Асимптотический подход в прямых и обратных задачах теории атомных столкновений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

р Г Б ОД

2 - ¡С/ , . 1

АБРАМОВ Дмитрий Иванович

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ АТОМНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ

(01.04.02 - теоретическая физика)

"V --у 9

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1999

Работа выполнена на. кафедре квантовой механики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук В.С.Булдырев доктор физико-математических наук Б.Н.Захарьев доктор филико-математическизс наук А.И.Шерстюк

Ведущая организация - Российский Научный Центр "Курчатовский институт"

Лт УС —

Защита состоится г.

на заседании диссертационного совета Д 063.57.15 по защите диссертаций на соискание ученой стенени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург. Университетская таб., 7/9.

С диссертацией можно-ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " 1999 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

А.Н.Васильев

РОССИЙСКАЯ СУДЛРСТВЕШ1ЛЛ

5 И Б Л И О ТУ: * С А _

0ВЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Асимптотический подход — он понимается в диссертации весьма широко - служит основой многих методов и приближений в теории атомных столкновений. В последнее время, кроме того, в связи с расширением круга вопросов, изучаемых численно, возросла его роль как составной части в расчетах конкретных процессов. Рассмотренные в диссертации задачи объединены общим - асимптотическим - подходом, на котором основаны методы их исследования. Они составляют четыре группы, из которых первая и вторая относятся к прямым задачам теории столкновений (в них взаимодействие задано), а третья и четвертая - к обратным (где взаимодействие - искомая функция координат).

Первая группа связана с асимптотическим исследованием задачи двух кулоносг.ких центров (система ¿^с^), играющей в теории двухатомных систем такую же фундаментальную роль, как задача об атоме водорода в теории атома. Ее решения, полученные при разделении переменных, - кулоновские сфероидальные функции (КСФ) - используются в качестве базиса при расчетах связанных состояний и процессов рассеяния в атомных и мезоатомных трехчастичных системах. Этот подход -адиабатическое представление в кулоновской проблеме грех тел - при численной реализации требует знания асимптотики КСФ, термов и матричных элементов в различных областях. Анализ проблемы трех тел в адиабатическом гиперсферическом подходе тоже тесно связан с задачей двух центров. Асимптотика ее решений необходима также при изучении медленных атомных столкновений и рассеяния электронов молекулами.

Во второй группе задач рассматривается квантовое обобщение классической теории гармонического рассеяния, развитой ГО.ЕГ.Демковым. Речь идет о рассеянии на магые углы быстрых заряженных частиц электростатической и магнитостатической мишенью, когда рассеивающий потенциал гармоничен - удовлетворяет уравнению Лапласа. Теория для классического рассеяния при этом упрощается радикально: оно сводится к конформному отображению плоскости параметра удара на нлоскость поперечного переданного импульса. Малые углы рассеяния важны и в физических экспериментах, поскольку для них интенсивность относительно велика и детектирование рассеянных частиц упрощается. Таким образом, обобщение теории гармонического рассеяния на квантовый случай является важной задачей.

К третьей группе относятся два вопроса, связанные с обратной задачей рассеяния вентральным полем. Они сформулированы в литературе уже давно, но решены еще не полностью и вызывают постоянный интерес. Первый касается восстановления потенциала по данным рассеяния, заданным на некоторой кривой в плоскости энергия-угловой момент. Второй это квазиклассический переход в точных методах решения квантовой обратной задачи рассеяния. Их изучение важно для развития теории, поскольку позволяет более глубоко понять квантовую и квазиклассическую обратную задачи и их взаимосвязь.

В четвертой группе рассматриваются вопросы, связанные с методом переменной спектральной плотности (ПСП), предложенным в диссертации. Его разработка представляет с одной стороны теоретический интерес, так как речь идет о новой точном методе решения квантовой обратной задачи, ес имеющем близких аналогов. С другой стороны, она важна для приложений, поскольку метод НСП ориентирован на создание численных алгоритмов, удобных для достаточно широкого круга задач.

Целью диссертационной работы является исследование методами, развитыми на основе асимптотического подхода, следующих групп задач теории атомных столкновений:

1. вопросы, возникающие в адиабатическом и в адиабатическом гиперсферическом подходах к кулоновской проблеме трех тел (асимптотика решений задачи двух кулоновских центров и неадиабатических матричных элементов в важных для приложений областях, связь адиабатического гиперс<|»ернческого базиса с адиабатическим);

2. квантовое обобщение классической теории гармонического рассеяния (общая теория и анализ отдельных задач);

3. обратная задача (ОЗ) рассеяния центральным полем в квазиклассическом пределе (обобщение класса задач, сводящихся к уравнению Абеля, предельный переход в уравнении Марченко);

4. метод переменной спектральной плотности (ПСП) для квантовой ОЗ рассеяния с фиксированным моментом и квантовой 03 на конечном промежутке (теория и тестовые расчеты).

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, получены впервые. Они составляют четыре группы:

1. Детально изучена асимптотика решений задачи двух кулоновских центров при мальгх межцентровых расстояниях Я и в окрестности границы континуума, а также равномерная квазиклассическая асимптотика в областях параметров, соответствующих случаям предельного движе-

ния в классической задаче. Построена асимптотика неадиабатических матричных элементов, связывающих состояния дискретного и непрерывного спектра, при больших и при малых Н. Изучена связь адиабатического и адиабатического гиперсферического подходов в кулоновской проблеме трех тел.

2. Развиты методы квантовой теории гармонического рассеяния, позволяющие для широкого круга задач разделить переменные в эйкональ-нон амплитуде с использованием комплексных параметра удара и переданного импульса. Детально изучены отдельные задачи.

3. Изучен класс обратных задач классического н квалнклассического рассеяния центральным полем, сводящихся к уравнению Абеля. Исследован квазиклассический переход п методе Марченко.

4. Для квантовой обратной задачи рассеяния с фиксированным моментом и квантовой обратной задачи на конечном промежутке пред-южен новый точный метод решения - метод переменной спектральной плотности (ПСП). Он проверен в численных расчетах для ряда примеров.

Достоверность результатов. Изучаемые в диссертации проблемы формулируются достаточно просто и четко, а для их решения последовательно примеиеняются строгие математические методы. Полученные асимптотические формулы проверены сравнением с численными данными, где такие имеются, а разработанные методы тестированы на контрольных примерах. Основные результаты диссертации опубликованы в научной печати, доложены и обсуждены на семинарах, симпозиумах и конференциях.

Теоретическая я практическая значимость. ¡Полученные результаты разнообразны по характеру применения - часть из них представляет общетеоретический интерес и служит основой новых численных и аналитических методов, другие используются в расчетах конкретных физических систем. Результаты асимптотического исследования задачи двух кулоновских центров и связанных с ней проблем применяются в теоретических исследованиях трехчастичных кулоновских систем и в расчетных алгоритмах для конкретных задач атомной и мезоатомной физики. Методы, развитые для гармонического рассеяния в приближении эйконала, существенно обновляют и расширяют арсенал математических средств теории атомных столкновений и позволяют эффективно решить ряд важных для приложений задач. Выведенные формулы для квазиклассической обратной задачи рассеяния центральным полем обоб-

щают известные методы решения, а исследование квазиклассического перехода в методе Марченко углубляет понимание взаимосвязи классической, квазиклассической и квантовой обратных задач. Метод точного решения квантовой обратной задачи при помощи системы нелинейных уравнений для переменной спектральной плотности, предложенный в диссертации, позволяет существенно по-новому подойти к теоретическому анализу обратной задали и к созданию эффективных алгоритмов ее численного решения.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедр квантовой механики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского университета, в Физико-Техническом Институте имени А.ФЛоффе, Объединенном. Институте Ядерных Исследований, Российском Научном Центре "Курчатовский лнетитут", -Институте Физики .Высоких Энергий, Университете Фрибурга (Швейцария), Окриджекой Национальной Лаборатории (США), на Международной (Белград, 1973) и на Всесоюзных конференциях по физике электронных и атомных столкновений: Тбилиси (1975), Петрозаводск (1978), Ленинград (1981), Рига (1984), Ужгород (1388), на семинаре "Теория атомов и атомных спектров" Тбилиси (1988), на 14-ой Международной конференции Few Body Problems in Physics, Вильямс-бург (1994). Цикл работ "Гармоническое рассеяние", частью которого являются результаты четвертой главы диссертации, в 1995 году был удостоен премии имени В.А.Фока Российской Академии Наук (совместно с Ю.Н. Демковым).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 20 статьях |1-20].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения., шести глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы из 202 наименований. Она содержит 29 рисунков и 23 таблицы. Общий объем диссертации 275 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит формулировку основных задач диссертации и описание ее структуры.

В первой главе исследуются решения квантовой задачи двух кулонов-ских центров при малых межцеятровых расстояниях Л и в окрестности границы сплошного спектра Е = 0. Основные сведения о задаче, в

частности - уравнения в вытянутых сфероидальных координатах г/, приведены во вводной части.

В разделе 1.1 строится асимптотика решений радиальной задачи при Л О в сплошном спектре (Е > 0). Развитый метод [4] позволяет в принципе вычислить ее с любой точностью и, что важнее, выделить неаналитическую по Я часть. Происхождение последней связано с неоднозначностью радиальной функции при обходе точки £ = оо. В разделе 1.2 исследуется дискретный спектр радиальной задачи при Н 0. Асимптотика угловых функций и фаз рассеяния в полной (т.е. трехмерной) задаче 2\е21 построены в разделе 1.3 [4,5]. Дискретный спектр трехмерной задачи исследуется в разделе 1.4, где получено разложение при Я —^ 0 энергии терма с произвольными квантовыми числами в случае положительного суммарного заряда, > 0 [4]. Оно состоит - как и

разложение для фазы - из двух частей: регулярной, содержащей четные степени Я, и нерегулярной, содержащей," начиная со степени 21, +1, нечетные степени Д и 1п # (I = д+тга - орбитальный момент объединенного атома). Регулярная часть получена с учетом членов порядка С(й4), а нерегулярная - с учетом членов 0(Л2,+3) и 0(й2'+51п Я); для состояний с I = 0 вычислены дополнительно члены порядка 0{ПЪ) и 0(Пв 1п II). Как для энергий термов, гак и для фаз рассеяния анализируется выход на асимптотику результатов численных расчетов.

Структура разложений энергий и фаз при Л 0 исследована в общем случае впервые; асимптотика для терма с произвольными квантовыми числами была вычислена ранее до 0(/?2) включительно (только первый поправочный член), а для основного состояния - до 0(й5); асимптотика фаз не вычислялась.

В полученные разложения термов и фаз рассеяния при Я —У 0 входит в возрастающей степени параметр = Z^Z2{Z\ Поэтому они те-

ряют точность, а затем и смысл, когда 2\ —> — '¿ч. Физическая причина ясна: в разложении потенциала по ыультигголям, главные члены которого определяют спектр при малых 7?, второй член (дипольный) начинает превалировать над первым (заряд объединенного атома), и спектр из возмущенного кулоновского превращается в возмущенный дипольный (разделы 1.5,1.6,1.7). В разделе 1.5 исследуется поведение термов вблизи границы континуума для конечного диполя — —22, а — оо) [1], а в разделе 1.6 - рассеяние диполем при низких энергиях [2]. Решения в окрестности границы сплошного спектра для случая я ^ 1 исследуются в разделе 1.7 [3], они представляются как решения для конечного диполя

с возмущением.

В разделе 1.8 изучается спектр системы Z\eZ<^ в окрестности нулевой энергии для случая == > О [19]. Ведущие при Е 0 члены разложений термов и фаз рассеянна выражаются в этом случае через характеристики волновой функции нулевой энергии, для которых получены асимптотические выражения при малых и больших Я.

Во второй главе исследуется асимптотика неадиабатических матричных элементов, связывающих состояния дискретного и непрерывного спектров "заззати Z\eZ1 при Л —» оо (раздел 2.1) и при Л -4 0 (раздел 2.2). При Я оо используется метод перевала для интегралов специального вида [6,7]. при й -т 0 - преобразование матричного элемента к виду, допускающему вычисление с помощью функций объединенного атома [15]. Анализируется выход на асимптотику матричныхэлементов, расчитанных численно.

В третьей гл аве с помощью асимптотических формул квазиклассического типа исследуются: 1) особенности адиабатических термов системы связанные с вырождением точек остановки в классических уравнениях движения; 2) связь адиабатического гиперсферичсского подхода к кулоновской проблеме трех тел, с традиционным адиабатическим (■разложение по КСФ) подходом.

В разделах 3.1-3.5 при помощи метода эталонного уравнения построена равномерная асимптотика квазиклассического типа в областях параметров, соответствующих случаям предельного движения в классической задаче [14,16], когда время логарифмически расходится с приближением по одной из переменных С или т/ к вырожденной точке остановки. Полученные формулы описывают, в частности, бесконечные серии квазистационарных состояний и точек ветвления термов в комплексной плоскости межцентрового расстояния Я.

Связь адиабатического гиперсферического (АГС) базиса с КСФ исследуется в разделах 3.6, 3.7 [20]. Описан переход от чисто дискретного спектра А ГС-гамильтониана к смешанному (дискретный + сплошной) спектру задачи двух кулоновских центров при стремлении массы третьей частицы к нулю. АГС-термы с большими номерами образуют при этом квазинепрерывный спектр. Квазипересечения АГС-термов переходят в точные пересечения термов задачи двух кулоновских центров, обладающей более высокой симметрией. Предложена сфероидальная классификация АГС-термов.

В четвертой главе обобщается на квантовый случай классическая теория гармонического рассеяния. Развиваются методы, позволяющие реализовать высказанную Ю.Н.Демковым идею о разделении переменных в эйкональном интеграле для амплитуды рассеяния в случае гармонического потенциала. В результате оказывается возможным представить ее в виде суммы парных произведений контурных интегралов в целом ряде важных для приложений случаев. В разделе 4.1 рассматривается рассеяние системой N кулоновских центров [8]. Представление эйкональной амплитуды через известные специальные функции для отдельных задач (два кулоновских центра, конечный диполь, точечный диполь, заряд + точечный диполь, потенциал и/г2, магнитный диполь, тороидальный соленоид) получено в разделе 4.2 (8,12}. В разделе 4.3 исследуется переход к большим и малым переданным импульсам и специфика картины рассеяния в этих случаях. В разделе 4.4 детально исследуется гармоническое рассеяние вблизи сингулярностей классического сечения, обусловленных слиянием п стационарных точек фазы в эйкональном интеграле (фокальная точка) или уходом их на бесконечность (мультиполь) [9]. Амплитуда при этом выражается через аналоги функций Бесселя и Эйри, удовлетворяющие дифференциальному уравнению порядка п. Исследуются основные свойства этих спецфункций, разложения для амплитуды вблизи-сингулярной точки и вдали от нее.

Пятая глава посвящена квазиклассическим методам в обратной задаче (03) рассеяния центральным полем. В разделе 5.1 рассматривается восстановление потенциала по данным рассеяния, заданным на некоторой кривой в плоскости энергия-угловой момент (Е,Ь). Получен общий вид кривых (двупараметрическое семейство парабол), для которых классическая и квазиклассическая ОЗ рассеяния сводятся к уравнению Абеля [10]. Решение квазиклассической 03 при этом есть комбинация решений двух независимых классических задач с различными исходными данными - углом рассеяния и временем задержки. Рассмотрен переход к известным алгоритмам в частных случаях и кривые, для которых 03 решается в несколько этапов поочередным применением преобразования Абеля и формул прямой задачи. Описаны случаи, когда результат может быть представлен в виде явной функции У(г) или г(У). Рассмотрены примеры.

В разделе 5.2 исследуется квазиклассический переход в методе Марченко решения квантовой обратной задачи (03) рассеяния [11]. Постро-

сна асимптотика при Й -4 0 ядра оператора преобразования решения свободного уравнения Шредингера в решение уравнения с потенциалом, ядра обратного оператора и фурье-образа 5-матрицы. Показано, что предельный переход в нелинейном уравнении для ядра обратного оператора преобразования, эквивалентном уравнению Марченко, приводит к квазиклассическому соотношению между потенциалом и фазой рассеяния, преобразованной по Лежандру. Потенциал находится далее последовательным применением преобразований Лежандра и Абеля. В качестве примера подробно рассматривается s-рассеяние на экспоненциальном потенциале отталкивания.

В шестой главе предлагается новый точный метод решения квантовой обратной задачи - метод переменной спектральной плотности (ПСП) [13,17,18]. Он -основан на полученном в работе нелинейном уравнении (системе уравнений), которому удовлетворяет спектральная плотность задачи с переменкой левой границей г - т.е. зависящие от г модуль функции Поста jir(£',r){ и набор уровней энергии Еп(г) и нормировочных констант С „(г) связанных состояний. Обратная задача сводится к задаче Коши для этого уравнения, причем данные рассеяния играют роль начальных: условий. Для простейшего случая - s-расссяния в отсутствие связанных; состояний (раздел 6.1 [13}) - искомой величиной является модуль решения Поста, определенного условием

f(E,r) тЛх ехр(гЬ-), к2 = Е ,

упомянутое нелинейное уравнение (система дифференциальных уравнений первого порядка, пронумерованных непрерывным индексом Е) имеет -вид

ta I НЕ г) 1= l7(î\nÈ,r) Г'-Д|/(Б,г)Г' _ Л dÉ_

а начальными условиями служат данные рассеяния - модуль функции Поста |F(E)i ~ (ДБ,0)|, заданный при всех Е > 0 и связанный с фазой рассеяния известным дисперсионным соотношением. После решения задачи Копш и нахождения ¡/(Е,г)|, потенциал восстанавливается тривиально - его можно найти из дифференциального уравнения Милна, которому удовлетворяет \f(E, г) |, или по асимптотике |/(£, г)| при Е ^ 1

[131-

Метод разработан в диссертация для обратной задачи рассеяния центральным полем при фиксированном угловом моменте i (число связанных состояний произвольно, раздел 6.2 [18J) и обратной задачи Штурма-Лпувнлля на конечном промежутке (раздел 6.4 [17]).

Рассмотренные примеры численной реализации (раздеты 6.3, 6.4) показывают, что для обеих задач предложенный подход даст весьма хорошие результаты даже при использовании самых простых вычислительных-схем.

В заключении перечислены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Изучена асимптотика волновых функций, энергетических термов и фаз рассеяния в квантовой задаче двух кулоновских центров (система ZieZ-¿ ) при малых межцентровых расстояниях R . Разложение энергии терма состоит из степенной и логарифмической частей; стеленная часть для терма с произвольными квантовыми числами получена с учетом членов порядка а логарифмическая - с учетом членов 0(J?2í+5ln R) (I - орбитальный момент объединенного атома); для состояний с 1 = О вычислены дополнительно члены порядка 0(ñ5) и 0(2í'Jlri R) соответственно. Асимптотическое разложение фазы рассеяния имеет такую же структуру и получено с такой же точностью.

2. Исследованы решения задачи двух кулоновских центров вблизи границы континуума для дипольного ( Z\ -+ Zi — 0 ) 'я близкого к нему ( Zi — Zi \Z\ -f Zi\ = 0(I) ) случаев, а также для случая Z\ — Z-¿ > О . Получены асимптотические формулы, детально описывающие структуру дискретного спектра, который в зависимости от параметров носит либо кулоновекий, либо дипольный характер: выход термов в сплошной спектр для диполя, расщепление точек ныхода и ширину квазистационарных уровней при Z\ +- Zi < 0, квантовый дефект при Z\ + Z<¿ > fl для различных случаев. В сплошном спектре изучено поведение фаз И амплитуды рассеяния при низких энергиях.

3. Построена асимптотика неадиабатических матричных элементов, связывающих состояния дискретного и непрерывного спектра задачи двух кулоновских центров, в области больших и малых R, необходимая для расчетов связанных состояний и процессов рассеяния в системе трех тел с кулоновским взаимодействием в адиабатическом представлении.

Изучены особенности решений квантопой-задачи двух кулоновских центров в областях параметров, соответствующих случим вырождения

классических точек остановки, когда в классической задаче имеет место предельное движение. Построены равномерные асимптотические формулы квазиклассического типа в этих областях, и установлена связь указанного вырождения с бесконечными сериями квазистационарных состояний и точек ветвления термов в комплексной плоскости Я.

5. Исследована связь адиабатического и адиабатического гиперсфе-рнческого (АГС) базисов в кулоновской проблеме трех тел. Получены асимптотические формулы, описывающие переход базисных АГС-функций в кулоновские сфероидальные функции, когда масса третьей частицы стремится к нулю. Чисто дискретный энергетический спектр АГС-гамильтониана переходит при этом в смешанный спектр задачи двух кулоновских центров, а квазииересечения АГС-тер.мов в точные пересечения двухцентровых термов. Предложена сфероидальная классификация состояний АГС-гамильтониака.

6. Разработаны методы разделения переменных в эйкональном интеграле для амплитуды рассеяния гармоническим потенциалом, позволяющие обобщить на квантовый случай классическую теорию гармонического рассеяния. Амплитуда представляется при этом в виде суммы парных произведений контурных интегралов, зависящих от комплексного переданного импульса и от комплексно сопряженной к нему переменной. В частности, амплитуда рассеяния системой N кулоновских центров и некоторыми другими мишенями (конечный диполь, точечный диполь, заряд + диполь, потенциал а/г2, магнитный диполь, тороидальный соленоид) получена в виде конечной суммы парных произведений известных епецфункций.

7. Детально изучено гармоническое рассеяние вблизи сингулярностей классического сечения, обусловленных слиянием п стационарных точек фазы в эйкональном интеграле (фокальная точка) или уходом их на бесконечность (мультиполь). Для амплитуды рассеяния получено выражение через спецфункции - обобщения функций Бесселя и Эйрн - которые являются решениями уравнения порядка п. Исследованы их основные свойства, а также разложения для амплитуды в окрестности сингулярной точки и вдали от нее.

В. Исследована классическая и квазиклассическая задачи о восстановлении сферически симметричного потенциала по данным рассеяния, заданным на кривой в плоскости энергия - угловой момент. Получен общий вид кривых - это семейство парабол - для которых указанные обратные задачи сводятся к уравнению Абеля. Выведенные формулы

обращения переходят в ранее известные при частных значениях параметров, Исследованы случаи, в которых решение может быть представлено в виде явной функции.

0. Исследован квазикласспческий предел в уравнении Марченко в случае s-полны, построена асимптотика ядра оператора, преобразующего решение свободного уравнения Шрсдингсра в решение уравнения с потенциалом, ядра обратного оператора и фурье-образа S-матрицы. Показано, что уравнение для ядра обратного оператора преобразования, эквивалентное уравнению Марченко, в пределе приводит к квазиклассическому соотношению между потенциалом и фазой рассеяния. В качестве примера детально рассмотрено s-рассеяние на экспоненциальном потенциале.

10. Для квантовой обратной задачи рассеяния с фиксированным моментом I и квантовой обратной задачи на конечном промежутке предложен новый точный метод решения - метод переменной спектральной плотности (ПСП). Он основан на нелинейном уравнении (системе уравнений), которому удовлетворяет спектральная плотность задачи с переменной левой границей г . Обратная задача сводится к задаче Коши для этого уравнения, причем данные рассеяния играют роль начальных условий. Благодаря достаточно плавной зависимости ПСП от г и от Е для широкого круга задач, метод удобен при численной реализации, что подтверждено тестовыми расчетами для ряда примеров.

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях:

1. Абрамов Д.И., Комаров И.В.

Слабосвязанные состояния заряженной частицы в поле конечного диполя. ТМФ, 13, 209-221, (1972).

2. Абрамов Д.И., Комаров И.В.

Низкоэнергетнческое рассеяние заряженной частицы полем конечного стационарного диполя. Вестник ЛГУ, N 22, 24-32, (1975).

3. Абрамов Д.И.

Задача двух кулоновских центров при малых межцентровых расстояниях в случае большой разности зарядов. Вести. Л ГУ ,N16,23-28,(1977).

4. Abramov D.I., Slavyanov S.Yu.

The two Coulomb centres problem at small intercentre separations. Joum.Phys.B, 11, 2229-2241, (1978).

5. Abramov D.I., Kazakov A.Ya., Ponomarev L.I., Slavyanov S.Yu. Somov L.N. Phaseshifts in the Coulomb two-centre problem.

J.Phys.B, 12, 1761-1773, (1979).

6. Абрамов Д.И., Слашишв С.Ю.

Асимптотические формулы для некоторого класса интегралов. Вестник ЛГУ, N 13, 117-118, (1980).

7. Abramov D.I., Slavyanov S.Yu., SomovL.N.

The asymptotic behaviour of the non-adiabatic matrix elements connecting the ground state and continuum of the two-centre problem. Jottm.Phys.B, 13, 4717-4725, (1980).

8. Абрамов Д.И., Демков Ю.Н., Щербаков А.П.

Рассеяние заряженной частицы системой кулоновских центров и факторизация зикональной амплитуды. ЖЭТФ, 80,1334-1346, (1981).

9. Абрамов Д.И.

Квазиклассическое рассеяние быстрых частиц вблизи сингулярностей классического сечения. ТМФ, 52, 270-283, (1982).

10. Абрамов Д.И.

О вое становлении потенциала взаимодействия при квазнкласспче-ском рассеянии. ТМФ, 58, 244-253, (1984).

11. Абрамов Д.И.

Уравнения квантовой обратной задачи рассеяния в квазиклассическом пределе. ТМФ,-63, 32-49, (1985).

12. Абрамов Д.И., Демков Ю.Н.

Гармоническое рассеяние быстрых частиц на малые углы. В сборнике "Вопросы теории атомных столкновений", Ленинград, Изд-so ЛГУ, -вып.З, с.8-29, (1986).

13. Абрамов Д.И.

Восстановление потенциала взаимодействия по данным рассеяния при помощи нелинейных уравнений. ДАН СССР, 298,585-588, (1988).

14. Абрамов Д-И., Овчинников С.Ю., Соловьев Е.А. Новый тип резонансов в упругом рассеянии. Письма в ЖЭТФ, 47, 424-427, (1988).

15. Abramov D.I., Gusev V.V.

Effective potentials connecting the states of discrete and continuous spectra of the three-body problem in the adiabatic representation. Journ.Phys.B, 23, 1467-1479, (1990).

16. Abramov D.I., Ovcliiimikov S.Yu., SoIov'ev E.A.

Quasiclasskal expressions for parameters which determine nonadiabatic transitions in a ZxeZ2 basis. Phys.Rev.A, 42, 6366-6378, (1990).

18

19

20

ЛР Ла 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 10.02.1999 г. Формат бумаги 60X90 1/16. Б\лшга офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 685,

НИИ химии СПбГУ. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ. 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 2.

. Abramov D.I.

Quantum mechanical inverse problem on a finite, interval as an initial-value problem. Inverse problems, 7, 493-497, (1991). . Abramov D.I. Quantum inverse scattering problem as a Cauchy problem. Journ.Comp.Phys., 97, 516-534, (1991). . Abramov D.I., Gusev V.V.

The Coulomb two-centre problem near the boundary of the continuous spectrum. Joum.Phys.B, 25, 2445-2457, (1992). . Abramov D.I., Gusev V.V., and Ponomarev L.I. Relationship between the adiabatic hyperspherical and the Born-Oppenheimer approach to the Coulomb three-body problem. Ядерная физика, 60, 1259-1270, (1997).

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Асимптотические разложения длинноволнового типа в квантовой задаче двух кулоновских центров

1.1. Асимптотика решений радиального уравнения при с —

1.2. Дискретный спектр радиальной задачи при р —»

1.3. Асимптотика фаз рассеяния двумя кулоновскими центрами при малых межцентровых расстояниях

1.4. Термы задачи двух кулоновских центров при малых межцентровых расстояниях

1.5. Слабосвязанные состояния в поле конечного диполя

1.6. Низкоэнергетическое рассеяние полем конечного диполя

1.7. Окрестность границы сплошного спектра в случае, близком к дипольному.

1.8. Окрестность границы сплошного спектра в случае Z\ — Z■

Глава 2. Асимптотика матричных элементов кулоновской проблемы трех тел в адиабатическом представлении, связывающих состояния дискретного и непрерывного спектра задачи двух центров

2.1. Асимптотика при больших межъядерных расстояниях.

2.2. Асимптотика при малых межъядерных расстояниях.

Глава 3. Асимптотические задачи квазиклассического типа в адиабатическом и в адиабатическом гиперсферическом подходах к кулоновской проблеме трех тел.

3.1. Предельное движение в задаче двух кулоновских центров и особенности адиабатических термов

3.2. Равномерная квазиклассическая асимптотика решений угловой задачи вблизи вершины барьера.

3.3. Равномерная квазиклассическая асимптотика решений угловой задачи в окрестности А = Ъ

3.4. Равномерная квазиклассическая асимптотика решений радиальной задачи в окрестности вершины барьера

3.5. Равномерная квазиклассическая асимптотика решений радиальной задачи в окрестности А = а

3.6. Адиабатический гиперсферический (АГС) подход в кулоновской проблеме трех тел. Основные уравнения.

3.7. Соотношение между адиабатическим и адиабатическим гиперсферическим подходами к кулоновской проблеме трех тел

Глава 4. Гармоническое рассеяние в приближении эйконала

4.1. Рассеяние заряженной частицы системой кулоновских центров и факторизация эйкональной амплитуды

4.2. Частные случаи

4.3. Большие и малые переданные импульсы

4.4. Квазиклассическое рассеяние быстрых частиц вблизи сингулярностей классического сечения.

Глава 5. Квазиклассические методы в обратной задаче рассеяния центральным полем

5.1. Обратные задачи классического и квазиклассического рассеяния, приводящиеся к уравнению Абеля.

5.2. Уравнение Марченко в квазиклассическом пределе

Глава 6. Метод переменной спектральной плотности (ПСП) в квантовой обратной задаче

6.1. 8-рассеяние в отсутствие связанных состояний

6.2. Обобщение для произвольного I и произвольного числа связанных состояний.

6.3. Примеры численного решения квантовой 03 рассеяния методом ПСП

6.4. Метод ПСП для квантовой обратной задачи на конечном промежутке

Асимптотический подход - он понимается в диссертации в весьма широком смысле играет в теории атомных столкновений ключевую роль. Примерами служат ее основные приближения - борцовское, квазиклассическое, адиабатическое [1-3]. Наряду с тем, что асимптотические методы важны для развития математического аппарата теории и для приближенного решения прикладных задач, в последнее время в связи с резким ростом вычислительных возможностей и расширением круга задач, изучаемых численно, возросла роль асимптотического анализа как составной части многих сложных расчетов. Он необходим в них для корректной постановки задачи и исследования различных областей параметров с целью выбора адекватных вычислительных схем, для контроля вычислений и расчета по аналитическим формулам, где это целесообразно, для интерпретации полученных результатов и оценки точности вычислений.

Рассмотренные в диссертации задачи различны по физической сути и объединены общим - асимптотическим -- подходом, на котором основаны методы их исследования.

Целью диссертационной работы является исследование методами, развитыми на основе асимптотического подхода, следующих групп задач теории атомных столкновений:

1. вопросы, возникающие в адиабатическом и в адиабатическом гиперсферическом подходах к кулоновской проблеме трех тел (асимптотика решений квантовой задачи двух кулоновских центров и неадиабатических матричных элементов в важных для приложений областях, связь адиабатического гиперсферического базиса с адиабатическим главы 1-3);

2. квантовое обобщение классической теории гармонического рассеяния (общая теория и анализ отдельных задач глава 4);

3. обратная задача (03) рассеяния центральным полем в квазиклассическом пределе (обобщение класса задач, сводящихся к уравнению

Абеля, предельный переход в уравнении Марченко глава 5);

4. метод переменной спектральной плотности (ПСП) для квантовой ОЗ рассеяния с фиксированным моментом и квантовой ОЗ на конечном промежутке (теория и тестовые расчеты - глава 6).

Первая и вторая группа относятся к прямым задачам теории столкновений (в которых взаимодействие задано), а третья и четвертая - к обратным (где взаимодействие - искомая функция координат).

Полученные результаты разнообразны по характеру применения: часть из них представляет общетеоретический интерес и служит основой новых численных и аналитических методов, другие используются в расчетах конкретных физических систем.

Актуальность темы.

Асимптотические разложения длинноволнового типа в задаче двух кулоновских центров. Адиабатический базис, который часто используется в кулоновской проблеме трех тел (КПТТ), образован решениями задачи двух фиксированных кулоновских центров (система ¿^е^) ~~ кулоновскими сфероидальными функциями (КСФ) [9]. Необходимость подробного его изучения обусловлена прежде всего фундаментальностью самой задачи двух центров, допускающей разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах г/. ср. В классической механике она детально изучалась еще Эйлером и Лежандром {4,5], а в теории атомных столкновений и в теории молекул она играет такую же основополагающую роль, как задача об атоме водорода в теории атома. Изучение КСФ имеет, кроме того, большое прикладное значение, поскольку они широко используются как базис ( адиабатическое пг>е оставление). по которому паскладыва Гл .1 I I /7 1 *у 1 г~ ется полная волновая функция в расчетах конкретных трехчастичных систем. Задача при этом сводится к бесконечной системе интегро-дифференциальных уравнений для коэффициентов, зависящих от межцентрового расстояния I? [6-1-0] (сохранение в сумме только одного слагаемого соответствует известному приближению Борна-Оппенгеймера

6]). Метод адиабатического представления применяется, в частности, в исследованиях связанных состояний трехчастичных мезоатом-ных систем и процессов рассеяния 2 —> 2, важных в связи с проблемой /¿-катализа [10,11]. Вычисления для таких систем сложнее, чем для атомных, поскольку масса третьей частицы - мюона не может уже считаться подобно электронной массе пренебрежимо малой по сравнению с массами ядер. Реализация метода требует вычислени как самих КСФ, так и неадиабатических матричных элементов и радиальных функций в широком диапазоне /?. Обеспечить требуемую точность можно только максимально используя в алгоритме аналитические результаты для задачи двух центров, включая асимптотические формулы. Они применяются для привязки численных решений (например, при малых и больших Я), для исследования тех областей параметров, где требуется изменение алгоритма (граница сплошного спектра), для оценки вкладов различных областей спектра адиабатического гамильтониана в трехчастичную функцию и в энергию (в частности - вклада бесконечного числа дискретных состояний с энергиями вблизи границы сплошного спектра).

Имевшиеся в литературе аналитические результаты весьма полно отражены в монографии [9]; из нее, в частности, видно, что задача двух центров не была достаточно изучена при малых межцентровых расстояниях (Я —» 0) и вблизи границы сплошного спектра (Е —» 0). Эти вопросы исследуются в первой главе диссертации. Основной трудностью здесь является неаналитичность по Д и по £ в указанных областях. На неаналитичность энергии терма Еи (Я) при Я —> 0 указывает, например, появление логарифмического члена в разложении по малому Я поправки второго порядка теории возмущений для энергии [9]. В диссертации развита асимптотическая техника, позволившая раскрыть происхождение этой особенности и адекватно ее описать. На основе этой техники и различных вариантов метода эталонного уравнения получены асимптотические формулы, описывающие поведение КСФ, термов и фаз при Я —> 0 и при \Е\ —» 0 для различных соотношений между зарядами Z\ и Z4.

В разделе 1.1 исследуется радиальная задача в сплошном спектре (Е > 0), когда параметр с — R^jE/2 стремится к нулю. Развитый метод позволяет в принципе получить асимптотику с любой точностью и выделить неаналитическую по R часть, происхождение которой связано с неоднозначностью в общем случае радиальной функции при обходе точки £ — оо. С использованием полученных соотношений в разделе 1.2 исследуется дискретный спектр радиальной задачи nppi R —> 0. Асимптотика решений угловой задачи и фаз рассеяния двумя кулоновскими центрами Amq при малых R (т - азимутальное число, q - число нулей угловой функции) построены в разделе 1.3 [42-44].

Дискретный спектр полной (т.е. трехмерной) задачи Z\eZ<2 исследуется в разделе 1.4, где получено разложение при R —> 0 энергии терма Enim{R) <* произвольными квантовыми числами [41] (п - главное квантовое число, I — q + т - орбитальный момент объединенного атома). Оно состоит - как и разложение для фазы из двух частей: регулярной, содержащей четные степени i?, и нерегулярной, содержащей, начиная со степени 21 + 1, нечетные степени R и lili?. Регулярная часть получена с учетом членов порядка 0{/?4), а нерегулярная - с учетом членов 0(i?z/+3) и 0(Kzl+5 ln R); для состояний с I = 0 вычислены дополнительно члены порядка 0(Д5) и O(R^lnR) [41]. Как для энергий термов, так и для фаз рассеяния анализируется выход на асимптотику результатов численного расчета при малых R.

Структура разложений энергий и фаз при R —» 0 исследована в общем случае впервые; асимптотика для терма с произвольными п,1,т была вычислена ранее до 0(R2) включительно (только первый поправочный член), а для основного состояния - до ()(Rh) [84]; асимптотика фаз не вычислялась. Развитая в разделах 1.1-1.4 техника и асимптотические формулы использовались впоследствии в работах других авторов, в частности, непосредственно для разработки численных алгоритмов и в аналитических выкладках [198].

В полученные разложения термов и фаз рассеяния при R, —у 0 входит в возрастающей степени параметр з = ZlZ<2¡{Z\ + Поэтому они теряют точность, а затем и смысл, когда Z^¡ —> —Z^¿. Физическая причина ясна: в разложении потенциала по мультиполям, главные члены которого определяют спектр при малых Я, второй член (дипольный) начинает превалировать над первым (заряд объединенного атома), и спектр из возмущенного кулоновского превращается в возмущенный дипольный (разделы 1.5, 1.6, 1.7).

В разделе 1.5 получены соотношения, описывающие выход в континуум и экспоненциальное поведение вблизи его границы термов конечного диполя [36]. Сплошной спектр этой задачи - асимптотика фаз рассеяния и особенности рассеяния полем диполя при низких энергиях рассматривается в разделе 1.6 [37-39]. Полученные результаты важны для исследований рассеяния электронов полярными молекулами и включены в книгу [117] и в обзоры [14,199].

В разделе 1.7 исследуются решения задачи Z\eZч в окрестности границы сплошного спектра в случае, когда параметр в = Z\Zч{Z\-\-Z2)~'1 велик, 5 1 [40]. Эти решения представляются как решения для конечного диполя с возмущением. Получены асимптотические формулы для точек выхода, для наклона термов, положения и ширины квазистационарных с,о стояний.

В разделе 1.8 изучается спектр системы Z\eZч в окрестности нулевой энергии для случая Z\ = Z<l > [58,71]. Получены ведущие при Е —> 0 члены разложений фаз рассеяния, энергий и волновых функций связанных состояний. Они выражаются через характеристики волновой функции нулевой энергии - нормировочную константу ]У?гп(а) и фазу Ф 1т(а), а = + Z<¿)R, для которых получены асимптотические выражения при малых и больших а.

Асимптотика неадиабатических матричных элементов при малых и больших К необходима для расчетов в адиабатическом представлении как связанных состояний, так и процессов рассеяния 2 2 в системе трех тел с кулоновским взаимодействием. Точность всего расчета существенно зависит от точности вычисления матричных элементов, для которого главным (если не единственным) средством контроля является совпадение с асимптотикой. Малые Я характерны тем, что во многих случаях выражение для матричного элемента в сфероидальных координатах представляется в виде суммы слагаемых, старшие члены которых при Я —> 0 взаимно сокращаются; для более точного вычисления всей суммы требуется соответствующая аналитическая формула. Асимптотика при больших Я нужна потому, что численный расчет всегда ведется до некоторого конечного Я = /Г, и необходимо во-первых, убедиться в его надежности при К* > 1 и, во-вторых, аппроксимировать матричные элементы в области Я > Я*.

Во второй главе диссертации исследуется асимптотика при Я —> со и при Я —> 0 матричных элементов, связывающих состояния дискретного и непрерывного спектров задачи Z^eZ<2. Раздел 2.1 посвящен большим Я [45,47,54,67]. Основная задача, которую приходится здесь решать, - это нахождение асимптотики интегралов, которые оказываются экспоненциально малыми по сравнению с максимумом модуля подынтегральной функции на пути интегрирования [46]. Асимптотика при малых Я исследуется в разделе 2.2 [54,67]. Основной применяемый здесь прием - преобразование матричного элемента к виду, допускающему вычисление с использованием функций объединенного атома. Это достигается с помощью подходящих коммутационных соотношений. В обоих случаях Я —у оо и Я —» 0 исследование асимптотики проводилось в непосредственном взаимодействии с численным расчетом и использовалось для его контроля, приводятся соответствующие таблицы сравнения и указываются области, где происходит выход на асимптотику.

Полученные результаты использовались другими авторами в практических расчетах сечений упругих столкновений и перезарядки в ме-зоатомных системах [12,13] и при выводе приближенных формул для матричных элементов [200]. Метод вычисления интегралов специального вида, развитый при анализе асимптотики при Я 1 [46], вошел в монографию серии "Справочная математическая библиотека" [201] (стр.325-327).

Равномерная асимптотика квазиклассического типа в задаче двух кулоновских центров. Аналитические результаты для задачи 2 \ с,важны, в частности, для исследований, в которых можно ограничиться несколькими адиабатическими состояниями, например, в теории медленных атомных столкновений [3,15,133-137]. Особый интерес представляют квазистационарные состояния, а также свойства термов в комплексной плоскости К. в частности, точки ветвления, определяющие вероятность перехода при медленных столкновениях [15]. Необходимо не только получить для них приближенные аналитические формулы, но и понять их происхождение. Эти вопросы исследуются в третьей главе (разделы 3.1-3.5) на основе квазиклассического подхода [60,61,63-66,68]. Устанавливается связь квазистационарных состояний и точек ветвления со случаями предельного движения в классической задаче [143]. Они реализуются, когда точки остановки в радиальном или угловом уравнении сливаются либо друг с другом, либо с границей промежутка £ — 1 или 7/ = ±1 - различные возможности рассмотрены в разделах 3.2 - 3.5. При помощи предложенной техники, основанной на методе эталонного уравнения, построена равномерная асимптотика квазиклассического типа в окрестностях соответствующих особенностей, которая описывает, в частности, бесконечные серии квазистационарных состояний и точек ветвления термов в комплексной плоскости межцентрового расстояния К.

Полученные формулы использовались рядом авторов в квазиклассических расчетах сечений упругих и неупругих столкновений мезоатомов [202] и в других работах.

Связь адиабатического гиперсферического и адиабатического подходов к кулоновской проблеме трех тел. В последнее время в кулоновской проблеме трех тел (КПТТ) все шире используется адиабатический гиперсферический (АГС) подход, впервые примененный Мейсиком для описания автоионизационных состояний гелия [16] и хорошо зарекомендовавший себя в атомных и мезоатомных расчетах (см. [17-20] и имеющиеся там ссылки). Для процессов рассеяния 2 —>■ 2 в КIIТТ. в частности, для процессов с перестройкой, он обладает существенным преимуществом по сравнению с обычным адиабатическим подходом: отдельные члены А ГС-разложения в асимптотической области переходят в волновые функции невзаимодействующих фрагментов с правильными приведенными массами [15]. Существенно также то, что в отличие от обычного адиабатического базиса, состоящего из КСФ дискретного и сплошного спектра, АГС-базис состоит только из состояний дискретного спектра. Несмотря на отмеченные различия, во многих отношениях оба подхода весьма схожи. Важной задачей является вывод строгих формальных соотношений, описывающих связь между ними, поскольку многие результаты, полученные для разложения по КСФ, переносятся на АГС случай с небольшими изменениями, а сами базисные АГС-функции могут быть выражены в определенном приближении и в определенной области конфигурационного пространства через более простые и хорошо изученные КСФ. Связь АГС-базиса с КСФ исследуется в диссертации (разделы 3.6, 3.7) при помощи асимптотических формул квазиклассического типа [7274]. В частности, описан переход от чисто дискретного АГС-спектра к смешанному (дискретный + сплошной) спектру задачи двух куло-новских центров при стремлении массы третьей частицы к нулю и превращение в этом пределе квазипересечений АГС-термов в точные пересечения термов задачи двух кулоновских центров, обладающей более высокой симметрией. Предложена сфероидальная классификация состояний АГС гамильтопиана.

Полученные асимптотические результаты являются составной частью расчетов мезоатомных систем в АГС подходе [19,20,148-155]

Гармоническое рассеяние (ГР) в приближении эйконала, В

1980 году Ю.Н.Демков [21,22] открыл уникальный и довольно широкий класс задач, которые, с одной стороны, соответствуют реальным физическим условиям для самых разных проблем, а с другой - обладают особенно простыми свойствами. Речь идет о гармоническом рассеянии. Это рассеяние на малые углы быстрых заряженных частиц электростатической и магнитостатической мишенью, когда рассеивающий потенциал гармоничен - удовлетворяет уравнению Лапласа. Области, в которых могут быть использованы методы ГР, весьма разнообразны: рассеяние иона молекулой, скользящее рассеяние поверхностью твердого тела, прохождение быстрых частиц через тонкие пленки, рассеяние протонов деформированными ядрами, электронная оптика. В классической механике ГР сводится к конформному отображению плоскости параметра удара на плоскость переданного импульса. Это дает возможность впервые в теории рассеяния - применить аппарат теории конформных преобразований подобно тому, как он применяется для плоских задач электростатики, гидродинамики и теории упругости.

Из сказанного следует актуальность обобщения теории ГР на квантовый случай. Оно строится в четвертой главе диссертации на основе приближения Глаубера [23] (эйконала) для амплитуды рассеяния, когда она представляется в виде интеграла по плоскости параметра удара. Развиваемые методы позволяют реализовать высказанную Ю.Н.Демковым идею о разделении переменных в эйкональном интеграле в случае гармонического потенциала. В результате оказывается возможным представить ее в виде суммы произведений контурных интегралов в целом ряде важных для приложений случаев.

В разделе 4.1 рассматривается рассеяние заряженной частицы системой кулоновских центров [48,49] и описывается процедура разделения переменных. Она основана на аналитическом продолжении подынтегральной функции в эйкональном интеграле по одной из переменных, надлежащей деформации контура интегрирования и введения понятий комплексного параметра удара Ь и комплексного переданного импульса р. В результате амплитуда представляется в виде конечной суммы парных прозведений функции от р на функцию от р*. С помощью развитой техники получено представление эйкональной амплитуды через известные специальные функции для ряда важных конкретных задач (раздел 4.2): два кулоновских центра, конечный диполь, точечный диполь, заряд + точечный диполь, потенциал а/г2, магнитный диполь, тороидальный соленоид [48,57]. В разделе 4.3 исследуется переход к большим и малым переданным импульсам и специфика картины рассеяния в этих случаях. В разделе 4.4 детально исследуется гармоническое рассеяние вблизи сингулярностей классического сечения, обусловленных слиянием п стационарных точек фазы в эйконал ьном интеграле (фокальная точка) или уходом их на бесконечность (мультиполь) [50,51]. Для амплитуды рассеяния получено выражение через аналоги функций Бесселя и Эйри, удовлетворяющие уравнению порядка п, исследованы их основные свойства. Получены разложения амплитуды вблизи сингулярности и вдали от нее.

Квазиклассические методы в обратной задаче (ОЗ) рассеяния центральным полем. Для 03 рассеяния центральным полем в диссертации (глава 5) исследуются два вопроса, сформулированные в литературе ранее. Они важны для обобщения известных методов решения и для углубления понимания классической, квазжклассической и квантовой обратных задач и их взаимосвязи. Первый это вопрос о восстановлении потенциала по данным рассеяния, заданным на некоторой кривой в плоскости энергия Е - угловой момент Ь. Он возникает в связи с тем, что информация -о рассеянии, заданная в виде функции двух переменных Е, Ь (фаза рассеяния ¿¡(Е) в квантовой задаче или угол рассеяния х{Е,Ь) в классической), является избыточной: искомый сферически-симметричный потенциал У (г) - это функция только одной переменной г , и для нахождения У(г) данные рассеяния необходимо знать в плоскости (Е, Ь) лишь на некоторой кривой. В диссертации (раздел 5.1 [52]) получен общий вид кривых, для которых классическая и квазиклассическая 03 сводятся к уравнению Абеля - это двупараметрическое семейство парабол. Показано, что решение квазиклассической обратной задачи рассеяния есть комбинация решений двух независимых классических задач с различными исходными данными - углом рассеяния и временем задержки, изучен переход к известным алгоритмам при частных значениях параметров. Рассмотрены кривые, для которых 0-3 решается в несколько этапов поочередным применением преобразования Абеля и формул прямой задачи, Описаны случаи, когда результат может быть представлен в виде явной функции V(r) или r(V). Рассмотрены примеры.

Квантовая 03 на указанном семействе парабол была исследованана в работе Захарьева и Рудяка [27].

Второй вопрос, на актуальность исследования которого указывается, например, в монографии Шадана и Сабатье [28], - это квазиклассический предельный переход в методе Гельфанда-Левитана-Марченко [28-33] - основном точном методе решения квантовой ОЗ. Изучение перехода к квазиклассике, где физическая интерпретация наиболее наглядна, могло бы пролить свет и на физическое содержание точного метода, которое до конца еще не выяснено [34]. Анализ конкретных моделей (см., например, [184]) не вносит ясности в этот вопрос, так как для них предельный переход осуществляется фактически в окончательных формулах, относящихся только к данной модели.

В диссертации переход к квазиклассике изучен в уравнении Марченко для s-волны (раздел 5.2 [55,56]), Построена асимптотика при U —У О ядра оператора преобразования решения свободного уравнения Шредингера в решение уравнения с потенциалом, ядра обратного оператора и фурье-образа ¿'-матрицы. Показано, что в результате предельного перехода получается известное соотношение, связывающее квазиклассическую фазу рассеяния с потенциалом, но в специальном представлении в пространстве функций, преобразованных по Ле-жандру. Потенциал находится далее последовательным применением преобразований Лежандра и Абеля. При этом второй этап решения

03 - восстановление потенциала по найденному ядру в квазиклассическом случае выглядит существенно иначе, чем в точном методе: в квазиклассческом пределе асимптотика ядра оператора преобразования строится вдали от диагонали, тогда как в квантовом алгоритме именно эта область является наиболее важной, поскольку потенциал восстанавливается по производной ядра на диагонали. В качестве примера подробно рассматривается 5-рассеяние на экспоненциальном потенциале отталкивания.

Метод переменной спектральной плотности (ПСИ) в квантовой обратной задаче развивается в шестой главе диссертации [59, 62,69.70]. Он основан на исследовании спектральной плотности задачи на промежутке с переменной левой границей г. Показано, что эта величина - переменная спектральная плотность (ПСП) - рассматриваемая как бесконечный набор функций от г, пронумерованный спектральным параметром (энергия) как индексом (дискретным или непрерывным), удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по г, в которой дискретному спектру соответствует обычное суммирование, а непрерывному - интегрирование. Система нелинейна. Данные рассеяния, т.е. спектральная плотность при г = 0, служат для нее начальными условиями, а нахождение спектральной плотности при г > 0 сводится к решению задачи Коши. После этого потенциал в точке г определяется уже известными методами.

Разработка метода ПСП представляет интерес с одной стороны потому, что для довольно широкого круга задач он удобен при численной реализации. Дело в том, что в нем искомые величины (в простейшем случае амплитуда решения Поста уравнения Шредингера) являются, как правило, плавными функциями координат и энергии. Это дает вычислительные преимущества, аналогичные возникающим в п рямой задаче, когда с целью повышения эффективности вычислительных алгоритмов от линейного уравнения Шредингера для волновой функции переходят к нелинейному уравнению для ее амплитуды [35].

С другой стороны, предложенная схема интересна чисто теоретически, так как речь идет о новом точном методе решения квантовой обратной задачи, не имеющем близких аналогов.

Развитый метод не предполагает малости какого-либо параметра. Использование асимптотического подхода при его разработке оказывается тем не менее существенным: для точной задачи он строится как обобщение разработанного в случае, когда применима теория возмущений, и все уравнения в первом порядке линейны. Кроме того, линеаризованные уравнения дают возможность относительно просто исследовать принципиальные моменты.

Метод ПСП развит в диссертации для двух обратных задач: 1) обратной задачи рассеяния центральным полем при фиксированном угловом моменте I и 2) обратной задачи Штурма-Лиувилля на конечном промежутке. Рассмотренные примеры численной реализации показывают, что для обеих задач предложенный подход дает весьма хорошие результаты даже при использовании самых простых вычислительных схем.

Для простейшего случая - 5-рассеяния в отсутствие связанных состояний - метод излагается в разделе 6.1 [59,62], где выведено основное интегро-дифференциальное уравнение для спектральной плотности (т.е. в данном случае для модуля функции Иоста \Е(Е,г)\). Случай рассеяния с произвольным моментом при произвольным числе связанных состояний рассмотрен в разделе 6.2 [70]. Здесь получена нелинейная система уравнений для спектральной плотности - т.е. модуля функции Иоста \Е(Е,г)\ и набора уровней энергии Еп(г) и нормировочных констант Сп(г) связанных состояний. Примеры численного решения квантовой обратной задачи рассеяния предложенным методом при значениях момента / = 0,1 для потенциалов с различным числом связанных состояний приведены в разделе 6.3.

В разделе 6.4 метод ПСП распространен на задачу восстановления потенциала по дискретному спектру (набору собственных энергий и нормировочных констант) задачи Штурма-Лиувилля на конечном промежутке [69]. Приведены примеры численной реализации предложенного метода.

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [36]-[74].

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедр квантовой механики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского университета, в Физико-Техническом Институте имени А.Ф.Иоффе, Объединенном Институте Ядерных Исследований, Российском Научном Центре "Курчатовский институт", Институте Физики Высоких Энергий, Университете Фрибурга (Швейцария), Окриджской Национальной Лаборатории (США), на Международной (Белград, 1973) и на Всесоюзных конференциях по физике электронных и атомных столкновений: Тбилиси (1975), Петрозаводск (1978), Ленинград (1981), Рига (1984), Ужгород (1988), на семинаре "Теория атомов и атомных спектров" Тбилиси (1988), на 14-ой Международной конференции Few Body Problems in Physics, Вильямсбург (1994). Цикл работ "Гармоническое рассеяние", частью которого являются результаты четвертой главы диссертации, в 1995 году был удостоен премии имени В.А.Фока Российской Академии Наук (совместно с Ю.Н.Демковым).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Изучена асимптотика волновых функций, энергетических термов и фаз рассеяния в квантовой задаче двух кулоновских центров (система Z\cZ•1 ) при малых межцентровых расстояниях К . Разложение энергии терма состоит из степенной и логарифмической частей; степенная часть для терма с произвольными квантовыми числами получена с учетом членов порядка О (Л4), а логарифмическая с учетом членов 0(Д2/+51п К) (/ - орбитальный момент объединенного атома); для состояний с / = 0 вычислены дополнительно члены порядка 0(Я,Ъ) и 0(Е& 1пД) соответственно. Асимптотическое разложение фазы рассеяния имеет такую же структуру и получено с такой же точностью.

2. Исследованы решения задачи двух кулоновских центров вблизи границы континуума для дипольного ( ^ + ^ = 0 ) и близкого к нему ( Z2 — Z\ [^1 + Zч\ = 0(1) ) случаев, а также для случая Zl = Z2 > 0 . Получены асимптотические формулы, детально описывающие структуру дискретного спектра, который в зависимости от параметров носит либо кулоновский, либо дипольный характер: выход термов в сплошной спектр для диполя, расщепление точек выхода и ширину квазистационарных уровней при Z\ + < 0, квантовый дефект при + ^ > О для различных случаев. В сплошном спектре изучено поведение фаз и амплитуды рассеяния при низких энергиях.

3. Построена асимптотика неадиабатических матричных элементов, связывающих состояния дискретного и непрерывного спектра задачи двух кулоновских центров, в области больших и малых Л, необходимая для расчетов связанных состояний и процессов рассеяния в системе трех тел с кулоновским взаимодействием ъ адиабатическом представлении.

4. Изучены особенности решений квантовой задачи двух кулоновских центров в областях параметров, соответствующих случаям вырождения классических точек остановки, когда в классической задаче имеет место предельное движение. Построены равномерные асимптотические формулы квазиклассического типа в этих областях, и установлена связь указанного вырождения с бесконечными сериями квазистационарных состояний и точек ветвления термов в комплексной плоскости Я.

5. Исследована связь адиабатического и адиабатического гиперсферического (АГС) базисов в кулоновской проблеме трех тел. Получены асимптотические формулы, описывающие переход базисных АГС-функций в кулоновские сфероидальные функции, когда масса третьей частицы стремится к нулю. Чисто дискретный энергетический спектр АГС-гамильтониана переходит при этом в смешанный спектр задачи двух кулоновских центров, а квазипересечения АГС-термов в точные пересечения двухцентровых термов. Предложена сфероидальная классификация состояний АГС-гамильтониана.

6. Разработаны методы разделения переменных в эйкональном интеграле для амплитуды рассеяния гармоническим потенциалом, позволяющие обобщить на квантовый случай классическую теорию гармонического рассеяния. Амплитуда представляется при этом в виде суммы парных произведений контурных интегралов, зависящих от комплексного переданного импульса и от комплексно сопряженной к нему переменной. В частности, амплитуда рассеяния системой N кулоновских центров и некоторыми другими мишенями (конечный диполь, точечный диполь, заряд + диполь, потенциал а/г2, магнитный диполь, тороидальный соленоид) получена в виде конечной суммы парных произведений известных спецфункций.

7. Детально изучено гармоническое рассеяние вблизи сингулярно-стей классического сечения, обусловленных слиянием п стационарных точек фазы в эйкональном интеграле (фокальная точка) или уходом их на бесконечность (мультиполь). Для амплитуды рассеяния получено выражение через спецфункции обобщения функций Бесселя и Эйри - которые являются решениями уравнения порядка п. Исследованы их основные свойства, а также разложения для амплитуды в окрестности сингулярной точки и вдали от нее.

8. Исследована классическая и квазиклассическая задачи о восстановлении сферически симметричного потенциала по данным рассеяния, заданным на кривой в плоскости энергия угловой момент. Получен общий вид кривых - это семейство парабол - для которых указанные обратные задачи сводятся к уравнению Абеля. Выведенные формулы обращения переходят в ранее известные при частных значениях параметров. Исследованы случаи, в которых решение может быть представлено в виде явной функции.

9. Исследован квазиклассический предел в уравнении Марченко в случае й-волны, построена асимптотика ядра оператора, преобразующего решение свободного уравнения Шредингера в решение уравнения с потенциалом, ядра обратного оператора и фурье-образа ^-матрицы. Показано, что уравнение для ядра обратного оператора преобразования, эквивалентное уравнению Марченко, в пределе приводит к квазиклассическому соотношению между потенциалом и фазой рассеяния. В качестве примера детально рассмотрено «-рассеяние на экспоненциальном потенциале.

10. Для квантовой обратной задачи рассеяния с фиксированным моментом / и квантовой обратной задачи на конечном промежутке предложен новый точный метод решения метод переменной спектральной плотности (ПСП). Он основан на нелинейном уравнении (системе уравнений), которому удовлетворяет спектральная плотность задачи с переменной левой границей г . Обратная задача сводится к задаче Коши для этого уравнения, причем данные рассеяния играют роль начальных условий. Благодаря достаточно плавной зависимости ПСП от г и от Е для широкого круга задач, метод удобен при численной реализации, что подтверждено тестовыми расчетами для ряда примеров.

Благодарности

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую и искреннюю благодарность Ю.Н.Демкову, И.В.Комарову и С.Ю.Славянову за постоянное внимание, многолетнюю поддержку и сотрудничество, многочисленные стимулирующие обсуждения задач, рассмотренных в диссертации.

Автор благодарен всем другим своим соавторам, всем участникам семинаров на кафедрах квантовой механики и математической физики Университета, в ОИЯИ, ИФВЭ, ФТИ, Курчатовском институте, где в разное время обсуждались отдельные результаты, вошедшие затем в диссертацию.

Автор благодарен своим оппонентам за нелегкий труд по оппонированию диссертации.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974.

2. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1969.

3. Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. М.: Мир, 1969.

4. Euler L. Mem. de l'Acad. de Berlin, 1760.

5. Legendre A.M. Traite de fonctions elliptiques et intégrales du Euleriérmes, Paris, 1802.

6. Born M. and Oppenheimer R. Ann. der Phys., 84, 457, (1927).

7. Бете Г. Квантовая механика простейших систем. М.Л.: ОНТИ, 1935.

8. Power J.D. Trans.Roy.Soc.London, А2Г4, 663, (1973).

9. Комаров И.В., Пономарев Л.П., Славянов С.Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. М.: Наука, 1976.

10. Виницкий С.И., Пономарев Л.И. Адиабатическое представление в задаче трех тел с кулоновским взаимодействием. ЭЧАЯ, 13, 13361418, (1982).

11. Ponomarev L.I. Muon catalized fusion. Contemporary Physics, 31, 219,1990).

12. Chiccoli C., Korobov V.I., Melezhik V.S., Pasini P., Ponomarev L.I., Wozniak J. The atlas of the cross sections of mesic atomic processes. Muon Catalyzed Fusion, 7, 87-153, (1992).

13. Adamczak A., Faifman M.P., Korobov V.I., Melezhik V.S., Ponomarev L.I., Siegel R.T., Wozniak J. Atlas of cross sections for scattering of muonic hydrogen atoms on hydrogen isotope molecules. Atomic data and nuclear data tables, 62, 255-344, (1996).

14. Казанский А.К., Фабрикант И.И. Рассеяние медленных электронов на молекулах, УФН, 143, 601-640, (1984).

15. Соловьев Е.А. Неадиабатические переходы в атомных столкновениях. УФН, 157, 437-476, (1989).

16. Macek J. Properties of autoionizing states of He. J.Phys.В, 1, 831-843, (1968).

17. Fano U. Correlations of two excited electrons. Rep.Prog.Phys., 46, 97-165, (1983).

18. Lin C.D. Hyperspherical coordinate approach to atomic and other Coulombic three-body systems. Phys.Rep., 257, 1-83, (1995).

19. Abramov D.I., Gusev V.V., Ponomarev L.I. Reduced adiabatic hyperspherical basis in the Coulomb three-body bound states problem. Hvperfine interactions, 101/102, 375-380, (1996).

20. Абрамов Д.И., Богданова JI.H., Гусев В.В., Пономарев Л.И. The local characteristics of the bound states of muonic molecules Ядерная физика, 61, N 3, 520-533, (1998).

21. Демков Ю.Н. Метод комплексного параметра удара для задачи о рассеянии на малые углы. Письма в ЖТФ, 6, 833-837, (1980).

22. Демков Ю.Н. Классическая задача о конформном рассеянии на малые углы. ЖЭТФ, 80, 127-143, (1981).

23. Glauber R.J. High energy collision theory. Lectures in theoretical physics, 1, 315-414, (1959).

24. Hoyt F.C. Phys.Rev., 55, 664-665, (1939).

25. Фирсов О.Б. ЖЭТФ, 24, 279-283, (1953).

26. Богданов И.В., Демков Ю.Н. ЖЭТФ, 82, 1798-1806, (1982).

27. Захарьев Б.Н., Рудяк Б.В. Препринт ОИЯИ Р4-84-759 (1984).

28. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Мир, 1980.

29. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР, сер.мат., 15, 309-360, (1951).

30. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. УМН,14, 57-110, (1959).

31. Агранович З.С. Марченко В.А. Обратная задача рассеяния. Харьков, Изд-во Харьковского университета, 1960.

32. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.

33. Захарьев Б.Н., Пивоварчик В.Н., Плеханов Е.Б., Сузько А.А. Точнорешаемые квантовые модели (потенциалы баргмановского типа). ЭЧАЯ, 13, 1284-1335, (1982).

34. Wheeler J.A. Studies in mathematical physics, Princeton University, 351422, (1976).

35. Milne W.E. Phys.Rev., 35, 863, (1930).

36. Абрамов Д.И., Комаров И.В. Слабосвязанные состояния заряженной частицы в поле конечного диполя. ТМФ, 13, 209-221, (1972).

37. Abramov D.I., Komarov I.V. The peculiarities in the scattering of a charged particle by the field of a finite dipole. Abstracts of papers 8 ICPEAC, 1, 376, Beograd, (1973).

38. Абрамов Д.И., Комаров И.В. Низкоэнергетическое рассеяние заряженной частицы полем конечного стационарного диполя. Вестник ЛГУ, N 22, 24-32, (1975).

39. Абрамов Д.И., Комаров И.В. Кулоновские сфероидальные фазы рассеяния. Тезисы докладов 6 ВКЭАС, с.253, Тбилиси, (1975).

40. Абрамов Д.И. Задача двух кулоновских центров при малых межцентровых расстояниях в случае большой разности зарядов. Вестник ЛГУ, N 16, 23-28, (1977).

41. Abramov D.I., Slavyanov S.Yu. The two Coulomb centres problem at small intercentre separations. Journ.Phys.B, 11, 2229-2241, (1978).

42. Абрамов Д.И., Славянов С.Ю. Длинноволновое рассеяние электронов двухатомными молекулами в адиабатическом приближении. Тезисы докладов 7 ВКЭАС, ч.1, с.88, Петрозаводск, (1978).

43. Абрамов Д.И., Казаков А.Я., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сомов Л.Н. Фазы рассеяния в задаче двух кулоновских центров. Препринт ОИЯИ Р4-11729, 25 с, Дубна, (1978).

44. Abramov D.I., Kazakov A.Ya., Ponomarev L.I., Slavyanov S.Yu., Somov L.N. Phaseshifts in the Coulomb two-centre problem. J.Phys.B, 12, 1761-1773, (1979).

45. Абрамов Д.И., Славянов С.Ю., Сомов ЛЛ. Асимптотика неадиабатических матричных элементов, связывающих состояния дискретного и непрерывного спектров задачи двух центров. Препринт

46. ОИЯИ Р4-80-82, 12 е., Дубна, (1980).

47. Абрамов Д.И., Славянов С.Ю. Асимптотические формулы для некоторого класса интегралов. Вестник ЛГУ, N 13, 117-118, (1980).

48. Abramov D.I., Slavyanov S.Yu., Somov L.N. The asymptotic behaviour of the non-adiabatic matrix elements connecting the ground state and continuum of the two-centre problem. Journ.Phys.B, 13, 4717-4725, (1980).

49. Абрамов Д.И., Демков Ю.Н., Щербаков А.П. Рассеяние заряженнойчастицы системой кулоновских центров и факторизация эйкональ-ной амплитуды. ЖЭТФ, 80, 1334-1346, (1981).

50. Абрамов Д.И., Щербаков А.П. Эйкональное приближение для рассеяния системой кулоновских центров. Тезисы докладов 8 ВКЭАС, с.70, Ленинград, (1981).

51. Абрамов Д.И. Метод комплексного параметра удара для рассеяния быстрых частиц полем мультиполя. Тезисы докладов 8 ВКЭАС, с.262, Ленинград, (1981).

52. Абрамов Д.И. Квазиклассическое рассеяние быстрых частиц вблизи сингулярностей классического сечения. ТМФ, 52, 270-283, (1982).

53. Абрамов Д.И. О восстановлении потенциала взархмодействия при квазиклассическом рассеянии. ТМФ, 58, 244-253, (1984).

54. Абрамов Д.И., Гусев В.В. Эффективные потенциалы задачи трех тел в адиабатическом представлении. 1. Алгоритм и результаты вычислений. Препринт ИФВЭ 84-148, Серпухов, 24 е., (1984).

55. Абрамов Д.И., Гусев В.В. Эффективные потенциалы задачи трех тел в адиабатическом представлении. 2. Асимптотические формулы. Препринт ИФВЭ 84-149, Серпухов, 26 е., (1984).

56. Абрамов Д.И. Квазиклассический предел в уравнениях обратной задачи рассеяния. Тезисы докладов 9 ВКЭАС, Рига, т.2, с.141., (1984).

57. Абрамов Д.И. Уравнения квантовой обратной задачи рассеяния в квазиклассическом пределе. ТМФ, 63, 32-49, (1985).

58. Абрамов Д.И., Демков Ю.Н. Гармоническое рассеяние быстрых частиц на малые углы. В сборнике "Вопросы теории атомных столкновений", Ленинград, Изд-во ЛГУ, вып.З, с.8-29, (1986).

59. Абрамов Д.И., Гусев В.В. Задача двух кулоновских центров вблизи границы сплошного спектра. Препринт ИФВЭ 86-236, Серпухов, 19 е., (1986).

60. Абрамов Д.И. Восстановление потенциала взаимодействия по данным рассеяния при помощи нелинейных уравнений. ДАН СССР, 298, 585-588, (1988).

61. Абрамов Д.П., Овчинников С.Ю., Соловьев Е.А. Новый тип резо-нансов в упругом рассеянии. Письма в ЖЭТФ, 47, 424-427, (1988).

62. Абрамов Д.П., Овчинников С.Ю., Соловьев Е.А. Новый тип резонан-сов в атомных системах. Тезисы докладов Всесоюзного семинара "Теория атомов и атомных спектров", с.62., Тбилиси, (1988).

63. Абрамов Д.И. Решение квантовой обратной задачи рассеяния при помощи нелинейного уравнения в переменных координата-энергия. Тезисы докладов 10 ВКЭАС, т.2, с.101, Ужгород, (1988).

64. Абрамов Д.И., Овчинников С.Ю., Соловьев Е.А. Энергетический спектр электронов при ионизации квазимолекулы Z\eZ2. Тезисы докладов 10 ВКЭАС, т.2, с.118, Ужгород, (1988).

65. Абрамов Д.И., Овчинников С.Ю., Соловьев Е.А, Асимптотические формулы для параметра Месси Q-серий скрытых квазипересечений задачи Z\cZ'i при Z\ >0, Z<i > 0. Тезисы докладов 10 ВКЭАС, т.2, с. 120, Ужгород, (1988).

66. Абрамов Д.И., Овчинников С.К)., Соловьев Е.А. Асимптотические формулы для параметра Месси Q-серий скрытых квазипересечений задачи Z\eZ2 при Z\ > 0, Z<i < 0. Тезисы докладов 10 ВКЭАС, т.2, с.121, Ужгород, (1988).

67. Абрамов Д.П., Овчинников С.Ю., Соловьев Е.А. Квазиклассические формулы для параметров, определяющих неадиабатические переходы в базисе Z\eZ2. Препринт ФТИ N 130, 43 е., Ленинград, (1988).

68. Abramov D.I., Gusev V.V. Effective potentials connecting the statesof discrete and continuous spectra of the three-body problem in the adiabatic representation. Journ.Phys.B, 23, 1467-1479, (1990).

69. Abramov D.I., Ovchinnikov S.Yu., Solov'ev E.A. Quasiclassical expressions for parameters which determine nonadiabatic transitions in a ZieZ2 basis. Phys.Rev.A, 42, 6366-6378, (1990).

70. Abramov D.I. Quantum mechanical inverse problem on a finite interval as an initial-value problem. Inverse problems, 7, 493-497, (1991).

71. Abramov D.I. Quantum inverse scattering problem as a Cauchy problem.

72. Journ.Comp.Phys., 97, 516-534, (1991).

73. Abramov D.I., Gusev Y.V. The Coulomb two-centre problem near the boundary of the continuous spectrum. Journ.Phys.B, 25, 2445-2457, (1992).

74. Abramov D.I., Gusev V.V., and Ponomarev L.I. Relation of the adiabatic hyperspherical and the Born-Oppenheimer approaches to the Coulomb three-body problem. Preprint IAE-5890/L2, Russian Research Centre "Kurchatov Institute", Moscow, (1995).

75. Abramov D.I., Gusev V.V., and Ponomarev L.I. Relationship between the adiabatic hyperspherical and the Born-Oppenheimer approach to the Coulomb three-body problem. Ядерная физика, 60, 1259-1270, (1997).

76. Coulson С.A., Joseph A. Constant of the motion for the two-centre Kepler problem. Int. J. Quant. Chem., 1, 337-347, (1967).

77. Greenland P.T., Greiner W. Theoret. Chem. Acta, 42, 273, (1976).

78. Бейтмен Г., Зрдейи А. Высшие трансцендентные функции, тт. 1-3, М.: Наука, 1967.

79. Демков Ю.Н. Элементарные решения квантовой задачи о движении частицы в поле двух кулоновских центров. Письма ЖЭТФ, 7, 101104, (1968).

80. Абрамов Д.И., Комаров И.В. Интегральные уравнения и соотношения для кулоновских сфероидальных функций. ТМФ, 29, 235-243, (1976).

81. Svartholm N. Uber das wellenmechanische Zweizentrenproblem. Z.Physik,111, 186-194, (1938).

82. Фламмер К. Таблицы волновых сфероидальных функций. М.: ВЦ АН СССР, 1962.

83. Абрамов Д.И., Комаров И.В. Метод фаз для рассеяния потенциалами, допускающими разделение переменных в сфероидальных координатах. ТМФ, 22, 253-259, (1975).

84. Ponomarev L.I. and Somov L.N. J. Сотр. Phys., 20, 183, (1976).

85. Byers-Brown W., Steiner E. J.Chem.Phys., 44, 3934, (1966).

86. Wind H. Electron energy for if^ in the ground state. J. Chem. Phys., 42, 2371, (1965).

87. Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. Препринт ОИЯИ Р4-3175, Дубна, (1967).

88. Altshuller S. Phys.Rev., 107, 114, (1957).

89. Takayanagi К. J. Phys. Soc. J apan, 21, 507, (1966).

90. Takayanagi K., Itikawa Y. J.Phys.Soc.Japan, 24, 160, (1968).

91. Garret W.R. Chem.Phys.Lett., 5, 393, (1970).

92. Garret W.R. Phys. Rev., A4, 2229, (1971).

93. Garret W.R. Mol.Phys., 20, 751, (1971).

94. Garret W.R. Mol.Phys., 24, 465, (1972).

95. Буслаев B.C., Скриганов M.M. ТМФ, 19, 217, (1974).

96. Фабрикант И.И. ЖЭТФ, 71, 148, (1976).

97. Wightman A.S. Phys.Rev., 77, 521, (1950).97. -Case K.M. Phys.Rev., 80, 797, (1950).

98. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, М.: ИЛ, 1958.

99. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1971.

100. Wallis R.F., Hermari R., Milnes H.W. J.Molec.Spectr., 4, 51, (I960).

101. Fermi E., Teller E. Phys.Rev., 72, 399, (1947).

102. Fox K., Turner J.E. J.Chem.Phys., 45, 1142, (1966).

103. Mittleman M.H., Myerseough V.P. Phys.Lett., 23, 545, (1966).

104. Turner J.E., Fox K. Phys.Lett., 23, 547, (1966).

105. Byers-Brown W., Roberts R.E. J.Chem.Phys., 46, 2006, (1967).

106. Coulson C.A., Walmsley M. Proc.Phys.Soc.London, 91, 31-32, (1967).

107. Levy-Leblond J.M. Phys.Rev. 153, 1, (1967).

108. Crawford O.H. Proc.Phys.Soc.London, 91, 279, (1967).

109. Turner J.E., Anderson V.E., Fox K. Phys.Rev., 174, 81, (1968). HO. Cherry T.M. Trans.Arner.Math.Soc., 68, 224, (1950).

110. Славянов С.Ю. ЖВМ и МФ, 7, 1001, (1967).

111. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения, M.: ГИФМЛ,1963.

112. Абрамов Д.И., Комаров И.В. Вестник Ленингр. Ун-та, вып.1, N 4,143, (1977).

113. Fox К., Turner J.E. Am.J.Phys., 34, 606, (1966).

114. Garret W.R. Phys.Rev., A3, 961, (1971).

115. Shirley J.H. J.Chem.Phys., 38, 2896, (1963).

116. Друкарев Г.Ф. Столкновения электронов с атомами и молекулами.1. М.: Наука, 1978.

117. Фабрикант H.H. Пороговое поведение сечений рассеяния электронов на полярных молекулах. ЖЭТФ, 73, 1315, (1977).

118. Mittleman М.Н., von Holdt R.E. Phys.Rev., A140, 726, (1965).

119. Bates D.R., McCarroll R„ Adv.Phys., 11, 39-81, (1962).

120. Faifman M.P., Ponomarev L.I., Vinitsky S.I. J.Phys., В 9, 2255-68,1976).

121. Федорюк M.B. Метод перевала, Москва: Наука, 1977.

122. Nagel В. Ark.Fys., 27, Ш-92, (1964).

123. Ponomarev L.L, Puzynina Т.Р., Somov LJNL J,Pliys., В 10, 1335-43,1977).

124. Ponomarev L.I., Puzynina T.P., Truskova N.F. J.Phys., В 11, 3861-73,1978).

125. Ramaker D.E., Peek J.M. J.Phys., В 5, 2175-81, (1972).

126. Пономарев Л.П., Пузынина Т.П. Препринт ОИЯИ Р4-5040, (1970).

127. Gerstein S.S., Ponomarev L.I. in "Muon Physics" ed. V. Huges, C.S.Wu, New York: Academic Press, 1975.

128. Froelich P. Adv.Phys. 41, 405, (1992).

129. Truskova N.F. Preprint JINR Pll-11218, Dubna, (1978).

130. Трускова Н.Ф. ЯФ, 23, 850, (1978).

131. Bracci L., Chiccoli C., Fiorentini G., Melezhik V.S., Pasini P., Ponomarev L.I., Wozniak J. Muon Catalyzed Fusion, 4, 247-302, (1989).

132. Смирнов Б.М. Атомные столкновения и элементарные процессы вплазме. М.: Атомиздат, 1968.

133. Смирнов Б.М. Асимптотические методы в теории атомных столкновений. М.: Атомиздат, 1973.

134. Никитин Е.Е. Теория элементарных атомно-молекулярных реакций. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, ч.1, 1971; ч.2, 1974.

135. Никитин Е.Е., Смирнов Б.М. УФН, 124, 201, (1978).

136. Никитин Е.Е., Уманский С.Я. Неадиабатические переходы при медленных атомных столкновениях. М.: Атомиздат, 1979.

137. Ландау Л.Д., Лифшиц Е М Механика. М.: Наука, 1965.

138. Соловьев Е.А. ЖЭТФ, 81, 1681-92, (1981).

139. Овчинников С.Ю., Соловьев Е.А. ЖЭТФ, 90, 921, (1986).

140. Соловьев Е.А. ЖЗТФ, 90, 1165-72, (1986).

141. Овчинников С.Ю., Соловьев Е.А. ЖЭТФ, 91, 477-84, (1986).

142. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966.

143. Герштейн С.С., Пономарев Л.И., Пузынина Т.П. ЖЭТФ, 48, 632,1965).

144. Ford K.W., Wheeler J.A. Arm. of Phys. 7, 287, (1959).

145. Fock V.A. Kgl. Norske Vidensk. Selsk. Forh., 31, 138, (1958).

146. Kadomtsev M.B., Vinitsky S.I. J.Phys., B20, 5723, (1987).

147. Gusev V.V., Puzynin V.l., Kostrykin V.V., Kvitsinsky A.A., Merkuriev S.P., Ponomarev L.I. Few Body Systems, 9, 137, (1990).

148. Abramov D.I., Gusev V.V., Ponomarev L.I. Contributed papers of 14th Intern. Conf.on Few Body Problems in Physics Williamsburg, p.745-748, (1994).

149. Abramov D.I., Bogdanova L.N., Gusev V.V., Ponomarev L.I. The local characteristics of the bound states of muonic molecules. Hyperfine interactions, 101/102, 301-306, (1996).

150. Abramov D.I., Gusev V.V., Ponomarev L.I. Contributed papers of the15th Intern. Conf.on Few Body Problems in Physics, Groningen, p. 101, (1997).

151. Abramov D.I., Gusev V.V., Ponomarev L.I. Ibidem, p.102-103.

152. Abramov D.I., Gusev V.V., Ponomarev L.I. 16th Europ.Conference on Few-Body Problems in Physics, Autrans, France, 1-6 June, Abstract booklet, p.ll, (1998).

153. Abramov D.I., Gershtein S.S., Gusev V.V., Ponomarev L.I. Exotic atoms, molecules, muon catalyzed fusion (EXAT98),Monte Verita, As-cona, Switzerland, July 19-24,Abstracts, p.l, (1998).

154. Abramov D.I., Gusev V.V., Ponomarev L.I. Ibidem, p.2.

155. Варшалович Д.А., Москалев AJEL, Херсонский B.K. Квантовая теория углового момента. JL: Наука, 1975.

156. Greene С.Н. Phys.Rev., А26, 2974, (1982).

157. Macek J., Jerjian К.A. Phys.Rev., A33, 233, (1986).

158. Jerjian K.A., Macek J. Phys.Rev., A36, 2667, (1987).

159. Abrashkevich A. J., Vinitsky S. I., Kaschiev M. S., and Puzynin I. V. Sov.J.Nucl.Phys. 48, 602, (1988).

160. Matveenko A. V. Few-Body Systems, 14, 81, (1993).

161. Feagin J. M. and Briggs J. S. Phys. Rev. Lett., 57, 984, (1986).

162. Tolstikhin O. I., Watanabe S., .and Matsuzawa M. Phys. Rev. Lett., 74, 3573, (1995).

163. Kvitsinsky A.A., Few-Body Syst., 10, 73, (1991).

164. Demkov Yu.N. in "The physics of ionized gases" invited lectures andprogress reports of SPIC-80, ed. by Matic M., Beograd, p.169-180, 1980.

165. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т.З, ч.2. М.: Наука, 1969.

166. Демков Ю.Н., Островский В.Н. Аналог преобразования Ватсона для угловых переменных и рассеяние на потенциале а/г2. ТМФ, 42, 223-231, (1980).

167. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Мир, 1973.

168. Tonomura A., et al. Observation of Aharonov-Bohm effect by electron holography. Phys.Rev.Lett., 48, 1443-1446, (1982).

169. Евграфов M.A. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.

170. Худяков С.В. ЖЭТФ, 56, 938-949, (1969).

171. Худяков С.В. ЖЭТФ, 57, 927-937, (1969).

172. Федорюк Л4.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

173. Гурса Э. Курс математического анализа, т.2, М: ОНТИ, 1936.

174. Комаров И.В., Щербаков А.П. Вестник ЛГУ, N 16, 24-31, (1979).

175. Komarov I.V., Shcherbakov А.P. Catastrophes in scattering by spheroidal potential. Abstracts of papers Xl-th ICPEAC, Kyoto, p. 1022, (1979).

176. Щербаков А.П. Каустики в задаче о рассеянии заряженной частицы системой двух кулоновских центров. Тезисы докладов IX Всесоюзн. конф. по физике электр. и атомн. столкновений, Рига, 1, 71, (1984).

177. Справочник по специальным функциям, под ред. Абрамовица М. и Стиган П., М.: Наука, 1979.

178. Berry M.V., Nye J.F., Wright F.J. The elliptic urnbilic diffraction catastrophe. Phil.Trans.Roy.Soc., London, A291, 453-484, (1979).

179. Keller J.B.,Kay I., Shmoys J. Phys.Rev., 102, 557-559, (1956).

180. Miller W.H. J.Chem.Phys., 51, 3631-3638, (1969).

181. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике, т.1, М.:Мир, 1974.

182. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

183. Lipperheide R., Fiedeldcy Н. Z.Phys., А286, 45-56, (1978).

184. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977.

185. Blazek М. Comnum.Math.Phys., 3, 282-291, (1966).

186. Богданов И.В. ТМФ, 65, 35-43, (1985).

187. Korsch H.J., Laurent Н. J.Phys., 14, 4213, (1981).

188. Korsch H.J., Laurent H., Monlenkamp R. J.Phys., 15 1, (1982).

189. Korsch H.J. Phys.Lett., A109, 313, (1985).

190. Yoo В., Greene C.H. Phys.Rev., A34, 1635, (1986).

191. Calogero F. Variable phase approach to potential scattering, New York: Academic press, 1967.

192. Бабиков В.В. Метод фазовых функций в квантовой механике. М.: Наука, 1968.

193. Захарьев Б.Н., Никиигов П.Ю., Плеханов Е.Б. Ядерная физика, 38, 95, (1983).

194. Славянов С.Ю. Структурная теория уравнений и спецфункций класса Гойна. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1996.

195. Seaton М. C.R.Acad.Sci., Paris, 240, 1317, (1955).

196. Фаддеев Л.Д. ДАН СССР, 115, 878, (1957).

197. Tergiman Y.S. Phys.Rev., А 48, 88-95, (1993); J.Phys., В 29, 1035-44,1996).

198. Itikawa Y. Electron scattering by polar molecules. Physics Reports, 46, 117-164, (1978).

199. Максимов М.З. и др. ЯФ, 46, 682, (1987); ТМФ, 78, 392, (1989); Журн.Физ.Хим., 70, 61, (1996).

200. ФедорюкМ.В. Асимптотика, интегралы и ряды. СМБ. М.: Наука, 1987.

201. Kravtsov A.V. et al. Phys.Rev., A 49, 3566, (1994); Phys.Rev., A 50, 525, (1994); Hyperfine Interactions, 102, 151, (1996). Phys.Rev., A 53, 4169, (1996);