Адиабатическое приближение и квазиклассические асимптотики для математических моделей наноструктур тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ
|
Тудоровский, Тимур Яковлевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Тудоровский Тимур Яковлевич
АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ АСИМПТОТИКИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НАНОСТРУКТУР
Специальность 01 01 03 — Математическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва — 2006
Работа выполнена в лаборатории математических методов механики Института проблем механики Российской Академии Наук
Научный руководитель:
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук, профессор Доброхотов Сергей Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор Нейштадт Анатолий Исерович доктор физико-математических наук, профессор Тютин Игорь Викторович
Ведущая организация:
Институт физики полупроводников Сибирского отделения Российской Академии Наук
Защита диссертации состоится «11» апреля 2006 г. в 16 часов в зале ученого совета на заседании диссертационного совета К 212.133.01 в Московском государственном институте электроники и математики по адресу: Москва 109028, Б Трехсвятительский пер., 3/12.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.
Ученый секретарь диссертационного совета К 212.133.01
к.ф -м.н, доцент Ж~у
Е. Р. Хакимуллин
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Прогресс в нанотехнологшг позволил создавать тонкие протяженные квазиодномерные и квазидвумериьге структуры сложной геометрии - нанотрубки и напопленки Среди наноструктур наибольший интерес в настоящее время представляют углеродные ианотрубки [11. 15, 3 20| Значительный технологический прогресс также достигнут в производстве нанос тр\ к-тур из полупроводниковых материалов (14|
Характерные поперечные размеры наноструктур - диаметр 'ф\бкп и пм-щнна пленки - (1 ~ 1 ч- Юнм (10 —100 А) - сопоставимы с дебройлевской длиной волны электрона Л = 2п/кр ~ 1 нм с энергией порядка энергии Ферми гр ~ 1 эВ Это обстоятельство приводит к эффекту "размерного квантования'' в низкоразмерных системах область локализации волновой функции по поперечным направлениям ~ А и энергия, отвечающая движению вдоль этих направлений квантуется Характерный продольный размер £ наноструктур обычно существенно больше <1 (например, X, ~ 100 нм см [14|)
Слабость электрон-фононного взаимодействия в наноструктурах приводит к упругому баллистическому транспорту электрона на большие расстояния [15) Таким образом, наноструктуры можно рассматривать в качестве квантовые волноводов пли квантовых проводов, которые предполагается использовать прп создании нового поколения наноэлектроники Специфика квантовых волноводов заключается в том, что электрон обладает спином Спиновая степень свободы, по-видимому, может существенно влиять на динамику электрона В I кою очередь, можно воздействовать на спин посредством геометрии структуры п внешнего магнитного поля Последнее обстоятельство предполагается использовать в спинтронике - будущей основе приборов для квантовых вычислений Здесь спиновая степень свободы является носителем информации [32]
Математические модели низкоразмерных структур. В рассматриваемой нами модели (приближение эффективной массы) указанные структуры представляют собой "сплошные" области типа тонкого изогнутого цилиндра с "закрученной границей" п тонкой искривленной пленки Вне этих обиастрй почковая функция Ф(г, 4) квантовой частицы "экспоненциально" быстро убывает (модель "мягких стенок"), либо равна нулю (модель "жестких стенок") Как и в [7, 31|, мы полагаем, что квантовые состояния электрона Ф(г, ¿) (стационарные и нестационарные) в трехмерных наноструктурах, помещенных во внешнее электромагнитное поле, описывается нестационарным уравнением Шредингера
1ЙФ< = Ш
(1)
_3____
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ рис пилтс1Г1
с гамильтонианом Рашбы [22|
Р2 ей -
П = — + v,-„,(г) + u„t(r, t) - —(<т, Н) + Hso. (2)
2т ¿те
Здесь г - радиус-вектор точки в трехмерном пространстве, Р = — i/iV — (е/с)A(r, t),h - постоянная Планка е - заряд электрона, т - эффективная масса квазичастпцы, wmt(r) - потенциал конфайнмента, ограничивающий движение частицы областью, занятой наноструктурой, (iw, А) - потенциалы внешних полей, H(i) = rot A(r, i) - однородное магнитное поле, а = {(ть a*, сг3} - матрицы Паулп,
Wso = а{а, [Vw10„P])
- оператор взаимодействия спина электрона с электрическим полем кристалла Постоянная а зависит от типа рассматриваемого кристалла [9] При vlM(r) = О и условии равенства волновой функции нулю на границах трубок и пленок, получаются модели "пустых структур" Жирными буквами обозначены векторы и векторные операторы с компонентами в декартовой системе координат
В Главах 1,3 рассматривается случай достаточно слабого магнитного поля, когда ларморова частота шя = e|H|/(rnc) ~ h/{mdL) и магнитная длина 1н ~ VdL, в Главе 2 - случай сильного магнитного поля шц ~ h/(mcP), 1ц ~ d.
Мы ограничимся рассмотрением квантовой частицы (электрона) в трубках и пленках с медленно (адиабатически) меняющимися геометрическими характеристиками Их малые сегменты с продольными масштабами порядка толщины d с большой точностью можно считать прямым цилиндром н ровным слоем Разномасштабность в тонких протяженных наноструктурах удобно характеризовать малым 'адиабатическим" параметром
ц = d/L « 1
Из физических соображения ясно, что эффективная динамика электрона в таких структурах должна быть одно- и двумерной, по крайней мере для нижних подзон размерного (поперечного) квантования, и определяться уравнениями с эффективными гамильтонианами V на оси трубки или на поверхности пленкн для волновой функцией ф"
ihift = Ь"ф" (3)
Здесь v - номер подзоны размерного квантования Для перехода от (1) к (3) мы используем подход, предложенный в [21| Общая схема подхода приведена в Главе 4 Использованная процедура является обобщением адиабатического метода, восходящего к работе Борна и Оинепгеймера |2|
В случае, когда внутри волновода существует устойчивая классическая. пцп-сктория, определяемая из решения гамнльтоновых уравнений движения < т-мильтоггиаиоы
Р2
^(р, г) = + «!..(') + и=*(г. О- Р = Р - (е/с)А(Г, г),
с помощью указанного подхода можно описать не только "возбужденные" но п "свррхвозбуждсииые" состояния Для таких состояний период поперечных ш-цнлляцнй имеет тот же порядок величины, что и время прочета вдо ть нич-о волновода Однако "мгновенная поперечная энергия таких состояний включает существенно нелокальные характеристики классиче! кой фнекгорнн совпадающей с осью волновода (показатель Флоке) Переход от локального описания к нелокальному для состояний с высокой продольной энергией исследованы в Главе 2
Как было отмечено различные характерные размеры и наличие свободных носителей дают возможность рассматривать наноструктуры в качестве квантовых волноводов или квантовых систем с ограничениями 112. 4, б. 16 18, 1У] Близкие задачи, связанные с волноводами, возникают и электродинамике «мастаке, теории упругости, физике океана и т д Исключение ограничений приводящее к понижению размерности задачи обычно проводится с помощью адиабатического приближения Оно эквивалентно асимптотическому разделению колебаний на продольные и поперечные моды Такое разделенно может быть проведено с любой степенью точности по параметру ц В результате удается "спроектировать" динамику частицы на ось трубки (поверхность пленки), те вывести эффективные уравнения типа (3) Для уравнения Гечьмголыш такое разделение было проделано, например, в [33], где выписано уравнение типа (3) для продольной моды, п показано, что подбирая кривизну волновода можно создать резонаторы с одномодовыми связанными состояниями В квантовоме-ханических задачах подобные уравнения были выведены, например, в работах [12, 4, 7, 31, 23 16. 18, 19) Заметим, что задачи о волноводах близки задачам физики молекул, при этом роль потенциала конфайнмента играет кулоновскнй потенциал с "замороженными" координатами тяжелых ядер В математичес кой литературе уравнения, возникающие в разномасштабных задачах, называют уравнениями с операторнозначным символом (34|
Волновые функции продольных состояний ф" могут быть 1) делокалпзо-ваяы и существенно меняться на масштабах порядка Ь, 2) дслокализованы и быстро осциллировать - те меняться на масштабах Ац Ь, 3) асимптотически локализованы на малых участка с масштабами Ац <К Ь Скорость изменения волновой функции мы характеризуем квазнклж сиче< ким ' параметром
/г = Л,|/Ь,
где
Ац = Л
- характерная длина волны для ф" Окончательные формулы для Ф существенно зависят от соотношений между Ац, и и Ь, что эквивалентно соотношению между параметрами р. и Н Близкая классификация была проведена в [28|
В этой работе мы приводим эффективные уравнения !'на подзонах размерного квантования" (3), аккуратно выведенные и пригодные для описания всех перечисленных продольных состояний Класс этих состояний оказываете я с V-щественпо шире, чем и работах [12, 4, 7, 31, 16, 18, 19| Из полученных уравнений следуют появление связанных состояний п ловушек за счет переменной толщины трубки, влияние спина на классическую одномерную динамику в трубках и присутствии магнитного поля, возможность переворота спина в искривленных трубках и тд [20, 37]
Специфической особенностью рассматриваемых моделей наноструктур является наличие спина у электрона Поэтому спектр наноструктур описывается уравнением Шредиигера с матричным гамильтонианом (2) Подходы к изучению таких уравнений близки использованным в преобразовании Фолдп-Ваутхайзена [8| и подстановке Пайерлса Адиабатическое приближение для весьма общих (матричных) гамильтонианов как реализация квантового осреднения изучалась в работах [1, 28, 13] В диссертации используется весьма простая операторная схема адиабатического приближения, предложенная в [21, 24] н основанная на операторных методах [35] В качестве иллюстрации эффективности предложенной схемы рассматривается обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена, справедливое как для нерелятивистскнх, так и для релятивистских энергий электрона Автор надеется, что использование развитого подхода в матричных задачах нанофизики, таких как андреевское отражение электронов от границы нанотрубка-сверхпроводник, окажется полезным
Целью работы является редукция исходного трехмерного нестационарного уравнения Шредиигера (1) с гамильтонианом Рашбы (2) на ось нанотрубки и поверхность нанопленки и дальнейший асимптотический анализ полученных эффективных уравнений Рассматриваются особенности динамики, характерные для различных продольных энергий Существенное внимание уделяется спиновым эффектам
Общая методика исследования основана на сочетании адиабатического и квазиклассического приближений для уравнения Шредиигера с гамильтонианом Рашбы
Научная новизна определяется следующими основными результатами
• Получены эффективные гамильтонианы продольного движения носителя заряда в низкоразмерных структурах, использована эффективная опера-
торная схема адиабатического приближения, позволившая провести редукцию размерности для широкого диапазона состояний,
• с помощью квазиклассического приближения построены асимптотические решения эффективных продольных уравнений с учетом спина, выведены классические уравнения, описывающие спиновую динамику, показано, что для слабо возбужденных состояний спин может существенно влиять на классическую динамику,
• изучены границы применимости адиабатического приближения и причины его разрушения, для специальных примеров построены асимптотические решения для 'сверхвозбужденных' состояний в области энергий при которых адиабатическое приближение гтапопгтя неприменимым проведена аналогия между тн "ускорением Ферми' и причиной разрушения адиабатического приближения,
• на основе "операторного разделения переменных" получено "обобщенное преобразонание" Фолди-Ваутхайзеиа для уравнения Дирака
Научная и практическая ценность Р.1Йота носит теоретический характер Полученные уравнения продольного движения носителя заряда в наноструктурах, по-видимому, могут быть использованы для объяснения некоторых экспериментов Автор надеется, что рассчитанные эффекты, связанные с динамикой спина в нанотрубках, действительно возникают в определенных ситуациях
Приведенная в Главе 4 схема адиабатического приближения может быть применена во многих физических задачах для упрощения конкретных вычислений Построенное обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена нчлюстрн-рует применение указанной схемы и носит академический интерес
Личное участие автора Результаты диссертации, касающиеся движения заряда в нпзкоразмерных структурах получены совместно с научным руководителем профессором Доброхотовым, профессором Брюниигом (Гумбольдтовский университет, Берлин), профессором Беловым (МИЭМ) Вклад автора заключается в проведении конкретных вычислений Квазиклассическая динамика спина в нанотрубках изучена автором самостоятельно
Результаты, выносимые на защиту
1 Получены эффективные продольные гамильтонианы в искривленных закрученных нанотрубках, справедливые для широкого диапазона продольных состояний,
2 Построены квазикласспческие асимптотики для уравнений с эффективными продольными гамильтонианами для различных продольных энергий,
3 Изучена динамика спина для различных продольных энергий и различных возможных значений постоянной Рашбы,
4 Исследован эффект спии-флипа в искривленной трубке в постоянном магнитном поле специальной напряженности;
5 С помощью использованной общей схемы адиабатического приближения обобщено преобразование Фолди-Ваутхайзена
Апробация работы Полученные результаты докладывались на
1 Международных семинарах "Дни Дифракции' и 2003, 2004 п 2005 юдах,
2 Международном семинаре "Spectial pioblems for Schiodmger-typc opci atois И" в Берлине (Германия) в 2003 году,
3 семинаре профессора Альбеверио в Институте прикладной математики Боннского Университета в 2004 году
4 Международной школе-семинаре "Mathematical Methods in Quantum Mechanics", Брессаноне (Италия), 2005,
5. Международном семинаре "Mathematical Models of Nanobtvuctuieb Spectial Problems and Scattering Properties" в Берлине (Германия) в 2005 году;
6 семинаре Лаборатории нейтронной физики ИТЭФ в 2005 году Основное содержание работы отражено в 6 публикациях
1 Белов, В В , Доброхотов С Ю , Синицын С О , Тудоровский Т Я , Квазиклассическое приближение и канонический оператор Маслова для нере-лятнвистских уравнений квантовой механики в ианотрубках, ДАН, v 393, N4, 2003, 460-4G4.
2 V V. Belov, S Yu Dobrokhotov,T Ya. Tudorovskiy, Quantum and Classical Dynamics of an Electron in Thin Curved Tubes with Spin and Extemal Electromagnetic Fields Taken into Account, Russ J Math Phys 11 (2004) 109-119
3 В В Белов, С Ю Доброхотов, Т Я Тудоровский, Асимптотические решения нерелятивистских уравнений квантовой механики н пгкриннепных наиотрубках, Теор Мат Физ 141 (2004) 267-303
4 VV Belov, S.Yu Dobiokhotov and T Ya Tudoiov-skiy, Operator Separation Of Variables For Adiabatic Problems In Quantum And Wave Mechanics Journ IikI Math (to appeal), arXiv niaUi-ph/l)50J041 vi 15 M,u 2005
5 В В Белов, С Ю Доброхотов, Т Я Тудоровскнй, Обобщенный адиабатически!! принцип для описания динамики эиектронд и искрпичшиыч наноструктурах, УФН, т 175, N9, (2005), 1004-1010
6 ТЯ Тудоровский О влиянии спина на кчасспческую и кнаптовх то JHH.1-мнку электрона в тонких закрученных квантовых трубках Мат Заметки т78, 6, (2005), 948-953
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав Материал диссертации изложен па 88 страницах машинописного re с« та Список литературы содержит 65 наименований
Краткое содержание работы
Параметры и гамильтониан в безразмерных переменных.
Перепишем уравнение (1) и гамильтониан (2) в подходящих безразмерных переменных Под характерным "продольным" размером L мы будем подразумевать длину трубки или длину геодезической на поверхности пленки Через <1 обозначим характерный радиус трубки или толщину пленки Перейдем от декартовых координат г в гамильтониане (2) к безразмерным координатам г' = г/¡, Введем
"магнитную длину" lu = ^/fic/(e|H|), квант магнитного потока Ф0 = 2тг/1<-/е. безразмерное магнитное поле как "число квантов магнитного потока через характерную площадь 2irL<T H' = 2тг/,(ШУФо, |Н'| = Ld/l2M и безразмерный векторный потенциал А' =-27ГAd/Фо Характерная магнитная длина, соответствующая напряженности магнитного поля 104Гс (1 Тл), определяется следующим образом 1м — y/hc/e|Н| = ^е/ао\Щ ~ 20nm, а0 = е2/йс = 1/137 Для d = 4нм длиной L ~ 100 нм получаем Ld/l\, ~ 1
Как следует из Введения, характерная поперечная энергия = №/(т<Р), характерная поперечная частота a;j. = h/(mcP), характерное время (период поперечных осцилляций) uij1 Определим безразмерные потенциалы u[ot = vml/e±. v'ext — "ext/ii, безразмерное время t1 = ojj'i и безразмерный параметр, характеризующий спин-орбитальное взаимодействие а' = На/а9 Штрихи в дальнейшем будем опускать Уравнение Шредингера (1) во введенных безразмерных переменных имеет вид-
iß<bt = НУ,
П = 1/2(-ifiV - А)2 + uint(r) + uext(r, t) + p/2{tr, H) + Hso, (4) где Hso = c<(tT, [Vu„t, —tp.V — А]) Мы будем предполагать, что а < ß
Динамика носителя заряда и спина в квантовых трубках со сложной геометрией
Криволинейные координаты. Определим подходящую систему координат в окрестности оси трубки Будем считать, что ось трубки - кривая 7 - задана уравнением г = R(x), г е R3, где R(x) - гладкая вектор-функция, х € R - натуральный параметр на 7 (длина трубки, отсчитанная от некоторой фиксированной точки х*), |3j;R(x)| = 1, дх = д/дх В случае, если кривизна оси к(х) = |cÇR| 0, определен трехгранник Френе {drR, n = 32R/|cÇR|,b = [c^R, nj} и кручение оси н(х) д^п = — хЬ — кдхR, ЭХЪ = хп Поворачивая п(х), b(j') на угол в(х) = f*. x(x)dx, построим вектора п^х), щ(х) Тогда введенные по
формуле г = R(/) + y(i. I/, ij<) y( /, i/b i/2) = Uini(-L) + V-'»->( 1 ) криволинейные координаты (£,1/1,2/2) в окрестности осп трубки будут ортогональными
Граничные условия. Будем понимать под [Н'рипдпчп кпми '[рубками )а-мкнутые трубки или трубки на концах которых для функции Ф выполнено условие периодичности Борна-Кармана Период трубки будем обозначать L При прохождении L вектора iii(i), п2(х) переходят в n(0o)ni(t), П(0о)пз(х). где П(0О) - матрица поворота на vroi в0 = f^ +L x(x)dv В силу этого, координаты (1,1/1,1/2) не являются побачьиымп - одной и той же точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты (х + nL. n(—n(t„)ijl и = 0. ±1, =2. где у = {у\,т}Т ~ вектор-сточбсц из двух компонент н условие периодичности имеет вид Ф(х,г/) = Ф(х + £.П(-0о)у)
Жесткие стенки. Будем считать, что при (у\ + у;)> S волновая функция Ф(г,;/) = 0 Параметр S считаем не зависящим от ¡1 Такое предположение для периодической трубки приводит к дискретному спектру оператора (4) Если потенциал конфайнмента <"„„ (х, у) быстро возрастает при удалении от оси трубки, можно надеяться что наложение условия "жестких стенок" оказывает 'малое влияние на динамик}- э к-ктроиа
В периодических трубках с лге гкпми стенками спектр оператора 7ÏÎ - дискретный.
Эффективный продольный гамильтониан в нанотрубке. Для упрощения формул в дальнейшем ограничимся классом модельных потенциалов вида wlllt = V (х*, 0(т)_1П(Ф)_1у) • где D(x) > 0, V(x",y\, у2) - гладкая функция, П(Ф) - матрица поворота па уго i "внутреннего" кручения Ф(г.) х"- некоторая фиксированная точка на осн трубки
Для применения адиабатичее кого приближения следует определить ''мгновенные поперечные" функции Они имеют вид exp^z(y, A(R))^ ш", j = 1, , г. где ш" - собственные функции задачи
fy/lj
Функции Wj удовлетворяют граничному условию
<(r.îy) = О при (yl + yl)>S
и условию нормировки
K(x,y)|V„ = l
Наличие номера j у функций означает, что значение £±{х) может быть вырождено, мы предполагаем, что кратность вырождения г не заои-( шп от продольной координаты i Функции ш^(х,у) и выражаются че-
рез ш;(х*,у), £х(х*) ы](х,у) = D"lUK (г*, D'1 (хЩ-'( i)y) с'^-О, £ЦХ) =
L
u/;(x,y) = £i(x>;(t,y) (5)
г±(с')02(с'')/02(х) Для непериодической трубки ш'Цх*,!/) и Д, иыбнрдют-ся неоднозначно, /3} можно взять равными нулю Для псрноднчсской трубки и ¡3) можно иыбрагь таким образом, чтобы ш"(х,у) бынп периодическими функциями X
Утверждение 1. Тогда одномерный по х эффективный квантовый матричный гамильтониан определяется формулами
■г. Р- , * „, ч пкЧ-с) е Г*/ап1 , ,
+ПВ® £2 — + Ьу® Е2 - 4^-Ег ® (<Т,Н) + £,„, (0)
го 2тс '
где р = —гПд/дх,
\ сот 2т/
11у = а(м° ® (о-, + м1 ® (<т, щ>р + л/2 ® (о-, П2)р)
Мы обозначили Е„ единичную п х п.-матрнцу, В - диагональную г х г-матрицу с коэффициентами = /3161у, А(х) - г х г-матрнцу момента с элементами Л„< = , ? = -гП(!лд/ду2 - у2д/ду1), Мк(х), к = 0,1,2 - матрицы
размера г х г вида = ((^и.пОЗг - (йотеМ, =
(ш;, (¿^«.„Ош^ , (А/2)„' = - (п>", (д1Ут1)ш^,)у , <9, = 9/32/,, ® - тензорное произведение матриц, У(х) = У1111 + У2П2, Ух(х) = К2П1 — У]п2 - трехмерные "векторы", компоненты которых суть 2x2 "дипольные" матрицы (У,)п<{х) = , г = 1,2 Здесь введено обозначение
(<рЛх,у),Ых,у))у= / Ч>\(х,у)<{>г(х,у)сРу
Для случая Ац » ¡1 гамильгопиан типа (0) был получен и |7, 31| "Геометрический потенциал" —Й2/с(г)2/(8т) необходимо принимать во внимание в длинноволновом случае (Ац ~ Ь) Именно он порождает связанные состояния в пустом волноводе [33], создавая эффективное притяжения к точкам наибольшей кривизны оси
Если ф" есть решение эффективного уравнения (3), то функция Ф" восстанавливается по формуле
= р. с/, ^-определяющий поправку дифференциальный оператор чинмй вид которого для дальнейшего несущественен
Геометрические фазы. В незамкнутой трубке для уравнений (3) ее 1е-ственно рассматривать задачу рассеяния и задачу об эволюции волновых пакетов В периодической трубке условие для Фвлечет блоховское условие для
вектор-функции ф" фи(х + L,t) = e"/mJoL<^A(R)>^"(Cit) Для замкнутой трубки фаза e/(hc) Jg(dxR, A(R))rfx = 2тгФ/Ф0, где Ф = J0L(d^R,A(R))dx - по-
ток магнитного поля через область, охватываемую осью трубки, Фо = 2~hc/e - квант магнитного потока Такое условие есть проявление эффекта Ааронова-Бома [10]
Перенормировка энергии и квазиклассические асимптотики. Спектр оператора (6) сильно зависит от характера изменения эффективного потенциала, те от эффективной силы, действующей на частицу в иаправтс-нпн оси трубки Для примера рассмотрим трубку ц отсутствие внешних псь лей Тогда эффективный "продольный" потенциал (аналог потенциала Морза в молекулярной физике) в основном определяется "флуктуацнямп" размеров поперечного сечения и, следовательно, "мгновенной" поперечной энергии (х) Рассмотрим периодическую трубку в случаях когда 1) s."L = £±{xfi) = const и 2) е±(х) имеет на периоде единственную точку минимума ха В случае 1) спектр оператора (6) имеет вид Е"" = + еЦ" На часть спектра ejfn может
существенно влиять кривизна оси. например организовывать связанные юс ю-яния (см [33, 6[) и слагаемые, связанные со спином |31| В случае 2) точка минимума Хо порождает спектральную серию асимптотически локализованных собственных функций ("ловушечных" состояний, аналогичных нижним состояниям ядер в молекулярной физике) и собственных значений Е"" = £±(хо) -г?"", при этом геометрический потенциал практически не играет никакой роли и может быть учтен по теории возмущений Продольная длина волны Ац связана с е"' соотношением еЦ" ~ ft2/(2mAp
Разумно предложить следующую классификацию собственных значений оператора (6) в зависимости от соотношения между е"" и г" (in)
a) длинноволновые - Ац ~ k, е"" ~ (ci2//j)e^(хп), h ~ 1,
b) средневолновые - Ац ~ \Щв, ejf1 ~ (ci/'o)£х(х")' ~
c) коротковолновые состояния - Ац ~ d, еЦ" ~ i о)> 'i ~ i'.
0
(Л
(1) ультракороткие - А, ~ ~ (г0Л/)^(.г0), Л ~ цу2
При Ац ~ (1г/1о, е([" ™ (/о/с/2)е^(хо), /1 ~ /х2 адиабатическое приближение разрушается Близкая классификация для абстрактной задачи была проведена в [28| В случае а) уравнение (3) следует решать точно, в случаях Ь)-<1) можно применять квазиклассическое применение, при этом в случае Ь) спин может влиять на классическую динамику, в случае с!) квазнклассичсское приближение совпадает с борцовским (см примеры в §4)
О точности вывода уравнений на подзонах размерного квантования. С помощью асимптотической процедуры оператор (б) можно построить с любой заданной точностью по параметру ¡л Однако, его вычисление связано с определенными техническими трудностями Как правило, можно ограничиться тремя членами разложения оператора ¿" Более строго, для случаев а)-с) следуют приведенные ниже два утверждения
Утверждение 2. Разность между функцией (7) и точным решением нестационарного уравнения (4) при одинаковых начальных условиях на временах, необходимых для прохождения трубки, стремится к нулю при ц —> О
Спектральной серией называется подпоследовательность асимптотических собственных значений оператора В случае, когда оператор Н не зависит от времени, имеет место
Утверждение 3. Спектральные серии Е"п операторов Ь" являются одновременно спектральными сериями оператора Н Это означает, что разные числа Е"п приближают различные точки спектра оператора Н Напомним, что в периодических трубках с жесткими стенками спектр оператора Н - дискретный В случае с1) характерный период поперечных колебаний тсР/И становится сравнимым со временем прохождения частицей трубки тп\\\1о/Н, тогда мгновенное разделение на продольные и поперечные колебания не имеет смысла и адиабатическое приближение перестает работать При этом в формуле (7) результат действия оператора х" на функцию ф" нельзя считать "поправкой" х"ф" ~ 1 Отвечающая таким состояниям часть спектра оператора ¿" не приближает никакие собственные значения Н Такую ситуацию удается иногда проанализировать с помощью комплексного метода ВКБ [36] Точность асимптотических конструкций в зависимости от соотношений между параметрами ц и /г также проанализирована в [19]
Некоторые свойства трубок с круглым сечением. В качестве потенциала конфайпмеита выберем ит( = т?12{х)(у\ + у2)/2 Тогда е\{х) = С1(х)(и + 1). кратность вырождения задачи (5) равна и + 1 и следовательно, матричный гамильтониан ¿" имеет размерность 2(^+1) х 2(1/+1) Выберем в качествен;" собственные функции оператора момента I = —Л(у1д/ду2 — у^д/дух) = -¡Нд/дф, которые имеют вид е'^и''''(г), 1 = 0, ±1, , к = 0,1, , где с/1 = / соыр, ц% = гянкр В базисе {шгамильтониан ¿" имеет вид блочио-диагональной матри-
цы с 2 х 2 блоками L"1, отвечающими проекции момента на ось трубки, равноП I
l* = + + 1) ■- ~ - £(№Н)1 - £ (а, а<(х)> (8,
Здесь а'(х) = е(шс)~' Н — 2am/ft(x)23IR. Цх) - кривизна оси грубкн в точке l Тем самым вектор 4Ju(x,t) составлен нз двухкомпонентных вектор-ф\ пкшШ ib"'(x.t) удовлетворяющих уравнениям iliil/f = Ь"'ф"1 Приведем его никоюрыс точные и <и.нмнтоп1че< кие решения
Явно решаемая модель для спиральной трубки. Рассмотрим трубм цилиндрически с осыо R(x) = (pi sm(x/p), — р\ cos(x/р), р2х/р), р = \Jр\ + pi Для нее к(х) = pi/p2 = const, кручение осп х(х) = рг/р2 = const
В случае, когда сечение трубки постоянно П(х) = f2 = const и магнитное поле направлено вдоль оси спирали Н = (О, О, Я), гамильтониан (8) унитарно эквивалентен оператору с постоянными коэффициентами
- - 55 (i -О Ю
-¥С. -.)-""(: л.)
где им = еН/(тс) - ларморова частота Поэтому спектр оператора L"1 (8) в бесконечной спиральной трубке непрерывен и имеет вид Еи,(д) = д-/(2т) + КЦу + 1) - р2шнЧ(Ы + />2р5/(8шр') -crnH/(mp)\J((q + тшир)/2 - ат2£1Чр2)2 + (am2Sl2lpi)2, ап = ±1
Пусть волновая функция Ф"(г, у) периодически повторяется через каждые N витков Это условие приводит к блоховскому условию для функции ф"1 с квазиимпульсом I/(2wflpN), I = -1ЛВ + 11в, где 1Лв = (е/с) J* {dzR, A(R))dx = (e/c)/Vi>, IlB = hi fa"pN xdx Таким образом, условие периодичности Ф" имеет вид N(2irpqln/h - л- - 2жрх1 + 27гФ/Ф0) = 2тгп Отсюда следует, что спектр оператора ¿"' с указанными блоховскнми условиями дискретен Е"1п = £"'(</") где = (h/p) (n/N + lpi/p+ 1/2) -Ф/(рФ0), Ф = itр\Н - поток магнитного поля через площадь проекции спирали Слагаемое I \в есть проявление эффекта Аароиова-Бома, а 1'в - фазы Берри Отметим, что /д = 0 при 1 = 0 Из [19] следует, что в случае невырожденного терма /в = 0 для произвольного сечения трубки При р2 = 0 Е"1п определяют спектр замкнутой торнческой трубки
Далее мы исследуем ситуации, когда к уравненшо (3) можно применить квазиклассическое приближение
Динамика спина в коротковолновом режиме. Рассмотрим iрубку переменной толщины с Л(х) const и нестационарное уравнение ilwf =
L"'ipИсследуем в "коротковолновом режиме" [19| эволюцию волновых пакетов ф"1(х,1), заданных.условием 0) = exp(iSH(x)/li)AQl(t,), ГДс А"' -двумерный вектор В этом случае функции ф"1 имеют квазпклассический нид н восстанавливаются по 1) траекториям X(xa,t) уравнения Ньютона па = + x\t-o = X(x0,t), тх|,=0 = {dS^/dx)(xa), 2) решениям A"l(xn,t) уравнения для спинора А"'
dA"1/dt - (7/2) (<т, al(x(t)))A"' = 0, А"11(=„ = А$(хп), (9)
где вектор а'(я) определен u (S)
Если при t < t' якобиан J"'(jcо, t) = \дХ/дт0\ ф 0, то Утверждение 4
где S"(x0,t) = Sg(xо) + fgl(m/2)X(x0,t)2 - m(X{x0,t))(v + l)}dt, ß(x0,i) = (1/2) J^(dxR(X(xg,t)),'H.)dt, x0(x, t) - решение уравнения X(t,xо) = x относительно Xq При t > t" -после появления фокальных точек ( например, в местах сужения трубки и вблизи ее конца ) асимптотика определяется с помощью канонического оператора Маслова
Спектральные асимптотики в коротковолновом режиме. Пусть в трубке переменной толщпны функции Ф" удовлетворяют условию периодичности через каждый виток спирали, и частота Q(x) с тем же периодом имеет на витке единственную точку минимума х0. Тогда функции, отвечающие энергии E"ln < шахе^(х) локализованы в классически доступной области, функции, отвечающие E"ln > max£^(z) делокализованы и описывают "баллистические" состояния [5|.
Утверждение 5. Локалгиованные состояния можно разделить па
1) низколежащие, соответствующие осцилляторному приближению (приближению Борна-Оппенгеймера для (1)) со спектром £"m' » Kl(xa)(v + 1) + + 1/2) _ тя2/зт(И) - <и H3l + ru>u\(e/c)K -2aml?l2(xa)dzR.{xn)\, где оц = ±1 отвечают направлению спипа по или против вектора (е/с)Н - 2атШ(хо)2дхЩхп), п
2) возбужденные, соответствующие быстроосциллирующим ВКБ-решепиям, со спектром
Е„ы = n _ ^Wn _ f^uin + 0(ц2), где Ef1 находится из условия квантования Бора-Зоммерфельда ^J^Vdx — h(n 4- 1/2), V =
— Kl(x)(v + 1)) Здесь Х\ < х2 суть решения уравнения V = 0, ш™1 = el{2тсГ)-1 /¿(dTR(X(x„, t)),H)dt = el(mcT)~l ¡^(дхR, Я)тГ~\1х, Т =
2 f™ m.V~1dx - период замкнутой траектории на уровне энергии Е™, ш™1 -
показатели Флоке матрицы моиодромни системы (9) (вещественные в силу самосопряженности матрицы (о-, a'(j:(i))) и такие, что —тг/Т < и/"и < 7г/Т) Для локализованных состояний фазы = 0. /д = О
Спектр баллистических состояний имеет вид Е = ЕЦп - ИшЦ'1 — liw""1 — /ю4 + 0(/i2). где ЕЦ" определяется условием f^pN Vdx = 2жГш - W/"' = el(cT)~l (дхЯ.,Н)Р-Чх, Т = mV-Чх, и™1 - показатели Флокс системы (9), JB = (hT)-4'B
Спин-орбитальное расщепление и теория возмущений. Пусть Н = 0, а <С (mfi)-1 Тогда поправка ш^"1 может быть подсчитана с помощью теории возмущений [31] Действительно, матрица моиодромни уравнения (9) М = Е + 2a-m///n(X(x„,0)2(o-,3tR(.Y(j.o,i))>'/f -0(а2), и показатели Флоке с точностью 0(а2) суть собственные числа матрицы 2amlT-1 /о П(Л"(х0, «))2(<т, ^ЩЛ^о, t)))dt 2am.IT'1 J02"pN ЩхЦсг, dxR{х))тпР'Ых Подчеркнем, что теория возмущений работает только при а <£ (mQ)'1
Влияние спина на классическую динамику слабовозбужденных состояний в зависимости от направления Н. Пусть |а'(х)| Ф О (термы не пересекаются) и Г!(х) = О. = const Тогда система уравнений ihipf = Ь-'ф"1 имеет быстроосциллпрующие ВКБ-решсния, которые восстанавливаются по траекториям двух классических систем пи = -Уи}х [19], где у'п = -еП{2тс)~ЦдхК,Щ - (<гп/2)й|а'(л)|, |а'(х)| =
у/ш2н + {2атО.Чу - 2(e/c)aiii2(dxR,H>
Экстремумы находятся из условия (|а'(х)| -
i7TlQTOfi2)5j:(-(l/2)(5IR,H)/) = 0 Точкам минимума v'n соответствуют "ловушки" Для направления 0[ минимумы и максимумы потенциала соответствуют минимумам п максимумам —(1/2)(0IR,H)/, те фазовый портрет спиновой частицы качественно совпадает с фазовым портретом аналогичной бесспиновой Но для направления aj аналогичная картина имеет место при условии amfi? < |a'(i*)|, где х' соответствует точкам минимума и мак< имума —(l/2)(9j:R, Н)/. Для направления <?i максимум потенциала повышается на величину (ft/2)|a'(i*)| по сравнению с бесспиновой частицей, а дчя at понижается на ту же величину Отсюда следует любопытная возможность сепарировать спиновые частицы с заданной проекцией момента I в диапазоне энергий Щи + 1) - he{2mc)-1(dxK(x'),K)l - (/i/2)|a'(x*)| < Е < hCl(v + 1) - Не(2тпс)~х(дхЩх'),Н}1 + (/j/2)|a'(x*)| частица с направлением спина <7[ будет проходить через трубку, в то время как частица с направлением спина <Tj будет отражаться от нее
Если arnil2 > |а'(х*)|, то для направления <7j в центре "магнитной" ловушки (точке минимума — (\/2)(дхК, H)i) возникает барьер - ловушка распадается на
две, в точках максимума —(1/2)(31Я,Н>/ появляются дополнительные точки минимума
Переворот спина (спии-флип). Рассмотрим случай еЦтпс) Н = 2ат1С12дхЩх') Тогда х* есть точка минимума —(1/2)(31Я,Н)/, а |а'(х*)| = О В этом случае в точках х" имеет место пересечение термов, которому соответствует "переворот" спина В качестве примера возьмем ось в виде дуги окружности Щх) = р(соз(х/р),8т(х/р),0) и поле е/(шс)Н = 2ат/П2(-1,0,0) Тогда потенциал у'п = — Н\1\шца\п(х/р) - <тц/га<я|зш(7г/4 - х/(2р))| и х* = тгр/2. причем главный член ВКБ-решення уравнения (3) определяется уравнениями тх = ~{у1±У, где = — Щ1\шнв1п(х/р) т ^н 51п(7г/4 — х/(2р)) [29| Потенциал и1± не совпадает с потенциалом г>ц
Разрушение локального описания в квазиодномерных волноводах
Описание модели. Рассмотрим торический волновод с параболическим потенциалом конфайнмента Приложим сильное однородное магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости, в которой лежит ось волновода (окружность) Собственные функции Ф в таком волноводе удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера
1 Г л 1 ( э н{р0+цУу\г ^ _ &
2 ду2 + (А) + да)2 V % 2ц ) 4(/>о + цУ)2 а*2
+П2(<%2 + Ф = £Ф (10)
Безразмерные переменные введены аналогично предыдущему пункту Напряженность магнитного поля выбрано так, что 1м ~ ёц Ограничимся состояниями, для которых мгновенная (средняя) поперечная кинетическая энергия Ех.(Ф) = (Ф, (—д2/дт£_ - 32/дг2)Ф)(,2(^) ~ 1 Если мгновенная продольная кинетическая энергия = (Ф,Ро2(—4*8/дф + Нр$/(2р.))2Ч!)уг(>р) ¿1~2, для исследования уравнения (10) можно использовать адиабатическое приближение
В случае, когда Е§(<р) ~ у.~7, период поперечных осцнлляций сопоставим со временем прохождения волновода Адиабатическое приближение становится неприменимым и для решения (10) следует воспользоваться подходами |30, 25, 17, 36| В отличие от адиабатического приближения, при таком подходе представление о локальной мгновенной поперечной энергии теряет смысл Описание опирается на глобальные классические характеристики (Флоке-решеппя п показатели Флоке) классической траектории, совпадающей с осыо волновода
Адиабатическое приближение. Рассмотрим асимптотики спектра и собственных функций в адиабатическом приближении Для простоты ограничимся
случаем £ц(<р) ~ 1
Сильное магнитное поле приводит к появлению переменной эффективно}! массы т(с^) = 1 + Нг/0.\{ф) Утверждение 6.
гдеП2М = П?М + Я2, = , + 1/2)+ 0,(^ + 1/2), {Яр§/(2^)}
означает дробную часть числа квантов магнитного потока, проходящего через площадь ограниченную осью волновода {Нр1/{2р?)} = {НжрЦ(2ирг)} = Ф/Фо, где Ф = Нтгр^/р? - поток магнитного поля через площадь 71725, Фо = 2тг -квант магнитного потока
Асимптотические собственные значения двукратно вырождены
Асимптотики вещественных собственных функций имеют вид
Хо'"(А,, Ч>, У, -) = пс^'^п^^'/Ч"' (л/Щ(у + г/о(р„, й))^®-) (12)
где (ро - специальная точка на оси [5]
"Супервозбужденные" состояния и разрушение адиабатического приближения.
Утверждение 7. В случае "сверхвозбужденных" состояний асимптотические собственные значения имеют вид
Я""»« = Н{[НрЦ{2ц2)} + п) + + 1/2) + + 1/2) + 0(/<), (13)
= е?*" + мЕ?1*" + О(р-),
где
ср [10] (стр 25) Здесь [Hpl/(2pr)\ означает целую часть числа квантон магнитного потока через площадь, ограниченную окружностью р = p¡j Наличие слагаемого Н[Нp\¡(2р?)] в (13) есть следствие эффекта Ааропоиа-Бома
Частоты 01, /% определяются следующим образом Рассмотрим два обыкновенных дифференциальных уравнения с периодическими коэффициентами
C¡ + (Я2 + П2(Я«))С! = 0, Со + П 1{Ш)Сг = 0 (14)
Пусть Ci = Zie'<3lt, C'i = - Флоке-решення (блоховские функции) этих
уравнений Коэффициенты í?i, называются коэффициентами Фтоке В случае, если мнимая часть одного из коэффициентов Флоке отлична от нуля, имеет место неустойчивость, эквивалентная изменению поперечной энергии классической частицы при прохождении ею волновода В этом случае формула (13) неприменима Если оба показателя Флоке вещественны, формула (13) определяет асимптотический спектр.
Асимптотики собственных функций, отвечающих собственным значениям имеют вид
Ф2"" = NMZxZJT1* х | ^ ({[НрЦ(2к)} + n)(V ~ Ы +
+ Щ^*2 - ("i + l/2)Arg(Z,) - (и2 + l/2)Arg(fc) j x
x exp (-¡/2/(2|2,|2) - z2/(2|.Z2|2)) Н^у/^Н^Ш), (15)
где vo _ специальная точка на оси [5|, N„ = знаки '±' соот-
ветствуют eos и sin.
Собственные значения Еасимптотически двукратно вырождены В случае, когда Е"1ПП приближают два невырожденных собственных значения дчъп < расщепление Е?""1 - Е™п =
Сравнение возбужденных и сверхвозбужденных состояний. Ускорение Ферми. Формулы (13), (15), в отличие от (11), (12), содержат только локальные мгновенные (при фиксированном tp) характеристики волновода Физически это связано с тем, что за период поперечных осцилляция в адиабатическом приближении продольные координата и импульс частицы не успевают существенно измениться, испытывая лишь "незначительные осцилляции" В результате задача сводится к описанию осреденнного продольного движения Мгновенная поперечная динамика определяется при "замороженных" продольных координате и импульсе
В то же время, в случае сверхвозбуждеппых состояний время прохождения волновода сопоставимо с периодом поперечных осцилляций В силу этого, продольная и поперечная динамика оказываются связанными, мгновенная поперечная энергия начинает зависеть от геометрии всего волновода Если формулы
(12), (11) справедливы при любых магнитных полях, то (13), (15) применимы лишь при полях, попадающих в зону устойчивости (14) При других значениях поля имеет место пштичесъог. ионсОглпи*
Задача с осциллирующими стенками (14) хорошо известна в классической механике [27) Она была впервые рассмотрена Ферми; поэтому возможное ускорение частицы в этой задаче называется ''ускорением Ферми" Естественно сказать что зоны неустойчивости в (10) возникают вследствие ускорения Ферми разрушающего регулярный спектр
Обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена как адиабатическое приближение.
Преобразование Фолдн-Ваутхайзеиа [8] представляет собой последовательную процедуру, позволяющую получить нерелятпвпстские уравнения электрона и позитрона с гамильтонианом типа Паули для частиц с кинетической энергией <£ тс? (у с) в слабом электромагнитном поле из уравнения Дирака с помощью унитарного преобразования В этом разделе мы рассмотрим обобщение преобразования Фолди-Ваутхайзена и построим гамильтонианы электронов и позитронов в слабом электромагнитном поле, справедливые для кинетических энергий < тс2
Мы стартуем с уравнения Дирака (с = 1)
1Й7г * = НФ. дг
и = ап + 0т + еФ,
(16)
0
где 7Г = р - еА, р = -ЛЧ Е - единичная 2 х 2-матрица, а <т,, < = 1 2 3 - стандартные матрицы Паули, удовлетворяющие соотношению а,а] = 5и + где г,3(. - абсолютно антисимметричный тензор Введем характерные параметры задачи Ас = Л/(тс) - комптоиовская длина волны, т<? - характерная величина полной энергии частицы Предположим что электрическое и магнитное поля достаточно слабые
е\сЕ
1,
е\сН
1, Н = юг А
т
Другими словами, в нашем приближении потенциалы полей "медленно1 зависят от пространственной переменной г и времени / Иначе можно сказать, что мы имеем задачу с малым параметром перед производными по г II 1 Будем формально ассоциировать малый параметр с постоянной Планка Л, стоящей перед этими производными
При указанных предположениях уравнение Дирака (16) сводится к двум уравнениям Шредгшгера для электронов и позитронов
гНф^-Ь+ф+, Л-ф^=Ь-ф~ (17)
Здесь ф+, ф~ - волновые функции и операторы ¿+, Ь~ - 2 х 2-матричиые гамильтонианы электронов и позитронов соответственно Электронный п позн-тронный гамильтонианы не являются почнномамп по р, поэтому их удобно задавать с помощью вейлевских символов
L+
Утверждение 8. Вейлевские символы электронного и позитронного гамильтонианов имеют вид
,+, /—5~;—Ъ , а eh(<rH) efur[E х тг]
1+(р, г, К) = vm! + л-2 + еФ--, ----' , '--h
' 1-Jm2 + тг2 1\jm} + 7г2(\/пг2 + 7Г2 + m)
eh2 e2h2E2 n
^"Sm2 8mä ^
2\/m2 + 7Г 2 v/m2 + Tr2(Vm2 + тг2 + m) pÄ2 e2ft2 E2
+ (18,
где черта сверху означает комплексное сопряжение Символы L+, L" зарядово сопряжены-
L~(p, г,е) = -Z/"(—р, г, -б).
Благодарности
Результаты диссертации были получены в рамках проектов грантов ОРС-РАН и РФФИ 05-01-00968а
Автор благодарит за дискуссии В А Гейлера, К В Панкрашкина, Л А Чер-нозатонского Работа выполнена при поддержке грантов ЭРО-РАН и РФФИ 05-01-00968а
Особую благодарность я выражаю научному ]>уководителю проф дф-м [г С Ю Доброхотову за помощь, оказанную автору за время обучения в аспирантуре Я очень признателен В В Белову за внимательное прочтение рукописи п ряд ценных замечаний, которые были учтены в окончательной редакции Я также благодарю С Я Секерж-Зеньковича за моральную поддержку и полезные дискуссии во время подготовки диссертации
Работы, опубликованные по теме диссертации
Основное содержание работы отражено в 6 публикациях
1 Белов. В В , Доброхотов С Ю , Снницын С О , Тудоровский Т Я , Ква-зикласснческое приближение н канонический оператор Маслова для нере-чятииистскпх уравнений квантовой механики в иапотрубках, ДАН, v 393 N4, 2003, 460-464
2 VV Belov, S.Yu Dobiokhotov.T Л a Tudoiov&kiy, Quantum <md C'l.isbiwil Dynamics of an Election m Thm Cuivecl Tubes with Spin and External Electromagnetic Fields Taken into Account, Russ J Math Phys 11 (2004) 109-119
3 В В Белов, С Ю Доброхотов, Т Я Тудоровский, Асимптотические решения неречятпвпстских уравнений квантовой механики в искривленных нанотрубках, Теор Мат Физ 141 (2004) 267-303
4 V V Belov, S Yu. Dobrokhotov and T.Ya Tudorovskiy Operator Separation Of Variables For Adiabatic Problems In Quantum And Wave Mechanics. Joum Ind Math (to appear); arXiv math-ph/0503041 vl 15 Mar 2005
5 В В Белов, С Ю Доброхотов, Т Я Тудоровский, Обобщенный адиабатический принцип для описания динамики электрона в искривленных наноструктурах. УФН, т 175, N9, (2005), 1004-1010
6 Т Я Тудоровский, О влиянии спина на классическую и квантовую динамику электрона в тонких закрученных квантовых трубках Мат Заметки, т.78, 6, (2005), 948-953
Литература
1 EI Blount, Bloch electrons in a magnetic field Phys Rev 126,5 (1961) 10361653
2 M Boin and J R Oppenheimer, Zm quantentheorie der molekeln Annalen der Physik 84 (1927) 457-484
3 L Chernozatonskii, E Gal'pern, N Serebryanaya, I Stankevich Polyraeis of Single Wall Nanotubes Geometiy, Diffraction Pattern, and Electronic Spectrum Modelling Electronic properties on novel materials - sciencp and technology of moleculai nanostructures Ed Kuzmany H , Fink J , Mehring M.,and Roth S , AIP Conf Proceedings, 486, N Y (1999) 284
4 da Costa R C T , Quantum mechanics of constrained particlc Phys Rev .4. 23, 1982-87, (1981), da Costa R. C T , Constraints m quantum mechanics Phys Rev. A, 25, 2893-900, (1982)
5 S Yu Dobrokhotov, A I Shafarevich, "Momentum" Tunneling between Ton and the Splitting of Eigenvalues of the Laplace-Beltrami Opciator on Liouvillc Surface, Math Phys , Analysis and Geometry, 2 (1999), 141-177
6 P Duclos and P Exner, Curvature-induced bound states m quantum waveguides in two and three dimensions, Rev Math Phys 7 (1995), 73-102
7 M V Entin and L.I. Magaril!, Electrons in a twisted quantum wire Phys Rev B 66 (2002) 205308.
8 L Fokly and S Wouthuysen, On the Dime theory of spin 1/2 ¡untitlf, and ;/.•> non-relativistic limit, Phys Rev 78, 29-36 (1950)
9 V Gantmakher, Y Levinson, Carrier Scattenmj w Mr tain and Semiconductor9, North-Holland, Amsterdam, (1987)
10 James Hamilton, Aharonov-Bohm and Other Cyclic Phenomena, Spnnger-Veilag New York, (1997) 183 pages
11 S Iijima, Nature (London), 354, 56, (1991)
12 .Jensen H, Koppe H, 1971 Quantum mechanics with constiaints -inn Phif, 269 77-104
13 G Panati, H Spohn, S Teufel, Space-Adiabatic Pertwbatwn Theo>~y arXiv math-ph/0201055 v3 24 Dec 2003
14 V Ya. Prinz. D Grutzmacher, A Beyer, С David, В Ketterer. E Deckardt Nanotechnology, 12. SI (2001)
15 R Saito, G Di esselliaus, M S Dresbelhau.s. Р1и/ы<а1 pivpn i/r-s of tinhon nanotubes, Imperial College Press, London (1998)
16 P С Schuster, R L Jaffe, Quantum mechanics on mamloldb embedded in Euclidean space, Ann Phys (San Diego) 307, 132. (2003).
17 В M Бабич, В С Булдырев, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, M Наука, (1972)
18 В В Белов, С Ю Доброхотов, С О Синицыи, Т Я Тудоровский, Квазиклассическое приближение и канонический оператор Маслова для нерелятивистских уравнений квантовой механики в нанотрубках, Докл РАН 393 (2003) 460-464
19 В. В Белов, С. Ю. Доброхотов, Т Я. Тудоровский, Асимптотические решения нерелятнвнстских уравнений квантовой механики в искривленных нанотрубках, Теор Мат. Фш 141 (2004) 267-303
20 В В. Белов, С Ю Доброхотов, Т Я Тудоровский. Обобщенный адиабатический принцип для описания динамики электрона в искривленных наноструктурах, УФН, т175, N9, (2005), 1004-1010
21 Л В Берлянд и С Ю Доброхотов, "Операторное разделение переменных ' в задачах коротковолновых асимптотик для дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, Доклады Аьад Наук СССР 296 (1987) 80-84.
22 Ю А Бычков, Е И Рашба, Письма в ЖЭТФ, 39, 78 (1984)
23 А И Ведерников, А В Чаплик, Двумерные электроны в спирально свернутых квантовых ямах, ЖЭТФ, 117, 2, (2000), 449-451
24 С Ю. Доброхотов, Применение теории Маслова к двум задачам для уравнений с операторнозначнымн сиволами, Успехи Мат Наук 39 (1984) 125
25 В. В Додонов, В И Манько, Инварианты и коррелированные состояния нестационарных квантовых систем, Труды Фпз Института им Лебедева, АН СССР, т. 183, (1987)
26 А В Елецкий, Углеродные нанотрубки, УФН, том 167, 9, (1997)
27 Г М Заславский, Стохастичность динамических систем, Москва, Наука (1984), 272 стр
28 М В Карасев, Новые глобальные асимптотики и аномалии в задаче квантования адиабатического инварианта, Функ Ан и его Прилоэ/с , 24, 2. (1990), 24-36.
29 В В Кучеренко, Асимптотика решения системы А(х, —1кд/дх)и = 0 при И —» 0 в случае характеристик переменной кратности, Изв АН СССР, Сер мат., 38, N3, 625-662, (1974)
30 М А Леонтович, В А Фок, Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли по методу параболического уравнения, ЖЭТФ, (1946), т 16, 557-573
31 Л И Магарилл, М В Энтин Электроны в криволинейной квантовой проволоке ЖЭТФ, (2003), т 123, № 4, стр 867
32 Л И Магарилл, А В Чаплик, Спин-зависимая локализация электронов в кристаллах, Письма в ЖЭТФ, т81, 4, (2005) 198-202
33 В П Маслов, Асимптотика собственных функций уравнения Аи + к2и = 0 с краевыми условиями на эквидистантных кривых и рассеяние электромагнитных волн в волноводе ДА Н, 123, 4, 631, (1958)
34 В П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы, М МГУ, (1965)
35 В П. Маслов, Операторные методы. Москва Наука (1973), 544 стр
36 В П Маслов, Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, М Наука, (1977)
37 Т Я Тудоровский, О влиянии спина на классическую и квантовую динамику электрона в тонких закрученных квантовых трубках, Мат Заметки, т 78, 6, (2005), 948-953
Адиабатическое приближение и квазиклассические асимптотики для математических моделей наноструктур
Тудоровский Тимур Яковлевич Подписано к печати 10 03 Об. Заказ №4-2006 Тираж 70 экз
Отпечатано на ризографе ИПМех РАН 119526 Москва, проспект Вернадского, д.101, к 1
ЯООСА
Введение
Общая характеристика работы.
Основные результаты.
Динамика носителя заряда и спина в квантовых трубках.
Разрушение локального описания в квазиодномерных волноводах ф Обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена.
Благодарности.
1 Эффективная динамика носителя заряда в нанотрубках
1.1 Эффективные уравнения и гамильтонианы на подзонах размерного квантования.
1.2 Эффекты, связанные со спином.
2 Адиабатическое приближение и его разрушение в квазиодномерных волноводах переменной толщины 36 2.1 Прямой волновод с "неровными" стенками.
2.1.1 Адиабатическое приближение.
2.1.2 Квазиклассические асимптотики.
2.1.3 Сверхвозбужденные продольные состояния. 2.2 Торический волновод с "неровными" стенками в сильном магнитном поле
2.2.1 Адиабатическое приближение.
2.2.2 Квазиклассические асимптотики.
2.2.3 Сверхвозбужденные продольные состояния.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Прогресс в нанотехнологии позволил создавать тонкие протяженные квазиодномерные и квазидвумерные структуры сложной геометрии - панотрубки и папопленки. Среди наноструктур наибольший интерес в настоящее время представляют углеродные нанотрубки [23, 31, 35, 9, 49]. Значительный технологический прогресс также достигнут в производстве наноструктур из полупроводниковых материалов [30].
Характерные поперечные размеры наноструктур - диаметр трубки и толщина пленки - d ~ 1 -г- Юнм (10-т-100 А) - сопоставимы с дебройлевской длиной волны электрона Л = 2к/kp ~ 1 нм с энергией порядка энергии Ферми £р ~ 1 эВ. Это обстоятельство приводит к эффекту "размерного квантования" в низкоразмерных системах: область локализации волновой функции по поперечным направлениям ~ А и энергия, отвечающая движению вдоль этих направлений квантуется. Характерный продольный размер L наноструктур обычно существенно больше d (например, L ~ 100 нм, см. [30]).
Слабость электрон-фононного взаимодействия в наноструктурах приводит к упругому баллистическому транспорту электрона на большие расстояния [31]. Таким образом, наноструктуры можно рассматривать в качестве квантовых волноводов или квантовых проводов, которые предполагается использовать при создании нового поколения наноэлектроники. Специфика квантовых волноводов заключается в том, что электрон обладает спином. Спиновая степень свободы, по-видимому, может существенно влиять на динамику электрона. В свою очередь, можно воздействовать на спин посредством геометрии структуры и внешнего магнитного поля. Последнее обстоятельство предполагается использовать в спинтронике - будущей основе приборов для квантовых вычислений. Здесь спиновая степень свободы является носителем информации [56].
Математические модели низкоразмерных структур. В рассматриваемой нами модели (приближение эффективной массы) указанные структуры представляют собой "сплошные" области типа тонкого изогнутого цилиндра с "закрученной границей" и тонкой искривленной пленки. Вне этих областей волновая функция Ф(г, t) квантовой частицы "экспоненциально" быстро убывает (модель "мягких стенок"), либо равна нулю (модель "жестких стенок"). Как и в [17, 55], мы полагаем, что квантовые состояния электрона Ф(г, t) (стационарные и нестационарные) в трехмерных наноструктурах, помещенных во внешнее электромагнитное поле, описывается нестационарным уравнением Шредингера г'ЛФ( = Ш (1) с гамильтонианом Рашбы [45]:
- Р2 eh
Н = 1Ы+ Uint(r) + Uext(r't] ~ Н) + Hs°- (2)
Ч
Здесь г - радиус-вектор точки в трехмерном пространстве, Р = — ihSJ — (е/с) A(r, t),h- постоянная Планка, е - заряд электрона, т - эффективная масса квазичастицы, i>int(r) - потенциал конфайнмента, ограничивающий движение частицы областью, занятой наноструктурой, (yext, А) - потенциалы внешних полей, Н(£) = rot А(г, t) - однородное магнитное поле, <т = {о\, сгг, <тз} - матрицы Паули, so = a(<r,[Vt;int,P])
- оператор взаимодействия спина электрона с электрическим полем кристалла. Постоянная а зависит от типа рассматриваемого кристалла [20]. При fjnt(r) = 0 и условии равенства волновой функции нулю на границах трубок и пленок, получаются модели "пустых структур". Жирными буквами обозначены векторы и векторные операторы с компонентами в декартовой системе координат.
В Главах 1,3 рассматривается случай достаточно слабого магнитного поля, когда ларморова частота и>я = е|Н|/(гас) ~ h/(mdL) и магнитная длина 1ц ~ y/dL, в Главе 2 — случай сильного магнитного поля иц ~ /l/(T7icZ2), Ih ~ d.
Мы ограничимся рассмотрением квантовой частицы (электрона) в трубках и пленках с медленно (адиабатически) меняющимися геометрическими характеристиками. Их малые сегменты с продольными масштабами порядка толщины d с большой точностью можно считать прямым цилиндром и ровным слоем. Разномасштабность в тонких протяженных наноструктурах удобно характеризовать малым "адиабатическим" параметром ц = d/L < 1.
Из физических соображения ясно, что эффективная динамика электрона в таких структурах должна быть одно- и двумерной, по крайней мере для нижних подзон размерного (поперечного) квантования, и определяться уравнениями с эффективными гамильтонианами Lv на оси трубки или на поверхности пленки для волновой функцией ф11-. ihift = Ьифи. (3)
Здесь v - номер подзоны размерного квантования. Для перехода от (1) к (3) мы используем подход, предложенный в [44]. Общая схема подхода приведена в Главе 4. Использованная процедура является обобщением адиабатического метода, восходящего к работе Борна и Оппенгеймера [б].
В случае, когда внутри волновода существует устойчивая классическая траектория, определяемая из решения гамильтоновых уравнений движения с гамильтонианом р2 г) = ^ + 4nt(г) + t>ext(r, 0. Р = Р - (е/с)А(г, t), с помощью указанного подхода можно описать не только "возбужденные", но и "сверхвозбужденные" состояния. Для таких состояний период поперечных ос-цилляций имеет тот же порядок величины, что и время пролета вдоль всего волновода. Однако "мгновенная поперечная энергия" таких состояний включает существенно нелокальные характеристики классической траектории, совпадающей с осью волновода (показатель Флоке). Переход от локального описания к нелокальному для состояний с высокой продольной энергией исследованы в Главе 2.
Как было отмечено, различные характерные размеры и наличие свободных носителей дают возможность рассматривать наноструктуры в качестве квантовых волноводов или квантовых систем с ограничениями [12, 24, 11, 16, 32, 13, 42, 1, 2, 43]. Близкие задачи, связанные с волноводами, возникают в электродинамике, акустике, теории упругости, физике океана и т.д. Исключение ограничений, приводящее к понижению размерности задачи обычно проводится с помощью адиабатического приближения. Оно эквивалентно асимптотическому разделению колебаний на продольные и поперечные моды. Такое разделение может быть проведено с любой степенью точности по параметру /л. В результате удается "спроектировать" динамику частицы на ось трубки (поверхность пленки), т.е. вывести эффективные уравнения типа (3). Для уравнения Гельмгольца такое разделение было проделано, например, в [57], где выписано уравнение типа (3) для продольной моды, и показано, что подбирая кривизну волновода можно создать резонаторы с одномодовыми связанными состояниями. В кван-товомеханических задачах подобные уравнения были выведены, например, в работах [24, 11, 17, 55, 46, 32, 42, 43]. Заметим, что задачи о волноводах близки задачам физики молекул, при этом роль потенциала конфайнмента играет ку-лоновский потенциал с "замороженными" координатами тяжелых ядер. В математической литературе уравнения, возникающие в разномасштабных задачах, называют уравнениями с операторнозначным символом [58].
Волновые функции продольных состояний гри могут быть 1) делокализо-ваны и существенно меняться на масштабах порядка L, 2) делокализованы и быстро осциллировать - т.е. меняться на масштабах Ац L, 3) асимптотически локализованы на малых участка с масштабами Ац L. Скорость изменения волновой функции мы характеризуем "квазиклассическим" параметром h = Ац/L, где
Ац = h 1
- характерная длина волны для фи. Окончательные формулы для Ф существенно зависят от соотношений между Лц, d и L, что эквивалентно соотношению между параметрами цн h. Близкая классификация была проведена в [50].
В этой работе мы приводим эффективные уравнения "на подзонах размерного квантования" (3), аккуратно выведенные и пригодные для описания всех перечисленных продольных состояний. Класс этих состояний оказывается существенно шире, чем в работах [24,11,17, 55, 32, 42, 43]. Из полученных уравнений следуют появление связанных состояний и ловушек за счет переменной толщины трубки, влияние спина на классическую одномерную динамику в трубках в присутствии магнитного поля, возможность переворота спина в искривленных трубках и т.д [41, 64].
Специфической особенностью рассматриваемых моделей наноструктур является наличие спина у электрона. Поэтому спектр наноструктур описывается уравнением Шредингера с матричным гамильтонианом (2). Подходы к изучению таких уравнений близки использованным в преобразовании Фолди-Ваутхайзена [19] и подстановке Пайерлса. Адиабатическое приближение для весьма общих (матричных) гамильтонианов как реализация квантового осреднения изучалась в работах [5, 50, 28]. В диссертации используется весьма простая операторная схема адиабатического приближения, предложенная в [44]. В качестве иллюстрации эффективности предложенной схемы рассматривается обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена, справедливое как для нерелятивистских, так и для релятивистских энергий электрона. Автор надеется, что использование развитого подхода в матричных задачах нанофизики, таких как андреевское отражение электронов от границы нанотрубка-сверхпроводник, окажется полезным.
Целью работы является редукция исходного трехмерного нестационарного уравнения Шредингера (1) с гамильтонианом Рашбы (2) на ось нанотрубки и поверхность нанопленки и дальнейший асимптотический анализ полученных эффективных уравнений. Рассматриваются особенности динамики, характерные для различных продольных энергий. Существенное внимание уделяется спиновым эффектам.
Общая методика исследования основана на сочетании адиабатического и квазиклассического приближений для уравнения Шредингера с гамильтонианом Рашбы.
Научная новизна определяется следующими основными результатами:
• Получены эффективные гамильтонианы продольного движения носителя заряда в низкоразмерных структурах, использована эффективная операторная схема адиабатического приближения, позволившая провести редукцию размерности для широкого диапазона состояний;
• с помощью квазиклассического приближения построены асимптотические решения эффективных продольных уравнений с учетом спина, выведены классические уравнения, описывающие спиновую динамику, показано, что для слабо возбужденных состояний спин может существенно влиять на классическую динамику;
• изучены границы применимости адиабатического приближения и причины его разрушения, для специальных примеров построены асимптотические решения для "сверхвозбужденных" состояний в области энергий, при которых адиабатическое приближение становится неприменимым; проведена аналогия между т.н. "ускорением Ферми" и причиной разрушения адиабатического приближения;
• на основе "операторного разделения переменных" получено "обобщенное преобразование" Фолди-Ваутхайзена для уравнения Дирака.
Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные уравнения продольного движения носителя заряда в наноструктурах, по-видимому, могут быть использованы для объяснения некоторых экспериментов. Автор надеется, что рассчитанные эффекты, связанные с динамикой спина в нанотрубках, действительно возникают в определенных ситуациях.
Приведенная в Главе 4 схема адиабатического приближения может быть применена во многих физических задачах для упрощения конкретных вычислений. Построенное обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена иллюстрирует применение указанной схемы и носит академический интерес.
Личное участие автора. Результаты диссертации, касающиеся движения заряда в низкоразмерных структурах получены совместно с научным руководителем профессором Доброхотовым, профессором Брюнингом (Гумбольдтовский университет, Берлин), профессором Беловым (МИЭМ). Вклад автора заключается в проведении конкретных вычислений. Квазиклассическая динамика спина в нанотрубках изучена автором самостоятельно.
Результаты, выносимые на защиту :
1. Получены эффективные продольные гамильтонианы в искривленных закрученных нанотрубках, справедливые для широкого диапазона продольных состояний;
2. Построены квазиклассические асимптотики для уравнений с эффективными продольными гамильтонианами для различных продольных энергий;
3. Изучена динамика спина для различных продольных энергий и различных возможных значений постоянной Рашбы;
4. Исследован эффект спин-флипа в искривленной трубке в постоянном магнитном поле специальной напряженности;
5. С помощью использованной общей схемы адиабатического приближения обобщено преобразование Фолди-Ваутхайзена.
Апробация работы. Полученные результаты докладывались на
1. Международных семинарах "Дни Дифракции" в 2003, 2004 и 2005 годах;
2. Международном семинаре "Spectral problems for Schrodinger-type operators И" в Берлине (Германия) в 2003 году;
3. семинаре профессора Альбеверио в Институте прикладной математики Боннского Университета в 2004 году;
4. Международной школе-семинаре "Mathematical Methods in Quantum Mechanics", Брессаноне (Италия), 2005;
5. Международном семинаре "Mathematical Models of Nanostructures: Spectral Problems and Scattering Properties" в Берлине (Германия) в 2005 году;
6. семинаре Лаборатории нейтронной физики ИТЭФ в 2005 году.
Основное содержание работы отражено в 6 публикациях.
1. Белов, В. В., Доброхотов С. Ю., Синицын С. О., Тудоровский Т. Я., Квазиклассическое приближение и канонический оператор Маслова для нерелятивистских уравнений квантовой механики в нанотрубках, ДАН, v. 393, N4, 2003, 460-464.
2. V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov,T.Ya. Tudorovskiy, Quantum and Classical Dynamics of an Electron in Thin Curved Tubes with Spin and External Electromagnetic Fields Taken into Account, Russ. J. Math. Phys. 11 (2004) 109-119.
3. В. В Белов, С. Ю. Доброхотов, Т. Я. Тудоровский, Асимптотические решения нерелятивистских уравнений квантовой механики в искривленных нанотрубках, Теор. Мат. Физ. 141 (2004) 267-303.
4. V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov and T.Ya. Tudorovskiy, Operator Separation Of Variables For Adidbatic Problems In Quantum And Wave Mechanics, Journ. Ind. Math, (to appear); arXiv:math-ph/0503041 vl 15 Mar 2005.
5. В. В. Белов, С. Ю. Доброхотов, Т. Я. Тудоровский, Обобщенный адиабатический принцип для описания динамики электрона в искривленных наноструктурах, УФН, т. 175, N9, (2005), 1004-1010.
6. Т.Я. Тудоровский, О влиянии спина на классическую и квантовую динамику электрона в тонких закрученных квантовых трубках, Мат. Заметки, т.78, б, (2005), 948-953.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав. Материал диссертации изложен на 88 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 65 наименований.
1. V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov and T.Ya. Tudorovskiy, Operator Separation Of Variables For Adiabatic Problems 1. Quantum And Wave .Mechanics, arXiv:math-ph/0503041 vl 15 Mar 2005.
2. V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov,T.Ya. Tudorovskiy, Quantum and Classical Dynamics of an Electron in Thin Curved Tubes with Spin and External Electromagnetic Fields Taken into Account, Russ. J. Math. Phys. 11 (2004) 109-119.
3. M. V. Berry, Quantal phase factors accompanying adiabatic changes, Proc. R. Soc. Lond., A 392, 45-57, (1984).
4. Bjorken James D., Drell Sydney D., Relativistic Quantum Theory, v.l Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, (1964).
5. E.I. Blount, Bloch electrons in a magnetic field. Phys. Rev. 126, 5 (1961) 16361653.
6. M. Born and J.R. Oppenheimer, Zur quantentheorie der molekeln. Annalen der Physik 84 (1927) 457-484.
7. M. Born, K. Huang, Dynamical Theory of Crystall Lattices, Oxford, Clarendon Press, 1954.
8. J. Briining, S.Yu. Dobrokhotov and K.V. Pankrashkin, The spectral asympto-tics of the two-dimensional Schrodinger operator with a strong magnetic field. Russ. J. Math. Phys. 9 (2002) 14-49 and 400-416.
9. B. De Witt, Phys. Rev, 85, 635 (1952)
10. G.F. Dell'Antonio and L. Tenuta, Semiclassical analisys of constrained quantum systems. J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004) 5605-5624.
11. S. Yu. Dobrokhotov, A. I. Shafarevich, "Momentum" Tunneling between Tori and the Splitting of Eigenvalues of the Laplace-Beltrami Operator on Liouville Surface, Math. Phys., Analysis and Geometry, 2 (1999), 141-177.
12. M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, P.C. Eklund, Science of Fullerenes and Carbon Nanotubes, Academic Press, San Diego, (1996);
13. P. Duclos and P. Exner, Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions, Rev. Math. Phys. 7 (1995), 73-102; P. Exner, A quantum pipette. J. Phys. A: Math. Gen. 28 (1995) 5323-5330.
14. M.V. Entin and L.I. Magarill, Electrons in a twisted quantum wire. Phys. Rev. В 66 (2002) 205308.
15. M. V. Entin and L. I. Magarill, Spin-orbit interaction of electrons on a curved surface, Phys. Rev. B, 64, 085330, (2001).
16. L. Foldy and S. Wouthuysen, On the Dirac theory of spin 1/2 particles and its non-relativistic limit, Phys. Rev. 78, 29-36 (1950).
17. V. Gantmakher, Y. Levinson, Carrier Scattering in Metals and Semiconductors, North-Holland, Amsterdam, (1987).
18. A. Gordon, J.E. Avron, Phys. Rev. Lett., 85, N1, (2000).
19. James Hamilton, Aharonov-Bohm and Other Cyclic Phenomena, Springer-Verlag New York, (1997) 183 pages.
20. S. Iijima, Nature (London), 354, 56, (1991).
21. Jensen H, Koppe H, 1971 Quantum mechanics with constraints Ann. Phys. 269 77-104.
22. P. Lochak and P. Meunier, Multiphase Averaging for Classical systems. In: S.S. Antmann, J.E. Marsden and L. Sirovich (eds.), Applied Mathematical Sciences 72. Berlin etc.: Springer-Verlag (1988) xi+360pp.
23. V.P. Maslov, Mathematical Aspects of Integral Optics, Russ. J. Math. Phys. 8 (2001) 83-105 and 180-238.
24. A.I. Neishtadt, The separation of motions in systems with rapidly rotating phase. J. Appl. Math. Mech. 48 (1984) 133-139.
25. G. Panati, H. Spohn, S. Teufel, Space-Adiabatic Perturbation Theory, arXiv:math-ph/0201055 v3 24 Dec 2003
26. R.E. Peierls, Quantum Theory of Solids. Oxford: The Clarendon Press (1955) viii+229pp.
27. V.Ya. Prinz, D. Grutzmacher, A. Beyer, C. David, B. Ketterer, E. Deckardt, Nanotechnology, 12, Si (2001).
28. R. Saito, G. Dresselhaus, M.S. Dresselhaus, Physical properties of carbon nanotubes, Imperial College Press, London, (1998).
29. P. C. Schuster, R. L. Jaffe, Quantum mechanics on manifolds embedded in Euclidean space, Ann. Phys. (San Diego) 307, 132, (2003).
30. L.I. Schiff, Quantum Mechanics. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Co., Inc. (1955) 417 pp.
31. A. J. Silenko, Foldy-Wouthuysen transformation for relativistic particles in external fields, arXiv:math-ph/0404067 vl 27 Apr 2004.
32. I. V. Stankevich, Diversity of carbon forms: Hypothesis and reality, Mol. Mat., 7, 1, (1996).
33. Д.В. Аносов, Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими решениями, Известия Акадаемии Наук СССР, Серия Математика, 24 (1960) 721-742.
34. В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, М.: Наука, (1974).
35. В. М. Бабич, В. С. Булдырев, Асимптотические методы в задачах дифракции коротких воли, М.:Наука, (1972).
36. В.В. Белов, С.Ю. Доброхотов и С.О. Синицын, Асимптотические решения уравнения Шредингера в тонких трубках, Труды Института математики и механики УрО РАН 9 (2003) 1-11.
37. В. В. Белов, С. Ю. Доброхотов, Т. Я. Тудоровский, Обобщенный адиабатический принцип для описания динамики электрона в искривленных наноструктурах, УФН, т. 175, N9, (2005), 1004-1010.
38. В.В. Белов, С.Ю. Доброхотов, С.О. Синицын, Т.Я. Тудоровский, Докл. РАН 393 (2003) 460-464.
39. В. В Белов, С. Ю. Доброхотов, Т. Я. Тудоровский, Теор. Мат. Физ. 141 (2004) 267-303.
40. Л. В. Берлянд и С. Ю. Доброхотов, "Операторное разделение переменных" в задачах коротковолновых асимптотик для дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами, Доклады Акад. Наук СССР 296 (1987) 80-84.
41. Ю. А. Бычков, Е. И. Рашба, Письма в ЖЭТФ, 39, 78 (1984).
42. А. И. Ведерников, А. В. Чаплик, Двумерные электроны в спирально свернутых квантовых ямах, ЖЭТФ, 117, 2, (2000), 449-451.
43. С. Ю. Доброхотов, Применение теории Маслова к двум задачам для уравнений с операторнозначными сиволами, Успехи Мат. Наук 39 (1984) 125.
44. В. В. Додонов, В. И. Манько, Инварианты и коррелированные состояния нестационарных квантовых систем, Труды Физ. Института им. Лебедева, АН СССР, т. 183, (1987).
45. А. В. Елецкий, Углеродные нанотрубки, УФН, том. 167, 9, (1997).
46. М. В. Карасев, Новые глобальные асимптотики и аномалии в задаче квантования адиабатического инварианта, Функ. An. и его Прилож., 24, 2, (1990), 24-36.
47. М.В. Карасев, В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, М: Наука, (1991), 368 стр.
48. В. В. Кучеренко, Асимптотика решения системы A(x,—ihd/dx)u = 0 при h —* 0 в случае характеристик переменной кратности, Изв. АН СССР, Сер. мат., 38, N3, 625-662, (1974).
49. JL Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика (Нерелятивистская теория). Теоретическая физика, т.З. Москва: Наука (1989) 768 стр.
50. М. А. Леонтович, В. А. Фок, Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли по методу параболического уравнения, ЖЭТФ, (1946), т.16, 557-573.
51. Л. И. Магарилл, М. В. Энтин. Электроны в криволинейной квантовой проволоке. ЖЭТФ, (2003), т.123, № 4, стр. 867.
52. Л. И. Магарилл, А. В. Чаплик, Спин-зависимая локализация электронов в кристаллах, Письма в ЖЭТФ, т.81, 4, (2005) 198-202.
53. В. П. Маслов, Асимптотика собственных функций уравнения Аи + к2и = 0 с краевыми условиями на эквидистантных кривых и рассеяние электромагнитных волн в волноводе ДАН, 123, 4, 631, (1958).
54. В. П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы, М.: МГУ, (1965).
55. В. П. Маслов, Операторные методы, Москва: Наука (1973), 544 стр.
56. В. П. Маслов, М.В. Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, М.: Наука, (1976).
57. В. П. Маслов, Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, М: Наука, (1977).
58. А. И. Нейштадт, Осреднение в многочастотных системах. II. Докл. Акад. Наук СССР. Механика 226 (1976) 1295-1298.
59. П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, М.:Наука, (1967).
60. Т.Я. Тудоровский, О влиянии спина на классическую и квантовую динамику электрона в тонких закрученных квантовых трубках, Мат. Заметки, т.78, 6, (2005), 948-953.
61. Г. М. Заславский, Стохастичность динамических систем, Москва, Наука, (1984), 272 стр.
