Динамика рациональных отображений и их инварианты тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I, Почти периодические операторы и их приложения

§ I. Обобщенная теория Перрона-Фробениуса • . •

§ 2. Оператор Рюэля

§ 3, Предварительные сведения об итерациях рациональной функции.

§ 4* Распределение корней уравнения ^^тЕ - ¥(2)

Глава 2. Эргодические свойства рациональных эндоморфизмов

§ I. Форцула для энтропии

§ 2. Мера максимальной энтропии.

§ 3. Лебегова мера множества Жюлиа

§ 4. Итерационный процесс Ньютона.

Глава 3. Голоморфные семейства рациональных функций

§ I. Р -устойчивость рациональной функции общего положения

§ 2. Поведение орбиты 1фитической точки

§ 3. Типичные свойства неустойчивых функций.

Примеры.

Итерации рациональной функции комплексного переменного были предметом глубоких исследований, проведенных в 18-20 годах настоящего столетия в работах Ж.Жюлиа и П. Фату. В них было изучено асимптотическое поведение траекторий рационального эндоморфизма, дана классификация периодических точек, детально описана динамика в их окрестности, введено некоторое совершенное инвариантное множество (множество Жгалиа), которое играет существенную роль для понимания глобальной динамики, изучена его структура. Эти результаты стимулировали исследование итерации аналитических отображений областей комплексной плоскости, предпринятое Ж.Вольфом, А.Данжуа и другими авторами. Наиболее существенными публикациями, появившимися до 1975 года, в которых развивается эта тематика, являются следующие: статья К.3игеля [Зб] , тесно связанная с его исследованиями по небесной механике, статья Г.Бройлина [20] , в которой получены первые эргодические результаты, относящиеся к рациональным эндоморфизмам сферы, статьи М.В.Якобсона [1б] , [l7] и Дж.Гуккенхеймера [25] , в которых построена символическая динамика на множестве Жгалиа для широкого класса полиномиальных отображений, цикл статей И.Бэйкера, в которых исследуются итерации целых функций.

В последние годы интерес к динамике рациональных отображений сферы Римана значительно возрос. Это связано, во-первых, с развитием эргодической теории и динамических систем в целом, что привело к новым постановкам задач. На первый план в теории итерации выходят эргодические вопросы, а также оценки и вычисление таких инвариантов, как топологическая и метрическая энтропия.

Эргодические свойства квадратичных отображений интенсивно исследуются Т.А.Сарымсаковым и его учениками. Возникла теория одномерных динамических систем, нашедшая широкое применение в гидродинамике, биологии и других областях. В частности, одна из экологических моделей описывается итерационным процессом 0<а^Ч . Это преобразование, простейшее по виду, порождает сложную динамическую систему, обнаруживающую стохастическое поведение для обширного множества значений параметра а, (см.,например, [2l] ). Мощным средством исследования этой системы является комплексификация (как по X , так и по параметру CL ).

В самое последнее время удалось найти подход к некоторым гипотезам, сформулированным еще Ж.Жюлиа и П.Фату. Существенную роль здесь сыграла недавно обнаруженная Д.Сулливаном глубокая связь с теорией квазиконформных отображений и клейновых групп. Работа Д.Сулливана [37^ (в которых дано полное описание динамики на дополнении к множеству Жюлиа), А.Дуади и Я.Г.Синая с соавторами [22] , [7] (в которых изучаются бифуркации в однопараметри-ческом семействе ^Ы) , 9 Д.Рюэля [^35^ в которой установлена вещественно аналитическая зависимость ха-усдорфовой размерности множества Жюлиа от параметров (в гиперболическом случае) и других авторов - демонстрируют новые возможности, открывшиеся в этой области.

В настоящей диссертации изучаются эргодические и метрические свойства рациональных эндоморфизмов сферы, характер зависимости динамики от параметров. Мы распространяем результат Г.Бройлина [20~J о распределении прообразов итераций полинома на произвольные рациональные функции. При этом методы работы [20] уже неприменимы. Мы переводим этот результат на операторный язык, что позволяет применить обобщенную теорию Перрона-Фробениуса, относящуюся к почти периодическим операторам в пространстве непрерывных функций. Предельная для прообразов мера уь дает асимптотическое распределение также и для корней уравнения z ~ , где ф - произвольная рациональная функция, отличная от Cdbtyt . В частности, периодические точки распределены равномерно по мере /Ь .

С точки зрения эргодической теории мера ус интерпретируется как инвариантная мера максимальной энтропии эндоморфизма Мы доказываем, что рациональный эндоморфизм не имеет других мер максимальной энтропии. Далее устанавливается, что топологическая энтропия эндоморфизма (совпадающая с энтропией динамической системы f/j^A) равна . Этот результат дает полозштельный ответ на один вопрос Боуэна .

В диссертации исследуется также типичное поведение траекторий рационального эндоморфизма по отношению к мере Лебега. Дано достаточное условие сходимости почти всех траекторий к притягивающим циклам. Эти результаты применяются затем к исследованию сходимости итерационного процесса Ньютона к корням комплексного полинома для почти всех начальных приближений.

Мы рассматриваем затем произвольное семейство рациональных функций фиксированной степени, голоморфно зависящее от параметров, и изучаем характер зависимости динамики от параметров. Так же, как и при исследовании итераций индивидуальной функции, чрезвычайно полезным здесь оказался аппарат теории нормальных семейств аналитических функций (зависящих уже от многих переменных или даже от точки аналитического множества). Показано, что в любом таком семействе рациональная функция общего положения в определенном смысле устойчива (" Р -устойчива"). Этот результат является продвижением в направлении доказательства одной гипотезы П.Фату. Одновременно с этим нами установлены некоторые типичные свойства орбит критических точек.

В заключительном параграфе диссертации изучаются некоторые конкретные однопараметрические семейства. Для семейства

У? (z)=az + A,fe) Ш=Л рассматривается вопрос о возможности линеаризации функции в окрестности нуля. Установлено, что в семействе

L to = ( ^ е €\0) существует континуум попарно неэквивалентных функций, для которых множество Жюлиа совпадает со всей сферой.

Перейдем теперь к более детальному описанию результатов диссертации по главам. Диссертация состоит из трех глав.

Вопросы, рассматриваемые в первой главе, концентрируются вокруг рюэлевского варианта теоремы Перрона-Фробениуса, которая является ключом к изучению гиббсовских распределений для динамических систем (см.нацример, [з~] ). Мы показываем, что эта теорема укладывается в весьма общую схему функционального анализа, а именно, в рамки теории Перрона-Фробениуса для почти периодических операторов в пространстве С (К) непрерывных функций на компакте К . В первом параграфе мы развиваем эту теорию, основы которой были заложены К.Де Лю-Й.Гликсбергом [31] , М.Розен-блаттом [34] , Б.Джемисоном [26"] , Б.Джемисоном - Р.Сайном [27] » в объеме, необходимом для дальнейших приложений. Отметим, что наш подход можно распространить на существенно более общую ситуацию почти периодических представлений полугрупп.

Оператор Д в банаховом пространстве Ш называется почти периодическим, если орбита j \ П10 каждого вектора предкомпактна.

Неотрицательный оператор А в пространстве С(К) называется примитивным, если для любой неотрицательной функции ^ФО существует такое А/ , что функция А ¥ положительна.

Теорема I.I.4, Пусть А - почти периодический примитивный оператор в пространстве С (К) и пусть спектральный радиус оператора А равен I. Тогда для любой функции у 6 С (К)

A f С \ fd/t)lv где h - положительная А - инвариантная функция, ус — А*-инвариантная мера (suppyt = /О и ^koi/t = i .

Пусть теперь К- К - непрерывное преобразование метрического компакта К, Ч>*С(Ю . При определенных предположениях о преобразовании равенство

LY)(x)= Y-e^ffp (ytC(K)) V-i fx корректно определяет неотрицательный оператор в пространстве С(К) • Заключение теоремы I.I.4 для оператора 7jT L ( t • спектральный радиус оператора / ) превращается в рюэлевский вариант теоремы Перрона-Фробениуса (при этом /уъ - гиббсовское состояние для системы , отвечающее потенциалу у7 ). Таким образом, центр тяжести доказательства рюэлевского варианта теоремы Перрона-Фробениуса переносится в проверку почти периодичности и примитивности оператора ^ L .Мы даем непосредственную проверку этих свойств (§ 2 первой главы) для класса растягивающих перемешивающих динамических систем, введенного П.Уолтерсом

38] . Этот класс включает растягивающие эндоморфизмы многообразий, односторонние счетные топологические марковские цепи и некоторые отображения отрезка (например, гауссовское отображение X | ^ ] » возникающие в теории цепных дробей). Основой для почти периодичности оператора L является условие растяжения метрики, а примитивность обеспечивается тем, что преобразование { перемешивает.

В § 3 первой главы мы для удобства читателя даем эскиз классической теории Ж.Жюлиа и П.Фату [28] , [23] - [24] , см. также [12] , [20. Если необходимый нам факт прямо не содержится в указанных работах, то мы приводим его с доказательством.

В § 4 изучается асимптотическое распределение корней уравнения <fni'Z = ) , где ^ - рациональная функция. В работе [20] Г.Бройлин показал, что если ^ - полином, а С любая константа, 1фоме, быть может, одной исключительной, то про-р-т. образы Ц- 2± распределены асимптотически равномерно по равновесной мере (отвечающей логарифмическому потенциалу) на множестве Жюлиа. Мы распространяем эту теорему на все рациональные функции.

Рассмотрим меру: с I Sc nt Z П."1 П п,

Г^" Z где S^— единичная масса, сосредоточенная в точке , корни уравнения ^^ = i? учитываются с их кратно с тями.

Теорема 1.4.2. Для всех точек Z , кроме, быть может, двух исключений, последовательность {/^т н слаС*о сходится к некоторой вероятностной мере уь , не зависящей от 2 . Носителем меры jx, является множество Жюлиа F(4)

Для доказательства мы рассматриваем стохастический оператор усреднения по прообразам:

1 VYO (VeCfs*)), где корни уравнения ^ = ~z. берутся с учетом кратностей. В терминах оператора Д теорема 1.4.2 переформулируется следующим образом: для любой функции у € С (S^) и любой точки с &

Z £ j » кроме, быть может, двух исключений, где yt - некоторая вероятностная мера. Это позволяет воспользоваться общими соображениями в духе теоремы I.I.4. После факторизации оператора А на пространство С (К) (где К ~ i-инвариантный компакт, не содержащий исключительных точек) получившийся фактор-оператор А « оказывается почти периодическим и "почти примитивным". Основным моментом доказательства является проверка почти периодичности оператора А к . Трудности связаны с возможностью сложного поведения орбит критических точек (например, орбита некотррой критической точки может плотно заметать множество Жюлиа (см. § 3 главы ЗР. Тем не менее, большинство ветвей обратной функции ^ 171 оказывается однозначными (лемма I.4.I). С другой стороны, семейство однозначных ветвей

41™ }^ £ Bcer® нормально . Эти свойства сблинают рациональные эндоморфизмы с растягивающими эндоморфизмами (несмотря на наличие у первых критических точек) и обеспечивают почти периодичность оператора Д ^ . ■

Далее мы доказываем (теорема 1.4.3), что если рациональная функция Y отлична от констант, то корни уравнения распределены асимптотически равномерно по той же мере yt • Доказательство основано на аппроксимации большинства прообразов 4~ла подходящей точки СС корняш уравнения

Z = ^(и) .В частности, мы имеем следующий результат: Следствие 1.4,1. Периодические точки функции ^ распределены асимптотически равномерно по мере ус .

Заметим, что если корни уравнения ^^ 5? = считать без кратностей, то теорема о равномерном распределении сохраняется. Кроме того, следствие I.4.I также имеет место, если подсчитывать только периодические точки порядка Щ (то есть те периодические точки, для которых НЪ - наименьший период). В частности, любая точка множества Жюлиа может быть сколь угодно точно аппроксимирована периодической точкой порядка т для всех достаточно больших Щ .

Во второй главе изучаются эргодические и метрические свойства рациональных эндоморфизмов сферы. В обзоре [l9~\ Р.Боуэном была высказана гипотеза, что топологическая энтропия полиномиального отображения сферы равна логарифму его степени. Мы доказываем формулу k (^ ) — dfofy 4 Д®1 всех рациональных эндоморфизмов. Доказательство основано на явном построении (щ) $ ) - сети. Пока траектория достаточно далека от особых точек функции ^ , она может быть аппроксимирована траекто-. рией, выпущенной из подходящего прообраза системы точек, зависящей от № (число точек системы растет степенным образом по пъ ). Если же траектория подходит очень близко к особым точкам, то именно эти точки можно использовать для дальнейшей аппроксимации.

Это дает оценку энтропии сверху: /l(<f) ^ €п dzcj, 4

Противоположная оценка носит общий характер: если 4' М - гладкий эндоморфизм компактного ориентируемого многообразия М » А (/) > 4я \(£г^4\ (теорема Мисюре-вича-Пшитицкого [зз] ). Гладкий эндоморфизм 4 компактного многообразия естественно считать простейшим, если для всех гладких эндоморфизмов ^ гомотопных <£ . Таким образом, несмотря на качественное разнообразие и нетривиальность динамики рациональных эндоморфизмов, с энтропийной точки зрения они являются простейшими,

В силу вариационного принципа (см. [з] ) sup k (4), А где yt пробегает пространство 4 - инвариантных вероятностных мер, а А^С/) - метрическая энтропия Колмогорова-Синая. Если [l (4) = k(4) »то называется мерой максимальной энтропии. Существуют динамические системы, не имеющие меры максимальной энтропии или имеющие несколько таких мер (даже в случае топологической транзитивности и положительности энтропии).

Теорема 2.2.3. Рациональный эндоморфизм сферы обладает единственной мерой максимальной энтропии.

Эта мера совпадает с построенной в первой главе мерой , дающей предельное распределение для периодических точек функции Теорема единственности основана на оценке метрической энтропии через топологическую энтропию на некомпактном множестве в духе работы Р.Боуэна [4] (лемма 2.2.2) и последующем использовании построенной ) - сети.

В третьем параграфе исследуется типичное (в смысле меры Лебега) поведение траекторий рационального эндоморфизма. Будем говорить, что 2 является точкой первого рода, если ее траектория не заходит во внутренность множества Г2 неблуждающих точек. Через С^ обозначим объединение предельных множеств орбит

MLo критических точек Сс функции / .

Следствие 2,3.1. Почти все траектории первого рода стремятся к множеству С^

В этом смысле траектории почти всех точек первого рода ведут себя так же, как орбиты критических точек.

Если 2" - точка второго (то есть не первого) рода, то £ °IL при некотором /V , где - односвязная компонента дополнения множества Жюлиа, инвариантная относительно ^ . При этом = /1 » тае У7 - однолистное отображение области на диск или на кольцо; |} 1 - 1 , artfy /oLW иррационален, В первом случае область 4L называется диском Зигеля, а во втором - кольцом Арнольда-Эрмана по имени авторов, показавших, что соответствующая возможность действительно реализуется для рациональных функций. При этом граница области содержится в множестве С & (предложение 1,3,4),

Замкнутое - инвариантное множество называется отталкивающим, если существуют такие константы С > О , ^ > 1 , что ||£)/W(Z)|| »СЗГ (zf А) ,тае

- сферическая норма дифференциала. Сбудем говорить, что орбита точки 2" поглощается инвариантным множеством А , если б Д при некотором М .

Теорема 2,3,2. Предположим, что орбита любой критической точки рационального отображения / сходится к притягивавдему циклу или поглощается отталкивающим множеством А , Предположим также, что множество Жюлиа р(^) отлично от всей сферы. Тог

- ГЗ да почти все траектории сходятся к притягивающим циклам.

В частности, в этом случае лебегова мера множества Жюлиа равна нулю. Заметим, что в семействе <fw (z ) = Z^+W существуют функции, у которых критическая точка движется топологически транзитивно по множеству Жюлиа, но по-прежнему лебегова мера множества Жюлиа равна нулю (пример 3.3.1).

В заключение второй главы мы рассматриваем процесс Ньютона поиска корней комплексного полинома р(2) = Zl^1 СС^ По методу Ньютона приближение находится по из линеаризованного уравнения р (^m-i) + 1) f z~~ 0 *

Таким образом, траектория процесса Ньютона - это орбиты рационального эндоморфизма

Нули полинома р являются притягивающими неподвижными точками функции ^ и, следовательно, локально процесс Ньютона сходится. Это - хорошо известный факт. Мы рассматриваем вопрос о глобальной сходимости к корням. Конечно, не любое начальное приближение удовлетворительно с этой точки зрения. Например, если начальное приближение содержится в множестве Жюлиа, то заведомо сходимости нет. Поэтому мы интересуемся сходимостью процесса Ньютона почти всаду.

Теорема 2.4.1. Предположим, что корни полинома просты и вещественны. Тогда а) Для почти всех 20 € С траектория { ^т.\°т,-о процесса Ньютона сходится к одному из корней полинома ;

-^)дяя почти всех 5Е0 £ ft (относительно меры Лебега на вещественной прямой) траектория процесса Ньютона сходится к одному из корней.

С другой стороны, мы приводим пример полинома рс третьей степени, для которого не имеет места сходимость почти всех траекторий процесса Ньютона к корням. Полиномы третьей степени, близкие к р0 , обладают аналогичным свойством.

Если же р - полином второй степени с простывай корнями Г, , Га • то ше оси симметрии корней процесс Ньютона сходится к одному из них (предложение 2.4.1). Это связано с тем, что в этом случае эндоморфизм ^ ) = Z. - p(Z) /p'(z) приводится а дробно-линейным преобразованием к виду 2 Z"

В третьей главе изучаются свойства голоморфных семейств рациональных эндоморфизмов. Рациональные функции степени Л образуют сZtl+ 1 -мерное комплексное многообразие. Мы рассматриваем произвольное связное подмногообразие М • Через Р(4) обозначим замыкание множества периодических точек функции .

Определение. Рациональная функция М называется Р -устойчивой (в семействе l^j ), если существует такая окрестность функции <f , что топологически сопряжены для любой функции € , причем сопрягающий гомеоморфизм fl^ Р )"* Р (fi) непрерывно зависит от ^ (на множестве непрерывных отображений Р(^) S^ вводится равномерная метрика).

Теорема 3.1.1. В любом голоморфном семействе М рациональная функция общего положения Р -устойчива.

Иными словами, множество Р -устойчивых рациональных функций отбыто и плотно в М . Теорема 3.1.1 является продвижением в направлении положительного решения проблемы Фату, которая в современных терминах звучит так: рациональная функция общего положешя удовлетворяет аксиоме А Смейла (для рационального эндоморфизма аксиома Д эквивалентна тому, что множество Жюлиа является отталкивающим). Заметим в связи с этим, что теорема 3.1.I справедлива и в таких семействах, в которых нет ни одной функции, удовлетворяющей аксиоме А (например,

В диссертации доказаны теоремы о плотности некоторых рациональных функций со специальными свойствами в множестве К неустойчивых рациональных функций. Например, любая функция 4 £ К может быть аппроксимирована рациональной функцией, имеющей нейтральный цикл (следствие 3.1.2), а также рациональной функцией, у которой орбита некоторой критической точки поглощается отталкивающим циклом (следствие 3.1.8). Последнее утверждение очень полезно при изучении типичных свойств динамики неустойчивых функций (§ 3). Множество

Ус м называется множеством локальной единственности, если для любой области % , пересекающейся с У , и любой голоморфной функции у7 в области и из того, что

X = О следует, что у7 = О . Множество локальной единственности совершенно.

В направлении изучения структуры множества К неустойчивых функций нами получен следующий результат:

Следствие 3.1.6. Множество К является множеством локальной единственности.

Динамика рационального эндоморфизма в целом существенно зависит от поведения орбит критических точек (см., например, следствие 2.3.1). Поэтому полезно, забыв на время об остальных траекториях, посмотреть, как зависят орбиты критических точек от параметров системы. При этом возникает последовательность голоморфных отображений 9/п 2Г С аналитического множества с) l/e/^cef, (с) = 0 } в сферу Римана

С) %i С) ~ ^ • последовательность исследуется при помощи теории нормальных семейств на аналитических множествах. В § 2 мы развиваем такой подход, который в контексте одно-параметрических семейств полиномов (и аналитической зависимости критической точки от параметра) был впервые применен Г.М. Левиным [го] .

Через 1Р\у обозначим множество точек С) £ 5Г ? в окрестности которых семейство | ^ \ П1=0 нормально. Мы показываем, что вне некоторого явно описанного нигде не плотного подмножества в орбита | ф^Со \°°ni 0 критической точки обладает сильными свойствами устойчивости по параметру (теорема 3.2.1). А именно, £ | {^0ПСв \ и / ( {^С ] топологически сопряжены, если точка (/, С) £ Z достаточно близка к точке {^oj Со) ^ (в этом случае мы говорим, что - орбита точки С "копирует" £ - орбиту точки Сс )•

Связь между Р -устойчивостью эндоморфизма <f и устойчивым поведением орбит его критических точек устанавливает следующая

Теорема 3.2.2. Для того, чтобы функция ^ ^ М была Р -устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы (^С^) G для всех критических точек С^ функции .

В последнем параграфе мы изучаем свойства неустойчивых рациональных функций. Мы показываем, что типичная (в смысле категории) неустойчивая функция € К обладает критической точкой С » орбита которой плотна в множестве Жюлиа (теорема 3.3.1).

Таким образом, критическая точка неустойчивой функции как правило движется весьма хаотически.

Насколько сильна неучтойчивость орбиты критической точки по параметру показывает предложение 3.3.1: если неучтойчивая функция £ К имеет отталкивающее множество Д 0 , в котором плотны периодические точки функции /0 , то вблизи -/0 найдется функция ^ , у которой орбита критической точки копирует произвольную (заранее заданную) - орбиту точки CL £ Д .

Наконец, мы рассматриваем несколько конкретных однопарамет-рических семейств,

Пусть ^ (г)= h(Z) , где М, h(z)=z*+.

Мы рассматриваем вопрос о возможности линеаризации функции ^ в о1фестности нуля. Говорят, что функция ^ приводится к повороту (линеаризуется) в окрестности нуля, если существует такое однолистное конформное отображение ^ области % на диск, что YY ) — ^ ) • Классическая теорема Зигеля (см. [i] ) утверждает, что линеаризация возможна для почти всех значений на единичной окружности. Оказывается, что с категорной точки зрения типична противоположная ситуация.

Предположение 3.3.4. Для типичного значения } на единичной окружности функции ^ (2) = + не приводится к повороту.

Если множество Жюлиа имеет внутреннюю точку, то оно совпадает со всей сферой. Классический пример, когда такая ситуация, действительно, реализуется, связан с fjP -функцией Вейерштрасса (см. [12] ). Для ^Р -функции имеет место формула удвоения: Ш fо (tP(z))* где 4о - искомая рациональная функция. У любой рациональной функции, эквивалентной (то есть

- <f~i<fa У7 ) где ^ - дробно-линейное преобразование сферы), множество Жюлиа также совпадает со всей сферой. Мы доказываем, что существует континуум попарно не эквивалентных рациональных функций, у которых множество Жюлиа совпадает со всей сферой.

Предложение 3.3.5. Для типичного неустойчивого значения параметра w € К множество Жюлиа функции ^ (z J = —г совпадает со всей сферой.

Более того, в указанном однопараметрическом семействе существует континуум попарно топологически не сопряженных рациональных функций, для которых множество Жюлиа совпадает со всей сферой.

На протяжении диссертации мы обозначаем сферу Римана через S*, € или Р , рациональный эндоморфизм - через , его степень - через ft , дифференциал - £>/fz) , множество Жюлиа - FY/) • Обозначения для остальных объектов вводятся независимо в разных главах. Результаты диссертации опубликованы в работах [зэ] - [42] ,

Автор приносит глубокую благодарность профессору Т.А.Сарым-сакову и профессору Дж.Хаджиеву за постоянную поддержку и внимание к работе.

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 304 с.

2. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969, - 238 с.

3. Боуэн Р. Равновесные состояния и эргодическая теория диффеоморфизмов Аносова. В кн.: Методы символической динамики. М., 1979, с. 9-91.

4. Боуэн Р. Топологическая энтропия для некомпактных множеств. В кн.: Методы символической динамики. М., 1979, с. 181195.

5. Валирон Ж. Аналитические функции. М.: Гос.Издат. техн.-теор.лит., 1957. - 235 с.

6. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. - 395 с.

7. Гольберг А.И., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальные свойства для последовательностей бифуркаций утроения периода. -Усп.матем.н., 1983, т. 38, вып. I, с. 159-160.

8. Дей М. Нормированные линейные пространства. М.: ИЛ., 1961. - 232 с.

9. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. - 384 с.

10. Левин Г.М. 0 нерегулярных значениях параметра семейства полиномиальных отображений. Усп.матем.н., 1981, т. 36, вып. 6, с. 219-220.

11. Левин Г.М. О последовательности бифуркаций однопараметри-ческого семейства отображений. Усп.матем.н., 1982, т. 36, J£ 3,с. 189-190.

12. Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций. -М.-Л.: НКТП СССР, 1936. 240 с.

13. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975, 304 с.

14. Рохлин В.А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой. Усп.матем.н., 1967, т. 22, вып. 5,с. 3-56.

15. Якобсон М.В. 0 гладких отображениях окружности в себя. -Матем.сб., 1971, & 2 , с. 163-188.

16. Якобсон М.В. Структура полиномиальных отображений на особом множестве. Матем.сб., 1968, т. 77, $ I, с. 105-124.

17. Якобсон М.В. К вопросу о классификации полиномиальных эндоморфизмов плоскости. Матем.сб., 1969, т.80, Ш з ,с. 365-387.

18. Вотп. /2. Enttopy, expctnsicr--е mapping. ~ Титл, /\rrwt. МаМ. 49Ш, p. 3&3-33ZL.

19. FaXbit P. 5W -e^uatumi -^оп^СопжЛьЬиЛ. Sos. МаМ. From., 1919, К р.164-1^1.

20. Ftdou, P. Sm du -e^ttum rfonctionnedu-BuM. Sos. Math F%cuuul) 49SL0} V. 4S, jo. 33 -9% Ш-31Ч.

21. Любич М.Ю. Энтропия аналитических эндоморфизмов сферы Римана.- Функц. анализ и его приложения, 1981, т. 15, вып. 4, с. 83 84.

22. Любич М.Ю. О мере максимальной энтропии рационального эндоморфизма сферы Римана. Функц. анализ и его приложения, 1982, т. 16, вып. 4, с. 78 - 79.

23. Любич М.Ю. О типичном поведении траекторий рационального отображения сферы. ДАН ССОР, 1982, т. 268, ЖГ, с. 29 - 32.

24. Любич М.Ю. Некоторые типичные свойства динамики рациональных отображений. .Усп. матем. н., 1983, вып. 5, с. 197 -198.