Базисные подмодули и структура чисто-инъективных модулей над полуцепными нетеровыми справа кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

§0. Введение.

Глава 1. Модули над полуцепными нетеровыми справа кольцами.

§ 1. Структура полу цепных нетеровых справа колец.

§ 2. Неразложимые конечно порожденные модули и гомоморфизмы между ними.

§ 3. Инъективные модули и инъективная оболочка.

§ 4. Чистоты и чисто-инъективные модули.

§ 5. Вложения модулей третьего типа.

§ 6. Индуктивные чистоты в категории Я-модулей.

Глава 2. Базисные подмодули модулей над полуцепными нетеровыми справа кольцами.

§ 7. Допустимые инъективные модули

§ 8. Теорема существования для базисных подмодулей.

§ 9. Базисные подмодули чисто-инъективных модулей.

§ 10. Теорема единственности для базисных подмодулей и следствия из неё

§11. Соответствие между парами идеалов и неразложимыми чистоинъективными модулями.

Глава 3. Пополнение модулей над полуцепными нетеровыми справа кольцами.

§12. Определение и свойства Д-топологии.

§ 13. Пополнение модулей и чисто-инъективная оболочка.

§14. Неразложимые чисто-инъективные модули над наследственными кольцами.

Чистоты в категории модулей играют значительную роль при исследовании модулей с точки зрения гомологической алгебры. Одним из важнейших примеров таких чистот является чистота по Кону. Эта чистота служит естественным обобщением на категорию модулей понятия сервантности для абелевых групп, введённого Прюфером в 1923 году. Используя функтор тензорного произведения, Кон [34] в 1959 году определил класс коротких точных последовательностей, называемый сегодня чистотой по Кону.

Особый интерес этот класс вызывает благодаря тому, что чистота по Кону может быть использована при изучении алгебраически компактных (чисто-инъективных) модулей. Уорфилд [62] в 1969 году показал, что модуль алгебраически компактен тогда и только тогда, когда он инъективен относительно любой чистой по Кону короткой точной последовательности модулей. Кроме того, в его работе было доказано, что алгебраически компактные модули могут быть описаны как прямые слагаемые топологически компактных модулей. Уорфилд также рассматривал чистоты, проективно порождённые некоторым классом модулей. Он предложил три равносильных определения чистоты по Кону, в том числе — как чистоты, проективно порождённой классом всех конечно представимых модулей.

Алгебраически компактные абелевы группы были открыты и в основном классифицированы Капланским в 1954 году в работе [43]. Он охарактеризовал редуцированные, то есть не содержащие ненулевых инъективных (делимых) подгрупп, алгебраически компактные абелевы группы как группы, полные в Ъ-адической топологии. В работе Капланского было также доказано, что любая ненулевая редуцированная алгебраически компактная абелева группа имеет прямое слагаемое, изоморфное группе целых р-адических чисел или группе Ъ/ркЪ (к £ М) для некоторого простого числа р. Из этой теоремы следует отсутствие суперразложимых алгебраически компактных абелевых групп. Другим следствием этого результата является классификация всех неразложимых алгебраически компактных абелевых групп.

При построении системы инвариантов для редуцированных алгебраически компактных абелевых групп (см. [28]) существенным образом используется понятие базисного подмодуля р-адической алгебраически компактной абелевой группы, рассматриваемой как модуль над кольцом Ър. Отметим, что впервые базисные подгруппы (подмодули) были введены Куликовым [19] для случая р-групп (см. также [28]). В этой работе Куликов доказал, что любые две базисные подгруппы одной р-группы изоморфны друг другу. Фукс [38] позднее обобщил результаты Куликова на р-базисные подгруппы произвольной абелевой группы.

Далее мы будем называть модуль чисто-инъективным, если он инъективен относительно чистоты по Кону. Уорфилд [62] впервые стал рассматривать чисто-инъективные модули над произвольным кольцом как предмет для систематического изучения. До этой работы, помимо результатов об абелевых группах, были получены лишь отдельные факты об алгебраически компактных модулях, в основном, как о частных случаях более общих алгебраически компактных алгебраических систем (см. [39], [50], [60], [64]).

Уорфилд исследовал чисто-инъективные модули над отдельными типами коммутативных колец. В частности, он описал чисто-инъективную оболочку любого конечно порождённого модуля над коммутативным нётеровым кольцом как пополнение этого модуля в специально введённой О-адической топологии. Уорфилдом было доказано, что любой свободный от кручения чисто-инъективный модуль М без элементов „бесконечной высоты" над коммутативным кольцом нормирования изоморфен чисто-инъективной оболочке прямой суммы некоторого семейства идеалов кольца, причём для любого типа изоморфизма идеалов мощность множества прямых слагаемых, принадлежащих этому типу, является инвариантом модуля М.

Марубаяши (см. [46], [47]) исследовал чисто-инъективные модули над ограниченными дедекиндовыми первичными кольцами и над Дпр-кольцами „с достаточным числом обратимых идеалов", при этом в работе [46] для модулей над матричными кольцами специального вида с компонентами из колец дискретного нормирования была доказана теорема о существовании базисного подмодуля у произвольного модуля.

В работах Фукса и Сальче [40], Факкини [37] был получен ряд результатов о чисто-инъективных модулях над коммутативными кольцами нормирования. Фукс и Сальче изучали такие модули при дополнительном предположении, что кольцо — область целостности, а Факкини предложил способ описания неразложимых чисто-инъективных модулей над произвольными коммутативными кольцами нормирования. Кроме того, в случае, когда кольцо Л — коммутативная область нормирования, Факкини классифицировал неразложимые чисто-инъективные модули как чисто-инъективные оболочки модулей вида //</, где I, J — Д-подмодули поля частных Ц кольца Д, и доказал критерий изоморфизма таких модулей на языке пар «7.

В статьях Тоффалори [61], Атани [32] получена классификация некоторых классов неразложимых чисто-инъективных модулей над расслоённым произведением двух локальных дедекиндовых областей Д2 таких, что поля Дх/ЯасШ!, Дз/КасШг изоморфны.

В данной работе изучаются чистые по Кону короткие точные последовательности правых модулей над полуцепными нётеровыми справа кольцами и чисто-инъективные правые модули над такими кольцами. Напомним, что модуль называется цепным, если структура его подмодулей линейно упорядочена относительно включения; кольцо Я называется полуцепным, если Дд — прямая сумма цепных правых модулей, а — прямая сумма цепных левых модулей.

Первым систематически изучавшимся классом полуцепных колец был класс полуцепных артиновых (слева и справа) колец. Эти кольца привлекли внимание алгебраистов в тридцатых годах двадцатого века в связи с исследованиями фробениусовых и квазифробениусовых алгебр. Первые результаты о полуцепных двусторонне артиновых кольцах были получены Кёте [44] в 1935 году, К.Асано [31] в 1939 году, Накаямой (см. [51], [52]) в 1939-41 годах. Накаяма [52] предложил называть полуцепные артиновы кольца „обобщённо однорядными". Отметим, что позднее Кириченко (см. [15], [16]), Дрозд [13] использовали этот термин для всего класса полуцепных колец.

Скорняков [25] доказал, что любой левый модуль над кольцом Т является прямой суммой конечно порождённых цепных модулей тогда и только тогда, когда Т — полуцепное артиново кольцо (см. также [27]). Из этой теоремы непосредственно следует, что любая чистая по Кону короткая точная последовательность Т-модулей расщепляется, поэтому каждый Т-модуль чисто-инъективен.

В 1975 году Уорфилд [63] и Дрозд [13] независимо доказали теорему о том, что любой конечно представимый модуль над полуцепным кольцом является прямой суммой циклических цепных модулей. Кириченко [15] получил этот факт для полуцепных колец, нётеровых справа или слева. В том же году Уорфилдом [63] и Кириченко (см. [15], [16]) было доказано, что любое двусторонне нётерово кольцо — прямое произведение полуцепного артинового кольца и нескольких полусовершенных кпр-колец. Кириченко в работе [15] классифицировал с точностью до Морита-эквивалентности все нётеровы справа полуцепные кольца при помощи двусторонне нётеровых колец и фактор-колец кольца Н(У,тп,п) матриц особого вида с компонентами из кольца V, являющегося локальной областью главных односторонних идеалов, и его тела частных. Кроме того, Кириченко в этой же работе описал все (ввиду [17, теорема 1.1]) полуцепные наследственные справа кольца. Яковлев [30] в 1988 году предложил способ классификации (с точностью до Морита-эквивалентности) полуцепных лишь слева нётеровых слева колец при помощи представлений комбинаторных схем. Отметим также, что Райт в статье [65] исследовала структуру полуцепных колец с правой размерностью Крулля, равной единице.

Сингх (см. [57], [58]) в 1978-79 годах доказал теоремы о существовании и единственности базисного подмодуля для периодических модулей над ограниченными /тр-кольцами и произвольных модулей над полусовершенными кпр-кольцами. Используя результаты Сингха, в 1986 году Генералов [2] классифицировал редуцированные чисто-инъективные модули над полусовершенными /тр-кольцами как чисто-инъективные оболочки прямых сумм циклических цепных модулей.

В этой же работе для модулей над более общим классом ограниченных кпр-колец была определена некоторая линейная Д-топология. При этом класс всех редуцированных чисто-инъективных модулей совпал с классом всех модулей, полных в этой топологии, а чисто-инъективная оболочка произвольного модуля была построена при помощи пополнения модулей в Л-топологии. Учитывая результаты Кириченко и Уорфилда о структуре полуцепных нётеровых колец, тем самым Генераловым было получено полное описание чисто-инъективных модулей над полуцепными нётеровыми кольцами.

Отметим, что в статье [2] Генералов применил полученную им классификацию чисто-инъективных модулей над ограниченными /тр-кольцами для исследования индуктивных чистот в категории модулей над такими кольцами. В работах [3], [6] были описаны все чистоты в категории конечно порождённых модулей над полуцепными нётеровыми справа кольцами и соответствующие этим чистотам относительные группы Гротендика.

Кроме того, с помощью редукции к случаю полу совершенных кпр- колец Генералов в статье [7], видоизменив определение базисного подмодуля, доказал теорему о существовании и единственности базисного подмодуля для двух классов модулей над ручными наследственными конечномерными алгебрами: регулярных редуцированных периодических модулей и регулярных редуцированных чисто-инъективных модулей.

С помощью теории моделей для модулей Пунинский в работах [22], [53] (см. также [36]) построил для любого полуцепного кольца Л взаимно однозначное соответствие между множеством типов изоморфизма ненулевых неразложимых чисто-инъективных правых Л-модулей и множеством классов эквивалентности пар (7, К) (где I — правый идеал кольца Л, К — левый идеал кольца Л, причём I С дЛ, К С Нд для некоторого примитивного идемпотента д в Л), удовлетворяющих некоторому условию (*). В [22] показано, что условие (*) для полуцепного нётерова слева или справа кольца Л равносильно некоторому более простому условию (**).

Пунинский [22, теорема 1.5.5] также показал, что любой точный неразложимый чисто-инъективный правый модуль над полуцепным кольцом Л или инъективен, или является прямым слагаемым чисто-инъективной оболочки некоторого точного правого идеала I, причём I С /Л (для некоторого примитивного идемпотента / в

К). Для полуцепных нётеровых справа колец доказано более сильное утверждение ([22, следствие 1.5.6]): любой неразложимый чисто-инъективный правый модуль над таким кольцом К либо инъективен по модулю своего аннулятора, либо изоморфен чисто-инъективной оболочке некоторого неразложимого конечно порождённого Я-модуля. Одним из главных результатов работы [53] является теорема о представлении произвольного чисто-инъективного модуля над полуцепным нётеровым справа кольцом в виде чисто-инъективной оболочки прямой суммы некоторого семейства неразложимых чисто-инъективных модулей (см. [53, теорема 3]).

Мы опишем структуру данной диссертации и приведём её основные результаты. Настоящая работа разделена на три главы. Отметим, что §§1-5 главы I носят предварительный характер и содержат общие сведения о правых модулях над полуцепными нётеровыми справа кольцами, при этом наряду с известными результатами здесь приведены утверждения, полученные самим автором.

Далее во Введении К обозначает полуцепное нётерово справа кольцо, рассматриваются только правые модули.

В § 1 собраны известные сведения о структуре колец рассматриваемого вида и неразложимых проективных модулей над ними. В § 2 мы разделяем все ненулевые неразложимые конечно порождённые Д-модули на три типа и отдельно обсуждаем свойства модулей каждого типа. Основная часть приведённых в этом параграфе результатов получена Генераловым в работах [3], [9] на языке собственных классов биуниверсальных квадратов, состоящих из конечно порождённых модулей. Кроме того, лемма 2.5, доказанная в этом параграфе, оказывается в дальнейшем полезной при изучении вложений цепных циклических модулей в прямые суммы модулей.

§ 3 помимо общих свойств инъективных модулей содержит критерии инъективно-сти модуля над рассматриваемыми кольцами (см. предложение 3.1) и описание для любого неразложимого инъективного й-модуля структуры всех его подмодулей как частично упорядоченного множества (см. предложения 3.5, 3.6, 3.7).

В §4 мы напоминаем определение чистоты в категории модулей, приводим полученные Уорфилдом характеризации чистоты по Кону и чисто-инъективных модулей. В предложении 4.3 мы обсуждаем условия чистоты по Кону подмодуля

2-модуля. Следствие 4.3.2 этого утверждения играет в дальнейшем важную роль в доказательстве существования базисного подмодуля у любого Д-модуля.

§ 5 посвящён исследованию суммы А(М) всех подмодулей третьего типа Я-модуля М. В частности, в предложении 5.3 доказано, что при некоторых дополнительных условиях любой подмодуль третьего типа в М содержится в некотором подмодуле второго типа модуля М. Все результаты этого параграфа получены автором и существенно используются в § б и в § 9 при изучении структуры подмодулей неразложимых неинъективных чисто-инъективных Я-модулей.

Одним из основных результатов настоящей работы является доказанная в §6 следующая теорема (см. теорему 6.3):

Теорема 0.1. Пусть {Сь}кек — семейство циклических цепных Я-модулей,

В = ф Ск, А — подмодуль модуля В. Тогда модуль А является прямой суммой кек некоторого семейства циклических цепных Я-модулей.

Заметим, что первым результатом подобного рода была теорема Куликова (см. [19] или [28, теорема 18.1]) о подгруппах прямых сумм циклических групп, а для случая полуцепного двусторонне нётерова кольца Я аналогичный результат вытекает из работы [56] (см. также [3, лемма 4]).

Приведённая ниже теорема (теорема 6.4) непосредственно следует из теоремы 6.3 и [4, следствие 3, замечание 3].

Теорема 0.2. Пусть ш — индуктивная чистота в категории правых Л-модулей. Тогда любая и-чистая короткая точная последовательность представляется в виде прямого предела и>-чистых коротких точных последовательностей, состоящих из конечно порождённых Я-модулей. Любая индуктивная чистота в категории правых Я-модулей однозначно определяется своим ограничением на категорию конечно порождённых правых Я-модулей.

В главе II мы определяем следующим образом понятие базисного подмодуля модуля над полуцепным нётеровым справа кольцом Я:

Определение. Подмодуль В Я-модуля М называется базисным, если (1) В — чистый по Кону подмодуль модуля М;

2) В — прямая сумма некоторого семейства конечно порождённых модулей;

3) М/В — инъективный модуль, не имеющий ненулевых конечно порождённых прямых слагаемых.

Как показывает лемма 8.5.1, при таком определении подмодуль В базисен для М тогда и только тогда, когда В максимален среди чистых по Кону подмодулей модуля М, являющихся прямыми суммами конечно порождённых модулей. Основным результатом главы II является следующее утверждение, доказанное в теоремах 8.5, 10.5:

Теорема 0.3. Любой модуль М над полуцепным нётеровым справа кольцом И содержит базисный подмодуль, при этом любые два базисных подмодуля модуля М изоморфны друг другу.

В § 7 мы рассматриваем класс всех таких инъективных й-модулей, что все их фактор-модули также инъективны. Этот класс совпадает с классом всех инъективных модулей, не имеющих ненулевых конечно порождённых прямых слагаемых. В предложении 7.2 предлагается критерий наследственности справа кольца Д. Кроме того, мы доказываем, что любой Д-модуль имеет наибольший инъективный подмодуль только в случае наследственности К справа (см. следствие 7.5.1).

Следствия 8.1.1, 8.3.1 дают достаточные условия чистоты по Кону циклического цепного подмодуля Я-модуля. Полученная с их помощью теорема 8.4 является ключевым шагом в доказательстве теоремы существования базисных подмодулей. В §9 мы изучаем структуру конечно порождённых подмодулей редуцированных чисто-инъективных Д-модулей (см.предложения 9.5, 9.6, следствие 9.6.1, замечание 9.6.2), исследуем базисные подмодули неразложимых чисто-инъективных модулей. Тале, в теореме 9.7 доказано следующее утверждение:

Теорема 0.4. Пусть и — неразложимый неинъективный чисто-ин&ектиеный Я-модуль. Тогда любой циклический цепной подмодуль С модуля и содержится в некотором базисном подмодуле модуля и.

Кроме того, следствие 9.8.2 даёт новый (по сравнению с [53, теорема 3]) способ доказательства того факта, что любой чисто-инъективный й-модуль — чисто-инъективная оболочка прямой суммы неразложимых чисто-инъективных модулей.

В § 10 мы доказываем теорему единственности для базисных подмодулей R-модулей и устанавливаем с её помощью следствия о взаимно однозначных соответствиях между типами изоморфизма чисто-проективных и чисто-инъективных R-модулей и об изоморфизме предбазисных подмодулей чисто-инъективных модулей.

В §11 настоящей работы мы изучаем построенное Пунинским взаимно однозначное соответствие (см. [22], [53]). В [22] обратное отображение, восстанавливающее по паре идеалов (1,К) тип изоморфизма неразложимого чисто-инъек-тивного iî-модуля M, задавалось с помощью типа позитивно-примитивных формул, определяемого данной парой односторонних идеалов. Предложение 11.5 позволяет для К ф 0 явным образом построить базисный подмодуль W модуля M, и тогда модуль M ~ PEß(W). Кроме того, показано, что в случае К = 0 модуль M инъективен. Мы доказываем теорему 11.7 об указанном выше взаимно однозначном соответствии без использования теории моделей для модулей.

В главе III с помощью левых идеалов кольца R на произвольном правом ß-модуле вводится линейная Д-топология, которая позволяет описать класс редуцированных чисто-инъективных Д-модулей как класс всех модулей, полных в этой топологии (см. теорему 13.3). В § 12 мы изучаем свойства Л-топологии, в частности, в предложении 12.6 показываем, что она допускает счётную базу в нуле, а в предложении 12.5 доказываем, что любой редуцированный чисто-инъективный или чисто-проективный Д-модуль хаусдорфов в Ä-топологии. Основная цель §13 — построение чисто-инъективной оболочки любого R-модуля, не имеющего ненулевых конечно порождённых инъективных прямых слагаемых, что достигается в следующей теореме (теорема 13.7):

Теорема 0.5. Пусть M — допустимый R-модуль, тогда РЕд(М) ~ С (M) ® Ец{М1), где М1 — замыкание нуля (е R-гпопологии на M), аС(М) ~ РЕд(М/М1) — пополнение модуля M в его R-топологии.

Наконец, в § 14 мы явным образом описываем все неразложимые чистоинъективные модули над полуцепными наследственными справа кольцами (см. теорему 14.4, следствие 14.4.1) в отличие от [22, пример 1.5.4].

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10], [11], [12], [14].

Автор благодарит профессора Александра Ивановича Генералова за постановку рассматриваемой проблемы, помощь, оказанную при работе над ней, и постоянное искреннее внимание.

1. А.И.Генералов. К определению чистоты модулей. — Матем.заметки, т.11, №4, 1972, 375-380.

2. А.И.Генералов. Индуктивно замкнутые собственные классы над ограниченными /тр-кольцами. — Алгебра и логика, 25, №4, 1986, 384-404.

3. А.И.Генералов. Собственные классы коротких точных последовательностей над нетеровыми полуцепными кольцами. — В кн.: Кольца и модули. Предел .теоремы теор.вер., вып.1, Ленинград, 1986, 87-102.

4. А.И.Генералов. О формуле Кузьминова. — Сиб.мат.журн., т.29, №4, 1988, 202204.

5. А.И.Генералов. Относительная гомологическая алгебра и относительные группы Гротендика колец (докт. дисс.). — Ленинград, 1990, 242 сс.

6. А.И.Генералов. Группы Гротендика и короткие точные последовательности над нетеровыми кольцами. — В кн.: Абелевы группы и модули, вып.9, Томск, 1990, 7-30.

7. А.И.Генералов. Алгебраически компактные модули и относительная гомологическая алгебра над ручными наследственными алгебрами. — Алгебра и логика, 30, №3, 1991, 259-292.

8. А.И.Генералов. Относительная гомологическая алгебра в предабелевых категориях, I: производные категории. — Алгебра и анализ, 4, №1, 1992, 98-119.

9. А.И.Генералов. Размерность Крулля категории модулей над нетеровыми справа полуцепными кольцами. — Записки научн.семинаров ПОМИ, т.236, 1997, 73-86.

10. А.И.Генералов, И.М.Зильберборд. Базисные подмодули модулей над полуцепными нетеровыми справа кольцами. I. — Записки научн.семинаров ПОМИ, т.272, 2000, 129-143.

11. А.И.Генералов, И.М.Зильберборд. Базисные подмодули модулей над полу цепными нетеровыми справа кольцами. II — Записки научн. семинаров ПОМИ, т.281, 2001, 154-169.

12. А.И.Генералов, И.М.Зильберборд. Пополнение модулей над полуцепными нетеровыми справа кольцами. — Записки научн.семинаров ПОМИ, т.281, 2001, 170-185.

13. Ю.А.Дрозд. Об обобщенно однорядных кольцах. — Матем.заметки, т.18, №5, 1975, 705-710.

14. И.М.Зильберборд. Индуктивные чистоты над полуцепными нетеровыми справа кольцами. — М., Деп. в ВИНИТИ, № 1449-В2001 от 18.06.2001 г.

15. В.В.Кириченко. Обобщенно однорядные кольца. — Препринт ИМ-75-1, Ин-т мат. АН УССР, Киев, 1975, 58 сс.

16. В.В.Кириченко. Обобщенно однорядные кольца. — Матем.сборник, 99, №4, 1976, 559-581.

17. В.В.Кириченко. О полуцепных наследственных и полунаследственных кольцах. — Записки научн.семинаров ЛОМИ, т.114, 1982, 137-147.

18. В.И.Кузьминов. О группах чистых расширений абелевых групп. — Сиб.мат.журн., т. 17, №6, 1976, 1308-1320.

19. Л.Я.Куликов. К теории абелевых групп произвольной мощности. — Матем.сборник, 16, 1945, 129-162.

20. И.Ламбек. Кольца и модули. — Мир, М., 1971, 280 сс.

21. А.П.Мишина, Л.А.Скорняков. Абелевы группы и модули. — Наука, М., 1969, 152 сс.

22. Г.Е.Пунинский. Теоретико-модельные методы в теории колец и модулей (докт. дисс.). — М., 1995, 185 сс.

23. Г.Е.Пунинский, А.А.Туганбаев. Кольца и модули. — М., 1998, 420 сс.

24. Е.Г.Скляренко. Относительная гомологическая алгебра в категории модулей. — Успехи матем.наук, т.ЗЗ, вып.З, 1978, 85-120.

25. Л.А.Скорняков. Когда все модули — полуцепные. — Матем.заметки, 5, №2,1969, 173-182.

26. К.Фейс. Алгебра: кольца, модули и категории, т.1. — Мир, М., 1977, 688 сс.

27. К.Фейс. Алгебра: кольца, модули и категории, т.2. — Мир, М., 1979, 464 сс.

28. Л.Фукс. Бесконечные абелевы группы, т.1. — Мир, М., 1974, 335 сс.

29. И.Херстейн. Некоммутативные кольца. — Мир, М., 1972, 192 сс.

30. А.В.Яковлев. Нетеровы полуцепные слева кольца. — В кн.: Кольца и модули. Предел .теоремы теор.вер., вьга.2, Ленинград, 1988, 97-116.

31. K.Asano. Uber verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit hyperkomplexen Operatorenring und ihre Anwendungen. — Japan J. Math., 15, 1939, 231-253.

32. Sh.E.Atani. On pure-injective modules over pullback rings. — Commun.Algebra, 28, N 9, 2000, 4037-4069.

33. H.Brune. On the global dimension of the functor category ((mod — R)op, Ab) and a theorem of Kulikov. — J.Pure Appl.Algebra, 28, N 1, 1983, 31-39.

34. P.M.Cohn. On the free product of associative rings. — Math.Z., 71, 1959, 380-398.

35. V.K.Deshpande. Completions of noetherian hereditary rings. — Pacific J.Math., 90, N 2, 1980, 285-297.

36. P.Eklof, I.Herzog. Some model theory over a serial ring. — Ann.Pure Appl.Logic, 72, 1995, 145-176.

37. A.Facchini. Relative injectivity and pure-injective modules over Prüfer rings. — J.Algebra, 110, 1987, 380-406.

38. L.Fuchs. Notes on abelian groups. I, II — Ann.Univ.Sci.Budapest, 2,1959, 5-23; Acta Math.Acad.Sci.Hungar., 11, 1960, 117-125.

39. L.Fuchs. Algebraically compact modules over Noetherian rings. — Indian J.Math., 9, 1967, 357-374.

40. L.Fuchs, L.Salce. Modules over valuation domains. — Lect.Notes Pure Appl.Math, 97, 1985.

41. A.I.Generalov. Relative homological algebra. Cohomology of categories, posets and coalgebras. — B kh. : Handbook of algebra, vol.1, Elsevier, 1996.

42. I.Herzog. The Ziegler spectrum of a locally coherent Grothendieck category. — Proc.London Math.Soc, 74, N 3, 1997, 503-558.

43. I.Kaplansky. Infinite abelian groups. — Univ.of Michigan Press, Ann.Arbor, Michigan, 1954.

44. G.Kothe. Verallgemeinerte Abelsche Gruppen mit Hyperkomplexen Operatorenring. — Math.Z, 39, 1935, 31-44.

45. R.S.Levy. Torsionfree and divisible modules over non-integral domains. — Canad.J.Math., 15, 1963, 132-151.

46. H.Marubayashi. Modules over bounded Dedekind prime rings.II — Osaka J.Math, 9, N 3, 1972, 427-445.

47. H.Marubayashi. Pure-injective modules over hereditary noetherian prime rings with enough invertible ideals. — Osaka J.Math, 18, N 1, 1981, 95-107.

48. E.Matlis. Injective modules over noetherian rings. — Pacific J.Math., 8, 1958, 514528.

49. G.O.Michler. Structure of semi-perfect hereditary noetherian rings. — J.Algebra, 13, N 3, 1969, 327-344.

50. J.Mycielski. Some compactifications of general algebras. — Coll.Math., 13, 1964, 1-9.

51. T.Nakayama. On Frobeniusean algebras. I, II — Ann.of Math., 40, 1939, 611-633; 42, 1941, 1-21.

52. T.Nakayama. Note on uniserial and generalized uniserial rings. — Proc.Imp.Acad. of Tokyo, 16, 1940, 285-289.

53. G.E.Puninski. Pure-injective modules over a right noetherian serial rings. — Com-mun.Algebra, 23, N 4, 1995, 1579-1592.

54. G.E.Puninski. Serial rings. — Kluwer, 2001, 226 cc.

55. S.Singh. Quasi-injective and quasi-projective modules over hereditary noetherian prime rings. — Canadian J.Math, 26, N 5, 1974, 1173-1185.

56. S.Singh. Modules over hereditary noetherian prime rings. — Canadian J.Math, 27, N 4, 1975, 867-883.

57. S.Singh, hnp-rings over which every module admits a basic submodule. — Pacific J.Math, 76, N 2, 1978, 509-512.

58. S.Singh. Some decomposition theorems on abelian groups and their generalizations, II. — Osaka J.Math, 16, N 1, 1979, 45-55.

59. S.Singh. Serial right noetherian rings. — Canad.J.Math, 36, N 1, 1984, 22-37.

60. B.Stenstrom. Pure submodules. — Arkiv for Mat., 7, 1967, 159-171.

61. C.Toffalori. Decidability for Z(?.-modules when G is cyclic of prime order. — Math.Log.Quart., 42, N 3, 1996, 369-378.

62. R.B.Warfield. Purity and algebraic compactness for modules. — Pacific J.Math, 28, N 3, 1969, 699-719.

63. R.B.Warfield. Serial rings and finitely presented modules. — J.Algebra, 37, N 2, 1975, 187-222.

64. B.Weglorz. Equationally compact algebras, I — Fund.Math., 59, 1966, 289-298.

65. M.H.Wright. Serial rings with right Krull dimension one, II. — J.Algebra, 117, N 1, 1988, 99-116.

66. B.Zimmermann-Huisgen, W.Zimmermann. Algebraically compact rings and modules. — Math.Z, 161, 1978, 81-93.