Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Сорокин Константин Сергеевич

Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014 005554555

Томск - 2014

/

005554555

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», на кафедре алгебры.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Крылов Петр Андреевич

Официальные оппоненты:

Туганбаев Аскар Аканович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ», кафедра высшей математики, профессор

Ельцова Тамара Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники», кафедра математики, доцент

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I»

Защита диссертации состоится 17 декабря 2014 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.21, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, ул. Ленина, 36 (корпус 2, ауд. 304).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на сайте федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ:

http://www.tsu.ru/content/news/announcemcnt_of_the_dissertations_

¡п^Ье^ви.рЬр

Автореферат разослан октября 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

Малютина

Александра Николаевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пусть Я — кольцо с единицей. Элемент г кольца Я называется чистым, если его можно представить в виде г = и + е, где е — идемпотент, а и — обратимый элемент кольца Я. Кольцо Я называется чистым, если всякий его элемент является чистым.

Понятие чистого кольца было предложено Николсоном в 1977 году как пример кольца, в котором идемпотенты поднимаются по модулю любого левого (правого) идеала [23]. То есть каждое чистое кольцо является заменяемым кольцом. Кроме того, Николсоном было доказано [23], что кольцо с центральными идемпотентами является чистым тогда и только тогда, когда оно заменяемо. В то же время имеется пример регулярного кольца, которое не является чистым [20]. Согласно [23], регулярные кольца являются заменяемыми кольцами, следовательно, класс чистых колец является собственным подклассом класса заменяемых колец.

В 1936 году фон Нейман предложил определение регулярного элемента: элемент г кольца Я называется регулярным, если найдется такой элемент х £ Я, что г = гхг\ кольцо Я называется регулярным (по фон Нейману), если каждый его элемент г — регулярный. Элемент г кольца Я называется обратимо-регулярным, если найдется такой элемент и £ и (Я), что г = гы, или, что эквивалентно, г = и • е, где е — идемпотент, а и — обратимый элемент кольца Я. Кольцо Я называется обратимо-регулярным, если всякий его элемент является обратимо-регулярным. Таким образом, чистые кольца являются аддитивным аналогом обратимо-регулярных колец.

Доказано, что полусовершенные и обратимо-регулярные кольца являются чистыми [10] , [9]. Кроме того, если кольцо не содержит бесконечных множеств ортогональных идемпотентов, то свойства кольца быть заменяемым, чистым и полусовершенным совпадают [9].

Понятие чистоты также было рассмотрено применительно к кольцам без единицы, в том числе была показана справедливость приведённого выше результата: кольцо с центральными идемпотентами является чистым тогда и только тогда, когда оно заменяемо [26] (согласно определению Ара [6]).

Ряд авторов продолжил изучение чистых колец, наделённых дополнительными свойствами. Например, рассмотрены примеры чистых колец, в которых

разложение каждого элемента кольца в виде суммы идемпотента и обратимого элемента определены единственным образом. Удалось показать связь колец, удовлетворяющих данному свойству, с булевыми кольцами [27].

Отдельным направлением в изучении чистоты колец стали строго чистые кольца: в этом случае каждый элемент кольца должен быть представим в виде суммы идемпотентного и обратимого элементов, которые коммутируют между собой [12], [24].

Большое количество работ посвящено изучению чистоты и строгой чистоты треугольных матриц [14], [7], а также произвольных матриц над различными кольцами [29]: коммутативными [15], [13], [8], локальными [21], [30].

В случае, когда Я является кольцом эндоморфизмов некоторого модуля, появляются новые описания свойства чистоты, которые могут оказаться полезными при изучении условий чистоты кольца И. В частности, если / — чистый элемент кольца эндоморфизмов модуля М, это означает, что существует такой идемпотентный эндоморфизм е модуля М, что / совпадает на Кег (е) с некоторым автоморфизмом модуля М. Эта тематика привлекла в последнее время внимание многих специалистов. Например, было доказано, что является чистым кольцо линейных операторов векторного пространства над полем произвольной размерности [28]. Впоследствии была доказана справедливость данного результата для векторного пространства над телом [25]. Кроме того, доказана чистота колец эндоморфизмов непрерывного модуля [11], проективного модуля над правым совершенным кольцом [25].

Следует отметить, что в теории абелевых групп большой интерес вызывает вопрос о связи элементов кольца эндоморфизмов абелевых групп и его обратимых элементов - автоморфизмов [17], в том числе те случаи, когда эндоморфизмы представимы в виде суммы автоморфизмов [22]. В связи с этим появляется дополнительный интерес к изучению свойства чистоты.

В своей работе [18] Голдсмит и Вамош рассмотрели вопросы чистоты колец эндоморфизмов периодических абелевых групп. Было показано, что кольцо эндоморфизмов тотально проективной периодической группы является чистым тогда и только тогда, когда эта группа ограничена.

Отметим, что чистые кольца также привлекают внимание российских учёных: данному классу колец посвящён параграф в монографии Туганбаева

А.А. [4].

Таким образом, изучение свойства чистоты колец эндоморфизмов различных модулей, в том числе абелевых групп, является актуальной задачей, привлекающей внимание специалистов в области теории колец, модулей и абелевых групп.

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение вопросов чистоты колец эндоморфизмов различных классов абелевых групп: вполне разложимых групп (группы без кручения), прямых сумм циклических групп (периодические группы), ЭР-групп (смешанные группы).

Общая методика исследования. В диссертации используются методы и приёмы теории абелевых групп, колец и модулей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Ниже перечислены основные результаты.

• Дано полное описание вполне разложимых групп с чистыми кольцами эндоморфизмов.

• Найдены достаточные условия чистоты эндоморфизмов прямых сумм циклических групп.

• Доказана чистота колец эндоморфизмов самомалых 5Р-групп конечного ранга без кручения.

• Найдены достаточные условия, при которых чистота кольца эндоморфизмов 5Р-группы конечного ранга влечет самомалость самой группы.

• Доказана чистота колец эндоморфизмов 5Р-групп ранга 1 и 2 с циклическими р-комполентами без бесконечных периодических прямых слагаемых.

• Найдены достаточные условия чистоты эндоморфизмов 5Р-групп конечного ранга с циклическими р-компонентами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов для бакалавров, магистрантов и аспирантов.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на Международных молодежных научных форумах «Ломоносов-2011», «Ломоносов-2013» (Москва, 2011. 2013), на всероссийских симпозиумах «Абелевы группы и модули» (Бийск, 2010. 2012), на Всероссийской конферен-

ции по математике и механике, посвященной 135-летию Томского государственного университета и 65-летию Механико-математического факультета (Томск, 2013).

Основные результаты неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета и дважды — на семинаре кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета (2011, 2013). По теме диссертации опубликовано 9 работ, три из них — в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных научных результатов диссертаций (из них одна статья в российском журнале, переводная версия которой индексируется в базе данных Scopus).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, двух глав и списка литературы. Работа изложена на 110 страницах. Библиография содержит 30 наименований.

Содержание работы.

Все рассматриваемые в работе группы являются абелевыми.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы чистоты колец эндоморфизмов для некоторых классов абелевых групп: вполне разложимых абелевых групп (группы без кручения) и прямых сумм циклических групп (периодические группы).

В первом параграфе данной главы вводится ключевое понятия чистоты кольца, излагаются общие результаты, дающие необходимые и достаточные условия чистоты кольца эндоморфизмов абелевой группы. Ниже приведено определение чистого кольца.

Пусть R — кольцо с единицей. Элемент г кольца R называется чистым, если его можно представить в виде г = и + е, где е — идемпотент, а и — обратимый элемент кольца R. Кольцо R называется чистым, если всякий его элемент является чистым.

Во втором параграфе приводятся достаточные условия чистоты эндоморфизмов прямых сумм циклических групп. Основным результатом второго

параграфа является следующая теорема.

00

Теорема 1.13 Пусть А= ф Вп, где Вп = ф <<>,<<> = Z(рп),

n~l iel„

/ € Е(А). Если Ь = ф В], где 7СК, причём /(А) С Ь и /|£— чистый №

элемент, кольца Е(Ь), то /— чистый элемент в Е(А).

В третьем параграфе даётся полное описание вполне разложимых групп с чистыми кольцами эндоморфизмов. Основным результатом третьей главы является следующая теорема.

Теорема 1.16 Если В — вполне разложимая группа с редуцированной частью А, то кольцо эндоморфизмов группы В — чистое тогда и только тогда, когда

А=®(фАП,

реП ¿—1

где П — некоторое множество простых чисел, Агр = <0>р (р 6 П, г = 1 ,...,пр,пр € Г^).

Во второй главе изучаются ¿"Р-группы с чистыми кольцами эндоморфизмов. Данные группы были введены в работах А. А. Фомина [16] и П. А. Крылова [2]. В начале главы приводится определение 5Р-группы. Напомним опеределение б'Р-группы.

Редуцированная смешанная абелева группа А с бесконечным числом ненулевых р-компонент называется БР-группой, если естественное вложение ф Ар —> П А> продолжается до сервантного вложения А —>• П Здесь

V р р

и далее предполагается, что р пробегает множество всех простых чисел Р, относящихся к А, то есть таких, что Ар ф 0.

В первом параграфе приводятся результаты, описывающие самомалые 5Р-группы с чистыми кольцами эндоморфизмов. Ниже приведены основные результаты данного параграфа.

Теорема 2.2 Пусть А — самомалая БР-группа конечного ранга. Тогда кольцо эндоморфизмов группы А является чистым.

Теорема 2.5 Пусть А — БР-группа конечного ранга, не имеющая бесконечных периодических прямых слагаемых, и Ар = Ър для всякого р € Р. Если при этом кольцо эндоморфизмов группы А является чистым, то А — самомалая группа.

Второй параграф посвящён исследованию строения колец эндоморфизмов БР-групп ранга 1 с циклическими р-компонентами: доказана их чистота, найдено описание радикала Джекобсона колец эндоморфизмов данных групп.

Основные результаты данного параграфа приведены в следующих теоремах.

Теорема 2.7 Для любого эндоморфизма / БР-группы группы А ранга 1 с циклическими р-компонентами найдётся такое конечное множество ЙСР, что справедливо одно из условий:

• / — автоморфизм группы С (если /А С Т(А)),

• 1 — / — автоморфизм группы С (если /Л ^ Т(А)),

где С — дополнительное прямое слагаемое к Ар. Теорема 2.9 ^Е(А)) = Н(А).

В теореме Н(А) = {а е Е(А) \ а \а[!,\& Н(Ар) для каждого р 6 Р} — аналог идеала Пирса для й'Р-групп, предложенный Крыловым П.А. (см.

И)-

Третий параграф содержит результаты, дающие достаточные условия

чистоты эндоморфизмов 5Р-групп конечного ранга с циклическими р-

компонентами, а также доказательство чистоты колец эндоморфизмов БР-

групп ранга 2 с циклическими р-компонентами. Ниже приведены основные

результаты данного раздела.

Теорема 2.11 Пусть А — БР-группа конечного ранга с циклическими

р-компонентами. Для любого эндоморфизма / £ Нот(Л, Т(А)) найдётся

такое конечное множество Г1 С Р, что 1 — / — автоморфизм группы С,

где С — дополнительное прямое слагаемое к ф Ар.

реП

Теорема 2.13 Кольцо эндоморфизмов БР-группы ранга 2 с циклическими р-компонентами, не имеющей бесконечных периодических прямых слагаемых, является чистым.

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю профессору Петру Андреевичу Крылову за неоценимый вклад в развитие данной работы: помощь в постановке задачи, внимание к научной работе, помощь в оформлении статей и данной диссертации.

Список литературы

[1] Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов — М.: Факториал Пресс, 2006.

[2] Крылов П.А. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник Томского государственного университета. Математика и Механика. — 2000. - Т. 269. - С. 29-34.

[3] Крылов П.А. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы // Алгебра и логика. - 2004. - Т.43, №1 - С. 60-76.

[4] Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. — М.: МЦНМО, 2009.

[5] Фукс JI. Бесконечные абелевы группы — М.: Мир, 1974.

[6] Ага P. Extensions of exchange rings //J. Algebra — 1997. — Vol. 197. — P. 409-423.

[7] Borooah G., Diesl A.J., Dorsey T.J. Strongly clean triangular matrix rings over local rings //J. Algebra - 2007. - Vol. 312. - P. 773-797.

[8] Borooah G., Diesl A.J., Dorsey T.J. Strongly clean matrix rings over commutative local rings // Journal of Pure and Applied Algebra — 2008.

- Vol. 212. - P. 281-296.

[9] Camillo V.P., Hua-Ping Yu. Exchange rings, units and idempotents // Commun. Algebra. - 1994. - Vol. 22, №12. - P. 4737-4749.

[10] Camillo V.P., Khurana D. A characterization of unit-regular rings // Commun. Algebra . - 2001. - Vol. 29, №6. - P. 2293-2295.

[11] Camillo V.P., Khurana D., Lam T.Y., Nicholson W.K., Zhou Y. Continuous modules are clean // J. Algebra. - 2006. - Vol. 304. - P. 94-111.

[12] Chen W. A question on strongly clean rings // Commun. Algebra. — 2006.

- Vol. 34, №7. - P. 2374-2350.

[13] Chen J., Yang X., Zhou Y. When is the 2 x 2 matrix ring over a commutative local ring strongly clean? // J. Algebra. - 2006. - Vol. 301. - P. 280-293.

[14] Chen J., Yang X., Zhou Y. On strongly clean matrix and trianglular matrix rings // Commun. Algebra. - 2006. - Vol. 34, №10. - P. 3659-3674.

[15] Couchot F. Strong cleanness of matrix rings over commutative rings // Commun. Algebra. - 2008. - Vol. 26, №2. - P. 346-351.

[16] Fomin A. A. Some mixed Abelian groups as modules over the ring of pseudorational numbers // Abelian groups and modules, Trends in Math. — 1999.

- P. 87-100.

[17] Fuchs L. Recent Results and Problems on Abelian Groups // Topics in Abelian Groups, Scott Foresman. Chicago. — 1963. — P. 9-40.

[18] Goldsmith B., Vamos P. A note on clean abelian groups // Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova. — 2007. — Vol. 117. — P. 181-191.

[19] Han J., Nicholson W.K.. Extension of clean rings // Commun. Algebra. — 2001. - Vol. 29, №6. - P. 2589-2595.

[20] Handelman D. Perspectivity and cancellation in regular rings //J. Algebra

- 1977. - Vol. 48. - P. 1-16.

[21] Li Y. Strongly clean matrix rings over local rings //J. Algebra — 2007. — Vol. 312. - P. 397-404.

[22] Meehan C. Sums of automorphisms of free Abelian groups and modules // Proc. Royal Irish Academy. - 2004. — Vol. 104A. — P. 59-66.

[23] Nicholson W.K. Lifting idempotents and exchange rings // Trans. Amer. Math. Soc. - 1977.- Vol. 229. - P. 269-278.

[24] Nicholson W.K. Strongly clean rings and Fitting's lemma // Commun. Algebra. - 1999. - Vol. 27. - P. 3583-3592.

[25] Nicholson W.K., Varadarajan K., Zhou Y. Clean endomorphism rings // Arch. Math. - 2004. - Vol. 83. - P. 340-343.

[26] Nicholson W.K., Zhou Y. Clean general rings //J. Algebra — 2005. — Vol. 291. - P. 297-311.

[27] Nicholson W.K., Zhou Y. Rings in which elements are uniquely the sum of an idempotent and a unit //Glasgow Math. J. - 2004. - Vol. 46. - P. 227-236.

[28] Searcoid M. 0. Perturbation of linear operators by idempotents // Irish Math. Soc. Bulletin. - 1997. - Vol. 39. - P. 10-13.

[29] Yang X. A survey of strongly clean rings // Appl Math. — 2009. - Vol. 108. - P. 157-173.

[30] Yang Y., Zhou Y. Strong cleanness of the 2 x 2 matrix ring over a general local ring // J. Algebra. - 2008. - Vol. 320. - P. 2280-2290.

Статьи, опубликованные в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных научных результатов диссертаций:

[1*] Сорокин К. С. Вполне разложимые абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Фундаментальная и прикладная математика. — 2011/2012. - Т. 17, вып. 8. - С. 105-108. - 0.4 п.л.

[2*] Sorokin К. S. Completely decomposable abelian groups with clean endomorphism rings // Journal of Mathematical Sciences. — 2014. — Vol. 197, № 5. - P. 655-657. - 0.3 п.л.

[3*] Сорокин К. С. SP-группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика — 2014. - № 4(30). - С. 24-36. - 1 п.л.

Статьи в других научных изданиях:

[4*] Сорокин К. С. Вполне разложимые абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы: материалы всероссийского симпозиума (Бийск, 19-25 авг., 2010). - Бийск, 2010. - С. 49-52. - 0.19 п.л.

[5*] Сорокин К. С. Прямые суммы циклических абелевых групп с чистыми кольцами эндоморфизмов //Научная студенческая конференция

механико-математического факультета: сборник тезисов конференции (Томск, 12-19 аир., 2011). - Томск, 2011. - С. 14-15. - 0.6 п.л.

[6*] Сорокин К. С. Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011» / Отв. ред. А. И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс, 2011. — URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2011/1257/30957_4bdd.pdf (дата обращения 27.08.2014 г.) - ISBN 978-5-317-03634-8. - 0.12 п.л.

[7*] Сорокин К. С. Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы: материалы всероссийского симпозиума (Бийск, 20-25 авг., 2012). - Бийск, 2012. - С. 43-46. - 0.16 п.л.

[8*] Сорокин К. С. Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Материалы Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2013» [Электронный ресурс]. — М.: МАКС Пресс, 2013. - URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2013/2191/30957_67f7.pdf (дата обращения 27.08.2014 г.) - ISBN 978-5-317-04429-9. - 0.12 п.л.

[9*] Сорокин К. С. Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета: сборник тезисов (Томск, 2-4 окт., 2013). - Томск, 2013. - С. 36. - 0.6 п.л.

Тираж 100 экз. Заказ 836. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел. (3822) 533018.