Полиморфизмы и задача о разрушении адиабатического инварианта тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.ВЛомоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

005055571

Голубцов Павел Евгеньевич

ПОЛИМОРФИЗМЫ И ЗАДАЧА ОРАЗРУШЕНИИ АДИАБАТИЧЕСКОГО ИНВАРИАНТА

01.02.01 - теоретическая механика

2 2 НОЯ 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2012

005055571

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Трещев Дмитрий Валерьевич, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор

Сидоренко Владислав Викторович, доктор физико-математических наук, профессор

Буфетов Александр Игоревич доктор физико-математических наук, профессор

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова Российской академии наук

Защита диссертации состоится 14 декабря 2012 г. в часов -30 минут- н< заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московско\ государственном университете имени М.ВЛомоносова по адресу: 119991 Москва, Ленинские горы, 1, Главное здание МГУ, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отдела диссертациГ (Ломоносовский проспект, 27, Фундаментальная библиотека, сектор А - I этаж, к. 812).

Автореферат разослан (// 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.22, доцент

В.А.Прошкш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Задача о разрушении адиабатического инварианта при прохождении фазовой точки через сепаратрису относится к области исследования возмущенных интегрируемых гамильтоновых систем. Адиабатическим инвариантом называется величина, асимптотически сохраняющаяся при достаточно медленном изменении параметров системы. Понятие было предложено П.Эренфестом. В современном понимании это явление изучалось в работах А.А.Андронова, М.А.Леонтовича, Л.И.Мандельштама. Адиабатические инварианты возникают во многих задачах механики. Например, в одномерных гамильтоновых системах с параметром при условии замкнутости фазовых траекторий и отличия частоты движения по ним от нуля адиабатическим инвариантом является переменная действия. То же можно сказать о системе с двумя степенями свободы, гамильтониан которой плавно зависит от всех координат, кроме одной. Адиабатический инвариант существует в системе, описывающей движение в потенциальном рве. К таким задачам относятся распространение коротковолнового излучения в волноводе или движение заряженной частицы в плавнонеоднородном поле. Адиабатические инварианты существуют и в системах с ударом, например, при движении упругого шарика между двумя медленно движущимися стенками или при распространении лучей в плоском плавнорегулярном световоде с зеркальными стенками. Если фазовое пространство системы разделено на области движения сепаратрисой, то при прохождении точки через нее значение адиабатического инварианта испытывает скачок. Оценкам величины скачка посвящены работы О.Ю.Шмидта, В.К.Мельникова, А.И.Нейштадта, В.В.Сидоренко, Д.В.Трещева и др. А.И.Нейштадтом было показано, что захват точки в ту или иную область фазового пространства асимптотически имеет случайный характер, причем вероятность захвата определяется скоростью изменения площади данной области. Согласно результатам А.И.Нейштадта и Д.В.Трещева, возникающее многозначное отображение множества значений адиабатического инварианта в себя сохраняет стандартную меру Лебега. Таким образом, задача о разрушении адиабатического инварианта может быть описана с помощью динамической системы особого вида, предложенной А.М.Вершиком, - полиморфизма.

Цель работы

Исследовать статистические свойства простейших полиморфизмов, возникающих в задаче о разрушении адиабатического инварианта. Получить теорему об эргодичности трехпараметрического семейства полиморфизмов, состоящих из двух возрастающих кусочно-линейных отображений с одной точкой излома. Построить классификацию типичных особенностей полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором и состоят в следующем: доказана эргодичность семейства кусочно-линейных полиморфизмов, состоящих из двух возрастающих отображений с одной точкой излома; построена классификация типичных особенностей полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта.

Достоверность результатов

Все результаты диссертации имеют строгое математическое обоснование. Качественные результаты подтверждены с помощью численного моделирования.

Методы исследования

Результаты диссертации получены с помощью методов теории динамических систем, а также теории особенностей дифференцируемых отображений.

Теоретическая и практическая научная ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты позволяют сделать вывод о чрезвычайно хаотических свойствах полиморфизмов и описываемых ими систем. Классификация типичных особенностей может быть использована для дальнейшего изучения типичных эргодических и других свойств полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта. Результаты диссертации, в частности, могут быть использованы в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В.Ломоносова, Математическом институте имени В.А.Стеклова РАН, Санкт-Петербургском отделении Математического института имени

2

В.А.Стеклова РАН, Институте прикладной математики имени М.В.Келдыша РАН.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на Московской конференции «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление», Математический институт имени В.А.Стеклова РАН, апрель 2012.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:

1. Семинар по теоретической механике, МГУ имени М.В.Ломоносова,

ноябрь 2010.

2. Семинар по динамическим системам, МГУ имени М.ВЛомоносова,

март 2011.

3. Семинар по динамическим системам и теории представления, Санкт-

Петербургское отделение Математического института им.

В.А.Стеклова РАН, октябрь 2012.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 2 работах автора. Список публикаций приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, добавления, приложения, заключения и списка литературы, содержащего 29 наименований. Объем диссертации 56 страниц.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении описана предметная область диссертации, сформулирована цель исследования, дан обзор работ, посвященных изучению явления разрушения адиабатического инварианта при переходе фазовой точки через сепаратрису, приведено краткое содержание работы.

В первой главе вводятся основные понятия общей теории полиморфизмов и полиморфизмов, состоящих из гладких отображений. Вводятся понятия эргодического и перемешивающего полиморфизма.

з

Полиморфизмом пространства Лебега (Х,,т,) в пространство Лебега (Х2,т2) называется диаграмма П:

(X,, и,) <^—(Х1 х!:,//) —а->( , и,)

где (1,х1„//) - пространство Лебега, л, и л2 - координатные проекции Х1 х X, на координатные сомножители Л", и X,, являющиеся гомоморфизмами пространств Лебега. С точки зрения динамики, точки множества X, случайно отображаются полиморфизмом П в точки множества Х2 таким образом, что вероятность попадания точки из произвольного измеримого А с Х1 в произвольное измеримое В а Х2 равна /л(А х В). Например, рассмотрим окружность с парой отражений относительно неколлинеарных прямых, проходящих через ее центр. В этом случае определен полиморфизм фактор-пространств исходной окружности по модулю первого и второго отражения.

В контексте нашей задачи мы рассмотрим полиморфизмы частного вида с мерой, сосредоточенной на конечном наборе гладких кривых. В этом случае каждая точка пространства X, имеет конечное число образов в Х2, вероятность каждого из которых определяется плотностью меры /I в соответствующих точках Х1 х Х2.

Пусть отрезок [0,1] представлен в виде объединения отрезков:

[0,1] = йд-

к=I

Для каждого к зададим функции

ОД], а:/»->[0,1].

Мы предполагаем, что функции (рк и рк кусочно-гладкие внутри интервала 1к,к = 1,...,К. Предполагается также, что функции <рк строго монотонны на 1к, и, следовательно, существуют обратные функции у/к = <р~к,к = •

Обозначим Т = (<р;р;1).

Пусть

У(х) = {к:х&1к}, 1/(у) = {к:у е(рк(1к)}.

Определим оператор Перрона-Фробениуса 1УГ: £2([0Д]) £2([0,1]) на

пространстве функций с интегрируемым по стандартной мере Лебега квадратом по формуле

^тР(у) = 4>к (.У) 1Ук '(У) I Р°Гк(у).

ксим

Определение. Пусть выполнены условия:

а) Ик&^РМ =1 для всех х е [0,1];

б) справедливо тождество 1 = 1. Тогда Т называется полиморфизмом.

На рис. 1 изображен пример полиморфизма.

Рис. 1 Действие полиморфизма: точка дг переходит в точки и <рг(х) с вероятностями р,(х) и р2(х), соответственно

Определение. Полиморфизм Т называется эргодическим, если уравнение ]/УТр = р,р е £2([0,1]), не имеет решений, отличных от констант.

Определение. Полиморфизм Т называется перемешивающим, если для каждой функции /Эе12([0,1]) мы имеем:

\У"Г р —> (1 ,р) в слабой 13 -топологии при я -> оо.

Следующие два предложения утверждают, что полиморфизм с двумя ветвями, выходящими из точки (0,0) и заканчивающимися в точке (1,1), может быть построен по заданному распределению вероятности или одной из ветвей отображения.

Предложение. Предположим, что на отрезке [0,1] заданы кусочно-гладкие отличные от констант функции р, и р2, такие что р, (х) + р2 (х) = 1 и О < рк (х) < 1, к = 1,2, для всех х е[0,1]. Пусть

Рк(х) = \рМ)М, хе[0,1].

о

и

= хе[0,1].

где к = 1,2. Тогда Т = ((р,,<р2;р1,р2',[0,1],[0,1]) - полиморфизм.

Предложение. Предположим, что на отрезке [0,1] задана непрерывная кусочно-гладкая функция Ъ, отвечающая условиям /г(0) = 0 и |/г'(х)|< 1/2-с для некоторого с>0 в тех точках хе[0,1], где А имеет производную. Определим на отрезке [0,1] функции у/х и (//, из условий

+КУ^У))

1---=у, уе[0,1].

^2(у)-Ку/2(у))

2--= ^ 6 [од].

Определим пару чисел и

Тогда Т = - полиморфизм.

Предложения доказываются непосредственной проверкой определения полиморфизма.

Вторая глава посвящена хаотическим свойствам полиморфизмов. Рассматривается трехпараметрическое семейство полиморфизмов, состоящих из двух возрастающих кусочно-линейных отображений с одной точкой излома. Доказывается эргодичность полиморфизмов данного семейства.

Пусть О <Ь<а <с < \ и

а

х—,

если хе[0,6]

<р,(х) = <

1-а-х)^

если

х е [6,1];

х—, если хе[0,с]

<РЛх) = \ с

, .. ч 1 — а

1-(1-х)--, если хе[с,1].

если

У

1

а

О ь

с 1 ж

Рис. 2 Полиморфизм Т(а,Ь,с)

Положим

с —а

Не трудно убедиться в том, что Т(а,Ь,с) = (^,,<р2;р,1-р;[0,1],[0,1]) -полиморфизм (см. рис. 2).

Теорема. Полиморфизм Т(а,Ь,с) эргодический при любых 0<Ь<а<с<\.

Идея доказательства основана на наблюдении за Г-образами произвольного сколь угодно малого интервала, лежащего в [0,1], и поиска среди них экспоненциально растущей по длине последовательности.

В третьей главе описан механизм перехода фазовой точки через сепаратрису при медленном изменении параметра системы, и определяется многозначное отображение адиабатического инварианта за период. Доказывается теорема о классификации типичных особенностей полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Гамильтона х = у(х,Я), где Я - параметр. Функция / от фазовой точки х и параметра X называется адиабатическим инвариантом, если для любой гладкой функции Л(г) медленного времени т = а вдоль решения уравнения х = у(х,Я(£?)) изменение величины /(д:,Я(й)) остается малым на интервале времени 0 < < < 1/е, если е достаточно мало.

Пусть теперь наше уравнение описывает гамильтонову систему с одной степенью свободы. Предположим, что при всех значениях параметра фазовое пространство системы делится сепаратрисами на области движения , £>. и Ц, (см. рис. 3). Предположим также, что траектории системы замкнуты. Тогда при медленном изменении параметра действие является адиабатическим инвариантом. Это означает, что для удаленных от сепаратрисы точек изменение площади области фазового пространства, ограниченного траекторией точки в «замороженной» системе, т.е. в автономной системе с зафиксированным параметром, мало. Для точек, пересекающих сепаратрису, адиабатическое приближение теряет смысл. Точка меняет область движения, и значение адиабатического инварианта испытывает скачок.

Возникает многозначное отображение, ставящее в соответствие значению адиабатического инварианта в начальный момент времени его значение в конечный момент времени с соответствующей вероятностью, определяемой скоростью роста площади той или иной области фазового пространства, ограниченной сепаратрисой, в момент попадания точки на сепаратрису.

Пример полиморфизма, порожденного задачей о разрушении адиабатического инварианта, в которой площади областей О,, й и дополнения области О0 меняются по закону Л,, А_ и А0 (см. рис. 4), показан на рис. 5 (без отображения вероятностей).

Рис. 3 Фазовый портрет "замороженной" системы

Рис. 4 Задача о разрушении адиабатического инварианта

Рис. 5 Полиморфизм, порожденный задачей о разрушении адиабатического

инварианта

Рассмотрим особенности полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта. Особенностями полиморфизма мы называем концевые точки графиков ветвей отображения, если общее число ветвей не может быть уменьшено путем переобозначения. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Типичными особенностями полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта класса гладкости С1, являются:

1. Точка, одной из координат которой является площадь одной из областей, на которое делит фазовое пространство сепаратриса в начальный или конечный момент времени.

2. Точка, из которой выходит три луча (рис. 6, а). Два из них образуют гладкую кривую, трансверсальную третьему. Биссектрисами образующихся углов являются вертикальная и горизонтальная прямые. Вероятность на заканчивающемся луче при подходе к особой точке стремится к нулю.

3. Группа точек, образующих следующую структуру (рис. 6, б). В одной из точек выходящий луч имеет вертикальную касательную. Во второй — горизонтальную. (Таких точек может быть несколько, причем у всех точек с вертикальным лучом равны абсциссы, у точек с горизонтальным лучом равны ординаты). Третья точка группы имеет абсциссу, равную абсциссе первой точки, и ординату, равную ординате второй точки. Вероятность на луче, имеющем горизонтальную касательную, при подходе к особой точке стремится к нулю.

б)

Рис. 6 Типичные особенности второго и третьего типа

Теорема доказывается с помощью анализа полиморфизма в окрестности экстремальных значений , А_ и Аа.

В добавлении доказана теорема о признаке существования дополнительной инвариантной меры в специальном классе полиморфизмов.

Пусть имеется фиксированный набор из п +1 числа 0 = а„ <а, <...<ап_, <ап = 1. Предположим, что задан полиморфизм следующего вида: каждая функция срк определена на одном из интервалов [а^аДу = 1,...,л, и отображает его взаимно-однозначно на некоторый интервал [а,.,,«,],/= 1,...,я, а величины Р,°Ч/Лу)\Ч/1'(.у)\ постоянны, к = \,...,К. Пусть Т - переходная матрица полиморфизма Г, соответствующая разбиению 0 = а0 < а, <... < апч <ап = 1.

Теорема. Предположим, что марковская цепь с матрицей перехода Т не эргодична. Тогда и полиморфизм Т не эргодичен.

В приложении к диссертации приведен текст программы МАТЬАВ, строящей полиморфизм по данным задачи о разрушении адиабатического инварианта.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В работе было исследовано поведение решений медленно возмущаемой одномерной интегрируемой гамильтоновой системы в окрестности сепаратрисы с точки зрения динамики адиабатического инварианта. Сохранение меры позволяет нам использовать теорию полиморфизмов.

В классе простейших полиморфизмов, состоящих из двух гладких возрастающих отображений, естественно возникающих в задаче о разрушении адиабатического инварианта, доказаны утверждения, позволяющие построить полиморфизм по заданному распределению вероятности или одному из отображений.

Доказана эргодичность семейства кусочно-линейных полиморфизмов, состоящих из двух возрастающих отображений с одной точкой излома. Простая конструкция полиморфизма позволяет нам сделать вывод о сильных хаотических свойствах таких систем в общем случае.

Построена классификация типичных особенностей полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта. Возникает вопрос о свойствах, в том числе и эргодических, характерных для полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта.

Публикации по теме диссертации

1. Голубцов П.Е., Пример кусочно-линейного эргодического полиморфизма // Математические заметки, т.91, вып. 3, 2012

2. Golubtsov Р.Е., Typical singularities of polymorphisms generated by the problem of destruction of an adiabatic invariant // Regular and Chaotic Dynamics, 17(2), 2012, pp.122-130

Подписано в печать 08.11.2012 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 75 экз. Заказ № 1260 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Полиморфизмы

1.1 Общие понятия теории полиморфизмов.

1.2 Полиморфизмы, состоящие из гладких отображений

1.3 Полиморфизмы с двумя возрастающими ветвями

2 Пример кусочно-линейного эргодического полиморфизма

2.1 Семейство полиморфизмов Т(а, Ь, с).

2.2 Доказательство эргодичности Т(а. Ь,с)

3 Полиморфизмы, порождаемые задачей о разрушении адиабатического инварианта

3.1 Задача о разрушении адиабатического инварианта

3.2 Типичные особенности.

Добавление. Полиморфизмы и цепи Маркова

Одной из важных проблем теории динамических систем является исследование поведения интегрируемых гамильтоновых систем при малых возмущениях ([19]). Напомним, что система называется интегрируем,ой по Лиувиллю в том случае, если она имеет полный набор функционально независимых коммутирующих первых интегралов. Особый интерес представляет ситуация, когда многообразия уровня первых интегралов компактны. Тогда типичные траектории представляют собой квазипериодические обмотки инвариантных торов. Для исследования возмущенных систем, как правило, используют канонические координаты действие-угол ([15, ¡17]), в которых невозмущенное решение выглядит как равномерное движение фазовой точки вдоль обобщенных координат при постоянных значениях обобщенных импульсов. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (KAM теория) утверждает, что при возмущении интегрируемой гамильтоновой системы большинство инвариантных торов сохраняется ([9, 27]). Часть торов, образующих множество малой меры, тем не менее, разрушается, и на их месте образуются области качественно более сложного поведения, что в случае более чем двух степеней свободы позволяет импульсам существенно удаляться от своих начальных значений.

Данная работа посвящена явлениям, наблюдаемым при медленном периодическом возмущении одномерных гамильтоновых систем в окрестности особых кривых — сепаратрис. Сепаратриса — траектория асимптотического решения плоской динамической системы, стремящегося при t —> +оо (устойчивая сепаратриса) или при t —> —оо (неустойчивая сепаратриса) к седловой неподвижной точке. Обычно в невозмущенной системе устойчивая и неустойчивая сепаратрисы совпадают. Возмущенные сепаратрисы, как правило, расщепляются. Тогда в их окрестности рождается стохастический слой, что существенно меняет свойства системы, делая ее неинтсгрируемой ([7. 26, 27]). Нашей задачей является исследование поведения решений возмущенной системы в окрестности сепаратрисы с точки зрения динамики такого параметра траектории как адиабатический инвариант.

Адиабатическим инвариантом называется величина, асимптотически сохраняющаяся при достаточно медленном изменении параметров гамильтоновой системы. Более строго, рассмотрим систему дифференциальных уравнений Гамильтона х = у(х, А), где А — параметр. Функция / от фазовой точки х и параметра А называется адиабатическим, инвариантом, если для любой гладкой функции А(т) медленного времени т = вдоль решения уравнения х = у(х, А(е£)) изменение величины 1(х(Ь), А(г£)) остается малым на интервале времени 0 < t < 1/е, если £ достаточно мало ([9, 10]). Понятие адиабатического инварианта было введено П.Эренфестом. В данном понимании это явление изучалось в работах А.А.Андронова, М.А.Леонтовича, Л.М.Мандельштама. Адиабатические инварианты возникают во многих задачах механики. Например, предположим, что в одномерной гамильтоновой системе при каждом значении параметра фазовые траектории замкнуты и частота движения по ним отлична от нуля. Тогда можно ввести координаты действие-угол. Теорема об усреднении утверждает, что переменная действия данной системы будет являться адиабатическим инвариантом. То же можно сказать о системе с двумя степенями свободы, гамильтониан которой медленно зависит от одной из координат. Например, адиабатический инвариант существует в системе, описывающей движение в потенциальном рве, вытянутом вдоль одной координаты. К таким задачам относятся распространение коротковолнового излучения в волноводе или движение заряженной частицы в плавно изменяющемся поле. Адиабатические инварианты существуют и в системах с ударом, например, при движении упругого шарика между двумя медленно движущимися стенками или при распространении лучей в плоском световоде с зеркальными стенками, ширина и направление стенок которого меняются плавно. В системах со многими степенями свободы с медленно изменяющимися параметрами возникают почти адиабатические инварианты — фазовые функции, для которых мера множества траекторий, отклоняющихся от адиабатического приближения, стремится к нулю вместе с малым параметром. Для одночастотных гамильтоновых систем с плавно изменяющимися параметрами быстрые переменные можно исключать симплектически и за счет этого получить величины, сохраняющиеся с большей точностью. В пределе можно добиться экспоненциально большого времени сохранения адиабатического инварианта. Если адиабатический инвариант имеет предел в прошлом и будущем, то можно показать, что его приращение за бесконечно большое время убывает быстрее любой степени. Важным выводом теории KAM является то, что в нелинейной системе адиабатический инвариант остается близок к своему начальному значению вечно, если движение происходит вдали от сепаратрис.

Сформулируем задачу о разрушении адиабатического инварианта. Рассмотрим одномерную гамильтонову систему, периодически зависящую от параметра (см. подробнее в главе 3). Предположим, что при всех значениях параметра фазовое пространство системы делится сепаратрисами на области движения D+, Do (см. рис. 1). Предположим также, что траектории системы замкнуты. Тогда при медленном изменении параметра действие является адиабатическим инвариантом. Это означает, что для удаленных от сепаратрисы точек изменение площади области фазового пространства, ограниченного траекторией точки в «замороженной» системе, т.е. в автономной системе с зафиксированным параметром, мало. Адиабатическое приближение теряет смысл в момент пересечения фазовой точкой сепаратрисы. В этот момент точка меняет область движения, и значение адиабатического инварианта испытывает скачок.

Dn D

Рис. 1: Фазовый портрет «замороженной» системы.

Оценкам скачка адиабатического инварианта при прохождение фазовой точки через сепаратрису посвящено много работ и численных экспериментов ([2, 6, 23, 25]). В пределе при стремящихся к нулю значениях возмущающего параметра изменение адиабатического инварианта представляет собой случайную величину, распределение которой определяется скоростью роста площадей областей и дополнения Д) в момент попадания точки на сепаратрису. Мы получаем многозначное отображение, действующее на множестве значений переменной действия, представляющем собой объединение трех непересекающихся отрезков, которые мы приставляем друг к другу. А.И.Нейштадтом и Д.В.Трещевым было показано, что данное отображение сохраняет стандартную меру Лебега. Таким образом, оказалось, что задача о разрушении адиабатического инварианта может быть описана с помощью динамической системы особого вида — полиморфизма.

Полиморфизмы — многозначные отображения, сохраняющие меру — были введены Вершиком ([8, 13, 14]). По определению, полиморфизмом пространства Лебега (Х\, т\) в пространство Лебега (Х2, тг) называется диаграмма П :

Хь тщ) № х Х2,(1) {Х2,т2), где (Х1 х Х2, ц) — пространство Лебега. 'тх\ и тт2 — координатные проекции Х\ х Х2 на сомножители Х\ и Х2, являющиеся гомоморфизмами пространств Лебега. С точки зрения динамики, точки множества Х\ случайно отображаются полиморфизмом П в точки множества Х2 таким образом, что вероятность попадания точки из произвольного измеримого множества А С Х\ в произвольное измеримое В С Х2 равна ц(А х В).

Полиморфизмы встерчаются в различных областях математики, таких как алгебра и алгебраическая геометрия, марковские операторы и процессы, теория представлений. В контексте нашей задачи мы рассмотрим полиморфизмы частного вида с мерой, сосредоточенной на конечном наборе гладких кривых (см. главу 1). В этом случае каждая точка пространства Х\ имеет конечное число образов в Х2, вероятность каждого из которых определяется плотностью меры [I в соответствующих точках Х\ х Х2. На рис. 2 изображено несколько ветвей полиморфизма Т, действующего на отрезке [0,1] со стандартной мерой Лебега и переводящего его в себя. Положение образов определяется функциями ¡рк, объединение графиков которых является носителем меры ¡1, функции Рк — вероятности — суть проекции плотности меры ц, на ось абсцисс. При этом мера Лебега на [0,1] должна сохраняться в следующем смысле: оператор Перрона-Фробениуса \УТ : Ь2([0,1]) —> Ь2{[0, 1]), действующий по формуле р{х) Н—> Штр{у) = ^рьор-^у) \((р^)'{у)\р0^1(у); к оставляет постоянные функции без изменений:

И/г1 = 1.

Полиморфизм Т обозначается ((/?;р;7), где интервал С [0,1] — область определения функций ірк и Рк1

2 (ж) рі(х) о X 1

Рис. 2: Действие полиморфизма Т: точка х переходит в точки у?1(ж) и ^{х) с вероятностями р\(х) и Р2(х) соответственно.

Именно такая система описывает динамику адиабатического инварианта в окрестности сепаратрисы медленно возмущаемой гамильто-новой системы.

В ходе работы получены следующие основные результаты.

Получено два явных способа построения полиморфизмов с двумя ветвями, выходящими из точки (0,0) и заканчивающимися в точке (1,1) (см. главу 1). В первом случае достаточно определить вероятности, после чего достраиваются функции перехода. Во втором утверждении фактически описывается способ построения полиморфизма по одной ветви и отвечающей ей постоянной вероятности.

Предложение 1. Предположим,, что на отрезке [0,1] заданы кусочно-гладкие отличные от констант функции р\ и Р2, такие что р\(х) + Р2{х) = 1 и 0 < рк{х) < 1, к = 1,2, для всех х Е [0,1]. Пусть где к = 1, 2. Тогда Т = ((р1; Р2; [0,1]; [0,1]) — полиморфизм,.

Предложение 2. Предположим,, чт.о на отрезке [0,1] задана, непрерывная кусочно-гладкая функция Н, отвечающая условиям /г(0) = 0 и \Ь'(х)\ < 1/2 — с для некоторого с > 0 в тех точках х Е [0,1]; где и х Е [0,1] к имеет производную. Определим, на отрезке [0,1] функции и из условий ф!{у) + Н{ф1{у))

--:-= У, г/€[0,1],

2 + Л™

-ф2{у) ~ Ь(фг(у))

--г-=У, У €[0,1].

5-М1)

Определим пару чисел и

Ч1 = \+К1) и д2 =Л-Л(1).

Тогда 5 = (ф\, фъ'-.Чх-, Я2\ [0,1]-, [0,1]) — полиморфизм.

В главе 2 рассматривается трехпараметрическое семейство кусочно-линейных эргодических полиморфизмов с двумя возрастающими ветвями с одной точкой излома ([16]). Эргодичность полиморфизма Т означает, что уравнение У/?р = р не имеет решений, отличных от констант.

Пусть 0<6<а<с<1и

Ых) =

Ср2(х) = <

Положим а х-, если х € 0, Ь\] о

1 — (1 — х)-если х Е [Ь. 1).

1—0 а х-. если х 6 0, с ; с' Л - а

1 — (1 — х)--, если х 6 [с, 1].

1-е с — а V с-Ъ

Нетрудно показать, что Т(а, Ь, с) = (щ, р. 1 — р: [0,1], [0,1]) — полиморфизм.

Теорема 1. Полиморфизм Т(а, Ь, с) эргодический при любых 0 < Ь < а < с < 1.

В главе 3 доказывается теорема о классификации типичных особенностей полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта ([4]). Особенностями полиморфизма мы называем концевые точки графиков ветвей отображения, если общее число ветвей не может быть уменьшено путем переобозначения. Теорема звучит следующим образом.

Теорема 2. Типичным,и особенностям,и полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта класса гладкости С2, являют,ся:

1. Точка, одна из координат, кот.орой лежит, на границе одного из отрезков из области определения адиабатического инварианта,.

2. Точка, из которой выходит три луча (рис. 3, а). Два, из них образуют, гладкую кривую, трансе ер сальную т,рет,ье.м,у. Биссектрисами образующихся углов являют,ся, вертикальная и горизонтальная прямые. Вероятности на заканчивающемся луче при подходе к особой точке стремится к нулю.

3. Группа, точек, образующих следующую структуру (рис. 3, б). В одной из т,очек выходящий луч, имеет, вертикальную касательную. Во второй — горизонтальную. (Таких точек может быть несколько, причем у всех точек с вертикальным лучом, равны, 'абсциссы, у точек с горизонтальным лучом равны ординаты). Третья точка группы им,еет, а,бсциссу, равную абсциссе первой точки, и ординату, равную ординате второй точки. Вероятность на луче, имеющем горизонтальную касательную, при подходе к особой точке стремится к нулю.

В добавлении доказана теорема о признаке существования дополнительной инвариантной меры в специальном классе полиморфизмов.

Пусть имеется фиксированный набор из п + 1 числа 0 = ао < а\ < . < ап 1 < ап = 1. Предположим, что задан полиморфизм Т = ((р]р; /) следующего вида: каждая функция определена на одном из интервалов [о,? 1, а7], ] = 1,2,., п, и отображает его взаимнооднозначно на некоторый интервал [а7;1, а^], % — 1, 2,. . п, а функции Рк°Ч>11{у) К^УЫ!-, У ^ К-ъо»], постоянны, к = 1,2,. . , К. Пусть Т — переходная матрица полиморфизма Т, соответствующая разбиению 0 = ао < а\ < . . < ап-\ < ап — 1 (см. добавление).

Теорема 3. Предположим, что цепь Маркова, с матрицей перехода Т не эргодична. Тогда и полиморфизм Т не эргодичен.

В приложении к диссертации приведен текст программы МАТЪАВ, строящей полиморфизм по данным задачи о разрушении адиабатического инварианта.

Заключение

В работе было исследовано поведение решений медленно возмущаемой одномерной интегрируемой гамильтоновой системы в окрестности сепаратрисы с точки зрения динамики адиабатического инварианта. Сохранение меры позволяет нам использовать теорию полиморфизмов.

В классе простейших полиморфизмов, состоящих из двух возрастающих отображений, естественно возникающих в задаче о разрушении адиабатического инварианта, доказаны утверждения, позволяющие построить полиморфизм по заданному распределению вероятности или одному из отображений.

Доказана эргодичность семейства кусочно-линейных полиморфизмов, состоящих из двух возрастающих отображений с одной точкой излома. Простая конструкция полиморфизма позволяет ожидать от систем такого типа в общем случае сильных хаотических свойств.

Построена классификация типичных особенностей полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта. Возникает вопрос о свойствах, в том числе и эргодических, характерных для полиморфизмов, порождаемых задачей о разрушении адиабатического инварианта.

1. ChernovN., MarkarianR., Chaotic Billiards., Am. Math. Soc., 2006

2. Chirikov B.V., Vecheslavov V.V., Adiabatic invariance and separatrix: single separatrix crossing, Journ. of Exp. and Theor. Physics, Vol. 90, №3, 2000, pp.562-569

3. ДанфордН., Шварц Дж.Т., Линейные операторы. Общая теория, М., ИЛ, 1962

4. Golubtsov Р.Е., Typical singularities of polymorphisms generated by the problem of destruction of an adiabatic invariant, Reg. and Chaot. Dyn., 17(2), 2012, pp. 122-130

5. KrengelU., Ergodic theorems, Walter de Gruyter, 1985

6. NeishtadtA., TreschevD., Polymorphisms and adiabatic chaos, Erg. Theory & Dyn. Sys., v. 31, 2011, pp. 259-284

7. TeschlG., Ordinary differential equations and dynamical systems, American Mathematical Society, 2007

8. VershikA.M., Polymorphisms, markov process, quasi-similarity, ESI, 2005

9. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., Математические аспекты классической и небесной механики, М., ВИНИТИ, 1985

10. Арнольд В.И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., «Наука», 1978

11. Арнольд В.И., Теория катастроф, М., «Наука», 1990

12. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильни-ковЛ.П, Теория бифуркаций, М., ВИНИТИ, 1985

13. Вершик A.M., Многозначные отображения с инвариантной мерой (полиморфизмы) и марковские операторы, Проблемы теории вероятностных распределений. IV, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 72, «Наука», Ленинград, отд., Л., 26-61, 1977

14. Вершик A.M., Как выглядит типичный марковский оператор? Алг. и анализ, т. 17, 2005, №5

15. ВилькеВ.Г., Теоретическая механика, СПБ., «Лань». 2003

16. Голубцов П.Б., Пример кусочно-линейного эргодического полиморфизма, Мат. заметки, т. 91, вып. 3, 2012

17. Журавлев В.Ф., Основы теоретической механики, М., Физматлит, 2001

18. Каток А.Б., Хасселблат Б., Введение в теорию динаических систем, М., МЦНМО, 2005

19. Козлов В.В., Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Ижевск, УГУ, 1995

20. Колмогоров Ф.И., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа, М., «Наука», 1976

21. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин C.B., Эргодическая теория, М., «Наука», 1980

22. Левин A.M., Разложимость полиморфизмов, порожденных действием двух конечных групп, СПБ, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы XVII, Зап. научн. сем. ПОМИ, 378, ПОМИ, 2010, 47-57

23. Нейштадт А.И., Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису, Физика плазмы, т. 12, 1986, 992-1001

24. Рохлин В.А., Об основных понятиях теории меры, Матем. сборник, 25 (67), 1, 1949, 105-150

25. Тимофеев A.B., К вопросу о постоянстве адиабатического инварианта при изменении характера движения, Журн. эксп. и теор. физики, Т.75, вып. 4, 1978, 1303-1308

26. ТрегцевД.В., Рамильтоновы системы. VI., МИАН, 2006

27. ТрещевД.В., Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем, М., Фазис, 1998

28. Тутубалин В.Н., Теория вероятности и случайных процессов, М., Изд-во МГУ, 1992

29. ХалмошП., Теория меры, М., ИЛ, 1953