Влияние турбулентного перемешивания на критическое поведение в присутствии сжимаемости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет»

На правах рукописи

Капустин Александр Сергеевич

Влияние турбулентного перемешивания на критическое поведение в присутствии сжимаемости

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный

университет»

Научный руководитель: Антонов Николай Викторович,

д. ф.-м. н., профессор

Официальные оппоненты: Деркачев Сергей Эдуардович, д. ф.-м. н.,

Санкт-Петербургское Отделение Математического Института им. В. А. Стеклова РАН, вед. науч. сотр.

Прудников Павел Владимирович, д. ф.-м. н., профессор, Омский Государственный Университет им. Ф. М. Достоевского, профессор

Ведущая организация: Объединенный Институт Ядерных Исследо-

ваний

Защита состоится « 18 » декабря 2014 г. в 11:00 на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., В.О., д. 41/43, ауд. 304

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького

СПбГУ и на сайте

http://spbu.ru/seience/disser/

Автореферат разослан «JiLL» OfCii/^fuL 2014 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по адресу 198504, Санкт-Петербург, Ульяновская ул., д.1, корпус И, каб. 421.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н.

Аксёнова Елена Валентиновна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Многочисленные системы весьма разнообразной физической природы демонстрируют интересное сингулярное поведение в окрестности своих критических точек. Их термодинамические и корреляционные функции приобретают автомодельную (скейлинго-вую) форму с универсальными критическими размерностями: последние зависят лишь от немногих глобальных характеристик системы (таких как симметрия или размерность пространства). Количественное описание критического поведения дается теоретико-полевой ренормализационной группой (РГ). В РГ-подходе возможные типы критического поведения (классы универсальности) связываются с инфракрасно (ИК-) притягивающими неподвижными точками ренормируемых моделей теории поля. Наиболее типичные равновесные фазовые переходы принадлежат классу универсальности 0(тг) - симметричной модели Ф4 для п-компонентного скалярного параметра порядка. Универсальные характеристики критического поведения зависят лишь от п, размерности пространства (1 и могут вычисляться в рамках различных систематических схем теории возмущений, в частности, в виде разложений по £ = 4 - й.

Динамическое критическое поведение (зависимость корреляционных функций от времени или характерного времени корреляции от температуры) даже равновесных моделей гораздо более многообразно и менее изучено. Одной статической модели Ф4 в динамике отвечает целый ряд моделей, обозначаемых как модели А, В,...,3.

В течение последних десятилетий постоянное внимание привлекали процессы распространения и соответствующие неравновесные фазовые переходы. Процессы распространения встречаются в физических, химических, биологических и экологических системах: автокаталитические реакции, протекание в пористых средах, эпидемические заболевания и т. д.

Переходы между флуктуационными (активными) и абсорбционными (неактивными) фазами, в которых все флуктуации полностью прекращаются, осо-

бенно интересны как примеры неравновесного критического поведения.

Давно было осознано, что критическое поведение реальных систем в высшей степени чувствительно ко внешним возмущениям, гравитации, влиянию примесей и турбулентному перемешиванию. Более того, некоторые возмущения (случайно распределенные примеси или турбулентное перемешивание) могут производить совершенно новые типы критического поведения с богатыми и довольно экзотическими свойствами.

Эти вопросы становятся еще более важными для неравновесных фазовых переходов, поскольку идеальные условия «чистого» стационарного критического состояния едва ли могут быть достигнуты в реальных химических или биологических системах, а влияние различных возмущений никогда не может быть исключено полностью. В частности, внутренние эффекты турбулентности не могут быть исключены для химических каталитических реакций или лесных пожаров. Также можно предположить, что атмосферная турбулентность может играть важную роль в распространении инфекционных заболеваний летающими насекомыми или птицами.

Таким образом, изучение динамического критического поведения равновесных и неравновесных систем и влияния на них турбулентного поведения является сложной и актуальной задачей, а наиболее подходящим методом исследования представляется теоретико-полевая ренормгруппа и эпсилон-разложение.

Степень разработанности темы исследования и научная новизна. Основные успехи при изучении критического поведения систем с турбулентным переносом были достигнуты с помощью применения методов ренор-мализационной группы (РГ), см. [1-4]. В этих работах методы РГ были применены к изучению влияния турбулентного перемешивания на критическое поведение равновесных и неравновесных систем. В качестве моделей для описания поля скорости выбирались хорошо известное уравнение Навье-Стокса, модель Обухова-Крейчнана и её обобщения на случай присутствия сжимаемости и конечное время корреляции. Были обнаружены новые скейлинговые

режимы, определены области устойчивости неподвижных точек, получены выражения для критических размерностей в одно-петлевом приближении. Все основные результаты диссертации являются "новыми и получены впервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных и международных журналах.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью работы является изучение влияния турбулентного движения среды на критическое поведение ряда равновесных и неравновесных физических систем. В качестве моделей критического поведения выбраны наиболее характерные представители: релаксационная модель равновесной критической динамики несохраняющегося скалярного параметра порядка (модель А), ее обобщение на случай д-пози-ционной модели Поттса и стохастическая модель неравновесного фазового перехода между флуктуационным и абсорбционным состояниями в реакционно-диффузионной системе (процесс или модель Грибова). Для описания турбулентного поля скорости привлекались статистический ансамбль Казан-цева-Крейчнана (поле скорости Гауссово и имеет нулевое время корреляции), его обобщение на случаи наличия сжимаемости и конечного времени корреляции, а также стохастическое уравнение Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости.

Теоретическая и практическая значимость. Практическая ценность диссертации определяется возможными приложениями полученных результатов к описанию различных равновесных и неравновесных околокритических систем: автокаталитических химических реакций, бинарных смесей и др. Результаты работы должны стимулировать экспериментальные исследования по выявлению новых типов критического поведения и измерению соответствующих критических размерностей. Развитые методы могут быть применены к другим подобным задачам, таким как рост границы раздела фаз, случайные блуждания и длинные полимеры в движущихся средах и др.

Методология и методы исследования. В работе активно используются методы теоретико-полевой ренормализационной группы, в частности для нахождения координат возможных ИК-притягивающих неподвижных то-

чек, определения областей их устойчивости и вычисления критических размерностей величин в возможных скейлинговых режимах. Положения, выносимые на защиту:

1. Установлено существование, наряду с уже известными классами универсальности, нового типа критического поведения для модели неравновесной реакционно-диффузионной системы с турбулентным переносом, где поле скорости моделируется статистическим ансамблем Казанцева-Крейчнана. Определена область его устойчивости (область притяжения соответствующей неподвижной точки уравнений ренормгруппы) в пространстве параметров модели. В главном порядке обобщенного (двойного) эпсилон-разложения вычислены критические размерности всех полей и времени. Получена зависимость границ областей устойчивости и размерностей от параметра, характеризующего степень сжимаемости жидкости. Получено обобщение этих результатов на случай конечного времени корреляции поля скорости.

2. Для модели равновесного динамического критического поведения скалярного параметра порядка с турбулентным перемешиванием, моделируемым ансамблем Казанцева-Крейчнана, установлено существование нового, существенно неравновесного класса универсальности. В ведущем порядке эпсилон-разложения найдена область его устойчивости и вычислены основные критические размерности. Получены их зависимости от степени сжимаемости жидкости.

3. Для модели критического поведения неравновесной реакционно-диффузионной системы в случае, когда поле скорости описывается стохастическим уравнением Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости, установлено существование нового класса универсальности и в ведущем порядке эпсилон-разложения найдены область его устойчивости, а также основные критические размерности.

4. Для возникающего нового неравновесного класса универсальности в

главном порядке эпсилон-разложения в модели равновесной критической динамики скалярного параметра порядка с турбулентным переносом, моделируемым стохастическим уравнением Навье-Стокса, найдена область устойчивости, вычислены критические размерности полей и времени.

5. Обнаружен новый неравновесный класс универсальности и вычислены соответствующие критические размерности для равновесной релаксационной критической динамики векторного параметра порядка системы, относящейся к классу универсальности q-позиционной модели Ашкина-Теллера-Поттса, с турбулентным переносом. Получена сложная картина областей притяжения неподвижных точек и их эволюция с изменением параметров модели, таких как размерность пространства, степень сжимаемости жидкости и число компонент параметра порядка. Показано существование явления кроссовера (потеря и обретение устойчивости критическими режимами) при изменении этих параметров. В частности показано, что при некоторых значениях параметров притягивающими могут быть сразу две неподвижные точки, то есть при тех же условиях могут реализоваться различные типы критического поведения. В этом смысле критическое поведение не является универсальным.

Апробация результатов и публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научные работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus [1-4]. Основные результаты работы были представлены на международных научных конференциях:

1. Models in Quantum Field Theory II и III (СПб, 2008, 2010). hep.phys.spbu.ru/conf

2. Renormalization Group and Related Topics in Quantum Field Theory (Дубна, 2008).

theor.j inr.ru/~rg2008/

3. Science and Progress (СПб, 2010).

www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html

4. Small Triangle Meeting on Theoretical Physics (Stara Lesna, 2013). http://www.saske.sk/Uef/Conferences/stml3/

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором либо при его прямом участии в неразделимом соавторстве.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка литературы из 40 наименований. Работа изложена на 98 страницах и содержит 11 рисунков и 8 таблиц.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе обсуждаются модели критического поведения: процесс Грибова, модели А и Поттса. Приводятся их стохастические дифференциальные уравнения для параметра порядка ■ф. Данные задачи можно переформулировать в виде теоретико-полевых моделей с заданными функционалами действия:

S(i¡>, tf) = (-dt + Ход2 - Äото) V + Ао(^)2 - щф1ф3/3\ (1)

для модели А,

t) = + Ло02 _ ХоТо)ф + 9оХо _ (2)

для процесса Грибова,

в{ф, ф]) = ф\ {-dt + Ход2 - Л0Г0) фа + ХофЫ - 9-^RaЪсф\фьфс, (3)

для модели Поттса. Здесь Яаьс — неприводимый инвариант группы симметрии п—мерного гипертетраэдра, тензор третьего ранга, который без ограничения общности можно считать симметричным, фt = i/>t(i,x) - некоторое вспомогательное "поле отклика", tq ос (Т — Тс) — отклонение температуры или ее аналога от критического значения, до > О, щ > 0— константы связи, Ао > 0— кинематический коэффициент. В приведенных формулах подразумевается интегрирование по аргументам полей и суммирование по индексам. Далее в главе обсуждаются симметрии моделей, приводятся правила Фейн-мана.

Во второй главе для моделирования турбулентного перемешивания мы использовали известное уравнение Навье-Стокса со случайной силой, которая задается своим коррелятором в импульсно-временном представлении ос (t - В данной главе исследуется влияние турбулентного пере-

мешивания па модели А и Грибова. Обсуждается процесс добавления поля скорости в исходные модели, приводятся функционалы действия для полных задач. После процедуры ренормировки приводятся одно-петлевые ответы для констант ренормировки и РГ-функций. Представляются ответы для координат неподвижных точек и обсуждаются области их устойчивости. Приводятся выражения критических размерностей для всех режимов.

Было показано, что в зависимости от соотношения между пространствсп-ной размерностью d и показателем у, обе модели демонстрируют различные критические режимы, связанные с ИК притягивающими неподвижными точками уравнения РГ. Для обеих моделей наиболее интересная неподвижная точка соответствует новому типу критического поведения, в котором важна как нелинейность, так и турбулентное перемешивание, а критические размерности зависят от двух параметров: с? и у. Из анализа размерностей можно было предположить, что новый нетривиальный режим должен проявляться

при положительных у и е = 4 — d, однако тщательный РГ-анализ показывает, что области ИК-устойчивости фактически гораздо уже: для процесса Грибова мы получили сектор е/4 < у < £2/3, а для модели А — 0 < у < Зе/2. Этот эффект приводит к интересным физическим предсказаниям: при наиболее реалистичных значениях пространственной размерности d = 2 или d = 3 и Колмогоровского показателя у = 4 для развитой турбулентности мы попадаем в область устойчивости скейлингового режима, где имеет значение только турбулентный перенос. Например, в случае процесса Грибова это означает, что распространение агента полностью определяется турбулентным переносом. Важно заметить, что эти результаты согласуются с теми, что были получены ранее, где для описания турбулентного переноса была использована модель Обухова-Крейчнана (несжимаемый случай).

В третьей главе мы рассмотрели другой способ описывать влияние турбулентного перемешивания на наши модели. Была предложена уже упомянутая выше модель Казанцева-Крейчнана с Гауссовым полем скорости и степенным спектром ос но с обобщением на случай сжимаемой жидко-

сти. В данном случае поле скорости задается корреляционной функцией

(vi(t, x)vjtf, х')) = ö(t - t') öy (г), т = х-х' (4)

где

Оц{г) = D0 J {2пУк^{Р,}{к) + exP(lkr)- (5)

k>m

Здесь Plj(k) = 6ij — kikj/k2, Qij{k) = kikj/k2 — поперечный и продольный проекторы, к = |k| — волновое число, Dq > 0 — множитель в амплитуде и а > 0 — произвольный параметр. Случай а = 0 соответствует несжимаемой жидкости (diVi = 0). Показатель 0 < £ < 2 — произвольный параметр; "Кол-могоровское" значение £ = 4/3. Интеграл (5) обрезан снизу при к = ш, где тп = \/L — величина, обратная масштабу турбулентности L.

В этой главе к уже известным нам процессу Грибова и модели А мы добавляем в рассмотрение модель Поттса, которая имеет большое число разнообразных физических применений. Полные задачи формулируются в виде теоретико-полевых моделей, доказывается их мультипликативная ренорми-руемость, что позволяет нам пользоваться методом РГ для анализа их поведения. Было показано, что в зависимости от соотношения между пространственной размерностью d и показателем £ все наши модели демонстрируют четыре различных вида критического поведения, связанных с четырьмя возможными неподвижными точками уравнения РГ.

Три неподвижные точки соответствуют известным режимам: (I) Гауссовой неподвижной точке; (II) критическому поведению, типичному для чистой модели без турбулентного переноса (то есть, модель А, модель Грибова или модель Поттса); (III) скалярному полю без самодействия (нелинейность параметра порядка в исходных динамических уравнениях является несущественной). Наиболее интересной четвертой точке соответствует новый тип критического поведения (IV), в котором важны как нелинейность, так и турбулентное перемешивание. Критические показатели зависят от d, £ и параметра сжимаемости а. Были вычислены критические индексы и области устойчивости для всех режимов в одно-петлевом приближении, что соответствует главным членам двойного разложения по параметрам £ и е. Модель Поттса обладает более сложной картиной областей устойчивости неподвижных точек в сравнении с другими моделями. Это связано с тем, что в модели ответы зависят еще от одного параметра п, который является числом компонент i/>a. Для наиболее интересного случая п = 0 (процесс протекания в движущихся средах) и при реалистичных значениях для несжимаемой жидкости £ = 4/3, d = 3 мы попадаем в режим пассивного скалярного перемешивания (III). С ростом а граница устойчивости между (III) и (IV) областями начинает двигаться и, при достаточно большом а мы попадаем в новый режим (IV). Таким образом, сжимаемость ведет к смене типа критического поведения между двумя классами универсальности. Для п = 2 (переход из нематического в изотропное состояние в жидких кристаллах) при маленьком а и вышеупомянутыми £ и £

система попадает в (III) режим (турбулентный перенос). Когда а становится достаточно большим, наши параметры не попадают ни в один из допустимых режимов. Следовательно, в этом случае рост сжимаемости разрушает критическое поведение.

Для случая процесса Грибова или модели А картина устойчивости режимов гораздо проще и похожа на картину из предыдущей главы. Было показано, что для обеих моделей сжимаемость усиливает роль нелинейных членов в динамических уравнениях. В плоскости область устойчивости (IV) режима становится шире при возрастании степени сжимаемости.

Проиллюстрируем эти общие утверждения на примере облака частиц в системе реакция-диффузия, распространяющегося в близкой к критической турбулентной среде! Среднеквадратичный радиус R(t) облака частиц связан с функцией отклика в координатно-временном представлении следующим образом:

R\t) =

¿xi2G(i,x), G(i,x) = <^(i,x)^( 0,0)), х = |х|. (б)

Для функции х) скейлинговые соотношения дают следующие ИК-асимп-тотики:

С(*,х) = ¿щ ) , (7)

где F — некоторая функция, а А — критические размерности полей и параметров. Подставляя (7) в (6), получаем скейлинговое выражение для радиуса:

(8)

где скейлинговая функция / связана с Р из (7) следующим образом:

/(г) = ¿Х12"д+"д^(1,г).

Непосредственно в критической точке (предполагается, что функции / конечна при т = 0) из (8) следует степенной закон для радиуса:

ос П = {(1 + 2- Д^)/Дш. (9)

12

Для Гауссовой неподвижной точки получаем обычный закон диффузии R(t) ос f1/2. Для режима (IV) был получен результат R(t) ос f1^2-^. Для Колмогоровского значения £ = 4/3 , R(t) ос

¿3/2

он находится в соответствии с "законом Ричардсона 4/3": dB?/dt ос Ä4/3 для турбулентности. Для двух других неподвижных точек показатели задаются бесконечными рядами по е (для точки III) и £, £ (для точки IV). В случае несжимаемой жидкости (а = 0) наиболее реалистичные значения d = 2 или d = 3 и £ = 4/3 лежат в области режима (III), так что распространение облака полностью определяется турбулентным переносом и описывается степенным законом (9) с точным показателем = 2/(2 — £). Когда а становится достаточно большим, физические величины d и £ попадают в область устойчивости нового режима (IV), происходит изменение критического поведения. Новый показатель в (9) можно представить в виде

П(4) = fi(3) + ¿çi (10)

В модели Грибова подстановка однопетлевых выражений дает

(3 + а)е -

= 3(5 + 2а) (2 — £) (И)

Простой анализ выражения (11) показывает, что в области устойчивости (IV) режима величина 5Г2 положительна и монотонно растет с а. Таким образом, распространение облака становится быстрее в сравнении с чистым турбулентным переносом за счет комбинированного воздействия перемешивания и нелинейных членов, и ускоряется при росте степени сжимаемости.

В четвертой главе на примере процесса Грибова был рассмотрен еще один способ ввести турбулентное перемешивание. Данная модель турбулентного перемешивания обладает конечным временем корреляции и описывает сжимаемую жидкость. Как и в случае с моделью Казанцева-Обухова-Крейч-пана она задается коррелятором поля скорости, которое имеет Гауссово распределение с нулевым средним:

<t»i(i, 1)^(0,0)> =

' dui 2w

• jdu

^[P^ + aQ^Dv(t,k){e-^+kx}- (12)

Положительный параметр а > 0 задает отклонение модели от несжимаемого случая V • V = 0. В импульсно-частотном представлении В11 имеет вид:

где дю — константа связи, а у, т) — малые параметры разложения теории (аналогично е в теории у?4)-

У данной модели есть два предела: в одном случае она переходит в уже известную нам модель Обухова-Крейчнана, а в другом — в модель "замороженного" поля скорости (коррелятор скорости не зависит от времени). Для мультипликативной ренормируемости в полный функционал действия необходимо вводить дополнительный член и новый заряд. В работе представлены выражения для координат неподвижных точек в предельных случаях модели поля скорости. Можно заметить, что для предельного случая ню = оо результаты координат неподвижных точек и областей устойчивости совпадают с результатами в случае использования модели Обухова-Крейчнана.

В Заключении сделаны выводы относительно результатов, полученных в работе, и их соответствия поставленным целям.

Заключение

В диссертации подробно исследовано влияние турбулентного перемешивания на три различные модели. Были рассмотрены различные способы описания поля скорости: уравнение Навье-Стокса со случайной силой, обобщение модели Обухова-Крейчнана на случай сжимаемой жидкости и модель сжимаемой жидкости с конечным временем корреляции. В работе представлены одно-петлевые результаты для координат неподвижных точек уравнения РГ, областей их устойчивости, а также выражения для критических размерностей.

Список публикаций по теме диссертации из перечня ВАК

1. Antonov N V, Iglovikov V I and Kapustin A S 2009 J. Phys. A: Math. Theor. 42 135001

2. Antonov N V and Kapustin A S 2010 J. Phys. A: Math. Theor. 43 405001

3. Antonov N V and Kapustin A S 2012 J. Phys. A: Math. Theor. 45 505001

4. H. В. Антонов, А. С. Капустин, А. В. Малышев ТМФ, 2011, 169:1, 124-136

Подписано в печать 06.10.2014. Формат 60 х 84 '/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times . Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ № 6095.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Института химии СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 26. Тел.: (812И28-69-19,428-40-43