Обнаружение, разрешение и оценивание числа источников сигналов антенной решеткой в случае коротких выборок и неизвестных волновых фронтов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

1 Статистические характеристики шумовых собственных чисел выборочной корреляционной матрицы многомерных гауссовских случайных процессов

1.1 Распределение максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы собственного шума элементов антенной решетки.

1.1.1 Интегральная функция распределения максимального шумового собственного числа для одномерного случая

1.1.2 Интегральная функция распределения максимального шумового собственного числа для двумерного случая

1.1.3 Интегральная функция распределения максимального шумового собственного числа для N-мерного случая

1.2 Распределение максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы сигналов антенной решетки при наличии одного источника большой мощности

1.2.1 Распределение максимального шумового собственного числа

1.2.2 Численное исследование точности асимптотической формулы для интегрального распределения максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы

1.3 Распределение максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы сигналов антенной решетки при наличии любого числа источников большой мощности

1.4 Распределение максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы сигналов антенной решетки в случае короткой выборки

1.5 Распределение минимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы сигналов антенной решетки.

Актуальность темы. Многоэлементные антенные решетки находят все более широкое применение для пространственной обработки сигналов в системах радиосвязи, пассивной радио и гидролокации. Задачу оценки параметров источников сигналов, принимаемых многоэлементной антенной решеткой, можно разбить на две части -оценка числа действующих источников и оценка их направлений и мощностей.

Для решения второй задачи оценки угловых направлений на источники сигналов и их мощностей предложено большое число методов [1-5]. Среди них наиболее известными являются методы проекционного типа [3-5]. Эти методы обладают достаточно высокой чувствительностью к слабым сигналам и при увеличении длины выборки дают асимптотически несмещенные оценки параметров сигналов. Однако проекционные методы основаны на построении матрицы проектора на шумовое подпространство и, строго говоря, требуют априорного знания размерности шумового подпространства. Таким образом, при использовании проекционных методов, первоначально требуется решить первую задачу, то есть оценить число внешних источников.

Следует отметить, что применение классических методов максимума правдоподобия и байесовского [8-12] к решению задачи оценивания числа источников вызывает серьезные затруднения. Метод максимального правдоподобия (в обычной постановке) не применим, поскольку функция правдоподобия является монотонно неубывающей от числа источников. Использование байесовского метода требует априорного знания распределения числа источников, которое обычно неизвестно.

Поэтому для оценки числа источников сигналов, принимаемых антенной решеткой, было предложено множество специальных методов [40, 69, 70, 22-38]. Среди них наиболее широкую известность получили "Akaike Information Criterion" (AIC) [35, 38] и криетрий "Minimum description length" (MDL) [36-38]. Суть данных методов заключается в следующем: поскольку функция правдоподобия является монотонно неубывающей от числа источников, то необходимо модифицировать функцию правдоподобия путем добавления к ней некоторой штрафной функции, зависящей от числа источников. Исследованию статистических характеристик данных методов посвящено достаточно много работ [38, 39, 59-61, 22, 30]. Однако, полученные в большинстве этих работ аналитические результаты, являются асимптотически справедливыми для больших объемов выборок. Также, недостатком данных методов является то, что AIC дает несостоятельную оценку, а критерий MDL имеет тенденцию к переоценке числа источников сигналов в случае небольших объемов выборок.

Также были предложены другие методы оценки числа источников сигналов, основанные на анализе собственных векторов и собственных чисел выборочной корреляционной матрицы сигналов, снимаемых с элементов антенной решетки. Например, в работе [40] предлагается использовать тот факт, что при определенных условиях структура сигнальных собственных векторов известна, и в качестве оценки числа источников выбирается наибольшее число собственных векторов, наилучшим образом совпадающих с данной структурой. Для этого вводится некоторая мера близости собственных векторов к известной структуре и производится последовательное ее сравнение с некоторым порогом. Однако выбор этого порога затруднен, поскольку неизвестно распределение введенной статистики.

В работах [69, 70] был предложен метод оценки числа внешних источников сигналов, основанный на оценке степени минимального многочлена выборочной корреляционной матрицы. Параметры этого многочлена находятся из среднеквадратичного критерия, согласно которому для выборочной корреляционной матрицы отыскивается матричный многочлен наименьшей степени с минимальной евклидовой нормой, не превышающей заданный порог. Недостатком данного метода является тот факт, что интегральная функция предложенной статистики неизвестна и величина порога выбирается исходя только из среднего значения и дисперсии.

Широко известен метод последовательного сравнения собственных чисел выборочной корреляционной матрицы с порогами [1]. Данный метод основан на том факте, что количество собственных чисел точной корреляционной матрицы, превышающих единицу (при единичной мощности внутреннего шума), совпадает с числом внешних источников сигналов. Данный метод оценки числа источников сигналов заслуживает внимания, поскольку шумовые собственные числа не зависят от вида волнового фронта источников сигналов, принимаемых антенной решеткой, следовательно, данный метод инвариантен к направлению на источники сигналов, к виду волнового фронта и к взаимному расположению элементов антенной решетки. Статистические характеристики данного метода напрямую зависят от распределения максимального "шумового" и минимального "сигнального" собственных чисел. Шумовыми и сигнальными собственными числами выборочной корреляционной матрицы являются соответственно N-k младших и к старших собственных числа. Где N -размерность корреляционной матрицы, а к - ранг корреляционной матрицы сигналов только от внешних источников. Исследованию статистических характеристик шумовых и сигнальных собственных чисел посвящено много работ [14, 13, 41-44]. Однако, полученные в большинстве этих работ аналитические результаты для максимального шумового собственного числа являются асимптотическими и справедливы для большого числа выборок или получены с помощью численного моделирования.

Таким образом, исследование статистических характеристик шумовых собственных чисел выборочной корреляционной матрицы сигналов антенной решетки является актуальной задачей.

Цель работы. При проведении исследований, отраженных в диссертации, были поставлены следующие цели:

1. Исследовать статистические характеристики максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы при любой длине выборки входного вектора сигналов и произвольного числа внешних источников.

2. Провести сравнительный анализ классических методов обнаружения многомерных сигналов и метода, основанного на сравнении максимального собственного числа с порогом для любого размера выборки.

3. Исследовать статистические характеристики разрешения двух источников сигналов, принимаемых антенной решеткой, для метода сравнения максимального шумового собственного числа с порогом.

4. Исследовать статистические характеристики известных методов AIC и MDL оценки числа источников для любого размера выборки сигналов, принимаемых антенной решеткой.

Методы решения.

При решении поставленных задач использовались методы теории случайных матриц [15, 16], а также общие методы теории вероятностей и статистической радиофизики [1, 8-12].

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Найдено точное аналитическое выражение для интегральной функции распределения максимального собственного числа выборочной корреляционной матрицы при отсутствии источников для любого размера выборки.

2. Найдено асимптотическое выражение для интегральной функции распределения максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы для любого размера выборки при наличии произвольного числа мощных источников сигналов.

3. Найдено асимптотическое выражение для интегральной функции распределения минимального собственного числа выборочной корреляционной матрицы для любого размера выборки при наличии произвольного числа мощных источников сигналов.

4. Проведен сравнительный анализ классических методов обнаружения многомерных сигналов и метода, основанного на сравнении максимального собственного числа с порогом, для любого размера выборки вектора сигналов.

5. Исследованы статистические характеристики разрешения двух источников сигналов, принимаемых антенной решеткой, для метода сравнения второго собственного числа с порогом.

6. Исследованы статистические характеристики двух известных методов оценки числа источников сигналов AIC и MDL для любого размера выборки сигналов, принимаемых антенной решеткой.

Практическая ценность.

Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при проектировании и исследовании эффективных систем обработки многомерных сигналов в радиолокации и гидроакустике.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заклю

Основные результаты диссертационной работы и следующие из них практические выводы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Найдено точное выражение для интегральной функции распределения максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы сигналов антенной решетки при отсутствии внешних источников. Предполагалось, что собственные шумы элементов антенной решетки некоррелированны и являются гаус-совскими с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями. Выражение для интегральной функции распределения справедливо для любого размера выборки сигналов, снимаемых с элементов антенной решетки, в том числе и в случае, когда число выборок меньше числа элементов антенной решетки. Полученный результат позволяет вычислять пороговое значение для максимального собственного числа в задаче обнаружения источника. Это пороговое значение обеспечивает заданную вероятность ложного обнаружения сигнала для любого размера антенной решетки и любого размера выборки вектора сигналов.

2. Получено асимптотическое выражение для интегральной функции распределения максимального шумового собственного числа, в случае присутствия одного или более источников сигналов. Данное выражение справедливо для мощных источников сигналов и любого размера выборки. Это позволяет вычислять пороги для собственных чисел по заданной вероятности переоценки числа источников для любого размера антенной решетки и произвольного размера выборки вектора сигналов.

3. Проведен сравнительный анализ статистических характеристик классических методов обнаружения многомерных сигналов и метода основанного на сравнения максимального собственного числа выборочной корреляционной матрицы с порогом (" max — Л" тест) Для пространственной согласованной обработки, х2-критерия и "max теста получены кривые обнаружения для многомерных сигналов с различной степенью пространственной корреляции. Показана высокая эффективность " max — Л" теста при обнаружении как пространственно коррелированных, так и пространственно некоррелированных многомерных сигналов.

4. Проведен анализ влияния земной поверхности на статистические характеристики двух различных методов обнаружения источника сигнала - метода пространственной согласованной обработки и метода сравнения максимального собственного числа с порогом ("max — Л"-тест). Показано, что "max — Л"-тест является существенно более устойчивым к влиянию земной поверхности критерием, чем согласованная обработка. Также показано, что "max —Л"-тест в большинстве случаев является более эффективным чем согласованная обработка. Исключение составляет ситуация, когда антенная решетка расположена на высоте, обеспечивающей совпадение фаз прямого и переотраженного сигналов в ее приемных элементах, отражение от земной поверхности является идеальным и угол между направлением на источник сигнала и поверхностью земли существенно меньше ширины диаграммы направленности.

5. Поскольку метод оценки числа сигналов с помощью собственных чисел не зависит от вида волнового фронта источников, то полученные результаты можно использовать для решения задач разрешения источников, расположенных как в дальней, так и в ближней волновой зоне. В работе проведен анализ статистических характеристик метода разрешения двух источников сигналов, основанного на сравнении второго собственного числа с порогом. Анализ проводился как для случая расположения источника сигнала в дальней волновой зоне (плоский волновой фронт), так и для случая расположения источника сигнала в ближней волновой зоне (цилиндрический волновой фронт). Для случая плоского волнового фронта получены зависимости между мощностью источников и угловым разрешением. Для случая цилиндрического волнового фронта получены области разрешения для различных мощностей и местоположений источников.

6. Среди различных методов оценки числа источников сигналов наиболее широкую известность получили "информационный критерий Акаике" ("Akaike Information Criterion" (AIC)) и критерий "минимума длины описания" ("Minimum description length" (MDL)) (1974-1985, H. Akaike, J. Rissanen, G. Schwarz, M.Wax, T.Kailath). Показано, что при некоторых условиях, методы AIC и MDL являются эквивалентными методу сравнения максимального шумового собственного числа с определенным порогом. Следовательно статистические характеристики данных методов напрямую связаны с функцией распределения максимального шумового собственного числа. В работе, для случая известной мощности внутреннего шума элементов антенной решетки, найдены аналитические выражения для вероятностей переоценки числа источников сигналов с помощью AIC и MDL методов. Данные выражения справедливы для любого размера выборки сигнала. Проведены численные эксперименты, подтверждающие полученные теоретические результаты.

Заключение

1. Караваев В.В., Сазонов В.В. "Статистическая теория пассивной локации." М.: Радио и связь. 1987.

2. С.Л.Марпл-МЛ. "Цифровой спектральный анализ и его приложения." М. Мир 1990

3. P.Stoica, A Nehorai, "Music, maximum likelihood, and Cramer-Rao Bound", IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal Processing, vol. ASSP-37, N5, May 1989, p720.

4. P.Stoica, A Nehorai, "Music, maximum likelihood, and Cramer-Rao Bound: Further results and comparison", IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal Processing, vol. ASSP-38, N12, December 1990, p2140.

5. J.C.Mosher, R.M.Leahy, "Source localization using recursively applied and projected (RAP) MUSIC", IEEE Transaction on signal processing, vol.47, N2, February 1999, p332.

6. M.Bengtsson, B.Ottersten, "Low-complexity estimators for distributed sources", IEEE Transaction on signal processing, vol.48, N8, August 2000, p2185.

7. P.Stoica, A Nehorai, "Performance comparison of subspace rotation and MUSIC methods for direction estimation", IEEE Transaction On Signal Processing, vol. 39, N2, February 1991, p446.

8. Ю.Г.Сосулин, "Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов", М. Сов. Радио, 1978.

9. Г.П.Тартаковский, В.Г.Репин, "Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем", М. Сов. Радио, 1977.

10. Б.Р.Левин, "Теоретические основы статистической радиотехники", М. Издательство "Советское радио", 1969.

11. В.И.Тихонов, "Статистическая радиотехника", М. Издательство "Советское радио", 1966.

12. Д.Мидцлтон, "ВВедение в статистическую теорию связи", М. Издательство "Советское радио", 1962.

13. А.В.Мороз, Н.Г.Есакова "Анализ собственных значений выборочной корреляционной матрицы процесса из двух комплексных экспонент и аддитивного белого гауссовского шума" // РЭ. 1990. Т. 35. N5. С.1014

14. О.П.Черемисин "К вопросу об алгоритме оценивания числа помех" // РЭ. 1992. Т.37 N7. С.1236

15. В.Л.Гирко. "Спектральная теория случайных матриц", М.Наука, 1988.

16. В.Л.Гирко. "Случайные матрицы", Киев. Вища школа, 1975.

17. Кейпон Дж. Гудман Н.Р. ТИИЭР т.58 N11 с.82

18. N.R.Goodman, "Statistical analysis based on a certain multivariate complex Gaussian distribution (an introduction)", Ann. Math. Stat., vol.34, pp.152-171, 1963.

19. Корн Г. Корн.Т "Справочник по математике для научных работников и инженеров", М. Наука, 1974.120

20. И.М.Рыжик, И.С.Градштейн, "Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений." М.: Радио и связь. 1954.

21. Воеводин "Линейная алгебра." М. Мир 1990

22. Chen, W.; Wong, K.M.; Reilly, J.P., "Detection of the number of signals: a predicted eigen-threshold approach", Signal Processing, IEEE Transactions on , Volume: 39 Issue: 5 , May 1991 Page(s): 1088 -1098

23. Yuehua Wu; Kwok-Wai Tam, "Randomized penalty in detection of the number of signals", Signal Processing, IEEE Transactions on , Volume: 42 Issue: 10 , Oct. 1994 Page(s): 2692 -2696

24. Bhandary, M., "Detection of the number of signals in the presence of white noise in decentralized processing:", Signal Processing, IEEE

25. Transactions on , Volume: 46 Issue: 3 , March 1998 Page(s): 800 -803

26. H.Wax, T.J.Shan, T.Kailath, "Spatio-temporal spectral analysis by eigenstructure methods", IEEE Trans. Acoustics Speach Signal Processing, ASSP-32, pp.817-827.

27. T.W.Anderson, "Asymptotic theory for principal component analysis", Ann.J. Math. Stat., vol.34, 1963, pp.122-148

28. H.Wang, M.Kaveh, "On the performance of signal subspace processing, Part I: Narrow-band system", IEEE Trans. Acoust., Speach, Signal Processing, vol. ASSP-34, N5, pp.1201-1209, Oct. 1986.

29. Zhang, Q.T.; Wong, K.M., "Information theoretic criteria for the determination of the number of signals in spatially correlated noise", Signal Processing, IEEE Transactions on , Volume: 41 Issue: 4 , April 1993 Page(s): 1652-1663

30. Zhu, Z.; Haykin, S.; Huang, X., "Estimating the number of signals using reference noise samples", Aerospace and Electronic Systems, IEEE Transactions on , Volume: 27 Issue: 3 , May 1991 Page(s): 575-579

31. L.C.Zhao, P.R.Kailath, Z.D.Bai, "On detection of number of signals in presence of white noise", J.Multivariate Anal., vol.20, 1986, pp.l-25

32. H. Akaike, "A new look at the statistical model identification", IEEE Transaction on automatic control, Vol. AC-19, No. 6, December 1974, pp716-723

33. G.Schwarz, "Estimating the dimension of model", The Annals of Statistic, vol. 6, No.2, 1978, pp461-464.

34. J.Rissanen, "Modeling by shortest data description", Automatica. Vol. 14, No.2, 1983, pp.465-471,

35. M.Wax and T.Kailath, "Detection of signals by information theoretic criteria", IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal Processing, vol. ASSP-33, April 1985, pp387-392.

36. W.Xu, M.Kaveh, "Analysis of the performance and the sensitivity of eigendecomposition-based detectors", IEEE Transaction on signal processing, vol. 43, No 6. June 1995.

37. H.Lee, Fu.Li, "An eigenvector technique for detecting the number of emitters in a Cluster", IEEE Transaction on signal processing, vol. 42, No. 9, September 1994. pp. 2380-2388.

38. A.T.James, "Distributions of matrix variates and latent roots derived from normal samples", Ann. Math. Stat., vol35, pp.475-501, 1964.

39. G.A.Anderson, "An asymptotic expansion for the distribution of the latent roots of the estimated covariance matrix", Ann. Math. Stat., vol36, pp.1153-1173, 1965.

40. H.C.Li, C.S.Pillai, T.C.Chang, "Asymptotic expansions for distribution of the roots of two matrices from classical and complex Gaussian populations", Ann. Math. Stat., vol41, N5, pp.1541-1556, 1970.

41. Q.T.Zhang, K.M.Wong, "The asymptotic distribution of eigenvalues of a complex covariance matrix", CRL, McMaster Univ., Rep.181, June 1988.

42. В.Т.Ермолаев, К.В.Родюшкин, "Функция распределения максимального собственного числа выборочной корреляционной матрицы собственного шума элементов антенной решетки", Известия вузов. Радиофизика, том 42, 5, 1999, стр. 494.

43. К.В.Родюшкин, "Анализ статистических свойств максимального шумового собственного числа выборочной корреляционной матрицы антенной решетки при наличии сигнала", Известия вузов. Радиофизика, том 44, 1-2, 2001, стр. 285.

44. В.Т.Ермолаев, А.А.Мальцев, К.В.Родюшкин, "Статистические характеристики критериев AIC и MDL в задаче оценки числа источников многомерных сигналов в случае короткой выборки", Известия вузов. Радиофизика, том XLIV, N12, 2001г, стр. 1062.

45. V.T.Ermolayev, A.A.Maltsev, K.V.Rodyushkin, "Detection characteristics of antenna array using the maximum eigenvalue of the sampled covariance matrix as solving statistics", Proceedings of International Conference JINA-98.

46. В.Т.Ермолаев, К.В.Родюшкин, "Исследование методов регуляризации весового вектора адаптивной антенной решетки при короткой выборке", труды конференции по радиофизике, посвященной 95-летию со дня рождения М.Т.Греховой, Н.Новгород, ННГУ, 1997 г., стр. 65

47. В.Т.Ермолаев, К.В.Родюшкин, "Метод оценки числа шумовых и сигнальных собственных чисел выборочной корреляционной матрицы сигналов антенной решетки", Тезисы докладов 3-ей Нижегородской сессии молодых ученых, Н.Новгород 1998 г. с.58.

48. К.В.Родюшкин, "Использование собственных чисел для оценки числа внешних сигналов принимаемых антенной решеткой", Тезисы докладов 4-ой Нижегородской сессии молодых ученых, Н.Новгород 1999 г. с. 71.

49. К.В.Родюшкин, "Анализ методов оценки числа источников в задачах обработки пространственных сигналов", Труды четвертой научной конференции по радиофизике 5 мая 2000г. с.231.

50. W.Chen, K.M.Wong, James P. Reilly, w "Detection of the Number of Signals: A Predicated Eigen-Threshold Approach", IEEE Transaction on signal processing, vol. 39, No. 5, May 1991, p.1088.

51. P. Costa, J.Grouffaud, P.Larzabal, H.Clergeot, "Estimation of the Number of Signals from Features of the Covariance Matrix: A Supervised Aproach", IEEE Transaction on signal processing, vol. 47, No. 11, November 1999, p.3108.

52. Soon H.Kwon, M.Sugeno "Criterion for selecting model order in identification", Electronics Letters, vol. 35, No. 4, 18th Febrary 1999, p.292.

53. Y.Wu, K.Tam, "Randomized Penalty in Detection of the Number of Signals", IEEE Transaction on signal processing, vol. 42, No. 10, November 1999. p.2692

54. E.Fishier, H.Messer, "Order Statistic Approach for Determining the Number of Sources Using an Array of Sensors", IEEE Signal Processing Letters, vol. 6, No. 7, July 1999. p. 179

55. C.L.Zehm, "Application of adaptive arrays to suppress strong jammers in the presence of week signals", IEEE Trans.-1973.-V.AES-9, N2, pp.260-271.

56. О.С.Литвинов, "Расчет и анализ собственных чисел ковариационной матрицы на входах n-элементной адаптивной антенной решетки", Вопросы радиоэлектроники, серия ОТ. 1981, вып.8.-С.31-38.

57. В.Т.Ермолаев, А.Г.Флаксман, А.А.Анурин, "Оценивание параметров сигналов, принимаемых антенной решеткой", Известия вузов. Радиофизика, том 39, 9, 1996, стр. 1144.

58. В.Т.Ермолаев, Известия вузов. Радиофизика, том 38, 8, 1995, стр. 841.

59. A.Paulraj, V.U.Reddy, T.J.Shan, T.Kailath, "Performance analysis of the MUSIC algorithm with spatial smoothing in the presence of coherent sources", Proc.MILCOM. Vol.3, 1986, p.41.5/1-41.5/5.

60. Г.П. Грудииская, "Распространение радиоволн", M. Высшая школа, 1967.

61. Ф.Б. Черный, "Распространение радиоволн", М. Советское радио, 1972.

62. А.К.Журавлев, А.П.Лукошкин, С.С.Подцубный, "Обработка сигналов в адаптивных антенных решетках", Л. Издательство Ленинградского университета, 1983.