Категории модулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

61

На правах рукописи

ЗВЯГИНА Марина Берговна

КАТЕГОРИИ МОДУЛЕЙ: НЕКОТОРЫЕ АДДИТИВНЫЕ ФУНКТОРЫ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук, профессор ЯКОВЛЕВ А.В.

Санкт-Петербург 1998

М-1/бог- в

Санкт-Петербургский государственный университет

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение 4

Глава 1. Локальная двойственность 17

§ 1. Основные определения и простейшие леммы 17 §2. V-рефлексивность для инъективных и, в частности, инъективных

кообразующих дУ 19

§3. Общая теорема о существовании локальной двойственности 23

§ 4. Модули над локальными и полулокальными кольцами 25

§5. Общий случай нетерова коммутативного кольца 31

§6. Области главных идеалов. Нетеровы факториальные области 36

§ 7. Абелевы группы. Двойственность Понтрягина 39

Глава 2. Непрерывные функторы 42

§1. Классификация непрерывных функторов .одного аргумента 42

§ 2. Функторы, непрерывные справа 44 §3. Ковариантные функторы, непрерывные слева: формулировка и

начало доказательства теоремы о представимости 46 §4. Ковариантные функторы, непрерывные слева: ключевые леммы

и завершение доказательства теоремы о представимости 47

§ 5. Непрерывные слева контравариантные функторы 54

§6. Характеризация непрерывных функторов нескольких аргументов 55 § 7. Переформулировка полученных результатов на языке категорий

функторов 56

Глава 3. Глобальная двойственность 58

§1. дУ-мультиструктурированные абелевы группы 58

§2. Теорема о представимости дУ-мультиструктуры 59

§3. Основной результат двойственности 62

§ 4. Замена топологической структуры алгебраической 63

§5. Рациональный остов и пополнение 64

§6. Эффективный способ построения множества с алгебраической

структурой, эквивалентной структуре компактной абелевой группы 65

Глава 4. О восстановлении функторов по их производным 69

§ 1. Строго гибкие слева кольца. Базисные функторы 70

§2. Правые кольца Ope и правые кольца Голди 71

§3. Делимость и свобода от деления 72

§4. Левая гибкость полупервичных правых колец Голди 74 § 5. Необязательность условий полупервичности и голдиевости для

гибкости кольца: примеры 76

§6. Обобщение результата о полупервичных правых кольцах Голди 76

§ 7. Задача единственности: постановка и контрпример 79

§8. Теорема единственности для представимых функторов 81

Литература 85

ВВЕДЕНИЕ

Вопросы, связанные с двойственностями и эквивалентностями для категорий модулей, а также с непрерывными функторами на этих категориях, интересуют математиков достаточно давно. Общая теория эквивалентностей и двойственностей для абстрактных категорий разработана в 1945 г. С.Эйленбергом (S.Eilenberg) и С.Маклейном (S.Mac Lane) — в той самой публикации [45], где впервые определяются понятия категории и функтора. К.Морита (K.Morita) обстоятельно изучает специальные виды двойственности и эквивалентности для категорий модулей в [54] (1958). Среди прочих результатов, полученных в этом фундаментальном труде, отметим следующие:

(1) Пусть А и В — ассоциативные кольца с единицами, ^ШТ, Ш%в — категории левых унитарных А-модулей и правых унитарных £?-модулей; записи

и Yb означают левый унитарный А-модуль X и правый унитарный 5-модуль Y соответственно. Рассматриваются полные подкатегории ^ШТ и Wis, содержащие соответственно а А и В в и такие, что всякий модуль (соотв. Yb), изоморфный некоторому объекту первой (второй) подкатегории, сам является объектом этой категории. Установлено, что любая двойственность между такими подкатегориями эквивалентна паре функторов Hom^ ,£7) и Нотд( ,£7), где aUb — некоторый бимодуль.

(2) Найдено необходимое и достаточное условие для того, чтобы aUb индуцировал U-двойственность (т.е. функторы Hom^ ,U) и Нот#( ,U) определяли бы двойственность) между более специальными подкатегориями а Ж и Ш в-Именно, такие подкатегории дополнительно к требованиям, наложенным в (1), должны иметь в качестве классов объектов классы Серра (т.е. такие классы, что для всякой точной последовательности модулей 0 —> X' —»■ X —у X" —> О X является объектом данного класса в том и только в том случае, когда таковы X' ш,Х"). Условие состоит в том, что U является инъективным кообразующим как в аЖ, так и в 9Лв, и при этом В ~ ЕпсЦ?7, А ~ End^i/.

(3) В случае артиновых (слева и справа соответственно) колец А и В для

подкатегорий конечнопорожденных модулей условие, приведенное в (2), упрощается: ¿У — конечнопо рожденный инъективный кообразующий и5~ ЕпсЦС/.

(4) Изучены эквивалентности между полными подкатегориями и Шв, обладающими свойствами, изложенными в (1). Такие эквивалентности изоморфны парам функторов Нотд(У, ) и Нотв(£7, ), где дУв и aUb — некоторые бимодули.

(5) Получено достаточное условие эквивалентности между категориями аШ и Шв в целом: эти категории эквивалентны, если существует такой проективный конечнопорожденный aU, что В ~ Ногпд(£7, U). Эквивалентность задается функторами Нотa(U, ) и ®bU.

(6) В любопытном приложении доказывается, что всякая автодуальность категории локально компактных абелевых групп эквивалентна двойственности Понтрягина.

В том же 1958 году Е.Матлис (E.Matlis) в работе [52] получает следующий результат:

Пусть R — коммутативное нетерово полное локальное кольцо с максимальным идеалом Р, Е = Inj^R/ Р) — инъективная оболочка RJP над R. Тогда контравариантный точный функтор Нотд( , Е) задает двойственность между категориями нетеровых и артиновых Д-модулей.

В начале 1960-х годов участникам семинара А.Гротендика (A.Grothendieck) становятся известными чуть более общие утверждения: пусть А — локальное нетерово коммутативное кольцо с максимальным идеалом m, / — инъективная оболочка поля вычетов к = А/m над А. Тогда

(1)(а) а! — инъективный кообразующий модуль,

(b) / = limHomA (А/mre, I),

п ^

(c) кольцо ЕпсЦ/ изоморфно пополнению А локального кольца А;

(2) функтор Hom^( , I) осуществляет автодуальность категории А-модулей конечной длины; он же дает двойственность между категориями артиновых А-модулей и нетеровых А-модулей.

Теорема двойственности Л. С. Понтрягина, полученная еще в начале

1930-х годов (см., например, [60], 1934, или [24], 1936, оригинал — 1934), утверждает (выражаясь в современных терминах), что категория локально компактных абелевых групп автодуальна, причем двойственность задается функтором Hom( , R/Z). В частности, категория дискретных абелевых групп (т.е. -¿Ж) двойственна категории компактных абелевых групп.

За прошедшие годы появилось немало публикаций, идущих в русле исследований К.Мориты и Л.С.Понтрягина и содержащих обобщения и приложения приведенных выше результатов. Назовем в первую очередь монографии П.Кона (P.Cohn) [40] (1970), К.Фейса (С.Faith) [29] (том 2, гл.23, 1979 — в оригинале 1976), Л.С.Понтрягина [25] (1973, третье издание), С.Морриса (S.Morris) [23] (1980). В работах [9] (1978), [36] (1989), [47] (1989) и [42] (1991) получены двойственности, имеющие своим источником результаты как К.Мориты, так и Л.С.Понтрягина, в [53] (1991), [61] (1991) и [64] (1995) излагаются градуированные варианты двойственностей и эквивалентностей Мориты.

Главы 1 и 3 настоящей диссертации связаны с тем же кругом идей и проблем: в первой части главы 1 доказано, что всякая локально малая1 полная подкатегория категории дШТ двойственна локально малой полной подкатегории г9Л при некотором Г, причем двойственность осуществляется функторами Нотд( , V) и Нотг( ,V), где — некоторый бимодуль, такой, что дУ — инъективный

кообразующий (достаточно большой), и Г ~ Епс1дУ. Вторая часть главы 1 содержит изложение и "глобализацию" результатов о локальных нетеровых коммутативных кольцах, полученных в начале 60-х годов участниками семинара Гротендика и опубликованных в [48], [49] (изложение самих результатов см. выше). Вполне возможно, что в этом кругу математиков уже в тех же 60-х годах были известны факты, изложенные автором в гл.1, однако соответствующие публикации, по-видимому, отсутствуют.

1Под локально малой категорией мы понимаем категорию, классы изоморфных между собою объектов которой образуют множество. Общепринятого названия для таких категорий нет, а предлагаемое С.Маклейном в [51] "категории с малым скелетом" ("skeleton") показалось автору несколько громоздким и могущим затемнить суть дела. Автор благодарен А.И.Генералову за указание на то, что названия для рассматриваемого класса категорий в литературе существуют.

В главе 3 автор строит чисто алгебраическую категорию, двойственную д9Н (и тем самым — благодаря двойственности Понтрягина — эквивалентную категории компактных правых Л-модулей). Эта категория возникает как своего рода предел категорий, двойственных локально малым подкатегориям M категории д9Я при растущих M и получает обозначение j^V-Mult, причем объекты ее мы называем л ^-мультиструктурами, а морфизмы — дУ-мультиморфизмами (построение неинвариантно и зависит от выбора инъек-тивного кообразующего дУ, однако ввиду наличия канонического инъектив-ного кообразующего \Cont(A) = Homg(A,R/Z) можно говорить о канонической двойственности между категориями д9Л и дС ont (A)-Mult — и тем самым о канонической эквивалентности между \Cont(A)-Mult и категорией компактных правых Л-модулей).

Сюжет о непрерывных функторах дШ1 —У проще и короче. В 1960 г. С.Эйленберг [44] приводит характеризацию непрерывных справа функторов: такие функторы либо изоморфны тензорным умножениям (ковариантный случай), либо представимы (контравариантный случай). В том же году Уотте (С.Е.Watts) дополняет эту характеризацию, доказывая представимость непрерывных слева ковариантных функторов ([62]). Наконец, С.Маклейн в своей фундаментальной монографии (1963; в русском переводе [21], 1966, с.499) последовательно излагает результаты Эйленберга и Уоттса, отсылая, правда, за доказательствами к первоисточникам. Автор заметил, что мыслимым является еще один тип непрерывных функторов дЭДТ —у именно непрерывные слева контравариантные функторы. На самом деле такие функторы обязаны быть нулевыми, но автор не встречал публикаций с доказательством этого естественного факта.

В главе 2 мы приводим полную характеризацию непрерывных функторов дШТ —у с оригинальными доказательствами теорем о представимости ковариантных функторов, непрерывных слева, и о тривиальности непрерывных слева контравариантных функторов. Вторая глава идейно тесно связана с главами, посвященными двойственности: с одной стороны, она повсеместно

использует базовый аппарат главы 1, с другой стороны, в третьей главе доказательство основной теоремы о представимости мультиструктур базируется непосредственно на ключевых леммах главы 2, касающихся представимости непрерывных слева ковариантных функторов.

Наконец, вопрос о возможности и единственности восстановления функтора по произвольно заданным левым и правым производным был поставлен А.В.Яковлевым; публикации автора [13] (1981),14] (1981) и [15] (1991) содержат частичный ответ на этот вопрос, а в главе 4 настоящей диссертации наши представления о гибких кольцах (так мы назвали кольца, над которыми восстановление функтора по его производным — "склеивание" — всегда возможно) несколько расширяются по сравнению с публикацией [15]. По ходу решения чисто гомологической задачи о гибкости мы столкнулись с проблематикой колец частных. Поэтому полезной оказалась литература, увязывающая наличие и свойства колец частных с гомологическими характеристиками исходного кольца ([12], 1969; [58], 1971; [63], 1989; [2] 1995).

Изложим теперь краткое содержание диссертации.

На протяжении всей работы мы придерживаемся следующих обозначений:

Л — ассоциативное кольцо с единицей;

дЙЯ — категория левых унитарных Л-модулей;

ЗЛд — категория правых унитарных Л-модулей;

\Х — левый Л-модуль X;

Уд — правый Л-модуль У; для произвольного \У

Г(л^) — кольцо эндоморфизмов ЛУ : Г(дУ) = Епс1д(У) = Нотд(У, У);

ву = Нотл( , V) : дШТ г(лу)9Я и

Ну = Нотг(лу)( ,У) : —> дЭДТ — контравариантные функторы, кото-

рые мы будем рассматривать вместе с естественными морфизмами

Ыл

и

Ыг(лУ)ая -»• СуНу, у е Т(ЛУ)У ->■ Фу е Ф„(а;) = х(у).

В первой главе доказывается общая теорема о существовании локальной двойственности и приводится ряд приложений этой теоремы к модулям над различными типами нетеровых коммутативных колец.

§§1, 2 посвящены развитию аппарата, базового для всей работы. Это основные определения и леммы о У-рефлексивности для произвольных, инъективных и инъективных кообразующих дУ.

В §3 наряду с основным результатом о существовании локальной двойственности доказывается важная "теорема о двойном централизаторе".

Предложение 1.3. Пусть д{7 — инъективный кообразующий. Тогда существует такая прямая степень д?У У = II1, что

Епс1д(У) = Г, Епс1г(У) = А.

Теорема 1.3.1. Всякая локально малая полная подкатегория категории дЗЭТ двойственна локально малой полной подкатегории г ЯЛ при некотором Г.

Приводятся также два полезных замечания о применениях теоремы 1.3.1 к общим утверждениям гомологической алгебры.

В §§4-7 изложены некоторые приложения теоремы 1.3.1 к категориям модулей над различными типами нетеровых коммутативных колец. §4 посвящен локальному случаю, и большинство полученных в нем результатов новыми не являются (см., напр., [48], [49], [52]).

В §5 результаты, полученные для локальных нетеровых колец в предыдущем параграфе, "глобализуются" — и доказывается несколько предложений о локальной двойственности для произвольного нетерова коммутативного кольца.

Предложение 1.5.1. Пусть Л — нетерово коммутативное кольцо, тогда

(a) категория Л-модулей конечной длины автодуальна;

(b) категория Л-модулей конечной длины двойственна — и тем самым эквивалентна — категории Г(Л)-модулей конечной длины, где Г(А) =

Л Ат, Ат = Нт(Ат/тАт) — пополнение локального кольца Лт =

тСЛ — мак- ^

симальный идеал

(А\ш)-1А.

Предложение 1.5.2. Для нетерова коммутативного Л категория артиновых Л-модулей двойственна категории нетеровых Г(А)-модулей и эквивалентна категории артиновых Г(А)-модулей.

Предложение 1.5.3. Пусть Л = Аа — прямое произведение полных локальных нетеровых колец (ненетерово в случае бесконечного множества индексов а\). Тогда категории нетеровых и артиновых Л-модулей двойственны друг ДРУгу.

Предложение 1.5.4. Для нетерова коммутативного Л положим Уц = ^ Т/т; V = где М — множество максимальных идеалов Л, N — множество

натуральных чисел. Тогда имеем

ЕпаЛ(У) = Г, Епс1г(У) = Л.

§6 посвящен модулям над областями главных идеалов и над нетеровыми факториальными областями. Большинство результатов о модулях над областями главных идеалов получается простым применением общих предложений §5; сформулируем здесь лишь важную структурную теорему о строении артиновых модулей и результат о локальной двойственности для категории конеч-нопорожденных модулей.

Предложение 1.6.1. Для области главных идеалов Л всякий артинов Л-модуль изоморфен конечной прямой сумме ф (А/рпрг^А), (£р = 0 при по-

г=1,... ,£р

чти всех р), где V — множество неразложимых элементов кольца Л (с точностью до единиц), Пр^ — неотрицательное целое число или оо (через А/р°°А мы обозначаем Пт(Л/р'гЛ)).

Предложение 1.6.2. Пусть Л — область главных идеалов. Положим У0 = ®Р£-р(А/р°°А) ~ к/А, где к — поле частных кольца Л; V = Тогда

(a) Епс1л(У) - Г, Епаг(У) = Л.

(b) категория конечнопорожденных Л-модулей двойственна категории левых Г-модулей, объекты которой изоморфны конечным прямым суммам модулей V и (Л/р"Л)^ (р € Р, п — целое неотрицательное число).

Из результатов о модулях над нетеровыми факториальными областями наиболее интересным и тонким является предложение о "двойном централизаторе" :

Предложение 1.6.3. Пусть А — нетерова факториальная область; положим и, = (Вр€Г(А/р°°А), и = и?хлг. Тогда

Еп<1А(и) = Г, Епс1г({7) = А.

Наконец, в §7 отдельно рассматривается случай А = Ъ и обсуждается связь функторов С-щх, Нщг с двойственностью Понтрягина.

Вторая глава посвящена полной характеризации непрерывных функторов дШ1 —» г^Я для произвольного ассоциативного кольца с единицей А.

В §1 непрерывные аддитивные функторы д9Л —> ^ШТ подразделяются на четыре класса:

1) ковариантные, непрерывные справа;

2) контравариантные, непрерывные справа;

3) ковариантные, непрерывные слева;

4) контравариантные, непрерывные слева.

В §2 доказывается, что ковариантные функторы, непрерывные справа, изоморфны тензорным умножениям, а контравариантные функторы, непрерывные справа, представимы.

В §3 приводится формулировка и начало доказательства теоремы о представимости ковариантных функторов, непрерывных слева.

§4 посвящен развитию специального аппарата для доказательства теоремы из §3 ( впоследствии этот же аппарат найдет свое применение в третьей главе, при доказательстве теоремы о представимости мультиструктур) — и завершению доказательства этой теоремы.

В §5 устанавливается, что контравариантный функтор, непрерывный слева, обязан быть нулевым.

В §6 дается полная характеризация непрерывных функторов нескольких аргументов.

В §7 полученные результаты о непрерывных функторах одного аргумента переформулируются на язы�