Пространства векторнозначных и операторозначных функций и их применение к аналитическому представлению операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Г л а в а I. Банаховы пространства векторнозначных и операторнозначных функций

§1. Определения, обозначения, терминология и вспомогательные факты.

§2. Пространство измеримых вектор-функций /J^

§3. Пространства оператор-функций

I? (f,X)

§4. Пространства

Г л а в а II. Интегральные операторы в пространствах измеримых вектор-функций

§1. Правильные и регулярные операторы

§2. /3 - интегральные операторы

§3. Р - и р* - интегральные операторы.

§4. Представление линейных операторов из в в интегральном виде

Указатель обозначений

В диссертационной работе изучается классическая для функционального анализа задача об аналитическом представлении линейных операторов и связанные с ней вопросы теории пространств векторнозначных и операторнозначных функций.

Пространства вектор-функций были введены и активно изучались во второй половине 30-х годов vl др). Интерес к этим пространствам возник, в частности, как к пространствам ядер различных классов линейных операторов, допускающих аналитическое представление с помощью векторфункций •

В последние годы интерес к этой тематике снова стал возрастать. Пространства вектор-функций нашли интересные и важные приложения в теории банаховых пространств ( f J } /~3&7), теории вероятностей ), в теории дифференциальных и интегральных уравнений в банаховом пространстве" ( ffiJ . ,jC27J{ ), оптимальном управлении

C5J ) . Изучение пространств вектор-функций представляет важную и самостоятельную задачу, богатую интересными и нетривиальными результатами. Некоторые задачи, поставленные более 15 - 20 лет назад, все еще остаются нерешенными. Это, в основном,- задачи, связанные с исследованием пространств вектор-функций в топологиях более слабых, чем нормированная .

Теория линейных интегральных операторов, действующих в пространствах измеримых функций, представляет собой достаточно разработанный раздел функционального анализа. Большой вклад в создание этой теории внесли советские математики: С.Л.Соболев, Л.В.Канторович, М.А.Красносельский, П.П.Забрей-ко, В.Б.Коротков, Ю.И.Грибанов, А.В.Бухвалов и др. Различные разделы этой теории систематизированы в монографиях Ш , [19] , [231 , [24], [2&], [44] .

Тем не менее в теории интегральных операторов еще много остается нерешенных задач. Некоторые из них приведены в недавно вышедшей монографии Халмоша и Сандера [44] .

При отыскании общего вида линейного непрерывного оператора, действующего из одного банахова пространства измеримых функций Е в другое F , полезным оказался метод, когда одно из пространств Е или F считается произвольным банаховым пространством, а другое фиксированным банаховым пространством функций. При этом оператор 'допускает представление либо в виде билинейной формы с векторнозна^ным ядром, либо в виде векторнозначного интеграла (Бохнера, Петтиса и др.). Такой подход потребовал подробного изучения операторов, имеющих данное аналитическое представление.

Операторы, допускающие представление в виде билинейной уг формы с векторнозначным ядром, ( С - к С - операторы) были подробно изучены в работах В.Б.Короткова и С.И.Жданова. Представляет интерес задача об изучении линейных операторов, допускающих представление в форме векторнозначных интегралов.

Цель ю диссертационной работы является изучение пространств векторнозначннх и операторнозначных функций, которые возникают при исследовании векторнозналных интегральных операторов; нахождение условий представимости линейных операторов, действующих в пространствах измеримых вектоп-функций, в векторнозначном интегральном виде.

Перейдем к обзору содержания работы.

Б первой главе изучаются пространства векторнозначкых и операторнозначных функций.

Первый параграф носит вспомогательный характер - в нем собраны основные используемые в работе определения, обозначения и вспомогательные факты.

Во втором параграфе дается определение пространства измеримых вектор-функций ^ 2",/С/) и пространства классов равных п.в. измеримых вектор-функций f Hjj/JJ , задаш-шх на пространстве с полной & - конечной мерой. Цель параграфа - изучение свойств пространства в топологии &^^ > ^^) ' где £ и F любая пара банаховых пространств в двойственности. Найден критерий фундаментальности последовательности элементов из в t /Pj - топологии. с £ ' F с помощью которого дана характеризация секвенциально f^-^, ~ предкомпактных множеств в Zj^

Одним из центральных результатов работы является критерий секвенциальной Cf^} ^'j ~ полноты пространства /.J? (теорема 1.2.2): пространство /Z7 секвенциально / РJ ~ полно тогда и только тогда, когда £ секвенциально - полно и обладает свойством Радона - Никодима. стот результат является новым уке для пространств Лебега - Бохнера ( ).

В третьем параграфе вводятся пространства операгпор

П)Т?г.тт-тттЛ1Д

Претцигоггдьнуга роль при 'исследовании зтих пространств играет теорема 1.3 Л , гарантирующая существование в кэлдом классе уЛ предизмеришх предэквивэлентнътх Функций ( тми слабо

V/ измеримых слабо эквивалентных функций ) оператор-фикции, обладающей рядом "хороших" свойств. Дело в том, что

Л W два представителя С?С и J^T одного класса J^T (или ^Ж ) могут быть такими, что „ +//ж fej// „ при катдом £ и, более того, функция &—^//^fflj//, может быть неизмеримой. Ме^кду введенными пространствами оператор-функций имеет место следующее соотношение:

Доказано, что пространства fry) ч влягат ся б анахо вышт.

1 ' '

В четвертом параграфе рассматриваются пространства скалярно и - скалярно измеримых вектор-йушщий Пространство ^ Z~JF7 было введено рушнскими математиками А.и К.йонеску Тулча {&ZJ ) для описания пространства, сопряженного к пространству Лебега - Бохнера ZJ? ( о^ . = / ). г у

Определение пространства Z^ Z~6Г. данное в диссертации. отличается от определения, данного А. и К. Ионеску Тулча. Доказано, что пространство / ^ секвеициально полно в топологии Z^ J

Найден критерий сходимости последовательности элементов из /f. ffj в <?(zjlz£j; /P'j - топологии. Замечено, что если Л - абсолютно непрерывная норма, то пространство со сметанной нормой Z 1 изометрично прост-тнству / , Z^Z '1/

Во второй главе изучаются вопроси, связанные с интегральным представлением линейных операторов.

В первом параграфе, носящем вспомогательный характер, рассматриваются правильные к регулярные операторы. р

Линейный оператор АZ^ —— X называется правильным, если существует функция ZZ ^ такая, /7 что для всех f е / '

ZAfZZ +fZZfft)ZZ mj^rtj. СI)

И ^

Через /Y/Д X) обозначается пространство всех ~ правильных операторов из Z^7 в X , наделенное нормой

A/jp ~ J7//?J , где интимум берется по всем

7 , удовлетворяющим (I). Получена следующая характеризация правильных операторов: линейный оператор

АеР//.^ X) тогда и только тогда, когда А Р — /7 абсолютно непрерывен (т.е. из ^ ^jc ' //P^/J/Z/P следует, что //А/1//-) к ///А///<оо . Здесь ffcfrM/ Ж " л где - произвольное конечное разбиение множества/".

Двойственным к классу правильных операторов является класс регулярных операторов. у Л

Линейный оператор А: X—называется регулярным, если существует супремум

7= ^ ^ Шх//) п ,

А //x/te/,//&*//+f ' tt* А 3

Л ^ где Р.'А ^—произвольное отображение, определяемое равенством СРР ) = Р . Через X'fX,/. ^J обозначается пространство всех регулярных операторов, наделенное нормой //А//= Л- • Получено обобщение

Т А на векторный случай известной теоремы Канторовича - Вулиха: пространство Р/Х} L ^ ) изометрично пространству

Я ' F

PxJ : при этом соответствующие А и

Х}Р)

Ofc связаны соотношением Ах= (• J

Имеется два подхода к изучению интегральных операторов из в X . Один из них связан с "сильной" теорией интегрирования вектор-дикций, а другой - со "слабой". В связи с этими подходами, в работе вводятся три класса интегральных операторов - /3 -, Р*- и Р - интегральные операторы.

Во втором параграфе изучаются /9 - интегральные операторн.

Линейный оператор А——-/Г называется - интегральным, если суитествует оператор-функция

-w сЖ-Г—— Л) такая, что при люб о?л /^«s//7 функция JCf интегрируема по Бохнеру и

Одним из основных результатов диссертации является теорема II.2.1 об описании класса ядер £ - интегральных операторов: для того чтобы оператор-функция ijfc; 7~— была ядром /3 - интегрального оператора, действующего из ' в Л , необходимо и достаточно, чтобы

OCeZ/f'^x) CfJ . При этомpfJC)=///A///

Отметим, что доказательство этого факта представляет значительные трудности, связанные с отсутствием измеримости, а. следовательно, и возмога-гости аппроксимации простыми функциями ядер S - интеградьных операторов.

Показано, что если мера^/ непрерывна, то класс

3 - интегральных операторов из /. ^ в X совпадает с j. классом правильных операторов тогда и только тогда, когда X обладает свойством Радона - Никодима. Получено расширение на векторный случай классической теоремы Данфорда -Петтиса - ©иллипса {Р4 Z7) о представлении слабо компактных операторов из в X . Зто расширение было известно при дополнительных ограничениях на область определения оператора (РР&7).

Е третьем параграфе изучаются классы Р* - и Р - интегральных операторов.

Линейный оператор -X называется

Р* ~ интегральным, если найдется оператор-функция

7~-— SfP, X*) такая, что при каждых и X фикция Cfcf-J * > интегрируема и х> jcWPW, ' или, что равносильно,

Тесоема Данфорда - Петтиса утверждает, что пространство

X*) изометрично пространству/^ /X/ {P47J ).

А.В.Вухваловым (Г27 ) получен аналог этой теоремы, когда / / заменяется на - абсолютно непрерывная норма,) . Этот результат является частным случаем следующей теоремы II.3.2: пространство Pf/.^., X *) изометрично пространству Лр, X) ? при этом соот

3f£,X*J ' ветствующие А и X связаны соотношением (2).

Линейный оператор А:——X называется квазиправильным, если существует измеримая функция /7 такая, что при всех fe/.^ имеет место (I).

Получен критерий Р* - интегральности линейного оператоР хpa: А•—X : для того чтобы// был Р*~ - интегральным оператором, необходимо и достаточно, чтобы он был квазиправильным оператором, непрерывным в топологиях fffzPzgJrfJ) к fffA*,X) . 7

Линейный оператор А : -~~Х называется

Р - интегральным, если существует оператор-функция сЖ7~ ■—3{РХ) такая, что при любом функция f интегрируема по Петтису и

Каждый 3 - интегральный оператор является Р - интегральным. Обратное утверждение не верно. Найдена (теорема II.3.4) связь между 3 - интегральными и - интегральными операторами. Получен следующий критерий Р - интегральности линейного оператора. Пусть X обладает слабым свойством Радона - Никодима. Для того чтобы линейный оператор

А ;/ Р-—X был Р - интегральным, необходимо и достаточно, чтобы он был квазиправильным оператором, непрерывным в топологиях

Показало, что если мера^// непрерывна, то пространство Pfz^x; из ометрично про странст ву Л тогда к только тогда, когда X обладает слабым свойством Радона - Никодима.

В четвертом параграфе рассматриваются интегральные операторы, действующие из одного пространства измеримых вектор-пункций в другое.

Под интегральным оператором A .'/jf —— понимается оператор, представимый в виде

Af=Jeers, tjmjtf/yft), где С&: SXT-Sf^fJ такая оператор-пункция, что при каждом /Wjf функция 'Jff'J j// - интегрируема по Бохнеру при V -почти каждом S Если найдется интегральный оператор СУ с ядром / такой, что при всех /^ё/^7 то А называется вполне интегральным оператором.

Hv-стъ А : Z. ^—— / ° „ - линейный оператор

F* и пусть обладает свойством Радона - Никодима. Если существует интегральный оператор СУ: —° такой, что при всех /е //

ГАГ//г„ ^ су ), г £ то А является вполне интегральным оператором с Vx^/J -птэенизмелимым ятпэом (теотэема II.4.1).

Г ■ I " ■ L I IJ- -L- ' йз этой теорэш следует, что если вполне интегральный оператор порожден не предизмеришм ядром, то, при сделанных в тереме предположениях, его ядро можно заменить пред-из мерит л.-тм.

Пусть р - абсолютно непрерывная норма и обладает свойством Радона - Никодима. Для того чтобы линейный оператор —- /5 был интегральным опе"пато"оом £ £ ^ с ядром с^Г, удовлетворяющим условию: u&fS -Уб£"£.7 при V - п.в. S , необходимо и достаточно, чтобы сушест

J- 7 11(1 7 tJ 1 вовэла измеримая соункция такая, что при м- рсех п.е.

I//ГА<- ГЯ для любого конечного разбиения с/Г=ля-южества

Т (теорема II.4.2).

В заключение параграфа показано, что каждый вполне . /7 . Л интегральный оператор АI —— Z непрерывен f Л Л' в топологиях ^572и , f^JJ .

Кратко основные положения диссертации можно сформулировать следующим образом.

1. Изучены свойства пространства / Р в &f Р, / Р J £ £ 7 £ топологии. В частности, найден критерий секвенциальной

- полноты пространства /.?

2. Введены пространства оператор-фз^ткций /T£~J и

Р С £ ,Х) . Доказана их полнота.

3. Расст.готреьш пространства ВрУ и / ^ /~£7 Показано, что пространство f fsj секвенциально г*полно в топологрш С?{/. ^ /ГВ7. с J

Г г*- / с:

4. Выделены классы В - и Р - интегральных операторов. Описан класс ядер В - интегральных операторов. Найдены критерии представимости линейных операторов г В -.

Р* - и Р - интегральном виде. Получены аналоги теорем Данторда - Петтиса и ДангТюрда - Петтиса - Филлипса.

5. Найдены условия представимости линейных опера.торов из Р /О в / в интегральном виде.

1. Еалакриттгнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

2. Бухвалов А.В. Об аналитическом представлении операторов с абстрактной нормой. Известия вузов, Матем., 1975,U II, с. 21 32.

3. Бухвалов А.В. Интегральные операторы и представление вполне линейных функционалов на пространствах со смешанной нормой. Сиб. мат. журн., 1975,т.16,Р 3, с. 483-493.

4. Бухвалов А.В. Геометрические свойства банаховых пространств измеримых вектор-функций. Докл. АН СССР, 1973, т.208,1? 5, с. 1279 - 1282.о. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными к функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

5. Гаевский X, Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

6. Гельфанд Й.М. Abstrakte Funktionen und lineare Operatoren Мат. сб., 1938,т. 4,?;° 2, с. 235 286.

7. Грибанов Ю.И. Банаховы пространства функций и интегральные операторы, I. Известия вузов, Мат ем., 1966, № 4, с. 23 - 35.

8. Грибанов Ю.И. Линейные операторы в совершенных пространствах функций, II. Известия вузов, Матем., 1970, № 8, с. 48 - 58.

9. Диетель Дж. Геометрия банаховых пространств. Избранные главы. Киев: Вища школа, I960.

10. Жданов С.И. Интегральные представления операторов в локально выпуклых и полуупорядоченных пространствах:Дис. канд. гиз.-мат. наук/Н0Е0сиб. гос. ун-т.Новосибирск, 1975. Машинопись.

11. Забрейко П.П. Нелинейные интегральные операторы. Тр. семинара по функцион. анализу/Воронежск. гос. ун-т, 1966, вып. 8, с. 3 - 148.

12. Забрейко ПЛ. Идеальные пространства функций. Вестник Яросл. ун-та, 1974. вып. 8, с. 12-52.

13. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

14. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

15. Канторович Л.В., Вулих Б.З. Sur la representation des operations lineaires. Сотр. math., 1938.5,p.119-165.

16. Коротков В.Б. Об интегральных операторах с ядрами Карле-мана. Докл. АН СССР, 1965, т.165,!!° 4, с. 748 - 751.

17. Короткой В.Б. Об интегральном представлении линейных операторов. -Докл. АН СССР, 1971,т.198,Р 4, с.755-758.

18. Коротков В.Б. Интегральные операторы. Новосибирск: Наука, 1983.

19. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суадшруемых функций. М.: Наука, 1966.

20. Крейн С.Г. Линёйные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. I/I.: Наука, 1968.

21. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некоректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, I960.

22. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.

23. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. Ы.: Мир, 1969.

24. Andrews К.Т. Representation of compact and wealcly compact operators on the space of Bochner integrahle functions. Pacif. J. Math., 1981, 92, IT 2, pp. 257-267.

25. Batt J. On weak compactness in spaces of vector-valued measures and Bochner integrable functions in connection with the RIT property of Banach spaces. Rev. Roumain. Math.Pures Appl., 1974, 19, pp. 285-304.

26. Bochner S. and Taylor A.E. Linear functionals on certain spaces of ahstractly-valued functions. Ann. of Math., 1938, 39, Ж 2, pp. 913-944.

27. Brooks J.K. and Dinculeanu IT. Weak compact-ness in space33