Анализ характеристик обнаружения многомерных сигналов на основе обобщенного отношения максимального правдоподобия в случае коротких выборок

Болховская, Олеся Викторовна

Анализ характеристик обнаружения многомерных сигналов на основе обобщенного отношения максимального правдоподобия в случае коротких выборок тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Болховская, Олеся Викторовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Анализ характеристик обнаружения многомерных сигналов на основе обобщенного отношения максимального правдоподобия в случае коротких выборок»

Автореферат диссертации на тему "Анализ характеристик обнаружения многомерных сигналов на основе обобщенного отношения максимального правдоподобия в случае коротких выборок"

На правахрукописи

ВОЛХОВСКАЯ Олеся Викторовна

АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ОБНАРУЖЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОГО ОТНОШЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ В СЛУЧАЕ КОРОТКИХ ВЫБОРОК

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2004

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского (ННГУ)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Мальцев А.А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Музычук О.В. доктор физико-математических наук, профессор Саичев А.И.

Ведущая организация - Институт прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород

Защита диссертации состоится г. в ¡у ,, у с» час.

на заседании диссертационного совета Д212.166.07 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Н. Новгород, ГСГГ-20, пр. Гагарина, 23, корп.4, радиофизический факультет, /7>/

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан

Учёный секретарь диссертационного совета

13545

Актуальность темы.

Обнаружение полезных сигналов на фоне шума и помех и обработка сигналов в современных информационных системах является одной из основных проблем статистической радиофизики. Задача обнаружения обычно решается на первой стадией приема сигналов в радиолокационных, гидроакустических и радиосвязных системах. В простой (двухальтернативной) постановке задача обнаружения сводится к принятию решения о наличии или отсутствии полезного сигнала в наблюдённой реализации входного процесса.

Если статистические характеристики полезного сигнала и действующих шумов и помех априорно (до проведения измерений) известны, то решение задачи оптимального обнаружения в соответствии с наиболее распространенными критериями оптимальности (идеального наблюдателя, Неймана-Пирсона, максимума правдоподобия и др.) сводится к нахождению отношения правдоподобия и сравнению его величины для наблюдённой реализации с некоторым пороговым значением. Однако подобный классический подход к решению задачи обнаружения не удается осуществить при рассмотрении большинства практически интересных задач обработки сигналов. Основной причиной невозможности прямого применения мею-да отношения правдоподобия является недостаток имеющейся априорной информации о полезном сигнале и действующих шумах. Существует несколько подходов к преодолению указанной трудности. Среди них мы выделим два основных метода.

1 .Метод усредненного отношения правдоподобия. В этом методе, рассмотренном подробно в работах В.И. Тихонова, для решения задачи обнаружения используется отношение правдоподобия, дополнительно усредненное по априорному распределению неизвестных параметров. В качестве приближенных априорных плотностей веро-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 6ИБЛИОТЕКА

«гида

ятности неизвестных параметров в этом случае часто используются равномерные распределения в ожидаемом интервале изменения параметров или другие достаточно широкие* плотности вероятности. В радиотехнике этот метод применяется по отношению к таким параметрам, как амплитуда и время появления радиоимпульса, а также другим параметрам, которые на этапе обнаружения рассматриваются как неинформативные. Например, неинформатнвны.ми параметрами на этом этапе обнаружения, характеризующими цель, могут являться размер, форма, отражающая поверхность, а характеризующими характер ее движения - скорость, дальность, ускорение.

Следует однако отметить,что применение метода усредненного отношения правдоподобия, во-первых, требует априорного знания функции распределения неизвестных параметров полезного сигнала (или шума) и, во-вторых, фактически приводит к оптимальному решению "в среднем" для всех возможных реализаций полезного сигнала.

При таком подходе вид априорной плотности вероятности неизвестных параметров оказывает влияние на характеристики обнаружения. Поэтому в процессе работы обнаружителя априорная плотность вероятности неизвестных параметров, используемая для обнаружения, может "подстраиваться" с ростом статистических данных о принимаемых сигналах и шумах. При разумном задании априорной плотности вероятности, обеспечивающей устойчивую работу устройства, окончательные результаты в стационарном режиме работы не будут зависеть от начального вида выбранной априорной плотности вероятности неизвестных параметров сигнала.

ются в отношение правдоподобия в качестве "истинных" значений неизвестных параметров. После этого задача сводится к классической задаче обнаружения или различения детерминированных сигналов, в которых вместо истинных значений сопутствующих параметров фигурируют их оценки. Этот метод наиболее эффективен в том случае, когда по принятой реализации можно получить достаточно хорошую оценку неизвестного параметра (то есть в случае большого отношения сигнал/шум или большого объема выборки). Решающие статистики, получаемые на основе обобщенного отношения правдоподобия, мы будем для краткости называть GLR (Generalized Likelihood Ratio) статистиками.

Можно строго доказать, что при большом отношении сигнал/шум и/или при большом объеме выборки (в случае длинных реализаций наблюдаемого процесса) метод обобщенного отношения правдоподобия является асимптотически оптимальным. В настоящее время достаточно хорошо разработаны асимптотические аналитические методы вычисления пороговых значений GLR статистик. Для коротких выборок и малых отношений сигнал/шум аналитически методы нахождения пороговых значений GLR статистик отсутствуют и сам вопрос об эффективности метода обобщенного отношения правдоподобия остается открытым.

В современных системах гидроакустики, локации, мобильных системах связи необходимо обнаружить наличие полезного сигнала в очень сложной помеховой обстановке в случайном канале связи за минимально возможное время (буквально за несколько или несколько десятков выборочных значений). Поэтому для повышения эффективности обнаружения и улучшения дальнейшей обрабоши < иг-налов в современных системах связи, радио- и гидролокации пге более широко используются многозле.ментные антенные решети. Дополнительная пространственная обработка сигналов позволяе! су-

щественно увеличить помехоустойчивость таких систем и. в принципе, позволяет уменьшить время, отводимое на обнаружение сигнала. Таким образом, возникает задача разработки алгоритмов обнаружения сигналов в многоэлементных антенных решетках но коротким выборкам. Этой задаче и посвящена данная диссертация.

В диссертации рассматривается задача обнаружения пространственных сигналов без учета временных характеристик сигналов и помех. Представление наблюдаемого сигнала в виде реализации случайного процесса априори неизвестной формы хорошо моделирует широкий круг задач в радиоастрономии, гидроакустике, дистанционном зондировании и исследовании природных ресурсов, а также многие задачи радио-.гидролокации и связи. Хорошо известно решение задачи обнаружения случайных сигналов многоэлементными антенными решетками при известной форме волнового фронта сигнала на фоне аддитивного белого гауссовского шума. Это классическая задача пассивной локации излучающих объектов в свободной пространстве, которая решается с помощью отношения правдоподобия и хорошо изучена. Однако в реальных системах пассивной гидролокации и связи волновой фронт и пространственные характеристики сигналов априорно неизвестны. Поэтому задача обнаружения случайных сигналов с неизвестными пространственными характеристиками является актуальной.

В настоящей работе сигналы и помехи моделируются в виде случайных процессов с некоррелированными отсчетами с учетом их пространственных характеристик. В такой постановке задача обнаружения представляет интерес для пассивных гидроакустических и радиотехнических систем, в которых принимаемый сигнал, как правило, является шумовым или квазишумовым, систем мобильной связи и беспроводной передачи данных, в которых канал распространения сигналов является случайным и настолько сложен, (частотно-

и пространственно-селективен), что на первоначальном этапе о временной структуре полезного сигнала известно очень мало из-за вносимых каналом связи искажений.

В диссертации все исследуемые решающие статистики получены на основе обобщенного отношения правдоподобия для выборок произвольного объема. В общем случае (для выборки любого объема) GLR-статистики имеют сложные функции распределения. Это не позволяет аналитически найти пороговые значения тест-стагистики для заданного постоянного уровня ложной тревоги РЖА (В соответствии с критерием Неймана-Пирсона). Поэтому для вычисления пороговых значений тест-статистик, как правило.используются асимптотические методы, справедливые только для выборок большого объема. В случае коротких выборок такие методы становятся неприменимыми.

Цель работы

1. Получить на основе обобщенного отношения правдоподобия точные выражения GLR-статистик для решения задачи обнаружения многомерных пространственных сигналов г различными характеристиками на фоне однородных и неоднородных шумов.

2. Исследовать статистические характеристики решающих статистик в случае произвольного объема выборок. Разработать методику нахождения пороговых значений тест-статистик, при заданных вероятностях ложной тревоги.

3. Провести сравнительный анализ помехоустойчивости различных GLR-статистик в случае коротких выборок.

Методы исследований

При решении поставленных задач использовались общие методы статистической радиофизики, теории вероятностей и математической статистики, а также методы теории случайных матриц и теории ортогональных полиномов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1.Получены выражения для решающих (GLR) статистик в задаче обнаружения полезного сигнала на фоне шума при различных объемах априорной информации о сигнале и шумах.

2.Найдены точные аналитические выражения для моментов решающих статистик, полученных на основе обобщенного отношения правдоподобия для произвольного объема выборки.

3. Предложен эффективный метод аппроксимации функции распределения решающих статистик, получаемых на основе обобщенного отношения правдоподобия в случае коротких выборок.

3. На основе предложенного метода разработан алгоритм для вычисления пороговых значений GLR статистик и решена задача обнаружения для многомерных сигналов с априорно неизвестной пространственной когерентностью.

4. Точность и эффективность предложенных методов и алгоритмов проверена путем численного моделирования.

Практическая ценность

Полученные в диссертации теоретические и экспериментальные результаты представляют интерес для ряда научно-исследовательских учреждений, занимающихся разработкой радио- и гидроакустических антенных решеток, а также в организациях, связанных с практическим использованием и разработкой подобных систем, таких, как институт прикладной физики РАН (ИПФРАН, г. Нижний Новгород), Нижегородский институт радиотехники (НИИРТ, г. Нижний Новгород), научно-производственное объединение "Полёт" (НПО "Полёт" г.Нижний Новгород). Результаты могут быть использованы при проектировании и исследовании эффективных систем обработки многомерных снгналов в радиолокации и гидроакустике. Кроме того, отдельные результаы работы использованы при работе со студентами, специализирующимися в области статистической радиофизики.

Апробация результатов работы

Результаты диссертационной работы докладывались на международных научных конференциях "Цифровая обработка сигналов и ее применение4(Москва, DSPA-2002, DSPA-2004 гг.). International conferenxe on electromagnetics in advanced applications" (Torino, Italy. ICEAA-2001), 10 юбилейная Международная конференция "Теория и техника передачи, приема и обработки информации" (Туапсе. 2004). на научных конференциях по радиофизике ННГУ (1999 - 2004). Основные результаты опубликованы в трех статьях ([?] • [?] • [?]) И еще дне находятся в печати.

Публикации Основные результаты опубликованы статьях ([?] • [?] • [?]), а также в сборниках тезисов и трудов международных и общероссийских конференций.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет х страниц, включая х рисунков.

Во введении освещается современное состояние проблемы обнаружения многомерных сигналов на основе обобщенною отношения правдоподобия, обосновывается актуальность работы и кратко излагается содержание работы.

В первой главе диссертации решается задача нахождения выражений для GLR статистик для различных случаев пространственного шумового фона.

В разделе 1.1 формулируется классическая двухальтернативная задача различения двух гипотез и выводится общее выражение для обобщенного отношения правдоподобия.

Рассмотрим /»-элементную узкополосную приемную ашешп н> решетку с произвольным расположением датчиком. Булем cnnaib.

что сигналы с элементов антенны образуют /¿-мерный вектор г. яв. 1Я-ющийся комплексным случайным гауссовским вектором и осуществляется Л* выборок выходного сигналагь^.....г.у. которые являются статистически независимыми, одинаково распртделенными случайными векторами с нулевым средним значением н пространственной ковариационной матрицей £.

Задача обнаружения узкополосного пространственно - коррелированного полезного сигнала антенной решеткой формулируется как классическая двухальтернатнвная задача различения двух гипотез: гипотезы Щ, состоящей в том. что принимается только шум. и гипотезы Я], когда принимается аддитивная смесь пинала и шума.

Обобщенное отношение правдоподобия для такой задачи. (СЛИ тест-статистика А) записывается в виде

тах£(0,Е)

Л = ^-*-. (1)

шах 1(0.2) 1 '

ЕбП 1 '

где

1 - £ »-«■»г-'г"'!

- <2>

функция правдоподобия для комплексного гауссовского раенре-деления. о.- - подобласть, соответствующая нулевой гипотезе Яо в полном пространстве параметров П, |.| - детерминант матрицы, а знак | означает эрмитовское сопряжение.

Решение о наличии или отсутствии сигнала принимается путем сравнения отношения правдоподобия Л с некоторым пороговым значением Л»,. который определяется согласно критерию Неймана-Пирсона.

В такой постановке задачи обнаружения в зависимости от имеющейся априорной информации рассматривались пять вариантов задания пространственных характеристик шума гипотезами Яц; (про-

странственными ковариационными матрицами и полезного сигнала гипотезами (пространственными ковариационными матрицами где i - номер варианта. При этом в первых трех вариантах предполагается, что полезным сигналом является любой сигнал, характеристики которого отличны от характеристик шума. В двух последних вариантах дополнительно к характеристикам шума задается и определенная априорная информация о полезном сигнале. Характеристики шума в различных вариантах задавются в виде сложной или простой гипотезы. Каждый из этих вариантов подробно разобран в разделах (1.2-1.6)

В первом варианте (сложная нулевая гипотеза, стагнстнка раздел (1.2) предполагается отсутствие любой априорной информации о шуме, кроме условия независимости его отсчетов в различных элементах антенны.

Во втором варианте (сложная нулевая гипотеза, статистика раздел (1.4)), дополнительно к независимости шума в элементах антенны предполагается наличине априорной информации о его однородности (одинаковой мощности в разных элементах антенны = <т2 = const).

В третьем варианте (простая нулевая гипотеза, статистика раздел (1.5)) ковариационная матрица шума предполагается полностью известной (диагональной, с известной дисперсией а2). Очевидного в этом случае с помощью нормировки ковариационная матрица шума всегда может быть сведена к единичной.

В четвертом варианте (сложная нулевая гипотеза, статистика l-j, раздел (1.3)) рассматривается задача обнаружения шумового пространственно неоднородного сигнала на фоне однородного собственного шума антенны с априори неизвестной мощностью .

В пятом варианте (простая нулевая гипотеза, статистика раздел (1.6)) в случае нулевой гипотезы ковариационная матрица шума

равна единично!!, однако в случае альтернативной пшоте-зы ковариационная матрица сигнала не произвольная (как для статистики Гз). а представляет собой сумму единичной и произвольной мафицы М:

£ = I + М. (-3)

В разделе (1.7) все полученные выражения для решающих паш-стик приведены в общей таблице. Для полноты гранения рассмафп-вается еще один, шестой вариант (простая нулевая гипотеза, статистики Т 4, подробно рассмотренный в диссертации К.В. Родюшкина. в котором кроме полной априорной информации о шуме в антенных элементах (гауссовость. независимость. одно]к>дность. единичная мощность) дополнительно предполагается . что полезный сигнал полностью пространственно когерентен.

Во второй главе находякя точные аналитические выражения для статистических моментов любого порядка найденных в первой главе вЬИ статистик. Моменты находятся путем прямого интегрирования п-мерных интегралов с использованием известного распределения Уишарта для выборочной ковариационной матрицы

= (4)

где /(Е) = ^ = ^1)Г(,,)...Г(Л--р+1)|Е|л'.

Таким образом получены моменты для решающих пашаик Г). 1*5. \-2 и 1:1 и разделат(2.1) - (2.4) соответственно. При нитрировании кроме статистического определения момента использованы также свойства гамма-функции и многомерных \-квадраг распределений для комплексных случайных величин. При этом в разделе (2.3) показаны два различных способа, которым могут быть получены моменты решающей статистики Г?. Первый способ представляет собой стандартное прямое интегрирование, а второй позволяет получить моменты статистики \ •>, используя то, что ранее полученные

моменты статистик 1*1 и 15 удовлетворяют определенному свойству согласованности.

В разделе 2.5 представлена сводная таблица точных выражений для используемых СЬИ-сгатнстик и их стаикчнческпх момеипж любого порядка.

В третьей главе г помощью метода момешов проводшся исследование функции распределения найденных СЬИ сташстик.

В разделе (3.1) показана возможность представления плошопн вероятности решающих статистик в виде ряда по ортогональным полиномам с весовой функцией, выбранной в виде известного )• распределения. В этом случае система ортогональных полиномов будет представлять из себя систему смещенных ортогональных полиномов Якоби. Формально разложение плотности вероягнос чп 1Г| (.г) случайной величины Г в рядно полной системе ор| 01 опальных многочленов (¿„(.г) записывается следующим образом:

"V И = £ с,ЛлШ-г). (3)

»=0

где с„ - коэффициенты разложения, а /(.г) - весовая функция. Основная проблема, возникающая при использовании разложений (??) состоит в выборе (подборе) весовой функции /(.г), при которой этот ряд сходится наиболее быстро. В данной работе мы вослоль-зоватись разложением по смещенным полиномам Якоби. Для ною в качестве весовой функции /(.г), которая определяет совокупное! ь ортогональных функций (?„(.| ) в (??). было выбрано /- распределение

П) ГОУ)Г(д') 11 Л) ■

0 < л- < 1.;/ > 0,</' > 0, II

парметры которого были найдены методом моментов в разделе (3.2) через полученные ранее моменты СЬ11 статистик. При этом нйденные ранее моменты решающих статистик приравнивались к известным моментам /^-распределения, и из полученной системы уравнений выражались неизвестные параметры, характеризующие Л-распредел

В разделах (3.3) - (3.5) с помощью численного моделирования исследуется точность определения моментов, точность аппроксимации функций распределения и точность определения пороговых значений вЬИ статистик соответственно. Аппроксимирующие аналитические выражения для функций распределения решающих статистик, полученные в виде конечных разложений (различных порядков) по ортогональным полиномам, сравниваются с результатами численного эксперимента и показывается высокая скорость сходимости аппроксимирующего ряда.

В четвертой главе проводится сравнение характеристик обнаружения рассмотренных СИ? статистик при обнаружении ра¡личных пространственно-когерентных сигналов на фоне аддитивных белых гауссовских шумов. На основании анализа этих характеристик делаются выводы о возможной применимости различных вЬИ статистик для каждого конкретного случая.

В разделе (4.1) на основе численного моделирования сравнивается помехоустойчивость (зависимость вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал/шум при заданном уровне вероятности ложной тревоги) решающих статистик в различных рассмотренных случаях обнаружения полезного сигнала. Рассматривалось несколько парпанюв шумовою фона - однородный и разной степени неодно-родногш. На основании приведенных графиков можно сделать вывод о том. что с увеличением степени неоднородности шума наиболее эффекшвной становится статистика Г), так как из всех четырех ис-г. юдоваипых стат истик (1*1,1 \ Л з.1 \) только для нее нулевая гипотеза

полностью соответствовала условиям проводимого моделирования. В случае слабонеоднородного шума по-прежнему лучшей остается статистика 14 с выигрышем по отношению к ближайшей статистике 1"[ около 2 <1В. в случае среднеиеоднородного шума эффективности статистик 1] и 1) практически сравниваются, и в случае дальнейшего усиления неоднородноеги статистика Г| начинает проигрывал, статистике 11 около 4 с1В.

Следует отметить, что уже в случае средненеоднородпо! о шума применение статистик и I') становится малоэффективным, а для сильнонеоднородного шума практически неприемлемым.

В разделе (4.2) сравниваются рабочие характеристики (то есть зависимость вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной тревоги при заданной отношении сигнал/шум) решающих статистик при обнаружении полезного сигнала на фоне однородного и неоднородного шумов.

На основании анализа приведенных выше рабочих харакюрист пк можно сделать следующие выводы:

Статистика Г^ является наиболее универсальной из всех рассмотренных статистик. Хотя статистика Гй предназначена для обнаружения сигнала на фоне однородного шума, ее рабочие хнракн--ристики малочувствительны (робастны) к достаточно сильной неоднородности аддитивного шума (порядка 9дБ). Кроме того, эта статистика малочувствительна к характеристикам полезного сигнала. Например, в задаче обнаружения полезного сигнала, являющегося когерентной волной, на фоне однородного шума, проигрыш статистики по сравнению с наилучшей (асимптотически оптимальной) для этого случая статистикой оказывается незначительным (порядка 12 процентов).

Для обнаружения пространственно- когерентного сигнала на фоне сильнонеоднородного шума можно также использовать стаптгтн-

ку 1*1. которая имеет в этом случае наилучшие рабочие характеристики. превосходящие характеристики статистик и 1*4 приблизительно на 10 и 45 процентов соответственно. Интересно отметить, что вычисление значений статистики существенно проще, чем статистик Ц и Г4, поскольку для нее не требуется решения задачи на собственные значения выборочной ковариационной матрицы входных сигналов.

В заключении приводятся основные результаты работы, следующие из них выводы и положения, выносимые на защиту.

Основные результаты работы

Основные результаты диссертационной работы и следующие из них практические выводы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Получены на основе обобщенного отношения правдоподобия выражения СШ-статистик для решения задачи обнаружения многомерных пространственных сигналов с различными характеристиками па фоне однородных и неоднородных шумов.

2. Найдены точные анали гические выражения для момен юв ОН? 11ат ист нк. полученных на основе обобщенного отношения правдоподобия в задаче обнаружения полезного сигнала на фоне шума для произвольного объема выборки. Выражения получены для комплексных гауссовских сигналов с использованием распределения Уи-шарта путем прямого интегрирования. Эти выражения были проверены путем численного нахождения моментов. Результаты моделирования подтвердили теоретические выражения.

3. Предложен эффективный метод аппроксимации функции распределения тееI-статистик обобщенного отношения правдоподобия и случае коротких выборок. Для нахождения вероятностных распределений решающих вЬГ! статетик использовались полученные

аналитические выражения для моментов этих статистик. Плотности вероятности статистик представлялись в виде ряда по ортогональным полиномам с весовой функцией, при которой этот ряд сходится наиболее быстро. Неизвестные параметры весовой функции находились из условия равенства первьгх двух моментов аппроксимируемой и аппроксимирующей функций. Весовая функция с нужными коэффициентами являлась нулевым приближением разлагаемой в ряд плотности вероятности. Дальнейшие члены ряда находились в соответствии с теорией ортогональных многочленов. Численное моделирование подтвердило хорошую аппроксимацию функций распределения (позволяющую оценивать пороги с точностью до 1

3. На основе предложенного метода аппроксимации плотностей вероятности решающих статистик разработан алгоритм для вычисления пороговых значений тест-статистик и решена задача обнаружения многомерных сигналов с априорно неизвестной пространственной когерентностью.

4. Точность и эффективность предложенных метода и алгоритма проверена путем численного моделирования. Моделировалась 5-элементная линейная эквидистантная антенная решетка с расстоянием между соседними элементами, равным половине длины волны. Экспериментально полученные функции распределения сравнивались с теоретически рассчитанными по предложенному методу аппроксимации с помощью смещенных ортогональных полиномов Якоби для различных порядков приближения (разного количества слагаемых в аппроксимирующем ряде).Сравнение показало, что достаточно уже четырех слагаемых в аппроксимирующем ряде для плотности вероятности, чтобы получить совпадение теории с экспериментом с точностью в среднем до 1 процента.

5.Проведено сравнение эффективности использования различных решающих статистик (алгоритмов обработки), полученных на основе

обобщенного отношения правдоподобия, для обнаружения пространственных сигналов. Рассмтаривалось несколько различных моделей сигналов с различной степенью когерентности, в том числе шумовой и плоская когерентная волна, а также несколько моделей шумов с разной степенью неоднородности по элементам антенной решетки. Выявлены наиболее эффективные и робастные (нечувствительные к неоднородности) в каждом случае статистики. Все результаты справедливы в том числе и для коротких выборок.

б. Проведенное сравнение позволяет дать рекомендации по выбору алгоритма обработки сигнала для обнаружения полностью или частично-когерентных сигналов на фоне шумов в различных случаях наличия априорной информации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1] Волховская О.В. Статистические характеристики отношения правдоподобия при обнаружении многомерных комплексных гауссовских сигналов с неизвестными параметрами /Волховская О.В., Мальцев А.А. // Сб. трудов 4-й нижегородской сессии молодых ученых, Н. Новгород, 1999 г. - Н.Новгород: ИПФ РАН. 1999,- С.86-87.

[2] Волховская О.В. Исследование характеристик достаточной статистики в задаче обнаружения многомерных пространственных сигналов /Волховская О.В., Мальцев А.А., Макарова СМ. // Сб. трудов. 3-й научной конференции по радиофизике, Н. Новгород,? мая 1999г. - Н.Новгород: ННГУ, 1999.- С.201-202.

[3] Волховская О.В. Обнаружение многомерных комплексных гауе-совских сигналов на основе отношения максимизированных функций правдоподобия /Волховская О.В.. Мальцев А.А.// Избранные труды открытого конкурса молодых ученых. -Н.Новгород: ИПФ РАН, 1999.- С.85-90.

[4] Волховская О.В. Аппроксимация обобщенного отношения правдоподобия методом моментов с помощью Л-распределения / Волховская О.В.. Мапьцев А.А. // Сб. трудов б-й нижегородская сессии молодых ученых. Н. Новгород, 2001 г. - Н.Новгород: ИПФ РАН, 2001.- С.58-59.

[5] Волховская О.В.. Мальцев А.А. Аппроксимация функции распределения обобщенного отношения правдоподобия в задаче обнаружения пространственных частично-когеротных сигналов п случае коротких выборок, // Сб. трудов (пятой) научной конференции по радиофизике, Н. Новгород,? мая 2001г. - Н.Новгород: ННГУ, 2001.- С.218-219.

[6] Bolkhovskaya O.V. Approximation of distribution function of a generalized likelihood ratio for the detektion of spatial partially coherent signals / O.V. Bolkhovskaya, A.A. Maltsev. L. Lo Presti. F. Sellone // International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA 01), Torino, Italy. September 2001. - Torino, 2001. - P. 655-658.

[7] Волховская О.В. Точные вычисления моментов функции распределения обобщенного отношения правдоподобия в задаче обнаружения пространственных частично-когерентных сигналов в случае коротких выборок /Волховская О.В.. Мальцев А.А. // Сб. трудов 4-й международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применение", Москва, 27 февраля -1 марта 2002г. - Москва: ИПУ РАН, 2002. - С.165-167.

[8] Волховская О.В. Применение адаптивных антенных решеток для повышения скорости передачи информации /Ермолаев В.Т., Мальцев А.А., Флаксман А.Г., Маврычев Е.А., Тираспольский С.А.. Волховская О.В.// Сблрудов б-й научной конференции по радиофизике. Н. Новгород, 7 мая 2002г. - Н.Новгород: ННГУ, 2002.- С.23-29.

[9] Волховская О.В. Сравнение характеристик обнаружителей пространственных частично-когерентных сигналов // Сб.трудов 6-й научной конференции по радиофизике, Н. Новгород, 7 мая 2002г. - Н.Новгород: ННГУ, 2002.- С.265-267.

[10] Волховская О.В. Обнаружение частично-когерентных сигналов на фоне пространственно-неоднородного шума /Волховская О.В., Мальцев А.А. //Сб. трудов 4-й нижегородской сессии молодых ученых, Н. Новгород, 2002 г. - Н.Новгород: НПФ РАН. 2002.- С.7-9.

[И] Bolkhovskaya O.V. Approximation of distribution function of a generalized likelihood ratio for the detection of spatial partially coherent signals in the short sample case/O. V. Bolkhovskaya, A. A. Maltsev, L. Lo Presti, F. Sellone// Журнал радиоэлектроники/ -№12, 2002. http://jre.cplire.ru/jre/decO2/ll/text.html

[12] Волховская О.В. Определение пороговых значений статистики обобщенного отношения правдоподобия в задаче обнаружения пространственных частично-когерентных сигналов в случае коротких выборок /Волховская О.В., Мальцев А.А. // Изв. Вузов. Радиофизика. -2002. -Т.45. - С.1077-1085

[13] Волховская О.В. Сравнительный анализ различных статистик обнаружения многомерных пространственных сигналов антенной решеткой // Сб.трудов 7-й научной конференции по радио-

[14] Bolkhovskaya O.V. The detection performance of the GLRT for the spatial signals with a small number of observations /Bolkhovskaya O.V., Maltsev A.A.// IEEE Signal Processing Letters.- 2004.-vol.ll, 10. - P.841-844.

[15] Волховская О.В. Сравнительный анализ решающих статистик в задаче обнаружения пространственных сигналов в случае коротких выборок /Волховская О.В., Мальцев А.А. //Сб. трудов 6-й международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применение", Москва, 31 марта - 2 апреля 2004г. - Москва: ИПУ РАН, 2004. - С.21-23.

[16] Волховская О.В. Обнаружение пространственных сигналов на основе обобщенного отношения правдоподобия в случае коротких выборок /Волховская О.В., Мальцев А.А. // 10-я Юбилейная Международная конференция "Теория и техника передачи, приема и обработки информации", Туапсе, 28 сентября - 2 октября 2004. - Харьков: ХНУРЭ, 2004. - С.233-234.

[17] Волховская О.В., Мальцев А.А., Родюшкин К.В. Сравнительный анализ решающих статистик в задаче обнаружения пространственных сигналов в случае коротких выборок -2004. -Т.47. - №8.

Формат 60x84 1/16. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Заказ 1405. Тираж 100.

Типография Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского Лицензия №18-0099 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

РНБ Русский фонд

2005-4 19545

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Болховская, Олеся Викторовна

1 Обобщенное отношение правдоподобия для различных задач обнаружения многомерного полезного сигнала с неизвестными пространственными характеристиками

1.1 Постановка задачи.

1.2 Обобщенное отношение правдоподобия для проверки гипотезы о наличии сигнала на фоне пространственно-неоднородного по элементам антенны шума с неизвестными мощностями

1.3 Вывод вспомогательного обобщенного отношения правдоподобия для проверки гипотезы о равенстве мощности шумов в элементах антенной решетки при условии их независимости.

1.4 Обобщенное отношение правдоподобия для проверки гипотезы о наличии сигнала на фоне однородного шума неизвестной мощности.

1.5 Обобщенное отношение правдоподобия для проверки гипотезы о присутствии сигнала на фоне однородного шума известной (единичной) мощности.

1.6 Обобщенное отношение правдоподобия для проверки гипотезы о наличии сигнала на фоне однородного шума единичной мощности с учетом положительной определенности ковариационной матрицы сигналов

1.7 Сводка выражений для GLR статистик.

2 Нахождение моментов решающих статистик GLR в различных задачах обнаружения сигналов с неизвестными пространственными характеристиками

2.1 Моменты решающей статистики для проверки гипотезы о наличии сигнала на фоне пространственно-неоднородного по элементам антенны шума с неизвестными мощностями

2.2 Моменты решающей статистики для проверки гипотезы о равенстве шумов в различных элементах антенной решетки при условии их независимости.

2.3 Моменты решающей статистики для проверки гипотезы о присутствии сигнала с произвольной пространственной когерентностью на фоне однородного шума неизвестной мощности.

2.4 Моменты решающей статистики для проверки гипотезы о присутствии сигнала с единичной ковариационной матрицей.

2.5 Сводка выражений для моментов GLR статистик

Использование моментов GLR статистик для исследования функций распределения решающих статистик в случае коротких выборок

3.1 Представление плотностей вероятностей GLR статистик в виде ряда с использованием моментов.

3.2 Разложение плотности вероятностей решающих статистик по ортогональным смещенным полиномам Якоби

3.3 Исследование точности определения моментов решающих статистик путем численного моделирования

3.4 Исследование точности аппроксимации функций распределения решающих статистик путем численного моделирования

3.5 Исследование точности определения пороговых значений решающих статистик для заданной вероятности ложной тревоги.

4 Сравнение эффективности различных обнаружителей пространственных сигналов

4.1 Сравнение помехоустойчивости различных обнаружителей пространственных сигналов.

4.2 Сравнение рабочих характеристик различных обнаружителей пространственных сигналов.

Введение диссертация по физике, на тему "Анализ характеристик обнаружения многомерных сигналов на основе обобщенного отношения максимального правдоподобия в случае коротких выборок"

Актуальность темы

Обнаружение полезных сигналов на фоне шума и помех является одной из основных проблем обработки сигналов во многих информационных системах. Задача обнаружения обычно решается на первой стадией приема сигналов в радиолокационных, гидроакустических и радиосвязных системах ([1] - [10]). В простой (двухальтернатив-ной) постановке задача обнаружения сводится к принятию решения о наличии или отсутствии полезного сигнала в наблюдённой реализации входного процесса.

Если статистические характеристики полезного сигнала и действующих шумов и помех априорно (до проведения измерений) известны, то решение задачи оптимального обнаружения в соответствии с наиболее распространенными критериями оптимальности (идеального наблюдателя, Неймана-Пирсона, максимума правдоподобия и др.) сводится к нахождению отношения правдоподобия и сравнению его величины для наблюдённой реализации с некоторым пороговым значением ([1], [4] - [6]). Однако подобный классический подход к обнаружению не удается осуществить при рассмотрении большинства практически интересных задач обработки сигналов. Основной причиной невозможности прямого применения метода отношения правдоподобия является недостаточное количество имеющейся априорной информации о полезном сигнале и действующих шумах. Существует несколько подходов к преодолению указанной трудности. Среди них мы выделим два основных метода.

1.Метод усредненного отношения правдоподобия. В этом методе, рассмотренном подробно в работах В.PI. Тихонова ([2] - [3]), для решения задачи обнаружения используется отношение правдоподобия, дополнительно усредненное по априорному распределению неизвестных параметров. В качестве приближенных априорных плотностей вероятности неизвестных параметров в этом случае часто используются равномерные распределения в ожидаемом интервале изменения параметров или другие достаточно "широкие" плотности вероятности. В радиотехнике этот метод применяется по отношению к таким параметрам, как амплитуда и время появления радиоимпульса, а также другим параметрам, которые на этапе обнаружения рассматриваются как неинформативные. Например, неинформативными параметрами на этом этапе обнаружения, характеризующими цель, могут являться размер, форма, отражающая поверхность, а характеризующими характер ее движения - скорость, дальность, ускорение.

Следует однако отметить,что применение метода усредненного отношения правдоподобия, во-первых, требует априорного знания функций распределения неизвестных параметров полезного сигнала (или шума) и, во-вторых, фактически приводит к оптимальному решению "в среднем" для всех возможных реализаций полезного сигнала.

2. Метод обобщенного отношения правдоподобия. При использовании этого метода по имеющимся наблюдениям предварительно отыскиваются максимально правдоподобные оценки всех или части неизвестных параметров сигналов и шумов и эти оценки подставляются в отношение правдоподобия в качестве "истинных" значений неизвестных параметров ([2], [6]). После этого задача сводится к классической задаче обнаружения или различения детерминированных сигналов, в которых вместо истинных значений сопутствующих параметров фигурируют их оценки. Этот метод наиболее эффективен в том случае, когда по принятой реализации можно получить достаточно хорошую оценку неизвестного параметра (то есть в случае большого отношения сигнал/шум или большого объема выборки). Решающие статистики, получаемые на основе обобщенного отношения правдоподобия, мы будем для краткости называть GLR (Generalized Likelihood Ratio) статистиками.

Можно строго доказать, что при большом отношении сигнал/шум и/или при большом объеме выборки (в случае длинных реализаций наблюдаемого процесса) метод обобщенного отношения правдоподобия является асимптотически оптимальным. В настоящее время достаточно хорошо разработаны асимптотические аналитические методы вычисления пороговых значений GLR статистик. Для коротких выборок и малых отношений сигнал/шум аналитические методы нахождения пороговых значений GLR статистик отсутствуют и сам вопрос об эффективности метода обобщенного отношения правдоподобия остается открытым.

В современных системах гидроакустики, локации, мобильных системах связи необходимо обнаружить наличие полезного сигнала в очень сложной помеховой обстановке в случайном канале связи за минимально возможное время (буквально за несколько или несколько десятков выборочных значений). Поэтому для повышения эффективности обнаружения и улучшения дальнейшей обработки сигналов в современных системах связи, радио- и гидролокации все более широко используются многоэлементные антенные решетки.

Дополнительная пространственная обработка сигналов позволяет существенно увеличить помехоустойчивость таких систем и, в принципе, позволяет уменьшить время, отводимое на обнаружение сигнала. Таким образом, возникает задача разработки алгоритмов обнаружения сигналов в многоэлементных антенных решетках по коротким выборкам. Этой задаче и посвящена данная диссертация.

В диссертации рассматривается задача обнаружения пространственных сигналов без учета временных характеристик сигналов и помех. Представление наблюдаемого сигнала в виде реализации случайного процесса априори неизвестной формы хорошо моделирует широкий круг задач в радиоастрономии, гидроакустике, дистанционном зондировании и исследовании природных ресурсов, а также многие задачи радио-,гидролокации и связи. Хорошо известно решение задачи обнаружения случайных сигналов многоэлементными антенными решетками при известной форме волнового фронта сигнала на фоне аддитивного белого гауссовского шума. Это классическая задача пассивной локации излучающих объектов в свободной пространстве, которая решается с помощью отношения правдоподобия и хорошо изучена. Однако в реальных системах пассивной гидролокации и связи волновой фронт и пространственные характеристики сигналов априорно неизвестны. Поэтому задача обнаружения случайных сигналов с неизвестными пространственными характеристиками является актуальной.

В настоящей работе сигналы и помехи моделируются в виде векторных комплексных случайных процессов с учетом их пространственных характеристик, но с некоррелированными временными отсчетами . В такой постановке задача обнаружения представляет интерес для пассивных гидроакустических и радиотехнических систем, в которых принимаемый сигнал, как правило, является шумовым или квазишумовым, систем мобильной связи и беспроводной передачи данных, в которых канал распространения сигналов является случайным и настолько сложен, (частотно- и пространственно-селективен), что на первоначальном этапе о временной структуре полезного сигнала известно очень мало из-за вносимых каналом связи искажений,

В диссертации все исследуемые решающие статистики получены на основе обобщенного отношения правдоподобия для выборок произвольного объема. В общем случае (для выборки любого объема) GLR-статистики имеют сложные функции распределения. Это не позволяет аналитически найти пороговые значения тест-статистики для заданного постоянного уровня ложной тревоги Pfa (в соответствии с критерием Неймана-Пирсона). Поэтому для вычисления пороговых значений тест-статистик, как правило,используются асимптотические методы, справедливые только для выборок большого объема. В случае коротких выборок такие методы становятся неприменимыми.

Таким образом, исходя из вышенаписанного, можно сформулировать следующие цели работы:

Цель работы

1. Получить на основе обобщенного отношения правдоподобия точные выражения GLR-статистик для решения задачи обнаружения многомерных пространственных сигналов с различными характеристиками на фоне однородных и неоднородных шумов.

3. Провести сравнительный анализ помехоустойчивости различных GLR-статистик в случае коротких выборок.

Методы исследований

При решении поставленных задач использовались общие методы статистической радиофизики [1] - [50], теории вероятностей и математической статистики [51] - [101], а также методы теории случайных матриц [102] - [104] и теории ортогональных полиномов [105] ш].

Научная новизна работы

4. Точность и эффективность предложенных методов и алгоритмов проверена путем численного моделирования.

Практическая ценность

Полёт" (НПО "Полёт", г. Нижний Новгород). Результаты могут быть использованы при проектировании и исследовании эффективных систем обработки многомерных сигналов в радиолокации и гидроакустике. Кроме того, отдельные результаы работы использованы в учебной работе со студентами, специализирующимися в области статистической радиофизики.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 101 страницу, включая 38 рисунков.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

1. Получены на основе обобщенного отношения правдоподобия выражения GLR-статистик для решения задачи обнаружения многомерных пространственных сигналов с различными характеристиками на фоне однородных и неоднородных шумов.

2. Найдены точные аналитические выражения для моментов GLR статистик, полученных на основе обобщенного отношения правдоподобия в задаче обнаружения полезного сигнала на фоне шума для произвольного объема выборки. Выражения получены для комплексных гауссовских сигналов с использованием распределения Уишарта путем прямого интегрирования. Эти выражения были проверены путем численного нахождения моментов. Результаты моделирования подтвердили теоретические выражения.

3. Предложен эффективный метод аппроксимации функции распределения тест-статистик обобщенного отношения правдоподобия в случае коротких выборок. Для нахождения вероятностных распределений решающих GLR статистик использовались полученные аналитические выражения для моментов этих статистик. Плотности вероятности статистик представлялись в виде ряда по ортогональным полиномам с весовой функцией, при которой этот ряд сходится наиболее быстро. Неизвестные параметры весовой функции находились из условия равенства первых двух моментов аппроксимируемой и аппроксимирующей функций. Весовая функция с нужными коэффициентами являлась нулевым приближением разлагаемой в ряд плотности вероятности. Дальнейшие члены ряда находились в соответствии с теорией ортогональных многочленов. Численное моделирование подтвердило хорошую аппроксимацию функций распределения (позволяющую оценивать пороги с точностью до 1

5.Проведено сравнение эффективности использования различных решающих статистик (алгоритмов обработки), полученных на основе обобщенного отношения правдоподобия, для обнаружения пространственных сигналов. Рассмтаривалось несколько различных моделей сигналов с различной степенью когерентности, в том числе шумовой и плоская когерентная волна, а также несколько моделей шумов с разной степенью неоднородности по элементам антенной решетки. Выявлены наиболее эффективные и робастные (нечувствительные к неоднородности) в каждом случае статистики. Все результаты справедливы в том числе и для коротких выборок.

6. Проведенное сравнение позволяет дать рекомендации по выбору алгоритма обработки сигнала для обнаружения полностью или частично-когерентных сигналов на фоне шумов в различных случаях наличия априорной информации.

5 Заключение