.А. Наймарк, "Нормированные кольца" (Москва: Наука, 1968); И.М. Гельфанд, М.А. Наймарк, Труды МИАН им. Стеклова, 36 (1950).

5А.А. Кириллов, Усп. Матом. Наук, 22: 5 (19G7), G7-8U; G.W. Makkey, Ann. of Math., 58: 2 (1953), 193-221. также P.C. Исмагилов для группы диффеоморфизмов локально компактных римановых многообразий, например, Евклидова пространства Rn, единичной окружности S1. Эти частные случаи изучали также Ю.А. Неретин и A.B. Косяк. Но над неархимедовыми полями никто это ранее диссертанта не исследовал.

Различным топологизациям групп диффеоморфизмов и их связно-стям классов гладкости бесконечно дифференцируемых отображений С°° и ио Соболеву локально компактных римановых многообразий был посвящен ряд работ Д.Дж. Эбин, Дж. Марсден, X. Омори 6. Представления групп диффеоморфизмов локально компактных римановых многообразий с помощью квазиинвариантных пуассоновых мер исследовались в 7. При этом случаи групп для многообразий над неархимедовыми полями ранее не рассматривались.

Интерес к топологическим (в особенности, не являющимся локально компактными) группам объясняется как развитием самой математики, так и естественно возникающими потребностями в них теоретической и математической физики, например, квантовой механики на многообразиях, теории суперструн, квантовой гравитации, калибровочной теории и даже в такой традиционной области как гидродинамике [6, 62, 43, 86, 72, 11, 27, 50]. При этом большую роль в квантовой механике и калибровочной теории приобретают стохастические процессы. Среди них наиболее важны группы диффеоморфизмов и геометрические группы обёрток многообразий (как семейств эквивалентности отображений / : M —» N одного многообразия M в другое N, сохраняющих отмеченные точки s0 G M и г/о G N, f(s0) = y0).

С другой стороны, значительная часть топологической алгебры посвящена топологическим полям, теории чисел и неархимедову анализу. Более того, теория топологических полей исторически послужила отправной точкой развития топологической алгебры. В отличии от классического анализа (то есть над полями R вещественных чисел и С комплексных чисел) неархимедов анализ сравнительно молод, многие из его

6D.G. Ebin, J. Marsden, Ann. of Math. 92 (1970), 102-163; II. Omori, J. Mat. Soc. Japan, 24: 1 (1972), 00-88; H. Omori, Trans. Ашег. Math. Soc. 179 (1973), 85-121.

7A.M. Вершик, И.M. Гельфанд, И.М. Граев, Успехи Матем. Наук, 30 : 5 (1975), 3-50.

разделов разработаны недостаточно.

Имеются принципиальные различия между классическим и неархимедовым анализами. Многообразия над неархимедовыми полями вполне несвязны. Нормированное пространство X над пеархимедовым полем можно представить в виде дизъюнктного объединения шаров, и каждая пара шаров в X либо не пересекается, либо один их них содержится в другом. При этом замкнутый шар положительного радиуса в X также открыт, то есть открыто-замкнут в X. В классическом случае большую роль играют гильбертовы пространства над R или С, но в неархимедовом случае билинейная форма на линейном пространстве над Qp не может дать нормы.

Для неархимедовых метрических пространств (X, d) вместо неравенства треугольника выполнятеся более сильное ультраметрическое неравенство: d(x,z) < max(d(x,y),d(yJ z)) для любых x,y,z Е X, где d - ультраметрика на X. Равномерное пространство становится ульраравиомерным с соответствующим ультра неравенством в терминах окружений диагонали. Для равномерных пространств X. Фрейденталь, Дж. Р. Исбелл и И. М. Козловский 8 развили теорию их полиэдральных разложений в виде пределов обратных спектров, где полиэдры брались в банаховых или нормированных пространствах над полем вещественных чисел R, но оставалась проблема содержательных разложений для ультраравномерных пространств. В диссертации также представлено решение этой проблемы с полиэдрами в банаховых или нормированных пространствах над неархимедовыми локально компактными полями. Это послужило также для изучения структур групп преобразований неархимедовых многообразий и самих многообразий в качестве равномерных пространств.

В классическом случае при определённых условиях бесконечномерное многообразие над R можно вложить в соответствующее линейное пространство над R в качестве открытого подмножества 9. В диссертации

8Н. Freudenthal, Compositio Mathem. 4: 2 (1937), 145-234; J.R. Isbell, Indag. Mathem., Ser А, 23: 2 (ÍOCI), 242-248; J.R. Isbell, Amer. Mat. Soc. Surv. 12 (1964); И.М. Козлонский, Труды Моск. Матем. Общ., 40 (1979), 83-119.

9D.W. Henderson, Topology, 9 (1970), 25-35. был доказан специфический неархимедов вариант о вложении вполне несвязного бесконечномерного многообразия над неархимедовым нолем К при определённых условиях в качестве открыто-замкнутого подмножества в бесконечномерное линейное пространство над К.

Пространства непрерывных функций на вполне несвязных компактах со значениями в неархимедовых полях полных как равномерные пространства имеют локальные разложения в ряды по базисным многочленам 10. Аналитические функции на поле р-адических чисел Qp даже при г G Qp, где г2 = —1, имеют отличные свойства от комплексных голоморфных функций. Теорема Лиувилля о комплексно голоморфных функциях для них не выполняется, так как существуют аналитические функции / : Qp —» Qp ограниченные и отличные от постоянных 11.

До работ В.Х. Шикова главным образом использовались пространства аналитических функций р-адических чисел, что полезно в теории жёсткой геометрии, теории гомологий и когомологий неархимедовых аналитических многообразий и математической физике, но является довольно ограничительным 12. Несколькими годами позже В.Х. Шиков исследовал неархимедовы функции классов гладкости Сп типа Гёльдера 13. Для их корректного определения он использовал не только операторы дифференцирования, но также операторы разделённых разностей для функций и непрерывные продолжения этих операторов, когда они существуют. При этом получается, что пространство Сп+1([/, Qp) вкладывается компактным оператором в Cn(U, Qp) аналогично классическому случаю над нолем действительных чисел, тогда как при использовании одного лишь дифференцирования над Qp получается обратное включение, где U - компактное открыто-замкнутое подмножество в Qp, п G N. Он работал с конечномерными линейными пространствами над неархимедовыми полями. Эти поля могут быть локально компактными или не локально

10Y. Amice, Bull. Soc. Math. France, 92 (1964), 117-180.

11W.H. Schikhof, "Ultrametric calculus"(Cambridge: Cambrdge Univ. Press, 1984).

12.J. Tate, "Rigid analytic spaces" (Bures, France: IH KS, 1962); .J. Fresnel, M. van dor Put "Geometrie analytique rigide et applications" (Boston: Birkhäuser, 1981); B.C. Владимиров, И.В. Волович, Е.И. Зеленов, "р-адический анализ и математическая физика"(Москва: Наука, 1994).

13W.H. Schikhof, "Non-Archimedean calculus", Report 7812 (Nijmegen, The Netherlands: Math. Inst., Kath. Univ., 1978) компактными.

Напомним, что под локальным полем понимается коммутативное недискретное локально компактное поле. В дальнейшем рассматриваются ноля нулевой характеристики, если не оговорено иное.

Для исследования нелокально компактных групп преобразований многообразий над неархимедовыми полями в диссертации потребовалось развить эту теорию на случай пространств функций на бесконечномерных линейных пространствах над неархимедовыми полями и, затем, развить с помощью таких пространств над неархимедовыми полями нежесткую геометрию, изучить многообразия и их топологические группы преобразований. Это было также необходимо для построения стохастических процесов и квазиинвариантных мер на многообразиях и топологических группах.

В неархимедовом анализе для функций из поля р-адических чисел в поле действительных чисел R, используется понятие псевдодифференци-руемости, которое было перенесено с классического случая на неархимедов в 14. Это связано с тем, что кроме локально постоянных функций не существует дифференцируемых функций из открытого подмножества в Qp в ft. Это послужило мотивацией для исследования в диссертации наряду с квазиинвариантностью также псевдодифференцируемости мер на неархимедовых банаховых пространствах X со значенмяи в R или локальном поле отличном от неархимедова поля над которым задано X.

Основы теории мер и интегрирования со значениями в неархимедовых полях заложили преимущественно А.П. Монна, Т.А. Спрингер, А.С.М. ван Роой и В.Х. Шиков 10. Неархимедовыми аналогами вероятностей

14В.С. Владимиров, Успехи Матем. Наук, 43: 5 (1989), 17-53.

15А.Р. Monna, Т.А. Springer, Indag. Math. 25: 4 (1963), 634-653; А.С.М. van Rooj, W.H. Schikhof, Indag. Math., Ser. A, 31 (1969), 190-199; W.H. Schikhof, Indag. Math., Scr. A, 33: 1 (1971), 78-85. занимался также А.Ю. Хренников 16 Но ни они, ни другие авторы не изучали в достаточной степени квазиинвариантные меры со значениями в ноле действительных чисел или неархимедовом на бесконечномерных банаховых пространствах или многообразиях над неархимедовыми полями. Так, например, не было теорем о квазиинвариантности или псев-додифференцируемости мер на бесконечномерных банаховых пространствах над неархимедовым полем относительно линейных и нелинейных операторов, удовлетворяющих определенным условиям. Поэтому стояла проблема развития такой теории квазиинвариантных мер на бесконечномерных банаховых пространствах и многообразиях над неархимедовыми полями. Это было необходимо для построения квазиинвариантных мер и стохастических процессов на нелокально компактных группах преобразований.

В неархимедовом случае теория операторных алгебр также весьма специфична. Под С*-алгебрами над неархимедовыми полями имеются в виду другие объекты по сравнению с операторными алгебрами над полем комплексных чисел, а теорема Гельфанда-Мазура для неархимедовых алгебр не выполняется в общем случае 17.

В частности, не были изучены группы обёрток и группы диффеоморфизмов неархимедовых многообразий, а также квазиинвариантные меры даже на неархимедовых банаховых пространствах. Для классических многообразий группы петель были исследованы лишь для римано-вых многообразий и только для М, являющейся единичной окружностью S1. Эти группы не удовлетворяют даже локально формуле Кэмибелла-Хаусдорфа. Для многообразий отличных от окружности или сферы петлевая интерпретация теряется, поэтому они названы группами оберток. Известны группы, называемые также группы петель, но под ними имеют в виду группы Сп-отображений многообразия М в локально компактную группу Ли с поточечной операцией умножения, поэтому эти группы удовлетворяют локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. Структуре и представлениям таких бесконечномерных групп был иосвящён ряд ра

16Л. Khrennikov, "Interpretations of probability"(Utrecht: VSP, 1999).

17A.C.M. van Rooij, "Non-Archimedean functional analysis"(New York: Marcel Dekker Inc., 1978). бот 18, поэтому они не являются главным объектом изучения данной диссертации.

Впервые группы петель для отображений из окружности в локально компактные римановы многообразия были введены С. Лефшецем 19 Для многообразий над неархимедовыми полями они ранее не изучались. Для общих многообразий отличных от окружности и сферы петлевая интерпретация уже теряется, поэтому их обобщения также названы группами обёрток. Необходимо отметить, что для многообразий над неархимедовыми полями их конструкция и топологизация в диссертации существенно отличны от случая римановых многообразий.

Несмотря на то, что группы диффеоморфизмов и обёрток могут быть сами снабжены структурой гладкого многообразия с дифференцируемыми групповыми операциями, они не удовлетворяют ни в какой окрестности единичного элемента (локально) формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. Поэтому их исследование существенно отличается от групп Ли, локально удовлетворяющих формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа.

Проблема об исследовании стохастических процессов и квазиинвари-аптиых переходных мер на топологических, возможно, не являющихся локально компактными, группах Ли, не удовлетворяющих локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа и об отыскании для группы G ее плотной подгруппы G', относительно которой мера квазиинвариантна обсуждалась и ставилась Макки, Кирилловым, Гельфандом в их статьях и Далецким в главе 6 книги [55]. В неархимедовом случае эта проблема практически не рассматривалась ранее.

Для построения представлений вполне несвязных групп преобразований многообразий над неархимедовыми полями стояла ассоциированная проблема в построении квазиинвариантных мер с помощью теории стохастических процессов на неархимедовых банаховых пространствах и многообразиях. Поскольку данный предмет не является главным в диссертации, то это описывается лишь кратко и подробно дано в опублико

18A.M. Вершик, И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Успехи Матем. Наук, 28: 5 (1973), 83-128; Э. Прессли, Г. Сигал, "Группы петель" (Москва: Мир, 1990); Ю.А. Неретин, "Категории симметрии и бесконечномерные группы" (Москва: Эдиториал УРСС, 1999) и ссылки в них

19S. Lefschetz, "Introduction to topology"(New Jersey: Princeton, 1949); P. Gajer, in: "Advances in Geometry", J.-L. Brylinski ed., Progr. Math. 172 (1999), 195-235 (Boston: Birkhaüser, 1999). ванных статьях автора, приведенных в списке литературы. Эта задача имела специфические особенности: необходимо было исследовать стохастические процессы на пространствах функций (непрерывных или интегрируемых) из линейного пространства X над локальным нолем К в линейное пространство Y над К и распространить затем эту теорию на случай соответствующих равномерных пространств отображений из многообразия M в многообразие N над К и далее на вполне несвязные группы, которые могут быть нелокально компактными. Эта проблема ранее не рассматривалась, хотя имелись некоторые работы о стохастических процессах на пространствах функций со значениями в поле комплексных чисел С, а также для стохастических процессов с переходными действительнозначными мерами с компактными носителями , которые нельзя было использовать для построения квазиинвариантных мер на вполне несвязных группах, которые могут быть нелокально компактными. Необходимо отметить, что ранее рассматривались стохастические псевдодифференциальные уравнения, использующие операторы Владимирова. В то время как для стохастических процессов на вполне несвязных многообразиях и группах нужно было исследовать иеархимедовы алгебраические стохастические антидифференциальные уравнения, основанные на операторах антидифференцирования по Шикову, что обнаружилось в процессе изучения данной проблемы. Неархимедовы алгебраические стохастические процессы не являются главным предметом данной диссертации, поэтому они лишь кратко описаны в тексте диссертации, а подробно они даются в цитируемых статьях и книгах, в том числе автора диссертации.

20А.Х. Бикулов, И.В. Волович, Изв. РАН Сер. Матем. 61: 3 (1997), 75-90; S.N. Evans, Proc. London Math. Soc. (3) 56: 2 (1988), 380-416; S.N. Evans, .1. Theorot. Probab. 6: 4 (1993), 817-850; A.N. Kochubei, "Pseudo-differential equations and stochastics over non-Archimedean fields" (New York: Marcol-Dekker, 2001). теоремы Колмогорова о продолжении цилиндрического распределения со значениями в неархимедовом поле до меры. Эта проблема, была сформулирована А.С.М. ван Роой около двенадцати лет тому назад [146, 144]. Практически в диссертации была решена более общая проблема для проективной системы пространств с мерами, включающей в себя также впервые сформулированный и доказанный нерахимедов аналог теоремы Прохорова, откуда, в частности, был выведен неархимедов аналог теоремы Колмогорова 21.

При изучении унитарных представлений как правило используются непрерывные или дифференцируемые представления. Изучение дифференцируемое™ представлений важно, так как позволяет, например, с помощью представлений групп Ли строить представления соответствующих алгебр Ли. Поэтому вопрос дифференцируемости представлений тоже рассматривался в диссертации.

Реже изучаются разрывные представления. Впервые для локально компактных групп Бихтелер 22 доказал существование разрывных представлений. Однако вопрос о существовании неизмеримых представлений топологических групп является более тонким и ранее не исследовался.

К этому вопросу тесно примыкает также другая проблема о восстановлении унитарного представления группы по ее ограничениям на подгруппу. Хорошо известна теория Фробениуса-Макки об индуцированных представлениях для локально компактных групп. В ней используется мера Хаара. Для топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп теория индуцированных представлений с помощью квазиинвариантных мер была практически неразработанной. С другой стороны, важно знать имеет ли данная подгруппа нетривиальные унитарные представления. Топологическая группа, не имеющая непрерывных нетривиальных унитарных представлений, называется экзотической. Такие группы почти не были исследованы и впервые были введены в 1975 году 23 В статьях автора диссертации эта тема была также продолжена для подгрупп топологических (возможно, не являющихся

21С.В. Людковский, Фундам. и Прикл. Матем. 7: 4 (2001), 1091-1105.

22К. Bichteler, Invent. Math., 6 (1968), 159-162.

2:iW. Herer, J. Christensen, Math. Annal. 213: 3 (1975), 203-210. локально компактными) групп, таких как группы петель.

Эта тема исследований обсуждалась диссертантом также с академиком, доктором физико-математических наук Гельфандом Израилем Моисеевичем летом 1996 года на математическом отделении международного института теоретической физики (1СТР) в г. Триесте в Италии. Гельфанд И.М. отметил, что это направление исследований интересно, актуально, является новым и важным как для теории представлений, так и для неархимедова анализа. Более того, Гельфанд И.М. предложил развить его теорию, опубликованную совместно с Вершиком и Граевым в Успехах математических наук в 1975 году, о пуассоновых мерах на конфигурационных пространствах и унитарных представлениях групп диффеоморфизмов римановых многообразий на новый случай групп диффеоморфизмов неархимедовых многообразий.

Целью работы является:

4) Исследование ассоциированных с квазиинвариантными мерами алгебр и унитарных представлений, также их измеримости, непрерывности, восстановлению их по ограничению на подгруппу, исследование индуцированных представлений, изучение существования экзотических и неэкзотических подгрупп топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп.

Научная новизна Основные результаты диссертации следующие:

1) Определены группы диффеоморфизмов и группы обёрток многообразий на банаховых пространствах над неархимедовыми полями. При этом для этих групп рассмотрены как конечномерные, так и бесконечномерные многообразия над соответствующими полями. Для групп диффеоморфизмов и групп обёрток исследована их групповая и также топологическая структура. Доказано, что эти группы вполне несвязны и не удовлетворяют локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. В неархимедовом случае по сравнению с классическим найдены принципиальные отличия в их строении.

Все основные результаты глав 1-5 получены автором диссертации и являются новыми. Тем самым в пунктах (1 — 5) решена проблема И.М. Гельфанда об унитарных представлениях не локально компактных групп, в пунктах (1,3) решена проблема Макки-Кириллова-Гельфаида о мерах на не локально компактных группах, в пункте (2) решена проблема А.С.М. ван Роой о неархимедовых мерах на банаховых пространствах, в пункте (6) решена проблема об индуцированных представлениях топологических, возможно, не являющихся локально компактными, групп (как развитие по сравнению со случаем локально компактных групп соответствующей теории Макки), в пункте (7) решена обобщенная проблема Бихтелера о существовании неизмеримых унитарных представлений.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

1) "Groups'97nB университете г. Бат (Англия) в августе 1997 г.;

2) "Italian-Spanish conference on general topology and applications "в университете г. Триест (Италия) в 1999 г.;

3) "Workshop on measure theory and real analysis11 в университете г. Гори-ция (Италия) в 1999 г.;

4) "p-Adic analysis'^ университете г. Векшё (Швеция) в 2001 г.; на семинарах:

5) теоретического отдела института Общей физики РАН в 1997 г.;

6) отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН в 1998 и 2010 г.г.;

7) лаборатории чистой математики университета г. Клермон-Ферран (Франция) в 1999 г.;

8) математического отделения университета г. Триеста (Италия) в 1999 г.;

9) математического отделения университета г. Сиена (Италия) в 2000 г.;

10) факультета прикладной математики университета г. Эльче (Испания) в 2000 г. и в 2001 г.;

11) математического отделения Фламандского университета ULB г. Брюсселя (Бельгия) в 2004 г.;

13) математического отделения университета г. Антверпена (Бельгия) в 2004 г.;

14) математического отделения университета г. Падова (Италия) в 2004 г.;

15) математического отделения университета г. Милана (Италия) в 2005 г-;

16) математического факультета университета г. Дармштадта (Германия) в 2006 г.;

17) кафедры высшей математики Московской государственной академии приборостроения и информатики в 2005 г.;

18) кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета в 2009 г.;

19) конференции и заседании кафедры прикладной математики Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета) МИРЭА в 2006 г. и 2009; на семинарах Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова:

20) П.С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии в 19972002 годах;

21) кафедры высшей алгебры в 2000, 2001, 2003, 2004, 2007 и 2009 годах;

22) кафедры высшей геометрии и топологии в 1998-2000 и 2004 годах;

23) кафедры теории функций и функционального анализа в 2002, 2003 и 2007 годах.

Публикации Результаты по теме диссертации опубликованы в работах автора [121] - [172], при этом основные результаты опубликованы в работах [121]-[170]. Все результаты диссертации опубликованы в журнальных статьях.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 5 глав и 19 параграфов. Полный объем диссертации - 314 страниц (в том числе оглавление и введение - 19 страниц), приложение занимает 57 страниц. Библиография включает 173 наименования и занимает 16 страниц.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Людковский, Сергей Викторович, Москва

1. Бахтурип Ю.А. Основные структуры современной алгебры. -Москва: Наука, 1990.

2. Березанский Ю.М., Кондратьев Ю.Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. Киев: Наукова думка, 1988.

3. Бикулов А.Х., Волович И.В. р-адическое броуновское движение // Известия РАН. Серия матем. 1997,- Т. 61. - № 3,- С. 75-90.

4. Бурбаки Н. Многообразия. Москва: Мир, 1975.

5. Бурбаки Н. Интегрирование. Главы 1-9. Москва: Наука, 19701977.

6. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Москва: Мир, 1976.

7. Вахания H.H., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. Москва: Наука, 1985.

8. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. Москва: Иностр. Лит., 1947.

9. Вершик A.M., Гельфанд И.М., Граев М.И. Представления группы диффеоморфизмов // Успехи матем. наук. 1975.- Т. 30.- № 5.- С. 3-50.

10. Владимиров B.C. Обобщенные функции над полем р-адических чисел / / Успехи матем. наук. 1989.- Т. 43,- № 5.- С. 17-53.

11. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленов Е.И. р-адический анализ и математическая физика. Москва: Наука, 1994.

12. Гаптмахер Ф.Р. Теория матриц. Москва: Наука, 1988.

13. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анализа. Обобщенные функции. Т. 4,- Москва: Физ.-Мат. Лит., 1961.

14. Го Х.-С. Гауссовы меры в банаховых пространствах. Москва: Мир, 1979.

15. Далецкий Ю.Л., Шнайдерман Я.И. Диффузия и квазиинвариантные меры на бесконечномерных группах Ли // Функц. анализ и его прил. 1969.- Т. 3.- С. 156-158.

16. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы Т. 1, 2- Москва: Иностр. лит., 1958; 1963.

17. Дйордйевич Г.С., Драгович Б. р-адический и аделъный гармонический осциллятор с зависящей от времени частотой // Теор. и матем. физика, 2000,- Т. 124,- № 2.- С. 1059-1067.

18. Исмагилов P.C. Группы и однородные области, связанные с факторами типа II, и представления групп диффеоморфизлюв, сохраняющих иррациональную обмотку // Алгебра и анализ. 1993.- Т. 5.-№ 1,- С. 215-231.

19. Келли Дж. Общая топология. Москва: Наука, 1980.

20. Кириллов A.A. Введение в теорию представлений и некоммутативный гармонический анализ // Итоги науки и техники. Серия соврем, пробл. матем. 1988.- Т. 22 - С. 5-162.

21. Кириллов A.A. Унитарные представления группы диффеоморфизмов и некоторых ее подгрупп // Инст. Прикл. Матем. АН СССР. -Препринт № 82.- Москва: ИПМ, 1974.

22. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. Москва: Паука, 1978.

23. Козловский И.М. Абсолютные полиэдральные разложения метрических пространств // Труды Моск. матем. общества. 1979.- Т. 40.- С. 83-119.

24. Куратовский К. Топология. Т. 1, 2.- Москва: Мир, 1966, 1969.

25. Ленг С. Алгебра. Москва: Мир, 1968.

26. Марков A.A. О свободных топологических группах // Известия АН СССР. Серия матем. 1945.- Т. 9.- № 1.- С. 3-64.

27. Менский М.Б. Группы путей. Измерения. Поля. Частицы. -Москва: Наука, 1983.

28. Наймарк М.А. Нормированные кольца. Москва: Наука, 1968.

29. Неретин Ю.А. Представления алгебры Вирасоро и аффинных алгебр // Итоги науки и техники. Серия соврем, пробл. матем. 1988. - Т. 22,- С. 163-230.

30. Паринов М.А. О группе диффеоморфизмов, сохраняющих невырожденные аналитические векторные поля // Матем. сборн. -1995,- Т. 186.- № 5,- С. 115-126.

31. Пасынков Б.А. О спектральной разложимости топологических пространств // Матем. сборн. 1965 - Т. 66.- № 1.- С. 35-79.

32. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. Москва: Мир, 1967.

33. Плоткин Б.И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. -Москва: Наука, 1966.

34. Понтрягин J1.C. Непрерывные группы. Москва: Наука, 1984.

35. Прессли Э., Сигал Г. Группы петель. Москва: Мир, 1990.

36. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. Москва: Наука, 1982.

37. Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовом пространстве. -Москва: Наука, 1975.

38. Федерер Г. Геометричекая теория меры. Москва: Наука, 1987.

39. Федорчук В.В., Чигогидзе А.Ч. Абсолютные ретракты и бесконечномерные многообразия. Москва: Наука, 1992.

40. Хренников А.Ю. Математические методы неархимедовой физики. // Успехи матем. наук. 1990.- Т. 45.- № 4.- С. 79-110.

41. Хренников А.Ю., Эндо M. Неограниченность р-адических гауссовых распределений // Известия РАН, Серия матем. 1992.- Т. 56.-С. 1104-1115.

42. Хренников А.Ю. Принцип неопределенности для операторов координаты и импульса в р-адическом гильбертовом пространстве. // Докл. АН СССР. 1997,- Т. 55,- № 2,- С. 283-285.

43. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. -Москва: Наука, 1979.

44. Шавгулидзе Е.Т. Об одной мере, квазиинвариантной относительно действия группы диффеоморфизмов конечномерного многообразия // Докл. АН СССР. 1988.- Т. 303.- № 4,- С. 811-814.

45. Шефер X. Топологические векторные пространства. Москва: Мир, 1971.

46. Энгелькинг Р. Общая топология. Москва: Мир, 1986.

47. Amice Y. Interpolation p-adique // Bull. Soc. Math. France. 1964.-V. 92.- P. 117-180.

48. Araujo J., Schikhof W.H. The Weierstrass-Stone approximation theorem for p-adic Cn-functions // Ann. Math. B. Pascal. 1994.-V. 1,- P. 61-74.

49. Aref'eva I.Ya., Dragovich В., Volovich I.V. On the p-adic summability of the anharmonic oscillator // Phys. Lett. 1988,- V. В 200.- P. 512514.

50. Arnold V.I. Sur la geometrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a l'hydrodynamique des fluides parfaits U Ann. Inst. Grenoble. 1966.- V. 16,- P. 319-361.

51. Banaszczyk W. Additive Subgroups of topological vector spaces. Berlin: Spinger-Verlag, 1991.

52. Banaszczyk W. On the existence of exotic Banach-Lie groups // Math. Annal. 1983,- V. 264,- № 4,- P. 485-493.

53. Banyaga A. The structure of classical diffeomorphism groups. Mathcm. and its Applic. V. 400.- Dordrecht: Kluwer, 1997.

54. Barut A.O., Raczka R. Theory of groups representations and applications. Warszawa: Polish Scient. Publ., 1977.

55. Belopolskaya Ya. I., Dalecky Yu. L. Stochastic equations and differential geometry. Dordrecht: Kluwer, 1989.

56. Bichteler K. On the existence of noncontinuous representations of locally compact groups // Invent. Math. 1968.- V. 6.- P. 159-162.

57. Bochner S., Montgomery D. Groups on analytic manifolds // Annals of Mathem. 1947.- V. 48,- P. 659-668.

58. Bosch S., Guntzer U., Remmert R. Non-Archimedean analysis. Berlin: Spinger-Verlag, 1984.

59. Brylinski J.L. Loop spaces, characteristic classes and geometric quantisation. Progr. in Math. V. 107.- Boston: Birkhauser, 1993.

60. Cahen P.-J., Chabert J.-L. On the ultrametric Stone-Weierstrass theorem on Mahler's expansion // J. de Théorie des Nombres de Bordeaux. 2002,- V. 14,- P. 43-57.

61. Castro C. Fractal strings as an alternative justification for El Naschie's cantorian spacetime and the fine structure constants // Chaos, Solitons and Fractals. 2002,- V. 14.- P. 1341-1351.

62. Cattaneo A.S., Cotta-Ramusino P., Fucito F., Martellini M., Rinaldi M., Tanzini A., Zeni M. Four-dimensional Yang-Mills theory as deformation of topological BF theory // Commun. Math. Phys. 1998.-V. 197.- P. 571-621.

63. Christensen J.P.R. Topology and Borel structure. North-Holland Math. Studies. V. 10.- Amsterdam: Elsevier, 1974.

64. Constantinescu C. Spaces of measures. Berlin: Spinger-Verlag, 1984.

65. Corson H.H., Isbell J.R. Some properties of strong uniformities // Quart. J. Math. I960.- V. 11.- P. 17-33.

66. Dalecky Yu.L., Fomin S.V. Measures and differential equations in infinite-dimensional space. Dordrecht: Kluwer, 1991.

67. Diarra B. Ultraproduits ultrametriques de corps values // Ann. Sei. Univ. Clermont II, Sér. Math. 1984.- V. 22.- P. 1-37.

68. Diarra B. On reducibility of ultrametric almost periodic linear representations // Glasgow Math. J. 1995.- V. 37,- P. 83-98.

69. Diarra B. Sur quelques représentations p-adiques rfe Zp // Indag. Math.- 1979.- V. 41.- № 4,- P. 481-493.

70. Dragovich B. On signature change in p-adic space-time // Modern Phys. Lett. 1991.- V. A 6,- № 25,- P. 2301-2307.

71. Ebin D.G., Marsden J. Groups of Diffeomorphisms and the Motion of Incompressible Fluid // Ann. of Math. 1970.- V. 92.- P. 102-163.

72. Fell J.M.G., Doran R.S. Representations of *-algebras, locally compact groups, and Banach *-algebraic bundles. Boston: Acad. Press, 1988.

73. Fidaleo F. Continuity of Borel actions of Polish groups on standard measure algebras // Atti Sem. Mat. Fiz. Univ. Modena. 2000.- V. 48.-P. 79-89.

74. Fresnel J., Put M. van der. Géométrie analytique rigide et applications.- Boston: Birkhäuser, 1981.

75. Freudenthal H. Entwicklungen von Räumen und ihren Gruppen // Compositio Mathem. 1937,- V. 4,- № 2,- P. 145-234.

76. Gajer P. Higher holonomies, geometric loop groups and smooth Deligne cohomology // In: Advances in Geometry. Editor J.-L. Brylinski. Progr. Math. V. 172.- P. 195-235. - Boston: Birkhäuser, 1999.

77. Gruenberg K. Profinite groups // In: Algebraic number theory. Editors J.W.S.Cassels and A.Frohlich. Chapter V. London: Acad. Press, 1967.

78. Henderson D.W. Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space // Topology. 1970.- V. 9,- P. 25-35.

79. Herer W., Christensen J. On the existence of pathological submeasures and the construction of exotic topological groups // Mathem. Annal. -1975.- V. 213,- № 3.- P. 203-210.

80. Hirai T. Irreducible unitary representations of the group of diffeomorphisms of a non-compact manifold // J. Math. Kyoto Univ. -1993.- V. 33.- № 3,- P. 827-864.

81. Isbell J.R. Euclidean and weak uniformities // Pacif. J. Math. 1958.-V. 8,- № 1,- P. 67-86.

82. Isbell J.R. On finite-dimensional uniform spaces // Pacif. J. Math. -1959.- V. 9.- № 1.- P. 107-121.

83. Isbell J.R. Irreducible polyhedral expansions // Indag. Mathem. Ser. A.- 1961.- V. 23,- № 2,- P. 242-248.

84. Isbell J.R. Uniform neighborhood retracts // Pacif. J. Math. 1961.- V. 11.- № 2,- P. 609-648.

85. Isbell J.R. Uniform spaces // AMS Mathem. Surveys. 1964,- V. 12.

86. Isham C.J. Topological and global aspects of quantum theory. In: Relativity, groups and topology II. Editors B.S. De Witt, R. Stora. -P. 1007-1290,- Amsterdam: Elsevier Sci. Publ., 1984.

87. Jang Y. Non-Archimedean quantum mechanics // Tohoku Math. Publ.- 1998.- V. 10.

88. Khrennikov A.Yu. Ultrametric Hilbert space representation of quantum mechanics with a finite exactness // Found. Phys. 1996.- V. 26,- P. 1033-1054.

89. Khrennikov A.Yu. N on-Archimedean analysis: quantum paradoxes, dynamical systems and biological models. Dordrecht: Kluwer, 1997:

90. Klingenbcrg W. Riemannian geometry. Berlin: Walter de Gruyter, 1982.

91. Kobayashi S. Transformation groups in differential geometry. Berlin: Springer-Verlag, 1972.

92. Kosyak A.V. Irreducible Gaussian representations of the group of the interval and circle diffeomorphisms // J. Funct. Anal. 1994.- V. 125.-P. 493-547.

93. Kunen K. Set theory. Amsterdam: Nort-Holland Pub.Com., 1980.

94. Littlewood D.E. The theory of group characters and matrix representations of groups. Oxford: Oxford Univ. Press, 1950.

95. Mather J. Commutators of diffeomorphisms.I, II // Comment. Math. Helvetici. 1974,- V. 49.- P. 512-528; - 1975. - V. 50.- P. 33-40.

96. Milnor J. Microbundles I // Topology. Supplement № 1. - 1964,- V. 3,- P. 53-80.

97. Mitchell B. Theory of categories. New York: Acad. Press, 1965.

98. Monna A.H., Springer T.A. Integration non-Archimedienne // Indag. Math. 1963,- V. 25.- P. 634-653.

99. Montgomery D., Zippin L. Topological transformation groups. New York: J. Wiley and Sons, 1955.

100. Neumann B.H., Neumann H. Extending partial endomorphisms of groups// Proc. Lond. Math. Soc. Ser. 3. 1952,- V. 2,- P. 337-348.

101. Narici L., Beckenstein E. Topological vector spaces. New York: Marcel Dekker Inc., 1985.102. 0ksendal B. Stochastic differential equations. Berlin: Springer-Verlag, 1995.

102. Omori H. Groups of diffeomorphisms and their subgroups // Trans. Amer. Math. Soc. 1973.- V. 179.- P. 85-121.

103. Puusemp P. Endomorphisms and endomorphism semigroups of groups// In: Focus on Groups Theory Research. Editor Ying L.M. -P. 27-57.- New York: Nova Science Publishers, Inc. 2006.

104. Robert A. Représentations p-adiques irréductibles de sous-groupes ouverts de SL2{Zp) // C.R. Acad. Sci. Paris. Série I. 1984,- V. 98.-№ 11.- P. 237-240.

105. Rooij A.C.M. van. Non-Archimedean functional analysis. New York: Marcel Dekker Inc., 1978.

106. Rooij A.C.M. van. Notes on p-adic Banach spaces. Report 7633.-Nijmegen, The Netherlands: Math. Inst., Kath. Univ., 1976.

107. Rooij A.C.M. van, Schikhof W.H. Group representations in non-Archimedean Banach spaces // Bull. Soc. Math. France. Memoire. -1974.- V. 39-40,- P. 329-340.

108. Ruiz L.M.S., Pellicer M.L. On linearly topologized spaces and real-compact spaces,II // Portugal. Math. 1991,- V. 48.- № 4,- P. 475-482.

109. W.H. Schikhof. Ultrametric calculus. Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1984.

110. Schikhof W.H. Non-Archimedean calculus. Report 7812.- Nijmegen, The Netherlands: Math. Inst., Kath. Univ., 1978.

111. Schikhof W.H. On p-adic compact operators. Report 8911.- Nijmegen, The Netherlands: Math. Inst, Kath. Univ., 1989.

112. Schikhof W.H. A Radon-Nikodym theorem for non-Archimedean integrals and absolute continuous measures on groups // Indag. Mathem. Ser. A. 1971.- V. 33.- № 1.- P. 78-85.

113. Shimomura H. Poisson measures on the configuration space and unitary representations of the group of diffeomorphisms // J. Math. Kyoto Univ. 1994.- V. 34.- P. 599-614.

114. Straume E. . Compact differentiable transformation groups on exotic spheres // Math. Ann. 1994.- V. 299.- P. 355-389.

115. Swan R.C. The Grothendieck ring of a finite group // Topology. 1963.-V. 2.- P. 85-110.

116. Tate J. Rigid analytic spaces // Invent. Math. 1971.- V. 12.- P. 257289.

117. Vladimirov V.S., Volovich I.V., p-adic quantum mechanics // Commun. Mathem. Phys. -1989,- V. 123,- P. 659-676.

118. Weil A. Basic number theory. Berlin: Springer-Verlag, 1973.

119. Weil A. L'integrtion dans les groupes topologiques et ses applications. Actual. Scient, et Ind. V. 869.- Paris: Herman, 1940.Публикации автора по теме диссертации

120. Людковский C.B. Компактные соотношения между инвариантами унитарных групп U(п) и степеннными суммами // Теоретическая и математическая физика. 1988. - Т. 75. - № 2. - С. 316-320. - 0,47 п.л.

121. Людковский C.B. Матрицы, представляющие канонические элементы универсальных обертывающих классических алгебр Ли в базисе Гелъфанда-Цетлина // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1989. - № 5. - С. 73-76. - 0,38 п.л.

122. Людковский C.B. Базисы неприводимых представлений классических алгебр Ли // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1990. - № 5. - С. 18-25. - 0,75 п.л.

123. Людковский C.B. Тензорные операторы алгебр Ли и(тг) и о(и) // Теоретическая и математическая физика. 1990. - Т. 82.- JV* 3. С. 474-479. - 0,47 п.л.

124. Людковский C.B. Компактные соотношения между инвариантами классических групп Ли и элементарными симлгетричными полиномами // Теоретическая и математическая физика. -1991. Т. 89. - № 3. - С. 380-387. - 0,75 п.л.

125. Людковский C.B. Классификация некоторых типов локально компактных групп по их унитарным представлениям // "Успехи математических наук. 1992. - Т. 47. - № 5. - С. 185-186. -0,25 п.л.

126. Людковский C.B. Непрерывность представлений топологических групп // Успехи математических наук. 1993. - Т. 48.- № 6. С. 157-158. - 0,25 п.л.

127. Людковский C.B. Измеримость представлений локально коль-пактных групп // Математический сборник. 1995. - Т. 186.- № 2. С. 83-92. - 1,1 п.л.

128. Людковский C.B. Экзотические группы и факторгруппы групп петель // Математический сборник. 1995. - Т. 186. - № 9.- С. 87-96. 1,1 п.л.

129. Людковский C.B. Меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых банаховых многообразий / / Успехи математических наук. 1996. - Т. 51. - № 2. - С. 169-170. - 0,25 п.л.

130. Людковский C.B. Измеримость представлений бесконечномерных групп // Успехи математических паук. 1996. - Т. 51. -№ 3. - С. 205-206. - 0,25 п.л.

131. Людковский C.B. Квазиинвариантные меры на неархимедовых полугруппах петель // Успехи математических наук. 1998.- Т. 53. № 3. - С. 203-204. - 0,25 п.л.

132. Людковский C.B. Вложения неархимедовых банаховых многообразий в банаховы пространства // Успехи математических наук. 1998. - Т. 53. - № 5. - С. 241-242. - 0,25 п.л.

133. Людковский C.B. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравномерных пространств // Успехи математических наук. 1999. - Т. 54. - № 5. - С. 163-164. - 0,25 п.л.

134. Людковский C.B. Измеримость автоморфизмов топологических групп // Математические заметки. 2000. - Т. 68. - № 1. - С. 105-112. - 1,1 п.л.

135. Людковский C.B. Представления топологических групп, порожденные пуассоновыми мерами // Успехи математических наук. 2001. - Т. 56. - № 1. - С. 169-170. - 0,25 п.л.

136. Людковский C.B. Гауссовы меры на свободных пространствах петель // Успехи математических наук. 2001. - Т. 56. - № 5. - С. 183-184. - 0,25 п.л.

137. Людковский C.B. Меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых многообразий, представления групп и их применения // Теоретическая и математическая физика. 1999. - Т. 119. - № 3. - С. 381-396. - 1,5 п.л.

138. Людковский C.B. Квазиинвариантные меры на неархимедовых банаховых пространствах // Успехи математических наук. -2003. Т. 58. - 2. - С. 167-168. - 0,25 п.л.

139. Людковский C.B. Структура групп диффеоморфизмов неархимедовых многообразий // Успехи математических наук. -2003. Т. 58. - № 6. - С. 155-156. - 0,25 п.л.

140. Людковский C.B. Топологические группы преобразований многообразий над неархимедовыми полями, их представления и квазиинвариантные меры // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. - Т. 18. - С. 5-100. - 13,8 п.л.

141. Людковский С.В. Измеримость автоморфизмов топологических групп // Математические заметки. 2008. - Т. - 83. № 4. - 480. - 0,05 п.л.

142. Людковский С.В. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравномерных пространств // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. - Т. 6. - № 2. - С. 455-475. - 2,3 п.л.

143. Людковский С.В. Стохастические процессы на группах диффеоморфизмов и петель действительных, комплексных и неархимедовых многообразий. // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. - Т. 7. - № 4. - С. 1091-1105. - 1,64 п.л.

144. Людковский С.В. Квазиинвариантные и псевдодифференциру-емые действительнозначные меры на неархимедовом банаховом пространстве // Analysis Mathematica. 2002. - Т. 28. - С. 287-316. - 2,5 п.л.

145. Khrennikov A., Ludkovsky S.V. On infinite products of non-Archimedean measure spaces. // Indagationes Mathematicae. -2002. T. 13. - № 2. - C. 177-183. - (авторский вклад 50 %). - 0,78 п.л.

146. Людковский С.В. Неархимедовы свободные банаховы пространства // Фундаментальная и прикладная математика. -1995. Т. 1. - № 4. - С. 979-987. - 0,98 п.л.

147. Людковский С.В. Топологические группы и их к-метрики // Успехи математических наук. 1993. - Т. 48. - № 1. - С. 173-174. - 0,25 п.л.

148. Людковский С.В. Квазиинвариантные и псевдодифференцируе-мые меры со значениями в неархимедовых полях на неархимедовых банаховых пространствах // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. - Т. 9. - № 1. - С. 149-199. - 5,35 п.л.

149. Людковский С.В. Квазиинвариантные меры на группах петель римановых многообразий // Доклады Академии наук. 2000.- Т. 370. № 3. - С. 306-308. - 0,5 п.л.

150. Людковский С.В. Нормальные семейства функций и группы псевдоконформных диффеоморфизмов кватернионных и октони-онных переменных // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. - Т. 18. - С. 101-164. - 9,20 п.л.

151. Ludkovsky S.V. Topological transformation groups of manifolds over non-Archimedean fields, their representations and quasi-invariant measures. I // Journal of Mathematical Sciences. 2007. - V. 147. -№ 3. P. 6703-6846. - 22,5 п.л.

152. Ludkovsky S.V. Stochastic processes on geometric loop groups, diffeomorphism groups of connected manifolds, and associated unitary representations // Journal of Mathematical Sciences. 2007. - V. 141.- № 3. P. 1331-1384. - 8,43 п.л.

153. Ludkovsky S.V. Differentiability of functions: approximate, global and differentiability along curves over non-archimedean fields // Journal of Mathematical Sciences. 2009. - V. 157. - № 2. - P. 311-366. - 8,75 п.л.

154. Ludkovsky S.V. Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures with values in поп-Archimedean fields on a поп-Archimedean Banach space // Journal of Mathematical Sciences. 2004. - V. 122. - № 1. - P. 2949-2983. - 5,46 п.л.

155. Ludkovsky S.V. Generalized geometric loop groups of complex manifolds, Gaussian quasi-invariant, measures on them and their representations // Journal of Mathematical Sciences. 2004. - V. 122.- № 1. P. - 2984-3011. - 4,37 п.л.

156. Ludkovsky S.V. Infinite dimensional unitary representations of dense subgroups of exotic groups // Far East Journal of Mathematical Sciences. 2009. - V. 32. - № 2. - P. 169-180. - 0,9 п.л.

157. Ludkovsky S.V. Irreducible unitary representations of a diffeomorphisms group of an infinite-dimensional real manifold // Rendiconti dell'Istituto di Matemica dell'Universita di Trieste. Nuova Serie. 1998. - V. 30. - P. 21-43. - 1,77 п.л.

158. Ludkovsky S.V. Irreducible unitary representations of non-Archimedean groups of diffeomorphisms // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 1998. - V. 22. - № 3. - R 419-436. - 4,27 п.л.

159. Ludkovsky S.V. Properties of quasi-invariant measures on topological groups and associated algebras // Annales Mathématiques Blaise Pascal. 1999. - V. 6. - № 1. - P. 33-45. - 1,17 п.л.

160. Ludkovsky S.V. Quasi-invariant measures on non-Archimedean groups и semigroups of loops и paths, their representations. I, II //' Annales Mathématiques Blaise Pascal. 2000. - V. 7. - № 2. - P. 19-53, 55-80. -5,49 п.л.

161. Ludkovsky S.V. Poisson measures for topological groups and their representations // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2002.- V. 25. № 4. - P. 653-680. - 3,15 п.л.

162. Ludkovsky S.Y. Groups of diffeomorphisms and wraps of manifolds over non-archimedean fields. Lie Groups. New Research. Editor Canterra A.B. P. 563-600.- New York: Nova Science Publishers, Incorporation, 2009. - 4,81 п.л.

163. Ludkovsky S.V. Quasi-invariant and pseudo-differentiable measures in Banach spaces. New York: Nova Science Publishers, Incorporation, 2009. - 28,41 п.л.

164. Ludkovsky S.V. Stochastic processes on totally disconnected topological groups // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2003. - V. 2003. - № 48. - P. 3067-3089. - 2,3 п.л.

165. Ludkovsky S.V., Diarra B. Spectral integration and spectral theory for поп-Archimedean Banach spaces // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2002. - V. 31. - № 7. - P. 421-442. - (авторский вклад 50 %). - 2,2 п.л.

166. Ludkovsky S.V. A structure and representations of diffeomorphism groups of поп-Archimedean manifolds // Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2003. - V. 26. P. 975-1004. - 3,37 п.л.

167. Ludkovsky S.V. Stochastic processes on поп-Archimedean Banach spaces // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2003. - V. 2003. - № 21. - P. 1341-1363. - 2,30 п.л.

168. Ludkovsky S.V. Stochastic antiderivational equations on non-Archimedean Banach spaces // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2003. - V. 2003. - № 41. - P. 2587-2602. -1,6 п.л.

169. Людковекий С.В. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравномерных пространств. Резюме доклада на семинаре П. С. Александрова // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2000.- № 3.- С. 73. - 0,03 п.л.